Her bir kapının girişine sinyal verilmesi zamanı ile çıkışın alınması zamanı arasında çok kısa da olsa fark bulunmaktadır -> kapı gecikmesi

Transkript

1 Kapılardaki gecikme Her bir kapının girişine sinyal verilmesi zamanı ile çıkışın alınması zamanı arasında çok kısa da olsa fark bulunmaktadır -> kapı gecikmesi Kapılardaki gecikme miktarının hesaplanması oldukça detaylı bir çalışmadır. Biz bu derste, her bir kapıda sabit miktarda gecikme olduğunu kabul edeceğiz. Gecikmeye ait grafiksel zamanlama diagramı şu şekilde gösterilebilir: 1 0 x x Kapı gecikmesi 1

2 Elde eklemede gecikmeler: (Dalgalı Elde Toplayıcı)

3 4-bitlik toplama devresine ait diyagram incelenirse: Buna dalgalı elde toplayıcı ismi verilebilir. Çünkü A0, B0 ve EG girişleri sola doğru dalgalanmaktadır; ta ki EÇ ve T3 hesaplanabilinceye kadar! Dalgalı elde toplayıcı yavaştır! A0, B0 ve EG değerlerinin sisteme verilmesinden EÇ ve T3 ün hesaplanmasına kadar geçen yol oldukça uzundur. n-bitlik bir dalgalı elde toplayıcıda en uzun yol: 2n+1 kapıdır. Bu örnekteki 4-bitlik toplama için en uzun yol 9 kapıdır. Örneğin 64-bitlik toplayıcıda, en uzun yol 129 kapıdır!

4 Eldeyi hesaplamak için daha hızlı bir yöntem: Çıkıştaki eldeyi hesaplayabilmek için önceki bütün aşamalardaki eldelerin hesaplanmasını beklemek yerine, 2-seviyeli bir devre ile doğrudan hesaplayabiliriz. Böylece ana devredeki gecikmeyi azaltmış oluruz. Öncelikle iki fonksiyon tanımlayalım: üreteç (generate) fonksiyonu g i, i inci aşamada elde çıkışı olduğunda 1 olsun. (Yani, A i ve B i 1olduğunda). g i = A i B i yayılım (propagate) fonksiyonu p i, gelen bir elde olduğunda (Eg=1) 1 olsun. (Yani, A i =1 veya B i =1, ama ikisi birden değil). p i = A i B i Bu durumda elde çıkış fonksiyonunu yeniden yazabiliriz: e i+1 = g i + p i e i g i A i B i E i E i p i 4

5 Cebirsel olarak elde ifadesi i inci aşama için hesapladığımız e i+1 = g i + p i e i fonksiyonu yardımıyla bazı elde çıkışları yazılırsa: e 1 = g 0 + p 0 e 0 e 2 = g 1 + p 1 e 1 = g 1 + p 1 (g 0 + p 0 e 0 ) = g 1 + p 1 g 0 + p 1 p 0 e 0 e 3 = g 2 + p 2 e 2 = g 2 + p 2 (g 1 + p 1 g 0 + p 1 p 0 e 0 ) = g 2 + p 2 g 1 + p 2 p 1 g 0 + p 2 p 1 p 0 e 0 e 4 = g 3 + p 3 e 3 = g 3 + p 3 (g 2 + p 2 g 1 + p 2 p 1 g 0 + p 2 p 1 p 0 e 0 ) = g 3 + p 3 g 2 + p 3 p 2 g 1 + p 3 p 2 p 1 g 0 + p 3 p 2 p 1 p 0 e 0 Bu ifadelerin hepsi çarpımlar toplamı olduğundan, sadece 2-seviyeli gecikme olacaktır. 5

6 4-bitlik İleri bakmalı elde devresi (Look Ahead Carry) 6

7 Bu bir ileri bakmalı elde devresi dir. Ne kadar hızlı? Tasarlamış olduğumuz 4-bit toplayıcı için belki çok fazla değil: 9 kapıdan 4 kapıya indi. Ancak bir 16-bitlik toplayıcı için: 33 -> 8 Günümüzdeki yeni mikroişlemcilerde kullanılan 64-bitlik toplayıcılar için: 129 -> 12! Normal elde toplayıcıdaki gecikme toplayıcının boyutu ile doğrusal olarak artarken, ileri bakmalı elde toplayıcıda logaritmik olarak artmaktadır. Karmaşıklık ve performans açısından bir Trade-off söz konusudur: Normal elde toplayıcı basit ancak yavaştır. Öte yandan, ileri bakmalı elde toplayıcı ise hızlı ancak daha karmaşıktır. 7

8 İşaretli Sayılar Şu ana kadar kullandığımız binary sayıların tamamı işaretsiz (pozitif) sayılardır. Negatif sayılar ve ardından da Çıkarma İşlemi? İşaretli sayılar ın gösterimi için 3 farklı yöntem inceleyeceğiz. Çıkarma işlemi: x - y i. Her iki sayıyı da işaretli sayıya dönüştürmek ii. İşaretli bir sayının negatifini almak: y -> -y iii. İki işaretli sayıyı toplamak: x + (-y) Not-1: Bir işaretli sayı için Negatifini alma kavramı: x -> -x Not-2: Değişkenler için Toplama işlemi : x+y (VEYA işlemi ile karıştırılmamalı!) 8

9 1) İşaretli Büyüklük Gösterimi Normal matematikte bir büyüklüğün pozitif veya negatif olduğunu belirtmek için sayının önüne + veya işareti eklenir. Binary sayılarda da sayının önüne bir bitlik ekstra bir işaret biti eklenebilir: 0 işaret biti sayının pozitif 1 işaret biti ise sayının negatif olduğunu gösterir. Örnekler: = (4-bitlik bir işaretsiz sayı) = (5-bitlik bir işaretli pozitif sayı) = (5-bitlik bir işaretli negatif sayı) = 4 10 (4-bitlik bir işaretsiz sayı) = (5-bitlik bir işaretli pozitif sayı) = (5-bitlik bir işaretli negatif sayı) 9

10 İşaretli Büyüklükte Toplama Bir sayının negatifini almak için doğrudan işaret bitini tersine çevirmek yeterlidir. Bu yöntemde sayıları toplamak ise zordur. Ortaokulda öğretilen toplama yöntemi geçerlidir: Eğer sayılar aynı işaretli ise, büyüklükleri topla ve işaret aynı kalsın. Eğer sayıların işaretleri farklı ise, büyüklükler içinden büyük olanından küçüğü çıkar ve büyük olan büyüklüğün işaretini sonucun işareti olarak al. Bu çıkarma yöntemi oldukça karmaşık yapıda bir devre ile gerçekleştirilebilir çünkü:

11 2) 1 e Tümleme Gösterimi Bir başka yaklaşım olan 1 e tümleme yönteminde, sayının negatifinin alınması sayıdaki her bir bitin tümleyeninin alınması ile gerçekleştirilir: 1 -> 0 ve 0 -> 1 Pozitif için 0, negatif için 1 olan işaret bitinin de diğerleri ile birlikte tümleyeni alınır. Örnekler: = (4 bitlik bir işaretsiz sayı) = (5 bitlik bir pozitif 1 e tümleme sayısı) = (5 bitlik bir negatif 1 e tümleme sayısı) = 4 10 (4 bitlik bir işaretsiz sayı) = (5 bitlik bir pozitif 1 e tümleme sayısı) = (5 bitlik bir negatif 1 e tümleme sayısı) 11

12 1 e Tümlemede Toplama 1 e tümlemede sayıların toplamı: Öncelikle sayılar işaretsizmiş gibi toplanır. (İşaret bitleri de dahil olarak) Ardından Elde çıkışı alınarak toplama eklenir. Örneğin: 0111 (+7) (-4) (+3) 0011 (+3) (+2) (+5) İşaretli büyüklükte toplamaya göre bu daha basit bir yöntemdir. 12

13 3) 2 ye Tümleme Gösterimi Son yaklaşım ise 2 ye tümleme. Sayının negatifini almak için öncelikle her bitin tümleyeni alınır (1 e tümlemede olduğu gibi); Ardından, elde edilen sayıya 1 eklenir. Örnekler: = (4-bitlik bir işaretsiz sayı) = (5 bitlik bir pozitif 2 e tümleme sayısı) = (5 bitlik bir negatif 1 e tümleme sayısı) = (5 bitlik bir negatif 2 e tümleme sayısı) = 4 10 (4-bitlik bir işaretsiz bir sayı) = (5 bitlik bir pozitif 2 e tümleme sayısı) = (5 bitlik bir negatif 1 e tümleme sayısı) = (5 bitlik bir negatif 2 e tümleme sayısı) 13

14 2 ye Tümlemede Toplama 2 ye tümleme alma diğerlerine göre biraz daha fazla iş gerektiriyor ancak buna karşılık, toplama işlemi diğer iki yönteme göre daha kolay. A + B için: A ve B yi işaretsiz sayı toplamı yap (işaret bitleri de dahil) Elde çıkışını önemseme, at. Örnek: için (yani (+7) + (-4)): Öncelikle toplamını işaretsiz sayılarmış gibi yap: Elde çıkışını (1) at. Sonuç: 0011 (+3) Örnek: iki negatif sayının toplamı: ((-3) + (-2)) Elde çıkışı (1) i at. Sonuç: 1011 (-5)

15 İşaretli sayı sistemlerinin karşılaştırılması Pozitif sayılarda her üç gösterim de aynı. İşaretli büyüklükte ve 1 e tümlemede 0 a karşılık gelen iki gösterim var. Bu karmaşıklığa sebep olabilir. 2 ye tümlemede ise asimetrik bir aralık söz konusudur. Negatif sayılarda pozitiflere göre 1 tane fazla sayı var. -8 var ama +8 yok. Buna rağmen, 2 ye tümleme tercih edilir. Çünkü tek bir 0 var ve toplama algoritması en basiti. Decimal İ.B. 1 e tüm. 2 ye tüm

16 İşaretli sayı sistemlerinin aralıkları 3 yöntemden her birinde pozitif ve negatif kaç tane sayının gösteriminin söz konusu olduğuna bakılırsa: İşaretsiz İşaretli Büyüklük 1 e Tümleme 2 ye Tümleme En küçük 0000 (0) 1111 (-7) 1000 (-7) 1000 (-8) En büyük 1111 (15) 0111 (+7) 0111 (+7) 0111 (+7) Genel olarak, n-bitlik sayı (işaret biti dahil) için, aralıklar: İşaretsiz İşaretli Büyüklük 1 e Tümleme 2 ye Tümleme En küçük 0 -(2 n-1-1) -(2 n-1-1) -2 n-1 En büyük 2 n -1 +(2 n-1-1) +(2 n-1-1) +(2 n-1-1) 16

17 İşaretli sayıları decimale çevirme - Örnek: sayısını decimale çevirelim: İşaret biti 1 olduğundan, bu bir negatif sayıdır. En kolay yöntem öncelikle bulunduğu formatta pozitif haline çevirmektir. (a) eğer sayı işaretli büyüklük formatında ise, Orjinal sayının (110101) negatifi alınırsa: Bu sayı decimal olarak +21 dir. Öyleyse, sayısı -21 e karşılık gelir. (b) eğer sayı 1 e tümleme formatında ise, sayısını 1 e tümlemede negatifi alınırsa: = Öyleyse, orjinal sayı (c) eğer sayı 2 ye tümleme formatında ise sayısını 1 e tümlemede negatifi alınırsa: = Öyleyse, orjinal sayı = ! Binary işaretli sayılar gösterildikleri sisteme bağlı olarak farklı bir sayıya karşılık gelirler. 17

18 Çıkarma Devresi Tasarımı Bir çıkarma devresini işaretsiz sayı toplama devresinde olduğu gibi doğrudan tasarlayabiliriz. Ancak, eğer 2 ye tümleyen yöntemi kullanılırsa çıkarma problemi toplama problemine dönüşmektedir. Cebirsel olarak, A - B = A + (-B) Böylece A dan B yi çıkarmak yerine A ya B nin 2 ye tümleyenini eklenebilir. Böylece işaretsiz toplama devresi donanımını tekrar kullanabiliriz. 18

19 2 ye tümleme çıkarma devresi A B yi bulmak için: B nin her bir bitinin tümleyeni alınır Eg Elde girişi 1 olarak set edilir. Sonuç: A + B + 1 (B + 1: B nin 2 ye tümleyenidir.) Not: A3, B3 ve S3 işaret bitleridir. Toplama ve çıkarma devreleri arasındaki tek fark: Çıkarılan sayının (B3 B2 B1 B0) tümleyeni alınmalı İlk elde girişi 0 yerine 1 olarak set edilmeli 19

20 Toplama ve Çıkarma Devresi Toplama ve çıkarmayı tek bir devrede tasarlamak çok da zor değildir! XOR kapısı B girdisinin tümleyenini alma şansı verir: X 0 = X X 1 = X Ç= 0ise, XOR kapılarının çıkışları B3 B2 B1 B0 ve elde girişi 0. Devrenin çıkışı: A + B + 0 (=A + B). Ç= 1ise, XOR kapılarının çıkışları B3 B2 B1 B0 ve elde girişi 1. Böylece, devrenin çıkışı: 2 ye tümleyen çıkarmadır: A - B 20