1 numaralı şekildeki K1K 2M1M 2

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "1 numaralı şekildeki K1K 2M1M 2"

Ilkin Hamzaoğlu
4 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Problem - İki kırmızı ve iki mavi boncuk bir halkada Aynı renklilerin yan yana gelmeleri olasılığı kaçtır? İkişer ikişer aynı renkli de olsa, elde 4 farklı boncuk ve bu boncukların üzerinde konumlandırılacağı bir halka vardır. Boncukların üzerlerine ve numaralarını yapıştırıp boncukları,,, diye adlandıralım: Boncuklar, halkada gösterilen yerlere yerleştirilecektir. Bu tür deneylerde, nesnelerin belirli koordinatlara değişik sıralı konumlandırılmalarının sayıları sorulabilir. Ancak; bir halka verilmişse, nesnelerin birbirlerine göre değişik sıralanmalarının sayısını bulma problemi öne çıkarılıyor demektir. Boncukların birbirlerine göre değişik sıralanmalarının sayısını bulma probleminde, halkada gösterilen 4 yer boş iken bu yerler özdeş sayılır. Örneğin; aşağıdaki konumlandırmalar özdeştir: Boncukların birbirlerine göre değişik sıralanmalarının sayısını bulma probleminde, halkada gösterilen 4 yerden birine boncuklardan biri yerleştirildiğinde, diğer yer farklılaşmış olur. Aşağıdaki sıralanmaların herbiri farklı bir sıralanmadır: 5 numaralı şekildeki sıralaması, ya da biçiminde de okunabilir. Rastgele yapılacak bir konumlandırmada bu sıralanmaların herbirinin gerçekleşmesi olasılığı bir diğerininkine eşittir. Buna göre; iki kırmızı ve iki mavi boncuğun bir halkada rastgele konumlandırılması deneyinin örneklem uzayı,,,,,, E olup bu uzay eş olumludur. Aynı renklerin yan yana olduğu çıktıların kümesi olan istenen olay da, A,,, kümesidir. (.,.,., 4. şekiller) İstenen olasılık, s A 4 PA PA PA s E 6 olarak bulunur. 4 6

2 Not I E,,,,, kümesi, boncukların üzerlerindeki numaralar çıkarılarak,, E biçiminde yazılırsa, bu küme bu deneyin eş olumlu örneklem uzayı olmaz. Bu kümenin () elemanı 4 farklı çıktıya, () elemanı da farklı çıktıya karşılık gelir. Not II Dikkat edilirse; İki kırmızı ve iki mavi boncuğun bir halkada rastgele konumlandırılması deneyinde aynı renklilerin yan yana olduğu sıralanmaların sayısını bulma problemi ile, İki kadın ve iki erkeğin bir yuvarlak masada sıralanmaları deneyinde iki kadının yan yana ve iki erkeğin yan yana olduğu sıralanmaların sayısını bulma problemi ile aynı olduğu görülür. Buna göre; çözüm şöyle ifade edilebilir: se 4!, bulunur. Problem - s A!!!, İki kırmızı ve üç mavi boncuk bir halkada Aynı renklilerin yan yana gelmeleri olasılığı kaçtır? se 5!, bulunur. s A!!!, Problem - Üç kırmızı ve üç mavi boncuk bir halkada Aynı renkli iki boncuğun yan yana gelmemesi 6 boncuk halkaya 6! Aynı renklilerin yan yana olmadığı sıralamaları elde etmek için önce, örneğin; kırmızılar yerleştirilir. Sonra, kırmızıların ayırdığı aralıklara maviler dizilir. se 6!, bulunur. 0 Problem - 4 s A!!, İki kırmızı, iki mavi ve yeşil boncuk bir halkada Aynı renkli tüm boncukların yan yana gelmeleri 6 boncuk halkaya 6! Aynı renklilerin yan yana olduğu sıralamaların sayısı!!!! dir. se 6!, bulunur. 5 s A!!!!,

3 Problem - 5 İki kırmızı, iki mavi ve iki yeşil boncuk bir halkada Aynı renkli boncukların yan yana gelmemesi Halkada, iki kırmızı ve iki mavi boncuğun yan yana olduğu sıralamaların sayısının dört olduğunu bulmuştuk. (Problem ) İki kırmızı ve iki mavi boncuğun bu 4 sıralamasının her birinde, yeşiller aşağıdaki gibi ikişer yerleştirilirse, aynı renklilerin yan yana olmadığı 4 = 8 sıralama yapılır. Problem - 6 İki kırmızı ve iki mavi boncuk bir halkada Aynı renklilerin yan yana olduğu duruma ait bir kartın seçilmesi 4 Halkada, iki kırmızı ve iki mavi boncuğun yan yana olmadığı sıralamaların sayısı dir. (Problem ) Bu iki sıralamada yeşiller, dört aralığın herhangi ikisine ve olarak C(4,) = sıralanır. 6 boncuk halkaya 6! Aynı renklilerin yan yana olmadığı sıralamaların sayısı 8 0 dir. se 6!, sa 0, bulunur ukarıdaki şekillerde, kırmızı ve mavi boncuğun farklı sıralanmaları gösterilmiştir. Boncuklar üzerindeki numaralar silinirse, sıralamalar yine farklı kalacaktır. Çünkü; boncukların farklı olduğu bir gerçektir. Sıralamaların yapılmasında bu farklılık belirleyicidir. Ancak; yalnız renkler dikkate bu farklı sıralamaların, aşağıdaki iki sıralamaya indirgendiği görülür: Bu sıralamalar ve adlarıyla kartlara yazılıp biri

4 artlardan birini çekme deneyinin örneklem uzayı E, A ve istenen olay olur. E uzayı eş olumludur. se, sa olup PA Problem - 7 bulunur. İki kırmızı ve üç mavi boncuk bir halkada Aynı renklilerin yan yana olduğu duruma ait bir kartın seçilmesi 5 boncuk halkaya 5! rastgele Ancak; burada problem, bu değişik sıralamaların sayısını bulmak değil, renklere göre değişik sıralamaların sayısını bulmaktır. mavi renk, halkaya biçimde yerleştirilir. kırmızı renk, mavilerin ayırdığı aralıkların birine konulduğunda aynı renkler yan yana olur; kırmızı, mavilerin ayırdığı aralıkların ikisine konulduğunda aynı renklerden bir kısmı yan yana olmaz. konumları dikkate alındığında, yalnız bu iki değişik renk sıralamasının gerçekleşebileceği görülür.,, A E bulunur. olur. Problem - 8 Üç kırmızı ve üç mavi boncuk bir halkada Aynı renkli herhangi iki boncuğun yan yana olmadığı duruma ait bir kartın seçilmesi mavi renk, halkaya biçimde yerleştirilir. ırmızılar, mavilerin ayırdığı aralıklara birer birer konulduğunda aynı renklerden herhangi ikisi yan yana olmaz. ( sıralama) kırmızı renk, mavilerin ayırdığı aralıkların birine konulduğunda aynı renkler yan yana olur. ( sıralama) ırmızılar bu aralıkların herhangi ikisine ve tane olarak konulduğunda aynı renklerden bazıları yan yana olur. ( sıralama) konumları dikkate alındığında, yalnız bu üç değişik renk sıralamasının gerçekleşebileceği görülür. artlardan birini çekme deneyinin örneklem uzayı E,, ve istenen olay A olur. E örneklem uzayı eş olumludur. se ve s A dir. PA bulunur. 4

5 Problem - 9 İki kırmızı, iki mavi ve iki yeşil boncuk bir halkada Aynı renkli tüm boncukların yan yana olduğu duruma ait bir kartın seçilmesi sıralaması yeşillerle aşağıdaki biçimlerde tamamlanabilir: kırmızı ve mavi renk, halkaya değişik biçimde yerleştirilir. (Problem - 6) ya da sıralasıyla. eşil renklerin, değişik sıralamalar elde etmek üzere yerleştirilebileceği konumlar, yorucu da olsa, sayarak bulunabilir. konumları dikkate alındığında, sıralaması yeşillerle aşağıdaki biçimlerde tamamlanabilir: Renklerin değişik sıralaması mümkündür Bu değişik renk sıralamalarının her biri bir karta yazılacak ve kartlardan biri artlardan birini çekme deneyinin örneklem uzayı,,,,,,,, 9,, A 7 olur. E ve istenen olay E örneklem uzayı eş olumludur. se ve sa dir. PA bulunur. Not Nesne sayısı arttıkça, renklerin farklı dizilişlerin sayısını bulmak zorlaşmaktadır. Burada, Polya nın Sayma Teorisi yararlı olur. İlgilenenler için yazıyorum: İstenen sıralama iki taraflı çembersel dizilişler (halka) için çevrim indeksi, 6 PA f f f 4 f f f6 dır. f x y z, ve 6 f x y z, f x y z f x y z alınır. İşlemler yapıldığında, x y z nin kat sayısının olduğu görülür. Bu sayı kırmızı, mavi, yeşil rengin halkadaki değişik dizilişlerinin sayısıdır. Bu dizilişlerin tanesinde aynı renkler yan yanadır. İstenen olasılık / olur. 5

Benzer belgeler

Örnek...5 : A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 lü perm ütas yonlarının kaç tanesinde,

Örnek...5 : A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 lü perm ütas yonlarının kaç tanesinde, PERMÜTASYON ( SIRALAMA OLAYI ) Birbirinden farklı n tane nesnenin r tanesinin farklı her dizilişine (sıralanışına) n nesnenin r li permütasyonları denir ve P(n,r)= n! (r n) (n r)! biçim inde gösterilir.