IAAOJ, Scietific Sciece, 23,(2), 22-25 GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE Adullh AKKURT, Hüseyi YILDIRIM Khrmmrş Sütçü İmm Üirsitesi, Fe-Edeiyt Fkültesi Mtemtik Bölümü, K.Mrş, Türkiye e-post: dullhmt@gmil.com ÖZET Bu çlışmd, klsik Riem-Liouville Frctiol itegrlleri ir geelleştirmesi tımldıkt sor u Frctiol itegrl içi Feg Qi tipli itegrl eşitsizlikleri elde edildi. Ahtr kelimeler: Qi eşitsizlikleri, İtegrl eşitsizlikleri, Frctiol itegrl, Riem-Liouville Frctiol itegrller. ON FENG Qİ TYPE İNTEGRAL INEQUALİTİES FOR GENERALİZED FRACTİONAL İNTEGRALS ABSTRACT I this study, fter defiig geerliztio of the clssicl Riem-Liouville Frctiol itegrls, its Feg Qi type itegrl iequlities re otied. Keywords: Qi iequlities, İtegrl iequlities, Frctiol itegrl, Riem-Liouville Frctiol itegrls.. Giriş Tmsyı merteeli Türevler İtegrller çık ir fiziksel geometrik yorum shiptir. Bu d Türev İtegrli çeşitli ilim dllrıd irçok uygulmlı prolemleri çözümlerii ypılmsıd öemli derece kolylıklr sğlr. Fkt gerçek düy prolemleri içi hem teorik hem de uygulm llrıd hızlı ir üyümeyi (değişimi) temsil ede Kesir Dereceli itegrl türevlerde durum öyle değildir. Çükü keyfi merteeli (Tmsyı merteeli olmk zorud değil) türev itegrl fikri, yklşık 3 yıld fzl fiziksel geometrik yorumlmlr çısıd oldukç zyıftır. Buu yı sır çeşitli yzrlr kesirli türevi kesirli itegrli tm olrk ir fiziksel geometrik yorumuu ypmmkl irlikte çeşitli yklşımlr özel foksiyolr içi uygulmlr rmişlerdir. Ypıl uygulmlr kesirli türev kesirli itegrl modellemesie uygu foksiyolr ypılrdır. So yıllrd kesirli türevler, kesirli itegrller kesirli difersiyel deklemler içi çeşitli prolemler orty tılmış ulrı çözümleri çlışılmıştır. Klsik itegrl Kesirli itegrllerle ilgili olrk, S.G. Smko(993), G.A. Astssiou(29), Z. Dhmi(2,2), S. Belri(2), F. Qi(2,23), Q.A. Ngô(26) L. Bougoff(27) gii yzrlr çlışmlr ypmışlrdır. Bu yzrlrd Feg Qi klsik itegrller içi zı itegrl eşitsizliklerii ifde ispt etmesii yı sır, itegrl eşitsizlikleri içi irçok çık prolem yzmıştır. Dh sor u prolemler çözülerek Qi eşitsizlikleri olrk dldırılmıştır(boukerrıou K. 27, Liu W.J 27). (Liu, Cheg Li, 28) (Ngô, Thg, Dt Tu, 26) çlışmlrıd şğıdki ilgiç itegrl eşitsizlikleri rilmiş isptlmıştır. 2. Mteryl Metot Çlışmmızd kullcğımız zı Tım, Teorem Lemmlrı relim. Teorem.. f,, rlığıd sürekli ir foksiyo olmk üzere şrtı ltıd f ( t) dt tdt, [,] ()
Akkurt rk. f ( t) dt t f ( t) dt, (2) f ( t) dt tf ( t) dt, (3) eşitsizlikleri vrdır. Burd ( Ngô, Thg, Dt Tu, 26). Teorem.2. f,, rlığıd sürekli ir foksiyo olmk üzere mi{, } mi{, } şrtı ltıd, her reel syısı içi, dir (Liu, Cheg Li, 28). Tım.3 : f L₁, f ( t) dt ( t ) dt, [, ] (4) f ( t) dt ( t ) f ( t) dt, (5) olmk üzere J f ( )= ( - ) f d,,, ( ) (6) - J f ( ) ( ) f d,,, ( ) (7) - şeklideki itegrllere Riem-Liouville Frctiol itegrller deir(smko S.G., Kils A.A. Mrichev O.I., 993). Ktugmpol, f L₁, - ( ) olmk üzere (6) (7) ifdelerii J f ( ) ( - ) f d,,,, (8) - ( ) J f ( ) ( - ) f d,,,, (9) şeklide yeide tımlyrk u ifdelere. merteede sırsıyl sğ sol trflı geelleştirilmiş Riem-Liouville Frctiol itegrller demiştir(ktugmpol U.N., 2). Burd pozitif ir reel syı olmk üzere ifdesi Gmm Foksiyoudur. - -t t e dt ( ) ()
IAAOJ, Scietific Sciece, 23,(2), 22-28 (8) ifdesideki sğ trflı geelleştirilmiş kesirli itegrl içi, yrı grup özelliği J J f ( ) J f ( ),, () J J f ( ) J J f ( ) (2) şeklideki değişme özelliği vrdır (Ktugmpol U.N., 2). Klsik Riem-Liouville Frctiol Türevleri ir geelleştirmesii, Ktugmpol şğıdki eşitliklerle rmiştir (Ktugmpol U.N., 2). d D f ( ) ( - t ) t f ( t) dt, ( ) d (3) d ( ) ( - ) ( ), ( ) d. (4) D f t t f t dt Lemm.4. [Geelleştirilmiş Cuchy Eşitsizliği]. syılrı tüm pozitif y reel syılrı içi, şeklidedir. 3. A Souçlr İsptlr y y şrtı ltıd, pozitif reel Burd Feg Qi i zı eşitsizliklerii dh geel olrk şğıdki iki teoremle irleştirip, elde edile eşitsizliklerde,,, y özel değerler rerek Feg Qi i zı eşitsizliklerii elde edeceğiz. Teorem.5. f,, rlığı üzeride mi{, } mi{, } f ( ) d ( ) d, [, ] (5) şrtıı sğly sürekli ir foksiyo olsu. Bu durumd her pozitif reel syılrı içi, ( ) ( ) ( ), f d f d (6) eşitsizliği vrdır. İspt. Teoremi isptı içi Lemm.4. göz öüe lıdığıd, f f ( ) ( ) ( ) ( )
Akkurt rk. yzılır. Bu eşitsizliği her iki yıı d ye kdr itegrli lıırs, y ( ) ( ) ( ) ( ) (7) f d d f d ( ) f ( ) d ( ) f ( ) d eşitsizlikleri yzılır. Ayrıc u eşitsizlikleri sğ trfıdki ifde içi, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f d f d f d yzılcğıd (7) eşitsizliği, ( ) ( ) f ( ) d ( ) ( ) f ( ) d ( ) f ( ) d olrk yzılcktır. Burd d ( ) ( ) ( ), f d f d (8) eşitsizliği elde edilir. Bu d teoremi isptıdır. Teorem.6. f,, rlığıd sürekli ir foksiyo olmk üzere, ( ) ( ) f ( ) d,, (9) dir. İspt. Teoremi isptıı iki şmd yplım. İlk olrk durumuu göz öüe llım. Bu durumd, d ( ) f ( t ) t dt f ( t ) t dt d ( ) ( ) f ( ) d (2) yzılır. (2) eşitliğii sol trfıd (5) eşitsizliği göz öüe lıırs,
IAAOJ, Scietific Sciece, 23,(2), 22-28 ( ) ( ) f t t dt d ( ) ( t ) t dt d ( ) d ( ) d d 2 uluur. Elde edile u so ifde (2) de yerie yzılırs, yzılır. ( ) ( ) f ( ) d, İkici olrk olsu. Bu durumd Lemm.4. yrdımıyl, f ( ) ( ) f ( )( ) (2) yzılır. Bu (2) ifdesii her iki yı lıırs, ( ) ile çrpılrk d ye kdr itegrli ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f d d f d, (22) olduğu kolyc görülür. (22) ifdeside f yi eşitsizliği elde edilir. oluşu kullılırs, ( ) ( ) ( ) f ( ) d ( ) ( ) f ( ) d, (23)
Akkurt rk. Burdki (23) ifdeside,,, y özel değerler rildiğide, kyklrd elde edile eşitsizlikleri ir çoğu kolyc ulşcğımızı gösterelim. Eğer özel olrk,,, seçilirse f ( ) d 3 eşitsizliği,,,, seçilirse 3 f ( ) d eşitsizliği,,,, seçilirse 6 eşitsizliği,,, seçilirse f ( ) d 3 eşitsizliği, seçilirse eşitsizliği, seçilirse, eşitsizliği, seçilirse, eşitsizliği heme görülür. f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) d 2 2 2 2 2 içi, Diğer yd8 ifdeside, ilk olrk,,, seçilirse her N f ( ) d f ( ) d
olcktır. İkici olrk t,,, ifdesi şeklie idirgeir. Kyklr IAAOJ, Scietific Sciece, 23,(2), 22-28 seçelim. Bu durumd her N içi 8 f ( ) d f ( ) d Astssiou G.A.( 29). Frctiol Differetitio İequlities, Spriger. Bougoff L. (27). Note o ope prolem, J. Iequl. Pure Appl. Mth., 8(2), Art. 58. Bougoff L. (27). Corrigedum of the pper etitled: Note o ope prolem, J. Iequl. PureAppl. Mth., 8(4), Art. 2. Boukerrıou K. d Gueze-Lkoud A. (27). O ope questio regrdig itegrl iequlity, J. Iequl. Pure Appl. Mth., 8(3), Art. 77. Dhmi Z. (2). New iequlities of Qi type, Jourl of Mth. d system sciece, 7- Dhmi Z. d Belri S. (2). Some iequlities of Qi type usig frctiol itegrtio, I.J.N.S Dhmi Z. d Thrit L. (2) Certi iequlities ivolig frctiol itegrls, Jourl of Advced Reserch i Scietific Computig, 2, 55-6. Ktugmpol U.N. (2). New Approch to geerlized frctiol itegrl, Appl. Mth. Comput. 28(3), 86-865. Kils A. A., Srivstv H.M. d Trujillo J.J. (26). Theory d Applictios of Frctiol Differetil Equtios, Elsevier B.V., Amsterdm, Netherlds, Liu W.J., Cheg G.S. d Li C.C. (28). Further delopmet of ope prolem cocerig itegrl iequlity,j. Iequl. Pure Appl. Mth., 9(), Art. 4. [ONLINE: http://jipm.vu.edu.u/] Liu W.J., Li C.C. d Dog J.W. (27). O ope prolem cocerig itegrl iequlity,j. Iequl. Pure Appl. Mth., 8(3), Art. 74. Mzouzi S. d Qi F. (23). O ope prolem regrdig itegrl iequlities, J. Iequl. Pure d Appl. Mth. 4, Art. 3. Ngô Q.A., Thg D.D., DAT T.T. d Tu D.A. (26). Note o itegrl iequlity, J. Iequl.Pure Appl. Mth., 7(4), Art. 2. Qi F. (2). Serl itegrl iequlities, J. Iequl. Pure d Appl. Mth., Art. 9. Smko S.G., Kils A.A. d Mrichev O.I. (993). Frctiol Itegrls d Derivtis, Theory d Applictios, Gordo d Brech, Yrdo et lii.