Esişehir Osmagazi Üiversitesi Mühedisli Mimarlı Faültesi Dergisi Cilt : XXV, Sayı : 1, 01 Joural of Egieerig ad Architecture Faculty of Esişehir Osmagazi Uiversity, Vol : XXV, o: 1, 01 Maalei Geliş Tarihi : 10.08.011 Maalei Kabul Tarihi : 18.04.01 0-1 TAMSAYILI DOĞRUSAL OLMAYA MATEMATĠKSEL MODELLERĠ UYGU ÇÖZÜM TEMELLĠ GEĠġLETĠLMĠġ SUBGRADĠET ALGORĠTMASI ĠLE ÇÖZÜLMESĠ Tuğba SARAÇ1 ÖZET : Uygu Çözüm Temelli Geişletilmiş Subgadiet Algoritması (UÇT-GSA) doğrusal olmaya matematisel modeller içi, 004 yılıda Gasimov ve diğerleri tarafıda öerilmiştir. Sivri, geişletilmiş Lagrage fosiyou ile urulmuş iil problemi çözümüe yöeli bir yalaşımdır. Bu yötemi öemli üstülüleri, çözüm sürecii yaısa olması, sıfır iil aralığı elde edilebilmesi ve süreli problem üzerie herhagi bir dışbüeyli veya türevleebilirli şartı olmaması olara sayılabilir. Bu çalışmada 0-1 tamsayılı doğrusal olmaya matematisel modelleri UÇT-GSA ile çözülebilmeleri içi bir GAMS odu geliştirilmiştir ve algoritmaı 0-1 tamsayılı doğrusal olmaya problemleri çözümüdei başarısı aresel sırt çatası, hücre oluşturma ve diami yerleşim problemleri ullaılara araştırılmıştır. AAHTAR KELĠMELER : 0-1 Doğrusal olmaya programlama, Uygu çözüm temelli geişletilmiş subgradiet algoritması (UÇT-GSA), Karesel sırt çatası problemi, Hücre oluşturma problemi, Diami yerleşim problemi. SOLVIG THE 0-1 OLIEAR PROGRAMMIG MODELS BY USIG THE MODIFIED SUBGRADIET ALGORITHM BASED O FEASIBLE VALUES ABSTRACT : A modified subgradiet algorithm based o feasible values (F-MSG) has bee proposed for solvig oliear mathematical models i 004 by Gasimov et.al. It is a approach to solve dual problems costructed by sharp augmeted Lagragia fuctio. It has some remarable features. For example, it is coverget, ad it guaratees zero duality gap for the problems such that its objective ad costrait fuctios are all Lipschtz. I this study, a GAMS program has bee developed for solvig the oliear models by usig FMSG. Success of the algorithm o solvig the 0-1 oliear programmig problems has bee examied by usig the quadratic apsac, cell formatio ad dyamic layout problems. KEY WORDS : 0-1 oliear programmig, Modified sub-gradiet algorithm based o feasible values (F-MSG), Quadratic apsac problem, Cell formatio problem, Dyamic layout problem. Esişehir Osmagazi Üiversitesi, Mühedisli Mimarlı Faültesi, Edüstri Müh.Bölümü, Meşeli Kamp., 6480 ESKİŞEHİR
58 Tuğba SARAÇ I. GĠRĠġ Doğrusal olmaya modelleri çözümüde uygulaa temel yalaşım Karush-Kuh-Tucer oşulları ie, 60 lı yılları ortalarıda itibare subgradiet temelli yalaşımlar öerilmiş ve bu alada değişi yötemler geliştirilmiştir. 1998 yılıda Rocafellar ve Wets [1] çalışmalarıda, sivri (sharp) Lagrage fosiyouu vermiştir. 00 de Gasimov [] tarafıda bu fosiyou ullaa Geişletilmiş Subgradiet Algoritması (GSA) öerilmiş ve bu algoritma ile doğrusal olmaya modelleri eti bir şeilde çözülebileceği gösterilmiştir. Yötemi temel avatajları, çözüm sürecii yaısa olması, sıfır iil aralığı elde edilebilmesi ve süreli problem üzerie herhagi bir dışbüeyli veya türevleebilirli şartı olmamasıdır. Aca sayıla üstülüleri yaı sıra yötemi ullaılmasıda arşılaşıla, GSA ı temel adımıdai ısıtsız problemi çözümüde ullaıla teileri yerel e iyi otalara taılması ve adım uzuluğu hesabıda verile üst sıırı belirlemesi gibi bazı zorlular da mevcuttur. Bu zorluları ortada aldırma amacıyla yötem geliştirilere, 004 yılıda Gasimov ve diğerleri [3] tarafıda Uygu Çözüm Temelli Geişletilmiş Subgadiet Algoritması (UÇT-GSA) adıyla verilmiştir. Bu çalışmaı amacı, UÇT-GSA algoritmasıı 0-1 tamsayılı doğrusal olmaya modelleri çözümüdei performasıı araştırmatır. Deeysel çalışmalarda öre problem olara doğrusal olmaya amaç fosiyoua sahip 0-1 tamsayılı programlama problemleri ola aresel sırt çatası, hücre oluşturma ve rota seçimi ve diami yerleşim problemleri ullaılmıştır. Yazıda alıa test problemleri öcelile sadece GAMS çözücüleri ullaılara çözülmüş daha sora UÇT-GSA, GAMS te odlaara ayı test problemlerii çözümleri araştırılmıştır. Elde edile souçlar arşılaştırılmıştır. Bu çerçevede, çalışmaı iici bölümüde uygu çözüm temelli geişletilmiş subgradiet algoritması alatılmıştır. Üçücü bölümde algoritmaı GAMS te asıl odladığıa değiilmiş, dördücü bölümde ise çalışmada ullaıla öre problemler taıtılmıştır. Beşici bölümde elde edile deeysel souçlar tartışılmış, so bölümde ise çalışmaı geel souçları ve gelece çalışmalara yöeli öeriler suulmuştur. II. UYGU ÇÖZÜM TEMELLĠ GEĠġLETĠLMĠġ SUBGRADĠET ALGORĠTMASI Bilidiği gibi 0-1 tamsayılı modeller, subgradiet yötemler yardımıyla çözülebilmetedirler aca bu yötemler, modeli e iyi çözümüü bulamayıp bir yerel e iyi otasıa taılabilmetedir. Bu yötemler haıda ayrıtılı bilgilere Bazaraa ve diğerleri [4] ile Bertseas ı [5] itaplarıda erişme mümüdür. 00 yılıda Gasimov [] tarafıda yapıla çalışmalarla sivri, geişletilmiş (sharp augmeted) Lagrage fosiyou ullaa GSA geliştirilmiştir. Yötemi temel avatajı, çözüm sürecii yaısa olduğuu ispatlamış olması, yai her ardıştırmada bir öceide daha iyi bir çözüme erişileceğii garatilemesidir. Ayrıca diğer Lagrage fosiyolarıda farlı olara, çözüm
0-1 Tamsayili Doğrusal Olmaya Matematisel Modelleri Uygu Çözüm Temelli GeiĢletilmiĢ Subgradiet Algoritmasi Ġle Çözülmesi 59 oiler aracılığıyla taramata ve böylece sıfır iil aralığı elde edilmesi, yai e iyi çözümü buluabilmesi sağlamatadır. Süreli problem üzerie herhagi bir dışbüeyli veya türevleebilirli şartı olmaması da yötemi öemli bir avatajıdır. Aca sayıla üstülüleri yaı sıra yötemi ullaılmasıda arşılaşıla bazı zorlular da mevcuttur. Bu zorlular, daha ço GSA ı temel adımıdai ısıtsız problemi çözümüde ullaıla teileri yerel e iyi otalara taılmasıda ayalamatadır. Diğer bir zorlu da, adım uzuluğu hesabıda verile üst sıırı belirlemesiyle ilgilidir. Bu zorluları ortada aldırma amacıyla yötem geliştirilere, 004 yılıda Gasimov ve diğerleri [3] tarafıda UÇT-GSA adıyla verilmiştir. 006 yılıda Saraç ve Sipahioğlu [6] UÇT-GSA ı aresel sırt çatası problemlerii çözümüde ullaılabileceğii göstermişlerdir. 007 yılıda Gasimov ve Üstü [7] algoritmaı aresel atama problemlerii çözmedei başarısıı ortaya oymuşlardır. Bu çalışmada yazarlar UÇT-GSA ı aresel atama problemii çözümüdei performasıı göstermişlerdir. UÇT-GSA, sivri, geişletilmiş Lagrage fosiyou ile urulmuş iil problemi çözümüe yöeli bir yalaşımdır. Ele alıa doğrusal olmaya (P) problemii matematisel modeli aşağıda verildiği gibi olsu. (P) f ( x) 0 x S. a. e f 0 ( x) Burada S çözüm ümesi ve f 0 : XR ve f : XR p sırasıyla amaç ve ısıtları göstere fosiyolardır. R +, pozitif sayılar,, ölit ormu ve,, R p de iç çarpım olma üzere, (P) problemi içi sivri, geişletilmiş Lagrage fosiyou verilmiştir. p p L: S R R R ve iil fosiyo H : R R R aşağıda L( x, u, c) f ( x) c f ( x) u, f ( x) (1) 0 H( u, c) e L( x, u, c) () xs İil fosiyou ullaara iil problem (P * ) aşağıdai gibi yazılabilir. (P * ) eb H( u, c) p ( u, c) R R (3)
60 Tuğba SARAÇ Bu aşamada problem (P * ) iil modelii çözümüe döüşmüştür. Bu problemi çözümüe yöeli olara geliştirilmiş ola UÇT-GSA i adımları [7] ve ullaıla gösterimleri açılamaları aşağıda verilmiştir: f ( ) : amaç fosiyou 0 x f (x) : ısıt fosiyoları u ve c H 1 ve M ve q : iil değişeleri gücelleme sayısı : ardıştırma sayısı :. gücellemede iil değişeleri değerleri :. ardıştırmada üst sıır değeri : abul edilebilir hata mitarları : H üst sıır değeride üçü ya da eşit bir uygu çözümü varlığıı araştırıre durdurma tolerası olara ullaılaca büyü pozitif sayı. ( l() değeri M değerii aştığıda, ısıt sağlama problemii uygu bir çözümü olmadığı varsayılara, arama soladırılır. ) : üst sıırı gücellemede ullaıla pozitif adım büyülüğü parametresi : adım atsayıları : ısıt sağlama problemii çözüldüğü ve asıl problemi ısıtlarıı sağladığı durum sayısı t : ısıt sağlama problemii çözülemediği durum sayısı Adım 1: 1,, 0 ve M içi pozitif, H 0 içi herhagi bir sayı ata. = 0, t = 0 ve q = 0 ata. Adım : Herhagi bir p ( u, c ) R R seç ve l(1) M 1 1 0 ve = 1, u u, c c ata. 1 1 Adım 3: Verile u, c ) içi izleye ısıt sağlama problemii P(H ) çöz. ( P(H ): f ( x) c f ( x) u, f ( x) H olaca şeilde xs i bul. Eğer ısıtı sağlaya bir çözüm 0 buluamamışsa ( öreği l() > M ise ) Adım 6 ya git. Eğer çözüm bulumuşsa, asıl problemi ısıtları sağlaıyor mu otrol et. Eğer f ( ) 0 (ya da f ( x ) 1 Adım 4: İil değişeleri aşağıdai formülleri ullaara gücelle, u c x u s f ( x ), 1 c (1 ) s f ( x ), 1 ) ise, Adım 5 e git. Burada s pozitif adım parametresidir ve (4) ya da (5) umaralı formüllerde birisi ile hesaplaabilir. Bu çalışmada s ı hesaplamasıda (5) umaralı formül ullaılmıştır. 0 s H L( x, u, c ), (4) (1 ) f ( x )
0-1 Tamsayili Doğrusal Olmaya Matematisel Modelleri Uygu Çözüm Temelli GeiĢletilmiĢ Subgradiet Algoritmasi Ġle Çözülmesi H L( x, u, c ) ( c c ) f ( x ) 0 s (5) (1 ) f ( x ) 61 Burada > 0, 0 < < ve c dır. Ayrıca adım parametresi s ı iil değişeler u, c ) içi c ( izleye oşulu sağlaması gerelidir. s f ( x ) c u l( ), Eğer bu oşul sağlamıyorsa, c = (c +1), > 1 olaca şeilde c yı arttır. Burada l() fosiyou + gittiğide l() + gidece şeilde tariflemiş herhagi bir fosiyodur, l() fosiyouu gücelle, = +1 ata ve Adım 3 e git. Adım 5: x, f ( ) 0 olaca şeilde P(H ) problemii çözümü ie, L x, u, c ) f ( x ) dir. q x ( 0 = q + 1 ata ve t yi otrol et. Eğer t = 0 ise, 1, t 0 ise, 1 1 ata. i otrol et 1 eğer 1 ise DUR. f x ) yalaşı eiyi çözüm değeri, x asıl modeli yalaşı çözümü ve ( u, c ) da iil problemi yalaşı çözümüdür. ise, 1 ( H f x ), H, 1 e ( 1 0 1 ata ve Adım ye git. Adım 6: t = t + 1 ata. Eğer q = 0 ise,, değilse, 1 H H, 1 ata ve Adım ye git. 1 1 1 1 ata. ise DUR. 1 III. UÇT-GSA ALGORĠTMASII GAMS TE KODLAMASI GAMS, matematisel modelleri orta bir yapıda odlaara farlı çözücülerle çözümlerii araştırılmasıa ve yalızca modelleri apalı formda yazılmalarıa değil ayı zamada algoritmaları da odlaabilmelerie olaa taıya bir yazılımdır. Doğrusal, doğrusal olmaya, arma tamsayılı, doğrusal olmaya tamsayılı gibi farlı yapılara sahip eiyileme problemleri, farlı çözücüler ullaılara çözülebilmetedir. Klasi programlama dilleridei dögü yapıları ve eğerli ifadeler ullaılabildiğide, model çözüldüğüde elde edile arar değişei değerlerii ullaabilme ve geretiğide modeli terar başa parametre değerleri ile çözdürebilme mümü olduğuda GAMS, algoritmaları odlaabilmesi içi de uygu bir yazılımdır. Bu çalışmada, UÇT-GSA algoritması GAMS ullaılara odlamıştır. Bu odda, algoritma adımları, Çizelge 1 de de verildiği gibi oşullu bir dögü içide yazılmıştır. Bu dögü
6 Tuğba SARAÇ ya algoritmaı durma riterleri sağladığıda (DUR 1) ya da ardıştırma sayısı (), izi verile e büyü değere (M) ulaştığıda durmatadır. Çizelgede adımlar içi yazıla odlar apalı verilmiştir ve durdurma parametrelerii gücellemesii içermetedirler. Herhagi bir algoritma adımıı uygulama oşulu gerçeleştiğide, ilgili adıma gidilmesii sağlama üzere bir adim değişei ullaılmıştır. Ve hagi adıma gidilmesi gereiyorsa değişee bu adımı umarası atamıştır (adim=adım o). Her adıma ait odlar aca adim değişei ilgili adımı umarasıa eşit olduğuda çalışmatadır. While ( (DUR=0) ad ( < M) ); Çizelge 1. UÇT-GSA ı GAMS oduu temel yapısı. if ( adim=, adım içi yazıla odlar ); if (adim =3, adım 3 içi yazıla odlar ); if (adim =4, adım 4 içi yazıla odlar ); if (adim =5, adım 5 içi yazıla odlar ); if (adim =6, adım 6 içi yazıla odlar ) IV. ÖREK PROBLEMLER Algoritmaı etiliğii araştırma üzere öre problem olara, 0-1 tamsayılı ve doğrusal olmaya yapıya sahip ola aresel sırt çatası, hücre oluşturma-rota seçimi ve diami yerleşim problemleri seçilmiştir. Bu bölümde seçile öre problemler taıtılmıştır. IV.1.Karesel Sırt Çatası Problemi Karesel Sırt Çatası Problemi (KSÇP), 0-1 sırt çatası problemii ii parçaı sırt çatasıa birlite seçilmeleride dolayı oluşaca e arları da göz öüde buluduraca şeilde geelleştirilmiş halidir. Matematisel modeli aşağıda verilmiştir. Kümeler J = {j j=1,..,} Parça dizi ümesi i, j J Karar değişei x j : j. parçaı sırt çatasıa ataması durumuda 1, diğer durumda 0. Parametreler p j q ij w j : j. parçaı herhagi bir sırt çatasıa atamış olmasıı sağlayacağı atı : i. ve j. parçaı ayı sırt çatasıa atamış olmasıı sağlayacağı atı : j. parçaı ağırlığı
0-1 Tamsayili Doğrusal Olmaya Matematisel Modelleri Uygu Çözüm Temelli GeiĢletilmiĢ Subgradiet Algoritmasi Ġle Çözülmesi 63 c : sırt çatasıı apasitesi (KSÇP) j1 j w x x 0,1,. a. eb z j j c j1 j 1,..., p x j j 1 ij i1 ji1 q x x i j (6) (7) (8) Modeldei (6) umaralı ısıt, sırt çatasıa ataa parçaları ağırlıları toplamıı ilgili sırt çatasıı apasitesii aşmamasıı sağlamatadır. (7) umaralı ısıt arar değişelerii 0 ya da 1 tamsayı değer almaları geretiğii göstere ısıttır. Amaç (8) ise, parçaları sırt çatasıa atamış olmasıda dolayı elde edilece azaçları ve ayı sırt çatasıa birlite seçilmiş olmalarıda doğa azaçları toplamlarıı ebüyülemetir. IV..Hücre OluĢturma ve Rota Seçimi Problemi Hücre Oluşturma ve Rota Seçimi Problemi (HORSP), alteratif rotaları söz ousu olduğu bir üretim sistemide, parça ve tezgahları hücrelere ataması ve ayrıca parçaları e uygu rotalarıı seçilmesi problemidir. Matematisel modeli aşağıda verilmiştir. Kümeler P ={pp=1,..,} Parça dizi ümesi T ={tt=1,..,m} Tezgah dizi ümesi H ={hh=1,..,} Hücre dizi ümesi R ={rr=1,.., R p } Rota dizi ümesi Karar değişeleri x phr : Eğer p parçası r rotası ile h hücresie atadıysa 1, diğer durumda 0. y th : Eğer t tezgahı h hücresie atadıysa 1, diğer durumda 0. Parametreler m : parça sayısı : tezgah sayısı : hücre sayısı [1, m]
64 Tuğba SARAÇ R p : p parçasıı rota sayısı a ptr : eğer p parçası r rotası ile t. tezgaha atadı ise 1, diğer durumda 0. w 1 w : amaç fosiyouda hücre dışı elema sayısı terimii ağırlığı : amaç fosiyouda ullaılmaya elema sayısı terimii ağırlığı (HORSP) x phr 1 p 1,..., (9) r h yth 1 t 1,..., m (10) h phr th 0,1 p 1,...,, t 1,..., m, h 1,...,, r 1 Rp x, y,..., (11).a., e z w1 aptr xphr ( 1 yth) w (1 aptr ) xphr yth (1) p t h r p t h r Burada ısıt (9), her parçaı mutlaa bir hücreye atamasıı ve alteratif rotalarda sadece birisii seçilmesii garati etmetedir. Kısıt (10), her tezgâhı mutlaa bir hücreye atamasıı sağlamatadır. Kısıt (11) arar değişelerii tümüü 0,1 tamsayı değişe olduğuu göstermetedir. Modeli amaç fosiyou (1) umaralı eşitlite verilmiştir. Burada il terim hücre dışı ve iici terim de ullaılmaya elema sayısıı göstermetedir. Amaç, bu ağırlıladırılmış toplamı e üçülemesi olara belirlemiştir. IV.3.Diami YerleĢim Problemi Diami Yerleşim Problemi (DYP), lasi yerleşim (aresel atama) problemii taşıma ve yer değiştirme maliyetlerii döemler bazıda farlılı gösterdiği ço döemli yapıya geelleştirilmiş halidir. Matematisel modeli aşağıda verilmiştir. Kümeler D={tt=1,..,T} Döem dizi ümesi Y={jj=1,..,} Yer dizi ümesi j, l Y B={ii=1,.., } Bölüm dizi ümesi i, B Karar değişeleri x tij : Eğer i bölümü t döemide j yerie atadıysa 1, diğer durumda 0.
0-1 Tamsayili Doğrusal Olmaya Matematisel Modelleri Uygu Çözüm Temelli GeiĢletilmiĢ Subgradiet Algoritmasi Ġle Çözülmesi 65 Parametreler : bölüm ya da yer sayısı T : döem sayısı f ti d jl A tijl C tijl C tijl f : t döemide i ve bölümleri arasıdai aış mitarı : j ve l yerleri arasıdai uzalı : t. döemde i bölümüü, j yeride l yerie taşıma maliyeti : t. döemde j yeridei i bölümüde l yeridei bölümüe taşıma maliyeti ti d jl y tijl x(t 1 )ij x til (DYP) j1 xtij 1, i 1,...,, t 1,...,T (13) i1 xtij 1, j 1,...,, t 1,...,T 0, 1, i, j 1,...,, t 1 T x tij,..., (15).a., (14) T e z A t i1 j 1 l 1 tijl y tijl T C tijl t 1 i1 j1 1 l 1 x tij x tl (16) Kısıt (13) her bölümü, her bir döemde bir yere atamasıı garati etmetedir. Kısıt (14) ise her yeri her bir döemde bir bölgeye tahsis edilmesii sağlamatadır. Kısıt (15) arar değişelerii tümüü 0,1 tamsayı değişe olduğuu göstermetedir. Modeli amacı (16), tüm döemler boyuca toplam taşıma ve bölümleri yer değiştirme maliyetlerii eüçülemesidir. V. DEEYSEL SOUÇLAR Algoritmaı etiliğii araştırılmasıa yöeli olara her bir öre problem içi yazıda alıa test problemleri ullaılmıştır. Öcelile bu test problemleri doğruda GAMS çözücüleri ullaılara çözülmüştür. Problemler hem doğrusal olmaya hem de 0-1 tamsayılı olduğuda MILP çözücülerii ullama gerelidir. Aca MILP çözücüler alt problemleri çözere MIP, LP, ve LP çözücüleri de çağırabildileride, bu çözücüleri de belirlemesi geremetedir. Problemleri çözümüde ullaılma
66 Tuğba SARAÇ üzere DICOPT, SBB ve BARO MILP çözücüleri seçilmiştir. Burada tüm MILP çözücüler içi ullaılaca alt çözücüler MIP ve LP içi CPLEX, LP içi MIOS olara belirlemiştir. Test problemlerii UÇT-GSA ile çözebilme içi öcelile süreli hale getirilmeleri geremetedir. Bu çalışmada tüm öre problemleri süreli hale döüştürülmeside Li [8] tarafıda öerile (17) umaralı ısıt modellere elemiştir. i1 Burada x i 0-1 tamsayı değişeleri temsil etmetedir ve ilgili değişeleri işaret ısıtları da 0 x i 1 ( x i x i ) 0 olara değiştirilmelidir. Böylece süreli hale döüştürülmüş ola test problemleri daha sora GAMS te odlamış ola UÇT-GSA ullaılara çözülmüş ve elde edile souçlar her bir öre problem içi ayrı başlılar altıda suulmuştur. Bu bölümde souçları suula tüm testler, Petium Core Duo, 1,87 GB RAM, GHz özellilerii taşıya bir bilgisayar ve 1,5 versiyolu GAMS paet programı ullaılara gerçeleştirilmiştir. V.1.KSÇP ile ilgili testler Bu bölümde ullaıla test problemleri ve eiyi çözümleri literatürde [9] alımıştır. Ele alıa problemlerde parça sayısı () 100 dür ve bu problemleri yoğuluları (sıfırda farlı p j ve q ij parametre oraı) d = 0,5 tir. Bu problemleri eiyi çözümleri Billioet ad Soutif [10], tarafıda bulumuştur. Çizelge de ilgili test problemlerii öre umaraları (o) ve eiyi çözüm değerleri (z eb ) verilmiştir. (17) Çizelge. KSÇP Test Problemlerii E İyi Çözümleri. o 1 3 4 5 6 7 8 9 10 z eb 18558 5655 375 5038 61494 36360 14657 045 35438 4930 Öcelile test problemleri doğruda GAMS çözücüleri ullaılara çözülmüştür. Elde edile souçlar Çizelge 3 te verilmiştir. Çizelge 3 ü sol tarafıda test problemlerii umarası (o) yer almatadır. Çizelgei iici, üçücü ve dördücü bölümleride ise sırasıyla DICOPT, SBB ve BARO ile elde edilmiş çözüm değerleri (z), eiyi çözümde yüzde olara far (%E) ve saiye olara çözüm süreleri verilmiştir. Problemleri eiyi çözüm değerlerii elde edilebildiği souçlar oyu ve altı çizili olara yazılmıştır.
0-1 Tamsayili Doğrusal Olmaya Matematisel Modelleri Uygu Çözüm Temelli GeiĢletilmiĢ Subgradiet Algoritmasi Ġle Çözülmesi 67 Çizelge 3. KSÇP Test Problemlerii GAMS Çözücüleri ile Elde Edile Çözümleri. Doğrusal Olmaya Modeller içi GAMS Çözücüleri DICOPT SBB BARO o z %E süre z %E süre z %E süre 1 18511 0,5 0,74 18485 0,39 0,8 18514 0,4 0,78 5655 0,00 0,53 55717 1,43 1,6 55578 1,68 4,97 3 375 0,00 0,37 3717 0,93 1,31 3538 5,70,33 4 5038 0,00 0,08 5038 0,00 0,13 5038 0,00 0,89 5 61494 0,00 0,31 6113 0,46 0,36 60983 0,83 0,5 6 36360 0,00 0,46 36137 0,61 0,63 36137 0,61 0,89 7 14657 0,00 0,35 1407 3,99 1,65 148,56 0,78 8 0369 0,41 0,78 1993,54 1,7 1993,54 0,66 9 35438 0,00 0,37 35438 0,00 0,66 3494 1,45 0,81 10 4915 0,06 0,59 4503 1,71 1,07 4748 0,73 0,78 ortalama 0,07 0,46 1,1 0,95 1,63 1,31 Çizelge 3 de de görülebileceği gibi GAMS DICOPT çözücüsü ile 10 test problemii 7 side eiyi çözümüe ulaşılmış, sadece 3 test problemide ise %1 i olduça altıda bir hata payı ile olduça yalaşılmıştır. GAMS SBB çözücüsü ile ii ve GAMS BARO çözücüsü ile de yalızca bir test problemii eiyi değerlerie ulaşılabilmiştir. Bu ii çözücü, çözüm süresi açısıda da DICOPT u geriside almışlardır. Daha sora ayı test problemleri, GAMS te odlamış ola UÇT-GSA algoritması ullaılara çözülmüş ve elde edile souçlar Çizelge 4 de suulmuştur. LP çözücüsü olara MIOS ve LP içi de CPLEX seçilmiştir. Çizelge 4 ü e soluda test problemlerii çözümüde ullaıla parametre değerleri verilmiştir. Çizelgei iici bölümüde, UÇT-GSA ile elde edilmiş amaç fosiyou değeri (z), eiyi çözümde yüzde olara far (%E) ve saiye olara çözüm süreleri verilmiştir. Çizelge 4 te de görülebileceği gibi, elde edile çözümler GAMS MILP souçları ile arşılaştırıldığıda hem eiyi çözüme yalaşma hem de çözüm süresi yöüyle çözücüleri geriside almatadır. Öte yada, UÇT-GSA, beşici ve seizici test problemlerii eiyi çözümüe ulaşabilmiştir. DICOPT ile seizici problemi eiyi çözümüe ulaşılamamış olması diat çeicidir.
68 Tuğba SARAÇ Çizelge 4. KSÇP Test Problemlerii UÇT-GSA ile Çözümleri. parametre değerleri UÇT-GSA o H M z %E süre 1 1,75 4,5-1500 3 0 1000 17633 4,98 645 1,90 10-100 9 0 000 5645 0,13 75 3 1,30 10-10 9 0 00 3717 0,93 4.0 4 1,95 5-5000 3 0 000 48768 3,0 387 5 1,55 3-100 3 0 000 61494 0,00 65 6 1,95 9-500 0 1000 36041 0,88 434 7 1,55 3-100 3 0 000 14049 4,15 14 8 1,95 4-500 0 1000 045 0,00 54 9 1,95-500 0 1000 3594 0,41 476 10 1,95,5-100 0 1000 491 0,07 141 ortalama 1,48 361 Çizelge 5. Farlı LP çözücüleri ullaılara elde edile UÇT-GSA Çözümleri. (=1.95, =10, H =0, =3, M=0, =1000) (=100, d=0.5) coopt mios o eiyi değer z E% süre z E% süre 1 18558 - - - 1858 0,16% 38 5655 5645 0,13% 5,94 5645 0,13% 68 3 375 3656,56% 4,37 353 5,86% 93 4 5038 48768 3,0% 4,08 504 0,8% 85 5 61494 60955 0,88% 4,43 6045,03% 151 6 36360 33819 6,99% 4,47 36197 0,45% 13 7 14657 13845 5,54%,7 14158 3,40% 136 8 045 - - - 003,05% 510 9 35438 3535 0,3% 3,9 3494 1,45% 04 10 4930 4748 0,73% 3,57 4748 0,73% 578 ortalama,54% 4,19 1,66% 476,6 Ayı test problemleri so olara sabit parametre değerleri (=1,95, =10, H =0, =3, M=0, =1000) ullaılara UÇT-GSA ile çözülmüştür. Testlerde LP çözücüsü olara MIOS ve COOPT, LP içi de CPLEX ullaılmıştır. Elde edile souçlar Çizelge 5 te verilmiştir. Çizelge 5 te de görülebileceği gibi COOPT çözücüsü ullaıldığıda ii test problemie çözüm buluamamıştır. Yie COOPT çözücüsü ullaılara elde edile çözümler MIOS ullaılara elde edile çözümlere ıyasla eiyi çözüme daha
0-1 Tamsayili Doğrusal Olmaya Matematisel Modelleri Uygu Çözüm Temelli GeiĢletilmiĢ Subgradiet Algoritmasi Ġle Çözülmesi 69 uzatır. Aca çözüm süreleri diat çeici bir orada daha ısadır. Bu testlerde çıarılabilece bir başa souçta parametre değerleri probleme özel değil de sabit alıdığıda ortalama hata oralarıı artmış olmasıdır. Bu da aslıda UÇT-GSA ı parametre değerlerie duyarlı olduğuu ve uygu parametre değerleri seçildiğide daha iyi souçlara erişilebileceğii bir göstergesidir. V..HORSP ile ilgili testler Bu bölümde ullaıla test problemlerii ayağı, tezgah sayısı (M), parça sayısı (P), toplam rota sayısı (R) ve problemi ayağıda alıa amaç fosiyou değeri (z) (w 1 =0,5, w =0,5) Çizelge 6 da verilmiştir. Çizelge 6. HORSP örelerii özellileri. o problemi ayağı M / P / R 1 [11] 4 / 5 / 11 0,5 [1] 4 / 5 / 1 0,5 3 [13] 6 / 6 / 13 1,5 4 [14] 11 / 10 / 3,0 5 [14] 6 / 8 / 71 0,5 z Öcelile test problemleri w 1 =0,5, w =0,5 alıara, doğruda GAMS çözücüleri ile çözülmüştür. Elde edile souçlar Çizelge 7 de verilmiştir. Çizelge 7 i sol tarafıda test problemlerii umarası (o) yer almatadır. Çizelgei iici, üçücü ve dördücü bölümleride ise sırasıyla DICOPT, SBB ve BARO ile elde edilmiş çözüm değerleri (z) ve saiye olara çözüm süreleri verilmiştir. Problemleri elde edile e başarılı souçlar oyu ve altı çizili olara yazılmıştır. Çizelge 7 de de görülebileceği gibi GAMS BARO çözücüsü ile 5 test problemii il 4 üde literatürde verile çözümlere ulaşılmıştır, ayrıca BARO çözücüsü ile elde edile çözümleri tamamı diğer ii çözücüde daha başarılıdır. Çizelge 7. HORSP Test Problemlerii GAMS Çözücüleri ile Elde Edile Çözümleri. Doğrusal Olmaya Modeller içi GAMS Çözücüleri DICOPT SBB BARO o z süre z süre z süre 1,5 0,16,5 0,06 0,5 0,08,5 0,09,5 0,16 0,5 0,05 3,0 0,19,0 0,10 1,5 0,17 4 8,0 0,3 8,0 0,5 3,0 10,09 5 53,5 0, 53,5 0,57 34,5 1006,03 ort 0,18 0,3 5,8
70 Tuğba SARAÇ Daha sora ayı test problemleri, GAMS te odlamış ola UÇT-GSA ullaılara çözülmüş ve elde edile souçlar Çizelge 8 de suulmuştur. LP çözücüsü olara MIOS ve LP içi de CPLEX seçilmiştir. Çizelge 8 i il bölümüde test problemlerii çözümüde ullaıla parametre değerleri verilmiştir. Çizelgei iici bölümüde ise, UÇT-GSA ile elde edilmiş amaç fosiyou değeri (z) ve saiye olara çözüm süreleri verilmiştir. Çizelge 8. HORSP Test Problemlerii UÇT-GSA ile Çözümleri. parametre değerleri UÇT-GSA o H M z Süre 1 1,75 3,0 0 0 10 0,5 4,80 1,75 3,0 0 0 10 0,5 6,38 3 1,75 3,0 0 0 10 1,5 9,19 4 1,55 5,0 0 0 10 3,0 18,31 5 1,55 5,0 0 0 10 6 314,79 ortalama 70,69 Çizelge 8 de de görülebileceği gibi, elde edile çözümler, HORSP içi e başarılı çözümleri ürete GAMS MILP çözücüsü ola BARO u souçları ile arşılaştırıldığıda hem eiyi çözüm alitesi hem de çözüm süresi yöüyle öe çımıştır. V.3.DYP ile ilgili testler Bu bölümde literatürde alıa ii test problemi : (1), 6 bölüm ve 5 döemi olduğu Roseblatt [15] ve (), 9 bölüm ve 5 döemi olduğu Coway ve Vetaarama [16] ullaılmıştır. Çizelge 9. DYP i GAMS Çözücüleri ile Elde Edile Çözümleri. Doğrusal Olmaya Modeller içi GAMS Çözücüleri DICOPT SBB BARO o z Süre z Süre z Süre (1) 8389 0,47 7699 37,45 8765 1000,08 () 648161,5 631466 79,55 7117 1001,89 ortalama 1,36 58,5 1000,99
0-1 Tamsayili Doğrusal Olmaya Matematisel Modelleri Uygu Çözüm Temelli GeiĢletilmiĢ Subgradiet Algoritmasi Ġle Çözülmesi 71 Öcelile test problemleri doğruda GAMS çözücüleri ullaılara çözülmüştür. Elde edile souçlar Çizelge 9 da verilmiştir. Çizelge 9 u sol tarafıda test problemlerii umarası (o) yer almatadır. Çizelgei iici, üçücü ve dördücü bölümleride ise sırasıyla DICOPT, SBB ve BARO ile elde edilmiş çözüm değerleri (z) ve saiye olara çözüm süreleri verilmiştir. Problemleri elde edile e başarılı çözümler oyu ve altı çizili olara yazılmıştır. Çizelge 9 da da görülebileceği gibi GAMS SBB çözücüsü ile her ii test problemi içi de e başarılı çözümler elde edilmiştir. Daha sora ayı test problemleri, GAMS te odlamış ola UÇT-GSA algoritması ullaılara çözülmüş ve elde edile souçlar Çizelge 10 da suulmuştur. LP çözücüsü olara MIOS ve LP içi de CPLEX seçilmiştir. Çizelge 10 u e soluda test problemlerii çözümüde ullaıla parametre değerleri verilmiştir. Çizelgei iici bölümüde, UÇT-GSA ile elde edilmiş amaç fosiyou değeri (z) ve saiye olara çözüm süreleri verilmiştir. Çizelge 10. DYP Test Problemlerii UÇT-GSA ile Çözümleri. parametre değerleri UÇT-GSA H M z Süre 1,95 50000 3 0 10000 86864 14,63 1,95 10 300000 10 0 100000 5367 560,11 ortalama 351,37 Çizelge 10 da da görülebileceği gibi, elde edile çözümler GAMS MILP souçları ile arşılaştırıldığıda (1) umaralı test problemi içi BARO çözücüsüde, () umaralı test problemi içi ise tüm çözücülerde daha başarılı bir çözüm maul süreler içide elde edilmiştir. VI. SOUÇ VE ÖERĠLER UÇT-GSA, doğrusal olmaya matematisel modelleri, sivri, geişletilmiş Lagrage fosiyou ile urulmuş iil problemi çözümüe dayalı bir yalaşımdır. Çözüm sürecii yaısa olması, sıfır iil aralığı elde edilebilmesi ve süreli problem üzerie herhagi bir dışbüeyli veya türevleebilirli şartıı olmaması algoritmaı öemli özellileridedir. Doğrusal olmaya 0-1 tamsayılı problemler de süreli hale döüştürülere [8] bu yötem yardımı ile çözülebilmetedirler. GAMS, matematisel modelleri orta bir yapıda odlaara farlı çözücülerle çözümlerii araştırılmasıa olaa taıya ve algoritmaları da odlaabildiği bir yazılımdır. UÇT-GSA gibi armaşı algoritmaları GAMS te odlaması birço farlı problemi, birço farlı çözücü ullaılara çözümüü araştırılabilmesii sağlayacağıda öemlidir.
7 Tuğba SARAÇ Bu çalışmada 0-1 tamsayılı doğrusal olmaya matematisel modelleri GAMS çözücüleri ullaılara UÇT-GSA ile çözülebilmeleri içi bir GAMS odu geliştirilmiştir. Öre problem olara KSÇP, HORSP ve DYP çözülere literatür souçları ile arşılaştırılmıştır. Ümit verici souçlar elde edilmiştir. Gelecete UÇT-GSA ı farlı yapıdai problemleri çözmedei performası da araştırılabilir. Özellile, UÇT-GSA ı parametre değerlerii performası arttıraca şeilde belirleebilmesie yöeli çalışmalar ço daha başarılı çözümlere erişilebilmesie olaa sağlayacatır. KAYAKLAR [1] R.T. Rocafellar, R.J.-B Wets, Variatioal Aalysis, Spriger, Berli, 1998. [] R.. Gasimov, Augmeted Lagragia duality ad odifferatiable optimizatio methods i ocovex programmig, Joural of Global Optimizatio, Vol.4, pp.187-03, 00. [3] R.. Gasimov, A.M. Rubiov, O. Ustu, The Modified Subgradiet Algorithm Based o Feasible Dual Values ad Solvig the Quadratic Assigmet Problems, Iteratioal Coferece o Cotiuous Optimizatio (ICCOPT-I) August -4, Resselaer Polytechic Istitute, Troy, ew Yor, pp.31-3, 004. [4] M.S. Bazaraa, H.D. Sherali, C.M. Shetty, oliear Programmig. Theory ad Algorithms, Joh Wiley & Sos, Ic., ew Jersey, 006. [5] D.P. Bertseas, oliear Programmig, Athea Scietific, Belmot, MA, 1995. [6] T. Saraç, A. Sipahioğlu, Karesel sırt çatası problemi içi subgradiet temelli bir çözüm yalaşımı, Yöeylem Araştırması ve Edüstri Mühedisliği 6. Ulusal Kogresi, 3-5 Temmuz, İzmit-Kocaeli, pp.0-05, 006. [7] R.. Gasimov, O. Ustu, Solvig the quadratic assigmet problem usig F-MSG algorithm, Joural of Idustrial ad Maagemet Optimizatio, Vol.3, o., pp.173-191, 007. [8] H.L. Li, A approximate method for local optima for oliear mixed iteger programmig problems, Computers ad Operatios Research, Vol.19, o.5, pp.435-444, 199. [9] http://cedric.cam.fr/~soutif/qkp/ [10] A. Billioet, E. Soutif, A exact method based o Lagragea decompositio for the 0-1 quadratic apsac problem, Europea Joural of Operatioal Research, Vol.157, o.3, pp.565-575, 003. [11] A. Kusia, The geeralized group techology cocept, Iteratioal Joural of Productio Research, Vol.5, pp.561-569, 1987.
0-1 Tamsayili Doğrusal Olmaya Matematisel Modelleri Uygu Çözüm Temelli GeiĢletilmiĢ Subgradiet Algoritmasi Ġle Çözülmesi 73 [1] G.K. Adil, D. Rajamai, D. Strog, Cell formatio cosiderig alterate routigs. Iteratioal Joural of Productio Research, Vol.34, pp.1361 1380, 1996. [13] Y.B. Moo, S.C. Chi, Geeralized part-family formatio usig eural etwor techiques, Joural of Maufacturig Systems, Vol.11, pp.149-160, 199. [14] Y.K. Wo, S.H. Kim, Multiple criteria clusterig algorithm for solvig the group techology problem with multiple process routigs. Computers ad Idustrial Egieerig, Vol.3, pp.07 0, 1997. [15] M.J. Roseblatt, The Dyamics of Plat Layout, Maagemet Sciece, Vol.3, pp.76-86, 1986. [16] D.G. Coway, M.A. Vetaarama, Geetic search ad the dyamic facility layout problem, Computers ad Operatios Research, Vol.1, o.8, pp.955-960, 1994.