VERİ, SAYMA ve OLASILIK ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİT VERİ SAYMA. Kazanım : Merkezi eğilim ve yayılım ölçüleri Aritmetik ortalama, ortanca, tepe değer, en büyük değer, en küçük değer ve açıklık kavramları hatırlatılır. Bir veri grubuna ait alt çeyrek, üst çeyrek, çeyrekler açıklığı ve standart sapma tanımlanır.. Kazanım : Verilerin grafikle gösterilmesi Gerçek hayat durumunu yansıtan veri gruplarını uygun grafik türleri ile temsil ederek yorumlar. Serpme grafiğini açıklar, iki nicelik arasındaki ilişkiyi serpme grafiği ile gösterir ve yorumlar. Kutu grafiğini açıklar, bir veri grubuna ait kutu grafiğini çizerek yorumlar ve veri gruplarını karşılaştırmada kutu grafiğini kullanır. OLASILIK 3. Kazanım : Basit olayların olasılıkları Örnek uzay, deney, çıktı, bir olayın tümleyeni, ayrık ve ayrık olmayan olay kavramlarını açıklar. 4. Kazanım : Tümleyen, ayrık ve ayrık olmayan olaylar ile ilgili olasılıkları hesaplar.
VERİ ve SAYMA VERİ Yorumlamak ve sunmak amacı ile toplanmış, çözümlenmiş ve özetlenmiş gerçeklere veriler denir. Veriler ölçüm, sayım, deney, gözlem veya araştırma yoluyla elde edilirler. Verileri iki ana grup altında toplayabiliriz. Veri Sayısal Kesikli Kardefl sayısı, yafl, araç sat fl adedi v.b. gibi Sürekli Boy, a rl k, s cakl k v.b. gibi Kategorik ( simsel) Marka, kanal adı, ders adı, ülke, flehir v.b. gibi MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlenen verilerin düzenlenerek, tablolarla, grafiklerle sunulması çoğu durumda yeterli olmaz. Genel durumu yansıtacak bir takım ölçülere gereksinim vardır. Bu ölçüler merkezi eğilim ölçüleri olup en çok kullanılanları; ortalama (aritmetik ortalama) ortanca (medyan) tepe değeri (mod) olmak üzere üç grupta toplanabilir. ORTALAMA Merkezi eğilim ölçülerinin en sık kullanılanıdır. Aritmetik ortalamayı ifade eder. Eldeki veriler toplamının veri sayısına bölümüdür. x ile gösterilir. Veri değerleri x, x,..., x n olan n tane veri için, x + x +... + x n x = dir. n ÖRNEK 7, 6, 7, 8, 0,, 6 veri grubundaki sayıların ortalaması kaçtır? ÖRNEK,,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5 veri gurbundaki sayıların ortalaması kaçtır? 56
ÖRNEK 3 Ders Matematik Fizik Kimya Biyoloji Not 84 7 65 70 Kredi 4 3 Furkan ın sayısal derslerinden aldığı yıl sonu notları ve bu derslerinin haftalık kredileri yukarıda tablo halinde verilmiştir. Furkan ın sayısal karnesinin not ortalamasını, kredi ağırlığına göre bulunuz. ORTANCA (Medyan) Bir sayı dizisinin medyanını bulmak için, sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanır. Dizinin terim sayısı tek ise ortadaki terim ortancadır. Dizinin terim sayısı çift ise ortadaki iki terimin aritmetik ortalaması ortancadır. Başka bir deyişle, n terimli bir sayı dizisinde n tek ise ortanca : xn+ xn + x n çift ise ortanca : ÖRNEK 6 3,,,, 4, 5, 5, 7, 4 n + dir. verilerinin ortancası (medyan) kaçtır? ÖRNEK 4 Ö renci say s Kardefl say s 5 8 3 3 4 0 5 0 6 7 9 öğrenci bulunan bir sınıftaki öğrencilere, kardeş sayıları sorulmuş ve verilen cevaplara göre yukarıdaki tablo oluşturulmuştur. Buna göre, bu sınıfta bulunanların ortalama kardeş sayısı kaçtır? ÖRNEK 5 ÖRNEK 7, 7,, 5, 3, 4, 4, verilerinin ortancası (medyan) kaçtır? a, a +, a + 3, a + 5, a + 7, a + 8 veri grubunun ortalaması 8 olduğuna göre, a kaçtır? 563
TEPE DEĞERİ (Mod) Bir veri grubundaki en çok (en sık) tekrarlanan değere tepe değeri (mod) denir. Tekrar sayıları frekans olarak adlandırılır. ÖRNEK 7, 9,, 3, 3, 5, 7, 6, 7,, 9 verilerinin tepe değeri kaçtır? ÖRNEK 8 5,, 4, 3, 7, 6, verilerinin tepe değeri kaçtır? ÖRNEK Bir veri grubunda birden fazla tekrar eden değer yoksa, bu veri grubunun tepe değeri yoktur. ÖRNEK 9,, 3, 4, 5, 6 veri grubunun tepe değeri yoktur. 3, 3, 3, 3, 3, 3 veri grubunun tepe değeri yoktur.,,,, 3, 3 veri grubunun tepe değeri yoktur. Bir veri grubunda aynı sayıda tekrar eden birden fazla değer varsa, tepe değeri değeri de birden fazla olabilir. Fakat, tüm değerler eşit sayıda tekrar ediyorsa tepe değeri yoktur. Meyve suyu üreten bir fabrikada, rastgele seçilen 5 şişe meyve suyunun bozulma süreleri ay olarak aşağıdaki gibi tespit edilmiştir. 8, 0,,,,, 4, 5, 5, 6, 7, 30, 30, 3, 3 Bu süreler için merkezi eğilim ölçüleri olan; ortalama, ortanca ve tepe değerleri nelerdir? ÖRNEK 0, 3, 5,, 4, 3, 7, 9, 5 sayı dizisinin tepe değeri kaçtır? 564
ÖRNEK 3 Bazı özelliklerde Türkiye nin dünya sıralamasındaki yeri aşağıdaki tablo ile belirtilmiştir. Özellik Dünya Sıralamasındaki Yeri Nüfus sayısı 7 Yüzölçümünün büyüklüğü 36 Kentli nüfus oranı 3 Ekonomik büyüme 6 Kişi başına düşen milli gelir Bor ve krom üretimi Altın ve toryum üretimi Cıva, mermer ve jeotermal enerji üretimi 7 Fındık, incir ve kiraz üretimi Çelik üretimi 9 Çimento üretimi Kömür üretimi 5 İlaç üretimi 8 Koyun, keçi sütü üretimi Dış satım (ihracat) 30 Tekstil ihracatı 3 Çimento ihracatı Mermer ihracatı 8 En çok tatil yapılan ülkeler 3 Tablodan elde edilen verilerin tepe değeri, medyanı ve ortalamasını bulunuz. MERKEZİ YAYILMA ( DAĞILIM) ÖLÇÜLERİ Merkezi eğilim ölçüleri, birimlerin kendi aralarında nasıl bir dağılım ( yayılım) gösterdiklerini ifade etmede yetersiz kalırlar. Örneğin; X 3 4 5 6 VER LER Y 5 30 3 3 Z 7 9 3 80 x, y ve z verilerinin ortalamaları eşit ( x= y= z= 4) olduğu halde verilerin dağılımları oldukça farklıdır. Bu nedenle verilerin ortalamaya göre veya kendi aralarında nasıl bir dağılım gösterdiklerini incelemek için merkezi dağılım ölçüleri kullanılır. Bunlar, Açıklık Çeyrekler Açıklığı Standart Sapma olarak ifade edilirler. AÇIKLIK (Aralık Ranj) Bir veri kümesinde bulunan en büyük ve en küçük değer arasındaki farktır ve genellikle R ile gösterilir. R = En Büyük Değer En Küçük Değer ÇEYREKLER AÇIKLIĞI (Q) Bir veri grubundaki terimler küçükten büyüğe doğru sıralandığında ilk terime en küçük, son terime en büyük, bunların ortasındaki terime de ortanca denir. Ortancadan küçük terimlerin ortancasına alt çeyrek (Q ) denir. Ortancadan büyük terimlerin ortancasına üst çeyrek (Q 3 ) denir. Bir başka ifade ile veri kümesinin ilk % 50 lik kısmının ortancasına Q, sonraki % 50 lik kısmının ortancasına da Q 3 denir. Çeyrekler açıklığı = Üst çeyrek Alt çeyrek Q = Q 3 Q Çeyrekler açıklı % 0 % 5 % 50 % 75 % 00 Q Q 3 En küçük de er Ortanca En büyük de er 565
ÖRNEK 4 7, 3, 4, 9,, 7, 5 veri grubunun açıklığı ile çeyrekler açıklığını bulunuz. STANDART SAPMA Standart sapma, verilerin ortalama etrafında nasıl bir yayılma gösterdiğinin ölçüsüdür. Düşük standart sapma değeri, bir araya toplanmış ve ortalamaya daha yakın verilerin çok olduğunun ölçüsüdür. n tane verinin aritmetik ortalaması x olmak üzere, bu veri grubunun standart sapması (s) s = ( x x) + ( x x) + + ( x x) n n dir. ÖRNEK 7 5, 3, 7 veri grubunun standart sapması kaçtır? ÖRNEK 5 6, 8, 30, 4, 6, 0, 8, 8,, 7, 0, 4, 36,, 8 veri grubunun çeyrekler açıklığını bulunuz. ÖRNEK 8 Yıl Frekans ÖRNEK 6, 3, 4, 6, 7, 7, 8, 0,,, 3, 5, 6, 0 veri grubunun açıklığı ile çeyrekler açıklığını bulunuz. 5 6 0 5 5 9 6 0 6 Araç aküsü üreten bir firmanın ürettiği 6 akünün dayanma sürelerine ait frekans tablosu yukarıda verilmiştir. Akülerin ortalama ömürleri ve dayanma sürelerinin standart sapması nedir? 566
ÖRNEK 9 ÖRNEK 0 Gün Alper Burak 4 3 3 3 5 4 4 3 5 5 4 5 6 6 4 A B C 8 4 3 4 5 4 4 3 6 5 0 8 6 6 8 Bir pazarlama şirketi Alper ve Burak isminde iki elemandan birisini 6 günlük deneme süresi sonunda işe alacaktır. Bu elemanların 6 günlük satışları yukarıdaki gibidir. Buna göre, bu şirketin daha istikrarlı bir eleman almak için Alper ve Burak tan hangisini tercih etmesini gerektiğini bulunuz. A, B ve C oyuncularının son 7 maçta attıkları basket sayıları yukarıdaki tabloda verilmiştir. a. Bu tablo yardımıyla A, B ve C basketçilerine ait merkezi eğilim ve yayılma ölçülerini bulunuz. b. Bu oyunculara sahip basketbol takımının koçusunuz ve önünüzdeki maçı çok farklı bir şekilde kazanmanız gerekiyor. Aksi takdirde takımınız elenecek. A, B ve C oyuncularından birini seçerek maça başlamak istiyorsunuz. Hangi basketçiyi seçersiniz? 567
ETKİNLİK TL, 7 TL, 8 TL, 9 TL, 0 TL, 3 TL, 50 TL Bir lokantadaki 7 masada 3.00 4.00 saatleri arasında ödenen hesaplar yukarıdaki gibi olsun. Bu verilerden yararlanarak sonraki saatlik dilim içinde gelen yeni bir müşterinin yaklaşık ne kadar hesap ödeyeceğini tahmin etmeye çalışalım ve hangi ölçülerin bize nasıl bir bilgi verebileceğini inceleyelim. + 7+ 8+ 9+ 0+ 3+ 50 Ortalama: x = = 4 7 Ödenen hesapların birçoğu ortalamadan çok uzakta olduğu için ortalama çok faydalı bir gösterge değildir. Tepe Değeri: Tepe değeri bulunmadığından incelemeye katkısı yoktur. Ortanca: a, 7, 8, 9, 0, 3, 50k Aşırı uç değerlerden ( ve 50) etkilenmediği için medyan iyi bir göstergedir. Yani gelecek olan bir müşterinin ortalama 9 TL hesap ödeyeceği beklentisi oldukça gerçekçidir. Standart Sapma: s = ( 4) + (7 4) + (8 4) + (9 4) + (0 4) + (3 4) + (50 4) 7 65 6 x s = 4 6 =, x + s = 4 6 = 30 Yeni gelecek bir müşterinin TL ile 30 TL arasında bir hesap ödeyebileceği tahmini bize katkı sağlayan bir ölçü değildir. Ortalamaya göre kıyaslandığında oranı çok yüksek olduğu için standart sapmayı göz önüne alarak yapılan tahmin oldukça riskli olacaktır. Şimdi de TL ve 50 TL lik hesapların genellikle olmadığını düşünerek bu sapan değerleri veri grubundan çıkararak tahminde bulunmaya çalışalım. 7 TL, 8 TL, 9 TL, 0 TL, 3 TL 7+ 8+ 9+ 0+ 3 47 Ortalama: x = =, 9. 5 5 Sapan değerler veri grubundan atılarak elde edilen bu değer öncekine göre daha gerçekçidir. Ortanca: Ortanca 9 TL olup bu durumda da iyi bir hesap tutarı tahmini yansıtmaktadır. Standart Sapma: s = (7 9) + (8 9) + (9 9) + (0 9) + (3 9) 5 = = 55,,3 4 x s = 9..3 = 6.9, x + s = 9. +.3 =.5 Yeni gelecek müşterilerin ortalama 6.9 TL ile.5 TL arasında bir hesap ödeyecekleri beklentisi gerçekçidir. Standart sapma değeri öncekine göre daha düşük çıktığı için veriler birbirine daha yakın olup tahminlerde yanılma payı daha azdır. 568
STANDART PUANLAR z puanı: z-puanı bir verinin ortalamadan kaç standart sapma kadar uzakta olduğunu gösterir. Verilen puanları; ortalaması 0, standart sapması olan puanlara dönüştürür. ÖRNEK Veri, Sayma ve Olasılık Öğrenci Puanı Melis 30 Zeynep 50 Ham puan Aritmetik ortalama X x z puanı = = Standart sapma s formülü ile hesaplanır. Herhangi bir kişinin almış olduğu puanı z puanına dönüştürerek, verilen bir puanın standart sapmaya göre ortalamanın ne kadar altında veya üstünde kaldığı belirlenebilir. z puanının ( ) veya sıfır (0) çıkması mümkündür. T puanı: T puanı verilen puanları ortalaması 50, standart sapması 0 olan puanlara dönüştürür. z puanlarından T punlarına geçiş T = 50 + 0.z formülü ile elde edilir. Burcu 90 Ezgi 70 Efe 40 Mesut 80 Tabloda 6 öğrencinin kimya dersi I. yazılı sınavından aldığı notlar (standart puanlar) verilmiştir. Melis ve Ezgi nin bu sınav için aldıkları kimya notlarının z ve T puanlarını bulalım. ÖRNEK 3 kişinin katıldığı bir sınavda puanlar hesaplanırken; I. Her öğrenciye 00 taban puan verilmektedir. II. En yüksek puan alan öğrencinin puanı 500 e çekilerek diğer puanların dağılımı buna göre yapılmaktadır. III. Test farkı gözetilmeksizin her sorunun puan getirisi eşit kabul edilmektidir. Aşağıdaki tablodaki verileri kullanarak Aybars ın puanını hesaplayalım. Ö renci Matematik Neti Fen Neti Türkçe Neti Sosyal Neti Ecem 8 3 30 4 Aybars 34 36 30 6 Gizem 39 36 35 30 569
ALIŞTIRMALAR -.,, 3, 4, 4, 5 (saniye) 6 kişilik bir sporcu grubunun 00 metreyi koşma süreleri yukarıdaki gibidir. Buna göre, bu sporcuların 00 metreyi koşma süreleri ortalama kaç saniyedir? 6. 0 öğrencinin matematik dersinden aldıkları notlar, 5, 30, 30, 45, 45, 50, 60, 60, 60, 85 şeklindedir. Bu veri grubunun, a. Ortancasını b. Tepe değerini c. En küçük değerini d. En büyük değerini e. Alt çeyrek değerini f. Üst çeyrek değerini. I. 7, 9, 6, 8, 9, 4, II., 4, 3,,, 5, 5, 3 Yukarıda verilen I ve II nolu sayı dizilerinin ortancalarının toplamı kaçtır? g. Çeyrek açıklığını h. Açıklığını bulunuz. 7. 50, 54, 58, 60, 66, 7 3. 8, 9,,, 7, 8, 6, 3, 6, 6, 4 Yukarıda verilen sayı dizisinin tepe değeri ile ortancasının toplamı kaçtır? Yukarıda, bir sınıfta bulunan herhangi 6 öğrencinin geometri sınavından aldıkları puanlar verilmiştir. Bu puanların standart sapmasını bulunuz. 4. 4, 7, 0,, 9,, 9, 4 verilenlerin açıklığı kaçtır? 8. Sınav ortalaması 60, standart sapması 4 olan bir sınavda 40 alan Ali ile 00 alan Barış ın z puanlarını bulunuz. 5. 4, 5, 8,, x, x + sayı dizisinin aritmetik ortalaması 9 olduğuna göre, tepe değeri kaçtır? 9. Sınav ortalaması 70, standart sapması 8 olan bir sınavda 60 alan Fatma nın T standart puanı kaçtır? 570
VERİLERİN GRAFİKLE GÖSTERİLMESİ GRAFİKLER Verilerin veya karşılaştırılması yapılacak değişkenlerin çizgi, tablo, nokta veya şekillerle ifade edilmesine grafik denir. Grafikler verilerin sunumuna görsellik katararak daha kolay yorumlanmasını sağlar. Veri türlerine ve istenen amaca göre çizilebilecek çeşitli grafik türleri vardır. Bunlar; Çizgi grafiği Sütun grafiği Daire grafiği Serpilme grafiği Kutu grafiği başlıkları altında ifade edilebilir. ÇİZGİ GRAFİĞİ Verilerin yatay ve dikey eksendeki değerleri işaretlenerek bulunan noktaların çizgilerle birleştirilmesi sonucunda elde edilen grafikler çizgi grafikleridir. Özellikle bir değişkenin zaman içerisindeki değişimini ( artma, azalma) incelemek için kullanılan en uygun grafiktir. ÖRNEK 3 Yanda bir hareketlinin belli zaman aralığında aldığı yolu gösteren tablo verilmiştir. Bu tablodan yararlanarak hareketlinin aldığı yolu zamana göre ifade eden çizgi grafik aşağıda çizilmiştir. Zaman (dk) 3 4 5 Yol (m) 00 50 75 75 00 00 75 50 5 00 75 50 5 Yol (m) Hareketin toplam süresi 5 dakikadır. Hareket süresince alınan toplam yol 00 metredir.. dakikanın sonunda alınan yol 00 metredir.. ve 3. dakikalar arasında alınan yol 75 50 = 5 metredir. 3. ve 4. dakikalar arasında yol alınmamıştır. Yani bu zaman diliminde hareketli durmuştur. 0 3 4 5 6 7 Zaman (dk) yol Hız = zaman olduğundan, hareketlinin en yüksek hıza sahip olduğu aralık 0- dakika aralığıdır. Bu aralıktaki hızı V = 00 0 = 00 m/dk dır. 0 En çok yol aldığı aralık 0- dakikalar arasıdır. Bu aralıkta 00 metre yol almıştır.. ve 3. dakikalar arasında aldığı yol, 4. ve 5. dakikalar arasında aldığı yola eşittir (5 m). Aynı süre içinde ( dk) aldığı yollar eşit olduğundan bu aralıklarda hızları da eşittir. 57
ÖRNEK 4 ÖRNEK 5 0 Ö renci Say s 60 Yakıt miktarı (litre) 8 6 0 600 Alınan yol (km) 4 0 3 4 5 Notlar Yukarıdaki grafik bir sınıftaki tüm öğrencilerin matematik dersinden aldığı notları gösterdiğine göre, aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? I. 3 alan 9 kişi vardır. II. En düşük geçme notu ise matematik dersinden kalan öğrenci yoktur. Deposu 60 litre yakıt alan bir aracın, şehirler arası yolda bir depo benzinle alabildiği yol 600 km dir. Bu durum yukarıdaki grafikle ifade edilmiştir. Buna göre, a. Bu araç L benzinle kaç km yol alabilir? b. Şehir içinde, % 0 daha fazla yakıt tükettiğine göre aynı araç bir depo yakıt ile şehir içinde kaç km yol alabilir? c. Aracın deposunda 50 km lik yola yetecek yakıt kaldığında uyarı ışığı yandığına göre, deposunda kaç litre benzin kaldığında uyarı ışığı yanar? III. alanların sayısı 5 alanların sayısına eşittir. IV. Sınıf mevcudu 7 kişidir. V. ve 3 alan öğrenci sayılarının toplamı sınıfın yarısından azdır. VI. Sınıfın 3 ünün notu 3 tür. 57
SÜTUN GRAFİĞİ Bu grafik türünde toplanan bilgiler sütun şeklindeki grafiklerle gösterilir. Sütun grafiğinde iki eksen vardır. Yatay ve düşey eksende ölçülen değerlerin birbirine göre durumları sütunlarla ( çubuklarla) belirtilir. Çiftli sütunlar halinde çizildiğinde farklı iki veri kümesinin karşılaştırılmasını da sağlarlar. İsimsel veriler için zorunlu bir sıralama koşulu yoktur. ÖRNEK 6 ÖRNEK 7 Ö renci sayısı Ülke Üretim Miktarı (ton) İspanya 3.500.000 8 İtalya.700.000 7 6 5 4 Yunanistan.00.000 Türkiye.800.000 Tunus.000.000 3 Yukarıdaki tablo ile verilmiş olan verilere ilişkin çubuk grafiğini oluşturunuz. 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Notlar Yukarıdaki grafik bir sınıftaki öğrencilerin matematik dersinin. yazılısından aldıkları notları göstermektedir. Buna göre, sınıfın yüzde kaçı 9 almıştır? ÖRNEK 8 Göl Yüzölçümü (km ) Eğirdir 470 İznik 300 Manyas 70 Tuz 500 Van 3700 Ülkemizdeki tanınmış 5 gölün yüzölçümleri (yaklaşık) yukarıda tablo halinde verilmiştir. Bu verilere ilişkin çubuk grafiğini çizelim. 573
ÖRNEK 9 Ülke Sınır Uzunluğu (km) Brezilya 5.000 Rusya Federasyonu 0.000 Çin.000 Hindistan 4.000 A.B.D..000 Dünyada en uzun kara sınırlarına sahip ülkelerle ilgili bilgiler yukarıda tablo halinde verilmiştir. Bu verilere ilişkin çubuk grafiği çizelim. ÖRNEK 30 0 kişilik bir sınıftaki öğrencilerin, matematik dersindeki I. yazılı sınav sonuçları; 4, 8, 3, 36, 38, 40, 44, 46, 48, 5, 54, 60, 60, 64, 70, 78, 8, 86, 9, 94 olarak verilmiştir. Bu notları çubuk grafiği ile gösterelim. Bazı çubuk grafiklerinin çiziminde aşağıdaki yollar takip edilir. Veriler küçükten büyüğe doğru sıralanır. Grup genişliği (aralık) bulunur. Bu aralık en büyük veri ile en küçük verinin farkıdır. Verilerin kaç alt grupta toplanacağına karar verilir. Tespit edilen sayı grup genişliğine bölünerek alt grup genişliği bulunur. Bu sayı ondalık bir sayı ise yuvarlanarak tam sayı tespit edilir. Bazen işlemi kolaylaştırmak için alt grup sayısını bulduğumuz sayının yakınındaki başka sayı ile değiştirebiliriz. 574
DAİRE GRAFİĞİ Eldeki verilerin daire dilimleri biçiminde sunulmasıdır. Değişkenlerin bir bütün içerisindeki oranları, yüzde veya merkez açı ölçüleri gösterilerek hazırlanır. Her bir dilimin içine veya dilimin yakınındaki bir yere, o değişkenin adı ve yüzdelik dilimi yazılır. Eğer merkez açılar kullanılacaksa her bir değişkene düşen merkez açılar ve bunların toplamları 360 olacak şekilde daire dilimlere ayrılır. Bu grafik türüne pasta grafiği de denilmektedir. Kesikli veriler için uygundur. ÖRNEK 3 Bir önceki örnekteki tabloya karşılık gelen daire grafiğini merkez açılar kullanarak gösteriniz. ÖRNEK 3 Ülke Üretim Miktarı (Bin ton) Hindistan 870 Çin 650 Kenya 300 Sri Lanka (Seylan) 80 Endonezya 50 Türkiye 35 Toplam 385 Dünya çay üretiminde en büyük paya sahip 6 ülke ve üretim miktarları yukarıda tablo şeklinde verilmiştir. Bu tabloya karşılık gelen daire grafiğini oluşturunuz. 575
ÖRNEK 33 Ezgi, sınıfındaki 0 arkadaşına TRT, Kanal D, Show TV, ATV kanallarından hangisini daha çok izlediğini sormuş ve sonuçları aşağıdaki daire grafiğinde göstermiştir. TRT % 40 Kanal D % 5 ATV % 5 Show TV % 0 Grafikteki verileri kullanarak aşağıdaki tabloyu doldurunuz. TV kanalı İzleyici sayısı Daire dilimindeki merkez açının ölçüsü TRT Kanal D Show TV ATV Toplam 0 360 SERPİLME GRAFİĞİ İki değişkenin bir arada incelenmesi için çizilen grafiklerdir. Değişkenlerden birinin değerleri yatay, diğer değişkenin değerleri de düşey eksende gösterilir. ÖRNEK 34 Aşağıda 5 öğrencinin matematik ve fizik derslerinden aldıkları notlar sırasıyla verilmiştir. Matematik Notu : 30, 40, 50, 65, 75 Fizik Notu : 0, 40, 45, 70, 80 Bu verilere ait grafiği oluşturalım. Fizik Notu (Y) 80 60 40 0 0 0 40 60 80 00 Matematik Notu (X) Noktaların dağılımına bakarak, matematik notu yüksek olan öğrencilerin fizik notu da yüksektir sonucunu çıkarabiliriz. Başka bir deyişle, notlar arasında doğru orantı vardır diyebiliriz. ÖRNEK 35 Aynı yayın saatinde farklı kanallarda yayınlanan iki TV dizisi için 6 defa izlenme ölçümü yapılmış ve izlenme oranları zamana göre sıralı olarak aşağıdaki serpilme grafiğinde verilmiştir. 0 B dizisinin izlenme oranı 8 6 4 0 4 6 8 0 A dizisinin izlenme oranı Grafikten yararlanarak elde edilen aşağıdaki bilgileri inceleyiniz. A dizisinin izlenme oranı arttıkça B dizisinin izlenme oranı azalmıştır. İki dizinin izlenme oranları ters orantılıdır. Dizilerin yayına başladığı ilk zamanlarda B dizisini izleyenlerin oranı daha fazladır. B dizisinin izlenme oranı sürekli azalmıştır. 576
ETKİNLİK Bir araba galerisindeki 4 yıllık otomobil satışları yandaki tablo ile verilmiştir. Araç markaları ve satışları ile ilgili aşağıdaki grafikler oluşturulabilir. Yıllar Marka A B C Toplam 007 60 40 5 5 008 45 0 0 85 009 55 30 5 0 00 50 40 30 0 Üç markanın yıllara göre satış adetlerini incelemek için çizgi grafiği ile sütun grafiğinden yararlanabiliriz. Bu grafikler aşağıda çizilmiştir. 70 60 50 40 30 0 0 0 Satıfllar (Adet) A: B: C: 007 008 009 00 Yıllar 70 60 50 40 30 0 0 0 Satıfllar (Adet) A B C 007 008 009 00 Yıllar Sadece A markasının yıllara göre satış adetlerini incelemek için çizgi ve sütun grafiğini bir arada ifade edebiliriz. Bunlar aşağıda çizilmiştir. B markasının satışlarını, toplam satış adetleri ile kıyaslamak için sütun grafiğinden yararlanabiliriz. Bu grafik aşağıda çizilmiştir. 60 Satıfllar (Adet) 50 Sat fllar (Adet) B Toplam 40 00 0 50 0 007 Yıllar 0 008 009 00 007 008 009 00 Y llar 00 yılı satış adetlerinin üç marka için hangi oranda olduğunu kolay bir şekilde incelemek A % 4,7 için daire grafiğinden yararlanabiliriz. Bu grafik yanda çizilmiştir. C % 5 B % 33,3 577
KUTU GRAFİĞİ Bir değişkenin sıklık dağılımını göstermek için kullanılan kutu grafikleri, dağılımın şekli, merkezi eğilimi ve değişkenlerin yayılım düzeyini göstermesi açısından kullanışlıdır. Kutu grafiği, veri için çeyreklere dayalı grafiksel gösterimlerdir. Kutu grafiğinin çizimi için; En küçük değer, alt çeyrek (Q ), ortanca, üst çeyrek (Q 3 ) ve en büyük değer bulunur. Kutu gösteriminde; Kutunun uç noktaları Q ve Q 3 tedir. Kutunun uzunluğu Q 3 Q dir. Bu fark, verilerin ortadaki yarısının yayılma ölçüsüdür. Ortanca, kutunun içinde çizgi ile işaretlenir. Kutu dışındaki iki çizgi, alt uç değer ve üst uç değere kadar uzatılır. Kutu grafiğinde, dağılımın merkezi, verilerin yayılma genişliği ve uç değerleri kolaylıkla görülür. En Küçük De er Alt Çeyrek Ortanca Üst Çeyrek En Büyük De er ÖRNEK 36 ÖRNEK 37 Bir sınıftaki öğrencilerin bir dakikalık zaman dilimi içerisinde nabızlarını saymaları istenmiştir. Ölçüm sonuçları cinsiyet değişkenine göre aşağıdaki tabloya aktarılmıştır.,, 5, 0, 5, 6, 7,, 6, 4, 7, 9,, 8, 3, 3, 4, 7 veri grubu için en küçük değeri, alt çeyrek, ortanca, üst çeyrek ve en büyük değeri bularak kutu grafiği ile gösteriniz. En Küçük De er Alt Çeyrek Ortanca Üst Çeyrek En Büyük De er Erkek Kız 56 60 60 68 66 74 76 80 96 0 Tabloya karşılık gelen kutu grafiği aşağıdaki gibidir. Cinsiyet Erkek Kız 55 60 65 70 75 65 80 85 90 95 00 05 0 Nabız Sayısı Bu grafik üzerinden kızlarla erkeklerin nabız sayılarını, farklı açılardan (ortanca, en büyük ve en küçük değerler, çeyrekler) karşılaştırabiliriz. 578
ÖRNEK 38 Bir okulun K ve L şubelerindeki öğrencilerin, fizik dersinde uygulanan aynı sınavın sonucunda aldıkları puanlar yanda verilmiştir. K L 70 80 40 0 50 40 50 30 80 50 60 70 40 40 90 50 60 80 Bu notlara ait kutu grafiğini oluşturalım ve sınıfların fizik notlarını yorumlayalım. Grafik Türünün Seçimi ve Avantajları Çizgi Grafiği Sütun Grafiği Daire Grafiği Kutu Grafiği Serpilme Grafiği Bir değişkenin zaman içerisindeki değişimini incelemek için en uygun grafik türüdür. Birden çok sürekli veri grubunun kıyaslanması kolaylıkla görülebilir. Görselliği kuvvetlidir. veya 3 veri grubu kolaylıkla kıyaslanabilir. Her bir kesikli veri ayrı sütunda gösterildiği için incelenmesi kolaydır ve verinin gerçek değeri kolaylıkla görülebilir. Bir değişkenin bir bütün içerisindeki oranını belirlemek için en uygun grafik türüdür. Göze hoş gelen bir sunumu vardır. Her bir kategorinin toplam içindeki payı çok rahat anlaşılır. Verilerin genişliğini, yığılımını öğrenmek için en uygun grafik türüdür. Uç değerleri ve sapan değerleri görmek çok kolaydır. Veri sayısı çok olduğunda bile kolaylıkla gösterilebilir. Dağılımın şekli, merkezi eğilim ve yayılım ölçüleri hakkındaki bilgileri çok rahat sunar. İki değişken arasındaki ilişkiyi göstermek için en uygun grafik türüdür. Veriler arasındaki ilişkiyi ( doğru orantılı, ters orantılı, ilişki yok gibi) açıklamak için çok uygundur. Verilerin gerçek değerleri göz önündedir. 579
ALIŞTIRMALAR -.. Ö renci sayısı 8 7 6 5 4 3 0 3 4 5 Alınan Not Yukarıdaki grafik bir sınıftaki öğrencilerin tarih dersinin sınavından aldıkları notları göstermektedir. ve üzeri not alanlar başarılı olduğuna göre, bu sınıfın yüzde kaçı tarih dersinden başarılıdır? Benzin (L) 5 0 5 0 4. Aşağıdaki grafik bir otobüsteki yolcuların mesleklerine göre dağılımını göstermektedir. Kifli sayısı 4 3 0 9 8 7 6 5 4 3 0 Meslek Ö retmen Memur Esnaf flçi a. Otobüsteki yolcular mesleklerine göre bir daire grafiğiyle gösterildiğinde öğretmenleri gösteren daire diliminin merkez açısının ölçüsü kaç derece olur? 5 0 3 4 5 6 Zaman (gün) Yukarıdaki grafik, bir aracın benzin tüketimini göstermektedir. Buna göre, bu aracın hangi günler arasında benzin tüketim hızı en fazladır? b. Bu otobüsten x sayıda yolcu inip otobüse x sayıda yolcu binerse otobüste her meslek grubundan eşit sayıda yolcu oluyor. Buna göre, x en az kaçtır? 3. 3, 4, 4, 6, 6, 7, 9 veri grubuna ait kutu grafiğini çiziniz. c. Otobüsten belirli sayıda işçi inip otobüse işçi olmayan 8 kişi binerse otobüsteki işçilerin sayısı, tüm yolcuların sayısının % 5 i oluyor. Buna göre, otobüsten inen işçilerin sayısı kaçtır? 580
5. a, a +, a + 6, a + 8, a + 9, a + 0, a + 8. veri grubunun alt çeyreği ile üst çeyreğinin toplamı 4 olduğuna göre, Kira % 30 Di er % 45 6. a. Bu veri grubunun ortancasını bulunuz. b. Bu veri grubunun çeyrekler açıklığını bulunuz... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0. Mat 35 80 70 50 60 80 90 00 65 70 Kimya 40 75 70 55 50 90 70 00 60 80 Yiyecek Şekilde verilen grafik birailenin aylık harcamalarını göstermektedir. Bu ailenin aylık kira gideri 450 TL olduğuna göre, aylık yiyecek gideri kaç TL dir? Bir sınıfdaki 0 öğrencinin matematik ve kimya notları yukarıdaki tabloda verilmiştir. Bu verilere uygun serpilme grafiğini çiziniz. 9. Sınıf B 7. Kimya Ders A 60 6 64 66 68 70 7 74 76 A ırlık (kg) Fizik 0 0 30 40 50 60 70 80 90 00 Puan Şekilde bir sınıftaki kimya ve fizik derslerinin puanlarından oluşan veri grubunun kutu grafikleri verilmiştir. Buna göre, aşağıdaki soruları cevaplandırınız. a. Fizik dersinden elde edilen veri grubunun ortancası kaçtır? b. Kimya dersinden elde edilen veri grubunun açıklığı kaçtır? c. Fizik dersinden elde edilen veri grubunun çeyrekler açıklığı kaçtır? Bir okulun A ve B sınıflarındaki öğrencilerin ağırlıkları ile ilgili kutu grafiği verilmiştir. Buna göre, a. A sınıfındaki öğrencilerin ağırlıklarının ortancası kaçtır? b. B sınıfındaki öğrencilerin ağırlıklarının ortancası kaçtır? c. A sınıfındaki öğrencilerinin ağırlıklarının çeyrek açıklığı kaçtır? d. B sınıfındaki öğrencilerin ağırlıklarının çeyrek açıklığı kaçtır? 58
OLASILIK OLASILIK Olasılık, sonucu kesin olmayan olayları sayılarla ifade eder. Olasılık teorisi günümüzde şans oyunlarının yanısıra, ekonomi, spor, siyaset, bilimsel tespitler, meteoroloji, sigortacılık, bankacılık ve milli savunma gibi pek çok uygulama alanında kullanılmaktadır. ÖRNEK 40 Bir madeni paranın arka arkaya kez (veya iki madeni paranın birlikte) atılması deneyinde örnek uzayını bulunuz. Deney ve Çıktı Yeni bilgi kazanmak ve olayların gelişimini incelemek için yapılan deneme ve testlere deney denir. Bir deneyin mümkün olan her türlü sonucuna çıktı adı verilir. Düzgün bir zemine bir madeni paranın atılması bir deneydir. Yazı gelmesi ve tura gelmesi ise bu deneyin çıktılarıdır. Aynı şekilde bir tavla zarının atılması bir deneydir. gelmesi, gelmesi, 3 gelmesi, 4 gelmesi, 5 gelmesi ve 6 gelmesi ise bu deneyin çıktılarıdır. Örnek ( Örneklem) Uzayı Bir deneyde elde edilebilecek tüm sonuçların kümesine örnek uzay denir ve E ile gösterilir. Örnek uzayın her bir elemanına ise örnek nokta denir. ÖRNEK 4 Üç madeni paranın atılması deneyinin örnek uzayını yazınız. Olay Örnek uzayın her bir alt kümesine bir olay denir. E örnek uzayına kesin olay, boş kümeye ise olanaksız (imkansız) olay denir. Bir örnek uzaya ait iki olayın ara kesitleri (kesişimleri) boş küme ise bu iki olaya ayrık ( bağımsız) olaylar denir. ÖRNEK 39 Bir madeni paranın atılması deneyinin; çıktıları: Y (yazı) ve T (tura) dır. Örnek uzayı: E = { Y, T } dir. Buna göre, bir madeni paranın atılması sonucu, yazı veya tura gelmesi olayına (örnek uzaya) kesin olay denir. Paranın dik gelmesi olayı ise olanaksız olaydır. Art arda yapılan madeni para atma deneyinde, para n kez atıldığında örnek uzayın eleman sayısı s( = n olur. 58
ÖRNEK 4 Bir tavla zarının atılması deneyindeki örnek uzay E = {,, 3, 4, 5, 6} dir. Üste gelen sayının; tek gelmesi olayı, {, 3, 5} çift gelmesi olayı {, 4, 6} asal sayı gelmesi olayı {, 3, 5} ÖRNEK 44 İçinde 3 kırmızı ve 4 beyaz bilye bulunan torbadan bir çekilişte bilye çekme deneyindeki; a. Örnek uzayın eleman sayısı kaçtır? b. Çekilen bilyelerin aynı renkte olması olayının eleman sayısı kaçtır? en az dört gelmesi olayı {4, 5, 6} en çok üç gelmesi olayı {,, 3} dir. ÖRNEK 43 İki tavla zarının birlikte atılması deneyindeki örnek uzayı yazınız. ÖRNEK 45 3 kız, 4 erkek öğrencinin bir sıraya yan yana oturma deneyindeki; a. Örnek uzayının eleman sayısı kaçtır? b. Kızların bir arada olması olayının eleman sayısı kaçtır? c. Erkeklerin bir arada olması olayının eleman sayısı kaçtır? 583
AYRIK AYRIK OLMAYAN OLAYLAR Birlikte ortaya çıkmayan iki olaya ayrık olay denir. Başka bir deyişle A ve B ayrık olaylar ise A B = dir. ÖRNEK 46 Bir zarın atılması deneyinde meydana gelebilecek üç olay aşağıda verilmiştir. A = Tek sayı gelmesi = {, 3, 5} B = Çift sayı gelmesi = {, 4, 6} C = Asal sayı gelmesi = {, 3, 5} A, B ve C olaylarının ayrık olaylar olup olmadığını tespit ediniz. OLASILIK FONKSİYONU E örnek uzuyanın iki alt kümesi A ve B olmak üzere, tüm alt kümelerinin oluşturduğu küme K ise P : K [0, ] fonksiyonuna olasılık fonksiyonu P(A) görüntüsüne de A olayının olasılığı denir. 0 P(A) P( = P( ) = 0 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) A B = P(A B) = P(A) + P(B) dir. A = E A olmak üzere P(A) + P(A ) = dir. ÖRNEK 47 E örnek uzayında iki olay A ve B olsun. P(A ) = 3 P(B) = ve P(A B) ise P(A B) kaçtır? 4 6 P(A) + P(A ) = P(A) + 3 = P(A) = ÖRNEK 48 E örnek uzayında iki olay A ve B olsun. P(A) = 3 3 P(B) = ve P(A B) = olduğuna göre aşağıdaki olasılıkları hesaplayınız. 5 4 a. P(A B) b. P(A B ) 584
Eş Olumlu Örnek Uzay Örnek uzayı E = {a, a,..., a n } olan P olasılık fonksiyonu için, P(a ) = P(a ) =... = P(a n ) ÖRNEK 5 Bir madeni paranın arka arkaya üç kez atılması sonucu en az iki yazı gelmesi olasılığı kaçtır? ise E örnek uzayına eş olumlu örnek uzay denir. sa ( ) stenen durumlar n say s PA ( ) = = dır. sb ( ) Tü m durumlar n say sı ÖRNEK 49 E = {,, 3, 4, 5} eş olumlu örnek uzay ise P() + P(5) toplamı kaçtır? ÖRNEK 53 Bir madeni paranın arka arkaya 5 kez atılması sonucu tura, 3 yazı gelme olasılığı kaçtır? ÖRNEK 50 Bir madeni paranın düzgün bir zemine atılması deneyinde, yazı (Y) ve tura (T) olmak üzere, E = { Y, T } olup s( = dir. Buna göre, sy ( ) st ( ) P(Y) = = ve P(T) = = olur. se ( ) se ( ) P(Y) = P(T) = olduğundan bu deneydeki örnek uzay, eş olumlu örnek uzaydır. ÖRNEK 5 İki madeni paranın düzgün bir zemine atılması sonucu ikisinin de tura gelme olasılığı kaçtır? ÖRNEK 54 Bir tavla zarı bir kez atıldığında üst yüze gelen sayının asal sayı olma olasılığı kaçtır? 585
ÖRNEK 55 Bir tavla zarı arka arkaya iki kez atıldığında üst yüze gelen sayıların aynı olma olasılığı kaçtır? ÖRNEK 58 Bir torbada 4 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır. Torbadan rastgele bilye çekildiğinde, bilyelerin farklı renkte olma olasılığı kaçtır? ÖRNEK 56 Bir tavla zarı arka arkaya iki kez atıldığında üst yüze gelen sayıların toplamının 8 olma olasılığı kaçtır? ÖRNEK 59 Bir torbada 4 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır. Torbadan arka arkaya bilye çekildiğinde, çekilen birinci bilyenin kırmızı, ikinci bilyenin beyaz olma olasılığı kaçtır? ÖRNEK 57 Bir torbada 3 sarı, 4 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır. Torbadan bir bilye çekildiğinde, bu bilyenin kırmızı olma olasılığı nedir? ÖRNEK 60 Bir torbada 5 siyah ve 3 beyaz bilye vardır. Torbadan rastgele 3 bilye çekildiğinde ikisinin siyah, birinin beyaz olma olasılığı kaçtır? 586
ÖRNEK 6 7 kız ve 5 erkek öğrencinin bulunduğu bir sınıfta kızların 3 ü, erkeklerin si gözlüklüdür. Sınıftan rastgele seçilen iki öğrencinin, a. İkisinin de kız olma olasılığı, ÖRNEK 6 5 doktor ve 6 hemşire arasından 3 kişilik bir ekip oluşturulacaktır. Bu ekipte en az doktor bulunma olasılığı kaçtır? b. İkisinin de gözlüklü olma olasılığı, c. Birisinin kız diğerinin erkek olma olasılığı, d. İkisinin de gözlüklü ve kız olma olasılığı, e. İkisinin de gözlüklü veya ikisinin de kız olma olasılığını hesaplayınız. ÖRNEK 63 A = {0,,, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak yazılabilen 4 basamaklı ve rakamları farklı sayılardan bir tanesi seçiliyor. Seçilen bu sayının 5 ile bölünebilen bir sayı olma olasılığı kaçtır? 587
BAĞIMSIZ OLAYLAR İki olaydan birinin gerçekleşmesi veya gerçekleşmemesi diğerinin gerçekleşme olasılığını değiştirmiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar denir. ÖRNEK 66 Bir madeni para ile bir zar birlikte atılıyor. Paranın tura veya zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır? P(A B) = P(A).P(B) Eğer iki olay bağımsız değilse bu olaylara bağımlı olaylar denir. A ve B olaylarının meydana gelme olasılığı P(A B) demektir. A veya B olaylarının meydana gelme olasılığı P(A B) demektir. ÖRNEK 64 A ve B bağımsız olaylardır. P(A) = ve P(B) = 3 6 ÖRNEK 67 Bir topluluktaki bayanın 7 si gözlüklü ve 9 erkeğin 6 sı gözlüklüdür. Bu topluluktan seçilen bir kişinin erkek veya gözlüklü olma olasılığı kaçtır? : ise P(A B) ve P(A B) kaçtır? A ve B bağımsız olaylar olduğundan, ÖRNEK 68 Bir sınava giren Ali nin sınavı geçme olasılığı 5 3 ve Barış ın aynı sınavı geçme olasılığı 3 tür. Buna göre, ÖRNEK 65 Bir madeni para ile bir zar birlikte atılıyor. Paranın tura ve zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır? a. Her ikisinin de sınavı geçme olasılığı kaçtır? b. Sadece Ali nin sınavı geçme olasılığı kaçtır? 588
ALIŞTIRMALAR - 3. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş kutulara D yanlış olanlar için Y yazınız. Bir para üst üste 4 kez atılırsa örnek uzayı 6 elemanlı olur. 5. Bir çift zar atıldığında üste gelen sayıların a. Aynı olma olasılığını Bir zar üst üste 3 kez atılırsa örnek uzayı 6 elemanlı olur. 5 para atıldığında örnek uzayı 5 elemanlı olur. b. Farklı olma olasılığını Bir A olayının olasılığı P(A) ise P(A) dir. A kesin olay ise P(A) = dir. c. Toplamlarının 9 olma olasılığını. İki madeni para atıldığında en çok bir yazı gelmesi olasılığı kaçtır? d. Birinin tek, diğerinin çift sayı olma olasılığını e. Toplamlarının 3 olma olasılığını 3. Bir madeni para art arda 3 kez atıldığında, kez yazı kez tura gelme olasılığı kaçtır? f. Toplamlarının en az olma olasılığını bulunuz. 4. Bir madeni para art arda 5 kez atıldığında, kez yazı 3 kez tura gelme olasılığı kaç olur? 6. 4 kız, 5 erkek arkadaş yanyana fotoğraf çektireceklerdir. Kızların bir araya gelme olasılığı kaçtır? 589
7. Aynı büyüklükte 5 kırmızı ve 3 beyaz bilyenin bulunduğu bir torbadan, rastgele 3 bilye çekiliyor. Çekilen bilyelerin, 0. 5 elemanlı bir kümenin alt kümelerinden herhangi tanesi rastgele alındığında ikisinin de 3 elemanlı olma olasılığı kaç olur? a. Üçünün de beyaz olma olasılığını b. Üçünün de kırmızı olma olasılığını c. Üçünün de aynı renk olma olasılığını. E örneklem uzayına ait iki olay A ve B olmak üzere, P(A) = 4, P(B ) = 8 7 ve P(A B) = 6 ise P( A B) kaçtır? d. İkisinin beyaz, birinin kırmızı olma olasılığını e. En az birinin kırmızı olma olasılığını bulunuz. 8. 433 sayısının rakamları yer değiştirilerek oluşturulan 7 basamaklı sayılardan biri rastgele alındığında bunun 4 ile başlayıp 3 ile biten bir sayı olma olasılığı kaçtır?. 0 kişilik bir sınıfta bulunan öğrencilerin si erkektir. Erkeklerin 4 ü, kızların 3 ü gözlüklü olduğuna göre, sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin erkek veya gözlüklü olma olasılığı kaç olur? 9. Bir torbada, aynı büyüklükte 4 sarı, 3 lacivert ve 5 beyaz bilye vardır. Torbadan geri atılmamak koşuluyla art arda 3 bilye çekildiğinde birincisinin sarı, ikincisinin lacivert, üçüncüsünün beyaz olma olasılığı kaç olur? 3. İki madeni para ve bir zar aynı anda atılıyor. Paraların birinin yazı, diğerinin tura ve zarın çift sayı gelme olasılığı kaç olur? 590
Yazılıya Hazırlık Soruları. İçinde 3 mavi, 4 sarı, beyaz bilye bulunan bir torbadan rastgele seçilen 3 bilyeden sadece ikisinin sarı olma olasılığı kaçtır? 4. Düzgün bir madeni para 6 kez atıldığında en az 4 kez yazı gelme olasılığı kaç olur?. 6 noktadan tanesi A ve B dir. Bu noktaların herhangi üçü doğrusal değildir. Bu noktalarla oluşturulan tüm üçgenlerden iki tanesi rastgele seçilirse ikisinin de bir tabanının [AB] olma olasılığı kaçtır? 5. Duru, Ecem ve Gizem in sınıflarını geçme olasılıkları sırasıyla, ve tür. Üçünden en az 3 5 4 birinin sınıfını geçme olasılığı kaçtır? 3. 4 futbolcu ve 6 basketbolcunun bulunduğu bir sporcu grubunda futbolcuların 6 sı, basketbolcuların 4 ü yeşil gözlüdür. Bu gruptan rastgele alınan birinin futbolcu veya yeşil gözlü olma olasılığı kaçtır? 6. 5 elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinden rastgele tanesi seçildiğinde birinin elemanlı diğerinin 3 elemanlı olma olasılığı kaçtır? 59
7. Bir torbada eşit sayıda sarı ve mavi bilyeler vardır. Bu torbadan geri konulmamak üzere, art arda çekilen iki bilyenin de mavi olma olasılığı 9. Ortalaması 50 ve standart sapması 6 olan bir öğrenci notu grubunda, notu 68 olan bir öğrencinin standart z notu kaçtır? 5 ise torbada kaç bilye vardır? 8. Aritmetik Ort. ( x ) Mod Matematik 77 75 Geometri 60 70 Edebiyat 80 90 0. Aşağıdaki grafik, bir şirketin 008, 009, 00 ve 0 yıllarında giyim ve gıda alanında yaptığı ihracat tutarlarını göstermektedir. Bin TL Giyim Gıda Medyan 80 70 70 400 Standart Sapma ( s ) 6 4 Bir sınıfa uygulanan üç dersle ilgili istatistikler yukarıdaki tabloda verilmiştir. Bu sınıftaki bir öğrenci matematikten 80, geometriden 7 ve edebiyattan 84 aldığına göre, bu öğrencinin standart z puanları arasındaki sıralama nedir? 00 50 0 008 009 00 0 Yıl Buna göre, bu şirketin yıllara göre toplam ihracatının daire grafiğiyle gösterimini yapınız. 59
TEST - Veri Sayma.,, 3, 4, 5,,, 3 5. veri grubunun aritmetik ortalaması kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 7 Linyit Kok Taflkömürü Bir ülkede üretilen kömür miktarlarının cinslerine göre oranları yukarıdaki grafikte verilmiştir.. 0 sayının aritmetik ortalaması dir. Bu sayıların herbirinden çıkarılırsa yeni aritmetik ortalama kaç olur? A) 8 B) 9 C) 0 D) Yalnızca bu grafikten yararlanarak aşağıdaki bilgilerden hangisine kesinlikle ulaşılabilir? A) Üretim miktarı az olduğu için en pahalı kömür koktur. B) Linyit üretim miktarı, toplam kömür üretim miktarının yarısından azdır. C) Bu ülkedeki kömür üretiminde taşkömürünün maddi değeri en yüksektir. D) Kok ve taşkömürü üretim miktarları toplamı, linyit üretim miktarından azdır. Kok kömürünün elde edilmesi daha masraflı bir süreçtir. 3. 4, 3, 3,, 5, 6, 6, 5, 8 veri grubunun ortancası kaçtır? A) B) 3 C) 4 D) 5 6 6. 0 8 6 4 Ö renci say s 0 50-55 56-6 6-67 68-73 74-79 80-85 A rl k (kg) 4. 8, 4, 5, 0, 8, 3, 6 veri grubunun çeyrekler açıklığı kaçtır? A) B) 3 C) 4 D) 5 6 Yukarıdaki grafikte C sınıfındaki öğrencilerin ağırlıkları gösterilmiştir. 68-73 kg aralığında kalan öğrenci sayısı, tüm sınıfın % 0 u olduğuna göre, sınıfın mevcudu kaç kişidir? A) 36 B) 38 C) 40 D) 4 44 593
7. Bir sınıfta bulunan 5 öğrenciye ayakkabı numaraları sorulmuş ve aşağıdaki çetele elde edilmiş- 0. 40 Nüfus (milyon kifli) Kad n Erkek tir. 30 38 : 0 39 : 40 : 4 : 0 0 995 000 005 00 Y llar Bu veriler için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Tepe değeri 4 dir. B) Ortancası 40 tır. C) Aritmetik ortalaması 40 tan küçüktür. D) Açıklığı dir. Alt çeyrek değeri 39 dur. Grafikte bir ülkedeki kadın-erkek nüfusunun 4 nüfus sayımına göre değişimi gösterilmiştir. I. 000 yılı sayımında erkek nüfusu bir önceki sayıma göre artmamıştır. II. Toplam nüfustaki artış oranı en yüksek 000-005 yılları arasında olmuştur. III. Kadın sayısı, erkek sayısını hiç geçmemiştir. IV. 00 yılındaki kadın / erkek sayıları oranı 995 yılındaki orana eşittir. Yukarıdaki ifadelerin Doğru(D) ve Yanlış(Y) olarak sıralaması aşağıdakilerden hangisidir? 8. A) D D D Y B) D Y D Y C) D Y D D D) Y Y D Y D D D D 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 Yukarıda kutu grafiği verilen, veri gurubu aşağıdakilerden hangisi olabilir? A), 3, 4, 5, 6, 8, 0, 4 B),, 4, 5, 6, 8,, 4 C),, 4, 5, 6, 8, 0, 4 D),, 4, 5, 5, 8, 0, 4, 3, 4, 5, 5, 8, 0, 0. Bir işyerinde çalışan 8 kişi A ve B diye iki gruba ayrılmıştır. Bu kişilerin isimleri ve maaşlarını gösteren tablo aşağıda gösterilmiştir. A grubu Maaş (TL) Hülya.800 Ümit.600 İlhami 3.00 Turan.600 B grubu Maaş (TL) Derya.400 Selma.800 Fatma.500 Soner.00 9. 6, 4, 8 veri grubunun standart sapması kaçtır? A) B) v C) D) v5 3 A ve B gruplarındaki hangi iki kişi yer değiştirirse gruplardaki maaşların ortalaması eşit olur? A) İlhami ile Soner B) Turan ile Derya C) Hülya ile Derya D) İlhami ile Selma Turan ile Selma 594
TEST - 3 Veri Sayma. Aşağıdakilerden kaç tanesi merkezi eğilim ölçüsüdür? 4. I. Açıklık II. Aritmetik ortalama III. Ortanca IV. Standart sapma V. Tepe değeri A) B) C) 3 D) 4 5. 0 kişilik bir öğrenci grubundaki her bir öğrencinin ağırlığı (kg) 0 40 80 0 60 00 40 80 30 Yukarıdaki grafikte bir veri grubuna ait kutu grafiği verilmiştir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) En küçük değer 40 tır. B) Ortanca 60 tır. C) Açıklığı 80 dir. D) Üst çeyrek değeri 80 dir. Çeyrekler açıklığı 60 tır. 7, 56, 68, 64, 54, 68, 55, 65, 6, 73 olarak belirlenmiştir. bu veri grubuna göre, aşağıdakilerden hangileri doğrudur? I. Alt çeyrek değeri 56 dır. II. Ortanca değeri 64,5 tir. III. Açıklık 9 dur. IV. Tepe değeri 73 tür. A) Yalnız II B) I, II, IV C) I, II, III D) II, III, IV I, II 5. 00 80 60 40 Para (bin TL) Gelir Gider 0 3. Hız (m/s) A B 4 8 4 0 0 Zaman (s) Şekilde A ve B araçlarına ait hız-zaman grafiği verilmiştir. Kaçıncı saniyede hızları farkı 0 m/s olur? A) 40 B) 35 C) 30 D) 5 0 0 Y llar 005 006 007 008 009 00 Aşağıdaki grafikte bir işletmenin 005-00 yılları arasındaki gelir-gider durumları gösterilmiştir. Buna göre, bu işletme için aşağıda verilen bilgilerden hangisi yanlıştır? A) 008 yılında kâr etmemiştir. B) En yüksek kârı 00 yılında yapmıştır. C) 006 yılında, 005 e göre geliri artmamış fakat kârı artmıştır. D) 008-009 arasında zarar etmiştir. Bu yıllar içindeki toplam kârı 40 bin TL dir. 597
6. A r B r C O r D r E 8. Sıcaklık ( C) 6 4 3 A B C D E ) Şekilde BCD, O merkezli yarım çemberdir. A noktasından harekete başlayarak, A B C D noktalarından E noktasına gelen hareketlinin, hareketi süresince O noktasına uzaklığını gösteren grafik aşağıdakilerden hangisidir? A) 3r r r X t B) X 3r r r t 0 3 4 5 6 7 Günler Ankara da Mart ayının ilk haftasına ait günlük hava sıcaklıkları grafikte gösterilmiştir. Bu haftaya ait hava sıcaklığı ortalaması 3 C olduğuna göre, grafik 7. gün hangi noktadan geçer? A) A B) B C) C D) D E C) 3r r r X D) 3r r r X 9. Yandaki silindirik tankın altta bulunan silindirinin yarıçapı r, yüksekliği h A h 3r r r X t t t tır. Üstteki silindirinin ise r yarıçapı r, yüksekliği h tır. Sabit debili A musluğu açıldıktan sonra tanktaki r su seviyesini zamana karşı gösteren grafik aşağıdakilerden hangisidir? h A) Su seviyesi (m) h B) h Su seviyesi (m) 7. 0 öğrencinin katıldığı. YGS deneme sınavında öğrencilerin matematik netlerinden oluşan tablo aşağıda verilmiştir. Matematik Netleri Öğrenci Sayısı 0 0 0 0 0 30 60 3 40 30 Bu verilerle oluşturulan dairesel grafikte, 3-40 net yapan öğrenci sayısına karşılık gelen daire diliminin merkez açısının ölçüsü kaç derecedir? A) 30 B) 36 C) 60 D) 90 08 C) h h t t 3t 4t 5t t t 3t 4t 5t Zaman (dk) Zaman (dk) Su seviyesi (m) D) h h h h t t 3t 4t 5t t t 3t 4t 5t Zaman (dk) Zaman (dk) Su seviyesi (m) h h t t 3t 4t 5t Zaman (dk) Su seviyesi (m) 598
TEST - 4 Olasılık. A = {,, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin elemanlarından biri rastgele seçilirse bunun asal sayı olma olasılığı kaç olur? 5 4 3 A) B) C) D) 7 7 7 7 7 5. 4 madeni para aynı anda atıldığında 3 ünün yazı, birinin tura gelme olasılığı kaçtır? A) B) C) 3 D) 4 8 8 6 3 6 6. A = {,, 3, 4, 5}. Bir tavla zarı atıldığında üste gelen sayının 3 ten büyük olma olasılığı kaçtır? 5 A) B) C) D) 6 3 3 6 kümesinin alt kümelerinden biri rastgele seçildiğinde bu kümenin elemanları arasında "" in bulunma olasılığı kaç olur? A) B) C) D) 3 6 8 4 3. Bir para iki kez üst üste atıldığında birinin yazı diğerinin tura gelme olasılığı kaç olur? 3 4 A) B) C) D) 4 3 4 5 7. ÖNDER sözcüğündeki harflerin yerleri değiştirilerek oluşturulan 5 harfli sözcüklerden biri rastgele seçildiğinde bu sözcüğün D harfiyle başlama olasılığı kaçtır? A) B) C) D) 5 5 6 8 4. İçinde kırmızı 3 beyaz bilye bulunan bir torbadan bir çekilişte bilye çekme deneyinde örnek uzay kaç elemanlıdır? A) 6 B) 8 C) 9 D) 0 8. Bir torbada üzerinde den 0 a kadar numaralar bulunan 0 top vardır. Bu torbadan seçilecek üç topun üzerindeki sayıların toplamının çift olma olasılığı nedir? A) B) C) D) 3 3 4 5 599
9. E örnek uzayında iki olay A ve B olsun. P(A) =, P (B) = 4 3 ve P(A B) = ise P(A B) kaçtır? A) 3 5 B) C) 7 D) 3 3. Bir torbadaki özdeş bilyelerin 9 tanesi beyaz, 6 tanesi kırmızı, 7 tanesi mavi, 0 tanesi sarıdır. Bu torbadan en az kaç bilye alınmalıdır ki kalan bilyelerin renklerine göre çekilme olasılıkları eşit olsun? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 0 0. 40 mevcutlu bir sınıftaki öğrencilerin 4 tanesi matematikten, 0 tanesi kimyadan başarılı olmuştur. 0 öğrenci de hem matematik hem de kimyadan başarılı ise rastgele seçilen öğrencinin matematik veya kimyadan başarılı olması olasılığı kaçtır? A) 3 B) 7 C) 4 D) 3 0 0 5 5 5 4. 4 kişilik bir sınıfta 0 kız öğrenci vardır. Kızların 4 ü erkeklerin 6 sı gözlüklüdür. Bu sınıftan rastgele bir kişi seçildiğinde kız veya gözlüklü olma olasılığı kaçtır? A) 3 B) C) D) 4 3 5 3 4 5. Bir yarışı A nın kazanma olasılığı 5. Bir sınıfta 5 siyah 4 kırmızı 3 beyaz elbiseli öğrenci vardır. Rastgele seçilen iki öğrencinin ikisinin de kırmızı elbiseli olma olasılığı nedir? A) B) C) D) 5 6 7 0 B nin kazanmama olasılığı tür. 3 A ve B den sadece birinin kazanma olasılığı kaçtır? A) B) 7 C) 8 D) 3 5 5 5 5 3. Bir çember üzerinde bulunan 5 nokta ile oluşturulmuş, çokgenlerden biri rastgele seçildiğinde bunun üçgen olma olasılığı kaçtır? A) B) 5 C) 3 D) 4 7 8 4 5 8 6. Kız ve erkeklerden oluşan 7 kişilik bir grup yanyana bir sıraya oturduğunda kızların bir araya gelme olasılığı ise bu grupta kaç erkek vardır? 7 A) B) 3 C) 4 D) 5 6 600
TEST - 6 Olasılık. Üç madeni para atıldığında en çok ikisinin yazı gelme olasılığı kaç olur? 7 3 A) B) C) D) 8 8 4 8 5. 36 kişilik bir sporcu grubunda 5 kişi futbol veya basketbol oynuyor. 0 kişi futbol, 4 kişi her iki oyunu oynamaktadır. Rastgele seçilen bir sporcunun basketbol oynuyor olması olasılığı kaçtır? A) B) C) D) 5 4 3 3. Bir çift zar atıldığında üste gelen sayıların toplamının 8 olma olasılığı kaçtır? 5 5 A) B) C) D) 36 6 9 4 8 6. 5 kız ve 4 erkek öğrencinin bulunduğu bir grupta 3 ve 4 kişilik iki ayrı grup oluşturulacaktır. Gruplarda kızların ve erkeklerin bir araya gelmeme olasılığı kaçtır? A) B) C) 7 D) 3 4 4 4 4 4 3. mavi, 3 kırmızı bilyenin bulunduğu bir torbadan iki bilye alındığında ikisininde kırmızı olma olasılığı kaçtır? 3 3 A) B) C) D) 5 0 5 5 7. 334 sayısının rakamları ile oluşturulan 6 basamaklı sayılardan bir tanesi rastgele seçilirse bu sayının ile başlayıp 4 ile bitme olasılığı kaç olur? A) B) 3 C) D) 5 0 5 0 5 4. A = {,, 3, 4, 5, 6} kümesinin alt kümelerinden biri rastgele alındığında bunun 3 elemanlı bir küme olma olasılığı kaç olur? 3 5 3 7 A) B) C) D) 6 4 6 8 6 8. A = {x : 0 < x < 00, x N} kümesinin elemanları olan sayıların herbirinin rakamları tek tek kesilerek birer karta yazılıyor. Bu kartlardan rastgele biri alındığında kartın üstünde yazan sayının 5 olma olasılığı kaçtır? A) 4 B) 7 C) 4 D) 7 89 89 63 6 0 89 603
9. Bir torbada 6 kırmızı ve 4 beyaz bilye vardır. Torbadan rastgele seçilen 4 bilyeden en az birinin kırmızı olma olasılığı kaçtır? A) 39 B) 03 C) 03 D) 04 09 0 0 05 05 0 3. Bir atıcı hedefe arka arkaya üç atış yapacaktır. I. atışında hedefi vurma olasılığı % 5 II. atışında hedefi vurma olasılığı % 40 III. atışında hedefi vurma olasılığı % x Bu atıcının hedefi üçünde de vurmama olasılığı 9 olduğuna göre x kaçtır? 5 A) 0 B) 8 C) 0 D) 4 30 0. Bir kapıyı açmak için denenen 5 anahtardan yalnız biri bu kapıyı açabilmektedir. Anahtarlar sırayla denerek kapı açılmaya çalışılırsa en çok 4. A B C D E F ikinci denemede kapının açılması olasılığı kaçtır? A) 9 B) 4 C) 3 D) 5 5 5 5 5. Ali ve Barış bir madeni para ile oyun oynuyorlar. K Şekildeki yarım çemberin çapı [ AF] dir. L Verilen noktalardan rastgele seçilen üç noktanın bir üçgenin köşeleri olma olasılığı nedir? A) 4 B) 37 C) D) 6 9 4 4 4 4 M Tura atan oyunu kazanacaktır. Parayı ilk kez Ali atacağına göre, oyunu Barış ın kazanma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) 3 3 4 8 5. D C A B. den 00 e kadar ( ve 00 dahil) olan sayılar arasından seçilen iki sayıdan birinin diğerinin iki katı olması olasılığı kaçtır? A) B) C) 3 D) 4 5 9 99 5 7 8 Üsteki şekilde alanı br olan 5 tane kare vardır. Buna göre, şekilde oluşan dikdörtgenler içinden rastgele birisi boyanırsa, bu boyalı dikdörtgenin kare olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) 4 3 5 9 45 5 45 604
Üniversiteye Giriş Sınav Soruları. 990 ÖYS A B C D E Şekildeki A, B, C, D, E noktaları bir doğru ve ayrıca C, D noktaları bir çember üzerindedir. Bu noktalardan seçilecek olan herhangi iki noktadan yalnız birinin çembere ait olma olasılığı kaçtır? 4. 998 ÖYS Bir torbada tane mavi, 5 tane yeşil mendil vardır. Bu torbadan, geri atılmamak koşulu ile iki kez birer mendil çekiliyor. Bu iki çekilişin birincisinde mavi, ikincisinde de yeşil mendil çekme olasılığı kaçtır? A) 70 B) 0 C) 0 D) 0 49 45 5 A) B) C) 3 D) 5 3 5 5 6 7 0 5. 999 ÖSS. 99 ÖYS Bir torbada beyaz, 4 siyah ve 6 mavi bilye vardır. Aynı anda çekilen bilyeden birinin beyaz öbürünün siyah olma olasılığı kaçtır? Bir düzgün dörtyüzlünün (bütün yüzleri eşkenar üçgen olan üçgen piramit) iki yüzünde A, iki yüzünde de T harfleri yazılıdır. Bu düzgün dörtyüzlü bir kez atıldığında yan yüzlerinde, sırasına ve yönüne bakılmaksızın A, T, A harflerinin görülme olasılığı kaçtır? A) B) C) D) 4 6 33 5 33 A) B) C) D) 3 3 3 4 4 3. 995 ÖYS Bir torbada 6 beyaz, 4 siyah bilye vardır. Bu torbadan rasgele çekilen 3 bilyeden birinin beyaz, diğer ikisinin siyah olma olasılığı kaçtır? A) 3 B) 3 C) 4 D) 5 0 9 5 4 5 3 6. 007 ÖSS A = {,, 0, } B = {, 0,,, 3, 4} kümeleri veriliyor. A x B kartezyen çarpımından alınan bir elemanın ( a, a) biçiminde olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) 4 6 8 5 4 605