2008-2009 Ö RET M YILI ÖZEL EGE LKÖ RET M OKULU 4. SINIF MATEMAT K YILLIK PROJE PROJE KONUSU: LEMLER N G ZEM - MATEMAT KTE KULLANILAN LEM KOLAYLIKLARI PROJEY HAZIRLAYANLAR: SINIF :4 A Atakan Ç FTÇ Do a ÖZCAN Efe YÜKSEL Kemal Tan VARDARLI O ulcan ENGÖZ Selis BAYMAN
Ç NDEK LER 1. Matematik nedir?.1 2. Matemati in Önemi 1 3. Matematikte i lemlerin önemi...3 4. Matematikte i lem kolaylıkları... 3 4.1. Çarpma i lemi kolaylıkları.3 4.2. Bölme i lemi kolaylıkları..7 4.3. Toplama i lemi kolaylıkları 9 4.4. Çıkarma i lemi kolaylıkları.10 5. Sonuç 11 6. Kaynakça 12
Bu projede i lemlerin gizemlerini ö renmeyi amaçladık. Çalı malarımız çok zevkli geçti. lemlerin kolaylıklarını ve ili kilerini ara tırdık. Bunları ara tırırken i lemlerin ilginç özelliklerini bulduk. Konularımızı ara tırırken farklı emalardan ve kaynaklardan yararlandık. 1. MATEMAT K NED R? Matematik Terimleri Sözlü ü'nde Matematik; "biçim, sayı ve çoklukların yapılarını, özelliklerini ve aralarındaki ili kilerini akıl bilim yoluyla inceleyen ve sayı bilgisi, cebir, uzay bilim gibi dallara ayrılan bilim" olarak tanımlanmaktadır. Ancak " Matematik nedir? sorusunu tek bir tanımla tam olarak yanıtlamak oldukça güçtür. Matemati in ne oldu unu, onun özelliklerini ve elemanlarını belirterek daha iyi açıklamak mümkündür. Matemati in ö eleri ise, mantık, sezgi, çözümleme, yapı kurma, genellik, bireysellik ve estetikten olu ur. Bu özellik ve ö elere dayalı olarak unu belirtebiliriz. Matematik, yeni bilgilerin elde edilmesi, elde edilen bilgilerin açıklanması, denetlenmesi ve sonraki ku aklara aktarılmasında yer ve zamana ba lı olmayan güvenilir bir araçtır. 2. MATEMAT N ÖNEM nsanlar arasındaki bir takım gereksinmelerden matematik do mu tur. Bir dü ünce biçimi ve evrensel bir dil olan matematik günümüzün geli en dünyasında birey, toplum, bilim ve teknoloji için vazgeçilmez bir alandır. Günlük ya amda, i ve meslekte gerekli olan çözümleyebilme, savurabilme, ileti im kurabilme, genelle tirme yapabilme, yaratıcı ve ba ımsız dü ünebilme gibi üst düzey davranı ları geli tiren bir alan olarak matemati in ö renilmesi kaçınılmazdır. Günümüz toplumunun, sorunların üstesinden gelebilecek, problem çözebilecek bireylere gereksinmesi vardır. Matematik ö retiminin her a amasında matematik ö retiminin amaçları ve ö retimde kullanılacak genel ilkeler göz önünde bulundurulmalıdır. Matematik her biri üzerine kurularak geli en bir alan oldu undan, ön ö renmelerin önemi büyüktür. Bu durum her zaman hatırlanmalı ve her a amada ölçme ve de erlendirme yapılmalıdır. Ayrıca, matematik ö retiminde duyu sal özellikler dikkate alınmalı ve ö rencilerin matemati e ve matematik dersine kar ı olumlu tutumlar geli tirmelerine yardımcı olunmalıdır. Planlı ö retimin tüm ilkelerine matematik ö retiminde de uyulmalıdır. Matemati in Özellikleri ; Matematik bir disiplindir. Matematik bir bilgi alanıdır. 1
Matematik, bir ileti im aracıdır. Çünkü kendine özgü bir dili vardır. Matematik, ardı ık ve yı malıdır, birbiri üzerine kurulur. Matematik, varlıkların kendileriyle de il, aralarındaki ili kilerle ilgilenir. Matematik, bir çok bilim dalının kullandı ı bir araçtır. Matematik, insan yapısı ve insan beyninin yarattı ı bir soyutlamadır. Matematik, bir dü ünce biçimidir. Matematik, mantıksal bir sistemdir. Matematik, matematikçilerin oynadı ı bir oyundur. Matematik, bir cevizdir. Nasıl cevizi yemek için kırmak gerekiyorsa, matemati i anlamak için de içine girmek gerekir. Matematik, bir anahtardır. Matematik, bir de erdir. Matematik; dil, ırk, din ve ülke tanımadan uygarlıklara zenginle erek geçen sa lam, kullanı lı evrensel bir dil, bir ekindir. Birey için, toplum için, bilim için, teknoloji için vazgeçilmez de erdedir. Yayılma alanına ve derinli ine sınır konamayan bir bilimdir, bir sanattır. Matematik, insan aklının yarattı ı en büyük ortak de erdir. Evrenselli i onun gücüdür. Ça ları a arak bize ula mı tır. Ça ları a arak, yeni ku aklara ula acaktır. Büyüyerek, geli erek, insanlı a hizmet edecek; her zaman taptaze ve do ru kalacaktır. Matematik, insanın dü ünce sistemini düzenler. Matematik, insanin do ru dü ünmesini, analiz ve sentez yapabilmesini sa lar. Matematik, do ruyu, gerçe i görmek, iyi dü ünmek, sonuca giderek kazanmak, yani rahat bir hayat geçirmek demektir ve hayatımızda devamlı olarak mevcuttur. Mustafa Kemal Atatürk matemati i dilimizde daha anla ılır bir biçime getirmi tir. Bizzat kendisi matematikte kullanılan terimlerin adlarını bizim anlayabilece imiz (Maksumunaleyh-bölen, Kabiliyet-i Taksim-bölünebilme ) günlük konu ma dilimize çevirmi tir. leriyi gören bakı ları sayesinde bizi uygarlık seviyesinin üstüne çıkarmı tır. Bugün bilimin her dalında ara tırma yapıp dünyaya kendini kanıtlamı bilim adamlarımız vardır. Matematikçi Ali Eskici, 5.2.2004 tarihli yazısında görü lerini öyle belirtmi tir: 20.yy'ın ba larında matemati in gereksiz hatta ba a rıtan bir u ra ı oldu u, sadece zeki insanların ilgilendi i bir beyin sporu veya disiplini oldu u dü ünülüyor, bunun dı ında insanlı a hiçbir yararının olmadı ı sanılıyordu. Oysa bugün hayatın temelinden ba layarak tüm varlık yapısında matematik sistemlerin varlı ını görüyor, çözümleyemediklerimizde ise seziyoruz. O halde tersi bir anlayı la; matematik evreni ve kendimizi anlamamızda bile yardımcı olur. Bu arada matematik, dört i lem aritmeti i ya da problemleri çözmeden kullanılan bir teknik de ildir. Bu sadece dört i lem veya onun geli mi halidir. Ne yazık ki ülkemizde ve tüm dünyadaki matematikçilerin geneli matemati in böyle oldu unu sanıyor; yalnızca geli mi bir dört i lem. Oysa matematik anlam'dır. Elbette bu yapıyı sadece bu anlamıyla basit olarak görenler kavrayı eksikli inin sonucu olarak onunla çe itli ekillerde oynayacaklar çözümleri modellemekten ileri gidemeyecekler; yani bulu yapamayacaklardır. Ancak böylelerine yani; bilgi i çilerine de bilimin her alanında oldu u gibi ihtiyaç vardır. Herkes icat eden olamaz. Öte yandan bu konuda beni rahatsız eden; matemati in bu genelin yavan bakı açısı ile tanımlanması, görülmesi, sanılmasıdır. Daha önceki bir yazımda da belirtti im gibi; bugünkü deneysel bilimler bile gelecekte yerlerini matematik sayesinde elde edilen kesin prensiplerle çalı maya bırakacaklar. 2
Gelece in tüm bilimcileri uzman matematikçilerden olu acak. Bu etki çoktan ba ladı. Bilgisayarın gücü ve matematik gelece imizi ekillendirecek ve bugün deneylerle bo u an ve hiçbir yararlı sonuç üretilemeyen bilimlerin ilgilendi i problemler bir anda çözümlenerek insanlı ın geli im ivmelenmesi çok artacak. Diyebilirim ki geçmi te 100 yılda elde edilen bilgiler öngördü üm gelecekte 10 yıl içerisinde elde edilebilecek. 3. MATEMAT KTE LEMLER N ÖNEM Matematik ö retimi ile ilgili olarak yapılan ara tırmalar, gözlemler ve görü meler farklı zeka alanları yoluyla ö renme fırsatları birle tirildi inde ö rencilerin akademik ba arıları artmakta ve ö rencilerin tümü kendi ö renme stratejilerinin farkına varmakta ve kendilerine olan güvenleri artmaktadır. Bu durum özellikle matematik derslerinde büyük önem ta ır. Matematik problemlerini çözmede çocukların kullandıkları i lem yollarını inceleme fırsatı bulan ö retmen ve ara tırmacılar; çocukların formal olarak ö retilenlerden bir ekilde farklı olan metodlar kullandıklarını ve ilkö retim bitirmi ö rencilerin ço unun i lem yaparken dört temel i lemi etkili bir ekilde kullanmadıkları ya da okulda ö retilen standart yollar yerine kendi kendine geli tirdikleri ve en azından kendileri için oldukça verimli olan çe itli yöntemler kullandıklarını belirlemi lerdir. Örne in; Busbridge ve Özçelik 'in belirttikleri gibi Jones bir çıkarma i leminin hangi yöntemle do ru olarak yapılabildi i konusunda ayrıntılı bir analiz yapmı tır. Bu yöntemlerden üçü standart yöntem olarak daha önce ö retilmi olanlardandır. Yetmi be ö renciden yirmi be i bunlardan birini veya di erini ba arıyla kullanmı tır; elli ö renci ise ö retim sırasında ele alınmadı ı halde ö renciler tarafından geli tirilmi olan yöntemden birini kullanarak do ru cevabı elde etmi lerdir. Sınıf ortamında kullanılan ve kullanılabilecek birçok yöntem vardır. Önemli olan konuya uygun olan ve ö rencinin aktif olarak katılabilece i yöntemleri seçmektir. 4. MATEMAT KTE LEM KOLAYLIKLARI Matematikte kullandı ımız i lemlerin kısa ve kolay yoldan yapılma yöntemlerini inceleyelim. A. ÇARPMA LEM KOLAYLIKLARI Arkada lar, aramızdan çok az ki i verilen iki sayıyı zihinden çarpma i lemi yapmayı ba arır. Bazen onların bu özelliklerine imrenir ve Ke ke ben de yapabilsem. Diyerek iç geçiririz. Bu durum ki ilerin bilgi ve yeteneklerinin yanı sıra, birtakım basit hesaplama yöntemlerini de kavramaları ile de ilgilidir. 3
Çarpma i leminde kullanılan kolaylıklardan bazılarını inceleyelim. 1. Bir sayıyı; 10, 100, 1000 vb sonu sıfırla biten sayılarla çarpma i lemi : Bir sayıyı 10, 100, 1000,... ile çarpmak için, sayının sa ına bir, iki, üç,... sıfır yazılır. 14 x 10 = 140 16 x 100 = 1600 3 22 x 1000 = 22000 7 x 10000 = 70000 2. Bir sayı 5'le çarpılırken, sayı 10'la çarpılır sonra 2'ye bölünür. 89 x 5= (89 x 10)/2=890/2 =445 3. Bir sayı 50 ile çarpılırken, sayı 100'le çarpılır, çarpım 2'ye bölünür. 78 x 50= (78 x 100) / 2=7800/2 =3900 4. Bir sayıyı 25 ile çarpmak için, sayı 100 ile çarpılır. Çarpım 4'e bölünür. 25 x 36=(36 x 100) / 4=900 5. 101 le Çarpma lemi için a a ıdaki örnekleri inceleyiniz. 101 x 24 = 2424 Bu soruyu da siz yapın. 101 x 85 =? 101 x 71 = 7171 ( Örnekleri 1001 le deneyin ) 6. 9 la çarpmak çok kolay! Ellerinizi düz bir zemine yerle tirin. On parma ınızı da soldan sa a numaralandırın. Örne in; 4 x 9 =? lemini hatırlayamadınız. Hemen sol elinizin soldan sa a dördüncü parma ı olan i aret parma ınızı katlayın. Kapattı ınız parma ın solunda kalan parmakları onluk olarak sayınız. ( 3 Parmak = 30 ), Sa ında kalanları da birlik olarak sayınız ve katladı ınız parma ı da ekleyerek 30 a ilave ediniz. ( 30 + 6 = 36 bulunur.) 4
7 x 9 u da siz deneyin. *Bir sayı 9'la çarpılırken, sayı 10'la çarpılır, çarpımdan sayının kendisi çıkarılır. 56 x 9= (56 x 10) - 56, 560-56=504 7. ki Basamaklı sayıları 11 le çarpalım. 3 x 11 = 33 12 x 11 = 132 24 x 11 = 264 Buradaki özelli e dikkatli bakın. Çok kolay Çarpmanın sonucunu bulmak için,çarpılan sayının rakamlarını sabit tutarak bu rakamlar arasına rakamların sayı de erlerinin toplamını koyuyorsunuz. 24 x 11 de oldu u gibi. 24 ü olu turan 2 ile 4 rakamları sabit duruyor, aralarına 2 +4 = 6 giriyor. 2 4 = 2 6 4 Herhangi bir sayıyı 11 le çarpalım * 18 x 11 =? 18 in rakamlarını toplayalım. 1 +8 = 9 oldu. 9 u 1 ile 8 arasına koyalım. 198 olur. *11 le çarpılacak sayı iki basamaktan fazla olursa da 254 x 11 de oldu u gibi, ilk ve son rakamları aynı kalıyor. Bu rakamların arasına, sayının kalan rakamları sa dan sola do ru 2 erli toplanarak yerle tiriliyor. 2 4 aynı kalıyor. Araya ise kalan rakam olan 5, sa ındaki rakam olan 4 ile toplanarak 9 bulunur. 5, solundaki 2 ile toplanarak 7 bulunur. Sonuç 2794 olur. Bu rakam 9 dan büyük olursa eldeki sayı, bir soldaki basama a ta ınıyor. * 11 ile çarpmanın di er bir yolu ise sayıyı 10 ile çarpıp sayının kendisi ile toplamaktır. Örnek: 129 x 11 =? 129 u 10 ile çarpalım. 1290 olur. 1290 ile 129 u toplarsak 1419 buluruz.. 11x54321=597531. = 5 4 + 5 = 9 4 + 3 = 7 3 + 2 = 5 2 + 1 = 3 1 = 5 9 7 5 3 1 5 4 3 2 1 1 1 x 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 + 5 9 7 5 3 1 çarpım ile çarpanlar arasındaki ili kiyi tablodan kontrol edelim. 5
8. 15 ile kolay çarpma i lemi Verilen sayı 10 ile çarpılır, daha sonra ortaya çıkan sayı ikiye bölünür. 10 ile çarpılan sayıyla toplanır. ör; 8 x 15 =? 8x10=80 80:2=40 40+80=120 9.Sonu 5 olan sayıların karesini ( bir sayının kendisiyle çarpımı) bulma: Sonu 5 olan sayıların almı oldu umuz karelerine bir göz atalım. Sizin de dikkatinizi çekmi tir. Sonu 5 olan sayıların kareleri her zaman 25 le bitiyor. Öyleyse, kısa yoldan 25 in önündeki sayıları nasıl olu turabiliriz. Çok kolay! Çarpmak istedi iniz sonu 5 le biten bir sayının solundaki sayıya 1 ekleyin ve eklenmeden önceki sayıyla çarpın. Sonra da yanına 25 ekleyin. 25 x 25 = 625 35 x 35 = 1225 45 x 45 = 2025 Örnek: 35 x 35 i yapalım. 35 sayısında 5 in solundaki sayı 3 tür. 3 + 1 = 4 ve 3 x 4 = 12 dir 12 sayısının yanına 25 eklerseniz, i lemi kısa yoldan yaparsınız Örnek: 135 x 135 =? 13 + 1 = 14 13 x 14 = 182 182 nin sa ına 25 yazılır ve 182 25 bulunur imdi sırada oyun var Arkada ınıza 1 den 10 a kadar (10 hariç) olan rakamlardan birini seçmesini ve size söylemesini isteyin. Diyelim ki bu sayı 6 olsun 6 yı 9 ile çarpın 6 x 9 = 54 Arkada ınıza 1 den 10 a kadar (10 hariç) olan rakamları 8 sayısı hariç yan yana yazmasını ve bu sayıyı 54 ile ( seçti iniz sayı x 9 ) çarpmasını isteyin. Biraz uzun i lem gerektiriyor ancak sonucu bulduktan sonra çok ho unuza gidecek.12.345.679 x 54 = 666.666.666 sayısını bulacaksınız. Arkada ınızın seçti i sayı 6 ydı de il mi? *Bu hesaplamanın sırrı yalnızca 1 den 10 a kadar ( 8 ve 10 hariç ) olan rakamların seçilmesidir. 10) YUVARLAYARAK ÇARPMA LEM Onlu a Yuvarlamalı Kolay Çarpma; ÖRNEK: 234 x 3 =? 6
234 ; 10 lu a yuvarlanınca 230 olur. Yakla ık sonuç 230 x 3 = 690 bulunur. Yüzlü e Yuvarlamalı Kolay Çarpma; ÖRNEK; 568 x 8 =? 568 sayısı 600 e yuvarlanır. Yakla ık olarak 600 x 8 = 4800 bulunur. 11.Bir sayıyı iki kere bir sayıyla çarpmak için; 10 x 4 ve 10 x 2 10X4=40 10X2=20 20+40=80 olur. Bu i lemi 4X2=8 10X8=80 eklinde kolayca yapabiliriz. Örnek; 6 x 55 x 5 =? 5 x 6 = 30 55 x 30 = 1650 bulunur. 12. Çapraz Çarpma yapalım. 48 x 24 1152 1. adım : Birler basama ındaki rakamları çarpalım. 8 x 4 = 32 2 yi yazıp elde var 3 diyelim. 2. adım: Çapraz rakamları çarpıp toplayalım. 4 x 4 = 16 ve 2 x 8 = 16, 16 +16 = 32 elde 3 eklersek 35 olur. 35 in 5 ini yazalm, elde var 3 diyelim. 3. adım: Onlar basama ını çarpalım. 4 x 2 = 8, elde 3 eklersek 11 olur. * Bu kural 2 basamaklı sayıların çarpımında kullanılır. C) BÖLME LEM KOLAYLIKLARI 1. Birler, onlar, yüzler basamakları sıfır olan sayılar ile bölme; Sa daki sıfırlar e it sayıda silinir, 700 : 70 = 10 ; 1200 : 300 = 4 7
2. 4 e bölme; Önce sayıyı 2 ye böleriz, sonra tekrar 2 ye böleriz. 88 : 4 =? 88 : 2 = 44 44 : 2 = 22 3. 5 e bölme; Sayıyı önce 2 ile çarpıp, sonra 10 a böleriz. 30 : 5 =? 30 x 2 = 60 60 : 10 = 6 * Birler basama ında 0 ve 5 olan bütün do al sayılar 5 e kalansız bölünür. 4. Ayırarak Bölme; Bölünen sayıyı iki kısma ayırırız. iki bölme i lemi yapıp, sonuçları toplarız. *125 : 5 =? 100 + 25 100 : 5 = 20 25 : 5 = 5 20 + 5 = 25 *132 : 4 =? 100 +32 100 : 4 = 25 32 : 4 = 8 25 + 8 = 33 5. 3 ile kalansız bölünebilme; Sayıdaki rakamların toplamı 3 veya 3 ün katları ise o sayı 3 e bölünür. 2347 : 3=? Cevap: 2+3+7+4=16 16 sayısı 3 ün katı de ildir. 2347 sayısı 3 e bölünmez. 6.2 ile kalansız bölünebilme; Çift sayılar ikiye bölünebilir. Tek do al sayılar 2 ye bölündü ünde kalan 1 olur. 7.4 ile kalansız bölünebilme; Bir do al sayının, birler ve onlar basama ındaki rakamların (son iki rakamın) olu turdu u sayı 4 ün katı veya 00 ise o sayı 4 ile kalansız bölünür. 12300 00 oldu undan 4 e bölünür. 8.6 ile kalansız bölünebilme; Bir sayının hem ikiye hem üçe kalansız bölünmesi gerekir. 8
11112 çift sayı oldu undan 2 ye bölünür ve 1+1+1+1+2=6 3 ün katıdır. Bu sayı 6 ya bölünebilir. Kalanlı bir bölme i leminde kalan sayı daima bölenden küçük olur. 9. 8 ile kalansız bölünebilme; Bir do al sayının 8 ile kalansız bölünebilmesi için o sayının son üç basama ını olu turulan sayılar 8 in katı yada 000 olmalıdır. 18024 24 : 3 = 8 oldu undan bölünebilir. 10. 9 ile kalansız bölünebilme; Sayıdaki rakamların toplamı 9 veya 9 un katları ise o sayı 9 a bölünür. 14652 : 9 1+4+6+5+2= 18 oldu undan bölünür. B) TOPLAMA LEM KOLAYLIKLARI 1. Aynı terimli toplama i lemini yaparken terim sayısı ile terimi çarparız. 45 +45+45+45+45 +45 =? 6 terim aynı oldu undan 45 x 6 = 270 bulunur. 950 +950 + 950 = 3 x 950 = 2850 2. Birler bölü ündeki rakamları sıfır olan sayıları toplama 1000 +2000+3000+5000 vb. i lemlerde 0 ları saymayıp, önce 1, 2,3,5 i toplayıp sonucu bulmak bir kolaylıktır. Sayının sa ına sıfırla yazılır. Yanıt 11000 dir. 3. Terim sayısı çok ise toplama i leminin birle me özelli i kullanılarak gruplanır ve toplanır. 5 6 24 1 6 8 2 10 6 + 34= 24+10 9
4. Terimlerden birini 10 un katı haline getirerek toplama. 47 + 38 i leminde 38 i 2 ile toplayarak 40 yaparız. Aynı zamanda 47 den 2 yi çıkarırız. ( 47 2 ) + ( 38 + 2 ) = 45 + 40 = 85 olur. * Bu kolaylık üç, dört, be vb. sayıları toplarken de kullanılır. 5. Soldan sa a do ru toplama 24 +15 +31 +12 *Onlar basama ındaki sayıları toplayalım. 20 + 10 + 30 + 10 = 70 *Sonra birler basama ını ekleyerek devam edelim.74,79,80, ve toplam 82 olur. D) ÇIKARMA LEM KOLAYLIKLARI 1. Terimleri çözümleyerek çıkarma i lemi 528 320 =? 500 +28 500 300 = 200 300+20 28-20 = 8 200 + 28 = 208 bulunur. 2. Eksilen ve çıkanın 100 e olan uzaklıklarını bulup, farkları toplama 112-75 112 100 = 12 12 + 25 = 37 olur. 100-75 = 25 *Bu kural birbirinden çıkarılacak sayılar 200,300,400 gibi sayıların yer aldı ı durumlarda da kullanılır. 3. Toplayarak kolay çıkarma 32 18 18 ile neyi toplarsam 32 eder diye dü ünelim. 18 + 10 = 28 ve 28 + 4 = 32 eder bu i lemde 10 + 4 = 14 ekledik. Fark 14 olur. 10
5. SONUÇ Matemati in bulunu undan sonra insanlar gereksinim duydukları i lemleri ve problemleri, uzun zaman alan çözüm yollarını kullanarak çözüyorlardı. Daha sonra matematik bilimi geli tikçe i lem kolaylıklarını dü ünüp geli tirdiler. lem kolaylıklarını bulunca i leri daha da kolayla tı. Bizler bu i lem kolaylıklarını ara tırarak ö rendik ve bunları örneklemeye çalı tık. Ara tırmalarımızda buldu umuz i lem kolaylıklarından bazılarını bizlerin de matematik dersinde ö rendi imizi ve kullandı ımızı gördük. Ara tırırken bilgilerimizi geli tirdik. Bundan sonraki ya antımızda bu i lem kolaylıklarını kullanmaya devam ederek i lemlerle ilgili yeni bulu lar icat etmeye çalı aca ız. 11
7. KAYNAKÇA 1. Matematikçi Fatih - nternet 2. www. soymet.blogcu.com 3. Bahar Matematik 4. Sınıf,Bahar yayıncılık, 2008, stanbul 4. Edward H. J.,( Temmuz 2006 ), Sihirli Matematik Oyunları,1. basım,güncel Yayıncılık, stanbul 5. A ARGÜN M., ( Mayıs 20069, Zeka Problemleri ve Sayıların ilginç Özellikleri, Güncel Yayın,1. basım. stanbul 6. ÖZDEM R lknur, 2002, Sayı eytanı, Can Çocuk Yayınları, 4. basım., stanbul 12