MAK 585 Dinamik Sistemlerin Modellenmesi ve Simülasyonu

Transkript

1 MAK 585 Dinamik Sistemlerin Modellenmesi ve Simülasyonu Gebze Teknik Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof.Dr. Selim Sivrioğlu

2 Ders Konusunda Bilgiler Temel Dinamik Bilgisine sahip olmak MATLAB/Simulink bilgisine sahip olmak. Yıl İçi Sınavı Ödev ( ders içi ödev ve yıl sonu proje ödevi) Final Sınavı Değerlendirme: Vize (%40) + Final(%40) + Ödev(%20) Sadece ödev yaparak dersten geçer not almak mümkün değildir.

3 Ders Konusunda Bilgiler Derse devam zorunluluğu yoktur. Ders notları DersWeb de yayınlanmaktadır.

4 Dersin Amaçları Mühendislik Sistemlerinin Modellemesi Modelleme Yöntemleri(Enerji Metodu, Newton Kanunu, Lagrange Yaklaşımı) Matlab/Simulink esaslı simülasyon ve analiz Ödev çalışmaları ile simülasyon modeli oluşturma ve analiz yapma yeteneği kazandırmak. Ödev gönderme formatı: İsimSoyad_ÖdevNo.doc

5 Kaynaklar System Dynamics W. J. Palm, McGraw Hill, Simulation of Dynamic Systems, Harold Klee, Randal Allen, CRC Press 2011 Dynamic Modeling And Control of Engineering Systems Bohdan T. Kulakowski, John F. Gardner, J. Lowen Shearer Cambridge University Press, Modeling and Simulations of Systems Using Matlab D.K. Chatuvedi CRC Press 2010 Feedback Systems Karl Johan Astrom, Richard M. Murray PRINCETON UNIVERSITY PRESS, 2012 Applied Dynamics Haim Baruh Taylor & Francis Group, 2015 Tek bir kaynaktan takip yapılmıyor. Değişik kaynaklardan faydalanılıyor.

6 NASA Mühendisleri 1960 Herşey bir hesap üzerine gerçekleşir. Mühendislik bu hesabı bir çok yönleri ile yapma sanatıdır. Matematiksel yöntemlerin kullanılmadığı bir modelleme düşünülemez.

7 Örnek Modelleme yaklaşımları- Paraşütle Atlama Modeli Gerçek mühendislik sistemlerini belirli yaklaşımlarla modellemenin amacı sistem dinamiğini etkiyen şartları ve parametreleri analiz etmektir ve en optimum tasarım için çözümleri bulmaktır. Bu modeller mühendislik anlamında tasarımda büyük avantaj sağlar. Gerçek Sistem Mekanik Model

8 Pilot fırlatma sistemi Yüksek hızda giden savaş uçaklarında acil durumda pilotun fırlatıcı koltuk ile emniyetli şekilde fırlatılmasının modellenmesi yapılabilir.

9 Balans sistemleri Kontrol kitaplarında vazgeçilmez bir örnek problem olan ters sarkaç sistemi aslında bir çok mühendislik sisteminin modeli olarak düşünülebilir. mj, F pivot M p c Bir balans sistemi kütle merkezinin bir pivot noktasında dengelendiği mekanik bir sistemdir. Segway kişisel taşıyıcı motorize bir platform üzerinde duran kişiyi dengelemekte kullanır. Sürücü ileriye doğru eğildiğinde sensörler gidilecek yönü algılar ve taşıyıcı cihaz zemin üzerinde hareket eder düşey pozisyonu sağlar.

10 Maglev taşıt dinamiği Gerek otomobillerin gerekse raylı taşıtların dinamiği iyi bir sürüş ve konfor sağlamak için aktif bir araştırma konusu içinde yeralmaktadır. Maglev tren sistemleri mekanik temasın olmadığı bir ray sistemi üzerinde ilerlemektedir. Modelleme vagon ve bojinin manyetik ray üzerindeki dinamiğini yansıtacak şekilde yanal ve boylamasına olarak ayrı ayrı yapılmaktadır. K.Watanabe et al., A study of vibration control systems for superconducting Maglev Vehicles Journal of System Design and Dynamics, Vol.1, No.3, pp , Şekilde kesit resmi verilen sistemde Bojinin yanal hareketini, 1 Bojinin açısal dönme hareketini, y2 gövdenin yanal hareketini ve 2 gövdenin açısal dönme hareketini göstermektedir. Sistemin dinamik denklemleri her bir harekete göre verilmiştir. y 1

11 Bisiklet Dinamigi Bisiklet, ön çatal kısminin tasarımı ile oluşturulan geri besleme mekanizmasından dolayı var olan özellikleri nedeniyle ilginç bir dinamik sistemdir. Bir çok serbestlik derecesine sahip olmasından ve geometrisinin karmaşık olmasından dolayı bisikletin ayrıntılı modeli karmaşıktır

12 Değişken Hızlı Rüzgar Türbini Mekanik Modeli Düşük rüzgar hızlarında da enerji elde edebilmek için değişken hızlı rüzgar türbinleri kullanılmaktadır. K m Y.D. Song, B. Dhinakaran, X.Y. Bao,Variable speed control of wind turbines using nonlinear and adaptive algorithm, Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 85, pp , Tm T T p K e T e J e B e e B m

13 Ağır vasıta modellemesi-3 akslı modelleme 13

14 Raylı sistem dinamiği

15 Simülasyon ve analizler Modellemeden elde edilen hareket denklemleri (diferansiyel denklemler) transfer fonksiyonu ve durum uzayı denklemlerine dönüştürülebilir. Sistemin analizi zaman domeni cevapları frekans domeni cevapları üzerinden yapılabilir. Birçok mühendislik sistemi için analitik çözüm elde etmek mümkün olmayabilir. Değişik yöntemlerle elde edilen nümerik çözümler analizlerde kullanılmaktadır. 15

16 Sistem modelleme ve simülasyon- MATLAB/Simulink İkinci dereceden lineer bir sistem modelini düşünelim: d dt d dt z( t) + 2 ( ) ( ) ( ) 2 n z t + n z t = Knu t burada u( t) sisteme olan giriştir. z( t) hesaplanması istenen değişkendir yani çıkışı göstermektedir. n, sisteme ait doğal frekansı ve sönümü göstemektedir. K sabit bir değerdir. ut ( ) nin adım girişi olması durumu için simülasyonunu yapı nız. sistemin

17 Sistem modelleme ve simülasyon- MATLAB/Simulink Temel simülasyon elemanları x x İntegrasyon x K Kx Kazanç x2 x 1 + x2 Toplama noktası x 1

18 Sistem modelleme ve simülasyon- MATLAB/Simulink İlk olarak en yüksek türevli terimi eşitliğin sol tarafında yalnız bırakalım d dt d dt z( t) = 2 ( ) ( ) ( ) 2 n z t n z t + Knu t Eşitliği toplama noktası olarak düşünelim ve eşitliğin sağ tarafındaki elemanları işaretlerini dikkate alarak toplama noktasına giriş olarak yazalım K 2 nu() t 2 zt n () d 2 n zt ( ) dt = 2 d () 2 zt dt d z ( t ) ve z ( t ) integre edilerek bulunacak değişkenlerdir. dt, ve K sisteme ait parametrelerdir. n

19 Sistem modelleme ve simülasyon- MATLAB/Simulink d dt d dt z( t) = 2 ( ) ( ) ( ) 2 n z t n z t + Knu t % ikinci derece sistem % K = 1; zeta = 0.5; wn = 4 ;

20 Sistem modelleme ve simülasyon- MATLAB/Simulink

21 Sistem modelleme ve simülasyon- MATLAB/Simulink

22 Sistem modelleme ve simülasyon- MATLAB/Simulink Simulasyonlar iki şekilde gerçekleştirilebilir: 1- Başlangıç şartları girilerek 2- Dış girişler(adım,sinusodial, vb.) etkisinde

23 Piston Hareketi Modelleme-Trigonometrik bağıntılı sistemler Şekilde içten yanmalı bir motor için piston hareketi modellenecektir. Bu hareket bağlantı çubuğunun krankı döndürmesine sebep olur. Problemi hesaplamaya gerek kalmadan farklı bir şekilde ele almak mümkündür. Burada krankın = = 500 d / d sayısındaki 2 devri için veren bir model oluşturunuz. pistonun konumunu, hızını devir ve ivmesini açısını l d 2 l h r d 1 x r

24 Piston Hareketi Modelleme-Trigonometrik bağıntılı sistemler Şekilden d ve h mesafeleri aşağıdaki gibi hesaplanabilir. 1 d = r cos, h = r sin 1 Eğer h uzaklığı bilinirse d hesaplanabilir: 2 l d 2 x d = l h = l r 2 sin h r d 1

25 Piston Hareketi Modelleme-Trigonometrik bağıntılı sistemler Pistonun 1 2 x konumu x = d + d = r cos + l r sin Pistonun hızı : x = rsin 2 r sin ( l r sin ) Pistonun ivmesi: x 2 = r cos 4r cos 2 ( l r sin ) + ( r sin 2 ) ( l r ) 4 ( sin )

26 Piston Hareketi Modelleme-Trigonometrik bağıntılı sistemler 2 2 trev = = 500 rev/min tek bir devir için süre t = 0 2t rev = ( rad/s) t ( s) clear all theta_dot=500; % rpm (rev/minute) r=0.12; l=0.25; % m t_rev=2*pi/theta_dot; % Time for one revolution t=linspace(0,2*t_rev, 200); % time vector theta=theta_dot*t ; % calculate theta at each time. h=r*sin(theta); d2s=l^2-r^2*sin(theta).^2; %calculate d2 square d2=sqrt(d2s); x=r*cos(theta)+d2; % calculate x for each theta x_dot=-r*theta_dot*sin(theta)-(r^2*theta_dot*sin(2*theta)./(2*d2) ); x_dot_dot=-r*theta_dot^2*cos(theta)-(4*r^2*theta_dot^2*cos(2*theta).*... d2s+(r^2*sin(2*theta)*theta_dot).^2)./(4*d2s.^(3/2) ); subplot(2,2,1) plot(t,x) % plot Position vs t xlabel('time(s)') ylabel('position(m)') subplot(2,2,2) plot(t,x_dot) % plot Velocity vs t xlabel('time(s)') ylabel('velocity(m/s)') subplot(2,2,3) plot(t,x_dot_dot) % plot Acceleration vs t xlabel('time(s)') ylabel(' Acceleration(m/s^2)') subplot(2,2,4) plot(t,h) % plot h vs t xlabel('time(s)') ylabel('h (m)')

27 Piston Hareketi Modelleme-Trigonometrik bağıntılı sistemler Position(m) Acceleration(m/s 2 ) Velocity(m/s) h(m) Time(s) 5 x Time(s) Time(s) Time(s)

28 Piston Hareketi Modelleme-Trigonometrik bağıntılı sistemler x 2 = r cos 4r cos 2 ( l r sin ) + ( r sin 2 ) ( l r ) ( sin ) Pistonun başlangıç değeri belli bir açısı için modele girilmelidir. x = d + d = r cos + l r sin = 0, x0 = r cos(0) + l r sin (0) = r+ l =

29 Sistem modelleme-kam sistemi

30 ሶ Sistem modelleme-kam sistemi m The spring-held follower AB has a mass of 0.5 kg and moves back and forth as its end rolls on the contoured surface of the cam, where r = 0.15 m and z = (0.02 cos 2θ) m. If the cam is rotating at a constant rate of θ=30 rad / s. z z z = 0.02cos 2 = 0.04(sin 2 ) 2 [ 0.04(2cos 2 ( ) sin 2 ( ))] x = + Yay kütle sistemi: mx + kx = kz k k x = x + z m m = 30 rad / = 0 s

31 Sistem modelleme-kam sistemi z = + 2 [ 0.04(2cos2 ( ) sin 2 ( ))] k k x = x + z m m m=0.5; k=1000; c=0;

32 Sistem modelleme-kam sistemi m c x Damping included system mx + cx + kx = kz c k k x = x x + z m m m

33 Sistem modelleme-kam sistemi m=0.5; k=1000; c=10;

34 Sistem modelleme-termal sistemler Şekil elektrik ısıtıcısı ile ısıtılan bir odayı temsil etmektedir. Odanın içinin sıcaklığı sıcaklığının ortam sıcaklığı sıcaklığı T T modeli oluşturunuz. r w ve duvarların olduğu kabul edilmektedir. Eğer dış T ise, sağlanan ısı miktarı q ile oda o arasındaki ilişkiyi gösteren bir sistem T r

35 Sistem modelleme-termal sistemler Oda içinden duvarlara olan ısı akışı q rw = T r T R r w Burada R r odanın termal direncidir. Benzer şekilde duvardan dışarıya olan ısı transferi q wo = T w T R w o Burada R w duvarın termal direncidir. Isı denklemi aşağıdaki şekilde yazılabilir. dt r q qrw = C1 dt

36 Sistem modelleme-termal sistemler Burada q ısıtıcıdan gelen ısı akışıdır. q T T dt = C r w r 1 Rr dt Tr Tw C1T r + = q ( I) R r Benzer şekilde duvar ve dış ortam arasındaki ısı transferi dt T T T T dt qrw qwo = C2 = C dt R R d w r w w o w 2 r w t CT 2 w T r Tw = Rr R R T R r w w o (II)

37 Sistem modelleme-termal sistemler ( I ) ve ( II ) denklemleri durum uzayı şeklinde düzenlenirse: T = T + T + q r r w C1Rr C1Rr C T = T + T + T w r w o C2Rr C2Rr C2Rw C2Rw 1 1 C1Rr C1R T r r Tr = Tw T + w + C2Rr C2Rr C2Rw 1 0 C 1 q+ 1 T 0 CR 2 w o

38 Wall Temperature degree C Room Temperature degree C Sistem modelleme-termal sistemler clear all; C1=0.5; C2=1.5; Rr=0.5; Rw=1.8; Tr=8; Tw=4; To=3; q=5; A=[-1/(C1*Rr) 1/(C1 * Rr) 1/(C2*Rr) -(1/(C2*Rr) + 1/(C2*Rw) )]; B=[1/C /(C2 * Rw)]; X=[Tr; Tw;]; dt=0.1; % step size t=0; % Initial time tsim=25; % Simulation time n=round(tsim-t)/dt; for i=1:n X1(i,:)=[X' t]; dx=a*x+b*[q; To]; X=X+dt*dX; t=t+dt; end subplot(2,1,1) plot(x1(:,3),x1(:,1) ) xlabel('time (sec.)') ylabel('room Temperature degree C') subplot(2,1,2) plot(x1(:,3),x1(:,2) ) xlabel('time (sec.)') ylabel('wall Temperature degree C') % Divides the graphics window into sub windows % Divides the graphics window into sub windows Time (sec.) Time (sec.)

39 ÖDEV T = T + T + q r r w C1Rr C1Rr C T = T + T + T w r w o C2Rr C2Rr C2Rw C2Rw Yukarıdaki denklemleri esas alarak Matlab/Simulink modelini oluşturunuz. (Başlangıç şartları Tr=8, Tw=4). Sistem parametreleri C1=0.5; C2=1.5; Rr=0.5; Rw=1.8; To=3;q=5; Not: Ödev hazırlanırken proje hazırlama mantığı içinde 1- Başlık, 2- Problemin anlatımı(denklemsel çıkartım vb.), 3- Model dosyasının ödev dosyası içinde gösterilmesi, 4-Sonuçların gösterilmesi ve yorumlanması şeklinde word dosyasında hazırlanmalıdır.

40 Sistem modelleme-pm DC Motor Permanent-magnet direct-current (DC) electric machines guarantee high power and torques densities, efficiency, affordability, reliability, ruggedness, overloading capabilities, and other advantages. The power range of permanentmagnet DC electric machines (motors and generators) is from μw to ~100 kw, and the dimensions are from ~1 mm in diameter and ~5 mm long to ~1 m. The same permanent-magnet electric machine can be used as a motor or a generator. Due to the above-mentioned advantages and very high performance, permanent-magnet DC electric machines and motion devices are widely used in aerospace, automotive, marine, power, robotics, and other applications.

41 ÖDEV-2 PM DC motor modeli için aşağıdaki denklemler elde edilmiştir. dia ra ka 1 = i + dt L L L a r a a a a dr ka Bm 1 = i T dt J J J a r L u Parametreler Değerleri 1- Bu denklemlerin nasıl elde edildiğini araştırınız. 2- Bu denklemleri kullanarak Simulink Burada u a = 40 rec( t) T = 0.2 rec(2 t) L modelini oluşturunuz. alarak hız ve akım değerlerinin değişimini(0-10 s) arasında gösteren grafikleri elde ediniz. Simülasyonda bütün başlangıç değerleri sıfırdır. ra= 1, ka =0.1, La = 0.01, Bm = J = 0.001