GENELLEŞTİRİLMİŞ BERNOULLİ, EULER VE GENOCCHİ POLİNOMLARI. Esra GÜLDOĞAN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

Transkript

1 GENELLEŞTİRİLMİŞ BERNOULLİ, EULER VE GENOCCHİ POLİNOMLARI Esra GÜLDOĞAN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MAYIS 2015

2 Esra GÜLDOĞAN tarafından hazırlanan GENELLEŞTİRİLMİŞ BERNOULLI, EULER VE GENOCCHI POLİNOMLARI adlı tez çalışması aşağıdaki jüri tarafından OY BİRLİĞİ ile Gazi Üniversitesi Matematik Anabilim Dalında YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir. Danışman: Doç. Dr. Esra ERKUŞ DUMAN Matematik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum.... Başkan : Prof. Dr. Fatma AYAZ Matematik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum... Üye : Prof. Dr. Nuri ÖZALP Uygulamalı Matematik Anabilim Dalı, Ankara Üniversitesi Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum... Tez Savunma Tarihi: 14/05/2015 Jüri tarafından kabul edilen bu tezin Yüksek Lisans Tezi olması için gerekli şartları yerine getirdiğini onaylıyorum... Prof. Dr. Şeref SAĞIROĞLU Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü

3 ETİK BEYAN Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Tez Yazım Kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez çalışmasında; Tez içinde sunduğum verileri, bilgileri ve dokümanları akademik ve etik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi, Tüm bilgi, belge, değerlendirme ve sonuçları bilimsel etik ve ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu, Tez çalışmasında yararlandığım eserlerin tümüne uygun atıfta bulunarak kaynak gösterdiğimi, Kullanılan verilerde herhangi bir değişiklik yapmadığımı, Bu tezde sunduğum çalışmanın özgün olduğunu, bildirir, aksi bir durumda aleyhime doğabilecek tüm hak kayıplarını kabullendiğimi beyan ederim. Esra GÜLDOĞAN 20/05/2015

4 iv GENELLEŞTİRİLMİŞ BERNOULLİ, EULER VE GENOCCHİ POLİNOMLARI (Yüksek Lisans Tezi) Esra GÜLDOĞAN GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Mayıs 2015 ÖZET Bu tezde, Bernoulli, Euler ve Genocchi polinomları incelenmiştir. Öncelikle, bilinen ve bu çalışmada kullanılacak olan tanımlar, lemmalar ve teoremler verilmiştir. Genelleştirilmiş Euler, genelleştirilmiş Bernoulli polinomları ve Bernoulli, Euler ve Genocchi polinomlarının bir birleşimi olan genel bir polinom tanıtılmış ve bazı özellikleri incelenmiştir. Daha sonra, polinomlar için multilineer ve multilateral doğurucu fonksiyonlar veren teoremler elde edilmiştir. Son olarak özel durumlar verilmiş ve bu polinomlar için yeni rekürans bağıntıları bulunmuştur. Bilim Kodu : Anahtar Kelimeler : Bernoulli polinomları, Euler polinomları, Genocchi polinomları doğurucu fonksiyon, rekürans bağıntısı Sayfa Adedi : 73 Danışman : Doç. Dr. Esra ERKUŞ DUMAN

5 v GENERATING FUNCTIONS FOR BERNOULLI, EULER AND GENOCCHI POLYNOMIALS (M. Sc. Thesis) Esra GÜLDOĞAN GAZİ UNIVERSITY GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES May 2015 ABSTRACT In this thesis, Bernoulli, Euler and Genocchi polynomials are investigated. First of all, some known definitions, lemmas and theorems used in this study are given. Generalized Euler, generalized Bernoulli polynomials and a unification polynomial of Bernoulli, Euler and Genocchi polynomials are introduced and some properties of them are derived. Later, we obtain some theorems including multilinear and multilateral generating functions for these polynomials. Finally, we discuss some special cases and get new recurrence relations for these polynomials. Science Code : Key Words : Bernoulli polynomials, Euler polynomials, Genocchi polynomials, generating function, recurrence relation Page Number : 73 Supervisor : Assoc. Prof. Dr. Esra ERKUŞ DUMAN

6 vi TEŞEKKÜR Yüksek lisans ve tez hazırlama sürecimde bana yol gösteren, desteğini hiç esirgemeyen, her zaman ve her konuda yanımda olduğunu hissettiren çok değerli hocam Doç. Dr. Esra ERKUŞ DUMAN a ve maddi manevi desteklerini her zaman gördüğüm aileme sonsuz teşekkürler.

7 vii İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET... ABSTRACT... TEŞEKKÜR... İÇİNDEKİLER... SİMGELER VE KISALTMALAR... iv v vi vii xi 1. GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR Pochhammer Sembolü İkinci Çeşit Stirling Sayıları Hipergeometrik Fonksiyon Doğurucu Fonksiyon Bilineer Doğurucu Fonksiyon Bilateral Doğurucu Fonksiyon Bazı Temel Lemmalar GENELLEŞTİRİLMİŞ EULER POLİNOMLARI Klasik Euler Polinomları Klasik Euler polinomları için açık bir formül Klasik Euler polinomları için toplam formülü Klasik Euler polinomları için bazı diğer bağıntılar Klasik Euler Sayıları Klasik Euler sayıları için açık bir formül Klasik Euler sayıları için bazı diğer bağıntılar Euler Polinomları... 14

8 viii Sayfa Euler polinomları için açık bir formül Euler polinomları için toplam formülü Euler polinomları için bazı diğer bağıntılar Euler Sayıları Euler sayıları için açık bir formül Apostol-Euler Polinomları Apostol-Euler polinomları için açık bir formül Apostol-Euler Sayıları Apostol-Euler sayıları için açık bir formül Genişletilmiş Apostol-Euler Polinomları Genişletilmiş Apostol-Euler polinomları için açık bir formül Genişletilmiş Apostol-Euler polinomları için toplam formülü Genişletilmiş Apostol-Euler polinomları için bazı diğer bağıntılar Genişletilmiş Apostol-Euler Sayıları Genişletilmiş Apostol-Euler sayıları için açık bir formül Genelleştirilmiş Euler Polinomları Genelleştirilmiş Euler polinomları için açık bir formül Genelleştirilmiş Euler polinomları için toplam formülü Genelleştirilmiş Euler polinomları için bazı diğer bağıntılar GENELLEŞTİRİLMİŞ BERNOULLI POLİNOMLARI Klasik Bernoulli Polinomları Klasik Bernoulli polinomları için açık bir formül Klasik Bernoulli polinomları için toplam formülü Klasik Bernoulli polinomu için bazı diğer bağıntılar... 30

9 ix Sayfa 4.2. Klasik Bernoulli Sayıları Klasik Bernoulli polinomları için açık bir formül Klasik Bernoulli polinomları ve klasik Bernoulli sayıları arasındaki ilişki Bernoulli Polinomları Bernoulli polinomları için açık bir formül Bernoulli polinomları için toplam formülü Bernoulli polinomları için bazı diğer bağıntılar Bernoulli Sayıları Bernoulli sayıları için açık bir formül Apostol-Bernoulli Polinomları Apostol-Bernoulli polinomları için açık bir formül Apostol-Bernoulli polinomları için bazı diğer bağıntılar Apostol-Bernoulli Sayıları Apostol-Bernoulli sayıları için açık bir formül Genişletilmiş Apostol-Bernoulli Polinomları Genişletilmiş Apostol-Bernoulli polinomları için açık bir formül Genişletilmiş Apostol-Bernoulli polinomları için toplam formülü Genişletilmiş Apostol-Bernoulli polinomları için bazı diğer bağıntılar Genişletilmiş Apostol-Bernoulli Sayıları Genişletilmiş Apostol-Bernoulli sayıları için açık bir formül Genelleştirilmiş Bernoulli Polinomları Genelleştirilmiş Bernoulli polinomları için açık bir formül Genelleştirilmiş Bernoulli polinomları için toplam formülü... 42

10 x Sayfa 5. BERNOULLI, EULER VE GENOCCHI POLİNOMLARININ BİR BİRLEŞİMİ Bernoulli, Euler ve Genocchi Polinomlarının Bir Birleşimi İçin Doğurucu Fonksiyon Bernoulli, Euler ve Genocchi Polinomlarının Bir Birleşimi İçin Özel Durumlar Bernoulli, Euler ve Genocchi Polinomlarının Bir Birleşimi İçin Çarpım Formülü MULTİLİNEER VE MULTİLATERAL DOĞURUCU FONKSİYONLAR Bilineer ve Bilateral Doğurucu Fonksiyonlar Özel Durumlar Diğer Bazı Özellikler SONUÇ VE ÖNERİLER KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ... 73

11 xi SİMGELER VE KISALTMALAR Bu çalışmada kullanılmış bazı simgeler ve kısaltmalar açıklamaları ile birlikte aşağıda sunulmuştur. Simgeler Açıklamalar Pochhammer sembolü Gamma fonksiyonu İkinci çeşit Stirling sayıları 2 Hipergeometrik fonksiyon Fark operatörü n yinci basamaktan kesirli türev operatörü Klasik Euler polinomları Klasik Euler sayıları Klasik Bernoulli polinomları Klasik Bernoulli sayıları Euler polinomları Euler sayıları Bernoulli polinomları Bernoulli sayıları Apostol-Euler polinomları Apostol-Euler sayıları Apostol-Bernoulli polinomları Apostol-Bernoulli sayıları Apostol-Genocchi polinomları -Genişletilmiş Apostol-Euler polinomları -Genişletilmiş Apostol-Euler sayıları -Genişletilmiş Apostol-Bernoulli polinomları -Genişletilmiş Apostol-Bernoulli sayıları Genelleştirilmiş Euler polinomları Genelleştirilmiş Bernoulli polinomları

12 xii Simgeler Açıklamalar Bernoulli, Euler ve Genocchi polinomlarının bir birleşimi Bernoulli, Euler ve Genocchi sayılarının birleşimi Bernoulli, Euler ve Genocchi polinomlarının bir birleşimi Legendre polinomları Birinci çeşit Chebyshev polinomları

13 1 1. GİRİŞ Euler polinomları, Bernoulli polinomları ile birlikte İsviçreli matematikçi Leonhard Euler ( ) tarafından tanımlanmıştır. Srivastava ve Choi, Euler polinomları ve sayıları üzerine çalışmalar yapmıştır [27]. Daha sonra Qiu-Ming Luo, klasik Euler sayıları ve polinomları için yeni bağıntılar vermiştir [11]. Ayrıca Cheon, klasik Euler polinomları için bilinen birçok özellik ve bağıntıyı türetmiştir [20]. T. M. Apostol, bu polinomları geliştirerek Apostol-Euler polinomlarını tanımlamış ve onların genişletmelerini vermiştir. Roman ise daha da geliştirerek Euler polinomlarının bir genellemesini tanımlamıştır. Jacques Bernoulli, klasik Bernoulli sayıları ve polinomları üzerine çalışmıştır [1]. Daniel Bernoulli ( ) nin ise akışkan dinamiği üzerine çalıştığı bilinmektedir. Ayrıca Cheon, klasik Bernoulli polinomları için de bilinen birçok özellik ve bağıntıyı türetmiştir [20]. Klasik Bernoulli polinomları ve sayılarının bazı genellemeleri sırayla Apostol, Srivastava ve Luo tarafından araştırılmıştır [2, 7, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 24, 26]. Klasik Bernoulli sayıları ve polinomlarının benzer tanımları Lipchitz-Lerch Zeta fonksiyonları üzerinde çalışan T. M. Apostol tarafından verilmiştir [7]. Apostol-Bernoulli olarak adlandırılan bu polinomlar sonraları Srivastava tarafından çalışılmış, Apostol-Bernoulli polinomlarının bazı genellemeleri de Luo ve Srivastava tarafından araştırılmıştır [9, 18]. Daha sonra Carlitz, -genişletilmiş Apostol-Bernoulli polinomlarını tanımlamıştır [21]. Ayrıca Luo, Apostol tipinden polinomlar arasında bazı bağıntılar araştırmaya başlamıştır [10]. Böylece Luo ve Srivastava bir araya gelerek -genişletilmiş Apostol-Euler ve Apostol-Bernoulli polinomlarını ortaya koymuşlar ve bu polinomları sistemli bir şekilde çalışarak sonuç olarak Apostol tipinden polinomların çarpım formüllerini ve Apostol-Euler polinomlarının rekürans bağıntılarını vermişlerdir [8-10, 12, 18]. T. M. Apostol ise Apostol-Bernoulli polinomlarının rekürans bağıntılarını türetmiştir [7]. Arkasından Srivastava ve Pinter, Euler ve Bernoulli polinomları için başka toplam formüllerini elde etmiştir. Bunlara ek olarak, Euler ve Bernoulli polinomları için toplam teoremi de Srivastava tarafından araştırılmıştır [6, 28, 66].

14 2 Diğer taraftan Srivastava ve Pinter, Cheon un çalışmalarını takip etmiş, genelleştirilmiş Bernoulli ve genelleştirilmiş Euler polinomları için iki bağıntı elde etmiştir [13, 20]. Sonraları Luo ve Srivastava, Srivastava ve Pinter ın yaptığı çalışmalardan yararlanarak Apostol-Bernoulli ve Apostol-Euler polinomlarının genellemesini yapmışlardır [10, 13]. Ayrıca W. Wang, C. Jia ve T. Wang, Bernoulli ve Euler polinomlarının matris gösterimleri arasında iki bağıntı vermişlerdir [19, 45]. Üstelik, bu polinomların doğurucu fonksiyonlarını ve serilerini tekrar düzenlemişlerdir. Sonuç olarak, genelleştirilmiş Bernoulli ve Euler polinomları için genel bağıntılar Luo-Srivastava, Cheon, W. Wang-T. Wang ve Srivastava-Pinter ın çalışmalarında bulunabilir [10, 13, 19, 20]. İlk olarak Carlitz klasik Bernoulli ve Euler sayıları ve polinomlarını genişletip q-bernoulli ve q-euler sayıları ve polinomları üzerine çalışmıştır [29-31]. Ayrıca Carlitz, Bernoulli ve Euler polinomlarının Raabe tipinden çarpım formüllerinin bir genellemesini vermiştir [17]. Daha sonra Karande ve Thakare bu formülleri, Bernoulli, Euler ve Genocchi polinomlarının birleşimi olan polinomlar için de genişletmiştir [14]. Bernoulli, Euler ve Genocchi polinomlarının birleşimi olan polinom, Karande ve Thakare tarafından tanımlanmıştır [14]. Bernoulli, Euler, Genocchi polinomlarının ve aynı zamanda Apostol-Bernoulli, Apostol-Euler ve Apostol-Genocchi polinomlarının da birleşimi olan bu polinom, Srivastava, Karande ve Thakare, Özden, Kim, Luo ve Şimşek in önceki birçok araştırmasında düşünülmüştür [9, 13, 14, 18, 24, 25, 32-40]. Bu tezde, Bernoulli, Euler ve Genocchi polinomları incelenmiştir. Bu polinomların genellemeleri için bilineer, bilateral doğurucu fonksiyonları veren teoremler elde edilmiştir. Bu teoremler kullanılarak bazı doğurucu fonksiyon bağıntıları ve arkasından bu polinomların türev içeren ve türev içermeyen rekürans bağıntıları elde edilmiştir.

15 3 2. TEMEL KAVRAMLAR 2.1. Pochhammer Sembolü Pochhammer sembolü, reel ya da kompleks bir sayı, sıfır ya da pozitif bir tamsayı olmak üzere, olarak tanımlanır İkinci Çeşit Stirling Sayıları İkinci çeşit Stirling sayıları, ( ) şeklinde tanımlanmaktadır. Genelleştirilmiş Stirling sayıları, ( ) olarak yazılabilir ve şeklindeki doğurucu fonksiyon bağıntısına sahiptir [45]. Ayrıca olmak üzere ikinci çeşit Stirling sayıları, aşağıdaki bağıntıları sağlar: ( )

16 Hipergeometrik Fonksiyon, β ve γ reel ya da kompleks sabitler olmak üzere β β şeklinde tanımlanan hipergeometrik seri literatürde β ile gösterilir ve bu fonksiyona hipergeometrik fonksiyon denir. Genelleştirilmiş hipergeometrik seri, ( ) ( ) ( ) ile tanımlanır Doğurucu Fonksiyon İki değişkenli bir fonksiyonu nin kuvvetleri cinsinden şeklinde bir seriye açılabiliyorsa fonksiyonuna { } fonksiyonlar ailesinin bir doğurucu fonksiyonu denir. Burada ler ve den bağımsız nin bir fonksiyonu olup değişik parametreler içerebilirler Bilineer Doğurucu Fonksiyon Eğer üç değişkenli fonksiyonu, nin kuvvetlerine göre şeklinde bir seriye açılabiliyorsa fonksiyonuna fonksiyonları için bilineer doğurucu fonksiyon denir Bilateral Doğurucu Fonksiyon Eğer üç değişkenli fonksiyonu, nin kuvvetlerine göre

17 5 şeklinde bir seriye açılabiliyorsa fonksiyonuna ve fonksiyonları için bilateral doğurucu fonksiyon denir Bazı Temel Lemmalar 2.1. Lemma İspat Uygunluk için sonraları seçilecek şekilde serisini düşünelim. yerine yazılacağından Eş. 2.5 deki ve indisleri, olmak üzere yeni ve indisleri tanımlayalım. Eş. 2.5 de ve olup Eş. 2.6 sebebiyle veya yazılır. Böylece olup, 0 dan ye kadar değişen tamsayılardır. Bu durumda, [ ] bağıntısına ulaşılır. Böylece Eş. 2.7 de ve sağ taraftaki ve indisleri yerine ve alınarak ispat tamamlanır.

18 Lemma İspat Lemma 2.1 de alınırsa ispat tamamlanır Lemma ve için, ( ) ( ) ( ) ( ) sağlanır. İspat ( ) ( ) ( ) ( ) 2.4. Lemma ve olmak üzere, [ ] bağıntısı sağlanır. İspat β için β olduğundan β β

19 7 [ ] ( ) yazılır [47]. Şimdi dönüşümü yapılırsa, ve { olacağından, [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) bulunur Lemma olmak üzere, dir [47].

20 8 İspat ise, yazılır. Eğer ise dir. Ayrıca, ve, sıfır veya negatif olmayan bir tamsayı ise, bulunur.

21 9 3. GENELLEŞTİRİLMİŞ EULER POLİNOMLARI 3.1. Klasik Euler Polinomları Klasik Euler polinomları ile gösterilir ve şeklindeki doğurucu fonksiyon bağıntısı yardımıyla tanımlanır [13, 20, 42] Klasik Euler polinomları için açık bir formül 3.1. Teorem Eş. 3.1 ile tanımlanan klasik Euler polinomları, ( ) ( ) şeklinde açık bir formüle sahiptir [42]. İspat Taylor açılımı ve Leibnitz kuralı yardımıyla Eş. 3.1 den, ( ) {( )} elde edilir. olup burada, yerine alınırsa binom teoremi de uygulanarak Eş. 3.3 den ( ) { } bulunur. fark operatörü,

22 10 şeklinde tanımlanır ve genel hali ( ) bağıntısı ile ifade edilir [42]. Ayrıca operatörü, ( ) şeklindeki bağıntıyı sağlar. Eş. 2.1 ve Eş. 2.2 den, { } elde edilir ve Eş. 3.5 de bu değer yerine yazılarak, ( ) veya ( ) ( ) bulunur. Ayrıca Eş. 3.6 da alınıp yerine yazılırsa, ( ) ( ) [ ] elde edilir. Son olarak [ ] ifadesi yerine yazılırsa, Eş. 3.2 bağıntısına ulaşılır. Klasik Euler polinomlarından ilk birkaçı şu şekildedir:

23 11 [43]. Eş. 3.2 de alınırsa, ve alınırsa, ( ) ( ) elde edilir Klasik Euler polinomları için toplam formülü 3.2. Teorem Eş. 3.1 ile tanımlanan klasik Euler polinomları, ( ) şeklindeki toplam formülünü sağlar [13]. İspat Binom teoremi ve Lemma 2.3 kullanılarak, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

24 12 elde edilir Klasik Euler polinomları için bazı diğer bağıntılar Klasik Bernoulli polinomları aşağıdaki bağıntıları sağlar: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ( ) ( )] [ ( )] 3.3. Teorem Klasik Euler polinomları, aşağıdaki bağıntıyı sağlar: İspat ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( )

25 13 olup Eş. 3.7 den yazılıp ( ) ( ) bulunur Teorem ( ) olmak üzere klasik Euler polinomu için, bağıntısı sağlanır. İspat Binom teoremi ve Eş. 3.7 kullanılarak, ( ) ( ) bulunur Klasik Euler Sayıları Eş. 3.1 de alınırsa, ile gösterilen klasik Euler sayıları için, şeklindeki doğurucu fonksiyon bağıntısına ulaşılır [43] Klasik Euler sayıları için açık bir formül Eş. 3.2 de alınırsa, ile gösterilen klasik Euler sayıları için ( ) ( ) veya Stirling sayıları cinsinden

26 14 ( ) ya da ( ) şeklindeki açık formül elde edilir Klasik Euler sayıları için bazı diğer bağıntılar Klasik Euler sayıları aşağıdaki bağıntıları sağlar: ( ) ( ) Eş. 3.2 de alınırsa, ( ) elde edilir Euler Polinomları Srivastava ve Choi (2005), klasik Euler polinomlarını genişleterek aşağıdaki Euler polinomlarını tanımlamışlardır [44]. Euler polinomları, ile gösterilir ve ( ) şeklindeki doğurucu fonksiyon bağıntısı yardımıyla tanımlanır [1, 13, 16, 45].

27 Euler polinomları için açık bir formül Eş. 3.8 ile tanımlanan Euler polinomları, ( ) ( ) ( ) şeklinde açık bir formüle sahiptir [42]. [ ] Euler polinomları için toplam formülü Eş. 3.8 ile tanımlanan Euler polinomları, ( ) şeklindeki toplam formülünü sağlar Euler polinomları için bazı diğer bağıntılar [13]: olmak üzere Euler polinomları, aşağıdaki toplam formüllerini sağlar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) 3.4. Euler Sayıları Eş. 3.8 de alınırsa, Euler sayıları için ( )

28 16 şeklindeki doğurucu fonksiyon bağıntısına ulaşılır Euler sayıları için açık bir formül Eş. 3.9 da alınırsa, ( ) ( ) ( ) veya ( ) ( ) şeklindeki Euler sayılarına ulaşılır Apostol-Euler Polinomları Euler polinomları T.M.Apostol tarafından genişletilip Apostol-Euler polinomları tanımlanmıştır [1]. Apostol-Euler polinomları ile gösterilir ve şeklindeki doğurucu fonksiyon bağıntısı yardımıyla tanımlanır [1] Apostol-Euler polinomları için açık bir formül Eş ile tanımlanan Apostol-Euler polinomları, ( ) ( ) şeklinde açık bir formüle sahiptir. [ ] Eş de alınırsa, Apostol-Euler polinomu, klasik Euler polinomunu verir. Yani,

29 17 dir Apostol-Euler Sayıları Eş de alınırsa, Apostol-Euler sayıları için, şeklindeki doğurucu fonksiyon bağıntısına ulaşılır [8] Apostol-Euler sayıları için açık bir formül Eş de alınırsa, ( ) ( ) şeklindeki Apostol-Euler sayılarına ulaşılır Genişletilmiş Apostol-Euler Polinomları -Genişletilmiş Apostol-Euler polinomları ile gösterilir ve ( ) şeklindeki doğurucu fonksiyon bağıntısı yardımıyla tanımlanır [1, 8, 9, 10, 16, 45] Genişletilmiş Apostol-Euler polinomları için açık bir formül 3.5. Teorem Eş ile tanımlanan -genişletilmiş Apostol-Euler polinomları, ( ) ( ) ( ) veya Stirling sayıları cinsinden, [ ]

30 18 ( ) ( ) şeklinde açık bir formüle sahiptir [8]. İspat Eş ün her iki tarafında değişkenine göre türev alınır ve Leibnitz kuralı kullanılırsa, {( ) } ( ) { } elde edilir. ( ) seri açılımı kullanılır ve Eş. 2.2 de alınırsa, ( ) ( ) bulunur. Şimdi, Eş. 2.1 kullanılır ve Eş daki iki seride toplam sırası değiştirilirse, ( ) ( ) ( ) [ ] bulunur. Son olarak, Eş de Lemma 2.4 uygulanırsa, Eş ile verilen açık formüle ulaşılır. Eş de alınırsa, klasik Euler polinomları elde edilir Genişletilmiş Apostol-Euler polinomları için toplam formülü Eş ile tanımlanan -genişletilmiş Apostol-Euler polinomları, ( )

31 19 şeklinde verilen toplam formülünü sağlar. Burada dır [10] Genişletilmiş Apostol-Euler polinomları için bazı diğer bağıntılar özellikleri sağlar: olmak üzere -genişletilmiş Apostol-Euler polinomları, aşağıdaki ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ]

32 20 [ ( ) ] -genişletilmiş Apostol-Euler polinomları için türev bağıntısı, şeklindedir Teorem -genişletilmiş Apostol-Euler polinomları, Euler polinom aileleri cinsinden şeklinde ifade edilir. İspat Eş ifadesinde ve yazılırsa, ( ) bulunur Teorem -genişletilmiş Apostol-Euler polinomları arasında

33 21 ( ) ( ) ( ) bağıntısı sağlanır. İspat Eş de yerine yazılarak, ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] elde edilir. Şimdi Eş un her iki tarafında lerin katsayıları eşitlenirse Eş bağıntısına ulaşılır Genişletilmiş Apostol-Euler Sayıları Eş de alınırsa, -genişletilmiş Apostol-Euler sayıları için, ( ) şeklindeki doğurucu fonksiyon bağıntısına ulaşılır Genişletilmiş Apostol-Euler sayıları için açık bir formül 3.8. Teorem -genişletilmiş Apostol-Euler sayıları, ( ) ( ) ( ) veya

34 22 ( ) ( ) şeklindeki açık formülleri sağlar. İspat Lemma 2.5 de ve alınırsa, ( ) olur. Eş. 3.23, Eş de yerine yazılıp alınırsa, ( ) bağıntısına ulaşılır. Son olarak, Eş ve ile ( ) uygulanırsa Eş e ulaşılır. Diğer taraftan, Eş de Teorem 3.1 in ispatına benzer bir işlem uygulanır ve Lemma 2.3 ile ( ) ( ) şeklindeki temel kombinasyon özdeşlikleri kullanılırsa, Eş elde edilir. Böylece ispat tamamlanmış olur. Eş de alınırsa, Euler sayılarına ulaşılır. Eş da alınırsa, klasik Euler sayılarına ulaşılır Genelleştirilmiş Euler Polinomu Genelleştirilmiş Euler polinomları ile gösterilir ve

35 23 ( ( ) ) şeklindeki doğurucu fonksiyon bağıntısına sahiptir. Burada dır [1]. ve Genelleştirilmiş Euler polinomu için açık bir formül Eş ile tanımlanan genelleştirilmiş Euler polinomları, [ ( )] [ ( ) ] şeklinde açık bir formüle sahiptir [1] Genelleştirilmiş Euler polinomu için toplam formülü Eş ile tanımlanan genelleştirilmiş Euler polinomları, ( ) şeklinde verilen toplam formülünü sağlar. Burada β dır [1] Genelleştirilmiş Euler polinomu için diğer bağıntılar 3.9. Teorem ve olmak üzere genelleştirilmiş Euler polinomu için aşağıdaki rekürans bağıntıları sağlanır: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ve

36 24 ( ) ( ) İspat Eş doğurucu fonksiyon bağıntısından, ( ( ) ) yazılabilir. Eş un her iki tarafında ye göre türev alınıp bazı elemanter işlemler yapılır ve polinom eşitliği kullanılarak farklı düzenlemeler yapılırsa, Eş. 3.27, Eş ve Eş bağıntılarına ulaşılır Teorem ve olmak üzere, ( ) dir. İspat Eş genelleştirilmiş Euler polinomu için doğurucu fonksiyon bağıntısı ve Lemma 2.2 kullanılarak, ( ) ( )

37 25 ( ) olur. Burada lerin katsayıları eşitlenirse istenilen sonuca ulaşılır Teorem ve olmak üzere, ( ) dir. İspat Eş da ve yerine sırasıyla β ve alınıp bu iki seri çarpılarak Eş doğurucu fonksiyon bağıntısı kullanılırsa, bulunur. Lemma 2.2 uygulanır ve bulunan bağıntının her iki tarafında lerin katsayıları eşitlenirse, ispat tamamlanır Lemma ve olmak üzere genelleştirilmiş Euler polinomları, { } şeklindeki türev içeren rekürans bağıntısına sahiptir. İspat Eş doğurucu fonksiyon bağıntısının her iki tarafının e göre türevi alınarak ve için tümevarım metodu kullanılarak bu lemma ispatlanır Teorem ve olmak üzere,

38 26 [ ] dir. İspat Lemma 3.1 de alınıp her iki tarafın aralığında e göre integrali alınırsa istenilen sonuca ulaşılır Teorem dir. ( ) İspat Eş ile verilen doğurucu fonksiyon bağıntısı kullanılıp yerine alınarak, ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) olur ve her iki tarafta lerin katsayıları eşitlenerek ispat tamamlanır Teorem ve olmak üzere, ( ) ( ) dir. İspat Eş ile verilen doğurucu fonksiyon bağıntısı kullanılarak,

39 27 ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) olup lerin katsayıları eşitlenirse ispat tamamlanır.

40 28

41 29 4. GENELLEŞTİRİLMİŞ BERNOULLİ POLİNOMLARI 4.1. Klasik Bernoulli Polinomları Carlitz (1948), klasik Bernoulli polinomlarını ve klasik Bernoulli sayılarını genişletmiştir. Bu bölümde klasik Bernoulli polinomları ve genişletmeleri verilmiştir [43]. Klasik Bernoulli polinomları, ile gösterilir ve şeklindeki doğurucu fonksiyon bağıntısı yardımıyla tanımlanır. Burada dir [13, 20, 43] Klasik Bernoulli polinomları için açık bir formül Eş. 4.1 ile tanımlanan klasik Bernoulli polinomları, ( ) ( ) şeklinde açık bir formüle sahiptir. Klasik Bernoulli polinomları, Stirling sayıları cinsinden ( ) ( ) ( ) şeklinde ifade edilir. Bu polinomlardan ilk birkaçı şu şekildedir:

42 30 [43] Klasik Bernoulli polinomları için toplam formülü 4.1. Teorem Eş. 4.1 ile tanımlanan klasik Bernoulli polinomları, ( ) şeklindeki toplam formülünü sağlar [13] Klasik Bernoulli polinomları için diğer bağıntılar olmak üzere klasik Bernoulli polinomları aşağıdaki bağıntıları sağlar: ( ) 4.2. Teorem Klasik Bernoulli polinomları için, bağıntısı sağlanır. İspat Teorem 4.1, Eş. 4.3 ve Eş. 4.4 den, ( ) ( ) ( ) ( )

43 31 ( ) ( ( ( ) )) elde edilir Klasik Bernoulli Sayıları Eş. 4.1 de alınırsa, ile gösterilen klasik Bernoulli sayıları için şeklindeki doğurucu fonksiyon bağıntısına ulaşılır [43, 46] Klasik Bernoulli sayıları için açık bir formül Eş. 4.2 de alınırsa, ( ) ( ) veya şeklinde ifade edilen klasik Bernoulli sayılarına ulaşılır. Ayrıca klasik Bernoulli sayıları için, aşağıdaki bağıntı da sağlanır: ( ) 4.3. Klasik Bernoulli Polinomu ve Klasik Bernoulli Sayıları Arasındaki İlişki Klasik Bernoulli polinomu ve klasik Bernoulli sayıları arasında aşağıdaki bağıntılar sağlanır: ( )

44 32 ( ) ( ) ( ) ( ) 4.4. Bernoulli Polinomları Bernoulli polinomları ile gösterilir ve ( ) şeklindeki doğurucu fonksiyon bağıntısı yardımıyla tanımlanır. Burada dir [1, 3, 9, 10, 13, 16, 45] Bernoulli polinomları için açık bir formül Eş. 4.5 ile tanımlanan Bernoulli polinomları, ( ) ( ) ( ) şeklinde açık bir formüle sahiptir. [ ] Bernoulli polinomları için toplam formülü Eş. 4.5 ile tanımlanan Bernoulli polinomları, ( )

45 33 şeklindeki toplam formülünü sağlar [13] Teorem olmak üzere Bernoulli polinomları, ( ) bağıntısını sağlar. İspat ( ) ifadesinin sağ tarafında Teorem 3.4 kullanılırsa, ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) bulunur. Burada toplam sırası değiştirilirse, ( ) ( ) ( ) elde edilir. Eş. 4.7 de ve alınarak, Eş. 4.8 de en içteki toplam yerine yazılırsa, ( ) ( ) ya da ( ) [ ] bulunur. Böylece, Eş. 4.9 da şeklindeki rekürans bağıntısı kullanılırsa,

46 34 ( ) bağıntısına ulaşılır Bernoulli polinomları için diğer bağıntılar β ve olmak üzere Bernoulli polinomları aşağıdaki bağıntıları sağlar: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( β ) ) ( ) 4.5. Bernoulli Sayıları Eş. 4.5 de alınırsa, Bernoulli sayıları için ( ) şeklindeki doğurucu fonksiyon bağıntısına ulaşılır Bernoulli sayıları için açık bir formül Eş. 4.6 da alınırsa, ( ) ( ) ( ) şeklindeki Bernoulli sayılarına ulaşılır.

47 Apostol-Bernoulli Polinomları Yukarıdaki Bernoulli polinomları, Apostol tarafından genişletilip aşağıdaki bağıntılarla verilen Apostol-Bernoulli polinomları tanımlanmıştır [9, 12]. Apostol-Bernoulli polinomları ile gösterilir ve şeklindeki doğurucu fonksiyon bağıntısı yardımıyla tanımlanır. Burada dir [1, 9, 12] Apostol-Bernoulli polinomları için açık bir formül 4.4. Teorem Eş ile tanımlanan Apostol-Bernoulli polinomları, ( ) ( ) şeklinde açık bir formüle sahiptir. [ ] İspat Eş un her iki tarafında ye göre türev alınır ve Leibnitz kuralı uygulanırsa, { } ( ) {[ ] } elde edilir. Eş. 3.4 de, alınırsa, ( ) ( ) { } yazılır. Eş. 2.2 de alınır ve bu bağıntıda kullanılırsa,

48 36 ( ) bulunur. ve nin toplam sırası değiştirilip Eş. 2.1 ve Eş. 2.4 kullanılarak, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] bağıntısı elde edilir. Son olarak, Lemma 2.4 uygulanırsa, Eş e ulaşılır. Apostol-Bernoulli polinomları, Stirling sayıları cinsinden ( ) şeklinde ifade edilir. Eş de alınırsa Apostol-Bernoulli polinomu, klasik Bernoulli polinomunu verir: Apostol-Bernoulli polinomları için diğer bağıntılar Apostol-Bernoulli polinomları, aşağıdaki bağıntıları sağlar: ( ) ( ) Ayrıca, Apostol-Euler polinomları ile Apostol-Bernoulli polinomları arasında, [ ( ) ( )] bağıntısı vardır. ( )

49 Apostol-Bernoulli Sayıları Eş da alınırsa, Apostol-Bernoulli sayıları için şeklindeki doğurucu fonksiyon bağıntısına ulaşılır Apostol-Bernoulli sayıları için açık bir formül Eş de alınırsa, { } şeklindeki Apostol-Bernoulli sayılarına ulaşılır [9]. Ayrıca Apostol-Bernoulli sayıları için, [ ( )] şeklindeki bağıntı da sağlanır Genişletilmiş Apostol-Bernoulli Polinomları -Genişletilmiş Apostol-Bernoulli polinomları ile gösterilir ve ( ) şeklindeki doğurucu fonksiyon bağıntısı yardımıyla tanımlanır [1, 9, 10, 45] Genişletilmiş Apostol-Bernoulli polinomları için açık bir formül 4.5. Teorem Eş ile tanımlanan -genişletilmiş Apostol-Bernoulli polinomları,

50 38 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] şeklinde açık bir formüle sahiptir. İspat Taylor açılımı ve Leibnitz kuralı kullanılarak, alınırsa Eş den, {( ) } ( ) ( ) {( ) } bulunur. Burada, Eş de ve Eş. 2.2 de alınıp, yerine yazılırsa, ( ) ( ) ( ) elde edilir. Eş de toplam sırası değiştirilir ve Eş. 2.1 ile Lemma 2.3 uygulanırsa, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) bulunur. Son olarak Eş de, Lemma 2.4 deki Pfaff-Kummer hipergeometrik dönüşümü uygulanır. Böylece, Eş açık formülüne ulaşılır Genişletilmiş Apostol-Bernoulli polinomları için toplam formülü Eş ile tanımlanan -genişletilmiş Apostol-Bernoulli polinomları, ( )

51 39 veya ( ) ( ) şeklindeki toplam formülünü sağlar. Burada dır [45]. Ayrıca, ( ) bağıntısı da sağlanır Genişletilmiş Apostol-Bernoulli polinomları için diğer bağıntılar -Genişletilmiş Apostol-Bernoulli polinomları, aşağıdaki bağıntıları sağlar: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] 4.6. Teorem -genişletilmiş Apostol-Bernoulli polinomları,

52 40 ( ) [ ] bağıntısını sağlar. İspat Eş nın sağ tarafına Teorem 3.4 uygulanırsa, ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) olur. Şimdi, toplam sırası değiştirilir ve Lemma 2.3 deki kombinasyon özdeşliği kullanılarak, ( ) ( ) ( ) bulunur. Eş da ve alınarak, Eş da en içteki toplam, ( ) ( ) ( ) [ ] olarak yazılır. Böylece Eş elde edilir Teorem -genişletilmiş Apostol-Bernoulli ve -genişletilmiş Apostol-Euler polinomları, ( ) ( ( β ) ) bağıntısını sağlar.

53 41 İspat İddianın her iki tarafında doğurucu fonksiyonlar yerine yazılırsa sağ taraf, ( ) ( ( β ) ) ( β ) ( ) ( ) ( β ) elde edilir. ( ) Genişletilmiş Apostol-Bernoulli Sayıları Eş de alınırsa, -genişletilmiş Apostol-Bernoulli sayıları için, ( ) şeklindeki doğurucu fonksiyon bağıntısına ulaşılır Genişletilmiş Apostol-Bernoulli sayıları için açık bir formül Eş de alınırsa, ( ) ( ) şeklindeki -genişletilmiş Apostol-Bernoulli sayılarına ulaşılır [9]. Eş de sayılarına dönüşür. alınırsa -genişletilmiş Apostol-Bernoulli sayıları, Apostol-Bernoulli Genelleştirilmiş Bernoulli Polinomu Klasik Bernoulli polinomlarının bir genellemesi olan genelleştirilmiş Bernoulli polinomları, ile gösterilir ve

54 42 ( ( ) ) şeklindeki doğurucu fonksiyon bağıntısı ile tanımlanmıştır [1]. Burada and dır [1] Genelleştirilmiş Bernoulli polinomu için açık bir formül Eş ile tanımlanan genelleştirilmiş Bernoulli polinomları, ( ) şeklinde açık bir formüle sahiptir [1]. Burada dır Genelleştirilmiş Bernoulli polinomu için toplam formülü Eş ile tanımlanan genelleştirilmiş Bernoulli polinomları, ( ) şeklindeki toplam formülünü sağlar. Burada β dır. Ayrıca, olmak üzere genelleştirilmiş Euler ve genelleştirilmiş Bernoulli polinomları arasında, ve ( ) bağıntıları sağlanır.

55 43 5. BERNOULLİ, EULER VE GENOCCHİ POLİNOMLARININ BİR BİRLEŞİMİ Sadece Bernoulli, Euler ve Genocchi polinomlarının değil aynı zamanda Apostol-Euler, Apostol-Bernoulli ve Apostol Genocchi polinomlarının da bir birleşimi olan polinomları, önceleri Srivastava tarafından, arkasından Karande ve Thakare, Özden ve daha sonraları Kim, Luo ve Şimşek tarafından incelenmiştir [2, 9, 13, 14, 18, 24, 25, 32-40] Bernoulli, Euler ve Genocchi Polinomlarının Bir Birleşimi İçin Doğurucu Fonksiyon Bernoulli, Euler ve Genocchi polinomlarının bir birleşimi olan polinomları, β ( β ) şeklindeki doğurucu fonksiyon bağıntısıyla tanımlanır. Burada β dır [2]. ve Eş. 5.1 de alınırsa Bernoulli, Euler ve Genocchi polinomları, sayılara dönüşür. Böylece olur Bernoulli, Euler ve Genocchi Polinomlarının Bir Birleşimi İçin Özel Durumlar Eğer Eş. 5.1 de β alınırsa, Karande ve Thakare tarafından tanımlanan Bernoulli, Euler ve Genocchi polinomlarının bir birleşimi olan aşağıdaki doğurucu fonksiyona ulaşılır [14]:

56 44 Eğer Eş. 5.1 de alınırsa, Apostol-Bernoulli polinomları için aşağıdaki doğurucu fonksiyon bağıntısına ulaşılır [7, 18]: β β β Eğer Eş. 5.1 de alınırsa, aşağıdaki doğurucu fonksiyon bağıntısı ile tanımlanan Apostol-Euler polinomuna ulaşılır [9, 24, 34, 41]: β β β Eğer Eş. 5.1 de alınırsa, aşağıdaki doğurucu fonksiyon bağıntısı ile tanımlanan Apostol-Genocchi polinomuna ulaşılır [24, 34, 37]: β β Buna göre, β dir. Eğer Eş. 5.1 de β alınırsa, aşağıdaki doğurucu fonksiyon bağıntısı ile tanımlanan klasik Bernoulli polinomlarına ulaşılır [20, 27]: Yani, olur.

57 45 Eğer Eş. 5.1 de β alınırsa, aşağıdaki doğurucu fonksiyon bağıntısı ile tanımlanan klasik Euler polinomlarına ulaşılır [20, 27]: Yani, olur. Eğer Eş. 5.1 ve Eş karşılaştırılarak alınırsa, ve polinomları arasında aşağıdaki bağıntı elde edilir: ( β ) sayıları sayıları, Frobenius-Euler sayıları ile yakından ilişkilidir. Frobenius-Euler ile gösterilir ve şeklindeki doğurucu fonksiyon bağıntısını sağlar. Eğer Eş. 5.1 ve Eş. 5.4 kullanılarak bazı elemanter işlemler yapılırsa, ve Frobenius-Euler sayıları arasında aşağıdaki bağıntı elde edilir: sayıları β ( ) ( β ) β 5.3. Bernoulli, Euler ve Genocchi Polinomlarının Bir Birleşimi İçin Çarpım Formülü Carlitz, Bernoulli ve Euler polinomları için Raabe tipi çarpım formüllerinin bir genellemesini tanımlamıştır. Daha sonra, Karande ve Thakare Eş 5.2 doğurucu fonksiyon bağıntısı ile tanımlanan polinomları için bu formülleri genişletmiştir [14]. polinomları için çarpım formülü, aşağıdaki teoremde verilmiştir [2].

58 Teorem polinomları, ( β ) ( ) ( β ) ( ) şeklindeki çarpım formülünü sağlar. İspat Eş. 5.5, önceleri Carlitz ve sonraları Karande ve Thakare tarafından Eş. 5.1 in üzerine çalışılan metotlara benzer şekilde yapılmıştır. Burada Eş. 5.1 kullanılarak, ( β ) ( ) ( β ) ( ) şeklindeki toplam özdeşliğinden ( β ) ( ) ( β ( ) ) ( ) β ( ) β ( β ) ( ) ( β β β ) Diğer taraftan bu eşitlik, m ve n için simetrik olacağından benzer davranışı göstererek, ( β ) ( ) ( ) ( β β β )

59 47 eşitliği elde edilir. Bu durumda Eş. 5.7 ve Eş. 5.8 kullanılarak Teorem 5.1 ispatlanmış olur. Eğer Eş. 5.5 de β alınırsa, Eş. 5.2 ile tanımlanan polinomu için, ( ) ( ) ( ) ( ) sağlanır. Eğer Eş. 5.5 de alınırsa, aşağıdaki çarpım formülü elde edilir : ( β ) ( ) Eğer Eş. 5.5 de alınırsa, Eş ile verilen Apostol-Bernoulli polinomları için aşağıdaki çarpım formülü elde edilir: β β ( β ) Eğer Eş. 5.5 de alınırsa, Eş ile verilen Apostol-Euler polinomları için aşağıdaki çarpım formülü elde edilir: β β ( β ) Eğer Eş. 5.5 de alınırsa, Eş. 5.3 ile verilen Apostol-Genocchi polinomları için aşağıdaki çarpım formülü elde edilir: β β ( β ) Eş. 5.1 in her iki tarafı arasında e göre integre edilirse,

60 48 ( ) β ( ) ( ) elde edilir. Ayrıca, polinomları için aşağıdaki ifade de sağlanır: ( ) ( ) Eş. 5.9 un her iki tarafında lerin katsayıları eşitlenirse, aşağıdaki integral formülü elde edilir: {

61 49 6. MULTİLİNEER VE MULTİLATERAL DOĞURUCU FONKSİYONLAR Bu kısımda, genelleştirilmiş Euler ve Bernoulli polinomları ile Bernoulli, Euler ve Genocchi polinomlarının birleşimi olan polinomlar için multilineer ve multilateral doğurucu fonksiyonlar veren teoremler üzerinde çalışacağız Bilineer ve Bilateral Doğurucu Fonksiyonlar Bu bölümde, ilk olarak Eş ile verilen genelleştirilmiş Euler polinomları için bilineer ve bilateral doğurucu fonksiyonlar veren teoremler elde edeceğiz Teorem yüncü basamaktan ve kompleks değişkenli, sıfıra denk olmayan (,..., ) fonksiyonu için, ve, için, olsun. Burada dir. Bu durumda, ( ) ( ) gerçeklenir. İspat Eş. in sol yanı S ile gösterilsin. Lemma 2.1 kullanılarak,

62 50 ( ) elde edilir Teorem yüncü basamaktan ve kompleks değişkenli, sıfıra denk olmayan (,..., ) fonksiyonu verilsin. için,,, β olsun. Bu taktirde, ( ) dir. İspat Eş. nin sol yanı T olsun. Şimdi, bağıntısını kullanırsak [47], ( ) ( ) olup burada için Eş ile verilen toplam formülü kullanılarak, elde edilir.

63 51 Benzer şekilde, Eş ile tanımlanan genelleştirilmiş Bernoulli polinomları için de bilineer ve bilateral doğurucu fonksiyonların ailelerini veren teoremler aşağıdaki şekilde elde edilebilir. Bu teoremlerin ispatları da benzer şekilde yapılabilir Teorem yüncü basamaktan ve kompleks değişkenli, sıfıra denk olmayan (,..., ) fonksiyonu için, ve, için, olsun. Burada dir. Bu durumda, ( ) ( ) gerçeklenir Teorem yüncü basamaktan ve kompleks değişkenli, sıfıra denk olmayan (,..., ) fonksiyonu verilsin. için,,, β olsun. Bu takdirde, ( ) gerçeklenir. Yine aynı şeklide, polinomları için de aşağıdaki teoremi verebiliriz.

64 Teorem yüncü basamaktan ve kompleks değişkenli, sıfıra denk olmayan (,..., ) fonksiyonu için, ve, β için, olsun. Burada dir. Bu durumda, ( ) β gerçeklenir Özel Durumlar Yukarıdaki teoremlerde, çok değişkenli fonksiyonunu bir ya da çok değişkenli basit fonksiyonlar tarafından ifade ederek, elde ettiğimiz sonuçların farklı uygulamalarını aşağıdaki şekilde verebiliriz. İlk olarak Teorem 6.1 de alalım. Burada, Legendre polinomlarıdır ve şeklindeki doğurucu fonksiyon bağıntısına sahiptir. Böylece, Eş. ile tanımlanan genelleştirilmiş Euler polinomları ve Legendre polinomları için bilateral doğurucu fonksiyonların bir ailesi aşağıdaki şekilde verilebilir Sonuç Eğer ise bu durumda,

65 53 ( ) bağıntısı sağlanır Uyarı Legendre polinomları için Eş. 6.7 de, ile verilen doğurucu fonksiyon bağıntısı kullanılır ve Eş. alınırsa, elde edilir. İkinci olarak Teorem 6.3 de ve alalım. Burada, genelleştirilmiş Bernoulli polinomlarıdır ve Eş ile verilen doğurucu fonksiyon bağıntısı yardımıyla tanımlanmıştır. Böylece, genelleştirilmiş Bernoulli polinomları için bilineer doğurucu fonksiyonların bir sınıfını veren aşağıdaki sonuca ulaşılır Sonuç Eğer ise, ( )

66 54 dir Uyarı Genelleştirilmiş Bernoulli polinomları için Eş doğurucu fonksiyon bağıntısı kullanılır ve Eş. 6.8 de, alınırsa, bulunur. Son olarak, Teorem 6.5 de ve alalım. Burada, birinci tür Tchebycheff polinomları olup, şeklindeki doğurucu fonksiyon bağıntısını sağlar. Böylece Eş. ile verilen Bernoulli, Euler ve Genocchi polinomlarının bir birleşimi olan polinomu ile birinci tür Tchebycheff polinomları için bilateral doğurucu fonksiyonların bir sınıfını veren aşağıdaki sonuca ulaşılır Sonuç Eğer ise bu durumda, β bağıntısı gerçeklenir.

67 Uyarı Eş. doğurucu fonksiyon bağıntısı kullanılır ve Eş. 6.9 da alınırsa, β bulunur. katsayılarının uygun her bir seçimi için eğer çok değişkenli fonksiyonu, daha basit bazı fonksiyonların uygun bir çarpımı olarak ifade edilebilirse bu durumda Teorem 6.5 den Eş. 5.1 ile tanımlanan polinomları için multilineer ve multilateral doğurucu fonksiyonların çeşitli aileleri de elde edilebilir Diğer Bazı Özellikler Bu bölümde, genelleştirilmiş Bernoulli ve Euler polinomları ile Bernoulli, Euler ve Genocchi polinomlarının birleşimi olan polinom için bazı rekürans bağıntıları verilecektir Teorem bağıntısını genelleştirilmiş Euler polinomları, aşağıdaki türev içermeyen rekürans sağlar: ( ) [ ( )] [ ] İspat Eş ile verilen doğurucu fonksiyon bağıntısının her iki tarafında alınırsa, ye göre türev ( )

68 56

69 57 olur. Burada Lemma 2.2 kullanılırsa, ( ) bulunur. Son olarak lerin katsayıları eşitlenirse, ( ) ( ) elde edilir Teorem bağıntısını sağlar: genelleştirilmiş Euler polinomu, aşağıdaki türev içeren rekürans İspat Eş ile verilen doğurucu fonksiyon bağıntısının her iki tarafında alınırsa, e göre türev

70 58 ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] olur. Burada olduğu göz önüne alınırsa, [ ] bulunur. Her iki tarafta in katsayıları eşitlenirse, elde edilir Teorem genelleştirilmiş Bernoulli polinomları, aşağıdaki türev içermeyen rekürans bağıntısını sağlar: ( ) ( ) [ ( )] [ ( ) ] İspat Eş doğurucu fonksiyon bağıntısının her iki tarafında ye göre türev alınırsa,

71 59 ( ) ( ) [ ] bulunur. Burada olduğu göz önüne alınırsa, [ ] [ ( ) ]

72 60 [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( )] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( )] [ ( ) ] [ ( ) ] olur. Burada Lemma 2.2 kullanılırsa, [ ( ) ]

73 61 [ ( ) ] ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] bulunur. Son olarak lerin katsayıları eşitlenirse, ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] elde edilir Teorem bağıntısını sağlar: genelleştirilmiş Bernoulli polinomları, aşağıdaki türev içeren rekürans İspat Eş ile verilen doğurucu fonksiyon bağıntısının her iki tarafında alınırsa, e göre türev ( ) ( )

74 62 [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] olur. Burada lerin katsayıları eşitlenirse, bulunur Teorem ile gösterilen Bernoulli, Euler ve Genocchi polinomlarının bir birleşimi olan polinom, aşağıdaki türev içermeyen rekürans bağıntısını sağlar: [ ( ) ] β ( ) [ ( ) ]

75 63 İspat Eş. ile verilen doğurucu fonksiyon bağıntısının her iki tarafında ye göre türev alınırsa, ( β ) ( ) β β β β β β β β β β β β [ ] β β olur. Burada olduğu göz önüne alınırsa, [ ] β β [ ( ) ]

76 64 β β β [ ( ) ] [ ( ) ] β β [ ( ) ] [ ( ) ] β [ ( ) ] [ ( ) ] β [ ( ) ] [ ( ) ] bulunur ve Lemma 2.2 kullanılırsa, β [ ( ) ] [ ( ) ] β ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] olur. Son olarak lerin katsayıları eşitlenirse,

77 65 β ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] β ( ) [ ( ) ] elde edilir. [ ( ) ] Teorem ile gösterilen Bernoulli, Euler ve Genocchi polinomlarının bir birleşimi olan polinom, aşağıdaki türev içeren rekürans bağıntısını sağlar: [ ] İspat Eş. ile verilen doğurucu fonksiyon bağıntısının her iki tarafında e göre türev alınırsa, ( β ) ( ) β olur. Burada lerin katsayıları eşitlenirse,

78 66 bulunur.

79 67 7. SONUÇLAR VE ÖNERİLER Bu tezde Bernoulli, Euler ve Genocchi polinomları, bu polinomlardan bazılarının genelleştirilmiş halleri ve bu polinomları kapsayan geniş bir polinom ailesi üzerinde çalışılmış, bunların bilinen özellikleri verildikten sonra, bu polinomlar için multilineer ve multilateral doğurucu fonksiyon bağıntıları veren teoremler elde edilmiştir. Ayrıca, bu teoremlerin özel durumları incelendikten sonra, bu polinomlar için yeni rekürans bağıntıları elde edilmiştir. Bu tezde yapılan çalışmalar ve verilen metodlar kullanılarak, ileride farklı polinomlar için de yeni doğurucu fonksiyonlar veren sonuçlar çalışılabilir.

80 68

81 69 KAYNAKLAR 1. Srivastava, H. M., Garg, M. and Choudhary, S. (2011). Some new families of generalized Euler and Genocchi polynomials. Taiwanese Journal of Mathematics, 15, Ozden, H., Simsek, Y. and Srivastava, H. M. (2010). A unified presentation of the generating functions of the generalized Bernoulli, Euler and Genocchi polynomials. Computers and Mathematics with Applications, 60, Luo, H. M. and Wang, W. P. (2009). Some identities on the Bernoulli, Euler and Genocchi polynomials via power sums and alternate power sums. Discrete Mathematics, 309, Erkuş, E. and Altın, A. (2005). A note on the Lagrange polynomials in several variables. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 310, Srivastava, H. M. and Handa, S. (1988). Some general theorems on generating functions and their applications. Applied Mathematics Letters, 4, Srivastava, H. M. and Todorov, Pavel G. (1988). An Explicit Formula for the Generalized Bernoulli Polynomials. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 130, Apostol, T. M. (1951). On the Lerch Zeta function. Pacific Journal of Mathematics, 1, Luo, Q.-M. (2006). Apostol-Euler polynomials of higher order and the Gaussian hypergeometric function. Taiwanese Journal of Mathematics, 10(2). 9. Luo, Qiu-Ming and Srivastava, H. M. (2005). Some generalizations of the Apostol- Bernoulli and Apostol-Euler polynomials. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 308, Luo, Q.-M. and Srivastava, H. M. (2006). Some relationships between the Apostol- Bernoulli and Apostol-Euler polynomials. Computers and Mathematics with Applications, 51, Luo, Q.-M., Zheng, Y.-M. and Qi, F. (2003). Euler numbers of higher order and Euler polynomials of higher order. Henan Science, 21(1), Luo, Q.-M. (2004). On the Apostol-Bernoulli polynomials. Central European Journal of Mathematics, 2(4), Srivastava, H. M. and Pinter, A. (2004). Remarks on some relationships between the Bernoulli and Euler polynomials. Applied Mathematics Letters, 17, Karande, B. K. and Thakare, N. K. (1975). On the unification of Bernoulli and Euler polynomials. Indian Journal of Pure and Applied Mathematics, 6,

82 Luo, Q.-M., Guo, B.-N., Qi, F. and Debnath, L. (2003). Generalizations of Bernoulli numbers and polynomials. International Journal of Mathematical Sciences and Applications, 59, Luo, Q.-M. (2009). The multiplication formulas fort he Apostol-Bernoulli and Apostol- Euler polynomials of higher order. Integral Transforms and Special Functions, 20, Carlitz, L. (1962). Some generalized multiplication formulas for the Bernoulli polynomials and related functions. Monatshefte für Mathematik, 66, Srivastava, H. M. (2000). Some formulas for the Bernoulli and Euler polynomials at rational arguments. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 129, Wang, W. and Wang, T. A note on the relationships between the generalized Bernoulli and Euler polynomials. Ars Combinatoria. 20. Cheon, G.-S. (2003). A note on the Bernoulli and Euler polynomials. Applied Mathematics Letters, 16(3), Carlitz, L. (1979). Degenerate Stirling, Bernoulli and Eulerian numbers. Utilitas Mathematica, 15, Yang, S.-I. (2008). An identity of symmetry fort he Bernoulli polynomials. Discrete Mathematics, 308(4), Young, P. T. (2008). Degenerate Bernoulli polynomials, generalized factorial sums, and their applications. Journal of Number Theory, 128(4), Srivastava, H. M., Garg, M. and Choudhary, S. (2010). A new generalization of the Bernoulli and related polynomials. Russian Journal of Mathematical Physics, 17, Ozden, H. (2010). Unification of generating function of the Bernoulli, Euler and Genocchi numbers and polynomials. American Institute of Physics Conference Proceedings, (2010). 26. Luo, Q.-M. (2009). Fourier expansions and integral representations for the Apostol- Bernoulli and Apostol-Euler polynomials. Mathematics of Computation, 78, Srivastava, H. M. and Choi, Junesang (2001). Series Associated with the Zeta and Related Functions. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston and London. 28. Srivastava, H. M. and Lavoie, J.-L. and Tremblay, R. (1983). A class of addition theorems. Canadian Mathematical Bulletin, 26, Carlitz, L. (1948). q-bernoulli numbers and polynomials. Duke Mathematical Journal, 15, Carlitz, L. (1954). q-bernoulli and Eulerian numbers. Transactions of the American Mathematical Society, 76,

83 31. Carlitz, L. (1958). Expansions of q-bernoulli numbers. Duke Mathematical Journal, 25, Choi, J., Anderson, P. J. and Srivastava H. M. (2009). Carlitz s q-bernoulli and q-euler polynomials and a class of q-hurwitz zeta functions. Applied Mathematics and Computation, 215, Şimşek, Y. and Srivastava, H. M. (2010). A family of p-adic twisted interpolation functions associated with the modified Bernoulli numbers. Applied Mathematics and Computation, 216, Ozden, H. and Simsek, Y. (2008). A new extention of q-euler numbers and polynomials related to their interpolation functions. Applied Mathematics Letters, 21, Kim, Y.-H., Kim, W. and Jang, L.-C. (2008). On the q-extension of Apostol-Euler numbers and polynomials. Abstract and Applied Analysis, 1-10, Article ID Cangul, I. N., Ozden, H. and Simsek, Y. (2008). Generating functions of the (h,q)- extension of twisted Euler polynomials and numbers. Acta Mathematica Hungaria, 120, Luo, Q.-M. (2009). q-extensions fort he Apostol-Genocchi polynomials. General Mathematics, 17, Simsek, Y. (2005). q-analogue of the twisted L-series and q-twisted Euler numbers. Journal of Number Theory, 110, Simsek, Y. (2005). Theorems on twisted L-functions and twisted Bernoulli numbers. Advanced Studies in Contemporary Mathematics, 11, Simsek, Y. (2006). Twisted (h,q)-bernoulli numbers and polynomials related to twisted (h,q)-zeta function and L-function. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 324, Kim, T., Rim, S.-H., Simsek, Y. and Kim, D. (2008). On the analogous of Bernoulli and Euler numbers, related identities and zeta and L-functions. Journal of the Korean Mathematical Society, 45, Luo, Qiu-Ming (2006). An explicit formula for the Euler polynomials. Integral Transforms and Special Functions, 17(6), Oldham, K. B. (2009). An Atlas of functions, 39-44, 45-48, , Luke, Y. L. (1969). The special functions and their approximations. Volume I, Academic Press, New York. 45. Wang, W. P., Jia, C. Z. and Wang, T.-M. (2008). Some results on the Apostol-Bernoulli and Apostol-Euler polynomials. Computers and Mathematics with Applications, 55,