ZAMAN ÖLÇEKLEMELİ SİSTEMLER YÜKSEK LİSANS TEZİ. Ufuk SEVİM. Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Anabilim Dalı

Transkript

1 İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ZAMAN ÖLÇEKLEMELİ SİSTEMLER YÜKSEK LİSANS TEZİ Ufuk SEVİM Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Anabilim Dalı Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Programı OCAK 2012

2

3 İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ZAMAN ÖLÇEKLEMELİ SİSTEMLER YÜKSEK LİSANS TEZİ Ufuk SEVİM ( ) Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Anabilim Dalı Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Programı Tez Danışmanı: Prof. Dr. Leyla GÖREN SÜMER OCAK 2012

4

5 İTÜ, Fen Bilimleri Enstitüsü nün numaralı Yüksek Lisans Öğrencisi Ufuk SEVİM, ilgili yönetmeliklerin belirlediği gerekli tüm şartları yerine getirdikten sonra hazırladığı ZAMAN ÖLÇEKLEMELİ SİSTEMLER başlıklı tezini aşağıda imzaları olan jüri önünde başarı ile sunmuştur. Tez Danışmanı : Prof. Dr. Leyla GÖREN SÜMER... İstanbul Teknik Üniversitesi Jüri Üyeleri : Doç. Dr. Mehmet Turan SÖYLEMEZ... İstanbul Teknik Üniversitesi Doç. Dr. Neslihan Serap ŞENGÖR... İstanbul Teknik Üniversitesi Teslim Tarihi : 19 Aralık 2011 Savunma Tarihi : 27 Ocak 2012 iii

6 iv

7 ÖNSÖZ Zaman ölçeklemesi henüz literatürde çok yenidir ve özellikle bu konunun kontrol kuramında kullanılmasıyla ilgili çalışmalar henüz yok denecek kadar azdır. Ancak bu konunun kontrol kuramı açısından yepyeni açılımlar sağlayacağını düşünüyorum. Bu nedenle, bu tezi hazırlarken aynı zamanda geleceğe yönelik Türkçe bir kaynak olabilmesi amacıyla, daha çok kontrol kuramında kullanılabilecek kısımları birçok kaynaktan derleyerek burada sundum. Tezi hazırlarken elde edilenleri diferansiyel denklemlerle ve klasik doğrusal kontrol kuramı ile sık sık karşılaştırmaya çalıştım. Bu karşılaştırmaları genelde örnekler içerisinde, zaman ölçeklemesinde elde edilenlerin özel seçimlerle sürekli ya da ayrık sistemlere dönüşeceğini göstererek yapmaya çalıştım. Tezi bölümlendirirken klasik kontrol mühendisliği eğitimi aşamalarını dikkate aldım. Bu nedenle tezi, sanki bir lisans öğrencisinin 1. sınıftan son sınıfa kadar bölümle ilgili alması gereken derslerin konularını zaman ölçeklemesi için veriliyormuş gibi yazmaya çalıştım. Tezdeki hemen hemen tüm teoremlerin kanıtlarını da verdim. Bu kanıtların birçoğu klasik teoridekilerle tamamen aynı olduğundan, bu tezi okuyabilecek lisans öğrencilerinin klasik teoriyi de daha iyi kavrayacaklarını düşünüyorum. Ayrıca, bu çalışmada yapılan katkıların yanısıra, aklımda olan bazı açık problemlerden de bahsetme imkanı buldum. Gelecekteki çalışmalarımda bu problemlerin ve ortaya çıkacak yeni problemlerin çözümlerine odaklanacağım. Yine bu çalışma kapsamında geliştirdiğim MATLAB ve Mathematica araçlarını ve Simulink bloklarını, herkesin kolayca faydalanabilmesi için açık kaynak bir lisans ile yayınlayacağım. Bu çalışmayı yaparken yardımlarını ve ilgisini cömertçe sunan, önerileriyle ufkumu genişleten, birlikte çalışmaktan çok keyif aldığım danışman hocam Leyla Gören Sümer e çok teşekkür ederim. Ayrıca, gösterdiği ilgi ve değerli fikirleri için araştırma görevlisi Veysel Gürkan Anık a, çalışmalarımın en başında vaktini ayırarak fikirlerini paylaşan araştırma görevlisi İlhan Mutlu ya teşekkürü bir borç bilirim. Haziran 2011 Ufuk SEVİM Kontrol Mühendisi v

8 vi

9 İÇİNDEKİLER Sayfa ÖNSÖZ v İÇİNDEKİLER vi ÇİZELGE LİSTESİ ix ŞEKİL LİSTESİ xi ÖZET xv SUMMARY xix 1. GİRİŞ ZAMAN ÖLÇEKLEMESİ Zaman Ölçeklemesi Delta Türev Polinomlar Özel Fonksiyonlar Çember Toplama, Çıkarma ve Negatif DOĞRUSAL DİNAMİK SİSTEMLER Dereceden Doğrusal Dinamik Denklemler Doğrusal Dinamik Sistemler Regresif matrisler Matris üstel fonksiyon Doğrusal dinamik denklemler Sabit katsayılı matrisler Konvolüsyon Sürekli Sistemlerin Zaman Ölçeklemeli Modelleri LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ Laplace Dönüşümü Konvolüsyon Teoremi HILGER KARMAŞIK DÜZLEMİ Hilger Karmaşık Düzlemi Hilger Karmaşık Sayıları KARARLILIK Zaman Ölçeklemesinde Kararlılık Zaman Ölçeklemesinde Kararlılık Kriterleri ZAMAN TANIM BÖLGESİ KRİTERLERİ Tanımlar Aşım Kriteri ζ > 1 için aşım kriteri ζ = 1 için aşım kriteri ζ < 1 için aşım kriteri vii

10 7.3. Yerleşme Zamanı Kriteri KONTROL EDİLEBİLİRLİK VE GÖZLENEBİLİRLİK Kontrol Edilebilirlik Gözlenebilirlik Örnekleme Altında Kontrol Edilebilirlik ve Gözlenebilirliğin Korunması Ayrık Zaman Ölçeklemesinde Kontrol Edilebilirlik DURUM GERİ BESLEMESİ İLE KONTROL Durum Geri Beslemesi ile Kontrol Zaman Ölçeklemesinde Referans Takibi Zaman Ölçeklemeli Kontrolörlerin Ölü Zamanlı Sistemlere Uygulanması SONUÇLAR KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ viii

11 ÇİZELGE LİSTESİ Sayfa Çizelge 4.1 : Laplace çizelgesi ix

12 x

13 ŞEKİL LİSTESİ Sayfa Şekil 3.1 : Sistem cevabı Şekil 5.1 : Hilger karmaşık düzlemi Şekil 5.2 : Hilger karmaşık sayıları Şekil 9.1 : Durum geri beslemesi altında sistem durum yanıtı Şekil 9.2 : Sürekli sisteme zaman ölçeklemeli ve sürekli durum geri beslemesi kontrolörü uygulandığında elde edilen sistem durum yanıtları Şekil 9.3 : Zaman ölçeklemeli ve sürekli durum geri beslemesi kontrol işaretleri. 82 Şekil 9.4 : µ ve K µ Şekil 9.5 : Durum geri beslemesi altında sistem birim basamak yanıtı Şekil 9.6 : Durum geri beslemesi altında ve referans düzeltmeli sistem birim basamak yanıtı Şekil 9.7 : Sürekli sisteme zaman ölçeklemeli ve sürekli durum geri beslemesi kontrolörü uygulandığında elde edilen sistem birim basamak yanıtları. 86 Şekil 9.8 : Zaman ölçeklemeli ve sürekli durum geri beslemesi kontrol işaretleri. 86 Şekil 9.9 : Sürekli sisteme zaman ölçeklemeli ve sürekli durum geri beslemesi kontrolörü ve referans düzeltmesi uygulandığında elde edilen sistem birim basamak yanıtları Şekil 9.10 : Referans düzeltmesi uygulandığında zaman ölçeklemeli ve sürekli durum geri beslemesi kontrol işaretleri Şekil 9.11 : Ölü zaman olmadan bulunan zaman ölçeklemeli durum geri beslemesi kontrolörün sisteme τ = 0.5s ölü zaman eklenerek uygulandığında elde edilen sistem birim basamak yanıtı Şekil 9.12 : Ölü zaman olmadan bulunan sürekli durum geri beslemesi kontrolörün sisteme τ = 0.5s ölü zaman eklenerek uygulandığında elde edilen sistem birim basamak yanıtı Şekil 9.13 : Ölü zaman olmadan bulunan zaman ölçeklemeli durum geri beslemesi kontrolörün sisteme τ(t) [0.2, 0.8] aralığında rastgele değişen ölü zaman eklenerek uygulandığında elde edilen sistem birim basamak yanıtı Şekil 9.14 : Ölü zaman olmadan bulunan sürekli durum geri beslemesi kontrolörün sisteme τ(t) [0.2, 0.8] aralığında rastgele değişen ölü zaman eklenerek uygulandığında elde edilen sistem birim basamak yanıtı xi

14 xii

15 ZAMAN ÖLÇEKLEMELİ SİSTEMLER ÖZET Zaman ölçeklemesi kavramını Stefan Hilger, 1988 yılında doktora tezi olarak ortaya attı. Zaman ölçeklemesi basitçe, sürekli zaman ve ayrık zaman analizi tek bir çatı altında toplamaya çalışır. Tüm ayrık ve sürekli zaman analizi, zaman ölçeklemesinin özel birer halleri olarak karşımıza çıkmaktadır. Zaman ölçeklemesi, reel sayıların bir alt kümesi olarak tanımlanır ve T ile gösterilir. Bu kümenin seçimi tamamen keyfidir. Zaman ölçeklemeli sistemler, örneğin T = R seçildiğinde sürekli sistemlere, T = Z seçildiğinde ise ayrık sistemlere dönüşür. Ayrıca bu küme, bazı sıralı diziler ile sürekli aralıkların birleşimi şeklinde de seçilebilir. Zaman ölçeklemesi analizi T nin seçiminden bağımsız olarak geliştirilmiştir. Dinamik sistemleri ifade edebilmenin ilk adımı değişimi ifade edebilmektir. Klasik sürekli ve ayrık teorilerde bu değişim sırasıyla türev ve ileri fark olarak tanımlanmıştır. Zaman ölçeklemesinde de değişim, klasik teoridekilere çok benzer bir biçimde delta türev adıyla tanımlanmıştır. Delta türevin özellikleri, klasik türevinkilere birçok açıdan benzerlik göstermektedir. Ayrıca yine T nin özel seçimlerine bağlı olarak delta türev, klasik türeve ve ileri farka dönüşmektedir. Dinamik sistemleri değişim ile ifade ettikten sonra, bunların çözümlerini elde edebilmek için bir "toplam" tanımı gereklidir. Bu "toplam" sürekli sistemlerde integral, ayrık sistemlerde klasik toplam olarak tanımlanmıştır. Zaman ölçeklemesinde de benzer şekilde bir "toplam" tanımı antitürev adıyla verilmiştir. Bu antitürev, delta türevin tersidir ve dinamik denklemlerin çözümlerinde kullanılmaktadır. Yine benzer şekilde antitürevin özellikleri klasik integral ve toplam ile çok benzer özellikler gösterir, hatta özel zaman ölçeklemesi seçimleriyle onlara dönüşür. Dinamik sistemlerin çözümleri için bir andaki değişimi, o anki değerine eşit olan fonksiyonlar çok önemlidir. Bu fonksiyonlar klasik teoride iyi bilinen, türevi kendisine eşit olan e t ve ileri farkı kendisine eşit olan 2 t fonksiyonlarıdır. Zaman ölçeklemesinde de benzer şekilde delta türevi kendisine eşit olan bir üstel fonksiyon tanımlanmıştır. Bu üstel fonksiyonun özellikleri e t ve 2 t ile birçok benzerlik gösterir, dahası özel durumlarda bu fonksiyonlara dönüşür. Bahsedilen üstel fonksiyonun tanımı baz alınarak sin, cos, sinh ve cosh fonksiyonları da klasik teoridekine çok benzer şekilde tanımlanmıştır. Zaman ölçeklemesinde dinamik sistemlerin çözümü de klasik teoridekine benzer şekildedir. Yani çözümler üstel fonksiyonların doğrusal kombinasyonları olarak karşımıza çıkar. Yine benzer şekilde bu çözümler matrislere de genişletilebilir. Nitekim zaman ölçeklemesi için, klasik teoride olduğu gibi bir durum geçiş matrisi tanımlanarak, birinci dereceden doğrusal sistem takımları bu durum geçiş matrisi yardımıyla çözülebilir. Bu durum geçiş matrisinin özellikleri incelendiğinde, klasik teorideki durum geçiş matrisi ile aynı özellikleri taşıdığı görülür. Ayrıca bu matris, xiii

16 yine özel zaman ölçeklemesi seçimleriyle sürekli ve ayrık durum geçiş matrislerine dönüşür. Dinamik bir sistemin çıkışı, bu sistemin transfer fonksiyonu ile giriş fonksiyonu arasındaki konvolüsyon ile bulunur. Zaman ölçeklemesinde de benzer bir durum mevcuttur. Ancak zaman ölçeklemesinde zamanda kaydırma yapmak zordur. Dolayısıyla, literatürde zaman ölçeklemesi için birçok farklı konvolüsyon tanımı mevcuttur. Burada Martin Bohner in kitabındaki konvolüsyon tanımı baz alınmıştır. Her ne kadar bu tanım sadece belli fonksiyonları kapsasa da, bu kapsam dinamik sistemlerin analizi için yeterlidir. Birçok fiziksel sistem sürekli zamanda modellenir. Ancak günümüzde kontrolörler ayrık zamanda çalıştıklarından bu sistemlerin ayrık modellerinin elde edilmesi gereklidir. Benzer şekilde sürekli sistemlerin zaman ölçeklemesi kontrolörü ile kontrol edilebilmesi için, bu sistemlerin zaman ölçeklemeli modelleri elde edilmelidir. Bu çalışmada bu modellerin nasıl elde edileceği literatürdeki kaynaklardan derlenip genişletilerek verilmiştir. Dinamik sistemlerin analizinde Laplace ve Z-dönüşümleri sıklıkla kullanılmaktadır. Zaman ölçeklemesi için de yine benzer şekilde her iki dönüşümü de kapsayan bir Laplace dönüşümü tanımlanmıştır. Zaman ölçeklemesinde, zamanda kaydırma yapmak zor olduğundan, konvolüsyonda olduğu gibi literatürde birçok farklı Laplace dönüşümü tanımı mevcuttur. Bu çalışmada yine Martin Bohner in kitabındaki tanım kullanılmış ve bu tanımın konvolüsyon teoremini sağladığına değinilmiştir. Dinamik sistemlerin analizinde sürekli zamanda s-düzlemi ve ayrık zamanda z-düzlemi olarak bilinen karmaşık düzlemler kullanılır. Zaman ölçeklemesinde de benzer şekilde Hilger karmaşık düzlemi adıyla bilinen yeni bir karmaşık düzlem tanımlanmıştır. Ancak klasik teoridekinin aksine bu düzlem statik değil, aksine zamana bağlı olarak dinamiktir. Bu dinamiklik nedeniyle bu düzlemde farklı bir karmaşık sayı tanımı kullanılmaktadır. Dinamik sistemler analiz edilirken belki de ilk önce incelenmesi gereken özelliği kararlılıktır. Birçok kararlılık tanımı ve kriteri bulunmasına rağmen doğrusal zamanla değişmeyen sistemlerin kararlılık analizi için karakteristik polinomun köklerinin yerleri, yani spektral özellikleri sıklıkla kullanılır. Sürekli doğrusal zamanla değişmeyen sistemlerde kutupların sol yarı düzlemde olması, ayrık doğrusal zamanla değişmeyen sistemlerde ise kutupların birim çember içinde olması kararlılık için gerek ve yeter koşullardır. Zaman ölçeklemesinde de kararlılık için kutupların bulunmasının gerek ve yeter koşul olduğu, Hilger karmaşık düzleminde tanımlı bir bölge, seçilen zaman ölçeklemesine bağlı olarak mevcuttur. Ancak bu bölgenin hesaplanması zordur. Ne var ki, Hilger çemberinin içinde kalan bölgenin her zaman bu bölgenin bir alt kümesi olduğu gösterilmiştir. Özetle zaman ölçeklemesinde sistem kutuplarının Hilger çemberi içinde bulunması sistemin kararlılığı için yeter koşuldur. Dinamik sistemleri geçici hal yanıtları incelenirken aşım, yerleşme zamanı gibi bazı kriterler tanımlanmıştır. Bu kriterlerin hesaplanması için yine sistemin spektral özellikleri kullanılır. Bu çalışma kapsamında da zaman ölçeklemesindeki bir sistemin spektral özellikleri kullanılarak tanımlanan zaman kriterleri formülleri elde edilmiştir. Yine bu formüllerin özel zaman ölçeklemesi seçimiyle klasik formüllere dönüştüğü gösterilmiştir. Klasik ayrık sistemlerde bu kriterleri spektral özelliklerden yola çıkarak hesaplamak zordur. Ancak, zaman ölçeklemesinde bu çok daha kolaydır. Kontrol edilebilirlik ve gözlenebilirlik doğrusal sistemlerin incelenmesi için önemli kavramlardır. Zaman ölçeklemesinde de bu kavramlar klasik teoridekine benzer xiv

17 şekilde tanımlanmışlardır. Yine kontrol edilebilirlik ve gözlenebilirlik için yeter ve gerek koşullar klasik teoridekine çok benzer biçimdedir. Bu çalışma kapsamında ise basitçe, eşzamanlı olmayan ayrık bir küme, ayrık zaman ölçeklemesi adıyla tanımlanmış ve bu küme üzerinde tanımlanmış sistemler için kontrol edilebilirlik yeter ve gerek koşulları elde edilmiştir. Ayrıca, sürekli bir sistemin ayrık zaman ölçeklemeli modelinin de kontrol edilebilirliği için yeter ve gerek koşullar bulunmuştur. Zaman ölçeklemesinde klasik teorinin aksine kontrol edilebilirlik ile kutup atama eşdeğer problemler değildir. Bu nedenle bu çalıma kapsamında atanabilirlik adıyla yeni bir kavram tanıtılmış ve sistemlerin atanabilir olabilmeleri için yeter ve gerek koşullar bulunmuştur. Ayrıca, kontrol edilebilir sürekli bir sistemin ayrık zaman ölçeklemeli modelinin hangi koşullar altında atanabilir olduğu bulunmuş ve bu koşulların iyi bilinen Kalman-Ho-Narendra kriteriyle bağlantılı olduğu gösterilmiştir. Klasik teoride çok bilinen bir kontrol yöntemi durum geri beslemesi ile kontroldür. Ancak, sürekli zamanla değişmeyen bir sistemin zaman ölçeklemeli modeli zamanla değişen bir sistem olarak karşımıza çıkar. Bu nedenle literatürde durum geri beslemesi ile kontrol kuralı sistem zamanla değişen olarak kabul edilerek geliştirilmiştir. Oysa bu çalışmada böyle bir sistemin ayrık zaman ölçeklemeli modeli, her t T anında zamanla değişmeyen bir sistem olarak kabul edilirek durum geri beslemesi kontrolü yapılmıştır. Durum geri beslemesi altında kapalı çevrim sistem kazancı değiştiğinden zaman ölçeklemesinde referans takibi yapıldığında sistem yanıtında bozulmalar görülür. Ancak, bu çalışma kapsamında bu bozulmaları gidermek için referans kazancını değiştiren bir yöntem önerilmiştir. Ayrıca, önerilen durum geri beslemesi kontrolörü ve referans düzeltme kazancı ölü zamanlı sistemlere uygulanmıştır. Özetle, bu çalışma kapsamında zaman ölçeklemeli sistemler tanıtılmış ve bu sistemlerin birçok özelliğine değinilmiştir. Ayrıca bu çalışmada ayrık zaman ölçeklemesi, atanabilirlik gibi yeni kavramlar tanımlanmış ve bunlarla ilgili özellikler elde edilmiştir. Yine bu kavramlarla ilgili halen açık olan problemler sunulmuştur. Son olarak zaman ölçeklemeli sistemler için hesaplama ve simülasyon yapabilmek amacıyla MATLAB ve Mathematica kütüphaneleri geliştirilmiş, ayrıca Simulink blokları oluşturulmuştur. xv

18 xvi

19 SYSTEMS ON TIME SCALES SUMMARY Time scales is introduced by Stefan Hilger in his PhD thesis in Time scales theory simply tries to unify continuous and discrete analysis. In this theory, classical continuous and discrete analysis are just two special cases of time scales. Time scales is defined as a subset of real numbers and is shown as T. The choice of time scales is arbitrary. Time scales systems become continuous systems with the choice of T = R and become discrete systems with the choice of T = Z. Also, time scales could be chosen as unions of some ordered sequences and continuous intervals. Time scales analysis is developed as regardless of the choice of the time scales. It is required to express "change" in order to express dynamical equations. In classical continuous and discrete theories the "change" is defined with derivative and forward difference respectively. Similarly, in time scales theory, "change" is defined as delta derivative. The properties of delta derivative is very similar to classical derivative. Also, delta derivative becomes classical derivative or forward difference with the special choices of T. In order to solve dynamic equations, there should be a "sum" definition. This "sum" is known as integral for continuous systems and classical sum for discrete systems. Similarly, in time scales theory, there is a "sum" definition called as antiderivative. Antiderivative is used to solve dynamic equations in time scales. The properties of antiderivative is very similar with the properties of integral and sum. Also, antiderivative becomes integral and sum for the special choices of time scales. A function, whose "change" at a point equals to its value at that point is essential for solving dynamical equations. These well-known functions are e t, whose derivative is equals to itself and 2 t, whose forward difference is equals to itself. Similarly, an exponential function, whose delta derivative equals to itself, is defined in time scales. This exponential function has very similar properties with e t and 2 t, which becomes these functions for special choices of time scales. Also, sin, cos, sinh and cosh functions are defined with the definition of the exponential function, in a very similar way with the classical definitions. The solutions of dynamical equations in time scales are very similar to those in classical theory. These solutions are linear combinations of the exponential function. Similarly, those solutions could be generalized to matrices. Similar to classical theory, a state transition matrix is defined for time scales in order to solve first order linear dynamic equation sets. This state transition matrix has the same properties as classical state transition matrix. Also it becomes continuous and discrete state transition matrices by special selections of time scales. The output of a dynamical system is calculated as the convolution of input function and the transfer function of the system, which is the similar case for time scales. But it is not always possible to shift time in time scales. Therefore, there is more than one convolution definitions for time scales in the literature. In this work, the definition in xvii

20 Martin Bohner s book is used. Although this definition covers only a few functions, it is enough for analysis of dynamical systems on time scales. Most physical systems are modeled in continuous time. But for designing discrete controllers, the discrete model of a continuous system should be obtained. Similarly, to design time scales controllers, time scales model of a continuous system should be obtained. This conversation formula can be found in the literature, but the formula is obtained in details in this work. Laplace transform and Z-transform are widely used in the analysis of dynamical systems. A transformation, which covers both Laplace and Z-transforms, is defined on time scales. Since it is not always possible to shift time on time scales, there are a variety of Laplace transform definitions on time scales. In this work, the definition in Martin Bohner s book is used. Also, it is shown that, this Laplace transform definition satisfies convolution theorem with the convolution definition mentioned above. There are complex planes defined for analysis of dynamical systems which are called as s-plane and z-plane for continuous and discrete systems respectively. Similarly, a new complex plane is defined on time scales called as Hilger s complex plane. As opposite to the classical theory, this plane is not static, but is dynamically changing with respect to time. There is also a new complex number definition is used, called as Hilger s complex numbers, due to this dynamic nature. Stability is one of the most important properties of dynamical systems. There is a large variety of stability definitions and criteria. The place of the roots of the characteristic polynomial of the system, so-called spectral characteristics of the system, is used widely to determine the stability linear time invariant systems. It is well-known that the roots of the characteristic polynomial should stay inside the left half plane for continuous linear time invariant systems and inside the unit circle for discrete linear time invariant systems for necessity and sufficiency of stability. Similarly, roots of the characteristic polynomial of a time scales system should stay inside a stability region defined in Hilger s complex plane, for necessity and sufficiency of stability on time scales. This stability region could be different with the selection of time scales and its calculation could be difficult. However, it is shown that Hilger s circle is always a subset of such stability region. In summary, the roots of the characteristic polynomial should stay inside the Hilger s circle for sufficiency of stability. Some time domain characteristics are defined for analysis of the transient response of dynamical systems, such as overshoot and settling time. These characteristics can be calculated by the spectral characteristics of dynamical systems. In this work, time domain characteristics formulas are obtained using spectral characteristics of a second order system on time scales. Also, it is shown that these formulas become as classical time domain characteristics formulas for special cases of time scales. It is very difficult to calculate time domain characteristics with spectral characteristics of a discrete system, but it is much easier on time scales. Controllability and observability have a great importance for linear dynamical systems. The definitions and criteria for controllability and observability on time scales are very similar to those in classical theory. A nonuniform discrete set is defined as discrete time scales in this work. Also, the necessary and sufficient conditions for controllability on discrete time scales are obtained. In addition, the necessary and sufficient conditions for controllability of a time scales model of a continuous system are obtained as well. On the contrary of classical theory, controllability and pole assignment are not equivalent problems on time scales. Therefore, a new definition called assignability xviii

21 is introduced in this work and the necessary and sufficient conditions for assignability of a system are obtained. Also, the necessary and sufficient conditions for assignability of a time scales model of a controllable continuous system is obtained and it is shown that this criteria is in a relation with the well-known Kalman-Ho-Narendra criteria. State feedback control is a well-known control technique in classical theory. But, when we obtain time scales model of a continuous time system, this model appears to be time varying. Therefore, state feedback control rule is developed assuming that the system is time varying on time scales in the literature. However, in this work the state feedback controller is developed assuming that for each and every t T, the system is time invariant. The closed loop system gain changes in the presence of state feedback controller. Because of this, the transient response of the closed loop system could be different than expected on time scales when the system follows a reference signal. However, a method that changes reference signal gain, is proposed in this work. Also, this proposed state feedback controller and reference gain is applied to systems with dead time. In summary, dynamical systems on time scales are introduced and many properties of these systems are given in detail in this work. Also, some new terms such as discrete time scales and assignability, is defined, and the properties of these definitions are obtained. In addition to that, some new open problems on time scales are introduced. Last of all, MATLAB and Mathematica libraries, and also Simulink blocks for time scales are developed for obtaining the results given in this work. xix

22 xx

23 1. GİRİŞ 1988 yılında Stefan Hilger sürekli ve ayrık analizi birleştirebilmek için zaman ölçeklemesini doktora tezi olarak ortaya attı. Zaman ölçeklemesi sürekli ve ayrık analizi bir araya getirmeye çalışan bir teoridir. Bu teoriye göre diferansiyel denklemler ve fark denklemlerine, özel zaman ölçeklemesi seçimleriyle ulaşılabilir. Ancak özel olmayan zaman ölçeklemesi seçimleriyle de bazı yerlerde sürekli, bazı yerlerde ayrık gibi davranan ve ayrık olduğu yerlerde farklı örnekleme zamanları altında davranan sistemler de modellenebilir ve analiz edilebilir. Bu tez, konunun özellikle kontrol teorisinde çok fazla uygulama alanı bulabileceği düşünülerek hazırlanmıştır. Örneğin bu teori ile ayrık bir sistemin eşit aralıklarla örneklenme zorunluluğu ortadan kalkmaktadır. Bu çalışmada zaman ölçeklemesi genel hatlarıyla tanıtılmış, ancak geliştirilen teoremler ve yöntemler tamamen ayrık, ancak eşit aralıklı olmayan zaman ölçeklemesi esas alınarak geliştirilmiştir. Bir zaman ölçeklemesi basitçe reel sayıların boş olmayan bir alt kümesidir ve T sembolü ile gösterilir. T üzerinde tanımlanmış bir y fonksiyonunun delta türevinden bahsedilebilir ve bu türev y şeklinde gösterilir. Bu delta türev, T = R için klasik türeve (y ) ve T = Z için ileri farka ( y) dönüşür. Benzer şekilde zaman ölçeklemesi üzerinde bir antitürev (integral) de tanımlanmıştır. Yine bu antitürev, T = R için klasik integrale ve T = Z için toplama dönüşür. Zaman ölçeklemesi R ya da Z nin dışında çok farklı biçimlerde de seçilebilir. Örneğin sabit aralıklı fark denklemleri T = hz {hk k Z} keyfi bir h > 0 için ya da herhangi bir sıralı dizi T = {t k k Z} t k R ve t k < t k+1, k Z için zaman ölçeklemesine örnek olarak verilebilir. Ayrıca, klasik teoride olduğu gibi x (t) = p(t)x(t), x(t 0 ) = 1 1

24 başlangıç değer probleminin tek çözümü üstel fonksiyon adını alır. Tezin ikinci bölümünde yukarıda verilen tanımların yanı sıra verilen başlangıç değer probleminin hangi koşullarda bulunabileceğine değinilecektir. Özellikle [1] ve [2] de yukarıda verilen tanımlar ve bunlara bağlı özellikler net bir biçimde verilmiştir. Ancak bu çalışmada kullanılacak kısımlar detaylarıyla buraya aktarılmıştır. Üçüncü bölümde, zaman ölçeklemesinde doğrusal dinamik sistemler tanımlanıp, bunların özelliklerine değinilmiştir. Öncelikle, birinci dereceden dinamik sistemlerin çözümleri bulunup, bu çözümler doğrusal sistem takımlarına genişletilmiştir. Ayrıca bunlar yapılırken bir önceki bölümde verilen birçok tanım da matrislere genişletilmiştir. Bunlardan en önemlisi klasik teoride durum geçiş matrisi olarak bilinen matris üstel fonksiyonudur. Tanımlanan bu matris üstel fonksiyonunun birçok özelliği yine bu bölümde işlenmiştir. Ayrıca bu bölümde bir konvolüsyon tanımı verilmiş ve verilen bu konvolüsyon tanımı ile zaman ölçeklemeli doğrusal bir sistemin çıkışının, sistemin durum geçiş fonksiyonu ile giriş fonksiyonunun konvolüsyonu biçiminde elde edilebileceği gösterilmiştir. Zaman ölçeklemeli sistemlerde, zamanda kaydırma yapmak zor olduğundan üzerinde uzlaşılmış bir birim darbe fonksiyonu yoktur. Dolayısıyla birçok farklı konvolüsyon tanımı arasından doğrusal sistemlerin çıkışını elde etmede yeterli olan tanım seçilmiştir. Yine [1] ve [2] de bu konular detaylı biçimde işlenmiştir. Son olarak ise bu bölümde sürekli bir sistemin zaman ölçeklemeli modelinin elde edilmesi yöntemi üzerinde durulmuştur. [3] te bu yöntem verilmesine rağmen çok açık değildir. Dolayısıyla bu çalışmada verilen yöntem özgün olarak bir kez daha kanıtlanmış ve detaylarıyla anlatılmıştır. Yine bu bölümde, daha sonraki bazı bölümlerde kullanılacak olan bazı teoremler özgün olarak kanıtlanmıştır. Son olarak verilen yöntem bir örnek ile incelenmiştir. Tezin dördüncü bölümünde bir Laplace dönüşümü tanımlanarak, bir önceki bölümde verilen konvolüsyon tanımının, burada verilen Laplace dönüşümü tanımı ile birlikte konvolüsyon teoremini sağladığı gösterilecektir. Burada verilen Laplace dönüşümü tanımı, beklendiği gibi özel durumlar için klasik Laplace dönüşümüne ve klasik Z-dönüşümüne dönüşür. Ayrıca bu bölümde, tanımlanan bu dönüşümün özellikleri incelenerek bir de Laplace dönüşüm çizelgesi verilecektir. Literatürde birçok farklı tanım olmasına rağmen burada [1] deki tanım kullanılmıştır. 2

25 Beşinci bölümde, verilen Laplace dönüşümü ile geçilen yeni bir karmaşık düzlem tanıtılacaktır. Bu karmaşık düzlem Hilger karmaşık düzlemi adını alıp alışılagelmiş karmaşık düzlemlerden farklıdır. Örneğin, Hilger karmaşık düzleminin eksenleri her t T anında µ(t) ye bağlı olarak farklılık gösterebilir. Yani bu düzlem klasik teoridekinin aksine statik değil, her t T anında değişebilen, dinamik bir düzlemdir. Bu bölümde ayrıca Hilger karmaşık düzlemi üzerinde tanımlanmış Hilger karmaşık sayıları ve bu sayıların özellikleri incelenmektedir. Konuyla ilgili detaylı bilgi [1] de mevcuttur. Altıncı bölümde zaman ölçeklemesinde kararlılık konusu incelenmiştir. Bu konu özellikle üzerinde çok çalışılan konulardan biridir. Dolayısıyla bu bölümün oluşturulması için literatürdeki pek çok kaynaktan yararlanılmıştır. Ancak özellikle [4] ve [5] teki tanımlar esas alınmıştır. Yine literatürde birçok kararlılık kriteri mevcuttur. Ancak bu çalışma kapsamında karakteristik polinom kutuplarını kullanan spektral kriterler kullanılmıştır. Bu bağlamda sistemin üstel kararlılığının gerek ve yeter koşulu için kutupların içinde bulunması gereken bölge tanımlanmıştır. Ancak, bu bölgenin hesaplanması zor olduğundan [6] da Hilger çemberinin, bu bölgenin bir alt kümesi olduğu gösterilmiştir. Yani sistemin karakteristik polinomunun köklerinin Hilger çemberi içinde kalması sistemin üstel kararlılığı için bir yeter koşuldur. Sonuçta bu bölümde, literatürde spektral özellikler ile kararlılık kriterleri çalışmalarının bir derlemesi verilmiştir. Yedinci bölümde sistem kutupları üzerinden aşım ve yerleşme zaman kriterleri çıkartılmıştır. Bu çalışma kapsamında ikinci dereceden bir sistem tanımlanarak, aşım ve yerleşme zamanı bu sistemin parametreleri cinsinden bulunmuştur. Klasik teoride olduğu gibi ζ 1 için sistemin aşım yapmadığı gösterilmiştir. Ayrıca ζ < 1 için bulunmuş olan aşım formülünün ve yerleşme zamanı formülünün, özel durumlarda klasik formüllere dönüştüğü gösterilmiştir. Burada zaman ölçeklemesinde zamanla değişmeyen bir sistem ele alınmıştır. Eşit aralıklarla örneklenen sistemler bu şekildedir ve klasik teori çerçevesinde bu sistemlerin zaman kriterlerini hesaplamak zordur. Oysa burada sistem eşzamanlı olduğunda bu kriterleri hesaplamak çok kolaylaşır. Bu bölümdeki çalışmaların tamamı özgün olup bilindiği kadarıyla literatürde buna benzer bir çalışma bulunmamaktadır. 3

26 Sekizinci bölümde kontrol edilebilirlik ve gözlenebilirlik kavramları üzerinde durulup, bu kavramlar zaman ölçeklemesine genelleştirilmiştir. Yine bu bölümde kontrol edilebilir ve gözlenebilir bir sistemin örnekleme altında bu özelliklerini hangi koşullarda kaybedip kaybetmeyeceği tartışılmıştır. Son alt bölümde ise ayrık zaman ölçeklemesi adıyla yeni bir zaman ölçeklemesi tanımlanıp, bu zaman ölçeklemesinde kontrol edilebilirlik için gerek ve yeter koşullar türetilmiştir. Son olarak sürekli bir sistemin ayrık zaman ölçeklemeli modelinin de kontrol edilebilir olması için gerek ve yeter koşullar kanıtlanmıştır. Bahsedilen bu son alt bölümdeki çalışmalar tamamen özgündür. Konu ile ilgili detaylı bilgi [7], [8] ve [9] da mevcuttur. Son olarak dokuzuncu bölümde durum geri beslemesi ile kontrol konusu ele alınmıştır. Bu konu [10] ve [11] de ele alınmasına rağmen bu çalışmalarda sistem zamanla değişen şekilde kabul edilerek kontrolör tasarlandığından, böyle bir kontrolörü hesaplamak zordur. Oysa bu tez kapsamında ele alınan sistemler zamanla değişmeyen sürekli sistemlerin zaman ölçeklemeli modelleridir. Bu nedenle kontrolör klasik yöntemlerle hesaplanabilir. Ele alınan sistemlerde kontrol edilebilirlik ve özdeğer atama problemleri, klasik teoridekinin aksine eş problemler olmadığından, bu çalışma kapsamında atanabilirlik kavramı ortaya atılmıştır ve zaman ölçeklemesinde kontrol edilebilir ancak atanamayan bir sistem örneği verilmiştir. Atanabilirlik kavramı, kısaca bir sistemin özdeğerlerinin tüm t T için istenen yerlere atanabileceği anlamına gelir. Yine bu bölümde bir sistemin atanabilir olması için gerek ve yeter koşullar verilmiştir. Ayrıca kontrol edilebilir sürekli bir sistemin zaman ölçeklemesinde atanabilir olması için gerek ve yeter koşullar kanıtlanarak, bu koşulların klasik teoriden iyi bilinen Kalman-Ho-Narendra kriteriyle ilişkili olduğu gösterilmiştir. Her ne kadar kontrol edilebilir ancak atanamayan sistemler olsa da, tüm atanabilir sistemlerin kontrol edilebilir olup olmadığı açık bir problem olarak kalmıştır. Ayrıca örnek bir sistem için zaman ölçeklemesinde durum geri beslemesi kontrolörü hesaplanarak, sürekli sistemin özdeğerlerini aynı noktalara taşıyan sürekli durum geri beslemesi kontrolörü ile karşılaştırılmıştır. Bu bölümde ayrıca referans takibi problemi de ele alınmıştır. Zaman ölçeklemesinde durum geri beslemesi kontrolörü kullanılarak referans takibi yapıldığında sistem yanıtında bozulmalar görülür. Bu bozulmaların kaynağı tartışılarak düzeltilmesi için 4

27 bir referans düzeltme katsayısı hesaplama yöntemi geliştirilmiştir. Geliştirilen bu yöntemin sistem yanıtındaki bozulmaları tamamen giderdiği örnek bir sistem üzerinde gösterilmiştir. Her ne kadar bu yöntem sistem yanıtındaki bozulmaları tamamen giderse de, bu düzeltmenin uygulanabilmesi için A matrisinin tersinin olma koşulu vardır. Bu koşul olmadığında bu düzeltmenin hesaplanması açık bir problem olarak bırakılmıştır. Son olarak zaman ölçeklemeli kontrolör ölü zamanlı sistemlere uygulanarak sürekli kontrolör ile karşılaştırılmıştır. Yapılan simülasyonlardan zaman ölçeklemeli kontrolörün ölü zamanlı sistemlere karşı daha dayanıklı olduğu izlenimi doğmuştur. Ancak bu izlenimin kuramsal olarak doğrulanması ileriki çalışmaların bir konusudur. Dokuzuncu bölümde yapılan çalışmaların tamamı özgündür. Ayrıca zaman ölçeklemeli kontrolörün ölü zamanlı sistemlere uygulanması ile ilgili alt bölümün bir türevi [12] de yayınlanmıştır. Bu çalışmada ele alınmayan daha pek çok konu, zaman ölçeklemesi ile yeniden ele alınmıştır. Gecikmeli sistemlerin zaman ölçeklemesinde kararlılığı ile ilgili [13], [14], [15] ve [16] incelenebilir. Zaman ölçeklemesinde eşitsizlik ile ilgili bir derleme çalışması [17] de bulunabilir. [18] de zaman ölçeklemesinde bir Fourier dönüşümü verilmiştir. Zaman ölçeklemesinde yoğun bir şekilde araştırılan konulardan biri de Hamiltonian sistemlerdir. Konuyla ilgili [19] ve [20] incelenebilir. Hibrit sistemler de zaman ölçeklemesinde araştırma konusudur. [21], [22], [5] ve [23] te konuyla ilgili detaylı bilgi bulunabilir. Ayrıca zaman ölçeklemesinin ekonomik bir sisteme uygulanması için [24], Mathematica uygulamaları için [25], ve α türev genişletmeleri için [26], ve kalkülüs dualitesi için [27] ve diğer bazı problemlere çözümler için [28] ve [29] incelenebilir. 5

28 6

29 2. ZAMAN ÖLÇEKLEMESİ Konu literatürde henüz çok yeni olduğundan bu bölümde konu ile ilgili temel tanımlar ve kavramlar örneklerle verilecektir. Birinci alt bölümde zaman ölçeklemesi tanımlanarak bu kümede gerçekleştirilebilecek ileri ve geri işlemleri ile bir sonraki noktaya yakınlığı ölçen yakınlık fonksiyonu tanımları verilecektir. İkinci alt bölümde bağımsız bir zaman ölçeklemesi üzerinde delta türev adıyla yeni bir türev ve antitürev (integral) tanımları verilecek ve bunların özellikleri üzerinde durulacaktır. Bu özelliklerle birlikte delta türev ve antitürevin, klasik türev ve integral özellikleriyle pek çok yönden ortaklık gösterdiğine değinilecektir. Dahası T = R ve T = Z seçildiğinde bunların sırasıyla klasik anlamdaki diferansiyel ve fark denklemlerine dönüştüğü gösterilecektir. Ayrıca delta türev ve antitürevin varlığı ile ilgili sonuçlara da değinilecektir. Üçüncü alt bölümde ise, çoğunlukla zaman ölçeklemesi üstel fonksiyonu üzerinde durulacaktır. Tahmin edilebileceği gibi bu fonksiyon delta türevi kendine eşit olan tek fonksiyondur. Üstel fonksiyonun pek çok özelliğine değinildikten sonra, bu fonksiyon kullanılarak sin, cos, sinh ve cosh fonksiyonları da tanımlanacaktır. Ayrıca bu tanımlanan fonksiyonlarla adi delta-diferansiyel denklemlerin çözülebileceği gösterilecektir. Bu bölümdeki tanımların ve özelliklerin büyük bir çoğunluğu [1] ve [2] den alınmıştır. Bu bölümde anlatılanlar temel bilgiler olduğundan zaman ölçeklemesiyle ilgili neredeyse tüm çalışmalarda burada anlatılanların bir özetini bulmak mümkündür. Ayrıca konuyla ilgili daha detaylı bilgi ve genelleştirmeler için [30], [31], [32], [33], [34] ve [35] incelenebilir. 2.1 Zaman Ölçeklemesi Tanım 2.1 (Zaman Ölçeklemesi). Zaman ölçeklemesi (T) gerçel sayıların boş olmayan, kapalı bir alt kümesi olarak tanımlanır (T, T R). Bu kümenin seçimi tamamen keyfidir. 7

30 Tanım 2.2 (İleri ve Geri Operatörleri). σ, ρ : T T fonksiyonları aşağıdaki gibi tanımlanır: σ(t) inf{s T s > t} ve ρ(t) sup{s T s < t} Ek olarak inf = sup T ve sup = inf T varsayılır. Örnek 2.3. S σ(t) = {s T s > t} ve S ρ(t) = {s T s < t} kümelerini tanımlayalım. T = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} olarak tanımlansın. i) t=3 seçilirse; S σ(3) = {4, 5, 6, 7, 8} ve S ρ(3) = {1, 2} kümeleri oluşur. Bu durumda σ(3) = inf S σ(3) = 4 ve ρ(3) = sup S ρ(3) = 2 olur. ii) t=1 seçilirse; S σ(1) = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ve S ρ(1) = {} = kümeleri oluşur. Bu durumda σ(1) = inf S σ(1) = 2 ve ρ(1) = sup S ρ(1) = sup = inf T = 1 olur. iii) t=8 seçilirse; S σ(8) = {} = ve S ρ(8) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümeleri oluşur. Bu durumda σ(8) = sup S σ(8) = inf = sup T = 8 ve ρ(8) = sup S σ(8) = 7 olur. Örnekten de anlaşılacağı gibi ileri ve geri operatörleri o anki değerden bir sonraki ve bir önceki değerleri ifade eder. Ama daha fazla gidilebilecek ileri ya da geri eleman kalmadığında operatörler uç noktalarda kalırlar. Açıkça görülebileceği üzere T = R ise σ(t) = ρ(t) = t ve T = Z ise σ(t) = t + 1 ve ρ(t) = t 1 olur. Tanım 2.4. Bir t T noktası; i) σ(t) = t ise sağda yoğun (right-dense) ii) σ(t) > t ise sağda seyrek (right-scattered) iii) ρ(t) = t ise solda yoğun (left-dense) iv) ρ(t) < t ise solda seyrek (left-scattered) olarak tanımlanır. Örnek 2.5. T = [0, 1] {2, 3, 4} olsun. Bu durumda [0, 1) kümesindeki tüm noktalar hem sağda yoğun, hem de solda yoğundur. Çünkü bu noktalar için σ(t) = ρ(t) = t dir (ρ(0) = 0 eşitliğine dikkat edelim). Ancak t = 1 noktası solda yoğun olmasına rağmen sağda seyrektir (σ(1) = 2 > 1, ρ(1) = 1). {2, 3} kümesinin elemanları ise hem sağda seyrek hem de solda seyrektir (σ(2) = 3 > 2, ρ(2) = 1 < 2 ve σ(3) = 4 > 3, ρ(3) = 2 < 3). t = 4 noktası ise solda seyrek olmasına rağmen sağda yoğundur (σ(4) = 4, ρ(4) = 3 < 4). 8

31 Tanım 2.6 (Yakınlık (Graininess) Fonksiyonu). µ : T [0, ) fonksiyonu, µ(t) σ(t) t olarak tanımlanır. T = R için µ(t) = 0, T = Z için µ(t) = 1 ve sabittir. Ancak µ(t) nin sabit olması gerekmez. 2.2 Delta Türev Tanım 2.7 (Türevlenebilir Altküme). { T κ T\ max T, max T var (sonlu) ve solda seyrek ise T, diğer şeklinde tanımlanır. Örnek 2.8. T = [0, 1] {2, 3, 4} olsun. max T = 4 < ve t = 4 solda seyrek olduğundan T κ bahsedemeyeceğimizden T κ = T olur. = [0, 1] {2, 3} tür. Oysa T = Z olursa bir maksimumdan Örnek 2.9. T = [0, 1] olsun. max T = 1 < ama t = 1 solda yoğun olduğundan T κ = T olur. Tanım 2.10 (Türevlenebilirlik). f, T üzerinde tanımlı (f : T R) bir fonksiyon olsun. Tüm ε > 0 lar için t T κ nin N komşuluğunda tüm s N ler için f(σ(t)) f(s) α(σ(t) s) ε σ(t) s özelliğini sağlayan bir α bulunabiliyorsa, f, t noktasında delta türevlenebilir (ya da kısaca türevlenebilir) denir. Bu durumda f nin türevi α olur ve f şeklinde gösterilir. Eğer f tüm t T κ da türevlenebilirse f, T de türevlenebilir denir ve f, T κ da tanımlı (f : T κ R) yeni bir fonksiyon olur. Eğer f, T de türevlenebilir ise; f(t) f(s) lim, µ(t) = 0 ise f s t,s T t s (t) = f(σ(t)) f(t), µ(t) > 0 ise µ(t) olur. Ancak bu şekildeki bir tanım, "birleştirme" felsefesine ters düştüğünden, f σ (t) = f(t) + µ(t)f (t) (2.1) şeklinde bir tanım daha faydalı ve µ(t) hangi koşulda olursa olsun doğru olacaktır. Dikkat edilecek olursa T = R seçilirse delta türev, klasik türeve ve T = Z seçilirse delta türev, ileri farka dönüşür. Bundan sonra f σ = f(σ(t)) şeklinde kullanılacaktır. 9

32 Teorem 2.11 (Çarpım Türevi). f ve g, T üzerinde türevlenebilir fonksiyonlar olsun. Bu durumda aşağıdaki eşitlik geçerlidir: (fg) = f g + f σ g = f g σ + fg (2.2) Kanıt. Delta türev tanımını kullanarak: (fg) σ = f σ g σ = fg + µ(fg) + f σ g f σ g f σ (g σ g) + g(f σ f) = µ(fg) µf σ g + µgf = µ(fg) (fg) = f g + f σ g µ(t) 0 iken de limit üzerinde sadeleşme yapılabilir. Eşitliğin ikinci kısmı da benzer şekilde kolaylıkla gösterilebilir. Teorem 2.12 (Bölüm Türevi). f ve g, T üzerinde türevlenebilir fonksiyonlar olsun. Bu durumda aşağıdaki eşitlik geçerlidir: Kanıt. Delta türev tanımını kullanarak: ( ) σ f = f ( ) ( ) σ f f g g = + µ + σ g g ( ) g (f σ f) f (g σ g) f = µ gg σ g ( µgf µfg f = µ gg σ g ) = f g fg ( f g ( ) f = f g fg (2.3) g gg σ gg σ ) µ(t) 0 iken de limit üzerinde sadeleşme yapılabilir. fg fg gg σ Bu teoremlerden sonra aşağıda eşitlikler kolaylıkla çıkarılabilir: i) 1 = 0 ii) t = 1 iii) (t 2 ) = (t.t) = t + σ(t) ( ) 1 iv) = 1 t tσ(t) 10

33 Tanım 2.13 (Antitürev). T üzerinde tanımlı bir f fonksiyonu için, T κ da F = f ilişkisi geçerliyse F ye f nin antitürevi denir ve s, t T için aşağıdaki ifade ile tanımlanır: t s f(τ) τ = F (t) F (s) (2.4) Kolayca görülebileceği gibi antitürev, T = R için integrale ve T = Z için toplama dönüşür. Tanım 2.14 (rd-süreklilik). T üzerinde tanımlanmış bir f fonksiyonu tüm sağda yoğun (right-dense) noktalarda sürekli ve f fonksiyonunun tüm solda yoğun (left-dense) noktalarda soldan limiti var ise f rd-süreklidir denir. Açıklama Tüm sürekli fonksiyonlar aynı zamanda rd-süreklidir. Açıklama T = hz deki tüm fonksiyonlar rd-süreklidir. Çünkü sağda yoğun bir nokta yoktur. Açıklama σ(t) ve ρ(t) fonksiyonları rd-süreklidir. Çünkü tüm sağda yoğun noktalarda σ(t) = ρ(t) = t dir. Teorem 2.18 (Hilger90). Her rd-sürekli fonksiyonun antitürevi vardır [32]. Teorem Delta türev ve antitürev doğrusal operatörlerdir. f ve g, T üzerinde tanımlı rd-sürekli fonksiyonlar ve F = f, G = g olsun. α, β R sabitler olmak üzere; (αf + βg) = αf + βg (2.5) (αf(τ) + βg(τ)) τ = α f(τ) τ + β g(τ) τ (2.6) Kanıt. (2.5) i göstermek için aşağıdaki adımlar izlenebilir: (αf + βg) σ = (αf + βg) + µ(αf + βg) (αf σ + βg σ ) = (αf + βg) + µ(αf + βg) α(f σ F ) + β(g σ G) = µ(αf + βg) αµf + βµg = µ(αf + βg) (αf + βg) = αf + βg (2.6) yı göstermek için (2.5) ten faydalanarak aşağıdaki adımlar yazılabilir: (αf(τ) + βg(τ)) τ = (αf (τ) + βg (τ)) τ 11

34 = (αf (τ) + βg(τ)) τ = αf + βg = α F (τ) τ + β G (τ) τ = α f(τ) τ + β g(τ) τ Örnek a, b T ve f, T üzerinde rd-sürekli bir fonksiyon olmak üzere, i) T = R seçilirse antitürev, klasik türeve dönüşür. Yani, b f(t) t = b a a f(t)dt olur. ii) [a, b] T sadece ayrık noktalardan oluşuyorsa, yani tüm t [a, b] için µ(t) > 0 olursa, µ(t)f(t), a < b ise b t [a,b) f(t) t = 0, a = b ise a µ(t)f(t), a > b ise olur. t [b,a) 0 ın antitürevi 1, 1 in antitürevi t dir. Ancak t nin antitürevi için "güzel" bir formül bulunmamaktadır [2]. Ne var ki, t 2 = t (τ 2 ) τ = t τ τ + t σ(τ) τ şeklinde ifade edilebilir. Dikkat edilirse Teorem 2.18 e göre toplamdaki her iki integral de vardır. Teorem Antitürev aşağıdaki eşitlikleri sağlar. i) b > c > a olmak üzere; ii) a a f(t) t = 0 b f(t) t = c f(t) t + b a a c f(t) t Kanıt. i) F = f olsun. Antitürev tanımı gereği; b f(t) t = F (b) F (a) = [F (b) F (c)]+[f (c) F (a)] = a a c c f(t) t+ b f(t) t 12

35 ii) F = f olsun. Antitürev tanımı gereği; 2.3 Polinomlar a a f(t) t = F (a) F (a) = 0 Örneklerden de anlaşılabileceği gibi zaman ölçeklemesinde polinomları ifade etmenin genel bir yolu yoktur. Çünkü örneğin bir polinom olan t 2 nin türevi bir polinom olmayan t + σ(t) şeklindedir. Bu nedenle aşağıdaki gibi özyinelemeli bir polinom fonksiyonu tanımlamak gereklidir. Tanım 2.22 (Polinom Fonksiyonu). h k : T 2 R, k N 0 fonksiyonu tüm s, t T için h 0 (t, s) = 1 olmak üzere, h k+1 (t, s) = şeklinde tanımlanır. t s h k (τ, s) τ Kolayca görülebileceği gibi tüm k N, t T κ için h k (t, s) = h k 1 (t, s) olur. Tüm t, s T için, h 1 (t, s) = t s h 2 (t, s) = t s (τ s) τ olur. Ama h k fonksiyonunu genel haliyle hesaplamanın bir yolu yoktur. Ancak bu fonksiyon bilinen bir zaman ölçeklemesi için hesaplanabilir. Teorem 2.23 (Taylor Serisi). n N olmak üzere, f, T κn üzerinde n kez türevlenebilir bir fonksiyon olsun. α T κn 1 ve t T olmak üzere, n 1 f(t) = h k (t, α)f k (α) + k=0 α ρ n 1 (t) h n 1 (t, σ(τ))f n τ (2.7) olur [1]. Dikkat edilirse eğer f sonsuza kadar türevlenebiliyorsa seri daha çok bilinen f(t) = h k (t, α)f k (α) biçimine dönüşür. k=0 13

36 2.4 Özel Fonksiyonlar Tanım 2.24 (Regresiflik). Bir p : T R fonksiyonu tüm t T için 1 + µ(t)p(t) 0 ise p regresif tir denir. Teorem 2.25 (Varlık ve Teklik). p(t) regresif ve rd-sürekli olmak üzere y = p(t)y, y(t 0 ) = 1 (2.8) başlangıç değer probleminin bir ve yalnız bir çözümü vardır [32]. Tanım 2.26 (Üstel Fonksiyon). (2.8) in tek çözümü üstel fonksiyon adını alır ve e p (, t 0 ) olarak gösterilir. Aslında e p (t, s) için bir formül bulunmaktadır. Bu formül [2] de silindir dönüşümü denilen ln(1 + hz) ξ h (z) = h z, h 0 ise, h = 0 ise kullanılarak olarak verilmiştir. { t } e p (t, s) = exp ξ µ(τ) (p(τ)) τ s (2.9) Teorem (2.9), (2.8) in tek çözümüdür. Kanıt. µ = 0 için T = R olur ve (2.8) bir adi diferansiyel denkleme dönüşür. e p de klasik üstel fonksiyona dönüştüğünden (2.9) un tek çözüm olduğu kolaylıkla görülebilir. µ 0 için; y σ (t) = y(t) + µ(t)y (t) = y(t)(1 + µ(t)p(t)) (2.9) un çözüm olduğunu gösterebilmek için yukarıdaki eşitliği sağlaması gerekir. Önce aşağıdaki tanımı yapalım: F (t) ln(1 + µ(t)p(t)) µ(t) Bu durumda türev tanımından F (σ(t)) = F (t) + µ(t)f (t) = F (t) + ln(1 + µ(t)p(t)) 14

37 olur. Çözüm yerine yazıldığında aşağıdaki eşitliklerle (2.9) un bir çözüm olduğu gösterilebilir: { } σ(t) y σ ln(1 + µ(τ)p(τ)) (t) = exp τ t 0 µ(τ) { } σ(t) = exp F (τ) τ t 0 = exp {F (σ(t)) F (t 0 )} = exp {F (t) F (t 0 ) + ln(1 + µ(t)p(t))} = exp {F (t) F (t 0 )} exp {ln(1 + µ(t)p(t))} { t } = exp F (τ) τ (1 + µ(t)p(t)) t { 0 t } ln(1 + µ(τ)p(τ)) = exp τ (1 + µ(t)p(t)) µ(τ) t 0 = y(t)(1 + µ(t)p(t)) Çözümün tekliği ise Teorem 2.25 te belirtilmiştir. Ayrıca (2.9) un tek çözüm olduğunun güzel bir ispatı [1] de bulunmaktadır. Örnek e a(t t 0) e a (t, t 0 ) = (1 + a) (t t 0) ( 1 + a n ) n(t t0 ), T = R ise e t, T = R ise, T = Z ise 2 = e 1 (t, 0) = t, T = Z ise (, T = 1 Z ise nt, T = n n) 1 Z ise n Dikkat edilirse örneklerdeki üçüncü durumda T, R ye yaklaştığında ( e 1 (1, 0) = lim ) n n n olur ki bu da zaten Euler sabiti olan e nin tanımıdır. Üstel fonksiyonun diğer özelliklerini inceleyelim. Teorem p regresif ve rd-sürekli bir fonksiyon olmak üzere, üstel fonksiyon aşağıdaki eşitlikleri sağlar: i) e p (σ(t), s) = e p (t, s)(1 + µ(t)p(t)) ii) e p (r, s)e p (s, q) = e p (r, q) iii) e p (s, σ(t)) = e p(s, t) 1 + µ(t)p(t) iv) e p (t, t) = 1 15