5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması. PROJE ADI Düzensizlikten Düzene: Çeşitkenar Üçgen Üzerinde Eşkenar Üçgen

Transkript

1 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJE ADI Düzensizlikten Düzene: Çeşitkenar Üçgen Üzerinde Eşkenar Üçgen Eslem Nur KELEŞOĞLU Muhammet Enes ÖRCÜN ÖZEL BAŞAKŞEHİR ÇINAR FEN LİSESİ İSTANBUL, 2014

2 1. PROJE ADI: Düzensizlikten Düzene: Çeşitkenar Üçgen Üzerinde Eşkenar Üçgen. 2. AMAÇ: Bu projenin amacı, her bir köşesi, bir çeşitkenar üçgenin ayrı bir kenarı üzerinde yer alan bir eşkenar üçgeni sentetik yolla (yalnız pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak) çizmektir. 3. GİRİŞ: Düzlem geometrisi ile ilgili çeşitli kaynaklarda, yalnız pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak Birbirine paralel üç doğru verildiğinde, köşeleri bu üç doğru üzerinde yer alan eşkenar üçgeni (Şekil 1) [1] Herhangi bir üçgen içerisine kare çizme (Şekil 2) [2] Herhangi bir dörtgen içerisine kare çizme (Şekil 3) [3] yöntemleri verilmektedir. Şekil 1 Şekil 2 2 / 9

3 Şekil 3 Fakat, incelediğimiz hiçbir kaynakta, her bir köşesi, bir çeşitkenar üçgenin ayrı bir kenarı üzerinde yer alan bir eşkenar üçgenin (Şekil 4 de ABC eşkenar üçgeni), yalnız pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak nasıl çizilebileceği ile ilgili herhangi bir bilgiye rastlamadık. Şekil 4 Biz bu proje çalışması ile, her bir köşesi bir çeşitkenar üçgenin ayrı bir kenarı üzerinde yer alan bir eşkenar üçgeni yalnız pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak çizme yöntemini ortaya koyduk. 4. YÖNTEM: Teorem 1: Bir doğrusu, bu doğru üzerinde birbirinden farklı ve noktaları ile bu doğru üzerinde yer almayan bir noktası verilsin. Bir kenarı ve üçüncü köşesi ile aynı tarafta yer alan eşkenar üçgen ile bir kenarı ve üçüncü köşesi yine A ile aynı tarafta yer alan bir başka eşkenar üçgenin üçüncü köşelerinden ( ve noktaları) geçen doğru, doğrusu ile 60 derecelik açı yapar. (Şekil 5) 3 / 9

4 Şekil 5 İspat: üçgeni eşkenar üçgen olduğundan dir. Benzer şekilde, dir. (1) ve (2) numaralı eşitliklerden üçgeni eşkenar üçgen olduğundan, ve olduğundan, K.A.K. eşlik teoreminden dolayı dir. (4) numaralı eşlikten dolayı dır. (1) (2) (3) (4) (5) ve üçgeninde olduğundan; (6) (7) (6) ve (7) den (5) ten elde edilir. 4 / 9

5 Teorem 1 den elde edilen ve bu projede kullanılan bir başka sonuç da, noktası doğrusu üzerinde noktasına doğru hareket ettiğinde, noktası da doğrusu üzerinde noktasından uzaklaşacak şekilde hareket eder. Şimdi, Teorem 1 den elde edilen ikinci sonucu kullanarak çeşitkenar üçgeni ve üçgen üzerinde herhangi bir noktası verildiğinde (Şekil 6), köşeleri PRS üçgeninin kenarları üzerinde yer alan eşkenar üçgeni (Şekil 7 deki ABC üçgeni) elde edelim. Şekil 6 Şekil 7 Bunun için, öncelikle üçgeninin kenarlarından herhangi biri üzerinde bir A noktası, diğer iki kenardan herhangi birinin üzerinde de birbirinden farklı ve noktaları alınır. (Şekil 8) 5 / 9

6 Şekil 8 A merkezli ve yarıçaplı, K merkezli ve yarıçaplı, A merkezli ve yarıçaplı, L merkezli ve yarıçaplı çemberler çizilir. (Şekil 9) Şekil 9 yarıçaplı çemberlerin kesiştiği noktalardan doğruya göre A noktası ile aynı tarafta yer alanına noktası yarıçaplı çemberlerin kesiştiği noktalardan A noktası ile aynı tarafta yer alanına noktası 6 / 9

7 ve N noktalarından geçen doğru ile üzerinde nokta alınmayan doğrusunun kesiştiği noktaya C noktası diyelim. (Şekil 10) Şekil 10, ve noktaları doğrusaldır. noktası, ve noktaları arasında yer aldığına göre, Teorem 1 den çıkarılan sonuç gereği, bir kenarı olan eşkenar üçgenin üçüncü köşesi de ve noktaları arasında yer almalıdır. (Şekil 11) Şekil 11 Böylece ABC eşkenar üçgeni elde edilmiş olur. (Şekil 12) 7 / 9

8 Şekil SONUÇLAR VE TARTIŞMA Düzlem geometrisi ile ilgili kaynaklarda, birbirine paralel üç doğru verildiğinde, köşeleri bu üç doğru üzerinde yer alan eşkenar üçgeni yalnız pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak çizme yöntemleri yer almaktadır. Fakat, incelediğimiz hiçbir kaynakta, her bir köşesi, bir çeşitkenar üçgenin ayrı bir kenarı üzerinde yer alan eşkenar üçgenin, yalnız pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak nasıl çizilebileceği ile ilgili herhangi bir bilgiye rastlamadık. Bu proje çalışması ile her bir köşesi, bir çeşitkenar üçgenin ayrı bir kenarı üzerinde yer alan eşkenar üçgeni yalnız pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak çizme yöntemini ortaya koyduk. Çeşitkenar üçgen verildiğinde köşeleri bu üçgenin kenarları üzerinde yer alan eşkenar üçgen yegane değildir. Yani, doğrusu üzerinde alınan bir noktasının konumuna göre, diğer köşeleri ve doğruları üzerinde yer alan farklı eşkenar üçgenler elde edilebilir. (Şekil x ve Şekil x) Şekil x Şekil x Bu projede örnek olarak, PS üzerinde bir A noktası alarak, bir köşesi aldığımız A noktası olan, diğer köşeleri de ve doğruları üzerinde yer alan eşkenar üçgeni elde ettik. 8 / 9

9 Bu projede anlatılan yöntem ile, çeşitkenar üçgen verildiğinde köşeleri bu üçgenin kenarlarını taşıyan doğrular üzerinde yer alan eşkenar üçgeni elde etmek de mümkündür. 6. KAYNAKLAR: [1] [2] [3] Hebbert, C. M., ( ), The Inscribed and Circumscribed Squares of a Quadrilateral and Their Significance in Kinematic Geometry, Annals of Mathematics, Vol. 16, No. 1/4, sayfa / 9