itüdergisi/d mühedislik Cilt:4, Saı:5, 43-54 Ekim 2005 Jeodezik döüşümlerde sürekliliği irdelemesi Murat Selim ÇEPNİ *, Rasim DENİZ İTÜ İşaat Fakültesi, Jeodezi ve Fotogrametri Mühedisliği Bölümü, 34469, Aazağa, İstabul Özet Bu çalışmada, jeodezik döüşümlerde özellikle büük alaları kapsaa ugulamalarda etersiz kala geometrik döüşüm ötemleri erie solu elemalar aklaşımıı temel ala modeller ve döüşümlerdeki süreklilik problemi irdelemektedir. İlk olarak, proje alaları çözüm bölgelerie arılmış ve her çözüm bölgesi içi parça parça taımlı deeme foksioları belirlemiştir. Bu foksiolar tüm proje alaı bouca süreklidirler ve tüm alaı tek bir foksiola ifade edilmesie göre çok daha ii souçlar verirler. Süreklilik, çözüm bölgeleri arasıda taımlaır ve C 0,, C 1,, C 2 süreklilikleri matematik modeli içide değerledirilerek çözüme asıtılır. Arıca, süreklilik komşu alalarda devam edecek çalışmalar içide sağlaabilir. İkici aşamada, çözüm bölgelerideki daaak oktaları üçge elemalar biçimie döüştürülür. Üçge elemalar süreklilik ilkelerie göre oluşturulur ve her üçge içide arı bir üçge koordiat sistemi taımlaır. Üçgei köşe oktalarıdaki foksio ve türev değerleri kullaılarak, daaak oktalarıa düzeltme getirilmede bir oktaı döüşüm değeri hesaplaır. Aahtar Kelimeler: Jeodezik döüşümler, solu elemalar, süreklilik, parça parça taımlı deeme foksioları, üçge elemalar. Eamiatio of cotiuit o geodetic trasformatios Abstract I this stud, the models based o the fiite elemets approach rather tha the geometric trasformatio methods that are isufficiet especiall i the applicatios o larger areas ad cotiuit problem are ivestigated. I the first step of the stud, the project area is divided ito solutio regios ad piecewise defied trial fuctios are determied for each regio. These fuctios are cotiuous throughout the project area ad ield much better solutios tha defiig the whole area with a sigle fuctio. Cotiuit are defied betwee the solutio regios ad the cotiuities, C 0, C 1, ad C 2, are evaluated i the model ad reflected i the solutio. Furthermore, the cotiuit ca also be provided for the studies performed i the eighborig areas. I the secod phase, the commo poits i the solutio regios are trasformed ito triagular elemets b triagulatio. Triagular elemets are formed up with respect to the priciples of cotiuit, ad a separate triagular coordiate sstem is defied for each triagle. A fuctio to be used for a ier-triagle iterpolatio i the triagular coordiate sstem is obtaied b usig the values of fuctios ad derivatios of trial fuctio o the edge poits of the triagles. B this fuctio, the trasformatio value of a poit is calculated without a residuals for the commo poits. Kewords: Geodetic trasformatios, fiite elemets, cotiuit, piecewise defied trial fuctios, triagular elemets. * Yazışmaları apılacağı azar: Murat Selim ÇEPNİ. mscepi@ahoo.com; Tel: (216) 523 13 00. Bu makale, birici azar tarafıda İTÜ İşaat Fakültesi'de tamamlamış ola "Jeodezik döüşümlerde sürekliliği irdelemesi" adlı doktora tezide hazırlamıştır. Makale meti 07.05.2004 tarihide dergie ulaşmış, 07.06.2004 tarihide basım kararı alımıştır. Makale ile ilgili tartışmalar 28.02.2005 tarihie kadar dergie göderilmelidir.
M. S. Çepi, R.. Deiz Giriş Mekasal verileri kullaa öetim ve bilgi sistemleride, aa usuru oluştura koum bilgisii kalitesi ai doğruluğu ve güveilirliğii ilk şartı jeodezik altapıdır. Jeodezik ağlarda oluşa jeodezik altapıda; ağı doğruluk ve güve ölçütlerie göre üksek stadartlı olmasıı aı sıra tek alamlı, sürekli ve distorsiosuz (ölçek ve doğrultu sapmaları bulumaa) olması da kalite kavramı ile birebir ilişkilidir. Udu ve uza sistemlerii gelişimi ile bu tekikleri kullaımı soucu oluşturula küresel, bölgesel ve ulusal GPS ağları üç boutlu, doğru, güveilir ve distorsiosuz ağlar olarak jeodezii beklediği doğrulukları sağlaa, oktalarıa ait hız vektörlerii de belirlediği diamik ağlardır. Acak, ukarıdaki olgulara karşılık, geleeksel olarak apıladırıla ata ve düşe faklı datumlara daalı ülke jeodezik ağları da varlığıı sürdürmektedir ve var ola coğrafik bilgii büük bir bölümü bu ağlara daalı olarak üretilmiştir. Bu ise, mevcut veride bir süre daha ararlaılmak durumuda olduğu ve altlık değiştirmei heüz tam olarak mümkü olmadığı alamıı taşımaktadır. Bölece uza ve udu tekiklerile oluşturula üç boutlu ağlar ile geleeksel ata ve düşe ağlar arasıdaki presizolu döüşüm problemi gücelleşmiştir. Bir koordiat döüşümüde beklee itelikleri başıda doğruluk gelir. İki farklı datumda hesaplaa koordiatlar arasıdaki döüşümü doğruluğu; Her iki datumdaki ağları doğruluklarıa ve distorsiolarıa, Döüşümde kullaılacak ortak okta oğuluğua ve bu oktaları dağılımıa, Döüşüm apıla alaı büüklüğüe, Kullaıla döüşüm modelie bağlıdır. Bir başka öemli bekleti ise döüşümü sürekliliğidir ve bu çalışmaı aa araştırma kousuu süreklilik problemi oluşturmaktadır. Döüşüm ötemide, arıca daaak oktalarıa düzeltme getirmemesi de bekleir. Geleeksel ağlar ata ve düşe iki arı datuma sahiptir ve üç boutlu döüşüm erie ata (iki boutlu) ve düşe (tek boutlu) döüşümler ugulamaktadır. Geel olarak döüşüm ötemleri, 1. Geometrik döüşüm ötemleri (iki vea üç boutlu) Afi döüşümü Koform (Bezerlik) döüşümü (Helmert,Bursa-Wolf,Molodesk Badekas,Weiss vb. modeller) 2. İki parametreli poliomlarla döüşüm 3. Eterpolaso ötemlerile döüşüm 4. Solu elemalar ötemile döüşüm şeklide sııfladırılabilir. Geleeksel ağlardaki ölçek ve doğrultu sapmalarıda kaaklı bozumalar, büük alalar söz kousu olduğuda geometrik tabalı döüşüm ötemlerii doğruluğuu azaltmaktadır. Küçük alalarda eterli doğruluğu sağlaa geometrik döüşümleri büük alalarda da kullaılabilmesi içi alaı daha küçük parçalara arılması ise, süreksizliklere ol açacağıda kullaışlı değildir. Aı biçimde çalışma alalarıı büük olması durumuda iki değişkeli poliomlarıda döüşüm içi gerekli modellemei tam olarak apabilmesi çok zordur. Kullaıla eğrii tüm alaı ifade etmesi doğruluğu azaltır, arıca eğrii derecesii üksek seçilmesi gerçek olmaa eğilme ve bükülmeler medaa getirerek gerçek modelde sapmaa ol açar. Burada, alaı birde fazla poliomla modellemek ise ie süreklilik problemide ötürü tercih edilmez. Daaak oktalarıa gele düzeltmeler ise ötemleri bir başka olumsuzluğudur. Jeodezik bir döüşümde istee, ortak okta koordiatlarıı sabit kalırke ağı apısıı tüm ala bouca sürekli ve duarlıklı bir şekilde döüştürülmesidir. Solu elemalar ötemi, bir çok mühedislik problemii çözümüde uzu ıllardır kullaılmaktadır. Yötemi temel aklaşımı, birim parçalara arılmış ağları birbirie bağlaması olula sürekliliği sağlamasıdır. Bu aklaşım jeodezik ağ aklaşımı ile de birebir örtüşmektedir. Bu edele so ıllarda solu elemalar aklaşımıı döüşümlerde kullaılması içi çalışmalar oğulaşmıştır.
Jeodezik döüşümlerde süreklilik Bu çalışmada; jeodezik ağlarda döüşümlerle ilgili ugulamada aşaa sıkıtılara solu elemalar ötemii kullaarak farklı çözümler amaçlamaktadır. Bölge bölge okta sıklaştırmalarıı apıldığı erlerde, ata (iki boutlu) ve düşe (tek boutlu) ağlarda, bidirme bölgeleri olmaksızı solu elemaları fermuar foksiolarıla dikişsiz sürekliliği sağlaa döüşümü matematik ve stokastik modeli iceleerek ötemi ugulamaa aktarılmasıı esasları araştırılmaktadır. Bu doğrultuda, solu elemalar ötemi üzerie kurulmuş iki aklaşım deemekte ve bu iki aklaşımı birbirii izleecek şekilde kullaılması ile araa çözüme ulaşılacağı düşücesi test edilmektedir. Yaklaşımlarda ilkide, çalışma alaıı çözüm bölgelerie aırmak ve her bir çözüm bölgeside parça taımlı sürekli deeme foksioları belirlemek, ikiciside ise belirlee deeme foksiouu kullaarak üçge elemalar ardımıla bir oktaı döüşüm değerii mümkü olacak e doğru biçimde hesaplamak düşücesi çalışmaı aa fikrii oluşturur. Solu elemalar ötemie geel bakış Solu elemalar ötemi, sürekli ortamları çok küçük bölgelere arılarak temsil edilmesi düşücesie daaır. Böle küçük bölgelere de solu elemalar deir. Yötemi temel aklaşımı; sıcaklık, basıç, gerilme vea deplasma vs. gibi herhagi bir sürekli büüklüğü küçük ve sürekli parçaları birleşmesi ile oluşa bir modele döüştürülmesidir (Ziekiewicz ve Morga, 1983). Solu elemalar ötemi ile bir problemi çözümüde problemi taımlaıp ortaa koulmasıı ardıda apılacak ilk iş, büüklüğü solu elemalara aırmaktır. Bu çözümü aklaşılırlığı açısıda oldukça öemlidir. Elemalar ugu şekilde seçilmeli ve problemi apısıa ugu olarak erleştirilmelidir. Elema seçimide, elemaları boutları ve saıları sistemi e ii temsil edecek, hesapları da e aza idirgeecek biçimde olmalıdır. Geel olarak değişkei ai değişim gösterdiği erlerde elemalar küçük seçilir. Aalizi apılacak alaı elemalara bölümeside ugu elemalar seçmek kadar bu elemaları ve oları düğüm oktalarıı ai elemaları köşe oktalarıı ugu umaralamakta çok öemlidir. Solu elemalara aırmaı ardıda çözümü apılacak değişkei bölge içeriside değişimii göstere bir eterpolaso foksiou belirleir. Foksio, değişkei aklaşık değişimii verir ve gerçeğe e kadar akı seçilirse çözümdeki aklaşıklık da o kadar fazla olur. Bu foksioa şekil, deeme vea baz foksiou da deilir. Değişkeleri apısıa ve çözüm bölgesie göre derecesi ve katsaıları belirleecek iki değişkeli (bivarat) poliomlar, sıkça deeme foksiou olarak kullaılır. Jeodezik ağlar ve solu elemalar Bir jeodezik ağ, oktalarıı oluşturduğu küçük ve geellikle üçge şekilli parçalarda (elemalarda) oluşur. Bir elemaı ilgiledire geometri, deplasma, gerilme gibi büüklükler elemaı çevrelee oktalardaki büüklüklerle karakterize edilir. Jeodezik ağa ilişki bu aklaşımla solu elemalar ötemii aklaşımı birebir örtüşür. Jeodezik ağ oktaları, solu elemalar ötemideki düğüm oktaları ile özdeşleştirilebilir. Bir jeodezik ağ içideki tüm daaak oktalarıı kapsaa ala, bir çözüm bölgesi olarak alıabileceği gibi birde fazla çözüm bölgesie de arılabilir. Her çözüm bölgesi içi deeme, şekil vea baz foksiou olarak ifade edile bir foksio belirlemelidir. Döüşüm içi foksio değerleri olarak; daaak oktalarıı koordiatları, koordiat farkları, ükseklikleri vea geoit ükseklikleri kullaılabilir. Bu çalışmada, ata döüşümler içi daaak oktalarıı elemleri ve bolamları arasıdaki farklar ve düşe döüşüm içi geoit ükseklikleri alıacaktır. Deeme foksiou olarak ise, solu elemalar içi e ugu seçim ola iki değişkeli poliomlar kullaılmıştır. Tez çalışması, solu elemalar ötemie daaa iki aklaşım üzerie kurgulamıştır. Bu iki aklaşımı ilkide, çözüm bölgelerie arılmış ala üzeride bölgelerde her birisi içi arı ama sürekli deeme foksiolarıı belirlemesi, ikiciside ise bu deeme foksiou
M. S. Çepi, R.. Deiz üzeride, üçge içi ve üçgeler arası sürekliliği esas ala bir eterpolaso ile döüşüm değerii elde edilmesi amaçlamaktadır. Her iki aklaşım birlikte düşüülebileceği gibi arı arı da kullaılabilir. Çalışma alaıı çözüm bölgelerie arılması Yaklaşım, bir proje alaıı tek bir çözüm bölgesi olarak alıması erie birde fazla saıda çözüm bölgesie arılması ve her çözüm bölgesi içi arı bir deeme foksiou belirlemesi düşücesie daaır. Bütü proje alaıı tek bir çözüm bölgesi üzeride ifade ede bir F(p ij,,) deeme foksiou erie, alaı m adet çözüm bölgesie arılmasıla her bir çözüm bölgesi içi, F m (p m ij,,) şeklide deeme foksioları elde edilecektir. Deeme foksiou olarak iki değişkeli poliomlar kullaılır. Parçalı taımlı deeme foksiolarıı soucu olarak bölgeler arası süreksizlikler ortaa çıkacaktır. Solu elemalar aklaşımı ile çözüm bölgeleri arasıdaki süreklilikler fermuar foksioları ardımıla sağlamaktadır. İki komşu çözüm bölgesii, fermuarlaa foksio ardımıla ortak sıırları bouca bir hatla birbirie bağlamak ve bu olla üst üste bie alaları ortada kaldırarak, iki bimesiz çözüm bölgesi oluşturmak şeklide geometrik bir taım apılabilir. Bu hat aı zamada birleştirici özelliğe sahiptir ve fermuarlaa hat vea ortak hat olarak taımlaabilir. Her bir çözüm bölgesi içi deeme foksiou olarak ifade edile, iki ij değişkeli poliom katsaıları p m alızca m. çözüm bölgesi içidir ve komşu çözüm bölgelerideki poliomu katsaı setleri ile uumluluğu, ortak hat bouca azıla koşullar ile deetleir. Süreklilik ve süreklilik koşullarıı taımlaması Solu elemalar ötemide süreklilik; herhagi bir S proje alaıı m saıda bimesiz S m çözüm bölgesie arılması ve her bir çözüm bölgesideki parça parça taımlı deeme foksiolarıı birleştirilmesi işlemidir. Bölümüş çözüm bölgeleride süreklilik, bu bölgeleri sıırlarıdaki ortak hatlar üzeride azıla koşullar ardımıla sağlaır. Ortak hat, daaak oktalarıda bağımsız bir birleştirici doğru olabileceği gibi iki çözüm bölgesii aralarıda bulua daaak oktalarıı birleştire doğruda seçilebilir. Hattı uçlarıdaki oktalar ardımıla azıla aalitik bağıtılar çözüm bölgeleri arasıda oluşa her sıır içi azılır. Bu aalitik bağıtılar süreklilik koşulları olarak düzeleir. Burada temel aklaşım, çözüm bölgeleride üst üste bie alaları sıfıra idirmek ve ortak hatla birbirie bağlamak üzerie kurgulamıştır. Koşulları sağlamış bir süreklilik ile, çözüm bölgeleri arasıdaki bimeler ortada kalkar ve geçişlerde deeme foksiolarıı değerleri içi devamlılığa ulaşılır. Bölelikle, parçalı foksiolar biçimideki deeme foksioları sürekli hale getirilir (Diter vd., 1997) Süreklilik taımı içide C 0, C 1 ve C 2 süreklilikleri biçimide bir sııfladırma apılabilir. C 0 sürekliliği, ortak hat bouca F m (p m ) ve F (p ) eğrilerii aı foksio değerlerii alması koşuludur. C 1 sürekliliği, ortak hat bouca F m (p m ) ve F (p ) eğrilerii aı teğet düzlemlere sahip olması koşuludur. C 2 sürekliliği, ortak hat bouca F m (p m ) ve F (p ) eğrilerii aı eğriliklere sahip olması koşuludur. Herhagi iki komşu çözüm bölgesi içi taımlaa her bir süreklilik, o koşulu erie getirecek kabullerde hareketle azıla deklem takımlarıda elde edilir. C 0 sürekliliği eşitliklerii elde edilmesi-çözüm bölgeleride, deeme foksiou olarak kullaıla iki değişkeli poliomları bilie geel ifadesi; j j = 0 k = 0 p F ( i, i ) = (1) : poliomu derecesi şeklidedir. Deeme foksiou olarak seçile bu poliomu 3 boutlu bir üzei 3. boutu jk j k
Jeodezik döüşümlerde süreklilik azılmış olduğuu varsaalım. Komşu çözüm bölgelerideki birim vektörler; X m= = F (, ) m X = = F(, ) j j = 0 k = 0 j j = 0 k = 0 p m p jk jk j j k k (2) biçimidedir. Bu iki vektör arasıdaki fark vektörü ortak hat üzerideki oktalar içi foksioel değerleri fark vektörüdür. C 0 sürekliliği, iki komşu çözüm bölgesie ait ortak hat üzerideki her oktada komşu deeme foksiolarıı aı foksioel değerleri alması olarak betimleir. Ortak hat bir t parametresi ile ormladırılırsa, her t (0,1) değeri içi, foksioel değerleri farkıı sıfıra dek olması C 0 süreklilik koşuludur. m, = X m X = j, dp j= 0k= 0 m dp m, j,k=p m j,k p j,k d= u - v, d= u - v jk j ( + t d) ( u 0 0 u k + td) 0 0 (3) 0 Fark vektörü t e bağlı tek değişkeli bir poliom olarak ifade edilir ve poliomu derecesie göre açılımı apılırsa, A t A t 1 A + +.... + + 0 1 2 1 :poliomu derecesi t 1 A (4) ifade (3) e göre sıfıra dekleir. (4) açılımı bir eşitlik değil bir deklik ifadesi olduğuda gerçekleebilmesi mümküdür. C 0 eşitliğii sağlaması içi de bu dekliği t i her t (0,1) değeri içi gerçekleşmesi gerekir. Deklem eşitliklerii geel özellikleride bilidiği gibi (4) sistemii sıfıra dek olması içi t değişkeie bağlı tüm katsaılar sıfır olmalıdır. Yai (4) açılımı basitçe, A i =0, A i (p m,p, u, u, v, v )=0 i=1, (5a) (5b) formua döüşür. A i katsaılarıı tümüü sıfıra eşitlemesi halide (5) eşitliği taımlı olduğu aladaki tüm t değerleri içi sağlamış olacaktır. Burada A i katsaıları, komşu çözüm bölgelerideki deeme foksiolarıa ait karşılıklı parametreleri farkıı alıması ile elde edile dp j,k (3) parametrelerie bağlı çok değişkeli poliomlara karşılık gelirler. Poliomları erie koulmasıla (4) eşitlikleri (+1) raklı homoje deklem sistemi oluştururlar ve problemi çözümü bu deklem takımlarıı çözümü halie gelir. Katsaılar (5b) de görüleceği gibi, dp m, j,k parametre farkları ile ortak hattı uç oktalarıı koordiatlarıa bağımlıdır. Homoje deklem takımı çözülüp parametreler arası koşullar gerçeklediğide, (4) dekliği sağlamış dolaısıla C 0 sürekliliği garati edilmiş olur. C 1 sürekliliği eşitliklerii elde edilmesi-c 1 sürekliliğii geometrik taımı, komşu alalardaki uza eğrilerii ortak hat üzeride paralel teğet düzlemlere sahip olması şeklide apılabilir. Bu taımda hareketle C 1 sürekliliğie sahip olmaa iki komşu çözüm bölgeside teğet düzlemler paralel olmaacağı, dolaısıla teğet düzlemlere dik ormal vektörleri de ıraksak vea akısak olacağı söleebilir. Şaet ormal vektörler paralel olsadı vea ormal vektörlere paralellik ile ilgili koşul getirilmiş olusa idi doğal olarak teğet düzlemler de paralel olacaktı. Bilidiği gibi iki paralel vektör bir üze parçası ifade etmez ve birim vektörleri çarpımları sıfıra eşittir. Paralel iki vektörü vektörel çarpımlarıı sıfıra eşit olması C 1 Süreklilik koşullarıı çıkış oktasıdır. İki komşu çözüm bölgesideki deeme foksiou uza eğrisie ait ormal vektörleri çarpımıı sıfıra eşitlemesi ile C 1 Sürekliliği içi isteile koşul deklemlerie ulaşılır.
M. S. Çepi, R.. Deiz (1) ifadesideki birim vektörlerde birici kısmi türevler alıır ve modellemee çalışıla bileşee ait deeme foksiolarıı kısmi türevleri f m,, f m,, f,, f, ile gösterilirse, iki üzei ormal vektörleri, m = f m, [ X, ] = m X m, f m, 1, f, = [ X, ] = X, f, 1, (6) biçimide azılabilir. İki ormal vektörü çarpımı sıfıra eşitleir se, f, -f m, =0 f, -f m, =0 (7) f m,.f, -f m,.f, =0 deklemleri elde edilir ve bu deklemleri çözümü ortak hat üzeride kısmi türevleri idetikliği soucuu verir. Kısmi türev farkları açılır ve ortak hat t ile ormladırılırsa, A 1 t 2 + A 2 t + A 3 0 (8) B 1 t 2 + B 2 t + B 3 0 deklikleri ile ifade edilir. (10) dekliklerii gerçekleşmesi içi, A 1 =0, A 2 =0, A 3 =0, B 1 =0, B 2 =0, B 3 =0 olmalıdır. A i ve B i ifadeleri açıldığıda, altı poliom buluur ve poliomları çözümüde C 1 süreklilik eşitliklerie ulaşılır. C 2 sürekliliği eşitliklerii elde edilmesi-c 2 sürekliliği, ortak hat üzeride iki üze eğrisii de hatta dike oluşları, ai aı ormal eğriliklere sahip olmaları ile açıklaır. C 2 süreklilik koşullarıı elde edebilmek içi deeme foksiolarıı ikici derece kısmi türevleri alıır, idetik olmaları varsaımı ile C 0 ve C 1 süreklilikleridekie bezer şekilde t parametresie göre düzeleerek eşitleirse, m,.f =f m, f, m,.f =f m, f, (9) m,.f =f m, f, temel C 2 koşul eşitliklerie ulaşılır. (=3) içi düşüüldüğüde bu eşitlikler 1. derece poliomlardır. A 1 t + A 2 0 B 1 t + B 2 0 (10) C 1 t + C 2 0 t değişkelerie bağlı bu poliomları t i her t (0,1) değeride sağlaması ile deklikler gerçekleşir. Deklikleri sağlaması içi, A i ve B i katsaılarıı oluştura deklem takımları sıfıra eşitleir ve çözümüde C 2 süreklilik koşulları çıkarılır. Süreklilik koşullarıı matematik model içide değerledirilmesi Süreklilik koşul eşitlikleri matematik model içeriside birkaç farklı biçimde değerledirilebilir. Birici seçeekte eşitlikler, bilimeeleri arasıda koşul deklemleri bulua dolalı ölçüler degelemesi modeli içie koşul deklemi olarak erleştirilerek çözüme gidilir. Modeli çözümüde koşullara düzeltme getirilmediğide süreklilik koşulları tam olarak erie getirilir. Diğer çözümde, süreklilik eşitlikleri ölçü olarak kabul edilir ve matematik model içeriside düzeltme deklemi şeklide azılır. Burada, düzeltme deklemlerii ağırlıkladırılması ile kullaıcıı modeli kotrol etmesi mümkü olur. Süreklilik eşitliklerie ait düzeltme deklemlerii ağırlıkları çok üksek tutularak koşulları gerçekleşmesi sağlaır. Bir başka çözüm ise, tez çalışmasıda eklemeli çözüm olarak adladırıla modeli ugulaması içi tasarlamış ola ve degeleme hesabıda geçici bilimeeleri koşul deklemleride erie koulması olarak bilie şekilde gerçekleştirilir. Daha öce döüşüm apılmış bir bölgei komşuluğudaki ei bir bölgede çalışmalar apıldığıda, ei döüşüm parametrelerii a da diğer bir ifade ile deeme foksiou katsaılarıı süreklilik koşullarıa ugu
Jeodezik döüşümlerde süreklilik biçimde elde edilmesi bu çözümü amacıdır. Öceki deeme foksiou katsaıları koşul deklemleride erie koulur ve koşul deklemleri eide düzeleerek ei deeme foksiou parametreleri, ilk çözümdekii aısı olarak elde edilir. Bu ötem, pek çok kez çalışmaları aı ada tüm bölge içi ürütülmesi mümkü olmadığıda, zama içeriside apılacak tüm ei çalışmaları sürekli biçimde sürdürmek açısıda öemli ve kullaışlıdır. Sürekliliğe sahip üçge elemalar ile döüşümü kesi değerii eterpolasou Tez çalışmasıda ikici aklaşım olarak, çalışma alaıı üçge elemalara aıra ve üçge elemalar üzeride bir oktaa eterpolaso aparak döüşüm değeri hesaplaa bir ötem kullaılmıştır. Burada da, solu elemalar ve süreklilik kavramları referas alımıştır. Yötemde ilk adım, proje alaı içideki daaak oktalarıı üçgelemek ve alaı köşe oktalarıı daaak oktalarıı oluşturduğu üçge elemalar ile kaplamak şeklidedir. Daha sora bir foksio ardımıla, üçgei köşe oktalarıda foksio değeri ile türev değerleri buluup, bu değerlerde üçge içi eterpolasoda kullaılmak üzere beşici derece bir poliom elde edilir. Ugulamada, gerek doğruluk bekletisii karşılaması, gerekse daaak oktalarıa düzeltme getirmemesi açısıda, oldukça kullaışlı ve ararlı bir çözüme ulaşılması amaçlaır. Üçge köşelerideki değerleri belirlemede kullaıla foksio, bir öceki aklaşımı ugulamasıda üçgei içide er aldığı çözüm bölgesi içi hesaplaa deeme foksioudur. Bir büük proje alaı çözüm bölgelerie arılmış ve deeme foksioları sürekli parça foksiolar biçimide kullaılmış olsa dahi, bir oktaa, o oktaı içie ala daaak oktalarıı oluşturduğu üçge elemalarıda taşıacak döüşüm değeri arı bir öem taşımaktadır. Çalışmada C 2 sürekliliğie sahip komşu üçge elemaları arasıda sürekli ve arılabilir geçişleri garati ede foksio cümleleri öemli rol oarlar. Öcelikle, daaak oktaları ugu şekilde üçgeleerek üçge elemalar oluşturulur. Üçgei köşelerideki üç daaak oktası üçge elemaı uç oktalarıdır. Yötem üç varsaıma daaır. 1. Kesi değerii eterpole edilmesi istee herhagi bir bout; (: poliomu derecesi) F 5 5 j j k ( i, i ) = p (11) jk j = 0 k = 0 şeklide ve değişkelerie bağlı 5. derecede iki değişkeli bir poliomla ifade edilir. 2. Foksio değeri ve ou 1. ve 2. derece kısmi türevleri (f, f, f, f, f, f ) üçgei köşelerii oluştura 3 veri oktasıda 18 bağımsız koşul getirir. 3. Üçgei her bir kearıa dik doğrultudaki arılmış foksiou kısmi türevi, kear doğrultusuda ölçüle değişkede, e fazla 3. derece bir poliomdur. Bu kabul de 3 kear içi 3 ek koşul getirir. Bölece 2. ve 3. kabullerde elde edile 21 koşulla, 21 katsaıa sahip 1. kabuldeki eterpolaso foksiou belirleebilir (Akima, 1978). Eterpolaso formüllerii elde edilmesi Eterpolaso formüllerii çıkarılması içi öcelikle bir üçge koordiat sistemi Şekil 1 deki biçimde taımlamalıdır. Sistemi orijii P3 oktasıı üçge koordiatları (0,0) diğer oktalarıki ise (1,0) ve (0,1) değerlerii alır. Bu üçge koordiat sistemii u-v koordiat sistemi olarak adladırılır. u-v ve - koordiat sistemleri arasıdaki trasformasou ardıda, (11) eterpolaso foksiou, F 5 5 j j k ( u, v ) = qjk u v (12) j = 0 k = 0 biçimii alır. 2. ve 3. kabullere göre q katsaıları elde edilerek foksio belirleir (Preußer, 1984).
M. S. Çepi, R.. Deiz Bu çalışmadaki biçimde birlikte kullaılmaları durumuda, jeodezik döüşümlerde başarılı bir modeli oluşturulabileceği düşüülmektedir Şekil 1. Üçge koordiat sistemi Çalışmada, kısmi türevleri hesabıda, çözüm bölgeleride belirlee deeme foksiou kullaılmıştır. Bölece solu elemalar aklaşımı devam ettirilerek solu elemalar ötemie geel bakış bölümü ile bütüleşe bir algoritma elde edilmiş olmaktadır. Üçge içi bu tip bir çalışmaı bazı öemli ararları şu şekilde sıralaabilir; Üçge elemaı köşe oktalarıı oluştura daaak oktalarıda eğim ve eğrilikleri tam olarak bilimesi ile deeme foksiouu hataları e aza idirilir. Daaak oktalarıa düzeltme getirilmediğide gerçek değerlerle bir çelişki doğurmaz. Arıca süreklilik sadece kearlar bouca değil bizzat daaak oktalarıda da sağlamış olur. Arıca, komşu üçge elemalar arasıda arılabilir ve sürekli geçişlere ulaşılır. Üçge elemalara arılmış ala bouca tüm geçişlerde süreklilik sağlaabilir. Eterpolaso değerleri arasıda sıçrama vea kesiklikleri öüe geçilir. İfade etmee çalıştığımız uza eğrisi arılabilir acak sürekli şekilde elde edilmiş olur. Komşu çözüm bölgeleri üzerideki komşuluk ilişkisi bulua üçge elemalar ardımıla ortak hat bouca ikici bir süreklilik sağlaabilir. Ele alıa iki aklaşım da, arı arı kullaım alaı bulabilir ve ugulamacılara bir alteratif suabilir. Test çalışmaları Test çalışmaları içi test ağı olarak, İstabul Büükşehir Belediesi Metropolite Niregi Ağı (İGNA) seçilmiştir. Yata bileşeleri ITRF-94 ve ED-50 datumları arası döüşümü içi her iki sistemde koordiatları bilie 31 daaak oktası, ükseklikleri döüşümü içi ise ortometrik üksekliği ile elipsoidal üksekliği bilie aklaşık 400 daaak oktası bu çalışmada test verisi olarak kullaılmıştır. Test çalışmasıı stratejisi Solu elemalar ötemii amacıa ugu olarak çalışma alaı olarak seçile ala doğubatı doğrultusuda üç çözüm bölgesie arılarak her bölge içi süreklilikleri sağlamış deeme foksioları ardımıla döüşüm parametrelerii kestirilmesi amaçlamıştır. Üç çözüm bölgesie arıla proje alaıda, bölgeleri komşuluklarıda azıla süreklilik koşullarıı modele ilave edilip çözümü gerçekleştirilmesi ile her bir çözüm bölgesi içi modellemesi istee X, Y ve H büüklüklerie ait parça parça taımlı deeme foksiou olarak kullaıla iki değişkeli poliomları parametre setleri elde edilmiştir. Elde edile parametre setleri sürekli foksiolar taımlamakta olup, süreklilik koşullarıı azıldığı ortak hat üzeride komşu foksiolar aı değerlere karşılık gelmektedirler. Bu şekilde aı zamada seçile hatları fermuarlaa hat olma özelliklerii test edilebilmesie olaak sağlaması amaçlamıştır. Souçları karşılaştırmalı olarak irdeleebilmesi içi, gerçekleştirile ugulamalar şu şekilde gruplaabilir; Tüm proje alaı içi tek bir foksio kestirilmesi, Üç çözüm bölgesi içi süreklilik koşulları kullamada foksiolar kestirilmesi, Üç çözüm bölgesi içi sürekliliği sağlamış foksiolar kestirilmesi, Bir çözüm bölgesi içi kestirile foksiou devamı biçimide foksiolar kestirilmesi.
Jeodezik döüşümlerde süreklilik Arıca, solu elemalar çözümüe daaa ve üçge elemalar ardımıla matematik modeli kurula üçge içi eterpolaso ötemi test ağı içerside kullaılmıştır. Daaak oktalarıı oluşturduğu üçgesel bir alada oktaı ei sistemdeki kesi değerii daha presizolu bir şekilde saptamaa elvere üçge elemalarla döüşüm ugulamaları ükseklik değerlerii döüşümü içi gerçekleştirilmiştir. ITRF-94 ile ED-50 arasıda döüşüm İki sistem arasıda döüşüm değerlerii hesaplamasıda, 31 daaak oktasıı buluduğu bir veri kümesi kullaılmıştır. Üç çözüm bölgesii her biride e az 10 daaak oktası buluduğuda her biri içi deeme foksiou olarak üçücü derece iki değişkeli poliom kullaılmış olup her bir üçücü derece poliomdaki 10 parametre içi katsaılar belirlemiştir. Çözüm bölgeleride parçalı sürekli deeme foksioları belirlemeside, ortak hattı daaak oktalarıda oluşması ve X ekseie paralel olması gibi iki arı durumda deemiştir. Poliom üçücü derece seçildiğide süreklilik koşul deklemleri saısı dokuz ve üç çözüm bölgeside iki komşuluk ilişkisi olduğuda modele koa koşul deklemi saısı toplamı 18 dir. Bir komşuluk ilişkisideki 9 koşulu 4 ü C 0, 3 ü C 1 ve 2 si C 2 sürekliliklerie aittir. Koşul deklemlerii hesabıda ortak hatları X ekseie paralel olması durumuda elde edile eşitlikler koşul_1, ortak hatları veri oktaları arasıda olması durumuda elde edile eşitlikler koşul_2 olarak adladırılmışlardır. Ugulamalarda kurula matematik model ile döüşüm souçlarıı irdeleebilmesi amacıla 3 lü gruplar halide daaak oktalarıı dışarıda bıraka 4 arı daaak oktası kümesi ve tüm oktaları kullaıldığı küme olmak üzere 5 arı veri oktası grubuda ata bileşeleri döüşümü gerçekleştirilmiştir. Sürekliliği sağlaıp sağlamadığıı icelemesi ve araştırılması amacıla Tablo 1 düzelemiştir. Bu tablolarda, üç bölgede arı acak süreklilik koşul deklemleri kullaılmada apıla çözümleri souçları ve iki arı tür koşul deklemi hesabı seçeeğide apıla çözümleri souçları, koumlarıa göre özel seçimli oktalar üzeride test edilmiştir. Test oktaları ortak hattı üzeride seçilerek sürekliliği irdelemesi amaçlamıştır. Tablou ilk kısmıda koşulsuz çözüm, ikici kısımda ortak hattı X ekseie paralel alımasıa göre türetile koşullarla çözüm (koşul_1) souçları Tablo 1 de suulmuştur. Burada tablolar iceleirke ortak hatlar üzeride seçile oktaları komşu poliomlarda hesaplaa değerlerideki özdeşliğe dikkat edilmelidir. Tablo 1. Sürekliliklere ilişki souçlar Sağa değerler içi sürekliliğe ilişki souçlar Üç bölge içi koşulsuz çözüm 10011 393995.3114 393994.7969 393991.1891 10012 393995.4357 393995.6287 393994.7601 10014 425339.8798 425341.3567 425340.9752 10015 425340.5502 425341.7073 425341.3712 Koşul_1 Tipi çözüm (d=0) 10011 393995.1330 393995.1330 393995.0085 10012 393995.3566 393995.3566 393995.2322 10014 425341.3966 425341.2367 425341.2367 10015 425341.5523 425341.3924 425341.3924 Yukarı değerler içi sürekliliğe ilişki souçlar Üç bölge içi koşulsuz çözüm 10011 4570563.8063 4570564.0072 4570564.6785 10012 4540763.3427 4540763.3420 4540763.0986 10014 4559008.1238 4559006.6147 4559007.0022 10015 4541832.2789 4541831.1526 4541831.1388 Koşul_1 Tipi çözüm (d=0) 10011 4570563.9722 4570563.9722 4570563.9486 10012 4540763.2937 4540763.2937 4540763.2700 10014 4559006.5222 4559006.6132 4559006.6132 10015 4541831.0327 4541831.1237 4541831.1237 Eklemeli çözüm Bu ugulamada, zama içeriside devam ede çalışmalarda her bir ei çözüm bölgesii bir öceki çözüm bölgesii devamı iteliğide sürekli bir biçimde devam ettirilebilmesi amacıla, bir öceki ala içi belirlemiş foksi-
M. S. Çepi, R.. Deiz oa bağlı olarak komşu alada apılacak ei bir döüşüm işlemi gerçekleştirilmiştir. Tüm seçeekler içi apıla eklemeli çözüm ugulamalarda birie ait souçlar Tablo 2 de verilmektedir.tablo 2 de eklemeli çözüm ile elde edile souçları üç bölgei aı modelde değerledirildiği souçları aı olduğu görülmektedir. N.N Tablo 2. Eklemeli çözüm souçları Üç bölgeli koşullu çözüm (d=0 hali) Üçücü bölge içi eklemeli çözüm Üçücü bölge içi bağımsız çözüm 3. Bölge 3. Bölge 3. Bölge 10010 382979.5810 382979.5810 382978.4513 10011 393995.0085 393995.0085 393991.1891 10012 393995.2322 393995.2322 393994.7601 10013 410789.0542 410789.0542 410788.4537 10014 425341.2367 425341.2367 425340.9752 10015 425341.3924 425341.3924 425341.3712 10016 437002.7031 437002.7031 437002.7433 10020 402338.3873 402338.3873 402336.2565 10021 398173.4417 398173.4417 398172.0953 10022 421823.0288 421823.0288 421822.9228 10023 429903.9022 429903.9022 429903.8014 Yükseklikleri döüşümü İstabul Metropolite Nivelma Ağı olarak seçile proje alaıda geoit üksekliklerii belirlemeside, her iki ükseklik sistemide ükseklikleri bilie toplam 340 daaak oktası kullaılmış, ie geoit ükseklikleri bilie 66 okta ile de döüşüm souçları test edilmiştir. Geoit üksekliklerii belirlemesi işlemide de sağa ve ukarı değerleri döüşüm işlemide olduğu gibi, proje alaı doğu-batı öüde üç çözüm bölgesie arılmıştır. Toplam 340 daaak oktasıda 122 si birici, 92 si ikici ve 126 sı da üçücü çözüm bölgesi içide kalmaktadır. Yie karşılaştırma amacı ile kullaıla ve daaak oktaları kümesie dahil edilmee 66 oktaı 18 i birici, 10 u ikici ve 38 ide üçücü çözüm bölgesi içide er almaktadır. Döüşüm souçlarıı gerçek değerlerde sapmalarıa göre hazırlaa şema Tablo 3 te oluşturulmuştur. Tablo 3. Farkları kareleri toplamları (m) Test Noktaları 1. Çözüm Bölgesi 2. Çözüm Bölgesi 3. Çözüm Bölgesi Nokta Saısı Üç Çözüm Bölgesi Süreklilik Koşullu Üç Bölge Koşulsuz 18 0.0277 0.0099 10 0.0325 0.0201 38 0.0944 0.0625 Tek Bölge 0.2199 Toplam 66 0.1546 0.0925 0.2199 Burada, ilk çözüm bölgeside 18, ikici çözüm bölgeside 10, üçücü çözüm bölgeside ise 38 oktaı farklarıı kareleri toplamı verilmektedir. Sürekliliğe sahip üçge elemalar ile döüşüm Daaak oktalarıı oluşturduğu ve döüşüm değerii buluması istee oktaı içie ala e küçük birim ola bir üçge içeriside, daaak oktalarıa düzeltme getirmede ve süreklilik ilkesie ugu biçimde bir oktaı döüşmüş değerii belirlemesi amacıla; test içi kullaıla oktalar ve buları etrafıdaki e akı ilişkileri ola daaak oktalarıı köşelerii oluşturduğu üçge alalarda ararlaılmıştır. Üçge eterpolasou eşitlikleride gerekli değerleri hesaplaması içi bir öceki çalışma adımıda proje alaıı çözüm bölgelerie arılmasıla elde edile sürekli deeme foksiolarıda ararlaılmıştır. Ugulama içi üç çözüm bölgesideki dokuz üçge elema içide toplam oedi test oktasıa döüşüm değeri hesaplaarak, gerçek değer deeme foksiouda bulua değer ile karşılaştırılmıştır. Tablo 4 te iki üçgedeki eterpolaso souçları karşılaştırmalı biçimde verilmektedir. Souç ve öeriler Yaklaşımlarda ilki ola, parça taımlı sürekli foksioları belirlemesie ilişki souçlar icelediğide, solu elemalar ötemii ve süreklilik koşulları kullaılmasıı döüşüm işlemi souçlar üzeride hedeflee etkileri gösterdiği
Jeodezik döüşümlerde süreklilik söleebilir. Proje alaıı çözüm bölgelerie arılması sorasıda bu bölgeler içi kestirile parça taımlı deeme foksioları sürekli biçimde elde edilmişlerdir. Tablo 4. Üçge elemalarla eterpolaso Üçge Elemaı Köşe Noktaları : 15786, 15788 15789 Süreklilik Gerçek Koşullu Fark N.N Değer Deeme (m.) Foksiou Üçge Elemalarla Eterpolaso Fark (m.) 15787 48.2951 48.4765 0.1814 48.3271-0.0320 Üçge Elemaı Köşe Noktaları : 16306, 16324, 16326 Süreklilik Gerçek Koşullu Fark N.N Değer Deeme (m.) Foksiou Üçge Elemalarla Eterpolaso Fark (m.) 16307 229.8945 229.8408 0.0537 229.8914059 0.0031 16308 222.2149 222.1587 0.0562 222.2046419 0.0103 16315 256.0858 256.0277 0.0581 256.0828594 0.0029 16316 230.1974 230.1267 0.0707 230.1821281 0.0153 16325 221.0480 220.9623 0.0857 221.0194361 0.0286 Sağa ve ukarı değerler içi deeme foksiou belirlemesi souçlarıda dikkat edilecek bir başka öemli okta da; koşul deklemlerii toplam çözüm üzeride deetleici bir rol oaması ve döüşüm modelii iileştirmesidir. koşul deklemlerii azıldığı çözümlerde, koşul deklemi azılmamış duruma göre,daha ii souçlar alıdığı görülmektedir. Özellikle proje alaıı uç bölgeleride er ala ve de etrafıda fazla daaak oktası bulumaa test oktalarıda koşul deklemleri tüm alaı geel tredii bu oktalara taşımakta ve foksiou alamsız değerler vermesii egellemektedir. Çalışmada özellikle araştırması apıla bir ötemde, süreklilikleri sağlaması içi tüm çözüm bölgelerii aı modelde değerledirilmesi erie zama içeriside farklı modelde hesaplaa souçları da sürekliliğe ugu elde edilmesi çalışmasıdır. Eklemeli çözüm olarak suula ötem ile, döüşüm çalışmaları gerçekleştirile alaları komşuluğudaki ei alalar içi, kesiklikler ve tutarsızlıklara ol açmada komşu alalarla sürekliliği sağlamış biçimde, ei döüşüm parametreleri hesaplamak mümkü olabilmektedir. Yei çözüm bölgesi içi bulua deeme foksiou taımladığı uza eğrisii, bir öceki deeme foksiouu taımladığı uza eğrisii devamı iteliğide elde edilmesi olaaklıdır. Yai, parça taımlı deeme foksioları içi sürekliliği zama içide devam ettirilmesi olaaklı hale gelmektedir. Yükseklikleri döüşümüde, parça taımlı sürekli deeme foksiolarıda geoit üksekliklerii modellemesile ortometrik ükseklikler elde edilmiştir. Proje alaıı üç çözüm bölgesie aırarak parça taımlı sürekli deeme foksioları ile gerçekleştirile çözümü tüm ala içi tek bir foksiola apıla çözüme göre daha ii souçlar verdiği gözleebilmektedir. Proje alaıı daha büük olduğu durumlarda bu farkı daha da büüeceği açıktır. Bu ugulamada, üç bölge içi süreklilik koşulları olmaksızı bulua souçlar solu elemalar çözümü souçlarıa göre biraz daha ii gözükmekle birlikte, bu çözümde süreksizlikler büük orada ortaa çıkmakta ve proje alaı bouca tek alamlı olmaa bimeli ada kesikli durumlar ortaa çıkmaktadır. Bu edele, geoit modelii proje alaı bouca sürekliliği sağlamamış farklı çözümlerde oluşturulması kabul edilebilir bir seçim olmamaktadır. Test ağı olarak seçile ala çok büük olmamasıa karşı, alaı çözüm bölgelerie arılmasıla parça taımlı sürekli deeme foksioları kullaılarak apıla çözümü ararları açıkça görülmektedir. Proje alaıı daha büük seçildiği ugulamalar içi aklaşım daha ararlı ve kullaışlı hale gelecektir. Üçge elemalar kullaılarak sürekliliği ola döüşüme döük ugulamalar icelediğide bir oktaı içie ala daaak oktalarıı oluşturduğu üçge elema içide apıla döüşümü bekletiler doğrultusuda çok ii souçlar verdiği görülmektedir. Deeme foksiolarıda bir oktaa hesaplaa döüşüm değerie göre, bu deeme foksiou kullaılmasıla apıla üçge eterpolasou souda test
M. S. Çepi, R.. Deiz oktalarıı gerçek değerlerie çok daha akı değerler elde edilmiştir. Yötemi bu başarısıda, sürekli biçimde belirlee parça taımlı deeme foksiolarıı da etkisi büüktür. Üçge elemaları döüşüm ötemi olarak kullaılması, gerek foksiou sağlaamadığı doğruluğa ulaşması, gerek daaak oktalarıa düzeltme getirilmede döüşüm hesabıı gerçekleştirilmesi ve gerekse süreklilikleri sağlamış olması açısıda öemli ararlar sağlamaktadır. Arıca, ötem alaşılması ve ugulaması açısıda rahat olup, işlem kolalığı da sağlamaktadır. Solu elemalar ötemii temel presipleride ola çıkılarak gerçekleştirile çalışmalar soucuda, matematik modelleri oluşturula iki farklı solu elemalar aklaşımıı birlikte kullaılmasıla elde edile çözümü, döüşümlerde aşaa sıkıtıları aşılmasıa katkı apacağı iacı taşıılmaktadır. Buda sora bu kouda apılacak ei çalışmalarda daha ii souçlar alıabileceği ümidi ile, araştırmacılara bir fikir verebilmek ve ugulamacılara seçeek sumak ürütüle tez çalışmasıı e öemli amaçlarıda biridir. Kaaklar Akima, H., (1975). A method of bivariate ıterpolatio ad smooth surface fittig for values give at ırregularl distrubuted poits, OT Peport. U.S. Govermet Pritig Office. Washigto D.C, 75-70. Akima, H., (1978). A method of bivariate ıterpolatio ad smooth surface fittig for ırregularl distributed data poits, Acm Tras. Math. Software, 4, 2, 148-159. Deiz, R., Udu Jeodezisi Ders Notları, İTÜ, İstabul. Diter, G., İller, M., Jager, R., (1996). A sergetic approach for the trasformatio of elipsoidal heights ıto a stadart height referece sstem, Reports of the EUREF Techical Workig Group, Publicatio No.5, Müche. Diter, G., İller, M., Jager, R., Schmitt,G., (1997). Etwicklug ud softwaremäßige realisierug eies allgemeie modells zur überfuhrug vo gps-höhe i Gebrauchshöhesstem, Geodatische Istitut, Uiverstät Karlsruhe. Preußer, U.A., 1984. Bivariate ıterpolatio über dreickselemete durch polome 5. Ordug mit C1- Kotiuität, Zfv, 6, 292-301. Ziekiewicz, O.C., Morga, K., (1983). Fiite elemets ad approimatio, A Wile Itersciece Publicatio, New York.