13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik polinomu denir. karakteristik matrisi. 2.Tanım: A matrisin karakteristik polinomunun sıfıra eşitlemekle elde edilen denklemine karakteristik denklemi denir. 3.Tanım: A matrisin karakteristik denkleminin köklerine A matrisin karakteristik kökleri veya özdeğerleri denir. 4.Tanım: A matrisin karakteristik köküne karşılık gelen denklemin aşikar olmayan çözüm vektörüne vektörü veya değişmez vektörü denir. 1.Ö.: karakteristik köküne karşılık gelen öz natrisinin karakterisrik köklerini ve her bir köke karşılık gelen değişmez uzayı bulunuz. Ç.: A matrisinin karaktetistik köklerini bulmak için önce polinomonu elde edelim. karakteristik olup karakteristik kökleri Şimdi A matrisinin değişmez uzaylarını bulalım. karakteristik köklerine karşılık gelen lineer denklem sisteminin genel çözümü 1
olur. Yani, {}. lineer denklem sisteminin genel çözümü olur. Yani, {}. lineer denklem sisteminin genel çözümü olur. Yani, {}. 13.2 Temel teoremler 1.Teorem: (Cayley-Hamilton) Her kare matrisi karakteristik denklemin köküdür. İspat: A bir kare matris ve bu matrisin karakteristik polinomu olsun. karakteristik matrisinin adjointini ile gösterelim. matrisinin elemanları matrisinin kofaktörü olduğundan parametrisinin ençok (n-1). dereceden polinomlardır. Bu durumda değişkeni ihtiva etmeyen n-kare matrisler olmak üzere yazabiliriz. Böylece adjoint matris hakkındaki temel teoremden, eşitliğine sahip oluruz. Eşitlğin her iki tarafını açıp, bir matris polinomu olarak düzenledikten sonra aynı dereceden parametrelerinin katsayılarını eşitlediğimiz zaman matris denklemlerinden ibaret 2
{ sistemini elde ederiz. Bu sistemdeki denklemleri, sırasıyla, çarptıktan sonra topladığımızda ile matris denklemini elde ederiz. Yani, denklemine ulaşırız. Demek ki keyfi aldığımız A matrisi, kendi karakteristik denklemini sağlamaktadır. Bu teorem singuler olmayan matrisin tersini bulmakta ve benzer işlemlerde oldukça kullanışlıdır. 2.Ö.: matrisin tersini Cayley-Hamilton Teoremini kullanarak bulunuz. Ç.: =3 olduğundan A matrisinin tersi mencuttur. A matrisinin karakteristik polinomu olup, C-H Teorem dolaysıyla matris denklemi geçerlidir. B denklemi ters matris ile çarpar ve sonucu düzenlersek, ters matrisini olarak elde ederiz. 2.Teorem: lar bir A matrisinin farklı karakteristik kökleri ve sırası ile vektörleri de bu köklere karşılık gelen özvektörler ise, bu durumda { } kümesi lineer bağımsızdır. İspat: Teoremi k ya göre tümevarım ile ispat edelim. k=1 için { } kümesi lineer bağımsız olduğundan teoremin geçerliği aşikardır. k>1 alalım. Bu durumda, lar skalar olmak üzere { } için, vektörlerinin (1) vektör denklemine A matrisini uygulayalım. Böylece, { } için, olduğunu da aklımızda tutarak, (2) elde ederiz. (1) eşitiğini çarpıp, (2) eşitliğinden çıkardığımızda elde ederiz. 3
Burada hipotezden dolayı { } için, ve olduğundan her bir terim sıfır yapılmakla ve dolaysıyla (1) eşitliğinde çıkar ki bu da { } kümesinin lineer bağımsız olması demektir. 3.Teorem: İspat: matrislerinin karakteristik kökleri aynıdır. matrislerinin asli minörleri aynı olduğundan teorem elde edilir. 4.Teorem: ler bir n-kare A matrisinin karakteristik kökleri ise bir skalar olmak üzere ler de matrisinin karakteristik kökleridir. İspat: ler n-kare A matrisinin karakteristik kökleri olduklarından, denklemi sağlanır. matrisinin karakteristik denklemi ise olduğundan şeklindedir. Böylece karakteristik denklemlerin karşılaşmasından olduğu anlaşılır. Böylece, denkleminden elde edilir ki buradan sonuçları okunur. 5.Teorem: bir skalar olmak üzere, ler n-kare A matrisinin karakteristik kökleri ise lar da matrisinin karakteristik kökleridir. İspat: ler n-kare A matrisinin karakteristik kökleri olduklarından denklemi sağlanır. matrisinin karakteristik denklemi ise şeklinde olup, böylece eşitliğine sahip oluruz. Buradan 4
denklemine ulaşılır. Artık eşitliğinden aradığımız sonucu elde edilir. 6.Teorem: ler n-kare A matrisinin karakteristik kökleri ise ler de matrisinin karakteristik kökleridir. İspat: n-kare A matrisinin bir karakteristik kökü ise o zaman eşitliğini sağlayan bir sıfır olmayan vektörü vardır. Böylece olacağından da matrisinin bir karakteristik köküdür. Şimdi, (3) karakteristik polinomunda yerine koymakla elde edilen (4) eşitliğini göz önüne alalım. (3) ve (4) eşitliklerini çarpıp, koyarak elde ederiz. Bu ise istenendir. 7.Teorem: Singuler olmayan A matrisinin bir karakteristik kökü ise o zaman da matrisinin bir karakteristik köküdür. İspat: singuler olmayan A matrisinin bir karakteristik kökü ve de bu köke karşılık gelen özvektör olsun. O zaman matris denklemini soldan ile çarparak elde ederiz. Burada ( ) olduğunu aklımızda tutarak eşitliği düzenlediğimizde eşitliğine sahip oluruz ki bu da nın gösterir. matrisinin bir karakteristi kökü olduğunu 3.Ö.: Bir A matrisin karakteristik köküne karşılık gelen özvektörü bir birim vektör ise, o zaman olduğunu gösteriniz. Ç.: A matrisinin bir karakteristik kökü, de karakteristik köküne karşılık gelen bir özvektör ve üstelik olsun. Bu durumda olduğunu aklımızda tutarak sonucuna kolayca ulaşırız. 5
4.Ö.: p-indeksli bir nilpotent matrisin karakteristik köklerinin sıfır olduğunu gösteriniz. Ç.: p-indeksli bir nilpotent matrisi ise olur. A matrisinin bir karakteristik kökü ise eşitliği geçerlidir. Bu eşitlik soldan A ile çarpıldığından elde edilir. Bu işlem p defa tekrarlandığı zaman bulunur. Burada kabulü dikkate alındığında elde edilir. Böylece, olduğundan ve dolaysıyla bulunur. 5.Ö.: İdempotent bir matrisin karakteristik köklerinin 0 veya 1 olduğunu gösteriniz. Ç.: idempotent matrisi ise olur. O zaman A matrisinin bir karakteristik kökü ise matris denklemi geçerlidir. Bu denklemi soldan A ile çarparak elde edilir. Böylece, olduğu hesaba katılarak bulunur. olduğundan elde edilir. Buradan veya olduğu anlaşılır. 6.Ö.: Bir köşegen matrisin karakteristik kökleri, matrisin köşegen elemanları ve bu köklere karşılık gelen özvektörlerin de, yani, standart ortonormal bazın vektörler olduğunu gösteriniz. Ç.: Bu durumda =0 olduğundan A matrisinin karakteristik kökleri, { } için, bulunur. Şimdi, - i. bileşen vektörünün görelim. karakteristik köküne karşılık gelen bir özvektör olduğunu 6
olmak üzere homojen sistemin çözüm vektörü bulunur. olduğundan istediğimiz alınır. 7
13.KONU: Ödevler 1. matrisinin karakterisrik köklerini ve her bir köke karşılık gelen değişmez uzayı bulunuz. 2. matrisinin karakterisrik köklerini ve her bir köke karşılık gelen değişmez uzayı bulunuz. 3. matrisinin karakterisrik köklerini bulunuz. 4. matrisin tersini Cayley-Hamilton Teoremini kullanarak bulunuz. 5. matrisin tersini Cayley-Hamilton Teoremini kullanarak bulunuz. 6. p-indeksli bir nilpotent matrisin karakteristik köklerinin sıfır olduğunu gösteriniz. 7. İdempotent bir matrisin karakteristik köklerinin 0 veya 1 olduğunu gösteriniz. 8. Bir A matrisin karakteristik köküne karşılık gelen özvektörü bir birim vektör ise, o zaman olduğunu gösteriniz. 9. A ve B, n-kare matrisler ve A singuler değilse ve matrislerinin aynı karakteristik köklerine sahip olduklarını gösteriniz. 10. A ve B, n-kare matrisler olmak üzere ve matrislerinin aynı karakteristik köklerine sahip olduklarını gösteriniz. 8