Mühendislik Ekonomisi

Mühendislik Ekonomisi PARANıN ZAMAN DEĞERİ 2 3.PARANIN ZAMAN DEĞERİ Üretim araçlarının satın alınması, imâl edilmesi, kiralanması gibi ekonomik seçeneklerin bulunduğu durumlarda, seçenekler arasından ekonomik olanına karar vermek, para ile ifade edilen eldeki sınırlı kaynakların hesaplanması ile mümkün olabilmektedir. Bu hesaplamalar, çeşitli çözüm yöntemleriyle bir karar süreci içinde yapılır. Seçeneklerin belirlenmesinde kullanılan değerleme birimi paradır. Üretim araçlarının ekonomik ömrü yada gerekli olan kredinin geri ödenme süresi, yatırımın geri kazanımları, hesaplamalara zaman boyutunu da dahil etmemizi gerektirir. 4. Hafta Yrd. Doç. Dr. Ferhat Güngör 3 3.1Tanımlar Faiz: Paranın (fonun) kullanımı için ödenen bir kira veya pay şeklinde tanımlanır. Faiz Oranı: Fonların kullanımı için ödenen faizin, kullanılan fon miktarına oranıdır. Örneğin: Bankaya yatırılan 1 aylık fon 100 TL, bu dönemde 5 TL faiz getirdi ise, faiz oranı şu şekilde hesaplanır. Faiz oranı = = = 0,05 yada %5 denir. Efektif faiz oranı: Fonların fiili kullanım sürelerinde uygulanan faiz oranıdır. (Bir gecelikover night- faiz, aylık faiz vb) 4 3.2.Tanımlar Nominal faiz oranı: Fonların kullanımı için yıllık olarak uygulanan faiz oranıdır. Düzgün seri (Anuite) : Belli bir dönem üzerinden, eşit aralık ve sabit tutardaki ödemelerin oluşturduğu seriye anuite denir. Örneğin 30-60-90-120 gün gibi 30 gün eşit aralıklı 1 000 TL sabit ödemeli seri de, Sabit ödeme A ile gösterilir. Taksit gibi Sabit artan ve azalan nakit akışları serisi: Her dönem karşılanan gelir yada giderlerde, sabit artan ve azalan nakit akışları serisi mevcut ise bu seriye denir. Artan yada azalan sabit tutar G ile gösterilir. 1

5 3.3. Basit Faiz Ticari hayatta pek kullanılmayan, faize faiz uygulanmayan fon tutarının hesaplanmasında kullanılır. Fonun dönem başı değeri = P, periyot (süre) = n, faiz oranı = i, Faiz tutarı = I ise; I = P. n. i... (Formül 3.1) Fonun gelecek (dönem sonu) değeri = F ise; F = P + I yada F = P (1 + i. n)..(formül 3.2) 6 Örnek.3.1 %25 yıllık basit faizle bir firmaya verilen 10 000 TL, 5.yıl sonunda tek defada geri ödenirse alınacak faiz tutarı ve Fonun dönem sonu değerini hesaplayınız? Formül 3.1 den; I = P. n. i = 10 000 * 5 * 0,25 = 12 500 TL. faiz alınır. Formül 3.2 den, F = P + I = 10 000 + 12 500 = 22 500 TL faiz ve ana para, dönem sonu değeri olarak geri alınır. 3.4. Bileşik faiz Örnek 3.2 5.yıl sonundaki fark ise 30 517,57 22 500 = 8 017,57TL olduğu grafikten de görülmektedir. 7 8 Fonlar, belirlenen faiz oranı döneminden daha uzun bir dönem ana para ve faiz alınmadan bekletiliyor ve faize faiz uygulanıp tek ödemede gerçekleşiyorsa, bileşik faiz uygulanır. Aşağıdaki tabloda durumu formüle edecek olursak. Tablo 3.1. Bileşik faizin formüle edilişi Dönem =n Dönem başı Değeri=P Faiz tutarı= I Fonun dönem sonu değeri = F 1.yıl P P.i P+Pi = P(1+i) 2.yıl P(1+i) P.i (1+i) P(1+i) + P.i(1+i) = P(1+i) 2 3.yıl P(1+i) 2 P.i(1+i) 2 P(1+i) 2 + P.i(1+i) 2 = P(1+i) 3 4.yıl P(1+i) 3 P.i(1+i) 3 P(1+i) 3 + P.i(1+i) 3 = P(1+i) 4 5.yıl P(1+i) 4 P.i(1+i) 4 P(1+i) 4 + P.i(1+i) 4 = P(1+i) 5 Ana para P=10 000 TL, faiz oranı yıllık i= %25, periyot n=5 yıl ise yani dönem başı ödediğimiz 10 000 TL lik fonun 5. Yıl sonunda tek ödemede geri dönmesinde faiz + ana parasının eriştiği değer nedir? Formül 3.3 ten F = P(1+i) n = 10 000 (1+0,25) 5 = 10 000 (1,25) 5 F = 10 000 (3,051757) = 30 517,57 TL olduğu görülür. Tablo 3.2. Aynı verilerle basit ve bileşik faizin karşılaştırılması Buradan, Tek ödemeli bileşik faiz formülü; F = P(1+i) n... (Formül 3.3) 2

9 3.4.1.Tek ödemeli Bileşik faiz faktörü Belirlenen dönemden uzun ve tek ödemeli bir plan söz konusudur ÖRNEK: Firma açık depo olarak kullanmayı düşündüğü bir arsayı 200 000 TL ye almayı planlamaktadır. Bir bankadan alacağı 200 000 TL kredinin nominal faizi %20 dir. 3 yıl sonra tek ödemede borcunu kapatabilmesi için ödenecek Fonun (kredinin) gelecek (dönem sonu) değeri (faiz+anapara) ne olur? Çözüm F =P(1+i) n =200 000(1,20) 3 F = 200 000 (1,7280) F = 345 600 TL olur 10 NOT: Faiz tabloları kullanımı Hesaplama kolaylığı bakımından bileşik faiz tablolarından yararlanılır. Bunun için (F/P,i,n) yada ( F/P, %20, 3yıl) = 1,7280 bulunur. Tablodan yararlanmak için önce faiz oranına ait tablo seçilir i=%20, Aranan F, verilen P ise; F/P sütunundan n.ci satır yani n=3 için 3. satırdaki 1,7280 değeri alınır ve verilen P değeri ile çarpılarak aranan F değeri bulunur. 11 3.4.2 Tek ödemeli bugünkü değer faktörü Eğer fonun dönem sonu değeri F belli, fakat yatırılması gereken ana paranın dönem başı P değerinin tutarı soruluyor ise formül 3.4 kullanılır. 12 Örnek 3.4.2. 5 yıl sonra ekonomik ömrü dolacak bir makinenin yerine $ 200 000 tutarında otomatik bir makine almayı düşünen firma, finans kurumuna %15 nominal faiz ile makineyi almak için bugün ne kadar bir fon ayırıp yatırmalıdır? 3

3.4.2.1.Faiz oranının hesaplanması Örnek 3.4.2.1. 13 14 Bugün bir finans kuruluşundan $ 100 568 çekilen hesap için, firma 5 yıl önce $ 50 000 ı yatırmıştır. Uygulanan nominal faiz oranı nedir? 3.4.2.2. Periyodun (sürenin) bulunması Örnek 3.4.2.2. 15 Bileşik faiz sisteminde Fonun dönem sonu (gelecek) değeri (F ), ödenen dönem başı ana para (P ) ve faiz oranı (i ) bilinmesine rağmen, periyot (n ) istenebilir. Bunun için yine bileşik faiz formülü olan formül 3.3 ten yararlanırız. 16 506 250 000 TL olan bir fabrika binası, finans kurumundan satın alınabilmesi için firmanın, finans kurumuna %50 nominal faiz ile bugün 100 000 000 TL yatırıp, bu fonun fabrika binasının satın alma değerine ulaşıncaya kadar beklemesi istenmektedir. Firma kaç yıl sonra bu fabrika binasını satın alabilir? 4

3.4.3 Eşit ödemeli bileşik miktar faktörü Formül çıkarımı 17 Eşit sürelerde, sabit tutarlarda ki ödemelerin, aynı faiz oranıyla oluşturduğu (anuite) serilerde, fonun gelecek değeri (F) yada serinin dönem başı değeri (P) sorulabilir. Formülü oluşturmak için diyagramda önce A ödemelerini ve P ile F nin yerlerini görelim. Buna göre formülü oluşturmamızda yine bileşik faiz formülü kullanılacaktır. Ancak bu kez her bir A ödemesi P gibi kabul edilecektir. 18 Örnek 3.4.3. 3.4.4. Eşit ödemeli batık fon faktörü 19 Firma Kamyonunu bir nakliye firmasına yıllık 10 000 karşılığı 7 yıllığına kiraya vermiş ve yıllık %10 nominal faizle anlaştığı bir banka hesabına kirayı yatırmasını istemiştir. Firmanın sözleşmenin sona erdiği tarihte, bankadaki biriken kira hesabını tek defada çekeceğine göre hesaptaki fonun gelecek değeri ne kadar olur? 20 Hedeflenen bir Fon gelecek değerine ulaşabilmek için düzgün seride ödenecek anuite fon tutarlarını hesaplamak için kullanılacak formül 3.8 in tersi gibi düşünülür. 5

Örnek 3.4.4. 3.4.5.Düzgün serinin (Anuitelerin) dönem başı değeri 21 Bir firma 6 yıl sonra ekonomik ömrü sona eren bir makinenin yerine $ 500 000 tutarında yeni otomatik bir makineyi satın almayı düşünmektedir. Yıllık %8 faiz oranına göre her yıl ne kadar bir fonu bankadaki hesaba yatırmalıdır? 22 Düzgün seride yapılan ödemelerin belli faiz oranı ve periyoduna göre dönem başı P değerleri hesaplanmak istenebilir. Bunun için Formül 3.3 Örnek 3.4.5. 3.4.6.Anapara geri ödeme faktörü 23 İşgücünden tasarruf sağlayan $ 200 000 değerindeki bir makinenin satın alınması düşünülüyor. 15 yıl süre ile her yıl 18 000 $/yıl tasarruf söz konusu olduğuna göre yıllık %8 faiz oranı dikkate alınarak, bu makine bu fiyata satın alınmalı mıdır? 24 Düzgün ödeme serilerinde, belli olan dönembaşı fonun ve anuite tutarlarının bulunması için yapılan bir hesaplamadır. Formül 3.10 un tersi gibi düşünülür. 6

25 Örnek 3.4.6. 30 000 a firmaya alınması düşünülen bir otomobilin %20 si peşin, bakiyesi 20 ay eşit taksitle ödenecektir. Aylık efektif faiz oranı %1 olduğuna göre aylık ödemeleri belirleyiniz? Mühendislik Ekonomisi (A) DÜZGÜN SERİ VE (G) SABİT ARTAN VE AZALAN NAKİT AKıŞLARı SERİSİ HESAPLARI 5. Hafta Yrd. Doç. Dr. Ferhat Güngör 3.4.7.Dönem başı, ortası ve sonunda düzgün serilerin hesabı Örnek 3.4.7.1. 27 Eğer nakit akımları serisinde, dönemin başlangıcı, ortası ve sonuna göre düzgün seri olan başka nakit akışları (giriş/çıkış) varsa bu düzgün (j ) serilerde j-n dönemi için (j<n olmak üzere) A, F ve P değerlerinin hesaplanması isteniyorsa böyle para hareketlerinde kullanmamız gereken bir durumdur. Anuite hesaplarında, P ve F bir periyot önden yada bir periyot sondan olan zamana göre hesaplanır. Örneğin; 8.ve10.ayı kapsayan 3 aylık anuite hesabında P için 7.ay, F için 11.nci aya göre hesaplama yapılır. 28 Bir firma tam otomasyona geçtikten sonra her yıl eşit olarak 15 000 $/yıl ödemek suretiyle, mevcut işçilerin kıdem tazminatını vermeyi ve işten çıkarmayı, 7 yılda da çıkarmaları tamamlamayı planlamaktadır. 5 yıl sonra uygulanmaya başlanacak bu plan ile bir finans kurumuyla yıllık %15 nominal faiz ile anlaşan ve 5 yıl sonra her yıl 15 000 $/yıl işçilere kıdem tazminatının ödenebilmesi için, firma başlangıç yılı yani dönem başında finans kurumuna ne kadar bir para yatırmalıdır. 7

Çözüm 3.4.7.1 Örnek 3.4.7.2. 29 Çözümü iki aşamalı olarak düşünmeliyiz, birinci aşamada son 7 yıllık dönemde düzgün serinin oluşturduğu dönembaşı (P A5 ) değeri, daha sonraki aşamada P A5 i, F 5 kabul edip beş yıl ödemesiz döneme ait dönem başı yani bugün yatırılması gereken tutar olan P hesaplanmalıdır. 30 Bir firma, CNC işleme merkezi almak için piyasa araştırması yapmıştır. Teknik özellikleri aynı olan tezgâhlardan ekonomik olanı için alım kararı verecektir. Satıcı durumunda olan alfa (α) ve beta (β) firmalarının aylık %1 efektif faiz oranına göre teklifleri şu şekildedir; Alfa firması: Tezgâh bedelini vergiler dâhil 80 000 $ peşin, ay sonlarında eğitim için 15 000 $/ay olmak üzere ilk 3 ay teknisyenlere eğitim ve 13. ay başında 2.yıl bakım-parça garantisi için 25 000 $, 25. ay başında 3.yıl bakım-parça garantisi için 45 000 $ fiyat teklifinde bulunmuştur. Beta firması: Tezgah bedeli ile, 3 yıllık bakım ve parça garantisi olarak vergiler dahil 50 000 $ peşin, 18.ay sonu 60 000 $ ile 36.ay sonu 60 000 $, teknisyenlere eğitimi ise satıştan sonraki 6.,7. ve 8.nci ay başlarında, aylık 12 000 $/ay olarak ödeme yapmasını teklif etmiştir. Problemin şematik gösterimi Çözüm 3.4.7.2. 31 32 Önce her firma teklifinin nakit akışına göre dönembaşı ödeme değerleri hesaplanır 1.aşamada; Alfa firması dönembaşı değer analizinde, önce düzgün seri hesaplanır; 8

Çözüm 3.4.7.2. (devam1) Çözüm 3.4.7.2. (devam2) 33 34 3.5. Sabit artan ve azalan nakit akışları (gradient) serisinde(g), Dönem başı (P), Dönem sonu (F), düzgün seri (A) değerlerinin bulunması 3.5.1 G verildiğinde, P nin bulunması 35 Her dönem karşılanan gider yada gelirlerde, sabit artan ve azalan nakit akışları seri olarak mevcut ise bu seriye sabit artan ve azalan nakit akışları serisi (G) denir. Her dönem G kadar artan ve azalan seri olma özelliği taşımalıdır. Örneğin bu yıl 1 000 TL olan bir makinenin bakım gideri, 2.nci yıl 2 000TL, 3.ncü yıl 3 000 TL... olmak üzere her yıl G= 1 000 TL artan bir seri yada benzer azalan bir seri oluşturuyorsa kullanılacak bir hesaplamadır. 36 Bu durumlarda kullanmamız gereken formül şu şekildedir. Örnek 3.5.1. Yeni alınan 5 adet bilgisayarın servis sözleşmesinde ilk yıl sonunda tamir ve bakım gideri 5 000 $ dır. Bu tutar her yıl 1 000 $ arttırılarak 5 yıllık sözleşme imzalanmıştır. Bu parayı firma buraya ödememiş olsaydı bankada yıllık %20 faiz oranı ile değerlendirecekti. Sözleşmedeki nakit akışının dönembaşı değeri nedir? 9

37 Çözüm 3.5.1 Burada iki seri vardır. Birincisi her yıl ödenen 5 000 $ bu düzgün seridir ve 5 yıl süresince ödenir. İkinci seri ise ikinci yıldan başlayıp her yıl 1 000 $ artış gösteren giderlerdir. Birincisi A ile, ikincisi ise G ile gösterilir. Her ikisinde de bugünkü değer P hesaplanacağına göre; P = P A + P G olmalıdır. 38 3.5.2. G verildiğinde, F nin bulunması Verilen G serilerinin, dönem sonu (gelecekteki) değeri olan F istendiğinde kullanılacak formül 3.13 tür, tablodan bulmak için ise F = G (F/G, %i, n) olarak bulunur. Örnek 3.5.2 5 yıl teknik ömrü olan ve yeni alınan 5 adet bilgisayarın servis sözleşmesinde ilk yıl sonunda tamir ve bakım gideri 5 000 $ dır. Bu tutar her yıl 1 000 $ arttırılarak 5 yıllık sözleşme imzalanmıştır. Bu parayı firma buraya ödememiş olsaydı bankada yıllık %20 faiz oranı ile değerlendirecekti. Sözleşmedeki nakit akışının dönem sonu (gelecekteki) değeri nedir? 39 Çözüm 3.5.2. 40 3.5.2. Probleminde A ve G değerleri verildiği zaman F değerleri aşağıdaki formüller yardımıyla kolayca bulunabilir. Örnek 3.5.1. sorusunun gelecek değer hesabı sorulmuş. Bu kez formül 3.13 ü kullanmış olacağız. i. Bu çözümde daha önceki problemde bulduğumuz P değerinin F değerini hesaplayarak bulabiliriz; P = 14 955 + 4 906 = 19 861 $ olarak hesaplanmıştır. Formül 3.3 kullanılarak F = P (1+i) n hesaplanır veya tablodan (F/P, %20, 5 yıl) = 2,4883 F = 19 861 (2,4883) = 49 420,13 $ olarak hesaplanır. ii. Önce A serisinin F 1 değeri ve sonra G serisinin F 2 değeri bulunup, F ler toplanarak hesaplanabilir. F = F 1 + F 2 iii. 10

3.5.3. G verildiği zaman A nın bulunması Örnek ve çözümü 3.5.3.1. 41 Aritmetik olarak artan bir nakit akım (G) serisinde, bunun yerini alan düzgün seri değeri olan (A) aranabilir. Bu durumda yine Formül 3.14 ten yararlanılarak formül 3.18 oluşturulur. 42 Örnek 3.5.3.2 Çözüm 3.5.3.2. 43 Talaşlı imalat atölyesinde üretilen bir ürünün hata maliyeti ilk yıl $12 000 dır. Kalite iyileştirme çalışmaları sonunda devreye sokulan bir proje ile her yıl hata maliyetleri $1 200 azalacaktır. Projenin ömrü 6 yıl ve işletmenin kabul ettiği fon maliyetinin faiz oranı yıllık %25 tir. Proje sonunda hata maliyetlerinde kabul edilecek düzgün seri (A) değeri nedir? 44 11

3.6.Nakit akımları geometrik olarak artar yada azalırsa, bu serinin gelecek değerinin hesaplanması 45 46 Bazı mühendislik ekonomisine ait problemlerde, nakit akımları geometrik olarak bir % k oranla artar veya azalır. Böyle serilerde, F, P, A, G değerleri istenebilir. Bunun için şu formüller kullanılmalıdır. 3.6.Nakit akımları geometrik olarak artar yada azalırsa, bu serinin gelecek değerinin hesaplanması iii. iv. v. Örnek 3.6. Çözüm 3.6. 47 Bir firma, geliştirdiği yazılım programıyla müşteri beklemelerini azaltarak birinci yıl 50 000 TL tasarruf etmiştir. Bu tasarrufun 4 yıl devam edeceği ve tasarruf artış oranının her yıl k= %30 olacağı, İşletme fon maliyetinin yıllık i=% 50 olması durumunda; a) Programın gelecekteki değeri (F), dönem başı değeri (P) ve düzgün seri olarak hesaplanması durumunda (A) değeri nedir? b) Artan bu tasarruf sisteminde, A değerleri dönem (periyot) başı yatırılıyorsa (F) değeri nedir? c) Tasarruf ve işletme fon maliyet oranı birbirine eşit ve %50 ise (F) ne olur? d) Tersi bir durumda, tasarruf her yıl %30 azalırsa (F) ne olur hesaplayınız? 48 12

3.7. Enflasyon ortamında reel (gerçek) faizin bulunması Örnek ve Çözümü 3.7 49 50 Firma geçen yıl fonlarını devlet tahvillerinde değerlendirmiştir. Devlet tahvillerine uygulanan yıllık faiz oranı %18, yıllık enflasyon ise %10 açıklandığına göre, fon gelirlerinde ki reel (gerçek) faiz oranı nedir? TABLO: Nominal, enflasyon ve reel faizin karşılaştırılması i N % 10 20 40 50 100 i E % 5 10 30 40 80 i R % 4,76 9,09 7,69 7,14 11,11 Mühendislik Ekonomisi PARANIN ZAMAN DEĞERİ, FAİZ ÇEŞİTLERİ ÖRNEK PROBLEMLER VE ÇÖZÜMLERİ 52 3.8.Nominal ve reel faiz oranları ilişkisi(26.03) Bir yıldan kısa süren projelerde ve bu kısa (günlük, haftalık, aylık, 3 er aylık vb) dönemlere uygulanan faiz oranı karşımıza iki değişik faiz oranını çıkarır. Reel faiz (i R ) ve nominal faiz (i N ), bir yıl içinde elde edilen bu faiz gelirini sağlayan orana reel faiz, reel faize temel teşkil eden ve görünürde yer alan faiz oranına da nominal faiz oranı denir. Nominal faiz yıllık olduğu için daima reel faizden ( i R > i N ) küçüktür. Reel faiz bileşik faiz olarak düşünülmelidir. Örneğin aldığımız altı aylık bir tahvilin faiz oranı %35 ise Nominal faiz i N = %35 x 2 = %70 (bir yılda 6 ay m= =2 ödeme dönemi içerir), aynı işlemi bileşik faiz olarak hesaplarsak i R = %82,25 olacaktır. %82,25 > %70 olduğu görülür. Eğer faiz ödeme dönemi (m) ile gösterilirse, nominal ve reel faiz oranları arasında şu eşitlik yazılabilir; 6. Hafta Yrd. Doç. Dr. Ferhat Güngör 13

Tahvil hesabı Örneği 3.8.1 Çözüm 3.8.1 53 54 Bir otomobil fabrikası, yeni binasının inşa projesi için yıllık %24 faizli ve her 3 ayda bir faiz ödemeli olarak 3 yıl için belli miktarda tahvil ihraç etmiştir. a. Şirketin bu tahvillere ödediği 1 yıllık gerçek reel faiz oranı nedir? b. Eğer %24 devamlı bileşik faiz olsaydı (yıl sonu ödemeli) 1 yıllık reel faiz ne olacaktı? c. Bu tahvillerin reel faizi verilirse, yıllık nominal faiz oranı nedir? Faiz hesabı Örneği 3.8.2 3.8.a.Faiz çeşitleri ile ilgili örnekler 55 56 Otomobil yedek parçası üreten bir firma, aylık %2 vade farkıyla ürünlerini fabrikaya satacaktır. i. Yıllık uygulanan vade farkı ne kadar olacaktır? ii. 4 aylık vade farkı ne olur? Çözüm 3.8.2 Örnek 3.8.3: Bir Banka kredi kartları için aylık %4,25 faiz uygulamaktadır. Bu faizin yıllık nominal ve reel faizi nedir? Çözüm 3.8.3: Nominal faiz İ N =İ m xm = 0,0425x12=%51 dir Reel faizi İ R =(1+İ M ) M -1=(1+0,0425) 12-1=%64,78 14

57 Örnek 3.8.4 Bir bankanın uygulamış olduğu yıllık %24 faizin aylık nominal ve reel faizi nedir? Çözüm 3.8.4: Aylık Nominal faiz İ Nay = =, =%2 dir. Aylık Reel faiz İ R = 1 + i 1 = 1 + 0,24 1 = 0,018088 = %1,81 dir. 58 Faiz uygulamaları örnekleri Örnek 3.8.5: Bir firma bankadan almış olduğu 200 000 TL tutarında %28 faizli,10 yıl vadeli yatırım kredisi için banka yıllık, 6 aylık (m=2), 3 aylık (m=4), aylık (m=12), haftalık (m=52), günlük (m=365) ve devamlı bileşik faiz uygularsa şirketin borçları ne olur? Çözüm 3.8.5: F yıl =P(1+i) n = 200000(1,28) 10 =200000*11,80592= 2 361 184 TL F 6ay =P(1+ )mn =200000(1+, )2x10 =200000*13,74349= 2 748 698TL F 3ay =P(1+ )mn = 200000(1+, )4x10= 200000*14,97446= 2 994 892TL Çözüm 3.8.5: (Devam) Kırık faiz hesabı 59 F ay =P(1+ )mn = 200000(1+, )12x10= 200000*15,92409=3 184 817 TL F hafta =P(1+ )mn = 200000(1+, )52x10= 200000*16,32159=3 264 317 TL F gün =P(1+ )mn = 200000(1+, )365x10 = 200000*16,427= 3 285 401 TL F=P e bn = 200000.e 0,28x10 = 200000*2,71828 2,8 = 200000*16,44462 = 3 288 923 TL sürekli (devamlı) bileşik faiz olarak hesaplanır 60 Örnek 3.8.6: Nakit darlığı yaşayan firma, bir bankadan 90 gün vadeli %32 faizli 80 000 TL lik işletme kredisi almıştır. Vade sonunda ödeyeceği borç tutarı nedir? Çözüm 3.8.6: F=P(1+i ) = 80000(1+0,32 ) = 86 400 TL 15

61 Kırık faiz Örneği 3.8.7: Bir firma 150 günlük %38 faizle bankadan kredi alarak 86 875 TL ödeyerek borcunu kapamıştır. Aldığı kredi tutarı nedir? Çözüm 3.8.7: P= ( ) = almıştır. (, = = 75 000 TL ), 62 Tahvil fiyatı örneği 3.8.8: 1000 TL nominal değerli 270 gün vadeli %16 faizli devlet tahvillerinden 2.nci pazardan almak isteyen firma, Tahvillerin vadesine 150 gün kaldığını öğrenmiştir. Bu tahvilleri kaç lira ve altında almalıdır? Çözüm 3.8.8: P= = () / (,) / =, ve altında bir fiyata almalıdır. =920,85 TL 63 Enflasyon ve faiz örneği 3.8.9 Ülkede enflasyon %9,8 dir, firma %10 reel faiz kazanmak istemektedir. Elindeki parayı hangi oranda getiri sağlansın ki reel olarak %10 gelir elde etsin? Çözüm 3.8.9: i=(1+i R )(1+i E )-1 = (1+0,10)(1+0,098)-1 = 1,2078-1= %20,78 getiri sağlayan seçeneğe yatırmalıdır. 64 Gelir ve enflasyon örneği 3.8.10: Firmanın geçen yıl gelirleri % 34 artmıştır. O yılın enflasyon oranı % 9,8 olarak açıklandığına göre firmanın reel getiri oranı nedir? Çözüm 3.8.10: i=(1+i R )(1+i E )-1 0,34 = (1+i R )(1+0,098)-1 =,, = (1+i R ) i R = 1,220401-1= %22,04 tür. 16

65 Döviz-TL tercihi örneği 3.8.11: Bankalarda yıllık TL faiz oranları %32 ve döviz faiz oranları %6,5 tur. Ortalama döviz fiyatlarında %15 lik bir yükseliş beklenmektedir. Hangi para cinsi ile firmanın kredi kullanması uygundur? Çözüm 3.8.11: i=(1+i D )(1+i E )-1 = (1+0,065)(1+0,15)-1 = %22,48 %22,48<%32 olduğundan TL kredi faizi pahalıdır, o yıl için döviz kredisi kullanılması tavsiye edilir. 66 Döviz-TL kredi seçim örneği Örnek 3.8.12: Döviz faiz oranları %6,5, TL kredi faiz oranları ise %32 olduğu bilinmektedir. Döviz fiyatlarında ne kadarlık bir yükselme, iki tercih arasında kararsız kalınmasına neden olur? Çözüm 3.8.12: i=(1+i D )(1+i E )-1 0,32=(1+0,065)(1+i E )-1, = (1+i, E) durumu eşitler. i E = %23,94 %24 yükselirse 67 Enflasyon-Döviz hesabı 68 3.9.Geometrik Artımlı-Azalımlı Serilerde Dönem başı değerinin hesabı Örnek 3.8.13: Enflasyon oranının %11 ve döviz faiz oranlarının %6,5 olması durumunda hangi faiz oranına kadar TL cinsinden kredi almak istersiniz? Çözüm 3.8.13: i=(1+i D )(1+i E )-1 i= (1,065)(1,11)-1 = %18,22 %18,22 oranına kadar TL ile borçlanılır. Bunun üzerinde Döviz ile borçlanmak doğru olur. i k P = A () () N=n i = k P = 17

Peşin alım Örneği 3.9.1 Çözüm 3.9.1 69 Bir Çin firmasının satış mümessili, yıl sonlarında bir kez uçakla Çin e gidip, gelmektedir. Uçak biletlerinin önümüzdeki 4 yıl boyunca her yıl %8 oranında artması beklenmektedir. Birinci yılın sonunda ortalama uçak bileti fiyatı 1800 TL dir. Satış mümessili, önümüzdeki 4 yıl boyunca her yıl sonunda yapacağı seyahatin masrafını karşılayabilmesi için bugün bankaya ne kadar bir fon yatırması gerekir? (i = %6) 70 i k P = A () () P = 1800 (,) (,),, i = k P = =1800,, P = 1800 *3,881734 =6 987,12 TL Geometrik artım formülünü kullanmadan çözüm 3.9.2 (Sağlama) 71 Yıl Bilet fiyatı (TL) 1 P 1 = = 1800 2 P 2 = 1800+ 8%(1800) = 1944 3 P 3 = 1944 + 8% (1944) = 2099,52 4 P 4 = 2099,5 + 8% (2099,5) = 2267,48 ΣP = 1800(1.06) -1 + 1944(1.06) -2 + 2099,52(1.06) -3 + 2267,48(1.06) -4 ΣP = 1698,11+ 1730,15+ 1762,80+ 1796,06 =6987,12 TL 72 Tasarruf Örneği 3.9.3 Yeni mezun mühendis yıllık 36,000 TL maaş ile işe başlayacaktır. Mühendis her yıl maaşının %10 unu emeklilik hesabına yatırmak istemektedir. Önümüzdeki 35 yıllık iş hayatı boyunca her yıl %6 oranında ortalama maaş artışı beklediğine göre bankanın nominal faiz oranının %8 olduğu durumda mühendis emekli olduğunda hesabında ne kadar para biriktirir? 18

Çözüm 3.9.3 Tasarruf Örneği 3.9.4 73 Formül 3,19 dan yararlanılır A= 36 000 TLx%10 = 3 600 TL i=%8 k=%6 n=35 yıl F= 1 277 866 TL 74 BES e (Bireysel Emeklilik Sigortası) girmek isteyen birinin hedefi 25 yılın sonunda hesapta 750,000 TL para olmasıdır. Bir Sigorta Şirketi 25 yıl boyunca % 8 yıllık faiz oranı ile sigortalanmasını teklif etmektedir. Para yatırma işlemi birinci yılın sonunda başlayacak ve her yıl yatırılan para miktarı % 5 oranında artırılacaktır. İlk yılda yatırılan para ne olmalıdır? Çözüm 3.9.4 Tasarruf Örneği 3.9.5 75 F = 750,000 TL n = 25 yıl i = %8 k = %5 A =? F = P (1+i) n F= A () () Formül 3.19 dan i k için P = A 1 (1 + k) 1 + i i k. (1+i) n olur, buradan; 750 000= A* 115,40 A= 6 498,91 TL/yıl olduğuna göre 76 Günde 10 TL lik sigara içen bir kimse, sigara fiyatlarının yıllık %20 arttığı varsayımıyla nominal faizin %8 olduğu bir dönemde kaç yıl sonra 150 000 TL. lık bir köy evi alabilir? Çözüm 3.9.5 n: gün sayısı, i: günlük faiz (0,08/360=0,000222) k=günlük fiyat artış oranı (0,2/360=0,000555) 149990= (,) (,) 49,9967=(1,000555) -(1,000222), Log(49,9967)=n.log(1,000555)-n.log(1,000222) 1,69894 = n. (0,0002412-0,0000965) n =, = 11740,43 gün, 391,3 ay = 32,6 yıl sonra alabilir. 19

Rapor için Örnek 3.9.6: Çözüm 3.9.6: 77 Firmada, uygulanması düşünülen su, elektrik ve cep telefonu kullanımı ile ilgili tasarruf planı hazırlayan teknik işler sorumlusu mühendis; 10 kişinin telefonundan toplam günde 30 TL tasarrufa gidileceğini saptamıştır. Telefon konuşma ücretlerinin yıllık ortalama %6 arttığı ve banka nominal faiz oranlarının ortalama %9 olduğu 10 yıllık dönem sonunda, sadece cep telefonu tasarrufundan firmanın kazancının ne olacağını raporuna yazmak için hesaplama yapacaktır. Sonuç kısmına Telefon tasarrufu için ne yazmalıdır? 78 Formül 3.19 dan; k=%6 i=%9 n=10 yıl A=30TL/gün*25 gün/ay*12 ay/yıl =9 000 TL/yıl Rapora yazması gereken günlük 30 TL den 10 yıllık cep telefonu tasarruf tutarı F= 172 954,8 TL/yıl Banka taksiti Örneği 3.9.7 Gider azaltma Örneği 3.9.8: 79 Firma, yatırım için bankadan 150 000TL alarak, 4 yılda aylık taksitler halinde ödeyecektir. Yıllık faiz oranı %28 olduğuna göre, aylık taksitlerin tutarı ne olur? Çözüm 3.9.7: İ R = 1 + i 1 İ ay = 1 + 0,28 1 = %2,08 80 Firmanın genel giderleri yıllık 600 000 TL dir ve her yıl %6 oranında azaltılacaktır. Firmanın sermaye maliyeti yıllık ortalama %22 dir. Bu giderlerin 5.nci yıldaki erişeceği değer nedir? Çözüm 3.9.8: A =P.(),.(,) = 150 000 () (,) = 150000*0,03312 = 4968 TL/ay 20