hafa 5: DOĞRUSAL, ZAMANDA DEĞİŞMEZ (DZD) SİSTEMLER LINEAR, TIME INVARIANT (LTI) SYSTEMS İçideiler. Hem doğrusal, hem zamada değişmez sisemler.... Kesili zama doğrusal, zamada değişmez sisemler... 6.. Kalama oplamı ile esili zama, doğrusal, zamada değişmez sisemlere ai çııı hesaplaması... 6.. Grafi yöemi ile esili zama doğrusal, zamada değişmez sisemlere ai çııı hesaplaması... 8.. Kesili zama doğrusal, zamada değişmez sisemler içi bir öre... Öre problem.... Süreli zama doğrusal, zamada değişmez sisemler: Kalama İegrali... 5.. Süreli zama doğrusal, zamada değişmez sisemler içi bir öre... 5 Sayfa
BÖLÜM : DOĞRUSAL, ZAMANDA DEĞİŞMEZ (DZD) SİSTEMLER LINEAR, TIME INVARIANT (LTI) SYSTEMS Bölüm, Sisemler ısmıda alaıla sisemler içide ço özel bir al sisem bulumaadır. Bu sisem hem doğrusal hem de zamada değişmez bir sisem olara aımlaabilece ola DZD (Doğrusal Zamada Değişmez) ya da Liear Time Ivaria (LTI) sisemler olara adladırdığımız ve lieraüre adıı alı harflerle yazdırmış sisemlerdir. Bu sisemleri bu adar özel ve öemli yapa ii ede vardır. Bu edelerde ili; bu sisemleri eleri-eleroi mühedisliğide ediliğide, doğal olara oraya çımalarıdır. Yai diyebiliriz i, herhagi bir ihiyaç içi asarlaa bir sisem DZD-LTI özelliği aşımaadır. İici ede ise LTI sisemleri ço olay modelleebilmesi, sisemi çıış-giriş arasıdai ilişii maemaisel olara açı ve e bir biçimde aalii olara ifade edilebilmesidir. Tüm sisemler içide DZD-LTI sisemleri bu adar öemli ve popüler yapa bu ii ede, yumura-avu ilişisi gibi oraya çımaadır: Aalii olara ifade edilebile bir sisemi ercih edilmesi, ercih edile bir sisemi aalii olara ifade edilebilmesi ya da edilebilir hale gelece şeilde düzelemesi. Şeil. de DZD bir siseme ai blo diyagram suulmuşur. Bu sisemi herhagi bir sisemde ayıra e öemli özelli çıış siyalii giriş siyali ciside maemaisel olara ifade edilebiliyor olmasıdır. x() Sisem y() Şeil. Süreli zama doğrusal zamada değişmez (DZD-LTI) sisem blo diyagramı. Bu iap içide bu bölüm, sisemler içide DZD sisemler adar özel bir yer umaadır. Doğrusal sisem eorisii alayabilmei esası DZD-LTI sisemleri alamada geçer. Bu edele Şeil. de verile süreli zama DZD sisemie ai çıış-giriş ilişisi ezbere bir formül ile verilmeyece; öğrecii bu ilişiyi alaması, avraması, daha da öemlisi içselleşirmesi hedefleeceir.. Hem doğrusal, hem zamada değişmez sisemler Bölüm -Sisemler ısmıa geri döerse: Doğrusal (liear) bir sisem ço basi ii özelliğe sahipir: Toplaırlı (addiiviy) ve Homojeie (homogeeiy). a) Toplaırlı: Siseme x () siyali girdiğimizde y () siyalii ve x () siyali girdiğimizde y () siyalii elde ediyore; x () + x () siyalii girdiğimizde y () + y () siyalii elde ediyor ise sisem doğrusallığı il basamağıı geçmişir. b) Homojeie: Siseme x () siyali girdiğimizde y () siyalii elde ediyore, ax () siyalii girdiğimizde ay () siyalii elde ediyor ise (a herhagi bir sabi olma üzere) sisem arı doğrusaldır diyebiliriz. Sayfa
Bu durumda; a ve b şılarıı birleşirere, süperpozisyo (superposiio) özelliğii sağlaya sisemler doğrusal sisemlerdir. Başa bir deyişle; ax () + bx () siyalii girdiğimizde ay () + by (), (a ve b herhagi ii sabi olma üzere) çıış siyalii elde eiğimiz sisemlere doğrusal sisemler diyebiliriz. Zamada değişmezli ise bir sisemi girişide adar gecime oluyorsa, çıışıda da adar gecime olmasıdır. Bu durumda sisem zamada değişmezdir (ime ivaria). Bir siseme x() siyalii girdiğimizde y() siyalii elde ediyore, x( ) siyalii girdiğimizde çıış ayı miarda geciere y( ) çıış siyalii veriyorsa sisem zamada değişmez (ime ivaria) bir sisemdir. Şimdi baalım, verile bu ii öemli özelli özümseebilmiş mi? Alaım ve göserim olaylığı edeiyle ispa ve açılamalar esili zamada verilece, formüller daha sora süreli zamaa aşıaca ve e so süreli zamada verile (ispalaa) formülleri fizisel alamları açılaacaır. Lüfe burayı diali ve iyi ouyu; alamaya, özümsemeye çalışı. Maemai yolu ile her şey mümü olduğuca basi alaılaca, aca olması gereede daha basi olmasıa izi verilmeyeceir. E emel ve e basi esili zama dizisi birim dürü (ui impulse) siyalii erar ele alalım. Eşili. dei aımda yola çıara birim dürü dizisii ço olay alayabiliriz. = aıda değeri ola, diğer üm esili zamalarda değeri ola siyale birim dürü dizisi diyebiliriz., δ[] = {, = (.) Şeil. de esili zama birim dürü dizisi suulmuşur..5 Kesili Zama Birim Duru Fosiyou.5 -.5 - -.5 - -8-6 -4-4 6 8 Şeil. Kesili zama birim dürü dizisi. Şimdi bu diziyi herhagi bir siseme girdi olara verdiğimizi, beslediğimizi düşüelim. Sayfa
δ[] Sisem h[] Şeil. Girişi birim dürü dizisi ola esili zama sisemi. Sisem e olursa olsu bu girdiye bir çıı, bir epi vereceir. Şeil. e verile siseme dürü verildiğide sisemi verdiği epi dürü episi olara adladırılacaır. Dia edelim, aslıda giriş siyali x[] = δ[] olduğuda = h[] halii almaadır. Yai δ[] ve h[] fosiyoları sırasıyla girdi ve çıı siyallerii özel birer halidir. Tabidir i sisem değişiçe ayı giriş siyali içi sisem farlı çıış siyalleri üreeceir. Bu durumda arı dürü episi siyalii adıı oymamız gereir. Her şeyi mümü olduğuca basi hale geirebilme adıa Şeil. e verile sisemi dürüye verdiği epi, h[] = δ[ ], Şeil.4 e verile üç birim aymış birim basama fosiyou olara alalım. dira[-].5.5 -.5 - -.5 - -8-6 -4-4 Şeil.4 Şeil. e verile esili zama sisemii dürü siyalie verdiği epi. Şeil. e verile sisem ço basi bir biçimde edisie verile girdi siyalii üç birim belemiş ve olduğu gibi çıışıa yasımışır. Bu durumda sisemi e yapığıı esirme güç değildir. Kedisie verile giriş siyalii belli bir süre beleie sora çıışa vermeedir. Sisem basi bir geciirme (delay) sisemi, devresidir. Şu ada araıza yaslaıp bu adar iddialı bir iap ede baa bu adar basi bir içeri suuyor diye ediize soruyor olabilirsiiz. Aca uumama gereir i e armaşı yapıları bile basi bir emeli vardır. Baalım bu emeli iyi aabiliyor muyuz? Bölüm başlığı ola doğrusal zamada değişmez sisemlere döece olur ise; Şeil. e suula sisemi hem zamada değişmez, hem de doğrusal olduğuu ispalayıız. Zamada değişmezli ile bir sisemi girişide adar gecime oluyorsa, çıışıda da adar gecime olması gereir. O zama giriş ii birim aydığıda çıışda ii birim aymalıdır. Yai giriş siyali x[] = δ[ ] olduğuda çıış siyali = δ[ 5] olmalıdır. Haırlama zorudayım i bu durum sadece zamada değişmez sisemler içi geçerli olacaır. Diğer sisemler içi böyle bir durum geçerli değildir. Zamada değişmezli ousuu amamladığımıza göre bir de doğrusallı ousua el amamızda fayda vardır. Şeil. e verile sisemi doğrusal olması durumuda x[] = δ[] + δ[ ] siyalie e epi vereceğii irdeleyelim. Biraz öce arasıa yaslaalar, içeriği esisi adar basi olmadığıı düşümeye başladılar diye düşüüyorum. Aca pai yapmayı gereirece bir durum yo. Başımız sıışıça aımları ouyup alamaya ve aımları çağırıp, bu aımlarda yardım almaya devam edelim. Madem sisemimiz doğrusal; girdi siyalii her bir elemaıı ayrı ayrı iceleyebiliriz. Sayfa 4
Süperpozisyo (superposiio) özelliği bize bu haı sumaadır. Sisemi x[] = δ[] girdisie e çıı verdiğii biliyordum. Bezer şeilde sisem zamada değişmez olduğu içi x[] = δ[ ] girdisi içi de e çıı vereceğii biliyorum. Madem sisemi yei girdisi x[] = δ[] + δ[ ], bu durumda çıış siyalii hesaplama içi giriş siyalii il ısmıa aye, iici ısmıa ise daha öce zamada değişmezli özelliğii ullaara bulduğum çııı ii aı ile çarpıp oplayara hesaplayabilirim: = δ[ ] + δ[ 5]. Bu hesabı yapare sisemi hem zamada değişmez, hem de doğrusal olduğuu varsaydığımızı (Sizi de buu ispaladığıızı) uumayalım. Tüm bu aaliz sırasıda yapığımız işlemleri icelerse ço daha geel bir souca varabiliriz. İddialı bir geel souca: Herhagi bir doğrusal, zamada değişmez sisemi, herhagi bir giriş siyalie vereceği epiyi, yai çıış siyalii sadece birim dürü siyalie verdiği epiyi (dürü episii) bilere hesaplayabiliriz. Diğer bir deyişle, doğrusal zamada değişmez bir sisem içi h[] dürü episii biliyorsa, herhagi bir giriş siyali içi çıış siyalii hesaplayabiliriz. NASIL? Bölüm -Siyaller ısmıda haırlarsa, herhagi bir esili zama ya da süreli zama siyalii birim basama siyali ciside Eşili. ve Eşili. e görüldüğü gibi (sifig propery, ele özelliği) ifade edebiliriz. x[] = x[]δ[ ] = (.) x() = x(τ)δ( τ) dτ (.) Bu durumda herhagi bir doğrusal, zamada değişmez sisemi birim dürü siyalie verdiği epiyi biliyorsa; x[] siyalii birim dürü siyalii zamada aymış ve geliği x[] değerleri ile çarpılmış siyalleri oplamı olara ifade edebiliriz (sifig propery, ele özelliği). x[] siyalii aıdai değerleri birer sabi olacağıda doğrusallı özelliğide ve sisemi dürüye vereceği epi de adar aymış birim dürü episi h[ ] olacağıda zamada değişmezli özelliğide dolayı Eşili.4 ü yazmamız mümü olacaır. = x[]h[ ] = (.4) Eşili.4, hem doğrusal, hem de zamada değişmez (Liear Time Ivaria) sisemler içi yazılabilece ço özel bir eşiliir ve alama (covoluio sum) oplamı olara adladırılır. Eşili.4 ü bu adar özel yapa, LTI bir sisem içi birim dürü episii bilmemiz durumuda LTI sisemi herhagi bir giriş siyalie vereceği epiyi hesaplayabiliyor olmamızdır. Eşili.4, birço edede dolayı ço özel ve birço özellileri ola bir delemdir. Bu özellilerie girmede sadece maemai ullaara bu eşiliği süreli zamaa aşımamız mümüdür. Eşili.5, süreli zama alama iegrali (covoluio iegral) olara adladırılır ve süreli zama DZD-LTI bir sisem içi çıış ile giriş arasıdai maemaisel bağlaıyı suar. Sayfa 5
y() = x(τ)h( τ) dτ (.5) Kalama iegrali ve alama oplamıı alayabilme so derece öemlidir. Maalesef birço öğreci alama iegralii, alama oplamıı süreli hale geirilmesi ile çözülebilece bir problem olara görmeedir. Oysa ilerleye örelerde görüleceği üzere soru buda biraz daha armaşıır.. Kesili zama doğrusal, zamada değişmez sisemler Kalama problemi birço öğreci arafıda basi olara algılaır. Oysa sıavlarda verile e basi öreği bile birço öğreci çözemez. Buu emel edei alama oplamı ve iegralii basie alıması ve iyi alaşılamamasıdır. Kalama oplamıı hafife almada x[] = δ[] + δ[ ] giriş siyalii, h[] = δ[ ]dürü episie sahip LTI-DZD bir siseme girdi olara verdiğimizi varsayalım. Baalım çıış siyalii, Eşili.4 ei alama oplamıı ullaara hesaplayabilece miyiz?.. Kalama oplamı ile esili zama, doğrusal, zamada değişmez sisemlere ai çııı hesaplaması Kalama oplamıa alıcı gözle baığımızda, il baışai adar basi bir oplama işlemi olmadığıı heme alarız. Bu oplamı ve olma üzere ii ade değişei bulumaadır. değeri esi sosuzda, arı sosuza adar değişmeedir, aca değeri edir ve asıl değişmeedir? değeri siyalii zama idisi olduğuda siyalii esili zama içi müsabel üm değerlerii almalıdır. İdeal durumda değeri de esi sosuzda arı sosuza adar değişmelidir. YANİ, değişeii herhagi bir değeri içi üzeride sosuz ade çarpma ve sosuz ade oplama yapılacaır. Bezer şeilde değerii bir sorai değeri içide yeide üzeride sosuz ade çarpma ve sosuz ade oplama yapılması gereeceir. Şeil.5 e öcei bölümlerde deaylı olara irdelediğimiz girdi siyali x[] ve LTI sisem h[] al ala çizilmişir. Sayfa 6
.5.5 x[].5 -.5 - -8-6 -4-4 6 8 a..5.5 h[].5 -.5 - -8-6 -4-4 6 8 b. Şeil.5. a. Girdi siyali x[] ve B. LTI sisem h[]. Şimdi maemai ullaara çıış siyalii hesaplayalım. Be oplama işlemide başım her sıışığıda sigma operaörüü açma yolua gimişimdir. Şu aa adar hep işe yaraya bir ei olmuşur. Aşağıda verile üm değerleri içi alama oplamıı ediiz hesap edi, alama oplamıı e adar armaşı bir işlem olduğuu ediiz ecrübe edi. =, = =, = =, = x[]h[ ] + x[]h[ ] + x[]h[ ] = =, = x[]h[ ] + x[]h[ ] + x[]h[ ] = = 4, = x[]h[4 ] + x[]h[4 ] + x[]h[4 ] + x[]h[4 ] = Sayfa 7
= 5, = x[]h[5 ] + x[]h[5 ] + x[]h[5 ] + x[]h[5 ] = = 6, = Bu durumda y[] = ve y[5] = olup diğer üm değerleri içi sıfır olara hesaplaa dizi = δ[ ] + δ[ 5] olmalıdır. Acaba bu işlemi olay bir yolu var mıdır? Yosa, esili zama değişeii üm değerleri içi e e çıış siyalii sıfırda farlı olup olmadığıı orol eme mi geremeedir?.. Grafi yöemi ile esili zama doğrusal, zamada değişmez sisemlere ai çııı hesaplaması Eşili.4 diale icelediğide h[ ] siyalii, h[] siyalii (, arı burada bağımsız değişe, ise sabi bir am sayı olma üzere) zamada ers çevrilmiş (ime-reversed, -) ve adar aydırılmış formu [-] olara düşüebiliriz. Dolayısıyla il olara Şeil.6.a da görüle h[] siyalii, Şeil.6.b de görüldüğü gibi y-eseie göre simeriği alıara h[ ] siyalii elde eme geremeedir. Tahmi edileceği üzere bir sorai adım, h[ ] siyalii ullaara h[ ] siyalii elde eme olacaır. Şeil.6.b dei h[ ] siyalie poziif sayısı elediğide h[ ] siyalii adar sağa, egaif sayısı elediğide ise h[ ] siyalii adar sola aydırmış olup, oluşurula h[ ] siyalii x[] siyali ile çarpıp oplayaca hale geirmiş olacağız..5.5.5.5 h[] h[-].5.5 -.5 -.5 - -8-6 -4-4 6 8 - -8-6 -4-4 6 8 a. b. Şeil.6 a. h[] siyali ve b. h[ ] siyali. Eşili.4 e değerii da + a adar değişireceğimiz içi, Şeil.6.b dei h[ ] siyalie = eleyere bu siyali ii birim sola aydırmaya ve x[] ile buluşurmaya çalışacağız. Sayfa 8
x[] - -8-6 -4-4 6 8 a. h[--] (y[-] hesabı içi =-) - -8-6 -4 - h[--] (y[-] hesabı içi =-) - -8-6 -4-4 6 8 =- İçi Hesap Yapılıre x[] x[] h[-] (y[] hesabı h[-] içi (y[] =) hesabı içi =) - -8-6 -4-4 6 8 h[-] (y[] hesabı h[-] içi (y[] =) hesabı h[--] içi =) (y[-] hesabı h[--] içi (y[-] =-) hesabı içi =-) - -8-6 -4-4 6 8 = İçi Hesap Yapılıre b. c. - -8-6 -4-4 6 8 - -8-6 -4-4 6 8 - -8-6 -4-4 6 8 =- İçi Hesap Yapılıre - -8-6 -4-4 6 8 - -8-6 -4-4 6 8 - -8-6 -4-4 6 8 - -8-6 -4-4 6 8 = İçi Hesap Yapılıre x[] h[-] (y[] hesabı içi =) - -8-6 -4-4 6 8 = İçi Hesap Yapılıre - -8-6 -4-4 6 8 - -8-6 -4-4 6 8 =4 İçi Hesap Yapılıre d. e. - -8-6 -4-4 6 8 - -8-6 -4-4 6 8 h[--] (y[-] hesabı içi =-) h[-] (y[] hesabı içi =) - -8-6 -4-4 6 8 - -8-6 -4-4 6 8 - -8-6 -4-4 6 8 Sayfa 9
h[--] (y[-] hesabı içi - 4 6 8-8 -6-4 - 4 6 8 h[-] (y[] hesabı içi =) - 4 6 8-8 -6-4 - 4 6 8 - -8-6 -4-4 6 8 = İçi Hesap Yapılıre x[] - -8-6 -4-4 6 8 h[--] (y[-] hesabı içi =-) - -8-6 -4-4 6 8 f. g. =- İçi Hesap Yapılıre = İçi Hesap Yapılıre h[4-] (y[4] hesabı içi =4) - -8-6 -4-4 6 8 = İçi Hesap Yapılıre - -8-6 -4-4 6 8 h[5-] (y[5] hesabı içi =5) - -8-6 -4-4 6 8 =4 İçi Hesap Yapılıre x[] h[-] (y[] hesabı içi =) h[5-] (y[5] hesabı içi =5) - -8-6 -4-4 6 8 - -8-6 -4-4 6 8 h[--] (y[-] hesabı içi =-) - -8-6 -4-4 6 8 h. i. - -8-6 -4-4 6 8-4 6 8-8 -6-4 - 4 6 8 h[7-] (y[7] hesabı içi =7) - 4 6 8-8 -6-4 - 4 6 8 h[-] (y[] hesabı içi =) - -8-6 -4-4 6 8 - -8-6 -4-4 6 8 =5 İçi Hesap Yapılıre - -8-6 -4-4 6 8 =7 İçi Hesap Yapılıre - -8-6 -4-4 6 8 =6 İçi - -8-6 -4 - Sayfa
x[] - -8-6 -4-4 6 8 h[--] (y[-] hesabı içi =-) j.. h[6-] (y[6] hesabı içi =6) - -8-6 -4-4 6 8 h[7-] (y[7] hesabı içi =7) =6 İçi Hesap Yapılıre x[] h[-] (y[] hesabı içi =) h[7-] (y[7] hesabı içi =7) h[5-] (y[5] hesabı içi =5) - -8-6 -4-4 6 8 4 6 8 - -8-6 -4-4 6 8 h[--] (y[-] hesabı içi =-) - 8-8 -6-4 - 4 6 8 l. m. - -8-6 -4-4 6 8-4 6 8-8 -6-4 - 4 6 8 h[-] (y[] hesabı içi =) - -8-6 -4-4 6 8 =5 İçi Hesap Yapılıre - -8-6 - -4-4 6 8-8 -6-4 - 4 6 8 =7 İçi Hesap Yapılıre =6 İçi - -8-6 -4 - x[] h[-] (y[] hesabı içi =) - -8-6 -4-4 6 8 Şeil.7 a. x[] siyali,. o. - = içi b. h[ ] ve c. y[ ] hesabı, -8-6 -4-4 6 8 = içi d. h[ ] ve e. y[] hesabı, = içi f. h[ ] ve g. y[] hesabı, h[--] (y[-] hesabı içi =-) h[-] (y[] hesabı içi =) - -8-6 -4-4 6 8 - -8-6 -4-4 6 8 - -8-6 -4-4 6 8 Sayfa
= 4 içi h. h[4 ] ve i. y[4] hesabı, = 5 içi j. h[5 ] ve. y[5] hesabı, = 6 içi l. h[6 ] ve m. y[6] hesabı ve = 7 içi. h[7 ] ve o. y[7] hesabı ile dizisii amamıı hesaplaması Şeil.7.a x[] siyalii, Şeil.7.b ise h[ ] siyalii gösermeedir. h[ ] siyali, x[] siyali ile çaışmadığı içi (daha doğrusu x[] siyalii sıfırda farlı değerleri, h[ ] siyalii sıfır değerli oalarıyla çaışığı içi), Şeil.7.c de görüle siyalii = içi değeri olara elde edilmişir. Bezer şeilde = içi h[ ] siyali, x[] siyali ile çaışmadığı içi Şeil.7.e de görüle siyalii = içi değeri yie olara elde edilmişir. h[ ] siyali ile x[] siyalii il çaışıları oaı = içi olduğu Şeil.7.f de görülmeedir. Burada = ve = içi, hesabıda sıfırda farlı bir değer elde edilmiş ve bu değer = içi elde edildiği içi Şeil.7.g de y[] = olara hesaplamışır. Yapıla hesapa çaışa üm oalar, sadece çaışıları değerlerle çarpılmış (i burada h[ ] = h[ ] = h[] = ile x[] = x[] = çaışmış ve çarpımları soucu y[] = olara yazılmışır) ve üm çarpım oplamları (Diğer çaışa oaları birbirleriyle çarpımı sıfır olduğu haırlamalıdır) y[] haesie yazılmışır. Şeil.7.h ve Şeil.7.i de görüldüğü üzere = ve = içi sıfırda farlı değerli sayıları herhagi bir çaışması söz ousu olmadığı içi y[4] = olara aydedilmişir. Şeil.7 ye bezer şeilde bir diğer çaışma = 5 ve = oalarıda gözlemiş ve hesabıda sıfırda farlı elde edile bu değer = 5 içi elde edildiği içi Şeil.7. de y[5] = olara aydedilmişir (y[] = ile birlie). Burada ise h[5 ] = h[5 ] = h[] = ile x[] = x[] = çaışmış ve çarpımları soucu y[5] = olara yazılmışır. Grafisel alama işlemi ile elde edile souçlar,.. Kalama oplamı ile esili zama doğrusal, zamada değişmez sisemlere ai çııı hesaplaması bölümüde yapıla maemaisel işlemler ile birebir ayı souçları vereceir. Souç olara, grafisel alama işlemide alaaca siyali y-eseie göre simeriği alıdıa sora da + a adar aydırılır ve alaa diğer siyal ile çaışa oalarda Eşili.4 e uygu alama oplamı yapılır... Kesili zama doğrusal, zamada değişmez sisemler içi bir öre Kalama oplamıı amame alaşıldığıı, gere alama oplamı formülüü ullaara, gerese grafisel yöemler ile alama oplamı soucuu (DZD-LTI siseme ai çıış siyalii) hesaplaabileceğii alaşıldığıı varsaymaayım. Şeil.8 de verile öreği, çözümüe bamada hesaplayabiliyorsaız esili zama doğrusal zamada değişmez sisemlere ai alama oplamı avramış demeir. Öre problem Sayfa
Öre problemi çözmede öce aşağıdai sorulara cevap arayıız. çıış siyali, i hagi değeride başlar? çıış siyalii uzuluğu edir? çıış siyali aç elemalıdır? 5 4 x[] - -8-6 -4-4 6 8 a. 5 4 h[] - -8-6 -4-4 6 8 b. Şeil.8 Öre olara verile a. x[] ve b. h[] esili zama siyalleri. Öğreme zor ve zama ala bir süreçir. Bu öreği üç farlı şeilde çözmeizi alep edeceğim. a) Kalama oplamı formülüü ullaara, b) Grafisel yöem ullaara ve c) MATLAB oramıda bilgisayara çözdürece odu yazara. Doğal olara üm yöemleri ıpaıp ayı soucu vermeleri geremeedir. Her bir yöem içi oralama o daia harcamaız geremeedir. Sayfa
Şimdi ecrübeye dayalı biraç avsiye ve çözüm öerisi verme isiyorum. Öre problemi çözdüyseiz faydalı bir avsiye olacaır. Öre problemi çözme içi e az yarım saa harcamadıysaız amame bir vai aybı olacaır. Öre problemi çözme içi vai harcayıp çözemediyseiz ço daha diali oumaız gereeceir. Tüm DZD-LTI sisemler içi (esili ve süreli zama dâhil) geel bir ural olara giriş siyali ve dürü episi siyalii = oriji oasıa ouraca şeilde sağa veya sola aydırı. Her bir siyali e adar aydırdığıızı o alı. Şimdi her ii siyal oriji oasıda başladığıa göre çıış siyaliiz, = oasıda başlayacaır. Dilediğiiz yöem ile çıış siyalii hesaplayı. Başlagıça giriş ve dürü episi siyallerii zamada hagi yöe aydırdıysaız biraz öce hesapladığıız çıış siyalii ayı miarda, aca ers yölere aydırı. çıış siyalii hem geli değerleri, hem de bu değerleri yerleri doğru oldu. Şimdi ede yeme arifi gibi bir yöem öerdiğimizi ve daha da öemlisi ede çalışacağıı açılayalım. Özellile bilgisayar programlama dilleride diziler ya da de başlar. Dolayısıyla alama oplamıı MATLAB ya da C gibi bir programlama dilide uygulamaya geçirire egaif dizi idisi haası ile arşılaşırsıız. Öerdiğim yöem hem MATLAB oramıda, hem de elle yapığıız hesaplamalarda ço işiize yaracaır. Zira birço durumda çıış siyalie ai geli değerleri doğru hesaplamaa, aca değerleri yerleri yalış hesaplamaadır. Verile öreği çözdüyseiz Siz de ii dizii il olara erede esişiği ousuda ereddüde düşmüşsüüzdür. Her ii dizii (giriş siyali ve dürü episi) sıfır oasıda başlaması durumuda ereddü edilece bir şey almamaadır. Lüfe çıış siyalii ayı miarda aca ers yöe aydırmayı uumayı. Şimdi gelelim ço daha öemli bir ouya: Öerile yöem ede çalışmaadır? Sizi içi problemi basie idirgeyeyim. Sadece giriş siyalii orijie ouraca şeilde zamada aydırsam, alama oplamıı yapıa sora çıa siyali ers yöe aydırsam souca ei emiş olur muydum? Hayır, olmazdım. Çüü sisem zamada değişmezdir. Zae sisem doğrusal ve zamada değişmez olmasa alama işlemii ullaamazdım. Pei, ayı prosedürü hem giriş siyalie, hem de dürü episie uygulayabilmem asıl mümü oldu? Deme i zamada değişmezli özelliğii yaı sıra alama işlemi içi yer değişirme özelliği de geçerli olmalı: Giriş siyali ile dürü episii yerlerii değişirdiğimde alama oplamı ve alama iegrali içi souç değişmiyor olmalı. Buu ispaıı yapma iser misiiz? Öre soruyu çözmeye başlamada öce verile iici arışma ousu so derece faydalı bir oaya ışı umaadır. Geli değerlerii ve yerlerii bulduğuuz çıış siyalii uzuluğu doğru mudur? Bu soruu cevabı Size global bir doğrulama, sağlama imaı vereceir. çıış siyalii uzuluğu edir? çıış siyali aç elemalıdır? Çıış siyalii uzuluğu, giriş ve dürü episi siyallerii uzulularıı oplamıda bir esiir. Giriş siyalii uzuluğu N, dürü episii uzuluğu M olma üzere, N + M = 5 + 4 = 8 olara bulumalıdır. Sayfa 4
. Süreli zama doğrusal, zamada değişmez sisemler: Kalama İegrali Kesili zama doğrusal, zamada değişmez sisemler içi deaylı olara arışıla ve süreli zamaa geişleile alama iegrali Eşili.6 ile verilir. y() = x(τ)h( τ) dτ (.6) Eşili.6 lieraürde Eşili.7 ile özdeş olara ullaılmaadır. Eşili.6 da ullaıla işarei alama işlemii, x ya da x() giriş siyalii, h ya da h() ise dürü episii ifade emeedir. Lüfe işarei yerie. veya x gibi işareler ullamayıız, doğrusal sisem aalizide ve siyal işleme uramıda işarei sisemai bir biçimde esili ve/veya süreli zama alama işlemii ifade eme üzere ullaılmaadır. y() = x() h() = x h (.7) Süreli zama DZD-LTI bir sisemii çıış siyalii, diğer bir deyişle alama iegralii soucuu doğruda eileye husus, alama iegralii sıırlarıa arar verilmesidir... Süreli zama doğrusal, zamada değişmez sisemler içi bir öre Süreli zama doğrusal, zamada değişmez sisemler içi, Şeil.9 da yer ala x() simeri are dalga siyali ve h() siyalii, esili zamada yapıla işlemlere bezer bir yalaşımla alayalım. x() h() - - -5 5 - - -5 5 a. b. Şeil.9 a. x() simeri are dalga siyali ve b. h() siyali. Eşili.8, x() are dalga siyalii aalii delemii,, x() = {, Diğer Yerler (.8) Eşili.9 ise h() siyalii aalii delemii Sayfa 5
, <,5 h() = {, Diğer Yerler (.9) gösermeedir. Bu bölüme adar yapıla alama işlemleride x ve h siyalleri orijide başladığı içi, alamayla elde edile çıış siyali y de orijide başlayara bir aım değerler almışı. DZD sisemleri zamada değişmezli özelliğide ve orijide başlamaı hesap armaşılığıı azalmasıda faydalaara Şeil.9.a dai x() siyali zamada ii birim sağa aydırılmış ve h() siyalii y esei göre simeriği ile birlie Şeil. da göserilmişir. x-gecici(ao) h(-ao) - - -5 5 ao - - -5 5 ao a. b. Şeil.. a. x geçici (τ) siyali ve b. h( τ) siyali. Grafisel göserimde öce aalii olara alama işlemii gerçeleşirelim. Şeil. da da görüldüğü üzere, < içi Şeil. dai siyallerde çaışma söz ousu değildir. Bu yüzde < içi y() = x() h() = soucua varabiliriz. Şeil..b de, y eseie göre ers çevrilmiş h( τ) siyalii esi sosuza doğru aydırmada öce, aydırma işlemi boyuca aralıları aibii olaylaşırma adıa Şeil..b de τ = ola oayı, ve τ =,5 ola oayı da,5 olara eieleyelim. O halde Şeil. dai x geçici (τ) siyali ile h( τ) siyalii ısmi olara çaışmaya başladığı il aralığı alama iegralide τ = değeride τ = değerie adar alabiliriz. Kısmi Çaışma:,5 içi y geçici () = x(τ)h( τ) dτ = x(τ)h( τ) dτ = ( τ) dτ τ= = τ τ τ= Sayfa 6
= (.) Eşili. dai ısmi çaışmada sora, Şeil. dai x geçici (τ) siyali ile h( τ) siyalii am olara çaışmaya başladığı il aralığı alama iegralide τ =,5 değeride τ = değerie adar alabiliriz. Bu aralıa yapılaca alama iegralii soucu ise, y() siyalii,5 < 4 değeri içi elde edilmiş olacaır. Tam Çaışma:,5 < 4 içi y geçici () = x(τ)h( τ) dτ = x(τ)h( τ) dτ,5 = ( τ) dτ,5 τ= = τ τ τ=,5 = ( (,5) ) [(,5) ] = (,5 +,5 ) =,5 ( ) =,5 (.) Eşili. dei am çaışmaı ardıda, h( τ) siyali arı sosuza doğru gimeye devam eiçe x geçici (τ) siyalide uzalaşmaya başlayaca, aca hale ayrılma sürecide ısmi çaışma devam edeceir. Dolayısıyla, Şeil. dai x geçici (τ) siyali ile h( τ) siyalii ısmi olara çaışmaya devam eiği so aralığı alama iegralide τ =,5 değeride τ = 4 değerie adar alabiliriz. Bu sayede y geçici () siyalii Eşili. de 4 < 5,5 değeri içi elde emiş olacağız. Kısmi Çaışma: 4 < 5,5 içi y geçici () = x(τ)h( τ) dτ 4 = x(τ)h( τ) dτ,5 Sayfa 7
4 = ( τ) dτ,5 τ=4 = τ τ τ=,5 (,5) = (4 8) [(,5) ] = (4 8) (,5 ) = + 4 6,875 (.) > 5,5 içi herhagi bir çaışma olmadığı içi y geçici () siyali bu aralıa değeride elde edilmeedir. Souç olara Eşili., parçalı fosiyo olara aımlı hale gele y geçici () siyalii özelemeedir., < y geçici () =,,5,5,,5 < 4 { + 4 6,875, 4 < 5,5, > 5,5 (.) DZD sisemleri zamada değişmezli özelliğide ve orijide başlamaı hesap armaşılığıı azalmasıda faydalaara Şeil.9.a dai x() siyali zamada ii birim sağa aydırılmışı. Dolayısıyla, Eşili. ile elde edile y geçici () siyali, DZD sisemi zamada değişmezli özelliğide dolayı ii birim sola aydırılırsa Şeil.9.a dai x() simeri are dalga siyali ile Şeil.9.b dei h() siyalii alama soucu y(), Eşili.4 e görüldüğü gibi elde edilebilir., < y() =,,5,5,,5 < { + 4 6,875, <,5, >,5 (.4) Şeil., sırasıyla Eşili. e ve Eşili.4 e elde edile y geçici () ve gösermeedir. y() siyallerii Sayfa 8
.5 y-geçici().5 -.5 - - -8-6 -4-4 6 8 a..5 y().5 -.5 - - -8-6 -4-4 6 8 b. Şeil. a. y geçici () ve b. y() = x() h(). Yapıla aalii işlemlerdei ısmi ve am çaışma ifadelerii grafisel göserimi ise Şeil. de göserilmeedir. x-gecici(ao) h(--ao) h().5 - - - - -5-5 5 ao ao h(-5-ao) y-gecici().5 -.5 - -5 5 - - -5 5 ao a. b. Sayfa 9
x-gecici(ao) h(-ao) h(--ao) h().5 - - -5 5 ao y-gecici().5 h(--ao) h(-5-ao) -.5 - -5 5 - - -5 5 ao c. d. x-gecici(ao) h(--ao) - - -5 5 ao h() y-gecici().5.5 -.5 - -5 5 - - -5 5 ao e. f. x-gecici(ao) x-gecici(ao).5 - - -5 5 ao y-geçici().5 h(,75-ao) h(,5-ao) -.5 - -8-6 -4-4 6 8 - - -5 5 ao g. h. Sayfa
x-gecici(ao).5 - - -5 5 ao y-geçici().5 h(,5-ao) -.5 - -8-6 -4-4 6 8 - - -5 5 ao i. j. x-gecici(ao) x-gecici(ao).5 - - -5 5 ao y-geçici().5 h(-ao) h(4-ao) -.5 - -8-6 -4-4 6 8 - - -5 5 ao. l. x-gecici(ao).5-5 - -5 5 ao y-geçici().5 h(4-ao) -.5 - -8-6 -4-4 6 8-5 - -5 5 ao m.. Sayfa
x-gecici(ao) x-gecici(ao).5 - - -5 5 ao y-geçici().5 h(5-ao) h(7-ao) -.5 - -8-6 -4-4 6 8 - - -5 5 ao o. p. x-gecici(ao).5 - - -5 5 ao y-geçici().5 h(7-ao) -.5 - -8-6 -4-4 6 8 - - -5 5 ao r. s..5 y-geçici().5 -.5 - -8-6 -4-4 6 8. Sayfa
.5 y().5 -.5 - -8-6 -4-4 6 8 u. Şeil. = 5 içi a. h( 5 τ)ve b. y geçici () hesabı, = içi c. h( τ) ve d. y geçici () hesabı, = içi e. h( τ)ve f. y geçici ()hesabı, =,75 içi g. h(,75 τ) ve h. y geçici ()[,75] hesabı, =,5 içi i. h(,5 τ) ve j. y geçici () hesabı, = içi. h( τ) ve l. y geçici ()hesabı, = 4 içi m. h(4 τ) ve. y geçici ()hesabı, = 5 içi o. h(5 τ) ve p. y geçici ()hesabı, = 7 içi r. h(7 τ) ve s. y geçici ()hesabı,. y geçici () ve u. y() siyalleri. Şeil. (a)-(f) ve (r)-(s) çaışma olmaya durumları, Şeil. (g)-(j) ve (o)-(p) ısmi çaışma ola durumları Şeil. ()-() ise am çaışma ola durumları emsili göserimleridir. Souç olara elde edile çıış siyalleri ise Şeil.. ve Şeil..u da elde edilmeedir. Sayfa