T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ k NCI MERTEBEDEN REKÜRANS BAĞINTISININ ÖZELLĠKLERĠ VE BAZI UYGULAMALARI Tuğba PARPAR YÜKSEK LĠSANS Matematik Anabilim Dalı Temmuz-20 KONYA Her Hakkı Saklıdır

2 TEZ KABUL VE ONAYI Tuğba PARPAR tarafından hazırlanan k ncı Mertebeden Rekürans Bağıntısının Özellikleri ve Bazı Uygulamaları adlı tez çalışması 07/07/20 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir. Yukarıdaki sonucu onaylarım. Prof. Dr. Bayram SADE FBE Müdürü

3 TEZ BĠLDĠRĠMĠ Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm. DECLARATION PAGE I hereby declare that all information in this document has been obtained and presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all material and results that are not original to this work. Tuğba PARPAR Tarih:

4 ÖZET YÜKSEK LĠSANS k NCI MERTEBEDEN REKÜRANS BAĞINTISININ ÖZELLĠKLERĠ VE BAZI UYGULAMALARI Tuğba PARPAR Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı DanıĢman: Yrd. Doç. Dr. AyĢe NALLI 20, 70 Sayfa Jüri Yrd. Doç. Dr. AyĢe NALLI Prof. Dr. Ahmet Sinan ÇEVĠK Doç. Dr. ÇoĢkun KUġ Bu çalışmada, Tribonacci nin üreteç matrisi kullanılarak özellikler incelendi ve bu özellikler mertebeden rekürans dizisine taşındı. Tribonacci serileriyle ilgili formüller elde edildi. Elemanları Tribonacci dizisi olan matris yardımıyla permanent ve determinant özellikleri verildi. Anahtar Kelimeler: k. Mertebeden Rekürans Dizisi, Tribonacci Dizisi, Tribonacci Serileri, Toplamlar, Üreteç Matisi iv

5 ABSTRACT MS THESIS PROPERTIES OF THE RECURSIVE SEQUENCE ORDER k AND ITS SOME APPLICATIONS Tuğba PARPAR THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY DEPARTMENT OF MATHEMATICS Advisor: Asistant Prof. Dr. AyĢe NALLI 20, 70 Pages Jury Asst. Prof. Dr. AyĢe NALLI Prof. Dr. Ahmet Sinan ÇEVĠK Assoc. Prof. Dr. ÇoĢkun KUġ In this study, we investigate properties of Tribonacci sequence by using generating matrix of Tribonacci sequence and this properties are adopted to recursive sequence order-. It is obtained formullas related with Tribonacci series. It is investigated values of permanent and determinant of Tridiagonal matrix whose elements is Tribonacci sequence. Keywords: Generating Matrix, Recursive Sequence Order k, Sums, Tribonacci Sequence, Tribonacci Series v

6 ÖNSÖZ Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Cebir ve Sayılar Teorisi Anabilim dalı Öğretim Üyesi Yrd. Doç. Dr. Ayşe NALLI yönetiminde hazırlanarak Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur. Yüksek Lisans Tezimin hazırlanmasında yardımlarını esirgemeyen danışman hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Ayşe Nallı ya teşekkür ederim. Tuğba PARPAR KONYA-20 vi

7 ĠÇĠNDEKĠLER ÖZET... iv ABSTRACT... v ÖNSÖZ... vi ĠÇĠNDEKĠLER... vii SĠMGELER... viii. GĠRĠġ KAYNAK ARAġTIRMASI TEMEL KAVRAMLAR Genelleştirilmiş Fibonacci Dizisi Fibonacci-Lucas Serileri Fibonacci Dizisinin Elemanlarıyla Oluşturulan Üç Bantlı Matris ve Rekürans Özellikleri Tribonacci Dizisinin ve Toplamlarının Matris Gösterimi Bazı Üç Bantlı Matrislerin Permanentle İlişkisi TRIBONACCI DĠZĠSĠ Tribonacci Dizisi ve Bazı Özellikleri Negatif İndisli Tribonacci Dizisi ve Bazı Özellikleri Genelleştirilmiş Tribonacci Dizisi için Lineer Toplam Formülleri Tribonacci Serileri Tribonacci Dizisinin Elemanlarıyla Oluşturulan Matris ve Rekürans Özellikleri k. MERTEBEDEN REKÜRANS BAĞINTISI k. Mertebeden Rekürans Bağıntısı ile Elde Edilen Dizinin ve Toplamlarının Matris Gösterimi k. Mertebeden Rekürans Dizisinin Elemanlarıyla Oluşturulan Matris ve Rekürans Özellikleri SONUÇLAR VE ÖNERĠLER Sonuçlar Öneriler KAYNAKLAR ÖZGEÇMĠġ vii

8 SĠMGELER, Fibonacci dizisi, mertebeden genelleştirilmiş Fibonacci dizisi, Lucas dizisi, Tribonacci dizisi, Genelleştirilmiş Tribonacci dizisi, Tribonacci dizisi için üreteç matrisi, Negatif indisli Tribonacci dizisi için üreteç matrisi viii

9 . GĠRĠġ Leonardo Fibonacci; 3. yüzyılda yaşamış İtalyan bir matematikçi Yaşamı hakkında yazdığı matematik yazıları dışında pek az şey bilinmekte İlk ve en iyi bilinen kitabı Liber Abaci yi 202 tarihinde yazmış olduğunda, 70 yılı dolaylarında doğmuş olduğu tahmin edilmekte Bu yönde pek kanıt olmamakla birlikte İtalya nın Pisa kentinde doğmuş olma olasılığı yüksektir. Günümüz matematikçileri Fibonacci nin adını Liber Abaci kitabından dolayı değil Liber Abaci de yer alan basit bir problemden dolayı bilmektedirler. Bu problem Liber Abaci de ki pek çok problemden biri olup diğerlerinden çok daha fazla ilgilenilen ve tavşan üretmek gibi ilk başta matematikle pek ilgisi olmadığı düşünülen bir konuyla ilgili Fibonacci sayıları üç nedenden dolayı insanlığın ilgisini çekmiştir. Bunlardan birincisi dizinin küçük terimlerinin doğada beklenmedik şekillerde ve yerlerde karşımıza çıkması, ikincisi ardışık iki Fibonacci sayısının birbirine oranın altın oran adı verilen, sayısına limit olarak ulaşması ve üçüncüsü ise Fibonacci dizisini sayılar teorisinde ilginç uygulamalarının bulunmasıdır. Tribonacci sayıları ise Fibonacci sayıları gibi Sadece iki başlangıç terimi yerine üç başlangıç terimiyle başlar ve her bir terim arakasındaki üç terimin toplamı olacak şekilde devam eder. Bu çalışmada Fibonacci, Tribonacci, gibi dizilerin özelliklerinin daha genel halleri elde edilmeye çalışılmıştır. Çalışma altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde; Fibonacci, Tribonacci, gibi dizilerin günlük yaşamda kullanım yerlerinden bahsedilmiştir. İkinci bölümde; konuyla ilgili literatür özeti verilmiştir. Üçüncü bölümde; konuyla ilgili temel kavramlar verilmiştir. Dördüncü bölümde; üçüncü bölümde verilen bazı temel kavramlar pozitif ve negatif indisli Tribonacci dizisine taşınmıştır. Beşinci bölümde; üçüncü bölümde verilen bazı temel kavramlar mertebeden rekürans bağıntısına taşınmıştır. Altıncı bölümde ise sonuç ve önerilere yer verilmiştir.

10 2 2. KAYNAK ARAġTIRMASI Waddil M.E. (992); Bu çalışmada, Tetranacci dizisiyle bu dizi ile aynı rekürans bağıntısına sahip olan ve dizileri tanım ile birlikte dizilerin genelleştirişmiş halleri tanımlanmıştır. Ayrıca bu diziler arasındaki ilişkiler tanımlanarak bazı özellikler incelemiştir. Lin P. (988); Bu çalışmada, Tribonacci dizisiyle aynı rekürans bağıntısına sahip fakat başlangıç değerleri farklı olan, ve dizileri tanımlanmıştır. Ayrıca bu dizilerin birbirleri ile arasındaki bağıntılar verilmiştir. Kılıç E. (2008); Bu çalışmada,,, ve dizileri için üreteç matrisleri elde edilmiş ve bu matrislerle ilgili özellikler verilmiştir. Ayrıca bu dizilerin bazı matrislerin permanentleri ile aralarındaki ilişki incelenmiştir. Er M.C. (984); Bu çalışmada, mertebeden genelleştirilmiş Fibonacci dizinin tanımı yapılmıştır. Bu dizinin matris gösteriminin ifade edilmiştir. Ayrıca genelleştirilmiş mertebeden Fibonacci dizisinin bu matris ile birlikte matris metotlarını kullanarak özellikleri incelenmiştir. Brousseau A. (969); Bu çalışmada, kısmi toplamların limit durumundan faydalanarak sonsuz seri toplam formülleri elde edilmiştir. Ayrıca bu formülleri elde ederken Fibonacci ve Lucas dizileri arasındaki bağıntılardan faydalanılmıştır. Kılıç E., TaĢçı D. (2007); Bu çalışmada, üç bantlı matrislerin permanentleriyle pozitif ve negatif indisli Fibonacci ve Lucas sayıları arasında bağıntılar elde edilmiştir. Aynı zamanda mertebeden genelleştirilmiş Lucas sayıları ile permanent arasındaki ilişki ele alınmıştır. Feng J. (Basımda); Bu çalışmada, keyfi indisli Fibonacci ve Lucas sayıları ailesi elde edilmiştir. Üstelik determinantları Fibonacci ve Lucas sayıları olan üç bantlı ve simetrik üç bantlı matrisler oluşturulmuştur.

11 3 3. TEMEL KAVRAMLAR 3. GenelleĢtirilmiĢ Fibonacci Dizisi Bu bölümde, M.C. Er in Fibonacci Quarterly de 984 de yayımlanan Sums of Fibonacci Numbers by Matrix Methods adlı makalesi verilmiştir.(er, 984) Tanım 3..:, için sabit katsayılar ve olmak üzere; bağıntısı ile verilen sayı dizisine mertebeden genelleştirilmiş Fibonacci dizisi denir. alındığı zaman mertebeden genelleştirilmiş Fibonacci dizisi, Fibonacci dizisine indirgenir. kare matris olan ve matrisleri aşağıdaki gibi tanımlansın. c c2 c3 ck ck A G n g g g g g g g g g 2 k n n n 2 k n n n 2 k nk nk nk

12 4 Teorem 3..: (3..2) Ġspat: Matris çarpımı özelliğinden kolaylıkla görülür. Teorem 3..2: (3..3) eşitliği vardır. Ġspat: Tanım 3.. den kolaylıkla görülür. Teorem 3..3: (3..4) Ġspat: Teorem 3.. de

13 5 (3..5) doğru olsun. matrisi ile çarpalım. için doğru olduğunu gösterelim. (3..5) denklemini sol taraftan (3..2) denkleminden ve matris çarpımının birleşme özelliğinden elde edilir. Sonuç 3..: (3..6) vardır. Ġspat: (3..3) ve (3..4) eşitlikleri birlikte düşünüldüğü zaman açıkça görülür. Sonuç 3..2: matrisi, matris çarpımı altında değişmeli

14 6 Ġspat: (3..2), (3..3),(3..4) ve (3..6) denklemlerinden şeklinde yazabiliriz. Bu ise, gösterir. matrisinin, matris çarpımı altında değişmeli olduğunu Lemma 3..: olmak üzere;, genelleştirilmiş Fibonacci dizisinde. dizinin birinci terimi ve olsun. Bu taktirde; (3..7) eşitliği vardır. tanımlansın. kare matris olan ve matrisleri aşağıdaki şekilde B 0 A 0

15 S n En Sn2 G n S nk Teorem 3..4: (3..8) dır. Ġspat: Matris çarpımı özelliğinden kolaylıkla görülür. Teorem 3..5: (3..9) Ġspat: matrisinin tanımında, alınarak elde edilir. Teorem 3..6: (3..0) eşitliği vardır. Ġspat: Teorem 3..4 de

16 8 (3..) doğru olsun. matrisi ile çarpalım. için doğru olduğunu gösterelim. (3..) denklemini sağdan (3..8) eşitliğinden ve matris çarpımının birleşme özelliğinden elde edilir. Teorem 3..7: (3..2)

17 9 Ġspat: (3..9) ve (3..0) eşitlikleri birlikte düşünüldüğü zaman elde edilir. Sonuç 4..3: matrisi, matris çarpımı altında değişmeli Ġspat: (3..8), (3..9) ve (3..2) denklemlerinden şeklinde yazabiliriz. Buradan da görülür. matrisinin matris çarpımı altında değişmeli olduğu 3.2 Fibonacci-Lucas Serileri Bu bölümde, temel olarak A. Broussaeu nun Fibonacci Quarterly de 969 da yayımlanan Fibonacci-Lucas Infinite Series-Research Topic adlı makalesi verilmiştir. (Broussaeu, 969) Tanım 3.2.: ve olmak üzere; (3.2.) lineer rekürans bağıntısıyla verilen sayı dizisine Fibonacci dizisi denir. Tanım 3.2.2: ve olmak üzere; (3.2.2) lineer rekürans bağıntısıyla verilen sayı dizisine Lucas dizisi denir.

18 0 Tanım 3.2.3: oluşturulan, şeklinde bir dizi verilmiş olsun. Bu diziden hareketle toplamına sonsuz seri veya kısaca seri denir. olmak üzere, dizisine, serisinin kısmi toplamlar dizisi denir. kısmi toplamlar dizisi yakınsak ve ise serisine yakınsak seri denir. değerine serinin toplamı veya limiti denir ve şeklinde yazılır. (Cerit, 99)

19 2005) Seri formüllerini elde ederken aşağıdaki eşitliklerden yararlanmıştır. (Nguyen, Fibonacci-Lucas serileri formüllerinin elde edilişinde yukarıda bahsedilen yöntem kullanılmıştır. toplamı alternatif olarak şeklinde yazılabilir., kısmi toplamlar serinin ilk teriminin toplamı olmak üzere;

20 2 şeklinde Sonsuz serilerinin toplamı kısmi toplamların limit durumundan elde edilir. Buna göre; olur. Aşağıdaki diğer formüllerde aynı metot ile elde edilmiştir. toplamından elde edilir. toplamından elde edilir.

21 3 toplamından elde edilir. toplamından elde edilir. toplamından elde edilir. (Yosma, 2008)

22 4 3.3 Fibonacci Dizisinin Elemanlarıyla OluĢturulan Üç Bantlı Matris ve Rekürans Özellikleri Bu bölümde, J. Feng in Ars Combinatoria da yayımlanacak olan More Identities and Tridiagonal Matrices About Fibonacci and Lucas Numbers adlı makalesi verilmiştir. (Feng, Basımda) Tanım 3.3.:,,, ; den büyük keyfi tam sayılar olmak üzere; (3.3.) lineer rekürans bağıntısıyla verilen diziye genelleştirilmiş Fibonacci dizisi denir. (3.3.) ile verilen genelleştirilmiş Fibonacci dizisinde uygun,,, değerleri için, katsayılarını bulmak istiyoruz. Bunun için,, eklemeli matrisi, şeklinde yazarız. Uygun değerleri aldıktan sonra, eklemeli matrisinde elementer sütun işlemleri yaparak, katsayıları hesaplanır. Örneğin;,, ve olup Buna göre; bağıntısı elde edilir. Aşağıdaki formüllerde benzer şekilde elde edilmiştir.

23 5 Bu formüller tümevarım prensibini kullanarak genel halleri elde edilmiştir. Teorem 3.3.: ve, tipinde kare matris, olmak üzere; ( ) 2 () 2 2 ( ) tw k t w k tw k F F m F x F x x M n x x x olsun. Buna göre;

24 6 Ġspat: de için, olup olur. olup elde edilir. ( ) 2 () 2 2 () tw k t w k tw k F F m F x F x x M i x x x olup buna göre; doğru olsun. için doğru olduğunu gösterelim. ( ) 2 () 2 2 ( ) tw k t w k tw k F F m F x F x x M i x x x

25 7 hesaplarken sütuna göre açarsak F twk F ( t) wk 2 Ftwk () F ( ) F( ) 2 2 m x M i x M i x x x x x 2 ( ii) elde ederiz. nin katsayısı olan determinantı satıra göre açarsak, F twk ( t) wk 2 Ftwk () F ( ) w( it) k 2 2 F m x M i x F x x x x x 2 x ( i) ( i) elde ederiz. Buradan da M ( i ) x F x F F () F w( it) k 2 w( it2) w( it) k olup ispat tamamlanır. Teorem 3.3.2: ve, tipinde kare matris,,, ise ve ise olmak üzere;

26 8 M (2) F Ftwk m ( n) F F m ( t) wk twk x x x x x x 2 x x x 2 2 olsun. Buna göre; Ġspat: Teorem 3.3. in ispatına benzer şekilde yapılır. Örnek 3.3.: Eğer (3.3.) de, alınırsa, olur., eklemeli matrisini yazarsak olup, elde edilir. Yerine yazılırsa, elde edilir. Teorem 3.3. ve Teorem de t=2 alırsak;

27 , determinantları Fibonacci sayılarını verir. 3.4 Tribonacci Dizisinin ve Toplamlarının Matris Gösterimi Bu bölümde, E. Kılıç ın 2008 de Ars Combinatoria da yayımlanan Tribonacci Sequence with Certain Indices and Their Sums adlı makalesi verilmiştir.(kılıç, 2008) Tanım 3.4.: ve olmak üzere; (3.4.) lineer rekürans bağıntısıyla verilen sayı dizisine Tribonacci dizisi denir. Buna göre Tribonacci dizisinin ilk birkaç terimi şeklinde, Tribonacci dizisi olmak üzere; olsun. ve matrisini aşağıdaki şekilde tanımlansın.

28 C D n S T T T T S T T T T S T T T T n n n n n n n n n2 n n2 n n2 n3 n2 Lemma 3.4.: (3.4.2) Teorem 3.4.: Ġspat: Matris çarpımından ve (3.4.2) den için (3.4.3) olduğu görülür. Buradan da (3.4.4) yazabiliriz. (3.4.4) ün ispatı için de (3.4.3) de alırsak,

29 2 olur. (3.4.5) eşitliğinin doğru olduğunu varsayalım. + için doğruluğunu gösterelim. (3.4.3) denklemini soldan matrisi ile çarpalım. (3.4.3) denkleminden ve matrislerde ki çarpma işleminin birleşme özelliğinden; elde edilir. matrisinin tanımda; alındığında, (3.4.6) olduğu açıktır. (3.4.4) ve (3.4.46) denklemleri birlikte düşünüldüğü zaman teoremin ispatı açıkça görülür. matrisinin tanımından, için olduğu görülür. Matris çarpımından aşağıdaki sonuç elde edilir.

30 22 Sonuç 3.4.:, Tribonacci dizisinin karakteristik denkleminin kökleri,, olmak üzere; tanımlansın. boyutunda köşegenleştirilmiş matrisi ve matrisi aşağıdaki gibi E V / / / 2 dır. olduğu kolaylıkla görülebilir.,, farklı olduğu için

31 23 Teorem 3.4.2: için, Ġspat: ve olduğu için yazılabilir. Buna göre matrisi matrisine benzer O zaman Buna göre yazılabilir. Denklemin (2,). elemanından ve olduğu için teorem ispatlanır. ve, matrisini aşağıdaki gibi tanımlansın R K n S S S S S S S S S S S S S S S S n n2 n n n n3 n2 n n n4 n3 n2 n2 n5 n4 n3 Teorem 3.4.3: Ġspat: olduğundan ve matris çarpımından yazılır. Tümevarım metodundan elde edilir. ve matrisinin tanımından olduğu görülür. Böylece teorem ispatlanmış olur. matrisinin ve dizisinin karakteristik denklemleri dır. Denklemin kökleri hesaplanırsa,,, elde edilir.

32 24 Sonuç 3.4.2: dizisi; için,,, 2, olmak üzere; bağıntısını sağlar. Burada aşağıdaki teoremde kullanılacak olan bir denklem sistemi çözümünü hatırlayalım. homojen olmayan lineer Denklem sayısı bilinmeyen sayısına eşit ve katsayılar matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan bir lineer denklem sistemine Cramer sistemi denir.(taşçı, 999) lineer denklem sistemi bir Cramer sistemi olsun. Cramer sistemi daima bir tek çözümü vardır ve bu çözüm şeklinde verilir. Burada matrisi; matrisinin sütunu yerine nin yazılmasıyla elde edilen matristir.(taşçı,999), Vandermonde matrisi ve köşegenleştirilmiş matrisi aşağıdaki gibi tanımlansın E V 2 3 olmak üzere,, matris ve, nin nci sütunu ile yer değiştirilerek elde edilen matris olsun.

33 25 Teorem 3.4.4: için, olmak üzere, Ġspat: olduğu kolaylıkla görülür.,,, farklı olduğu için ve, Vandermonde matris olduğu için in ters matrisi vardır. Bu yüzden yazılabilir ve böylece Teorem den Buradan, denklem sisteminin çözümünden teoremin iddiası açıkça görülür Bazı Üç Bantlı Matrislerin Permanentle ĠliĢkisi Bu bölümde, E. Kılıç ve D. Taşçı nın 2007 de Rocky Mountain Journal of Mathematics dergisinde yayımlanan On The Permanents of Some Tridiagonal Matrices with Applications to the Fibonacci and Lucas Numbers adlı makalesinin bir kısmı verilmiştir. (Kılıç, Taşçı, 2007) olmak üzere, boyutundaki ve matrislerini aşağıdaki gibi tanımlansın. c c C( n) c c C2( n) c,,2 c 2, 2,2 c,,2 c 2, 2,2 c n2, n c c c n, n2 n, n n, n c c n, n n, n c n2, n c c c n, n2 n, n n, n c c n, n n, n (3.5.) (3.5.2)

34 26 olsun. Lemma 3.5.:, (3.5.) de tanımlanan şekilde dizi olsun. Buna göre; nin peş peşe permanentleri aşağıdaki formülle verilmekte Ġspat: Tümevarım metoduyla ispatı yapabiliriz. için olmak üzere; doğru olsun. için doğru olduğunu gösterelim. c, c,2 c2, c 2,2 C ( k ) per ck, k ck, k ck, k c k, k ck, k ck, k c, c,2 0 c2, c2,2 ck, k perc ( k) c c k, k c 0 k2, k c 0 k, k k, k c k, k

35 27

36 28 4. TRIBONACCI DĠZĠSĠ 4. Tribonacci Dizisi ve Bazı Özellikleri Bu bölümde, Emrah Kılıç ın Ars Combinatoria da 2008 de yayımlanan Tribonacci Sequences with Certain Indices and Their Sums adlı makalesi verilmiştir. (Kılıç, 2008) Tanım 4..:,, keyfi tam sayılar olmak üzere; (4..) lineer rekürans bağıntısıyla verilen sayı dizisine genelleştirilmiş Tribonacci dizisi denir. (Waddill, 992) olmak üzere;, Tribonacci dizisinin üreteç matrisi olan matrisini ve matrisini aşağıdaki şekilde tanımlansın. Teorem 4..: (4..2)

37 29 Ġspat: Matris çarpımı özelliğinden kolaylıkla görülür. Teorem 4..2: (4..3) eşitliği vardır. Ġspat: matrisinin tanımında alınarak kolaylıkla görülür. Teorem 4..3: (4..4) Ġspat: Teorem 4.. de (4..5)

38 30 doğru olsun. matrisi ile çarpalım. için doğru olduğunu gösterelim. (4..5) denklemini sol taraftan (4..2) eşitliğinden ve matris çarpımının birleşme özelliğinden elde edilir. Sonuç 4..: (4..6) vardır. Ġspat: (4..3) ve (4..4) eşitlikleri birlikte düşünüldüğü zaman açıkça görülür. Sonuç 4..2: matrisi; matris çarpımı altında değişmeli Ġspat: (4..2), (4..3), (4..4) ve (4..6) denklemlerinden yazabiliriz. Bu ise, Teorem 4..4: matrisinin; matris çarpımı altında değişmeli olduğunu gösterir. olmak üzere Tribonacci dizisi

39 3 (4..7) eşitliği vardır. Ġspat: (4..8) doğru olsun. matrisi ile çarpalım. için doğru olduğunu gösterelim. (4..8) denklemini sol taraftan

40 32 Matris çarpımının birleşme özelliğinden ve Tanım 3.4. den elde edilir. Lemma 4..:, Tribonacci sayısı ve olmak üzere; olsun. Bu taktirde (4..9) eşitliği vardır. (Kılıç, 2008) Ġspat:

41 33 (4..0) doğru olsun. tarafına i ekleyelim. için doğru olduğunu gösterelim. (4..0) eşitliğinin her iki elde edilir. boyutundaki G ve matrislerini aşağıda verilen şekilde tanımlansın. G = Q

42 34 M n S = S S n n 2 n n 3 A Teorem 4..5: (4..) dır. Ġspat: Matris çarpımı özelliğinden kolaylıkla görülür. Teorem 4..6: (4..2) Ġspat: matrisinin tanımda alınarak kolaylıkla elde edilir. Teorem 4..7: (4..3) eşitliği vardır. Ġspat: Teorem 4..5 de

43 35 (4..4) doğru olsun. için doğru olduğunu gösterelim. (4..4) denklemini sol taraftan matrisi ile çarpalım. (4..4) eşitliğinden ve matris çarpımının birleşme özelliğinden elde edilir. Teorem 4..8: (4..5)

44 36 Ġspat: (4..2) ve (4..3) eşitlikleri birlikte düşünüldüğü zaman elde edilir. Sonuç 4..3: matrisi, matris çarpımı altında değişmeli Ġspat: (4..2), (4..3) ve (4..5) denklemlerinden şeklinde yazabiliriz. Buradan da görülür. matrisinin matris çarpımı altında değişmeli olduğu 4.2 Negatif Ġndisli Tribonacci Dizisi ve Bazı Özellikleri Bu bölümde, 3. de genelleştirilmiş Fibonacci dizisi ve 4. de pozitif indisli Tribonacci dizisi için verilen özellikler negatif indisli Tribonacci dizisine taşınmıştır.(parpar T., Nallı A., 20) Tanım 4.2.: ve olmak üzere; (4.2.) lineer rekürans bağıntısıyla verilen sayı dizisine negatif indisli Tribonacci dizisi denir. Örneğin;

45 37 eşitliklerinden hesaplanır. Buna göre negatif indisli Tribonacci dizisinin ilk birkaç terimi şeklinde matrisini ve olmak üzere; negatif indisli Tribonacci dizisinin üreteç matrisi olan matrisini aşağıdaki şekilde tanımlayalım. (4.2.2) (4.2.3) Teorem 4.2.: (4.2.4) Ġspat: Matris çarpımı özelliğinden kolaylıkla görülür. Teorem 4.2.2: (4.2.5) Ġspat: (4.2.3) eşitliğinde alınarak elde edilir. Teorem 4.2.3:

46 38 (4.2.6) Ġspat: Teorem 4.2. de (4.2.7) doğru olsun. matrisi ile çarpalım. için doğru olduğunu gösterelim. (4.2.7) denklemini sol taraftan (4.2.4) eşitliliğinden ve matris çarpımının birleşme özelliğinden

47 39 elde edilir. Sonuç 4.2.: için (4.2.8) vardır. Ġspat: (4.2.5) ve (4.2.6) eşitlikleri birlikte düşünüldüğü zaman açıkça görülür. Sonuç 4.2.2: matrisi; matris çarpımı altında değişmeli Ġspat: (4.2.4), (4.2.5), (4.2.6) ve (4.2.8) denklemlerinden şeklinde yazabiliriz. Bu ise; matrisinin, matris çarpımı altında değişmeli olduğunu gösterir. Teorem 4.2.4: olmak üzere Tribonacci dizisi için (4.2.9) eşitliği vardır. Ġspat:

48 40 (4.2.0) doğru olsun. için doğru olduğunu gösterelim. (4.2.0) denklemini sol taraftan matrisi ile çarpalım. Matris çarpımının birleşme özelliğinden ve Tanım 4.2. den

49 4 elde edilir. Lemma 4.2.:, Tribonacci dizisi ve olmak üzere; olsun. Bu taktirde (4.2.) eşitliği vardır. Ġspat: (4.2.2)

50 42 doğru olsun. tarafına ekleyelim. için doğru olduğunu gösterelim. (4.2.2) eşitliğinin her iki elde edilir. boyutundaki D ve matrislerini aşağıda verilen şekilde tanımlayalım D= 0 F 0 S n H = n S n 2 B n S n 3 Teorem 4.2.5: (4.2.3) dır. Ġspat: Matris çarpımı özelliğinden kolaylıkla görülür.

51 43 Teorem 4.2.6: (4.2.4) Ġspat: matrisinin tanımda alınarak kolaylıkla görülür. Teorem 4.2.7: (4.2.5) eşitliği vardır. Ġspat: Teorem de (4.2.6)

52 44 doğru olsun. için doğru olduğunu gösterelim. (4.2.6) denklemini sol taraftan matrisi ile çarpalım. (4.2.3) eşitliğinden ve matrislerde çarpıma işleminin birleşme özelliğinden elde edilir. Teorem 4.2.8: (4.2.7) Ġspat: (4.2.4) ve (4.2.5) eşitlikleri birlikte düşünüldüğü zaman elde edilir. Sonuç 4.2.3: matrisi, matris çarpımı altında değişmeli Ġspat: (4.2.3), (4.2.4), (4.2.5) ve (4.2.7) denklemlerinden şeklinde yazabiliriz. Buradan da görülür. matrisinin matris çarpımı altında değişmeli olduğu

53 GenelleĢtirilmiĢ Tribonacci Dizisi için Lineer Toplam Formülleri Bu bölümde genelleştirilmiş Tribonacci dizisi için elde edilen lineer toplam formülleri ispatsız olarak verilecektir. İspatları tümevarım metoduyla yapmak mümkündür. Ancak bu metot ile formüllerin elde edilişleri hakkında bilgi edinilememekte Bu yüzden elde ediliş yöntemi hakkında fikir edinilebilmesi için birinin ispatı verilecektir.(parpar T., Nallı A., Submited) Tribonacci dizisi için elde edilen lineer toplam formülleri aşağıdaki şekilde

54 46 (4.4.) in ispatı; (4..2) denklemini düzenleyerek şeklinde yazabiliriz ve bu denklemleri taraf tarafa toplarsak

55 47 elde edilir. 4.4 Tribonacci Serileri Bu bölümde, 3.2 de Fibonacci-Lucas serileri için verilen formüller Tribonacci dizisine uyarlanmıştır. (Parpar T., Nallı A., Submited) Tanım 4.4.:, ve olmak üzere; (4.4.) lineer rekürans bağıntısıyla verilen sayı dizisine tam sayı dizisi denir.(lin, 988) Buna göre dizisinin ilk birkaç terimi şeklinde verilmiştir. dizi ile Tribonacci dizisi arasındaki bağıntı aşağıdaki Lemma ile Lemma 4.4.:, Tribonacci dizisi ve, (4.4.) denklemiyle verilen dizi olmak üzere; (4.4.2) eşitliği geçerli (Lin, 988) Bu bölümde kullanılan metot aşağıdaki gibi iki yada daha fazla terim içeriyor ve serinin geri kalan terimleri giderken sıfıra gidiyor. Buna göre; sonsuza

56 48 toplamını düşünelim. İlk parantezin toplamı Ayrıca olup elde edilir. Aşağıda verilen diğer formüllerde bu metot ile elde edilmiştir.

57 49 toplamından elde edilir. toplamından elde edilir. toplamından

58 50 elde edilir. toplamından elde edilir. toplamından elde edilir.

59 5 toplamından elde edilir. toplamından elde edilir. toplamından

60 52 elde edilir. toplamından elde edilir. toplamından elde edilir.

61 53 toplamından elde edilir. toplamından elde edilir. 4.5 Tribonacci Dizisinin Elemanlarıyla OluĢturulan Matris ve Rekürans Özellikleri taşınmıştır. Bu bölümde, 3.3 de Fibonacci dizisi için verilen kavramlar Tribonacci dizisine Tanım 4.5.:, den büyük tam sayı ve üzere; keyfi tamsayılar olmak üzere olmak

62 54 (4.5.) lineer rekürans bağıntısıyla verilen diziye genelleştirilmiş Tribonacci dizisi denir. (4.5.) ile verilen genelleştirilmiş Tribonacci dizisinde uygun,,, değerleri için,, katsayılarını bulmak istiyoruz. Bunun için,, eklemeli matrisini T T T T wn w( n) w( n2) w( nh) k n w( n) wn w( n) w( nh) k A T T T T T T T T w( n2) w( n) wn w( nh2) k şeklinde yazarız. Uygun,,, değerleri aldıktan sonra eklemeli matrisinde elementer sutun işlemleri yaparak,, katsayıları hesaplanır. Örneğin;,, ve T T0 T T2 0 0 A T2 T T0 T T T T T olup Buna göre; bağıntısı elde edilir. Aşağıdaki formüllerde benzer şekilde elde edilmiştir.

63 55 Bu formüller tümevarım prensibini kullanarak genel halleri elde edilmiştir. Teorem 4.5.: ve, tipinde kare matris olmak üzere; Ttwk m T( t2) wk Ttwk T( t) wk x3 Ttwk x2 () MT ( n) x x 3 x x 2 olsun. Buna göre; Ġspat: de için,

64 56 olup olur. olup elde edilir. için doğru olsun. için doğru olduğunu gösterelim. Ttwk m T( t2) wk Ttwk T( t) wk x3 Ttwk x2 () MT ( i ) x x 3 x x 2 hesaplarken sütuna göre açarsak, twk ( t2) wk twk ( t) wk 3 twk 2 () T ( ) T( ) 2 3 twk ( t2) wk twk ( t) wk 3 T m T T T x x x x 3 3 twk T 2 x M i x M i x x x T m T T T x T x x 2 x ( ii) x x x 2 3 x 2 ( ii)

65 57 olur, buna göre eşitlikte nin katsayısı olan determinantı bu sefer satıra göre, nin katsayısı olan determinantı ise satıra göre açtıktan sonra tekrar satıra göre açarsak, M ( i ) x T x M ( i ) x M ( i 2) () T w( it) k 2 T 3 T M ( i ) x T x T x T T () T w( it) k 2 w( it2) 3 w( it3) k w( it) k olup ispat tamamlanır. Teorem 4.5.2: ve, tipinde kare matris olmak üzere; Ttwk m T( t2) wk Ttwk T( t) wk x3 Ttwk x2 (2) MT ( n) x x x x 3 2 olsun. Buna göre; Ġspat: Teorem 4.5. in ispatına benzer şekilde yapılır.

66 58 5. k. MERTEBEDEN REKÜRANS BAĞINTISI 5. k. Mertebeden Rekürans Bağıntısı ile Elde Edilen Dizinin ve Toplamlarının Matris Gösterimi (3.4) bölümünde verilen bilgiler k. mertebeden rekürans bağıntısına genelleştirilmiştir. Tanım 5..:,,,,,..., olmak üzere; bağıntısına k. mertebeden rekürans bağıntısı denir ve bu bağıntıyla üretilen dizi dizisi dizisi, Tanım 5.. de tanımlanan { } dizisinde, alındığı zaman Tribonacci dizi elde edilir. { } dizisinin negatif indisli terimlerini, alındığı zaman Fibonacci şeklinde geri rekürans bağıntısıyla hesaplayabiliriz. { } dizisinin üreteç matrisi olan boyutundaki matrisini ve boyutundaki matrisini aşağıdaki gibi tanımlayalım. U

67 59 V n k 2 L L L L k 2 L L L L k 3 L L L L 2k3 k L L L L n ni ni n i0 i0 n ni ni n i i n ni ni n2 i2 i2 nk 2 ni ni nk ik ik Teorem 5..:, mertebeden rekürans dizisinin terimi olmak üzere, olsun. boyutunda ve matrisini aşağıdaki şekilde tanımlayalım. Y

68 60 Z n S n Sn V n Sn2 S nk Lemma 5..: Teorem 5..2: Ġspat: Matris çarpımından ve Lemma 5.. den (5..) olduğu görülür. Buradan da (5..2) yazabiliriz. İspatını tümevarım metoduyla yapabiliriz. Bunun için (5..2) de alırsak,

69 6 olur. (5..3) eşitliğinin doğru olduğunu varsayalım. + için doğruluğunu gösterelim. (5..3) denklemini soldan matrisi ile çarpalım. (5..) denkleminden ve matrislerde ki çarpma işleminin birleşme özelliğinden; elde edilir. matrisinin tanımda alındığında, (5..4) olduğu açıktır. (5..3) ve (5..4) denklemleri birlikte düşünüldüğü zaman teoremin ispatı açıkça görülür. matrisinin tanımından, için olduğu görülür. Matris çarpımından aşağıdaki sonuç elde edilir. Sonuç 5..:

70 62 şeklinde dizisinin, karakteristik denkleminin,,, tane kökü vardır. boyutundaki köşegenleştirilmiş matrisini ve matrisini aşağıdaki gibi tanımlayalım. K W k k k k / ( k ) 2 k / ( k ) 2 k / ( k ) dır. Teorem 5..3: olduğu kolaylıkla görülebilir.,,, farklı olduğu için için, Ġspat: ve olduğu için yazılabilir. Buna göre matrisi matrisine benzer O zaman Buna göre yazılabilir. Denklemin (2,) nci elemanından teorem ispatlanır.

71 63 ve, matrisini aşağıdaki gibi tanımlayalım N S S S S S S S S P S S S S S S S S n nk n n n nk n2 n n n nk n3 n2 nk n2k nk nk Teorem 5..4: Ġspat: olduğundan ve matris çarpımından yazılır. Tümevarım metodundan elde edilir. ve matrisinin tanımından olduğu görülür. Böylece teorem ispatlanmış olur. matrisinin ve dizisinin karakteristik denklemleri dır. Denklemin kökleri hesaplanırsa,,,, elde edilir. Sonuç: dizisi; için,,, 2,,, olmak üzere; bağıntısını sağlar. boyutundaki, Vandermonde matrisini ve köşegenleştirilmiş matrisi aşağıdaki gibi tanımlayalım.

72 64 K k k k k k 2 k k k k 2 k W 2 k olmak üzere,, matris ve, nin nci sütunu ile yer değiştirilerek elde edilen matris olsun. Teorem 5..5: için, olmak üzere, Ġspat: olduğu kolaylıkla görülür.,,, farklı olduğu için ve, Vandermonde matris olduğu için in ters matrisi vardır. Bu yüzden yazılabilir ve böylece Teorem 5..4 den dan Buradan; denklem sisteminin çözümünden ispat görülür.

73 k. Mertebeden Rekürans Dizisinin Elemanlarıyla OluĢturulan Matris ve Rekürans Özellikleri Bu bölümde, 3.3 de Fibonacci dizisi için verilen kavramlar rekürans dizisine taşınmıştır. mertebeden Tanım 5.2.:, den büyük tam sayılar ve keyfi tamsayılar olmak üzere; (5.2.) lineer rekürans bağıntısıyla verilen diziye genelleştirilmiş mertebeden rekürans dizisi denir. (5.2.) ile verilen genelleştirilmiş mertebeden rekürans dizisinde uygun,,, değerleri için,,,, katsayılarını bulmak istiyoruz. Bunun için,, eklemeli matrisini A n L L L L L L L L L L L L wn w( n) w( n k ) w( nh) s w( n) wn w( n2 k ) w( nh) s w( nk ) w( nk 2) wn w( nhk) s şeklinde yazarız. Uygun,,, değerleri aldıktan sonra eklemeli matrisinde elementer sutun işlemleri yaparak,,,, katsayıları hesaplanır. Örneğin; A L L L L L L L L L L L L w 0 w(2 k ) w( h) s 2 w w w(3 k ) w(2 h) s kw w( k ) w w( hk ) s olur. Burada alırsak 4.5 bölümde verilen özellikler elde edilir. alınarak Tetranacci, Pentanacci dizisi gibi diziler için rekürans bağıntısı türetilebilir. Teorem 5.2.:,, ve

74 66 diğer durumlarda olmak üzere;, tipinde kare matris olsun. Buna göre; Ġspat: de için, olup olur. olup elde edilir. L L L L L 0 L L L L 0 L tws ( t) ws ( t2) ws ( t3) ws ( ti2) ws ( t) ws ( t2) ws ( ti3) ws tws ( ti4) ws () L ( ) tws ( ti5) ws M i L L L tws

75 67 olup buna göre; doğru olsun. için doğru olduğunu gösterelim. L L L L L 0 L L L L 0 L tws ( t) ws ( t2) ws ( t3) ws ( ti) ws ( t) ws ( t2) ws ( ti2) ws tws ( ti3) ws () L ( ) tws ( ti4) ws M i L L L tws hesaplarken determinant kalana kadar son sütuna göre açarak devam edilir. Sadeleştirilmeler yapıldığında ise teorem ispatı açıkça görülür.

76 68 6. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER 6. Sonuçlar Bu çalışma altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş bölümü olup ikinci bölümde ise kaynak araştırması yapılmıştır. Üçüncü bölümde Fibonacci dizisiyle ilgili yapılan bazı çalışmalardan bahsedilmiştir. Dördüncü ve beşinci bölüm tezin esas kısmı olup, dördüncü bölümde üçüncü bölümde verilen çalışmalar Tribonacci dizisine taşınmıştır. Beşinci bölümde ise bu çalışmalar Fibonacci, Tribonacci, gibi dizilerin genellemesi olan mertebeden lineer rekürans dizisine taşınarak bazı özellikleri ele alınmıştır. 6.2 Öneriler Altıncı bölümde tanımlanan mertebeden lineer rekürans bağıntısının başlangıç şartları değiştirilerek yeni bir dizi oluşturacak şekilde tanımlanıp özellikler tekrar incelenebilir.

77 69 KAYNAKLAR Brousseau A., 969, Fibonacci-Lucas Infinite Series-Research Topic, Fibonacci Quarterly, 7(2), 2-27 Cerit C. ve Canoğlu A., 99, Matematik Analiz,, İTÜ Fen Fakültesi, İstanbul, Er M.C., 984, Sums of Fibonacci Numbers by Matrix Methods, Fibonacci Quarterly, 22(3), Feng J., Basımda, More Identities and Tridiagonal Matrices About Fibonacci and Lucas Numbers, Ars Combinatoria Kılıç E., 2008, Tribonacci Sequences with Certain Indices and Their Sums, Ars Combinatoria, 86, 3-22 Kılıç E., Taşçı D., 2007, On The Permanents of Some Tridiagonal Matrices with Applications to the Fibonacci and Lucas Numbers, Roky Mountain Journal of Mathematics, 37(6), Lin P., 988, De Moivre-type İdentities for the Tribonacci Numbers, Fibonacci Quarterly, 26(2), 3-34 Miles E.P., 960, Generalized Fibonacci Numbers and Associated Matrices, Amer. Math. Monthly, 67, Nyugen T.G., 2005, Fibonacci and Lucas Series with Elliptic Functions, In Partial Fulfilment of the Requirements for the Degree Master of Arts, The Faculty of the Department of Mathematics, San Jose State University, 3-35 Parpar T., Nallı A., 20, Negatif İndisli Tribonacci Dizisinin Bazı Özellikleri, 3. Ulusal Ereğli Kemal Akman Meslek Yüksek Okulu Tebliğ Günleri Parpar T., Nallı A., Submited, The Tribonacci Infinite Series, Miskolc Mathematical Notes Taşçı D., 999, Lineer Cebir, S.Ü.Yaşayma ve Geliştirme Vakfı Yayınları, Konya Yosma Z., 2008, Fibonacci ve Lucas Sayıları, Yüksek Lisans Tezi, Sakarya Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Sakarya, 5-64 Waddil M.E., 992, The Tetranacci Sequence and Generalizations, Fibonacci Quarterly, 30(), 9-20

78 70 ÖZGEÇMĠġ KĠġĠSEL BĠLGĠLER Adı Soyadı : Tuğba PARPAR Uyruğu : TC Doğum Yeri ve Tarihi : Akşehir 988 Telefon : parpar.tugba@gmail.com EĞĠTĠM Derece Adı, Ġlçe, Ġl Bitirme Yılı Lise : Selçuklu Atatürk Lisesi 2005 Üniversite : Selçuk Üniversitesi 2009 Yüksek Lisans : Selçuk Üniversitesi - Ġġ DENEYĠMLERĠ Yıl Kurum Görevi 20 Ereğli Eğitim Fakültesi Araştırma Görevlisi UZMANLIK ALANI YABANCI DĠLLER İngilizce