Sevgili ö renci! Bu kitap sekizinci sınıfta öngörülen malzemeyi ö renmen için yardımında bulunacaktır. Benzer ekiller için yeni ve ilginç bilgiler ö reneceksin. Lineer denklemlerin ve lineer e itsizliklerin çözülmeleri için yeni teknikleri, aynı zamanda bazı lineer denklem sistemlerinin çözülmelerini ö reneceksin. Lineer fonksiyonlar geometri cisimleri ve onların alan ve hacımları için bilgilerini geni letireceksin. Kitap dört ba lıktan olu makta ve her biri alt ba lıklara ayrılmı tır. Her konu içindekilerle ba lar, ders birimleri ise numaralanmı tır. Ders birimlerinde mesajlar, tavsiyeler, etkinlikler ve di er uyarılar renkli i aretler ile verilmi tir, bunlar: Ders birimleri bildiklerin bazı bilgilerle ba lamaktadır. stenilenlerin Anımsa! çözümü için hatırlamalısın. Yeni ders birimini ö renmen için yardımıcı olacaktır. A A, B... Bu i aretler ile ders birimleri yeni kavramlara ait olan bölümlere ayrılmı tır. 1. 2. 3.... Bu i aretler ile kendi ba ına veya ö retmenin yardımı ile çözebilece in etkinlikler, sorular ve ödevler i aretlenmi tir. Bu bölümde dersteki yeni bilgileri ö reneceksin, bu yüzden ö renmen ve anlaman için dikkatli ve aktif olmalısın. En önemlileri sarı renkle, teoremlerin formulasyonu turuncu renkle boyalanmı tır. Bilmen gerekenler: Dersin en önemlisi soru, ödev veya iddia gibi ayrılmı tır. Bunları hatırlamalısın, ödevlerin ve örneklerin çözümünde kullanmalısın. Kendini yokla: Bu bölümde bulunan sorular ve ödevler ile bilgilerini kontrol edebilir ve ö rendiklerinin ço unu hergünkü ya amda kullanabilirsin. Ödevler: Ödevleri sıralı ve kendin çözmelisin. Bununla okuduklarını daha iyi anlayıp büyük yararlar kazanacaksın. Dene!... Bu bölümde ödev ve problemleri çözmeye çalı (bu, mecburi de ildir). Bununla daha bilgili ve fi kirlerle daha zengin olacaksın. B LD KLER N KONTROL ET: Herbir konunun sonunda soru ve ödevlerle test vardır. Testi kendin çöz ve okudu un konu ile bildiklerini kontrol et. Matemati i okudu unda zorluklarla kar ıla tı ın zaman cayma, yeniden dene, direncin sonuç ve mutluluk getirecektir. Bu kitapla matemati i daha çok seversen ve en iyi ba arılar elde edersen, bizleri çok sevindireceksin. Yazarlardan
KONU 1. BENZERL K ORANTILI DO RU PARÇALAR 1. ki do ru parçasının oranı 4 2. Orantılı do ru parçalar 8 3. Do ru parçanın e it kısımlara ayrılması 12 4. Orantılı do ru parçalara ait Tales Teoremi 16 5. Tales Teoreminden yararlanarak çözülebilen ödevler 20 BENZER ÜÇGENLER 6. Benzer ekiller. Benzer üçgenler 24 7. Benzer üçgenlerde birinci kural 27 8. Benzer üçgenlerin ikinci ve üçüncü kural 31 9. ki benzer üçgenin çevrelerin ve alanların oranı 33 P TAGORA TEOREM 10. Dik açılı üçgende benzerlik 37 11. Pitagora Teoremi 41 12. Pitagora Teoreminin uygulanmasıyla ödevler 44 13. Örnekleme uzay, örnekleme nokta 48 Bilgini kontrol et 53
ORANTILI DO RU PARÇALAR 1 K DO RU PARÇASININ ORANI Anımsa! a ve b (b 0) sayılarının oranı a ve b sayılarının bölümüne denir, yani a : b veya a b a bölü b okunur; a sayısı birinci terim, b sayısı ise oranın ikinci terimidir. a nın b ye bölünmesiyle elde edilen sayıya a : b oranın de eri denir ve k ile i aret edilir. Bu durumda a : b = k, yani a = bk Oranın de erini bul: a) 28 : 4; b) 35 : 5; c) 12 : 16 ; ç) 1,8 : 2,4 Hangi oranlar e ittir? a) ç) ıklarındaki oranlardan hangileri e ittir? Oranın bilinmeyen terimini bul: a) x : 8, e er ki de eri 4 ise; b) 18 : y, e er ki de eri 12 ise. A 1. A ekilde iki do ru parçası verilmi tir: C D bu durumda AB = 6, CD = 4. AB do ru parçasının uzunlu u ile CD do ru parçasının uzunlu uyla oranını yazınız. 6 : 4 bölümünü AB do ru parçasının CD do ru parçasına oranı olarak sayaca ız. Genel olarak ki do ru parçasının oranı veya bölümü aynı ölçü birimiyle ifade edilmi uzunlukların bölümüdür. Bir AB do ru parçasının di er bir CD do ru parçasına oranını bu ekilde gösterilmi tir: AB : veya CD AB CD B kinci terim CD sıfıra e it olabilir mi? 3 Ödev 1 de AB : CD oranı 6 : 4 tür, onun de eri ise 2 dir. 2. A do ru parçasının b do ru parçasına göre oranını belirt, e er ki: a) a = 12 cm, b = 4 cm, b) a = 30 cm, b = 6 dm. Dikkat et! Orandaki do ru parçalarının uzunlukları aynı ölçü birimiyle ifade edilmelidir. ki do ru parçasının oranı adsız sayıdır. 4 Konu 1. Benzerlik
3. 0,5 : 0,25 oranının her terimini a) 20 ile çarpınız; b) 5 ile bölünüz. Ondan sonra verilen oranın de erini a) ve b) de elde edilen oranların de erleri ile kar ıla tır. Ne farkediyorsun? 4. a = 6 cm do ru parçasının b = 3 cm do ru parçasına oranını yaz ve onun de erini belirt. a Ondan sonar, do ru parçalarının uzunluklarını a) mm; b) dm ; c) m ile ifade ederek a : b b oranının de erini belirt. Bu oranlardan nasıl bir sonuca varıyorsun? Önceki iki ödevden hatırladın ki: a : b oranının iki terimi sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılır veya bölünürse oran de i mez, yani a : b = k ve m 0, ise (am) : ( bm) = k ve (a :m) : (b : m) = k dir. ki sayının oranı a : b = k ise, o zaman a sayısı neye e ittir? k sayısı a ve b sayıları için neyi gösterir? E er a : b = k, o zaman a = kb dir. k sayısı b'nin a sayısında kaç defa bulundu unu gösterir. B Hatırla! AB ve CD gibi iki do ru parçasının oranı k ise, yani AB : CD = k, o zaman AB = k, CD dir. Ölçü birimi CD do ru parçası oldu u durumda, k oranı CD do ru parçasının AB do ru parçasında kaç defa bulundu unu, yani CD do ru parçası AB nin kaç katı oldu unu göstermektedir. 5. a = 1,2 dm, b = 18 cm do ru parçaları verilmi tir. a : b oranını yaz ve de erini hesapla. b : a oranını yaz ve de erini hesapla. b : a oranına a : b oranının tersidir denir. Öyle ki 18 : 12 oranının tersi 12 : 18 dir. 6. Arzu 5 ya ında, Canan 10 ya ında ve Hülya 35 ya ındadır. Aralarındaki ya oranını yaz: a) Arzu ve Canan; b) Canan ve Hülya; c) Arzu ve Hülya. Orantılı do ru parçalar 5
5 : 10, 10 : 35 oranlarını incele ve her ikisinin ortak noktası oldu unu gözlemle. Birinci oranın ikinci terimi, ikinci oranın birinci terimi ile aynıdır. Unutma! a : b ve b : c oranları genellikle kısacasına a : b : c yazılır ve böyle yazılı a a, b, c nin bile ik orantısı denir. Öyle ki, 5 : 10 : 35 ifadesi 5 : 10 ve 10 : 35 oranlarının bile ik orantısıdır. Bu iki orandan madda verilen bile ik orantı 5 : 35 oranını da ifade eder. 7. A, B, C kentleri arasındaki hava uzaklıkları : AB = 40 km, BC = 100 m, CA = 120 km. Bu uzaklıkları 800 000 defa küçültülmü bir çizimle göster. CA : AB : BC Bile ik orantısını en basit ekilde yaz. C 8. ekilde AB,CD ve PQ üç do ru A parçası verilmi tir, öyle ki AB = 5 PQ, CD = 3PQ C PQ do ru parçası: a) AB ; b) CD do ru parçasında kaç defa bulunur? P Q D B Gördü ünüz gibi, PQ do ru parçası AB ve CD do ru parçalarının birer katıdır. PQ do ru parçasına AB ve CD do ru parçasının ortak ölçü birimidir denir. Genel olarak E er üçüncü bir do ru parça onların her birinin katı ise, iki do ru parçası ölçülebilen do ru parça olabilir. ki ölçülebilen do ru parçanın oranı rasyonel sayıdır (tam veya kesir). Ödev 8 de AB ve CD do ru parçaları ölçülebilen do ru parçalardır. Ödev 7 deki AB, BC ve BC, CA do ru parça çiftleri de ölçülebilen do ru parçalardır (onların ortak ölçüsü örne in 1 km uzunlu unda do ru parçası olabilir). 9. ekilde kenarı a ve kö egeni d olan bir kare verilmi tir. d Kö egeni d yi a kenarının yardımı ile ifade et. d : a oranının 2 irasyonel sayısı oldu unu göster. a Fark et Ortak ölçüsü olmayan do ru parçalar çiftleri de vardır. Yani her ikisinde tam sayıda bulunan do ru parçası yoktur. Öyle do ru parçalara ölçülemeyen do ru parçalar denir ve onların oranı daima irasyonel sayıdır. 6 Konu 1. Benzerlik
Örne in, j karenin a kenarı ve d kö egeni ölçülemez büyüklüklerdir ve onların oranı d : a sayısı 2 'dir. Bilmen gerekenler: ki sayı ve iki do ru parça oranını adlandırmasın ı ve belirtesini, Verilen oranın de erini ve e it oranların belirtesin; Ters ve bile ik oranı yazılı ını; Oranda bilinmeyen terimi belirtilmesini Kendini yokla! AB = 8cm ve AC = 2cm do ru parçaları verilmi tir ( ekilde). A C B 1. 2. 3. Verilen oranın de erini belirt: a) AB : AC; b) AC : CB; v) CB : AC; d) CS : AB. a : b oranını en basit ekilde ifade ediniz: a) a = 6, b = 18; b) a = 28 cm, b = 7 cm; c) a = 1kg, b = 800g. Verilen oranların de erini belirt: a) 6:8; b) 150:200; c) 80:60; ç) 0,18 : 0,24. Onlardan hangileri birbirine e ittir? x : 4 oranının de eri 5 ise x kaçtır? Ödevler a:b oranının de erini en basit ekilde yaz, e er: a) a = 15 cm, b = 2dm b) a = 6x, b = 4x; c) a = 2litre, b = 800ml Önceki ödevde verilen her oranın tersini yaz. Verilen oranların terimlerini tam sayılar olmak üzere yaz: 2 4 a) 0,3 : 0,6 b) 0,35: 0,7 c) 5 : 3 ; 3 ç) 2 : 5,2; d) 5 1 : 35. 5 4 2 Onlardan hangileri birbirine e ittir? 4. 5. 6. Üsküp Valandovo uzaklı ı 150 km, Üsküp E ri Palanka 100 km, ve Üsküp Kalkandelen 50 km dir. a) Bu uzaklıkların bile ik orantısını yaz. b) Bu bile ik orantıyı en basit ekilde yaz. Oranın de eri verilmi ise, bilinmeyen terimi hesapla: a) x : 5 = 3 b) 6,5 : y = 13 c) x : 1,3 = 6 ç) 4 2 1 : y = 3. 3 3 Kenar ve çevre arasındaki oranı bul: a) e kenar üçgen b) e kenar be gen c) e kenar altigen. Orantılı do ru parçalar 7
7. 8. 2 AB = 24 cm do ru parçası verilmi tir ve onun üzerinde C noktası olmak üzere, AC = 18 cm do ru parçası elde edilmi tir. unu belirt: a) AC : CB b) En kısa ve en uzun do ru parçaların oranı. Küçük do ru parçası büyü ünde 7 defa bulunmakta, küçü ünden 2 defa küçük olan do ru parçası kalır. Küçük do ru parçasının uzunlu u 1 cm oldu una göre, büyük do ru parçasının uzunlu u ne kadardır? ORANTILI DO RU PARÇALAR Anımsa! 12 : 8 ve 6 : 4 oranları aralarında nasıldır? 12 : 8 = 6 : 4 e it oranların e itli i nedir? a : b ve c : d oranları birbirine e it ise, o zaman bu e itli e a c a : b = c : d, veya + b d orantı denir; a, b, c, d sayılarına ise orantının terimleri denir. Bu sayılardan hangisi oranın birinci, hangisi üçüncü terimidir? Hangileri iç, hangileri ise dı terimlerdir? 9. 10. Bir dik üçgenin açılarından biri 60 derecedir. Bunun hipotenüzünün ve küçük katetinin oranı neye e ittir? ki do ru parçanın uzunlukların toplamı 35, farkı ise 7 dir. Bu do ru parçaların oranını bul. Deneyiniz! Üç tavuk üç günde üç yumurta yumurtlar. a) Altı tavuk altı günde kaç yumurta yumurtlar? b) 100 günde 100 yumurtayı kaç tavuk yumurtlar? A 1. Uzunlukları AB = 40cm, PQ = 7cm, CD = 8cm, RS = 35cm olan 4 do ru parçası verilmi tir. Onlardan orantı olu turabilir misin? Onlardan herhangi bir orantı olu tur. Örne in, unu farkedebilirsin: 40cm : 8cm = 35cm : 7cm yani verilen do ru parçaların uzunluklarıyla 40 : 8 = 35 : 7 orantısını olu turabilrsin. Bu nedenle AB, CD ve RS, PQ do ru parçaları çiftlerine orantılı do ru parçalar denir. 12 : 8 = 6 : 4 orantının iç ve dı terimlerinin çarpımını bul. Bu çarpımlar birbiriyle nasıldır? Genel oralak ki çift do ru parçaların uzunluklarından bir orantı meydana geliyorsa a, b ve c, d do ru parçaları çiftlerine orantılı do ru parçaları denir. a a : b = c : d, veya + b c d 8 Konu 1. Benzerlik
E it oranların de eri olan k sayısına a : b ve c : d orantılı do ru parçalar çiftlerinin orantı katsayısı denir. Ödev 1 de AB, CD ve RS, PQ do ru parçaların çiftlerinin orantı katsayısı hangisidir? Do ru parçaların orantı katsayısını nasıl belirteceksin? AB:CD oranının de erini belirtece im, 40cm : 8cm = 40 : 8 = 5 yani k = 5. a 2. a = 2 cm, b = 1,5 cm, c = 4 cm, d = 3 cm do ru parçaları verilmi tir. b a, b ve c, d do ru parçalarının orantılı oldu unu göster. Orantı katsayısı ne kadardır? a, b ve c, d do ru parçalarının orantısını yaz. Dı terimlerin çarpımını ve iç terimlerin çarpımını bul. Bu çarpımlar aralarında nasıldır? d c Genel ve geçerli! Bir orantının dı terimlerinin çarpımı iç terimlerinin çarpımına e ittir, yani e er a:b = c:d, o zaman a d = b c Bu kurala orantıların temel özelli i denir. a, b, c, d orantılı do ru parçalardan herbirine di er üçünün dördüncü geometrik orantısıdır denir., a, b, c do ru parçalarının dördüncü geometrik oran- a:b = c:d orantısında örne in, d = tısıdır. bc a 3. a = 6 cm, b = 8cm, c = 12cm do ru parçalarında olu an orantılarda dördüncü geometrik orantısı olan x do ru parçasını bul. a) a: b = c : x b) x : c = a : b c) a : x = b: c a) ıkı için elde etti in çözümü verilen çözümle kar ıla tır: a : b = c : x; 6 : 8 = 12 : x; 6x = 8 12; x = 16 cm Anımsa! 5 ve 20 sayıları için 5 : x = x : 20 orantısını sa layacak x sayısını bul. 520 ( 10) neyidir? sayısı 5 ve 20 sayılarının 2 ve 32 sayılarının geometrik ortasını bul. B 4. a = 9 cm ve b = 4 cm do ru parçaları verilmi tir. a : x e it x : b olmak üzere x do ru parçasını hesapla. 2 ve 32 sayılarının geometrik ortasını bul. Elde etti in çözümü verilenlerle kar ıla tır. 9 : x = x : 4 orantısı temel özellik gere ince x 2 = 9 4 = 36 yani x = 36 6 ; elde edilir. Orantılı do ru parçalar 9
6 sayısının 4 ve 9 sayılarının geometrik ortasının oldu unu ke fet. Unutma! a ve b gibi iki do ru parçasının geometrik ortası (veya orta geometrik orantısı) a : x = x : b e itli ini sa layan x do ru parçasına denir. a x = x b x 2 = ab x ab 5. 6. C Verilen do ru parçaların geometrik ortasını bul: a) a = 12cm, b = 27 cm; b) a = 5 cm, b = 12 cm Yandaki ekilde verilen b do ru parçası, a ve c do ru parçalarının geometrik ortası olup olmadı ını ölçerek belirt. 7. 8 4 = 10 5 orantısı verilmi tir. 8 + 4 4 = 10 + 5 5 e itli in de orantı oldu unu göster. c b a Genel olarak da geçerlidir! E er a b = c d, o zaman a + b b = c + d d Bunu ispatlamaya çalı. 8. a + b a c a b c d = c + d oldu undan + 1 = + 1 geçerlidir, ondan sonra + = +, b d b d b b d d a + b yani = c + d b d Bunun tersinin de geçerli oldu unu öster. E er a+b c+d, o zaman dir. b = a d b = c d Anımsa! Üç veya daha çok oran birbirine e it ise, onları bile ik orantı eklinde yazabiliriz. a b c Örne in: = = a 1 b 1 c 1 Burada u e itlik geçerlidir: a + b + c a 1 + b 1 + c = a = b = 1 a 1 b 1 c c 1 10 Konu 1. Benzerlik
Bilmen gerekenler: Orantı kavramını tanımlayasın; Orantıda bilinmeyen terimi bulasın; Hangi do ru parçalar çiftleri orantılı do ru parçalardır; ki do ru parçasının geometrik ortasını belirt. Ödevler Kendini yokla! 10 : a = 15 : 6 orantısında bilinmeyen terimi bul. a = 4 cm, b = 5 cm, c = 8 cm do ru parçalarından olu an a : b = c : x orantısında bilinmeyen x do ru parçasının uzunlu unu hesapla. a = 2 cm ve b = 8 cm do ru parçalarının geometrik ortasını bul. 1. E ittli in do ru olması için a hangi sayı olmalıdır? a) 5 a =, b) a 3 = 2 8 14 7 6. ekildeki ABC üçgeninde CD do ru parçası AB hipotenüzüne kar ılık gelen yüksekliktir. C 2. Verilen dört do ru parçasının uzunluklarıyla orantı kur: 28 cm; 16 cm; 1,2 dm; 2,1 dm 3. 4. A 5. M a, b, c do ru parçalarından olu an a : b = x : c orantısında dördüncü geometrik orantısı olan x do ru parçasını belirt, e er: a) a = 1 dm, b = 3 dm, c = 2 dm 2 4 3 b) a = 2m, b = 3m, c = 4m. ekildeki ABC de CM : MA = CN : NB orantısı verilmi tir. Tablonun her satırında bazı uzunluklar verilmi tir. Eksik olan uzunlukları belirt. C N B a ) b) c) CM MA CN NB 8 6 4 6 4 5 8 8 4 a ve b do ru parçalarının geometrik ortasını bul, e er: a) a = 2 cm, b = 8cm; 1 b) a = 4 dm, b = 12 cm; 2 c) a = 7cm, b = 14 cm. 7. 8. 9. A D B Ölçerek unları do rulayınız: a) CD do ru parçası AD ve DB do ru parçalarının geometrik ortasıdır; b) AC do ru parçası AD ve AB do ru parçalarının geometrik ortasıdır. x ve y belirt, e er: a) x y 3 = = ; b) 4 5 2 a b = c d y = = 6 orantısından a a ıdakilerinden elde edildi ini göster: a b =, b d, c d = =. b d a c a b spatla ki: a c e er, a b c d ise, o zaman dir. b d. b d Orantılı do ru parçalar 11 7 x 1 4
3 α = α 1, β = β 1, FG = PQ. verilmi tir. H DO RU PARÇASININ E T KISIMLARA AYRILI I Anımsa! Bir do ru parçasını e it kısımlara nasıl ayıracaksın: a) iki kı ma; b) dört kı ma. ekildeki FGH ve PQR üçgenlerinde R A 1. ekilde SOT açısı gösterilmi ve OS kenarı üzerinde OA = AB = BC olmak üzere do ru parçaları alınmı tır. α F β G P α 1 β 1 Bu üçgenler birbirine göre nasıldır? E üçgenlerde kar ılıklı kenarlar birbirine göre nasıldır? Q A, B ve C noktalarından p, q ve r paralel do ruları çizilerek OT kenarını sırasıyla A 1, B 1 ve C 1 noktalarında keser. 2. OA 1, A 1 B 1 ve B 1 C 1 do ru parçaları için (sırasıyla) OA, AB ve BC do ru parçalarıyla kar ılıklı oldu u denilir. OA 1, A 1 B! ve B 1 C 1 do ru parçalarını ölç. Ne fark edersin? Ödev 1 deki ekilde ispatla ki OA 1 = A1B 1 =B1C. dir. 1 Yandaki ekli inceleyiniz. OS kenarına paralel olarak A 1 B 2 ve B 1 C 2 do ruları çizilmi ve birkaç açı rakamlarla i aret edilmi tir. OAA 1 ve A 1 B 2 B 1 incele ve fark et ki: 1 = 3, 2 = 4 (Neden?) OA A1B 2 OAA 1 A 1 B 2 B 1, OA A B 1 1 1 (Neden?) OAA 1 ve A 1 B 2 B 1 incele. Onların e olduklarını ve (Neden?) AB 1 1=BC 1 1 oldu unu göster. Bir açının kenarlarındaki do ru parçalarının e itli ine ait u teoremi incele ve unutma: Bir açının bir kenarı üzerinde e do ru parçaları alarak, onların uç noktalarından açının di er kenarını kesmek üzere paralel do rular çizilirse, bu do rular açının di er kenarından da e do ru parçalar kesecektir. 12 Konu 1. Benzerlik
Bu teorem gere ince verilen bir do ru parçasını istedi in kadar e it kısımlara ayırabilirsin. 3. ekildeki AB do ru parçasını 5 e it kısıma ayırınız. A B AB do ru parçasını 5 e it kısıma ayırmak için, önceki teoremden nasıl yararlanacaksın? Ba langıcı A noktasında olmak üzere bir yarı do ru çizdikten sonra, A noktasından ba layarak 5 e it do ru parçası çizece im. Ondan sonra, teorem gere ince, paralel do rular çizece im. Çözümü izle ve do ru parçasının e it kısımlara nasıl ayrıldı ını göreceksin. Geli i güzel bir AS yarı do rusu çiz ekildeki gibi. AS yarı do rusu üzerinde, A noktasından ba layarak AE gibi tahminen seçti iniz bir do ru parçasını 5 defa uygulayınız. Bununla 5 nokta elde edeceksin; be incisini C ile i aret et. Önce CB do rusunu çiz, ondan sonra elde edilen her noktadan CB do rusuna paralel olarak do rular çiz. Bu ekilde AB do ru parçası 5 e it kısıma ayrılmı olacaktır. Bu be parçanın neden birbiriyle e it oldu unu açıkla. 4. 5. Uzunlu u 7cm olan bir do ru parçasını çiz ve 6 e it kısıma ayır. Bir do ru parçası çiz ve e it do ru parçası teoreminden yararlanarak onun orta noktasını belirt. Anımsa! AB do ru parçası üzerinde M noktası i aret edilmi tir. Öyle ki, AM = 4 cm ve MB = 3 cm dir. A M B B 6. Uzunlu u 6cm olan AB do ru parçasını çiz. a) 5 e it kısıma ayır b) AM : MB = 3:2 olmak üzere, M noktasını i aret et. M noktası AB do ru parçasını hangi oranda böler? Orantılı do ru parçalar 13
Elde etti in çözümü yandaki ekilde verilen çözümle kar ıla tır. 7. AB do ru parçası çiz ve onu 3:4 oranında iki kısıma ayır. Önce AC do ru parçasını 3 + 4 = 7 e it kısıma ayır. Elde etti in çözümü, yanda AK = 3 AE ve KM CB alınmı olan çözümle kar ıla tır. Bu ekilde AM = BM = 3 : 4 elde edilmi tir. Neden AM = BM = 3 : 4 oldu unu açıkla. Bu çizime, verilen do ru parçasını verilen oranda bölme denir. 8. ekildeki AB do ru parçası M noktasıyla 3:2 oranında bölünmü tür. CD do ru parçası da N noktasıyla aynı 3:2 oranında bölünmü tür. AB ve CD do ru parçalarının kısımlarıyla ilgili orantı kur. A M B C N D Olanaklardan biri: AM:MB=CN:ND dir. Demek ki AM, MB do ru parçaları CN ve ND do ru parçalarıyla orantılıdır. Bu nedenle AB ve CD do ru parçaları aynı orantıda ayrılmı tır demektir. Genel olarak E er ki, birinin kısımlarının oranı di erinin kısımlarının oranıyla e it ise iki do ru parçası aynı orantıda ayrılmı tır. 9. Uzunlukları 7cm ve 4cm olan iki do ru parçası çiz ve onları orantılı ekilde 1:2 kısımlara ayır. 14 Konu 1. Benzerlik
Bilmen gerekenler: Bir do ru parçası e it kısımlara nasıl ayrılması ve ayırma i lemini yapasın; Do ru parçasını verilen bir orantıda bölesin; ki do ru parçasınnın, hangi durumda aynı orantıda bölündü ünü açıklamalısın. Ödevler Kendini kontrol et! 5 cm uzunlukta bir AB do ru parçasını çiz ve 3 e it kısıma ayır. Ondan sonra, AB do ru parçasını 2:1 oranında bölecek bir M noktasını i aret et. ekilde H ve K noktalarıyla orantılı olarak bölünmü olan PQ ve RS do ru parçalarından olu an bir orantı yaz. 2 6 P H Q 3 1 R K S 1. Uzunlu u 6 cm olan bir do ru parçası 6. çiz ve onu e it kısımlara ayır: a) üç; b) yedi. 2. 3. Bir AB do ru parçası çiz ve onu a) 2 : 1 ; b) 5 : 2 oranında ayır. Uzunlu u 10 cm olan bir do ru parçası çiz ve onu a) 7 e it kısıma; b) 4 : 3 oranında iki kısıma; c) 1 : 2 : 4 oranında ayır. 7. M noktası, AB do ru parçasını AB : MB = 5 : 3 oranında böler. AM do ru parçasının uzunlu u 4,8 dm oldu- una göre MB ve AB do ru parçaların uzunlu unu belirt. AB = 12 cm do ru parçasını ne kadar uzatmalıyız ki, AC : BC = 5 : 2 orantısını sa layacak AC do ru parçası elde edilsin? 4. ABC çiz ve kenarlarını üçer e it kısıma ayır. 8. M noktası AB do ru parçasını AM : MB = 3 : 2 oranında böler. AM : MB = 3 : 2 oranlarını belirt. 5. ABC ve onun AA 1 kenarortayını çiz. Ondan sonra AA1 kenarortayını AT : TA = 2 : 1 oranında bölerek T noktasını belirt. Orantılı do ru parçalar 15
4 ORANTILI DO RU PARÇALARINA A T TALES TEOREM Anımsa! Verilen bir do ru parçası a) e it kısımlara b) verilen m : n oranında nasıl bölünür. Onu çizimle açıkla. A 1. ekilde SOT dar açısı verilmi tir. OS kenarı üzerinde B noktası, OT kenarı üzerinde ise D noktası seçilmi tir. B ve D noktalarından da p do rusu p. çizilmi tir. T D p OB do ru parçası üzerinde O B S OA : AB = 3 : 2 olmak üzere A noktasını seçiniz. A noktasından q p olmak üzere q do rusunu çiz. q do rusu OT do rusunu C noktasında kesin. OC : CD = 3 : 2oldu unu gösteriniz. OC : CD = 3 : 2 oldu unu göstermek için nereden yararlanacaksın? Do ru parçasının verilen orantıda bölünme kuralından yararlanaca ım. ekilde ödevin çözümü verilmi tir. u soruları cevapla. OB do ru parçası 5 e it kısıma nasıl bölündü? OA : AB = 3 : 2 olmak üzere A noktası nasıl bulundu? Neden, OC : CD = OA : AB = 3 : 2 dir? Tales Teoremi denilen u iddiayı incele ve unutma. Bir açının kenarları iki farklı paralel do ruyla kesilirse, bir kenar üzerinde elde edilen do ru parçalar ve di er kenar üzerinde kesilen kar ılıklı pdo ru parçalarla orantılıdır. j D C AC BD OA : AB = OC : CD O A B 2. ekilde AC BD alınmı tır. E er OA = 4 dm, AB = 5 dm, OC = 8dm, CD belirt; OA : OB = OC : OD. oldu unu göster. ise 16 Konu 1. Benzerlik
Genel olarak geçerlidir ki: OA : AB = OC : CD e itli inden (Tales Teoremi gere ince) OB:OA=OD:OC e itli i elde edilir, veya: OA:OB=OC:OD Orantıların bu özelli inden yararlanarak AB:OA=CD:OCa a ıdaki e itli i elde ederiz: (AB+OA):OA =(CD+OC):OC. 3. OB:OA=OD:OColdu unu ispatla. ekilde ABC ve AC ve BC kenarlarını kesen MN AB do rusu verilmi tir. C AC ve BC do rularının MN do rusuyla orantılı olarak kesildiklerini göster, yani CM:MA = CN:NB. M N B E er yardıma ihtiyacın varsa... Önce, ACB açısının kenarlarının MN ve AB paralel do rularıyla kesilmi oldu unu tespit et. Ondan sonra, Tales Teoremi ni uygula. 4. T SOT açısını çiz ve ekilde görüldü ü gibi OA = 4 cm, D C OB = 6 cm, OC = 3 cm, OD = 4,5 cm,. do ru parçalarını i aret et. O A B S OA, OB ve OC, OD do ru parçalarının orantılı olduklarını, yani OA : OB = OC: OD oldu unu görebilirsin. AC ve BD do rularını çiz. Ondan sonra, iki çizgilik üçgenle onların paralel olup olmadı ını yokla. Çizimde ve ölçmede yeterince isabetli olmu san, AC BD. Genel olarak geçerlidir! A B ki do ru bir açının kenarlarından orantılı do ru parçalar keserse, o do rular birbirine paraleldir. T D C O A B S OA : OB = OC : OD AC BD Orantılı do ru parçaların bu özelli ine Tales Teoremi nin tersi denilir. Orantılı do ru parçalar 17
5. ekile göre, a a ıdaki verilerden hangi durumda MN PQ. a) RM = 10, RP = 12, RN = 15, RQ = 18; b) RP = 14, MP = 4, RQ = 21, NQ = 6; Q: M R N c) RM = 6, RP = 8, RN = 9, RQ = 14. P Q Bilmen gerekenler : Tales teoremini ifade edesinve onu basit ödevlerde uygulayasın; Tales teoreminin tersini ifade edesin ve onu basit ödevlerde uygulayasın. Kendini yokla! ekilde PQ BC verilmi tir. A a ıdaki iddiaların do ru olması için onları tamamla: a) AP : AB = : ; b) c) : = AQ : QC ; c) AP : PB = : ; c) ]) AC : AQ = :. ekilde i aretlenen do ru parçalar için BC DE? 35 C Q A P B E 28 C Ödevler 1. ekilde AC t[ BD marr[ alınmı tır. AC BD. D C O A B A a ıdaki verilere göre OB, yi belirt, e er: OA = 4 cm, OC = 6 cm, OD = 9 cm. 20 16 A B D 2. ekildeki ABC de MN AB dir. a) E er CM = 12 ; CA = 18 ; C BN = 8 ; CN, ne kadardır M N b) E er CM = NB, MA = 4 ve CN = 9 ise, CM ne A kadardır. B 18 Konu 1. Benzerlik
3. ekilde gösterilen her üçgende, tabana paralel do ru çizilmi ve birkaç do ru 6. parçası i aret edilmi tir. OA : AB = OC : CD orantısından u orantıların elde edildi ini C göster: D O A B b a 1 x 1 c x d n x m 1 k 2 2 x a) AB:OA=CD:OC; c) OB : AB = OD : CD ; b) OB : OA = OD : OC ; d) ]) OA : OB = OC : OD. Her dört durum için x sayısını belirt, di erlerinin harfl erle verilmi oldu unu tahmin ederek. Dene!... Mecburi de ildir 4. ekildeki SOT açısının kenarları AA 1, BB 1 ve CC 1 do rularıyla, OA : AB : BC = 2:3:1 olmak üzere kesilmi tir. OA 1 = 6 cm oldu una göre A 1 B 1 ve B 1 C 1 do ru parça-larının uzunluklarını belirt. 7. ekilde C kö esine ait açı ortayı CD olan ABC verilmi tir. Ondan sonra AC kenarı uzatılmı ve BE DC do rusu çizilmi tir. a) E er yan kenarları BC = CE, o zaman BEC ikiz kenar üçgen oldu unu ispatla. 5. ekilde a); b), ıklarında i aretlenen do ru parçalar için BC DE olup olmadı ını e. yokla. Cevabını açıkla. b) ABC üçgeninde ACB açısının açı ortayı, kar ıki AB kenarını di er iki kenarla orantılı olacak iki kısıma ayırdı ını göster, yani AD : DB = CA : CB, ya da (c x) : x = b : a. a) 18 24 b) Orantılı do ru parçalar 19
5 TALES TEOREM NDEN YARARLANARAK ÇÖZÜLEB LEN ÖDEVLER Anımsa! Orantılı do ru parçalara ait Tales Teoremi nasıl ifade edilir? a : b = c : x orantısında a, b, c nin yardımı ile x büyüklü ünü ifade et. A AB : AB 1 ve AC : AC 1 birbirine göre nasıldır? AB, AB 1 ; BC, B 1 C 1 do ru parçalarını dikkatle ölç, ondan sonra AB : AB 1 ve BC : B 1 C 1 oranlarını hesapla. Ne fark edersin? A B 1 B E er çizimi ve ölçmeleri do ru yapmı san, AB, AB 1 do ru parçalarının BC,B 1 C 1 do ru parçalarıyla orantılı oldu unu göreceksin, yani; Genel olarak geçerlidir! AB : AB 1= BC :B1C 1= AC : AC1 1. ABC sonra ekilde oldu u gibi BC kenarıyla paralel olan ve A açısının kenarlarını kesen B 1 C 1 do rusunu çiz. C Bir üçgende kenarlarından birine paralel do ru çizilerek di er iki kenar kesilirse, elde edilen yeni üçgenin kenarları verilen üçgenin kenarlarıyla orantılıdır. C 1 2. Ödev 1 de Tales Teoremi ni uygulayarak bu iddiayı ispatlamaya çalı. C Verilenler: ABC, B 1 C 1 BC ( ekilde oldu u gibi). C 1 a a 1 spatla: burada: BC AC AB = = BC AC AB, 1 1 1 1 yani a b c, a b c 1 1 1 BC = a, AC = b, AB = c, BC = a, AC = b, AB = c. 1 1 1 1 1 1 1 A C 1 B 1 C B Verilen ekil, AC ye paralel olmak üzere B 1 F do rusunun çizimiyle tamamlanmı tır. Verilen e itli i ispatlamak için Tales Teoremi ni nasıl uygulayacaksın? A B 1 F B ABC ve ABC açıları için elde edilen orantılı do ru parçalarından olu an orantıları yazaca ım. Ondan sonra kar ıla tıraca ım. Yaptı ın inceleme ve elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır. 20 Konu 1. Benzerlik
AB BAC B 1 C 1 BC ile kesilmi tir. Tales Teoremi gere ince: AB A ABC B 1 F AC ile kesilmi tir. Tales Teoremi gere ince: AB AB 1 AC = AC 1 1 BC = FC (1) (2) Ka B 1 FCC 1 dörtgeni paralelkenardır (neden?), FC = B 1 C 1 bunu (2) de de i tirmekle elde edilir. AB BC = AB1 B1C. (3) Prej (1) dhe (3): BC AB AC in ve = = 1 B1C 1 AB1 AC, yani d.m.th. a c b. a c b 1 1 1 1 Bu iddiaya üçgene ait Tales Teoremi denir. Ters iddia geçerlidir! Bir do ru, bir üçgenin iki kenarını kesti i durumda, kenarları orantılı parçalara ayırıyorsa, o halde do ru, üçgenin üçüncü kenarıyla paraleldir. C m F n A p G q B m : n = p : q FG AB 3. ekildeki ABC de, MN BC dir. BC : MN, de erini bul, e er AM = 15, AB = 18 N C 4. 5. AB = 15, BC = 10 ve M noktası AB nin orta noktası ise MN belirt. Üçgenin orta tabanı özelli inden yararlanarak MN uzunlu unu yokla! ekildeki p ve q do ruları üç paralel do ru ile kesilmi tir. a, a kar ılıklı do ru parçalar, b, b kar ılıklı do ru parçalarıyla orantılı oldu unu göster. Yani: a : a = b : b. Ödevin çözümünü izle. ekilde yapıldı ı gibi AD do ru parçasını çiz, görüldü ü gibi CAD ve ADB açılarının kenarları iki er paralel do ru ile kesilmi tir. a : b = x : y ve a : b = x : y E itliklerin sa tarafları birbirine e it oldu una göre a : b = a : b yani a : a = b : b elde edilir. Önceki ekile göre, a = 3, b = 5 ve b = 7 ise a do ru parçasının uzunlu unu hesapla. ekildeki ABCD yamu unda MN AB, AD = 18cm, BC = 24 cm ve DM = 3 cm. BN ve NC belirtilsin. A C p A a b p A a b x y C e segmentit a'. M D M q B a' q B a' C b' D b' D N B A B Orantılı do ru parçalar 21
B 6. ekilde a, b, c do ru parçaları verilmi tir. a : b = c : x olmak üzere x do ru parçasını bulunuz, yani, a, b, c, do ru parçalarının dördüncü geometrik orantısını bul. c a b E er ödevi kendi ba ına çözemezsen, u tavsiyeler sana yardımcı olabilir: Tales Teoremini hatırla. SOT açısını çiz ve ekilde oldu u gibi a = OA, b = AB ve c = OC çiz. B noktasından AC ye paralel do ru çiz ve OT ile kesi imini D ile i aret et. x = CD istenilen do ru parçasıdır (Neden?). a, b, c do ru parçalarının dördüncü geometrik orantısı olan x do ru parçası ikinci ekilde oldu u gibi de elde edilebilir. ekli incele ve yöntemi açıkla. 7. a = 4 cm, b = 6 cm ve c = 5 cm do ru parçaları için, dördüncü geometrik orantısını çiz: bc ac a) x =, b) x =. a b bc Önce x = fadesinden x : c = b : a orantısının elde edildi ini görebilirsin. a 8. ki do ru parçası a = 3 cm ve b = 2 cm çiz. x = ab olacak ekilde x do ru parçasını çiz. Önce, x = ab e itli inden 1 : a = b : x orantısı elde edilebildi ini görebilirsin. Buna göre çizimi yap. Bilmen gerekenler: Üçgene ait Tales eoremi ni ifade edesin ve onu daha basit ödevlerde uygulayasın; Üç do ru parçasının dördüncü geometrik orantısını çiz. Kendini yokla! ABC de MN AB verilmi tir. ekildeki verilere göre onun kenarlarının uzunluklarını bul. Üç do ru parçası a, b, c, verildi inde, onların dördüncü geometrik orantısının nasıl çizildi ini açıkla. 22 Konu 1. Benzerlik
Ödevler 1. ekildeki ABCD yamu unda, tabanlar AB = 12, CD = 5 ve yan kenar AD = 7 dir. AD ve BC kenarları S noktasında kesi inceye kadar devam edilmi tir. SD belirtilsin. 6. 7. 8. Üç do ru parçası a, b, c çizdikten sonra a a ıdakileri sa layacak x do ru parçasını çiz: a) x : a = b : c; b) a : x = b : c; c) a : b = x : c. a ve b do ru parçalarını çizdikten sonra x = a 2 do ru parçasını çiziniz. a ve b do ru parçalarını çizdikten sonra a a ıdaki do ru parçaları da çiz. 2 2 a b a) x ; b) x. b a 2. Bir a acın gölgesi BC ( ekilde) 20 m dir. Aynı anda 1 m uzunlukta olan bir sopanın (PQ) gölgesi 1,4 m dir. A acın AB yüksekli ini belirt. 9. Tabanları AD = 8 ve BC = 20 olan ABCD yamu unun BC kenarı üç e it kısıma ayrılmı tır ve ( ekilde görüldü ü gibi) bölüm noktalarından tabanlara paralel do rular çizilmi tir. Yamuk içinde kalan x ve y do ru parçalarının uzunluklarını belirt. D A x y C B 3. ekildeki ABCD D yamu unda MN PQII AB dir. ekildeki verilere göre 6 P AD ve BC yan kenarlarının uzunlukla- 3 M rını bul. A C 8 Q 6 N B Yardım. AB ye paralel olan DM do rusunu çiz. DMCincele (ödev 4 ün çözümünü anımsa). 10. ekilde, A noktası ula ılmaz ve B noktası ula ılabilir olan do adan bir durum gösterilmi tir. a) Ula ılmaz olan BA uzaklı ını belirt. 4. ekildeki ABC de BC kenarı üç e it kısıma ayrılmı tır ve bölüm noktalarından uzunlu u 15cm olan AB kenarına paralel do rular çizilmi tir. Üçgende kalan her do ru parçanın uzunlu unu bul. A C k x y 15 k k B b) u verilere göre BC = 100m, CE = 250m, CD = 80m. BA uzunlu unu hesapla. c) u verilere göre CE = 250m, CD = 80m ve DB = 96m, EA uzunlu unu hesapla. 5. a = 4 cm, b = 5 cm, c = 3 cm do ru parçalarının dördüncü geometrik orantısını çiz (a : x = b : c). Orantılı do ru parçalar 23
BENZER ÜÇGENLER 6 BENZER EK LLER. BENZER ÜÇGENLER Anımsa! SOT açısının kenarları AC ve BD paralel do rularıyla kesilmi tir. C D T Hergünkü A N ya amda ço u kez ekilleri aynı ve büyüklükleri farklı ya da aynı olan nesnelere rastlamaktayız: otomobil ve onun modeli; iki bardak; iki sandalye v.b. O A B S ekilden yararlanarak verilen oranlara e it olan oranları yaz: a) OA : AB; b) b) OC : OD. Hangi teoreme göre oranları yazdın? ekilde do ru parçaların u orantısı geçerlidir: OA : AB OD : DC. O D C A AD ve BC do rularının durumu nasıldır? Açılar büyüklüklerine göre nasıldır: a) OAD dhe ve OBC; b) ODA dhe ve OCB? B 1. 2. ekilleri aynı ve büyüklükleri farklı veya e it olan iki geometri ekile benzer geometri ekiller denir. A a ıdaki ekillerden hangilerine benzer ekiller diyebiliriz: iki kare; iki daire; kare ve daire? Makedonya nın iki co rafya haritası verilmi tir. Birincisinin oranı 1 : 1000000, ikincisinin oranı ise 1: 500000 dir. Bu haritalar benzer midir? Birinci haritada Üsküp - Kumanova uzaklı ı 4 cm dir. kinci haritada Üsküp - Kumanova uzaklı ı ne kadardır? Birinci haritada Üsküp - Kumanova uzaklı ı ve ikinci haritadaki Üsküp - Kumanova uzaklı ının oranı nedir? Birinci haritada herhangi iki nokta arasındaki uzaklık ve ikinci haritada kar ılıklı aynı noktalar arasındaki uzaklı ın oranı nasıldır? Konu 1. Benzerlik
Yandaki ekli incele. ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenlerinin kö elerinin ba langıç noktaları O olan yarıdo rular üzerinde bulunuyor ve u orantılı do ru parçaları olu turuyorlar: ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenleri için, kar ılıklı kö eler, kar ılıklı açılar ve kar ılıklı kenarlar farkedece iz, yani: kar ılıklı kö eler: A ve A 1 ; B ve B 1 ; C ve C 1 dir. kar ılıklı açılar: A ve A 1 ; B ve B 1 ; C ve C 1 dir. kar ılıklı kenarlar: AB ve A 1 B 1 ; BC ve B 1 C 1 ; AC ve A 1 C 1 dir. ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenlerinin kar ılıklı kenarlarının birbirine paralel oldu unu gösteriniz, yani ve dir. Üçgenlerde oldu unu göster. Üçgenlerde kar ılıklı kenarların birbiriyle orantılı oldu unu göster, yani dir. Elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır. oldu undan, Tales teoreminin tersinden AB A 1 B 1 gerekir. Benzer ekilde BC B 1 C 1 ve AC A 1 C 1 oldu unu gösterebiliriz. AB A 1 B 1 ve AC A 1 C 1 oldu undan, paralelkenar açılar gibi A = A 1 gerekir. Benzer ekilde ve Tales teoremini hatırla: SOT açısının kenarları AB ve A 1 B 1 paralel do rularıyla kesiliyorsa AB ve A 1 B 1 do ru parçaları OA ve OA1 do ru parçalarıyla orantılıdır, yani dir. Üçgenin di er kar ılıklı kenarlarının da aynı orantıda oldu unu gösterebilirsin, yani: ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenleri için kar ılıklı açıların birbirine e it ve kar ılıklı kenarların birbiriyle orantılı oldu unu gösterdin. Onlar sa daki ekilde oldu u gibi ba ka durumda da gösterebilirler. ABC üçgenini saydam bir ka ıtta çiziyorsan, ( ekilde oldu u gibi) A 1 B 1 C 1 bölgesinin içine olacak ekilde götürebilirsin. ABC ve A 1 B 1 C 1 ekli aynı fakat büyüklükleri farklı oldu unu görebilirsin, yani onlar benzer üçgenlerdir. Benzer üçgenler
Unutma! ki üçgenin kar ılıklı açıları e it ve kar ılıklı kenarları orantılı ise onlar benzer üçgenlerdir. ABC ve A 1 B 1 C 1 benzer üçgenleri ABC ~ A 1 B 1 C 1 eklinde yazıyoruz. ABC benzerdir A 1 B 1 C 1 diye okunur. Ödev 3 te ABC ve A 1 B 1 C 1 benzer üçgenlerin kenarlarının orantı katsayısı ne kadardır? Ödev 3 te ABC ve A 1 B 1 C 1 benzer üçgenlerin kenarlarının orantı katsayısı 1:2 yani 1 oldu unu gördün. 2 ki benzer üçgenin ( ABC ~ A 1 B 1 C 1 ) kar ılıklı kenarlarının orantı katsayısına, benzerlik katsayısı denir. ABC ~ MNP yazıldı ı durumda, bu üçgenlerin kar ılıklı kö eleri: A ve M, B ve N, C ve P dir. Ödev 3 te ABC ~ A 1 B 1 C 1 oldu unu ve benzerlik katsayısı 1 oldu unu gördün. 2 Neden A 1 B 1 C 1 ~ ABC dir ve onların benzerlik katsayısı ne kadardır? Bilmen gerekenler: ise ve dir. ki üçgenin benzerlik katsayısını belirtesin. Bilmen gerekenler: ekilde ABC ~ MNP dir. Onların kar ılıklı: a) kenarlarını; b) açılarını yaz. Benzerlik katsayısını belirt. x ve y kenarlarını belirt. Ödevler ABC ~ RST verilmi tir. Onların kar ılıklı: a) kenarlarını, b) açılarını yaz. Birincisinin kenarı a = 3 cm ve ikincisin kenarı 4 cm olmak üzere iki e kenar üçgen çiz. Onların benzer olduklarını göster. Benzerlik katsayısını belirt. Konu 1. Benzerlik 3. 3. ekilde ABC ~ PQR dir ve kenarlarının uzunlukları i aret edilmi tir. x ve y belirtilsin.
4. ekilde ABC ~ MNC 5. dir., ve 6. oldu una göre, CB ve MN neye e ittir? ABC A 1 B 1 C 1 oldu una göre, ABC ~ A 1 B 1 C 1 gerekir mi? Açıkla. M ve N noktaları ABC üçgeninde AC ve BC kenarlarının orta noktaları olsun. MNC ~ ABC oldu unu göster. ÜÇGENLER N B R NC BENZERL K KURALI Anımsa! ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenlerin benzer olup olmadı ını tespit etmek için onların kar ılıklı açılarının e it ve kar ılıklı kenarlarının orantılı olup olmadı ını yoklamak gerekir. Yani, 1 ve MON açısının kenarları a ve b paralel do rularıyla olmak üzere kesilmi tir. OAD ve OBC üçgenlerini incele, ondan sonra: BC ve AD kenarlarının oranını belirt. Üçgenlerin kar ılıklı açılarının birbiriyle nasıl oldu unu belirt. OBC ~ OAD? Elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır. ABC çiz ve AB kenarından üç defa büyük olan A 1 B 1 do ru parçasını çiz. Ondan sonra, kenarı A 1 B 1, B 1 A 1 C 1 = A ve A 1 B 1 C 1 = B olacak ekilde A 1 B 1 C 1 üçgenini çiz. ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenlerinin kar- ılıklı iç açıları birbirine e it midir? Neden? Kar ılıklı açılar e ittir: A = A 1 ve B = B 2, çizim gere ince; çünkü A 1 B 1 C 1 üçgeninin kar ılıklı kenarları ABC nin kar ılıklı kenarlarıyla orantılı olup olmadı ını ölçme ile yokla. Orantı katsayısını belirt. A 1 B 1 C 1 ve ABC üçgenlerinin kar ılıklı kenarlarının orantılı oldu unu ve A 1 B 1 C 1 ~ ABC oldu unu açıklamaya çalı. ekilde, ve olmak üzere, ABC ve A 1 B 1 C 1 verilmi tir. A 1 B 1 C 1 ~ ABC oldu unu göstermek için benzer üçgenlerin altı ko ulunun geçerli olup olmadı ını yoklamalısın, yani, Benzer üçgenler
Üçgenlerin kar ılıklı açılarının birbirine e it oldu unu gösterdin. A kö esi A 1 ile, B kö esi B 2 ve C kö esi C 2 ile çakı ık olmak üzere, ABC kaydırılarak A 1 B 1 C 1 üzerine götürülmü olsun. Bu durumda açı A, açı A 1 ile; açı B, açı A 1 B 2 C 2 ile; ve açı C, açı B 2 C 2 A 1 ile çakı acaktır. A 1 B 2 C 2 oldu undan, B2C2 B1C1 gerekir. ekilden ve orantılı do ru parçalara ait Tales Teoremi gere ince yani, Buna göre, A 1 B 1 C 1 ~ ABC sonucuna varılır. A 1 B 1 C 1 ~ ABC oldu unu gördün. Buna göre iki üçgenin benzer olup olmadı ını tespit etmek için bu üçgenlerin kar ılıklı iki er açısının e it olup olmadı ını yoklamak yeterli olacaktır. Unutma! Bir üçgenin iki açısı, di er bir üçgenin iki açısıyla e it ise, onlar benzer üçgenlerdir. Bu iddia üçgenlerin birinci benzerlik kuralı gibi adlandırılmı tır. ekilde A = D = 30 verilmi ve C noktası AE ve BD do ru parçalarının kesi im noktasıdır. ABC ~ DEC oldu unu göster. 3. ABC üçgeninde AB kenarına paralel olmak üzere MN do ru parçası çizilmi tir. ve oldu unu göster. ABC ~ MNC oldu unu göster. u iddiayı fark et. Bir üçgende bir kenara paralel olan ve di er iki kenarı kesen bir do ru çizildi inde, verilene benzer olan üçgen elde edilir. Bu iddiayı, üçgen için Tales Teoremi ile kar ıla tır. ekildeki ABC üçgeninde MN AB ve NP AC do ru parçaları çizilmi tir. Kaç üçgen fark ediyorsun? Üçgenlerden hangilerinin birbirine benzer oldu unu yaz. Konu 1. Benzerlik
unları fark et: Her üçgen kendi kendisine benzerdir. ki e üçgen birbirine benzerdir. Onların benzerlik katsayısı ne kadardır? 5. ekilde A = P = olmak üzere, ABC ve PQR dik üçgenleri verilmi tir. ABC ~ PQR oldu unu göster. Üçgenlerin kar ılıklı iki er açılarının e it oldu unu göster: A = P ve B = Q = 90. Üçgenlerin birinci benzerlik kuralına göre: ki dik üçgenin benzer olması için, birinin bir dar açısı, di erinin bir dar açısıyla e it olması gerekmektedir. 6. ekildeki ABC üçgeninde CD yüksekli i ve MN AB do ru parçası çizilmi tir. Orada kaç dik üçgen fark edebilirsin ve onlardan hangileri benzerdir? 7. ekilde C = R = olmak üzere, iki ikizkenar üçgen ABC ve PQR verilmi tir. A = P oldu unu göster. ABC ~ PQR oldu unu göster. Genel olarak Bir üçgenin ucu di er üçgenin ucuyla aynı ise iki ikizkenar üçgenler benzerdir. 8. A = A 1 olarak AB ve A 1 B 1 esaslarla A 1 B 1 C 1 iki ikizkenar üçgen çiz. ABC ~ A 1 B 1 C 1 oldu unu göster. ki ikizkenar üçgenlerin benzerli i için ba ka bir ispatlama ifade et. Benzer üçgenler
Bilmen gerekenler: Üçgenlerin birinci benzerlik kuralını ifade et; ki dik, ya da iki ikizkenar üçgenin benzer olmaları için yeterli artlar hangileridir; ki üçgeni benzer olup olmadı ını tespit et; Benzer üçgenlerde bilinmeyen kenarı belirt. Kendini yokla! AB do ru parçasının uç noktalarından AB ye dik olmak üzere AC = 3 cm ve BD = 5 cm do ru parçaları çizilmi tir. s do rusu AB do ru parçasını hangi oranda böler? Ödevler ekilde ABC üçgeni ve MN AB verilmi tir. u oranları belirt: a) E er CM : MA = 3 : 2 ise, o zaman CM : CA = b) E er CM : MA = 7 : 3 ise, o zaman CN : NB = c) E er CM : CA = 3 : 4 ise, o zaman AB : MN = 2. 3. 4. 5. Kenarları AB = 20, BC = 12 ve CA = 16 olan ABC verilmi tir. BC kenarı üzerinde olan M noktasından AB ye paralel olan bir do ru çiziliyor. Bu do ru AC kenarını N noktasında keser. CM = 3 oldu una göre, MN belirtilsin. Tabanları AB ve CD olan ABCD yamu- unda, AC be BD kö egenleri, S noktasında kesi iyorlar. a) ABS ~ CDS oldu unu ispatla. b) AB = 12, AS = 6 ve SC = 3 oldu una göre, CD yı belirt. Kenarları 4, 5, 6 olan A 1 B 1 C 1 benzer öyle bir A1B1C1 üçgeni çiz ki: a) En küçük kenarı 5 olsun; 3 b) Orantı katsayısı olsun. 4 Bir a acın gölgesi 10 m oldu u anda; 1,7 m yükseklikte olan bir ki inin gölgesi 1 m dir. A acın yüksekli ini belirt. Konu 1. Benzerlik
ÜÇGENLER N K NC VE ÜÇÜNCÜ BENZERL K KURALI Anımsa! ki üçgen ABC ve A 1 B 1 C 1 benzer olması için altı ko uldan hangilerinin sa lanması gerekir? Üçgenlerin birinci benzerlik kuralı gere ince ABC ~ A 1 B 1 C 1 olması Kenarları AB = 3cm ve AC = 2cm ve A= 60 olan ABC çiz. Ondan sonra A 1 = 60 ve kenarları A 1 B 1 = 3AB, A 1 C 1 = 3AC, olan A 1 B 1 C 1 çiz. ve ve ve için, hangi ko ullar yeterlidir? ölç ve kar ıla tır. Ne farkediyorsun? ekilde ödevin ko ullarına göre üçgenler çizilmi tir. ABC üçgenini A A 1 ile çakı acak durumda kaydıralım. Bu durumda ABC üçgeni A 1 B 2 C 2 ile çakı acaktır. u oranları belirt: ve Göster ki ve Neden ABC ~ A 1 B 1 C 1 ki üçgenin hangi kar ılıklı elemanları verilmi tir ve bunlar, iki üçgenin benzer olduklarını tespit etmek için yeterli midir? Orantılı olan iki kar ılıklı kenar ve onların olu turdukları birer e it açı verilmi tir. Bu ko ullar üçgenlerin benzer olduklarını tespit etmek için yeterli ko ullardır. Buna göre, üçgenlerin benzerli ine ait kural ifade edilebilir. Bu kural benzer üçgenlerin ikinci benzerlik kuralı olarak adlandırılmı tır. ki üçgenin kar ılıklı iki er kenarı orantılı ve o kenarların olu turdukları kar ılıklı açıları e it ise, üçgenler benzerdir. 2. ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenleri benzer olup olmadıklarını yokla, e er: 3. ekilde verilen ABC de M noktası AB kenarının orta noktasıdır, N noktası ise AC nin ortasıdır. ABC ~ AMN oldu unu ispatla. ABC nin MN orta tabanının, kar ılıklı BC kenarının yarısına e it oldu unu göster. Benzer üçgenler
4. Kenarları AB = 8 cm, BC = 6 cm, AC = 4 cm, olan ABC üçgenini çizdikten sonra, kenarları ABC üçgeninin kenarlarından iki defa daha küçük olan A 1 B 1 C 1 üçgenini çiz. A ve A 1, B ve B 1, C ve C 1 açılarını ölç ve kar ıla tır. Ne farkediyorsun? ABC ~ A 1 B 1 C 1 midir? ki üçgenin kar ılıklı kenarları orantılıdır. Buna göre bu iki üçgenin benzer oldu unu tespit etmek için ko ul yeterli midir? ki üçgenin benzer olması için, onların kar ılıklı kenarlarının orantılı olması yeterlidir. Çünkü o durumda kar ılıklı açıları da birbirine e it olur. Farketti in gibi, üçgenlerin benzerli ine ait bir kural daha ifade edilebilir. Bu kural benzer üçgenlerde üçüncü benzerlik kuralı gibi adlandırılmı tır. Bir üçgenin üç kenarı, di er bir üçgenin üç kenarı ile orantılı ise, üçgenler birbirine benzerdir. Kenarları verilmi olan u üçgenler benzer midir? a) 3, 4, 5 ve 6, 8, 10; b) 15, 9, 12 ve 4, 3, 5; c) 2, 2, 3 ve 6, 6, 8; ç) 2;3;4 ve 3;6;4,5? Bilmen gerekenler: Benzer üçgenlerin ikinci ve üçüncü benzerlik kuralını ifade edebilmelisin; kinci ve üçüncü benzerlik kuralını uygulayarak iki üçgenin benzer olup olmadı- ını tespit etmelisin; Benzer üçgenlerde bilinmeyen kenarı belirtmelisin. Bilmen gerekenler: ABC üçgeninin kenarları: a = 6 cm, b = 4 cm ve c = 3 cm dir. ABC ye benzer olan A 1 B 1 C 1 in en küçük kenarı 6 cm oldu una göre çevresini hesapla. ABC ve PQR benzer olduklarını kontrol et, e er: A = 55, AB = 12 cm, AC = 8 cm, P = 55, PR = 12 cm, PQ = 18 cm. Ödevler ki üçgen ABC ve PQR çiz, ondan sonra ABC ~ PQR olması için hangi ko ulların gerekti ini yaz. a) ikinci kurala göre; b) üçüncü kurala göre. ABC ve EDC üçgenlerinin benzer olduklarını göster. Hangi kurala göre? Konu 1. Benzerlik 3. 4. 5. Bir üçgenin kenarları 6, 5 ve 4 tür. Bu üçgene benzer olan di er bir üçgenin en büyük kenarı 9 ise ikinci üçgenin çevresini hesapla. Bir üçgenin iki açısı 60 ve 70, di er bir üçgenin iki açısı 50 ve 80 oldu u durumda iki üçgen benzer üçgenler midir? Bir ikizkenar üçgenin tepe açısı 70 dir. Di er bir ikizkenar üçgenin taban açısı 55 tir. Bu üçgenlerin benzer olduklarını ispatla.
6. BAC = 50, AB = 4 cm, AC = 6 cm; NMR = 50, MN = 30 cm, MR = 45 cm oldu u durumda ABC ~ MNR olup olmadı ını açıkla. ABC ~ A 1 B 1 C 1. Neden? A dan B ye kadar uzaklı ı belirt, e er BC = 40m, CB 1 = 5m, B 1 A 1 = 6,5m. 7. 8. Kenarları verilmi olan ABC ve A 1 B 1 C 1 benzer olduklarını yokla: a) 15,17,24 ve 4,5 ; 5,1; 7,2. b) 22; 8,2; 20 ve 55; 20,5; 50. A noktası ula ılmaz oldu u durumda, A noktasından B noktasına kadar uzaklı ı nasıl belirteceksin? ekile bak Do ada BC = m CB 1 olmak üzere B ile aynı do ruda olacak C ve B 1 noktalarını seçiyoruz. Ölçme aletiyle B 1 B e it olmasını sa larız. B 1 in kenarı üzerinde A, C ve A 1 aynı do ru üzerinde olmak üzere A 1 noktasını seçiyoruz. Ölçülmesi gereken A ve B noktaları arasında ula ılmaz bir bölüm oldu u durum- 9. da, A ve B arasındaki uzaklı ı nasıl belirteceksin? ekile bak C noktasını seçtikten sonra AC ve BC nin uzantılarında AC = n CA 1 ve BC = n CB 1 olmak üzere A 1 ve B 1 noktaları alınmı tır. ABC ~ A 1 B 1 C. Neden? A dan B ye kadar uzaklı ı belirt, e er AC = 10 m, CA 1 = 2 m ve A 1 B 1 = 3,5 m. K BENZER ÜÇGEN ÇEVRELER N N VE ALANLARININ ORANI Anımsa! Kenarları a = 15 cm, b = 9 cm ve c = 8 cm olan üçgenin çevresini hesapla. Kenarı a = 10 cm ve ona kar ılık gelen yüksekli i h = 6 cm olan üçgenin alanını hesapla. Üç veya fazla oran birbirine e it oldu u durumda, onlar bile ik orantı gibi yazılabilir, örne in: veya a : b : c = a 1 : b 1 : c 1. Orantı için a a ıdaki durum geçerlidir: Bir ABC üçgenin kenarları a = 6 cm, b = 8 cm ve c = 12 cm dir. Buna benzer olan bir di er A 1 B 1 C 1 üçgenin en küçük kenarı a 1 = 3 cm dir. Üçgenlerin benzerlik katsayısını belirt. A 1 B 1 C 1 in b 1 ve c 1 kenarlarını belirt. ABC ve A 1 B 1 C 1 in çevrelerini belirt. Üçgenlerin çevrelerinin oranını, iki er kar- ılıklı kenarların oranıyla kar ıla tır. Sonuç nedir? Benzer üçgenler
Elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır. Benzer üçgenlerin iki kar ılıklı kenarı a ve a1 biliniyor. Buna göre yani ABC üçgeninin çevresi L = 6 + 8 + 12 yani L = 26 cm. A 1 B 1 C 1 in çevresi L 1 = 3 + 4 + 6 yani L 1 = 13 cm oldu unu farkedersin. Benzer üçgenlerin çevrelerinin oranı, kar ılıklı kenarların oranına e it oldu unu görüyorsun. Genel olarak geçerlidir E er ABC ~ A 1 B 1 C 1 o zaman P P 1 spat. ABC ~ A 1 B 1 C 1 benzer olduklarından gerekir. Bile ik orantıların özelli ine göre bulunur. yani P P 1 Unutma! ki benzer üçgenin çevrelerinin oranı, onların iki er kar ılıklı kenarlarının oranına e ittir. ABC nin kenarları a = 6, b = 15 ve c = 18 dir. Verilen üçgenea 1 B 1 C 1 orantı katsayısı 1 k = olmak üzere benzerdir. A 1 B 1 C 1 in L 1 çevresini hesapla. 3 3. ekilde ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenleri benzerdir. Onların kar ılıklı yükseklikleri CD ve C 1 D 1 çizilmi tir. ADC ~ A 1 D 1 C 1 oldu unu göster. Kar ılıklı yüksekliklerin CD ve C 1 D 1 üçgenin kar ılıklı kenarlarıyla orantılı oldu unu göster. Konu 1. Benzerlik
Elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır. ADC ve A 1 D 1 C 1 üçgenlerinin birer dar açılarının e it oldu unu fark ediyorsun, yani ( çünkü ABC ~ A 1 B 1 C 1 ) dir. ADC ~ A 1 D 1 C 1 sonucuna varabilirsin. Oradan da ABC ~ A 1 B 1 C 1 in benzerli inden: Benzer üçgenlerde, kar ılıklı yüksekliklerin oranı, kar ılıklı kenarların oranına e ittir. Genel olarak ki benzer üçgende, kar ılıklı yükseklikler, kenarortaylar, açıortaylar, çevrel ve içten te et çemberlerin yarıçaplarının oranı, kar ılıklı kenarların oranına e ittir. ki benzer üçgenin çevreleri 16 cm ve 24 cm dir. Birinci üçgenin bir yüksekli i 9 cm dir. kinci üçgenin kar ılıklı yüksekli ini belirt. C ekilde ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenleri benzerdir. Onların alanları P ve P 1 dir. Üçgenlerin P ve P 1 alanlarının formüllerini, verilen kenarlar ve kar ılıklı yükseklikler ile yaz. h : h 1 oranını yaz. Üçgenlerin alanlarının oranı P : P 1 neye e it oldu unu ispatlamaya çalı. Elde etti in çözümü, verilenle kar ıla tır. P P 1 P : P 1 yani P P 1 P ABC ~ A 1 B 1 C 1 oldu undan gerekir. Buna göre Benzer ekilde P P 1 oldu unu gösterebilirsin. P 1 Unutma! ki benzer üçgenin alanlarının oranı, onların kar ılıklı kenarlarının karelerinin oranına e ittir. ABC ve A 1 B 1 C 1 benzer üçgenlerin alanları 49 cm 2 ve 36 cm 2 dir. ABC nin bir kenarı a = 7 cm oldu una göre, di er üçgenin a 1 kenarını ve h ve h 1 kar ılıklı yüksekliklerini belirt. Benzer üçgenler
Elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır. P : P 1 P A 1 B 1 C 1 de P 1 ve a 1 bilindi ine göre, h 1 yüksekli ini belirt. Bilmen gerekenler: ki benzer üçgende çevrelerinin oranı nasıl ve alanlarının oranı nasıl oldu unu ifade etmelsinin; ki benzer üçgenin kar ılıklı yüksekliklerin, kenarortayların, açıortayların oranı ile iddiaları ifade etmelsinin; ki benzer üçgenin çevrelerinin ve alanlarının oranlarını ödevlerin çözümünde kullanasın. Ödevler Bir üçgenin çevresi ona benzer bir üçgenin çevresinden üç defa büyüktür. Birinci üçgenin en büyük kenarı 24 cm ise, di er üçgenin en büyük kenarı ne kadardır? Bir üçgenin kenarları 8 cm, 15 cm, 9 cm dir. Ona benzer di er bir üçgenin çevresi L 1 = 96 cm dir. kinci üçgenin kenarlarını belirtiniz. ki benzer üçgenin çevrelerinin oranı 5 : 2, en büyük kenarlarının toplamı ise 42 cm dir. En büyük kenarlarının uzunluklarını hesapla. Bir ABC üçgeninin a,b,c kenarlarının oranı 3 : 4 : 6 dir. Ona benzer A 1 B 1 C 1 üçgeninin çevresi L 1 = 52 cm oldu una göre a 1, b 1, c 1 kenarlarını belirt. ABC de AC kenarından 2 cm uzaklıkta MN AC do rusu çizilmi tir. AB : MB = 13 : 9 oldu una göre ABC nin AC kenarına kar ılık gelen yüksekli i belirt. Kendini yokla! ABC kenarları a = 8, b = 6 ve c = 4, ona benzer olan A 1 B 1 C 1 in çevresi 45 tir. A 1 B 1 C 1 in kenarlarını belirt. Üçgen biçiminde bir tarla 1 : 200 oranında çizilmi tir. Çizimdeki üçgenin alanı ve tarlanın gerçek alanının oranı nedir? ABC ve A 1 B 1 C 1 iki benzer üçgenlerin alanları 81 ve 25 dir. ABC nin b kenarı 9 oldu una göre A 1 B 1 C 1 in b 1 kenarını ve ona kar ılık gelen h 1 yüksekli ini belirt. Bir ABC üçgeni çiz. Ondan sonra bu üçgenin alanının dörtte birine e it alanlı di er bir A 1 B 1 C 1 çiz. ABC nin a kenarı 10, bu kenara kar- ılık gelen yüksekli i ise 5 tir. Bu üçgene benzer olan A 1 B 1 C 1 in alanı 81 oldu una göre, a 1 kenarını ve h 1 yüksekli ini belirt. ki benzer üçgenin alanlarının oranı 9 : 25 tir. Bu üçgenlerin benzerlik katsayısını belirt. Üçgen biçiminde bir tarla 1 : 500 oranında çizilmi tir. Çizimdeki üçgenin alanı 2,76 dm 2 oldu una göre, tarlanın alanını hektar ile ifade et. Konu 1. Benzerl k