YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr, tahmdr. Bu yüzde gerçek değerler ç yer ölçüler hesaplamalıdır.
) Artmetk Ortalama YER ÖLÇÜLERİ E bast yer ölçüsüdür. sayıdak gözlem değer artmetk ortalaması, bu gözlem değerler toplamıı toplam gözlem sayısıa bölümes le bulua değerdr. değşke artmetk ortalaması le, Y değşke artmetk ortalaması le gösterlr. x x... x Y Artmetk ortalamaı brm, gözlem değerler brm le ayıdır.
YER ÖLÇÜLERİ Artmetk Ortalamaı Özellkler.Gözlemler artmetk ortalamada farklarıı toplamı sıfıra eşttr. İSPAT Hatırlatma 0 x 0 se,
YER ÖLÇÜLERİ Artmetk Ortalamaı Özellkler.Gözlemler artmetk ortalamada sapmalarıı kareler toplamı mmumdur. mmum veya A
YER ÖLÇÜLERİ Artmetk Ortalamaı Özellkler 3.Gözlem değerlerde A gb sabt br sayı çıkartılıp ye değşkee at gözlem değerler elde edlse, ye değşke ortalaması esk değşke ortalamasıda çıkartıla sayı kadar azalır. Y A se, Y A olur
YER ÖLÇÜLERİ Artmetk Ortalamaı Özellkler 4.Gözlem değerlerde A gb sabt br sayı eklep ye değşkee at gözlem değerler elde edlse, ye değşke ortalaması esk değşke ortalamasıda eklee sayı kadar artar. Y A se, Y A olur
YER ÖLÇÜLERİ ) Medya (Ortaca Değer) Küçükte büyüğe doğru sıralamış verlerde tam ortada yer ala değere medya der. Küçükte büyüğe doğru sıralamış verlerde, a) Tek sayıdak gözlem değer ç medya,. gözlem değer b) Çft sayıdak gözlem değer ç medya, ( ) (( ) ). gözlem değerdr.
Medyaı Hesaplaması Gözlem sayısı tek Ham Ver: 4..6.5 3.7.6 Sıralamış:.5.6.6 3.7 4. Pozsyo: 3 4 5 Pozsyo Noktası Medya. 6 5 3. 0
Medyaı Hesaplaması Gözlem sayısı çft Ham Ver: 0.3 4.9 8.9.7 6.3 7.7 Sıralamış: 4.9 6.3 7.7 8.9 0.3.7 Pozsyo: 3 4 5 6 Pozsyo Noktası 6 3. 5 Medya 7. 7 8. 9 8. 30
Medyaı özellkler a) Medya, aşırı değerlerde etklemez. Gözlem değerler çersde aşırı değerler varsa artmetk ortalama buda etkler. Aşırı uç değerler, artmetk ortalamayı yukarı veya aşağı çeker. Bu da artmetk ortalamaı matık dışı br değerde çıkmasıa ede olur. Bu yüzde gözlem değerler çersde aşırı uç değer varsa medya artmetk ortalamaya terch edlmeldr. Medya Ver set-: 4.9 6.3 7.7 8.9 0.3.7 Ver set-: 4.9 6.3 7.7 8.9 0.3 70 Sıra 3 4 5 6 7. 7 8. 9 8. 30 49.8 8.3 6 08. 0.35 6
b) Br veya k ucu açık frekas tablolarıda medya hesaplaablr. Bu tp tablolarda artmetk ortalama hesaplamak mkasızdır. c) Zamaa bağlı çalışmalarda bütü gözlem souçlarıı alımasıı zor olduğu çalışmalarda gözlemler yarısıı elde edldğde medya kullaılablr. d) Medya aaltk özellğe sahp değldr. e) Medyaı stadart sapması ortalamada daha büyüktür. f) Büyük ver setlerde medyaı hesaplaması zordur.
3) Mod (Tepe Değer) Br gözlem grubuda e çok tekrarlaa değere mod (tepe değer) der. Örek: a) 3,, 4,, 6,, 4,,, 3,, 7 se, Mod= dr. b) 3,, 4,, 6,, 4,, 4, 7, 8 se, Mod = Mod = 4 c) 4, 6,,, 5, 8, 7, 9 se, Çükü tüm değerler sadece kez tekrarlamıştır.
YER ÖLÇÜLERİ Verle örekte; 49.75 Med 46. Mod 44.5 olarak hesaplamıştı. Bua göre dağılış sağa çarpık br dağılıştır. Bu durum, Şekl 3. de de görülmektedr.
4) Tartılı Ortalama YER ÖLÇÜLERİ Her değer ortalamaya katkısı eşt derecede olmayablr. Eğer bu durumda artmetk ortalama kullaılırsa yaıltıcı olur. Tartılı ortalamaı brm gözlem değerler brm olup, aşağıdak formülde hesaplaır. t k j t k j j. t j j
Tartılı Ortalama YER ÖLÇÜLERİ Örek: Br öğrec br döemde aldığı dersler, dersler kreds ve bu derslerde geçme otları aşağıda verlmştr. Bua göre öğrec ot ortalamasıı buluuz? Dersler Kreds(t j ) Notlar ( j ) t j. j A 60 0 B 3 75 5 C 90 90 D 4 65 60 E 5 95 475 t k j t k j j. t j j 70 5 78 5 70
5) Geometrk Ortalama YER ÖLÇÜLERİ Geometrk ortalama, herhag br öreğ meydaa getre gözlem değer çarpımlarıı toplam gözlem sayısıı. derecede kökü le hesaplaır. Bua göre geometrk ortalama; GO x. x... x Bu formülde az sayıdak gözlemler geometrk ortalaması hesaplaablr. Acak çok fazla sayıda gözlem değer olduğuda bu formülle hesaplama yapmak zor olduğu ç aşağıdak formülde yararlaılır. log GO log x. x... x geel olarak; log GO log şeklde de yazılablr
Geometrk Ortalama Örek: 3, 5, 6,, 7 sayılarıı geometrk ortalamasıı buluuz. veya, 5 5 GO 3.5.6..7 60 4.694 log GO (log3... log GO 0.60074 log7) /5 Bu değer atlogartması alıdığı zama geometrk ortalama hesaplaır. Bua göre, GO = 4.694 olarak hesaplaır.
YER ÖLÇÜLERİ Geometrk ortalama, eşt zama aralığı le değşe oraları ortalamasıı hesaplamasıda kullaılır. Öreğ bakter üremes, üfus artışı, faz gb geometrk dz le arta olayları ortalama artış hızlarıı hesaplamasıda kullaılır. Bleşk faz formülüyle, geometrk artış yaklaşımı kullaılarak brm zamadak artış hızı: P P ( r) Eştlkte; : Yıl sayısıı, P :. yıl soudak ye kaptal, P 0 : Kaptal mktarıı, r : Artış hızıı göstermektedr. 0
Geometrk Ortalama YER ÖLÇÜLERİ
Geometrk Ortalamaı Özellkler ) Gözlem değerler çersde 0 veya egatf br değer olduğu zama geometrk ortalama hesaplaamaz. Çükü sıfır ve egatf br değer karekökü ve logartması alıamaz. ) Br öreğ oluştura gözlemler geometrk ortalaması, gözlemler logartmalarıı artmetk ortalamasıı atlogartması dır. 3) Gözlemler arasıdak değşmler ayı oralarda veya ayı mktarda olursa buluacak ortalama geometrk ortalamadır. 4) Geometrk ortalamaı. kuvvet alıdığı zama termler çarpımıı verr. 5) Artmetk ortalamada özellğe karşılık geometrk ortalamada, lşks vardır. 0 ( x / GO)( x / GO)...( x / GO)
6) Harmok Ortalama Ora şeklde hesaplaa verlerde (d/t) pay(d) sabt, payda(t) değşke se oraları ortalaması harmok ortalama le hesaplaır. Yol/Zama fadesde yol sabt, zama değşkedr. Ye para/mal öreğde eğer para sabt, mal değşke se harmok ortalama hesaplaır. Harmok ortalama aşağıdak formül yardımı le hesaplaır. HO x HO (/ ) x... x veya Eştlkte; HO : Harmok ortalamayı, : Toplam gözlem sayısıı, : değşkee at. gözlem değer göstermektedr.
Örek: Br sürücü 00 km lk yolu saatte gtmş, 4 saatte dömüştür. Bu yolculuğu ortalama hızıı (km/h) hesaplayıız? Burada yol sabt yol sabt, zama değşkedr. Dolayısıyla harmok ortalama hesaplaması gerekr. HO (/ ) HO 00 50 66.67
Harmok Ortalamaı Özellkler ) Br öreğe at gözlemlerde br sıfır olduğu zama, harmok ortalama hesaplaamaz. Çükü souç taımsızdır. ) Gözlemlerde br veya brkaçı ters şaretl se harmok ortalama alamsız souç verr. Bu gb durumlarda da harmok ortalama hesaplaamaz.
Artmetk, Geometrk ve Harmok Ortalama Arasıdak İlşk sayıdak poztf sayıı geometrk ortalaması, artmetk ortalamada küçük veya eşt fakat, harmok ortalamada büyük veya eşttr. Bua göre bu üç ortalama arasıda H. O G. O şeklde br bağıtı vardır. Örek: 3,,6, değerler 4 4 GO 3..6. 36.449 HO 3 4... 3 6 4 3 olup, aralarıda.449 vardır. 3 şeklde br lşk