S_I UZO_IDAL SIKLIK KEST_IR_IM_IDE OS UZGE CLEME_I CRAMER-RAO ALT SIIRLARIA ETK_IS_I Mustf A. Altnky, Bulent Snkur, Emin Anrm Elektrik-Elektronik Muhendisligi Bolumu, Bogzici Universitesi, 8085 Beek _ Istnul E.post: ltink@usim.ee.oun.edu.tr, snkur@troun.itnet, nri@troun.itnet Anhtr Sozcukler : Fisher ilisim mtrisi Onsuzgecleme, Crmer-Ro lt snr, sklk kestirimi, degisinti, Ozetce Bu clsmd, toplnr eyz Guss gurultu ortmndki sinuzoidl ton sinyllerinin veriye uyrlnr icimde onsuzgeclendiginde, sinyl prmetrelerinin kestiriminin iyilestirileilecegi, Crmer-Ro lt snrlrnn (CRAS) dusuruleilecegi gosterilmistir. Tek ton sinyli ve iki ton sinyli icin onsuzgeclenmis durumd CRAS'lr ulunmustur. Bu iyilesmenin suzgecin merkez sklg gurultulu veriden kestirildigi durumlrd ile sglnmkt oldugu gorulmustur. Giris Toplnr eyz Guss gurultu ortmnd ks ir veri kydndn ton tipindeki sinyllerin prmetrelerinin kestirimi prolemi, sysl sinyl islemenin kurmnd ve uygulmsnd hl guncelligini surdurmektedir [,, ]. Bircok uygulmd ton sklklrnn sklk olgesindeki yklsk yeri (DTMF: Dul Tone Multifrequency Receiver, cift ton coklu sklk lmclrd oldugu gii) ilinmektedir y d ir on-nliz ile, sozgelimi, verinin Ayrk Fourier Donusumu'ndeki (AFD) tepe noktlrn elirleyerek kestirileilir [4, 5]. Bu durumlrd gurultulu sinylin thmin edilen ton sklklrnn yoresinde dr nt onsuzgeclenmesi yoluyl sklk kestiriminin iyilesmesi ekleneilir. En genel olrk sinyl gercel sinuzoidllerin toplmndn olusn, s n = LX k= ve toplnr eyz Guss gurultu ortmnd gozlemlenen, A k sin(! k n + k ) () x n = s n + e n n = () olrk tnmlnr. Burd fe n g gmsz ozdes dglml, sfr ortlml ve degisintisi oln ir gercel Guss rslntsl degisken dizisini, veri orneklerinin sysn, L ton sinyllerinin sysn gostermektedir. Bilinmeyen prmetrelerin k'nc ton sinyli icin genlik A k, ton sklg! k ve evre cs k oldugu vrsylmstr. Onerilen yontemin smlr sunlrdr:. AFD'deki tepe noktlrnn elirlenmesi yolu enzeri ir onnliz ile sinuzoidl sklk degerlerini kc kestirmek.. Kestirilen sklk degeri hkkndki ilgi kullnlrk, u sklk ve yknndki sklk ilesenlerini geciren ir nt-geciren suzgec olusturulms ve ()'deki isretin suzgeclenmesi.. Sinyl prmetrelerini kestirmek uzere suzgeclenmis veriyi kullnn yetenekli ir kestiricinin (modele dyl kestiriciler gii) kullnlms. Bu clsm T UB _ ITAK trfndn EEEAG-8 ve EEEAG-9 syl projeler kpsmnd desteklenmektedir.
Onsuzgeclenmis CRAS'lrn Bulunms Bilindigi gii prmetrik gmllg olmyn ir suzgecle ypln dogrusl ir suzgecleme CRAS'- lrd herhngi ir iyilestirme yrtmz [6]. Anck urdki onsuzgecleme veriye uyrlnr oldugundn dogrusl-olmyn ir isleme krslk dusmektedir ve dolysyl CRAS'lrd ir iyilesme ekleneilir. Soz konusu suzgecleme onceki olumde n htlrnn nltldg gii verinin nlizinden spektrl doruklr ulmy, u doruklr konumlnms suzgeclerle veriyi suzup sklg kestirmeye, kestirilen sklg geri esleyerek suzgec konumunu yeniden yrlmy dynr. Bu islemler dizisi ir evre kenetlemeli donguyu (EKD) ndrmktdr. Burd 'nn ilinmeyen ir prmetre vektoru ve y'nin de prmetreleri ile gosterilen gercel ir Guss rslntsl degisken vektoru oldugunu kul edelim. Eger () ve R() u rslntsl vektorun eklentisini ve degisinti mtrisini gosteriyors, Fisher ilisim mtrisinin (FBM) (k,l)'inci elemn sgdki sekilde gosterileilir. F k l = @R tr @R @ y @ R R + R @ k @ l @ k @ l urd () y krmsk eslenik devrigi gostermektedir. Prmetre vektoru ise eyz Guss gurultu ile ulsms tek ir sinuzoidl sinyl icin su sekilde tnmlnr. 6 = 4 7 5 = 6 4! A () 7 5 (4) urd! A srsyl sklg, genligi ve evreyi gostermektedir. Onsuzgecleme islemini giris veri vektoru x uzerinde ir H mtrisi ile gosterirsek, cks vektoru y = Hx olur. Burd x =[x x ] T giris vektorunu, y =[y y M ] T onsuzgecin cktsn, ve H ise ( M) oyutlrndki, prmetre vektorune gml ve p + uzunlugundki ir onsuzgec durtu yntn krslk oln evrisim mtrisini gostermektedir. y'nin eklentisi vedegisintisi su sekilde ifde edilmektedir: Efyg = Hs = (! A ) covfyg = HH y = R(! A ) : (5) Bu tnmlrn kullnmyl F F = @R tr @R R @! @! R = tr HH y! @Hs + @! HH y! y @Hs R @! + (H!s + Hs! ) y (H! s + Hs! ) (6) olrk verilir. Burd H! = @H @! ve s! = @s @! olrk tnmlnmstr. A ve 'nn ilindigi durumd!'nn degisintisinin CRAS'! F olmktdr. FBM'de H mtrisinin!'y prmetrik gmllg olmdg durumlrd CRAS'n onsuzgecleme yplmdg durumdki ifdeye donustugu gorulecektir:! = s y!s! = F eski
Herhngi ir A mtrisi ve vvektoru icin gecerli oln v y Av tr havv yi ozdesligi kullnlrk (6) nolu esitlik F = tr HH y HH y HH y!! + tr HH y (H! s + Hs! )(H! s + Hs! ) y vey, F = F eski + tr HH y! + tr H y! +tr H! ss y H y H! ss y! HH y HH y! + tr H y! HH y Hss y! (7) (8) seklinde gosterileilir. Onsuzgeclemenin CRAS' dusurmesi icin sgdki sekilde tnmlnn F icin F frk 'n rt tnml olms gerekmektedir. F = F eski + F frk (9) Dikkt edilirse CRAS ifdesinde (HH y ) mtrisinin evrigi ulunmktdr. Bu ifdenin evrilirligini grntilemek icin onsuzgec mtrisi H, (HH y ) mtrisi tm kerteli (full rnk) olck sekilde olusturulmldr. H mtrisinin kertesi min(m,) ile snrl oldugundn, M olmldr. Bu ise dogrusl evrisim uygulndgnd en z p gecici rejim teriminin tlms nlmnddr. H mtrisi su sekillerde olusturulilir: M=-p olck sekilde dogrusl evrisim uygulnms. Bu secim utun gecici rejim terimlerinin tlms nlmnddr. Bu yontemin dezvntj tln terimler nedeniyle ilgi kyn yol cmsdr. M= olck sekilde dogrusl evrisim uygulnms. Bu secim pgecici rejim teriminin tlms nck diger p gecici rejim teriminin sklnms nlmnddr. Uygun ir secim dogrusl evrisimin +p uzunlugundki cktsnn stn ve sondn p det gecici rejim teriminin tlmsdr. Bu yontemde tln terimlerin yol ctg ilgi ky ilk yonteme kysl dh zdr. Doner evrisim (circulr convolution) uygulnms. p terimin ortusmesiyle veride ozulmy yol cmsn krsn getirdigi hesplm kolylg ve u ozulmnn yol ctg ilgi kynn, M=-p oln dogrusl evrisimden dh z olilmesi nedeniyle tercih edileilir. Doner evrisim uygulnnc H mtrisi dolnr (circulnt) olcktr. ( ) oyutlrndki u mtrisin kertesi 'dir ve u mtris utun dolnr mtrisler gii AFD mtrisi V ile sgdki sekilde kosegenlestirilir: H doner = V y DV: Burd V,( ) oyutlu AFD mtrisidir ve su sekilde yzlilir: V = p 6 4 W.. W ;(). W ;() W ;() 7 5 W = e j(= ) :
Onsuzgecin durtu ynt cift ir islev oldugundn kosegenel mtris D gerceldir. tr(ab) tr(ba) ve V y V = VV y = I ile D ve s'nin her irinin gercel olmsndn doly F frk su sekilde ulunilir: i F =tr hd! D; + n tr h D! D s! s Ti h + tr D! sstio (0) Dh genel durumd yni A ve d ilinmiyors F 'nin diger elemnlr d enzer sekilde ulunur [7].. _Iki Ton Sinyli Oldugund FBM'nin Hesplnms Toplnr eyz Guss gurultu ile ulsms iki sinuzoidl ton sinyli oldugund ve unlrn A ve A ile ve olrk gosterilen genlik ve evreleri ilindiginde prmetre vectoru soyle tnmlnr: " # " #! = = ()! y'nin eklentisi ve degisintisi su sekilde ifde edilmektedir: Efyg = Hs = (! A! A ) covfyg = HH y = R(!! ) : () Dh sonr ( ) oyutlu FBM'in elemnlrndn, F ve F, (7)'deki ifdenin yns olrk ylnzc!'y! vey! ile degistirerek ulunur. F sgdki sekilde hesplnrken, F = tr HH y! HH y! + (H! s + Hs! ) y (H! s + Hs! ) () F ise u ifdede! ve! 'in yerlerini degistirerek ulunur. Eger H = H doner ise tek ton durumundkine enzer ksltmlr soz konusudur. F ve F yine (0)'dki gii! ve! sklk prmetresi olrk ulunur. F ve F ise soyle hesplnr: i F = F = tr hd! D! D ; + n tr hd ; D! D! ss Ti +tr h D D! s! s Ti + tr CRAS Sonuclr ve Yorumu. Tek Ton Durumu h D D! s! s Ti + tr hs! s T! io : (4) CRAS'n sklg gmllg : Sekil 'de IGO=0dB, _ ornek sys 0 oldugund onsuzgeclenmis ve suzgeclenmemis verilerin CRAS'lrnn sklg gl olrk degisimi gosterilmektedir. Onsuzgec verinin AFD'sinin doruklrnn elirlenmesiyle olusturulmustur. Onsuzgecin uzunlugu 9, gurultu esdeger nt genisligi ise 0.4 rdyndr. Bu degerler icin onsuzgeclemenin tum sklk ndnd yklsk olrk db dolynd CRAS'd iyilesme sgldg gorulmektedir. CRAS'n IGO'y _ gmllg : Sekil 'de onsuzgeclemenin utun sklklrd sgldg ortlm kzncn IGO'y _ gl olrk degisimi gosterilmistir. Ustteki egri onsuzgecin kusursuz onilgi ile olusturuldugu, lttki ise AFD nlizi ile elirlendigi durumu gostermektedir. Her iki durumd d yuksek IGO'lrd _ enzer sonuclr lndg hlde, dusuk IGO'lrd _ idel olrk tsrlnms onsuzgecler gercekci olmyn cok yuksek kznclr sglmktdr. Anck prtikte gecerli oln, AFD nlizi ile sglnilecek oln degisinti kzncnn elli ir IGO'd _ en yuksek
degere ulsms ve IGO _ dustukce zlmsdr. Cunku cok dusuk IGO'lrd _ AFD enzeri ir on-nliz ile ton sklgnn yklsk yerini dogru olrk elirlemek mumkun olmmktdr. CRAS'n onsuzgecin nt genisligine gmllg : Sekil 'te onceki hesplmlrdn frkl olrk onsuzgecin nt genisligi degistiginde AFD nlizi ile olusturuln onsuzgecin sgldg tum sklk ndndki ortlm CRAS kzncnn IGO'y _ gl olrk degisimi gorulmektedir. En yuksek kznc en dr ntl suzgec trfndn sglnmktdr, cunku usuzgec en yuksek gurultu zytmsn neden olmktdr.. _Iki Ton Durumu CRAS'lrn sklg ve _IGO'y gmllg : Sekil 4 ve 5 esit genlikli iki ton sinyli oldugund unlrn CRAS'lrn onsuzgeclemenin etkisini gostermektedir. Ton sinyllerinden irinin sklg! = = olrk sit tutulmus, digerinin sklgnn degistigi vrsylmstr. Bu hesplmlrd gurultulu veri 64, onsuzgecin durtu ynt ise 4 ornek uzunlugunddr. Sekil 5'te _ IGO=0dB iken her iki ton sklgnn CRAS'lrnn ton sklg frk! =(! ;! )'e gore degisimi gorulmektedir. Sekil 4'te her iki tonun utun! degerleri icin ortlm CRAS kznclrnn _ IGO'y gl olrk degisimi gosterilmistir. Yine onsuzgecin sklgnn tm olrk ilindigi vrsyldgndn, dusuk _ IGO'lrd gercekci olmyn yuksek kznclr gorulmektedir. Anck tek ton durumund AFD doruk nliziyle olusturuln onsuzgecin, sklk merkezi tm onilgi ile secilen onsuzgecle yklsk yn srm sergiledigi _ IGO=0dB'de, iki ton durumund sglnn db civrndki iyilesme onsuzgeclemenin iki ton durumund d yrrl olcgn kntlmktdr.. Sonuclrn Yorumu Tek ve iki ton sinyli ile ypln hesplmrn sonuclr su sekilde ozetleneilir: Toplnr eyz Guss gurultu ortmndki ton sinylleri veriye uyrlnr icimde onsuzgeclendiginde prmetrelerin kestirimlerinin CRAS'lrnd iyilesme olilmektedir. Bu iyilesmenin Sekil ve 'te oldugu gii onsuzgecin verinin AFD doruk nlizi ile elirlendigi durumd ile sglnms onsuzgecleme yonteminin gecerliligini gostermektedir. Veriye uyrlnr icimdeki onsuzgeclemenin CRAS'lr dusurmesi syesinde, u yontemin uygulnms ve uygun ir kestirici kullnlmsyl onsuzgecleme oncesindeki CRAS'dn dh dusuk degisintisi oln ir kestirim yplilecektir. Kynkc [] S.M. Ky, nd S.L. Mrple, "Spectrum Anlysis: A Modern Perspective", Proc. IEEE, Vol.69, ovemer 98, pp. 80-49. [] D.W.Tufts, R. Kumersn, "Estimtion Of Frequencies Of Multiple Sinusoids: Mking Liner Prediction Perform Like Mximum Likelihood", Proc. IEEE, Vol. 70, Septemer 98, pp.975-989. [] T. J. Atzoglu, "A Fst Mximum Likelihood Algorithm For Frequency Estimtion Of A Sinusoid Bsed On ewton's Method", IEEE Trns. on Acoustic Speech nd Signl Processing, Vol., Ferury 985, pp. 77-89. [4] R. Kumresn, Y. Feng, "FIR Preltering Improves Prony's Method", IEEE Trns. on Acoustic Speech nd Signl Processing, Vol. 9, Mrch 99, pp. 76-74. [5] F. Hu, T. K. Srkr, Y. Hu, "Utiliztion of Bndpss Filtering for the Mtrix Pencil Method", IEEE Trns. on Signl Processing, Vol. 4, Jnury 99, pp. 44-446. [6] J. D. Gormn, A. O. Hero, "Lower Bounds For Prmetric Estimtion with Constrints", IEEE Trns. on Informtion Theory, Vol. 6, ovemer 990, pp. 85-0. [7] M. A. Altnky, Model Bsed Frequency Estimtion, Ph. D Thesis, Electricl nd Electronic Engineering, Bogzici University, 995.
-0 5 CRAS (db) - -4-6 -8-40 CRAS KAZACI (db) 4 0 0.785.57.55.4 SIKLIK 0-40 -0-0 -0 0 0 0 0 40 IGO (db) Sekil : Sklk kestirimi degisintisinin Crmer- Ro lt snrnn sklg gl olrk degisimi, : onsuzgeclemesiz, : onsuzgeclemeli (_IGO=0dB, ornek sys=0, nt genisligi = 0.4rd) Sekil : Ortlm Crmer-Ro kzncnn _IGO' y gl olrk degisimi, : kusursuz onilgi ile elirlenen H, : AFD ile elirlenen H (ornek sys=0, nt genisligi=0.4 rd) 5 CRAS KAZACI (db).5.5 0.5 c CRAS KAZACI (db) 4 0-40 -0-0 -0 0 0 0 0 40 IGO(dB) 0-40 -0-0 -0 0 0 0 0 40 IGO (db) Sekil : Ortlm Crmer-Ro kzncnn _IGO' y gl olrk degisimi, : nt genisligi=0.4rd, : nt genisligi=0.46rd, c: nt genisligi=.06rd (ornek sys=0) Sekil 4: ton oldugund ton sklklrnn kestirim degisintilerinin ortlm Crmer-Ro kzncnn _IGO'y gl olrk degisimi, : sklg sit ton, : sklg degisen ton (! =,ornek sys=64, her ir nt genisligi=0.85rd) -4-4 CRAS (w) -44-46 CRAS (w) -44-46 -48 -.57-0.785 0 0.785.57 SIKLIK FARKI (w-w) sit sklkl ton (! = ) -48 -.57-0.785 0 0.785.57 SIKLIK FARKI (w-w) sklg degisen ton Sekil 5: ton oldugund ton sklklrnn kestirim degisintilerinin Crmer-Ro lt snrnn ton sklg frkn gl olrk degisimi, : onsuzgeclemesiz, : onsuzgeclemeli (! =, _ IGO=0dB, ornek sys=64, her ir nt genisligi=0.85rd)