9 ork ve Denge est in Çözümleri M. Sistemlerin engee olması için toplam momentin (torkun) sıfır olması gerekir. Verilen üç şekil için enge koşulunu yazalım. F. br =. br F = Şekil II G =. +. +. =. 6 = 6 Cevap ır. F. br =. br F = F. br =. br 6 F = Buna göre, kuvvetlerin büyüklük ilişkisi F >F >F şeklineir.. Destek noktalarına göre tork alalım.. = F. F =. = F. F =. = F. F = uvvetlerin büyüklük ilişkisi F = F > F tür... G = noktasına asılı olan ağırlığı oğruan ipine biner. Çubuğun olan ağırlığının yarısı. ipe iğer yarısı. ipe biner. =, = oluğunan; = bulunur. ip Y Z. üreş çubukların ağırlıkları tam orta noktalarınan bir kuvvet gibi gösterilir. Önce türeş çubuğun ağırlığı tam ortasınan bir kuvvet gibi gösterilir. ağırlığı ile öteki ağırlığının bileşkesi -Y nin tam orta noktasına olup eğeri ir. ile nin bileşkesi e bunların arasınaır. Cevap ır. G Şekil I Şekil I engee oluğunan;. + G. =. G = bulunur. ynı çubuğun Şekil II e e olarak engee kalabilmesi için esteğin noktasına olması gerekir. Bunun böyle oluğunu aşağıaki eşitlikte gösterebiliriz. Çubuğun ağırlığı estek üzerine geliği için önürme etkisi yoktur. 6. Çubuğun engee kalması için ip noktasına göre alınan toplam momentin sıfır olması gerekir. Bir başka ifaeyle, ipin sağına ve soluna kalan momentlerin eşit olması gerekir. I. U noktasınaki bilye alınığına;. = + + + 0 0 II. Y ve Z noktalarınaki bilyeler alınığına;
R VE DENGE. = + + 0 0 III. ve noktalarınaki bilyeler alınığına;. = + + 0 0 Her üç uruma a enge sağlanmaktaır. 8. Eşit bölmeli ve türeş çubukların olan ağırlıkları bir kuvvet gibi tam orta noktaan gösterilir. Bütün kuvvetlerin ağırlık merkezi ipler arasına kalırsa sistem engee kalır. Her üç sisteme e ağırlık merkezi ipler arasına kalır. 7. Özeş ve cisimlerinen her birinin ağırlığı olsun. İlk enge urumuna ip noktasına göre moment alırsak;. = M. M = bulunur. İkinci uruma; I. 9. Bir kuvvetin önürme etkisinin olabilmesi için, bu kuvvetin kenisi veya uzantısı önme noktasınan geçmemesi gerekir. F ve F kuvvetlerinin uzantısı noktasınan geçtiği için bu iki kuvvet çubuğu önüremez. F ve F kuvvetleri ise çubuğu önürebilir. B C D.. =. +. M= eşitlik oluğunan enge sağlanır. II. M 0. M B = C M= İpin oluğu noktaya göre; = oluğunan enge sağlanır. D Şekile ipe göre moment alınığına ipin sol tarafına + =, sağ tarafına lik bir eğer sözkonusuur. Çubuğun olarak engee kalabilmesi için sağ tarafının momentinin e olması gerekir. Bunun için e noktasına ağırlığı olan bir bilye asılması gerekir. Cevap ır. III. B C D = M= = oluğunan enge sağlanmaz.. Verilen üç şekile e ip noktasına göre F, F, F kuvvetlerinin önürme etkisi G yükünün önürme etkisine eşit olmalıır. F. = G. F = G F. = G. F = G F. = G. F = G
R VE DENGE. in önürme etkisi Y nin önürme etkisine eşit olmalıır.. = Y. = Y bulunur. ve Y nin yerleri eğiştiriliğine; ip tavan G Y Şekil II İp Y noktasına kayığına G ağırlığı ipinen birim uzaklıkta olur (Şekil II). Buna göre, azalır. azalınca artar. k. Y = Y k. Y. = Y. k = bulunur. Buna göre, cisminin altına tane aha Y asılmalıır.. noktası etrafına önebilen kıvrılmış çubuğa uygulanan F, F, F kuvvetlerinin üçü e çubuğu önürebilir.. Sistem her iki şekile e engee oluğuna göre Şekil I için;. +. +. =. Şekil II için;. =.x = 6 6. 6 M N.x = x = birim bulunur. 9 yer. Y Şekil I üre hareket eerken sistem noktasınan evrilebilir. Bu mantıkla hareket eiliğine sistemin evrilebilmesi için kürenin -M nin tam ortasına gelmesi gerekir. Bunu noktasına göre moment alarak kanıtlayabiliriz. ( ). 6 9. + = üre -M nin ortasını geçtiğine, sistem evrilir. G Eşit beş bölmeen oluşan türeş çubuğun G ağırlığı, Şekil I eki gibi tam ortasına bir kuvvet olarak gösterilir. + = G ir. İp noktasına iken G ağırlığı ipine birim uzaklıktaır.
R VE DENGE est nin Çözümleri. Verilen kuvvetleren F ile F nin uzantıları noktasınan geçtiğinen bu iki kuvvetin büyüklüğü artırılırsa toplam tork bunan etkilenmez. biçimineir. orkların büyüklüğü ise; x = = x = = 8 bulunur. Buna göre x =- x yazabiliriz. Cevap ır.. Uzantısı noktasınan geçen F kuvvetinin oluşturabileceği tork sıfır F kuvveti levhayı saat ibresi yönüne, F kuvveti ile saat ibresinin tersi yönüne önürür. oplam torkun büyüklüğü; x toplam = F r + F r x toplam = = F r + F r = F r bulunur.. İlk uruma türeş çubuğun ağırlığının yarısı. ipe, iğer yarısı. ipe binmiş urumaır. halkası ok yönüne hareket ettikçe. ip ağırlık merkezinen uzaklaşacağınan. ipe aha çok ağırlık biner. Bir başka ifaeyle, artar, azalır.. F kuvvetinin uzantısı noktasınan geçtiği için bu kuvvetin torku sıfırır. F = birim olup bu kuvvetin noktasınan olan ik uzaklığı birimir. F = birim olup noktasınan ik uzaklığı birimir. F = birim olup noktasına olan ik uzaklığı birimir. x = = 6 br x = 0 x = = br x = = br Buna göre, x > x > x ; x = 0 ır. 6. 0 eşit bölmeli çubuğun ağırlık merkezi orta noktası olan aır. İki ipteki gerilme kuvvetlerinin büyüklüklerinin eşit olabilmesi için çubuk ve cisimen oluşan sistemin ağırlık merkezi noktasına olmalıır. ğırlık merkezinin e olabilmesi için küresel cismin M e olması gerekir. 7.. F B v v F kuvvetinin uzantısının noktasına olan ik uzaklığı birim, noktasına olan uzaklığı birimir. Sağ el kuralına göre, ve noktalarına göre olan torkların yönü; x } x z noktasına göre tork alalım. = = bulunur. B noktasına göre tork alalım. + = + = = bulunur.
R VE DENGE 8. 9. Y ve kuvvetlerinin bileşkesi noktasınaır. in noktasına göre torku nin noktasına göre torkuna eşit olmalıır. = & = r r İplereki gerilme kuvvetlerinin büyüklüğü eşit olarak veriliğinen sistemin ağırlık merkezi noktasıır. noktasına göre torklarının büyüklüğü eşit r r = = bulunur. r. Şekil I 7 7 Şekil II Şekil I eki ve kuvvetlerinin noktasına göre torkları eşittir. Buraan; sin = sin7 = = 8 Şekil II eki ve kuvvetlerinin noktasına göre torkları eşittir. = sin7 = = = bulunur. 8 8 0. Y çubuğunun ağırlığı Şekil I eki noktasına gösterilir. noktası çubuğun ağırlık merkeziir. 7. θ Y Y α α Şekil I Şekil II Şekil II eki noktasına göre tork alalım. 6 = sin 6 = = bulunur. Sistem engee oluğuna göre, noktasına göre ve nin torkları eşittir. sina = sina =
6 R VE DENGE. B noktasına göre bileşke tork sıfır oluğuna göre; saat ibresi yönüneki önmeler, tersi yöneki önmelere eşittir. Buna göre; F sin 0 + F sin 7 = F F + F F = F = F - F F = F F = 6 F bulunur.. = N G x 7 noktasına göre ve G y kuvvetlerinin torkları eşit büyüklükteir. Buna göre, = G y = G sin7 7 = G G = 60 N bulunur. G G y. F x 7 x x x x B F B noktasına uygulanan F büyüklüğüneki kuvvetin uzantısı noktasınan geçtiği için oluşturuğu tork sıfırır. Bu neenle noktasına göre olan toplam tork; x = F x = 8F x = x ir. F kuvvetinin noktasınan olan ik uzaklığı x, F ninki x tir. F kuvveti noktasına göre saat ibresi yönüne, F kuvveti ise saat ibresinin tersi yönüne önürme oluşturur. Bu neenle toplam tork hesaplanırken birinin işareti ( ) alınır. x = F x F x = Fx bulunur. 8Fx = x alınırsa, x = F x = 8 x 6. çubuğunun ağırlığı alınırsa M çubuğunun ağırlığı a 8 bölmeli çubuğunun ağırlığı ise ğırlıkları şekileki gibi çubukların ağırlık merkezinen gösterebiliriz. ile nin ağırlık merkezleri kesikli çizgiyle gösterilen yereir. Şekil ikkatlice incelenirse iplerin kuvvetlerine uzaklıkları eşittir. Bu uruma ve iplerine binen ağırlıkların eşit oluğunu söyleyebiliriz. Cevap ır. M
R VE DENGE 7 est ün Çözümleri. Şekileki levhaya etki een kuvvetleren F ve F nin uzantısı noktasınan geçtiği için önür-. F F F me etkileri yani momentleri sıfırır. F ve F kuvvetleri levhayı (+) yöne, F kuvveti ise ( ) yöne önürmeye çalışır. F. + F. F. F. + F. F. = 0. are levhalar engee oluğuna göre F, F, F kuvvetlerinin noktasına göre momentleri, cismin ağırlığının noktasına göre momentlerine eşittir. > = oluğunan F = F > F.ip.ip M. F kuvvetinin uzantısı önme noktasınan geçtiği için önürme etkisi sıfırır. F kuvveti saat ibresinin tersine +F.r momenti oluştururken F kuvveti saat ibresi yönüne F.r momentini oluşturur. 6. Sistemin toplam momenti ise; F.r+F.r = F.r bulunur. G Cevap ır. Sıvı seviyesine gelinceye kaar. ve. ipteki gerilme kuvveti artar. seviyesinen seviyesine gelinceye kaar olan suyun kütle merkezi. ip oğrultusuna oluğu için saece. ipteki gerilme kuvveti artar. G Y G Z Sistem engee oluğuna göre, G = G Y + G Z ir. noktasına göre moment alırsak; G Y. = G Z. yazabiliriz. Buraan G Z > G Y oluğunu görürüz. hâle G > G Z > G Y ir. seviyesinen itibaren olan suyun ağırlığı. ip ile aynı yöne önürme etkisi oluşturuğunan,. ipteki gerilme kuvveti azalmaya başlar. 7. y 7 x 8 N. Şekil I e inamometrenin bir ucu uvara bağlı öteki ucu yüküne bağlı oluğunan inamometre eğerini gösterir. Şekil II eki üzenek Şekil I e çok benzer. Birine inamometreyi uvar, ötekine yükü engeler. Bu neenle Şekil II eki inamometre e eğerini gösterir. Şekil III bir eğik üzlem oluğu için inamometre.sin60 eğerini gösterir. Sisteme etki een kuvvetler şekileki gibiir. Çubuk engee oluğunan; uvarın tepki kuvveti, ip gerilme kuvvetlerinin bileşenlerinin bileşkesine eşittir. x = 8 N cos7 = 8 0,8 = 8 & = 0 N bulunur.
8 R VE DENGE 8. MN çubuğunun ağırlık merkezi M-N arasına, çubuğunun ağırlık merkezi e N- arasına olmak zorunaır. seçeneğinin oğru olabilmesi için çubuğu ağırlıksız olmalıır. ğırlıksız bir çubuk olamayacağınan seçeneği yanlıştır. B seçeneğinin oğru olabilmesi için MN çubuğunun ağırlık merkezinin N noktasına olması gerekir. ğırlık merkezi çubuğun kenarına olamayacağı için B seçeneği yanlıştır. C seçeneğinin oğru olabilmesi için MN çubuğunun ağırlık merkezi çubuğun tam ortasına olmalıır. C oğru olabilir. D seçeneğinin oğru olabilmesi için MN çubuğu ağırlıksız olmalıır. D seçeneği yanlıştır. E seçeneğinin oğru olabilmesi için çubuğunun ağırlık merkezi e olmalıır. Bu neenle E seçeneği yanlıştır. 9. uvvetlerin her birini bileşenlerine ayırarak şekli tekrar çizelim. F in hem, hem e F F üşey bileşeni sistemi saat ibresinin tersine önürür. F nin üşey bileşeni sistemi saat ibresinin tersine, bileşeni saat ibresi yönüne önürür. F ün bileşeninin F uzantısı noktasınan geçtiği için torku sıfırır. Düşey bileşeni sistemi saat ibresi yönüne önürür. x = F + F = 9F x = F F = F x = F = 6F Buna göre, torkların büyüklükleri arasınaki ilişki, x > x > x şeklineir. 0. F = F 7 F = F Üçgenlereki açılar göz önüne alınığına nin karşısınaki kuvvetin büyüklüğü F = F, 7 nin karşısınaki kuvvetinin büyüklüğü F = F olarak alınabilir. F ve F vektörlerinin noktasınan olan ik uzaklıkları olup eşittir. orkların büyüklüğü; x = F = F = x ise x = F = F = x bulunur. F vektörü ile F vektörünün noktasına göre torklarının yönü farklıır. x = x ise x =- x noktasına göre toplam tork; x = x - x = x Cevap ır.. üreş Y çubuğu hem ağırlık merkezinen hem e Y ucunan iple çubuğuna bağlıır. Y ucunan bağlanan ip gerilmesi sıfırır. Çubukların ağırlıkları G olarak alınırsa; G Sistem engee oluğuna göre, kuvvetlerin ve noktalarına göre torklarını yazalım. noktasına göre tork; = G + G = G noktasına göre tork; = G + G = G bulunur. ve nin oranları ise; G = = bulunur. G G
R VE DENGE 9. Çubuğun uzunluğu x alınırsa, iğer uzunluklar şekileki gibi. cos 7 x x cos cos x. Sistem engee ise; x = x = bulunur. G = uvvetlerin ik bileşenleri şekileki gibiir. noktasına göre moment alınırsa; cos = cos + cos = = bulunur. Cevap ır. = = 60. Şekil I G = G = Şekil II Şekil I e çubuğu, ucunan yukarı oğru kuvvetiyle olarak engeeir. hâle, çubuğunun ağırlığı ir. ağırlığınaki çubuğu Şekil II eki gibi engeye geliğine, yine ucunan G = ağırlığı ile engeleniyor. Bu neenle cisminin ağırlığı sin7 6. uvvetlerin ik bileşenleri şekil üzerineki gibiir. sin sin7 7 cos F tepki cos 7 G = 8 N noktasına göre moment alınırsa; 60 cos sin 6 + sin7 = 8 60 N = 0 N gerilme kuvvetini ve 60 N u bileşenlerine ayırıp noktasına göre moment alırsak; bulunur. İpteki gerilme kuvvetlerinin bileşenlerinin toplamı, noktasına uvarın çubuğa uygulayacağı tepki kuvvetini oluşturur. 60 cos = sin 7 60 0, 6 = 0, 6 80 = = 6 N bulunur. cos + cos7 = F tepki 0 + 0 = Ftepki F tepki = 8 N bulunur.
0 R VE DENGE est ün Çözümleri. Çubukların her bir bölmesinin ağırlığı olsun.. 60 60 + İplereki ve gerilme kuvvetlerinin üşey bileşenlerinin bileşkesi ağırlığını engeler. ve ün bileşenleri ise birbirini engeler. Bu neenle = > = 0 Bu uruma; + = 0 noktasına göre moment alalım; = 6 + 6 = 6 = 0 = 7 = = bulunur. 6 8. 0 N 0 N Cisimlerin ağırlık merkezlerinen ağırlıklarını bir kuvvet gibi gösterebiliriz. Sistem engee oluğuna göre estek noktasına göre torklar (moment) eşittir. 0 = 0 + = N bulunur.. 7 noktasına göre moment alalım. F, =, +, 0 7 F = bulunur. 6 F. Üçgen levhanın ağırlığını, ağırlık merkezine bir kuvvet gibi gösterelim. Sonra ipin bulunuğu noktaya göre moment alalım. = 0 6 = 0 N bulunur. 6 0 N 6. üreş çubuk engee oluğunan; = sin = = 8 = cos = = 8 8 = bulunur. Cevap ır.
R VE DENGE 7. 0. üreş çubuğun ağırlığını alalım ve çubuğun ortasınan bir kuvvet gibi gösterelim. gerilme kuvvetinin büyüklüğünün sıfır olabilmesi için suyun ağırlığı olmalıır. 7 = 0 nin an olan ik uzaklığı 9, in an olan ik uzaklığı, 0 nin an olan ik uzaklığı, ir. noktasına göre moment alalım. 9, =, + 0, 7 = bulunur. 8 Cevap ır. Şekil I Sistem Şekil I eki gibi olarak engeeyken gerilme kuvvetinin büyüklüğü + = Şekil II 8. İplereki gerilme kuvvetlerinin üşey bileşenleri çubuğun ağırlığını engeler. sin7 sin Suyun tamamı boşalığına kuvvet olarak yalnızca çubuğun ağırlığı kalır. Bu uruma, =, = Buna göre azalmış, ise artmıştır. sin7 + sin = + = 6 + = & = N bulunur.. 9. F, F, F kuvvetlerinin noktasınan olan ik uzaklıkları şekileki,, tür. > > oluğunan F > F > F F F G Sistem engee oluğuna göre; G + = 8 7 F G = bulunur. Cevap ır.
R VE DENGE. 0 Y Z 0 noktasına, noktasına ise kuvvetleri etki eerken, çubuk olarak engee kalıyor. Dengenin bu şekile sağlanabilmesi için çubuğun ağırlık merkezi Y noktasına olmalıır.. bölmeli levhanın ağırlığı ise parçanın ağırlığı F F = F + + F = F + F = F + F F bulunur. = & =. Sistem engee oluğuna göre; + sina = = cosa bağıntılarını yazabiliriz. ağırlıklı küresel cisim ok yönüne ilerleikçe ipinen uzaklaşıyor ve ipine yaklaşıyor. Bunun sonucuna azalır, artar. artınca buna bağlı olarak e artar. Cevap ır. 6. v v F kuvvetinin noktasına olan ik uzaklığı; + = ir. Sistem engee oluğuna göre; G = G G = G olsun. Böylece = G ve = G olacağınan = G F = + F = F = bulunur. G MN in N noktasına göre torku ve G MN nin aynı noktaya göre torkuna eşittir. 6 = + GMN N. F Z ğırlığı Z olan Z çubuğunun ağırlık merkezine göre moment alalım. Y F Z 6 G = G + GMN GMN = G G = G G G MN = G G GMN = G 9