BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ İÇİN İŞLETME İSTATİSTİĞİ

Transkript

1 SAKARYA ÜNİVERSİTESİ BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ İÇİN İŞLETME İSTATİSTİĞİ Hafta 7 Yrd. Doç. Dr. Halil İbrahim CEBECİ Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi ne aittir. "Uzaktan Öğretim" tekniğine uygun olarak hazırlanan bu ders içeriğinin bütün hakları saklıdır. İlgili kuruluştan izin almadan ders içeriğinin tümü ya da bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kayıt veya başka şekillerde çoğaltılamaz, basılamaz ve dağıtılamaz. Her hakkı saklıdır 2013 Sakarya Üniversitesi 0

2 BÖLÜM 4 OLASILIK KAVRAMI BÖLÜMÜN AMACI Bu bölümün amacı kesikli ve sürekli olasılık dağılımları ile ilgili temel bilgileri öğrenmek, hangi dağılımların hangi amaçla kullanıldılkarını kavramak, bu dağılım sorularının EXCEL yardımıyla çözülmesini anlayabilmektedir Kesikli Olasılık Dağılımları Hipergeometrik Dağılım Eğer binom deneyi karakteristiklerinde deneylerin birbirinden bağımsız olması ve deneyler boyunca başarı olasılıklarının değişmemesi kuralı ihlal ediliyorsa, fakat yinede incelenen deneyin iki farklı olası sonucu mevcut ise o zaman verilerin hipergeometrik dağılıma uydukları varsayılabilir. Hiper geometrik dağılımın karakteristikleri ise aşağıdaki gibidir. tane deneme genişliğinde sonlu bir ana kütleden çekilsin, Çekilen örnekler tekrar yerine konmayacak, Denemeler birbiri ile bağımlı, Yukarıdaki karakteristiklerin sağlandığı, ana kütlede tane başarılı deney olduğu bilindiği durumlarda, çekilen örnekteki başarılı olması olasılığı hipergeometrik dağılım ile belirlenir. Hipergeometrik dağılım olasılıkları aşağıdaki formülle hesaplanır. P( x) C N X nx N Cn C X x = Ana kütle boyutu = Ana kütledeki başarılı deney sayısı = örnek boyutu = örnekteki başarılı deney sayısı = örnekteki başarısız deney sayısı DİKKAT Hipergeometrik dağılım olasılıkları istatistiksel tablolar yardımıyla hesaplanmaz. 1

3 ÖRNEK 10 ampul bulunan bir kutudan 3 tanesi seçilmiştir. Kutudaki 10 ampulden 4 tanesi defolu ise, Seçilen 3 ampulden 2 tanesinin defolu olma olasılığı nedir? ÇÖZÜM Soruda verilen olasılık aşağıdaki gibi hesaplanır. Hesaplamayı doğru yapabilmek adına aşağıdaki formülü de hatırlayalım. Excel yardımıyla Hipergeometrik dağılım olasılıklarını hesaplamak oldukça kolaydır. EXCEL Excelde hipergeomtrik dağılıma uyan rassal değişkenin olasılıkları HİPERGEOM.DAĞ fonksiyonu yardımıyla hesaplanabilir. HİPERGEOM.DAĞ fonksiyonu yapısı aşağıdaki gibidir. HİPERGEOM.DAĞ(başarı_örnekleme,sayı_örnek,b_popülasyon,sayı_pop,kümülatif) Başarı_örnekleme: Örnekteki başarı sayısıdır. Sayı_örnek: Örnek boyutudur. B_popülasyon: Popülasyondaki başarı sayısıdır. Sayı_pop: Popülasyon boyutudur. Kümülatif: Kümülatif olarak olasılıklar hesaplanmak isteniyorsa DOĞRU ifadesi formül içerisine yerleştirilmelidir. Aksi halde YANLIŞ ifadesi kullanılmalıdır. Önceki örnekte verilen değerler için hipergeometrik dağılım excel fonksiyonu aşağıdaki gibi hazırlanabilir. 2

4 Sürekli Olasılık Dağılımları Sayılamayan (sürekli) değerler alan rassal değişkenler sürekli rassal değişkenler olarak tanımlanır. Olası değerlerin bir listesi oluşturulamaz. Çünkü teoride ölçüm hassasiyetine bağlı olarak rassal değişken herhangi bir değeri alabilir. Sonsuz sayıda olası sonuç olduğundan her bir değerin olasılığı «0» dır. Bu açıdan bakıldığından sürekli olasılık fonksiyonlarında kesiklinin aksine değerler değil, değer aralıkları önemlidir. Örneğin bir zar atma deneyinde P(X=5) olasılığı önemlidir, fakat bir görevin tam olarak bitiş süresi için aynı olasılıktan bahsetmek uygun olmaz, çünkü gerçekten 5 dakikada bir görevin tamamlanması neredeyse imkansızdır. Bir sürekli değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki özellikleri taşır. ile arasındaki bütün değerleri için dır. Eğrinin altındaki toplam alan (a ile b arasındaki) bire eşittir. Kümülatif olasılık yoğunluk fonksiyonu şeklinde gösterilir. Sürekli değişkenin değerini aşmadığı alandaki olasılıkların toplamı olarak ifade edilir. 3

5 Düzgün Dağılım İki değer arasında kalan bütün değerlerin olasılıklarının birbirine eşit olduğu dağılım türüdür. Düzgün dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu ise aşağıdaki gibidir. 1, ğ 0, değişkeni için olasılık yoğunluk fonksiyonu = en küçük değeri = en büyük değeri Düzgün dağılımın ortalaması üst sınır ile alt sınırın aritmetik ortalamasına eşittir. İki değer altında kalma olasılığı, düzgün dağılım grafiğindeki ilgili dikdörtgenin alanına eşittir. Bir değişkeninin ile değeri arasında olma olasılığı; 4

6 ÖRNEK Bir benzin istasyonunda bir gün içerisinde satılan akaryakıtın 2000 ila 5000 litre arasında düzgün dağıldığı belirlenmiştir. a. Günlük akaryakıt satışının 2500 ila 3000 litre arasında olması olasılığı nedir? b. Günlük en az 4000 litre satılması olasılığı nedir? c. Tam olarak 2500 litre akaryakıt satılması ihtimali nedir? ÇÖZÜM A şıkkında 2500 ile 3000 değerleri arasında kalma olasılığı istenmektedir. Soruda ayrıca minimum ve maksimum satış miktarları da ( 2000 ve 5000) verilmiştir. Bu bağlamda a şıkkını aşağıdaki formülle hesaplayabiliriz. Benzer şekilde b şıkkıda hesaplanabilir. C şıkkı ise sürekli değişkenlerin temel kurallarında biri olan bir noktadaki olasılığın sıfır olmasına işaret etmektedir. Üstel Dağılım İki olayın oluşu arasındaki zamanın dağılımının genelde üstel olduğu kabul edilir. Örneğin bir boşaltma alanına kamyonların gelişleri arası süre, bir ATM den para çekilişleri arasında geçen süre, bir firmanın müşteri hizmetlerine gelen telefonların arasındakü sürelerin üstel dağılıma uyduğu farz edilir. DİKKAT Bir zama aralığındaki olayların sayısı Poisson dağılımına, bu olaylar arasındaki geçen süre üstel dağılıma uyar. Çünkü geliş sayısı kesikli, süre ise sürekli bir değişkendir. 5

7 Üstel dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir. Üstel dağılım tek bir parametre () ile tanımlanır ve bu parametre 1 değerine eşittir. Eğer bir üstel rassal değişken ise; ÖRNEK Bir alkalin pilin ömrünün 0.05 olacak şekilde üstel dağıldığı belirlenmiştir. a. Bu alkalin pilin ortalama ömrü ne kadardır? b. Bir pilin 10 ila 15 saat arasında bitmesi ihtimali nedir? c. Bir pilin 20 saatten fazla dayanma ihtimali nedir? ÇÖZÜM Ortalama aşağıdaki gibi hesaplanır. 10 saat ile 15 saat arasında pil ömrünün olması olasılığı aşağıdaki gibi hesaplanır. 6

8 Pil ömrünün 20 saatten fazla olma olasılığı ise aşağıdaki gibi olacaktır. Üstel dağılım olasılıkları Excel yardımıyla da hesaplanabilir. EXCEL Excelde hipergeomtrik dağılıma uyan rassal değişkenin olasılıkları ÜSTEL.DAĞ fonksiyonu yardımıyla hesaplanabilir. ÜSTEL.DAĞ fonksiyonu yapısı aşağıdaki gibidir. ÜSTEL.DAĞ(x,lambda,kümülatif) X: Olasılığı aranan rassal değişken değeridir (). Lambda: Üstel dağılım parametre değeridir (). Kümülatif: Kümülatif olarak olasılıklar hesaplanmak isteniyorsa DOĞRU ifadesi formül içerisine yerleştirilmelidir. Aksi halde YANLIŞ ifadesi kullanılmalıdır. Önceki örnekte verilen değerler için hipergeometrik dağılım excel fonksiyonları aşağıdaki gibi hazırlanabilir. 10 saat ile 15 saat arasında pil ömrünün olması olasılığının bulunması için 10 ve 15 olasılıkları ayrı bulunup birbirinden çıkarılacaktır. 7

9 ,5276 0,3934 Pil ömrünün 20 saatten fazla olma olasılığı ise 20 saatten az olması olasılığının 1 den çıkarılması ile bulunur ,6321 0,3679 8

10 ÖZET Pratikte başarılı ve başarısız gibi iki sonucu olan her bir deney binom varsayımlarını sağlamayabilir. Bu şekildeki durumlarda verilerin hipergeometrik dağılıma uydukları düşünülebilir. Hipergeometrik dağılımda ana kütledeki başarılı deney sayısı bilinebilir ve ayrıca her bir örnek grubunda olasılıklar farklı olabilir. Eğer belli bir aralıkta olayların olasılıkları sürekli eşit ise o zaman düzgün dağılım yardımıyla belli aralıktaki olasılıklar sadece diktörtgen alanı hesaplama ile kolayca belirlenebilir. Gelişler arası sürenin genelde üstel dağıldığı farzedilir. Bu özelliği ile üstel dağılımı özellikle simülasyon uygulamalarında çok büyük önem arz etmektedir. Sadece tek bir parametresi vardır ve bu parametre 1 değerine eşittir. SON NOT Binom dağılımı varsayımları sağlandığı durumlarda olasılıklar binom dağılımı yardımıyla hesaplanmalıdır. Hipergeometrik dağılım ancan ve ancak deneyleri olasılıklarının zamanla değiştiği bağımlı durumlarda tercih edilmelidir. Üstel dağılım süreler ile alakalıdır. Belli bir aralıkta bir olayın meydana gelişleri arası süre üstel dağılır. Bu aralıktaki olayların meydana geliş sayıları ise Poissson dağılımına uyar. ÇALIŞMA SORULARI S1 Sevkiyatı yapılan 10 parçadan iki tanesi defoludur. Gümrük muayenesi sırasında çekilen örneklemde bir defolu ürün bulunursa sevkiyat geri çevrilmektedir. a. Eğer üç parçalık bir örnek seçilirse sevkiyatın geri çevrilme ihtimali nedir? b. Eğer dört parçalık bir örnek seçilirse sevkiyatın geri çevrilme ihtimali nedir? c. Eğer beş parçalık bir örnek seçilirse sevkiyatın geri çevrilme ihtimali nedir? d. Eğer yönetim %90 ihtimalle bu sevkiyatın geri çevrilmesini istiyor ise ne kadarlık bir örnek boyutu seçmelidir? S2 Bir iskambil destesinde iki kağıt çekiliyor. a. Çekilen kartların 10 puanlık (10, J, D, K) veya as (A) olması olasılığı nedir? b. Çekilen kartların ikisinin de As olması olasılığı nedir? c. İki kartında 10 puanlık kart olması olasılığı nedir? S3 THY İstanbul dan Gaziantep e uçuş süresini 2 saat 5 dakika olarak açıklamıştır. Gerçekte uçuş sürelerinin 2 saat ile 2 saat 20 dakika arasında düzgün dağıldığı gözlemlenmiştir. a. Olasılık yoğunluk fonksiyonu grafiğini çiziniz. b. Uçuşun 5 dakikadan daha fazla gecikmemesi ihtimali nedir? c. Beklenen uçuş süresi nedir? 9

11 S4 Dünyada ilk 100 sırada bulunan golfçülerin ilk vuruş mesafeleri 284,7 ila 310,6 metre arasında düzgün dağılmaktadır. a. Olasılık yoğunluk fonksiyonunu matematiksel olarak ifade ediniz? b. Golfçülerin ilk vuruşlarının 290 metreden aşağıda olması ihtimali nedir? c. Golfçülerin ilk vuruşlarının 300 metreden fazla olması ihtimali nedir? d. Golfçülerin ilk vuruşlarının 290 ila 305 metre arasında olması ihtimali nedir? e. Kaç golfçü en az 290 metre başlangıç vuruşuna sahiptir? S5 Bir ampulün ömrünün 5000 ortalama ile üstel dağıldığı farz edilmektedir. a. Bir ampulün ilk 1000 saat içerisinde bozulmasının ihtimali nedir? b. Bir ampulün en az 7000 saat dayanması ihtimali nedir? c. Bir ampulün ömrünün 2000 ila 8000 saat arasında olması ihtimali nedir? S6 Bir kavşak noktasına gelen araçların gelişler arası sürelerinin 12 saniye ortalama ile üstel dağıldığı öngörülmektedir. a. Üstel dağılım grafiğini çiziniz. b. Araçların gelişleri arası sürenini 12 saniyeden az olması ihtimali nedir. c. Kavşağa 30 saniye boyunca araba gelmeme ihtimali nedir? KAYNAKLAR 1. Keller, Gerald; Statistics for Management and Economics, 9e, McClave, J.T, Benson, P.G, Sincich, T.; Statistics for Business and Economics, 11e, Sharpe N.R., De Veaux R.D., Velleman P.F.; Business Statistics 2e, Microsoft Excel 2010 yardım menüleri 10