ASİMPTOTİK GENİŞLEMEYEN DÖNÜŞÜMLER VE SABİT NOKTA İTERASYONLARI. Şuheda TÜRKAN

Transkript

1 ASİMPTOTİK GENİŞLEMEYEN DÖNÜŞÜMLER VE SABİT NOKTA İTERASYONLARI Şuheda TÜRKAN Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi Bilim Dalı Prof. Dr. Murat ÖZDEMİR 2014 Her hakkı saklıdır

2 ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ ASİMPTOTİK GENİŞLEMEYEN DÖNÜŞÜMLER VE SABİT NOKTA İTERASYONLARI Şuheda TÜRKAN MATEMATİK ANABİLİM DALI Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi Bilim Dalı ERZURUM 2014 Her haklı saklıdır

3

4 ÖZET Yüksek Lisans Tezi ASİMPTOTİK GENİŞLEMEYEN DÖNÜŞÜMLER VE SABİT NOKTA İTERASYONLARI Şuheda TÜRKAN Atatürk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi Bilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Murat ÖZDEMİR Bu tezde önce, kendi üzerine olan ve olmayan asimptotik genişlemeyan dönüşümler tanıtılmıştır. Daha sonra, bu dönüşümlerin sabit noktarını bulmak için şimdiye kadar teşkil edilen bazı iterasyonlar incelenmiştir. Son olarak da bu iterasyonlar kullanılarak zayıf ve kuvvetli yakınsama teoremleri ifade edilmiştir. 2014, 105 sayfa Anahtar Kelimeler: Kendi üzerine olan ve olmayan asimptotik genişlemeyen dönüşüm, sabit nokta, kuvvetli ve zayıf yakınsama, düzgün konveks Banach uzayı. i

5 ABSTRACT MS Thesis ASIMPTOTICALLY NONEXPANSIVE MAPPINGS AND FIXED POINT ITERATIONS Şuheda TÜRKAN Ataturk University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Analysis and Function Theory Department Supervisor: Prof. Dr. Murat OZDEMİR In this thesis, firstly self and nonself asymptotically nonexpansive mappings are introduced. Secondly some iterations so far formed through are examined to find fixed points of these mappings. Later, it is stated weakly and strongly convergence theorems using these iterations. 2014, 105 pages Keywords: Self ve Nonself asymptotically nonexpansive mapping, fixed point, strongly and weakly convergence, uniformly convex Banach space. ii

6 TEŞEKKÜR Yüksek lisans tezi olarak sunduğum bu çalışma, Atatürk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü nde hazırlanmıştır. Bu çalışmada bana her türlü kolaylığı sağlayan, bilgi ve tecrübeleriyle beni destekleyen çok değerli hocam Sayın Prof. Dr. Murat ÖZDEMİR e en içten dileklerimle teşekkür eder saygılarımı sunarım. Tezin hazırlanması sürecinde değerli fikirlerinden yararlandığım Sayın Prof. Dr. Sezgin AKBULUT a, Sayın Doç. Dr. İsa YILDIRIM a, Sayın Doç. Dr. Hükmi KIZILTUNÇ a ve Matematik Bölümü nde gerekli ilgi ve yardımı esirgemeyen anabilim dalımızın değerli öğretim üyelerine sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca, çalışmalarım esnasında kendilerinden görmüş olduğum destek ve güvenden dolayı aileme ederim. Yüksek lisans eğitimim boyunca Yurt İçi Yüksek Lisans Burs Programı ile tarafıma vermiş olduğu destekten dolayı TÜBİTAK a teşekkür etmeyi bir borç bilirim. Şuheda TÜRKAN Kasım, 2014 iii

7 İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR... iii SİMGELER DİZİNİ... v 1. GİRİŞ KURAMSAL TEMELLER Genel Kavramlar Sabit Nokta Kavramı Dönüşümlerin Sabit Noktaları MATERYAL ve YÖNTEM İterasyon Yöntemleri Bazı Önemli Tanım ve Lemmalar Kendi Üzerine Olan Asimptotik Genişlemeyen Dönüşümler Kendi Üzerine Olmayan (Nonself) Asimptotik Genişlemeyen Dönüşümler ARAŞTIRMA BULGULARI Kendi Üzerine Olan Asimptotik Genişlemeyen Dönüşümler İçin Kullanılan İterasyon Yöntemleri ve Yakınsaklık Teoremleri Kendi Üzerine Olmayan (Nonself) Asimptotik Genişlemeyen Dönüşümler İçin Kullanılan İterasyon Yöntemleri ve Yakınsaklık Teoremleri TARTIŞMA ve SONUÇ KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ iv

8 SİMGELER DİZİNİ [ ] [ ] aralığındaki sürekli fonksiyonlar uzayı in normlu duali 0 a yakınsayan dizilerin uzayı kümesinin çapı uzayının normlu duali uzayının konveksliğinin modülü uzayının smoothluğunun modülü uzayındaki kapalı birim yuvar uzayındaki birim küre dönüşümünün sabit noktalarının kümesi Serisi mutlak yakınsak dizilerin uzayı p dereceden serisi yakınsak dizilerin uzayı Sınırlı dizilerin uzayı Normalleştirilmiş eşlenik dönüşüm { } { } nin zayıf dizisel limitlerinin kümesi v

9 1 1. GİRİŞ Analizde bazı problemlerin çözümleri, uygun bir fonksiyonu için şeklinde yazılabilen bir denklemin çözümünü bulmaya dönüşebilir. Bu tür denklemlerin çözümüne sabit nokta ve sabit noktaların varlığını inceleyen teoremlere de sabit nokta teoremleri denir. Sabit nokta ve sabit nokta teoremleri matematiğin pek çok alanında varlık ve teklik problemlerinin çözümünde önemli bir rol oynamıştır. Günümüzde birçok araştırmacı sabit nokta ile ilgili problemleri genişleterek değişik uygulama alanları bulmaya çalışmaktadırlar. Özellikle biyoloji, fizik, kimya, ekonomi, mühendislik ve oyun teorisi gibi çeşitli alanlarda sabit nokta teknikleri uygulanmaktadır. Sabit nokta teorisinin temelleri, 1900 lü yılların başlarında L. E. J. Brouwer ın çalışmaları ile atılmıştır. Bilinen ilk sabit nokta teoremi, [ ] olmak üzere sürekli bir dönüşüm ise, nin de bir sabit noktası vardır şeklindedir yılında Brouwer bu teoremi -boyutlu Euclid uzayına, de kapalı bir yuvar ve sürekli bir dönüşüm olsun. Bu durumda, de en az bir sabit noktaya sahiptir şeklinde genişletmiştir yılında S. Banach tarafından ifade edilen ve Daraltan (büzülme) Dönüşüm Teoremi olarak da bilinen Banach Sabit Nokta Teoremi, sabit noktanın varlığını ve tekliğini garanti eden en önemli teoremlerden biridir. Bu teorem, bir tam metrik uzay ve bir dönüşüm olsun. Her için ise, de bir tek sabit noktaya sahiptir şeklindedir. Banach Sabit Nokta Teoremi, sabit noktayı bulmak için kullanışlı bir yöntem oluşturmasının yanı sıra aynı zamanda diferansiyel ve integral denklemlerin çözümünün varlığını ve tekliğini göstermede de kolaylık sağlayan bir unsur olmuştur.

10 2 Yukarıda ifade edilen Brouwer Teoremi sonsuz boyutlu uzaylar için geçerli değildir. Bu teoremin sonsuz boyutlu Banach uzaylarına bir genelleştirmesi olan ve Schauder Teoremi olarak adlandırılan teorem, 1930 yılında, bir Banach uzayının boş olmayan kompakt, konveks bir alt kümesi ve sürekli bir dönüşüm olsun. Bu durumda, da en az bir sabit noktaya sahiptir şeklinde ifade edilmiştir. Daha sonra Browder (1965) ve Göhde (1965), birbirlerinden bağımsız olarak genişlemeyen dönüşümler için sabit noktanın varlığını ispatlamışlardır. Kirk (1965) ve Goebel (1969), bazı şartları değiştirerek bu sonuca yeniden ulaşmışlardır. Goebel and Kirk (1972), genişlemeyen dönüşümlerin bir genelleşmesi olan asimptotik genişlemeyen dönüşüm sınıflarını ifade etmişlerdir. Ayrıca Browder, Göhde ve Kirk ün ifade ettikleri teoremleri genelleştirerek asimptotik genişlemeyen dönüşümler için varlık teoremini düzgün konveks Banach uzayı, da bu uzayın boştan farklı kapalı, konveks, sınırlı bir alt kümesi ve asimptotik genişlemeyen bir dönüşüm olsun. Bu durumda, da bir sabit noktaya sahiptir şeklinde ifade etmişlerdir. Schu (1991); Tan and Xu (1993); Rhoades (1994); Osilike and Udomene (2000), Hilbert ve Banach uzaylarında bu tür dönüşümlerin sabit noktaları üzerine çalışmalar yapmışlardır. Normlu bir uzayın, boş olmayan kapalı ve konveks bir alt kümesinden bu normlu uzaya tanımlanan ve kendi üzerine tanımlı olmayan dönüşüm (nonself) olarak adlandırılan dönüşümler için 2000 li yılların başlarından itibaren yeni iterasyon yöntemleri oluşturulmuş ve bu iterasyon yöntemlerinin uygun şartlar altında sabit noktalara yakınsamaları incelenmiştir. Chidume et al. (2003); Wang (2006); Chidume and Ali (2007); Thianwan (2009); Yildirim and Ozdemir (2009); Akbulut et al. (2012), gibi pek çok araştırmacı kendi üzerine olmayan ve asimptotik genişlemeyen dönüşümler için bu yeni iterasyonları kullanarak önemli sonuçlar elde etmişlerdir. Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. Giriş bölümünden sonra, Kuramsal Temeller adını alan ikinci bölümde, ilk olarak çalışmamızda kullandığımız temel tanım ve kavramlara yer verilmiştir. Sonra bazı dönüşümler tanıtılmış ve bu dönüşümlerin sabit

11 3 noktalarının hangi şartlar altında var olduğu incelenmiştir. Ayrıca düzgün konveks Banach uzay ve smooth Banach uzayları ele alınmıştır. Üçüncü bölümde, ilk olarak dönüşümlerin sabit noktaları bulunurken kullanılan çeşitli iterasyon yöntemleri ve bu iterasyon yöntemleri için kuvvetli ve zayıf yakınsama teoremleri verilmiştir. Daha sonra ispatlarda kullanacağımız bazı tanım ve lemmalar verilmiştir. Bölümün sonunda kendi üzerine olan ve olmayan asimptotik genişlemeyen dönüşümler ve bu dönüşümler ile demiclosedluk arasındaki ilişkiden bahsedilmiştir. Dördüncü bölümde ise, öncelikle kendi üzerine olan asimptotik genişlemeyen dönüşümler için kullanılan iterasyon yöntemleri ve bu iterasyon yöntemleri için kuvvetli ve zayıf yakınsama teoremleri verilmiştir. Daha sonra kendi üzerine olmayan asimptotik genişlemeyen dönüşümler için kullanılan iterasyon yöntemleri ve yakınsama teoremlerinden bahsedilmiştir. Son olarak da kendi üzerine olmayan asimptotik genişlemeyen dönüşümlerin sonlu bir ailesi için teşkil edilen bazı iterasyon yöntemleri ve bunlara bağlı olarak yakınsama teoremleri verilmiştir. Beşinci bölümde bu araştırmamızda elde ettiğimiz bazı sonuçlar verilmiştir.

12 4 2. KURAMSAL TEMELLER 2.1. Genel Kavramlar Bu bölümde bazı temel tanım ve teoremler verilecektir. Tanım (Lineer Uzay): boş olmayan bir küme ve bir cisim olsun. ve iki fonksiyon olmak üzere aşağıdaki şartlar sağlanıyorsa dörtlüsüne bir lineer (vektör) uzay denir. L1. Her için dir, L2. Her için dir, L3. Her için olacak şekilde bir vardır, L4. Her için olacak şekilde bir vardır, L5. Her ve her için dir, L6. Her ve her için dir, L7. Her ve her için dir, L8. Her için dir. Tanım (Konveks Küme): ve [ ] için lineer uzayının bir alt kümesi olsun. Her ise, ya konveks küme denir. Lemma 2.1.3: lineer uzayının bir alt kümesi olsun. nın konveks olması için gerek ve yeter şart her { } sonlu alt kümeleri ve şartını sağlayan, skalerleri için olmasıdır.

13 5 Tanım (Konveks Kabuk): lineer uzayının herhangi bir alt kümesi olsun. in yı içeren tüm konveks alt kümelerinin arakesitine nın deki konveks kabuğu denir ve ile gösterilir. Yani { } dir., yı içeren en küçük konveks alt kümedir. Ayrıca konveks kabuk nın elemanlarının tüm konveks kombinasyonlarının kümesidir. Yani { } dır. nın konveks kabuğunun kapanışı ile gösterilir. nın deki kapalı konveks kabuğu, in yı içeren tüm kapalı konveks alt kümelerinin arakesitidir. ile gösterilir. Yani { } dir. Yukarıdaki iki tanımdan olduğu görülür (Agarwal et al. 2009). Tanım (Normlu Uzay):, cismi üzerinde bir lineer uzay olsun. fonksiyonunun deki değerini ile gösterelim. Bu fonksiyon için, şartları sağlanıyorsa fonksiyonuna de (veya üzerinde) bir norm ve ikilisine de normlu uzay denir. Tanım (Banach Uzayı): normlu lineer uzay olsun., norm metriğine göre tam ise ye Banach uzayı denir.

14 6 in reel veya kompleks lineer uzay oluşuna göre Banach uzayıda reel veya kompleks Banach uzayı olarak adlandırılır. Tanım (İç Çarpım Fonksiyonu ve İç Çarpım Uzayı):, cismi üzerinde bir lineer uzay olsun. fonksiyonu İ İ İ İ şartlarını sağlıyorsa, bu fonksiyona iç çarpım fonksiyonu (veya iç çarpım) denir. Üzerinde iç çarpım fonksiyonunun tanımlandığı lineer uzaya iç çarpım uzayı (veya ön- Hilbert uzayı) denir. İç çarpım uzayı veya kısaca ile gösterilir. Tanım (Hilbert Uzayı): bir iç çarpım uzayı ve iç çarpım normu olsun. olarak tanımlanırsa bir metrik uzay olur. İç çarpım normuyla tanımlanan bu metriğine göre iç çarpım uzayı tam ise, e Hilbert uzayı denir. Hilbert uzayları, özel bir normdan elde edilmiş Banach uzaylarıdır. Lemma 2.1.9: bir Hilbert uzayı, [ ] ve olsun. Bu durumda dir (Reinermann 1969). Tanım (Normlu Dual): bir normlu lineer uzay olsun. de tanımlı tüm sürekli ve reel değerli lineer fonksiyonellerin kümesini ile gösterelim. Yani { ü } olsun. Her ve için

15 7 { olarak tanımlanırsa, bu durumda bir lineer uzaydır. Bu uzayına in normlu duali denir ve ile gösterilir. in normlu duali veya kısaca ile gösterilir ve buna normlu uzayının normlu ikinci duali (bidual space) adı verilir. Burada, { } normuna göre normlu lineer uzaydır. Ayrıca tam olduğu için tam olmasa bile daima bir Banach uzaydır. Bu uzayına bazen in eşi veya eşleniği adı da verilir. Örnek : (i) Alışılmış norm ile uzayının duali kendisidir. (ii) { { } } uzayının normuna göre normlu duali { { } { } } uzayıdır. (iii) { { } } uzayının { } normuna göre normlu duali uzayıdır. Tanım (Doğal Dönüşüm): bir lineer uzay olsun. Bir için şeklinde bir fonksiyoneli tanımlayalım. lineer olduğundan bu fonksiyonelinin de lineer olduğu ya da diğer bir deyişle olduğu kolayca görülebilir. Böylece bir için bir öğesinin var olduğu anlaşılır. Bu durumda dönüşümü tanımlanabilir. Bu dönüşümüne uzayından uzayı içine doğal dönüşüm (canonical mapping) adı verilir. Tanım (Yansımalı Uzay): normlu bir uzay iken doğal dönüşümü örten yani

16 8 ise, uzayına yansımalı (reflexive) uzay denir. Bu kavram, Hahn (1927) tarafından ifade edilmiş ve Lorch (1939) tarafından, reflexive olarak adlandırılmıştır. normlu uzayı yansımalı ise ve uzayları eşmetrel eşyapılı (isomorphic) olurlar. Bunun tersi genel olarak doğru değildir. normlu uzayı ile uzayının eşmetrel eşyapılı olmaları, uzayının yansımalı olmasını gerektirmediği 1950 ve 1951 yıllarında R.C. James tarafından gösterilmiştir. Lemma : (i) yansımalı uzaydır. Sonlu boyutlu her normlu uzay yansımalıdır. (ii) Her yansımalı normlu uzay tamdır. Dolayısıyla Banach uzayıdır. (iii) Yansımalı bir Banach uzayın duali de yansımalıdır. (iv) olmak üzere { { } } ve { [ ] ( ) [ ]} uzayları yansımalı Banach uzaylarıdır. (v),, { [ ] [ ]} ve { [ ] [ ]} uzayları yansımalı değildir. (vi) Her Hilbert uzayı yansımalı Banach uzayıdır. (vii) yansımalı Banach uzayı değildir. Tanım (Kuvvetli Yakınsaklık): normlu uzay ve { } de de bir dizi olsun. Eğer, olacak şekilde bir varsa, { } dizisi e kuvvetli yakınsaktır (veya norma göre yakınsaktır) denir ve bu durum ya da kısaca ile gösterilir. Buradaki e, { } dizisinin kuvvetli limiti adı verilir.

17 9 Tanım (Zayıf Yakınsaklık): normlu uzay ve { } de de bir dizi olsun. Eğer her için, olacak şekilde bir varsa, { } dizisi e zayıf yakınsaktır denir ve bu durum ya verilir. ya da şeklinde gösterilir. Buradaki e, { } dizisinin zayıf limiti adı Lemma : (i) { } dizisinin zayıf limiti olan tektir. (ii) { } dizisi e zayıf yakınsıyorsa, { } dizisinin her alt dizisi e zayıf yakınsar. İspat: (i) ve olsun. Bu durumda ve yazılır. { } sayı dizisi olduğundan limiti tektir. O halde olup, her için yazılır. Normlu uzayların özelliklerinden 0 olur. Buradan yazılır. Böylece ispat tamamlanmış olur. (ii) { } dizisi yakınsak bir dizi olduğundan her alt dizi de yakınsak olup, dizi ile aynı limite sahiptir. Kuvvetli ve zayıf yakınsama arasındaki gerektirmeler aşağıdaki teoremle verilmiştir. Teorem : normlu bir uzay olsun. Bu durumda, (i) Kuvvetli yakınsaklık, zayıf yakınsaklığı gerektirir. (ii) (i) nın tersi genel olarak doğru değildir. (iii) ise, zayıf yakınsaklık kuvvetli yakınsaklığı gerektirir (Kreyszig 1989).

18 Sabit Nokta Kavramı Tanım (Sabit Nokta): boş olmayan bir küme ve herhangi bir dönüşüm olsun. Eğer olacak şekilde bir varsa, bu noktasına nin sabit noktası denir. O halde denkleminin çözümü veya çözümleri nin sabit noktalarıdır. nin tüm sabit noktalarının kümesi veya ile gösterilir. Örneğin: 1. olmak üzere, için { } tür. 2. olmak üzere özdeş dönüşümü için in her noktası bir sabit noktadır. 3. olmak üzere, şeklindeki öteleme dönüşümlerin sabit noktaları yoktur. 4. olmak üzere, dönüşümü için { } tür. 5. olmak üzere, dönüşümü için { } dir. boştan farklı bir küme ve bir dönüşüm olsun. Herhangi bir için, ve şeklinde tanımlanır. e, in altındaki. iterasyonu denir. dönüşümüne de nin. iterasyonu denir. yerine notasyonu kullanılabilir. bir dönüşüm olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeleri yazabiliriz. 1. Keyfi bir için dir. 2. Keyfi bir için { } ise, { } dir. Ancak bunun tersi genelde doğru değildir. Örneğin, { } { } dönüşümü olarak tanımlanırsa, { } olduğu halde { } dir. boş olmayan bir küme ve herhangi iki dönüşüm olsun. Eğer olacak şekilde bir varsa, bu noktasına ve nin ortak sabit noktası

19 11 denir. Bu dönüşümlerin ortak sabit noktalarının kümesi ile gösterilir. Örneğin, 1.,, ve dönüşümlerin ortak sabit noktalarının kümesi { } tür. 2.,, ve dönüşümlerinin ortak sabit noktalarının kümesi { } dir. Tanım (Lipschitzian Dönüşüm): bir metrik uzay ve bir dönüşüm olsun. Her için, (2.1) olacak şekilde bir sabit sayısı varsa, ye Lipschitzian dönüşüm denir. (2.1) eşitsizliğine Lipschitz şartı ve bu şartı sağlayan en küçük sayısına da Lipschitz sabiti denir. Yukarıdaki tanıma göre Lipschitz şartını sağlayan her dönüşümü düzgün süreklidir. Çünkü, her için olduğundan yazılır. Bu da dönüşümünün düzgün sürekli olduğunu gösterir. Ancak bu ifadenin tersi her zaman doğru değildir. Örneğin, [ ] olmak üzere, { dönüşümü süreklidir. Fakat Lipschitzian bir dönüşüm değildir. Tanım (Daraltan Dönüşüm): bir metrik uzay ve Lipschitzian bir dönüşüm olsun. Eğer (2.1) eşitsizliği olması halinde sağlanıyorsa, ye daraltan dönüşüm veya büzülme dönüşümü (conctraction) denir.

20 12 Eğer bir tam metrik uzay ve daraltan bir dönüşüm ise, bu dönüşümün bir sabit noktası vardır ve bu sabit nokta tektir (Banach Daralma Prensibi). Tam olmayan metrik uzaylarda tanımlanan daraltan dönüşümlerin sabit noktaya sahip olması gerekmez. Örneğin, ] olmak üzere ve dönüşümünü alalım. Bu dönüşümü daraltan dönüşümdür, fakat sabit noktası yoktur. Lipschitz koşulunu sağlayan her dönüşüm düzgün sürekli olduğundan daraltan dönüşümler de düzgün süreklidir. Dolayısıyla sürekli değilse, bir daraltan dönüşüm de olamaz. Buna karşın daraltan dönüşüm olmasa bile, herhangi bir için daraltan bir dönüşüm olabilir. Tanım (Kesin Daraltan Dönüşüm): bir metrik uzay ve bir dönüşüm olsun. Her ve için, ise, ye kesin daraltan dönüşüm (contractive) denir. Tanım (Genişlemeyen Dönüşüm): bir metrik uzay ve bir dönüşüm olsun. Her için, ise, ye genişlemeyen (nonexpansive) dönüşüm denir. Sonuç (Dönüşümler Arasındaki Bağlantı): Yukarıda tanımlanan dönüşümler göz önüne alınarak aşağıdaki gerektirmeler yazılabilir: Tanım (Düzgün Lipschitzian Dönüşüm): bir normlu uzay, boş olmayan bir alt küme ve bir dönüşüm olsun. Eğer her ve her için

21 13 olacak şekilde sayısı varsa, ye düzgün Lipschitzian dönüşüm denir. Tanım (Asimptotik Genişlemeyen Dönüşüm): bir normlu uzay, boş olmayan bir alt küme ve bir dönüşüm olsun. Eğer her için olacak şekilde şartını sağlayan bir { } [ dizisi varsa, ye asimptotik genişlemeyen dönüşüm denir (Goebel and Kirk 1972). Asimptotik genişlemeyen dönüşümlerin sınıfı, genişlemeyen dönüşümlerin bir genellemesidir. Yukarıdaki tanımlardan görüleceği gibi asimptotik genişlemeyen bir dönüşüm aynı zamanda düzgün -Lipschitzian bir dönüşümdür. Fakat bu ifadelerin tersi genelde doğru değildir. Örneğin:, Hilbert uzayında kapalı birim yuvar ve { }, şartını sağlayan bir reel dizi olsun. dönüşümünü olarak tanımlayalım. Bu durumda her için dir. Yani, dönüşümü Lipschitziandır. Diğer taraftan, her ve için dir. için limit alınırsa, olduğu görülür. Dolayısıyla asimptotik genişlemeyen bir dönüşümdür fakat genişlemeyen bir dönüşüm değildir. Tanım (Quasi-Genişlemeyen Dönüşüm): bir normlu uzay, boş olmayan bir alt küme ve bir dönüşüm olsun. Eğer ve her için

22 14 ise, ye quasi-genişlemeyen dönüşüm denir (Petryshyn and Williamson 1973). olması durumunda genişlemeyen bir dönüşüm aynı zamanda quasigenişlemeyen bir dönüşümdür. Fakat tersi doğru değildir. Tanım (Asimptotik Quasi-Genişlemeyen Dönüşüm): bir normlu uzay, boş olmayan bir alt küme ve bir dönüşüm olsun. Eğer, her ve her için olacak şekilde şartını sağlayan bir { } [ dizisi varsa, dönüşümüne asimptotik quasi-genişlemeyen dönüşüm denir (Khan et al. 2008). Banach uzayının normunun temel özelliği, daima konveks olmasıdır. Yani normun her ve [ ] için şartını sağlamasıdır. Eğer alınırsa için bu ifade (2.2) şeklinde olur. Banach uzayında { } birim küresini göz önüne alalım. Eğer ve ise, her için (2.2) eşitsizliği eşitsizliğine dönüşür. Bu ifade bize birim küresinin doğru parçası içermediğini ve dolayısıyla normun kesin konveks (strict convex) olduğunu gösterir. Tanım (Kesin Konveks Uzay): bir Banach uzayı olsun. Eğer, ve her için şartı sağlanıyorsa, Banach uzayına kesin konveks uzay denir.

23 15 Örnek : (, ve normu verilsin. Bu durumda kesin konvekstir. Örnek : (, ve normu verilsin. Bu durumda kesin konveks değildir. Gerçekten ve olarak seçilirse, olduğu halde dir. Önerme : bir Banach uzayı olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeler denktir. (a) kesin konvekstir. (b) olmak üzere her ve her için dir (Agarwal et al. 2009). İspat: (a) kesin konveks uzay ve olsun. kesin konveks olduğundan her için (2.3) yazılır. Eğer ise, olur. olarak alınsın. için bir fonksiyonu tanımlansın. Bu fonksiyon konveks bir fonksiyondur ve için ( ) olur. için (2.3) ten ( ) (2.4) elde edilir. Eğer ] olursa, (2.3) ve (2.4) ten

24 16 ( ) elde edilir. ( ) için ispat benzer şekilde yapılır. (b) İspat açıktır. Böylece ispat tamamlanmış olur. Tanım : Banach uzayının duali olsun. Eğer { } ise çok değerli dönüşümüne normalleştirilmiş eşlenik dönüşüm (normalized duality mapping) adı verilir. Önerme : bir Banach uzayı olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeler denktir. (i) kesin konvekstir. (ii) Sıfırdan farklı her için, ve olacak şekilde in en fazla bir elemanı vardır (Agarwal et al. 2009). Lemma : bir Banach uzayı olsun. Bu durumda her ve için dir (Chidume et al. 2005). normlu uzayının kesin konveksliği, olmak üzere noktalarını birleştiren doğru parçasının orta noktasının, birim yuvarında olmadığını ifade eder, yani

25 17 dir. Böyle uzaylarda birim küresi ile orta noktası arasındaki uzaklık yani hakkında bilgiye sahip değiliz. uzunluğu hakkında daha fazla fikir sahibi olmak için, kesin konvekslikten daha güçlü bir özellik olan düzgün konveksliğe ihtiyaç vardır. Tanım (Düzgün Konveks Uzay): bir Banach uzayı olsun. Her ve ve şartlarını sağlayan her için olacak şekilde sayısı varsa, e düzgün (uniformly) konveks uzay adı verilir (Aksoy and Khamsi 1990). Bu tanım { } ve için orta noktasının den bir uzaklığında ve kapalı birim yuvar içinde olduğu ifade eder. Örnek : Her Hilbert uzayı düzgün konvekstir. Gerçekten her için paralelkenar kuralından dir. olmak üzere ve olduğunu kabul edelim. Böylece olur. Şayet, seçilirse elde edilir. O halde, düzgün konveks bir uzaydır. Örnek : ve uzayları sırasıyla ve { } normlarına göre düzgün konveks uzay değillerdir. Bunu göstermek için olmak üzere elemanlarını alalım. Bu durumda normuna göre

26 18 olur. Ancak olduğundan olacak şekilde bir sayısı yoktur. Dolayısıyla uzayı düzgün konveks değildir. Benzer olarak, ve olarak alalım. Böylece { } normuna göre elde edilir. olduğundan uzayı düzgün konveks değildir. Örnek : olmak üzere ve Banach uzayları düzgün konveks uzaylardır. Teorem : Her düzgün konveks Banach uzayı, kesin konveks uzaydır (Agarwal et al. 2009). Teorem nin tersi genelde doğru değildir. Örnek : uzayı ve olsun. Her { } için normu ( ( ) ) şeklinde tanımlansın. uzayı için kesin konveks fakat düzgün konveks değildir. Eğer uzayı alışılmış norm ile verilirse, kesin konveks uzay olmaz. Teorem : bir Banach uzayı olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeler denktir. (i) düzgün konvekstir. (ii) deki { } { } dizileri için dır (Agarwal et al. 2009).

27 19 Lemma : ve olmak üzere bir Banach uzayının düzgün konveks bir Banach uzayı olması için gerek ve yeter şart her { } ve her [ ] için olacak şekilde kesin artan, sürekli ve konveks bir [ [ fonksiyonu vardır. Burada dır (Xu 1991). Lemma : düzgün konveks bir Banach uzayı olmak üzere her ve şartını sağlayan her [ ] için olacak şekilde kesin artan, sürekli ve konveks bir [ [ fonksiyonu vardır (Cha et al. 2001). Tanım (Konveksliğin Modülü): bir Banach uzayı olsun. [ ] [ ], { } olarak tanımlanan fonksiyonuna X in konveksliğinin modülü denir. Yukarıdaki tanımdan, ve her için olduğunu görmek kolaydır. Örnek : Hilbert uzayının konvekslik modülü ] dir. Ayrıca bir Banach uzayı ve de Hilbert uzayı ise, dir. Lemma : düzgün konveks bir Banach uzayı, ve [ ] olsun. olmak üzere

28 20 ( ) dir (Alber 1996). Teorem : Bir Banach uzayının kesin konveks olması için gerek ve yeter şart olmasıdır (Agarwal et al. 2009). İspat: konvekslik modülü ile birlikte kesin konveks Banach uzayı olsun. olmak üzere ve olduğu kabul edilsin. kesin konveks olduğundan yazılabilir. Bu ise bir çelişkidir. olduğundan dir. Tersine olduğunu kabul edilsin. şartını sağlayan elemanları alınsın. Buna göre elde edilir. Bu ise ve ve böylece olduğunu gösterir. O halde kesin konvekstir. Teorem : Banach uzayının düzgün konveks olması için gerek ve yeter şart her ] için olmasıdır (Agarwal et al. 2009). İspat: düzgün konveks Banach uzayı olsun. Bu durumda her, ve şartlarını sağlayan her için olacak şekilde vardır. Tersine olarak her ] için olacak şekilde in konvekslik modülüne sahip olduğu kabul edilsin. Sabit bir ]

29 21 için ve olacak şekilde elemanları alınsın. Konvekslik modülünün tanımından ve böylece elde edilir. Burada ve den bağımsız olarak olur. O halde düzgün konvekstir. Teorem : Her düzgün konveks Banach uzayı yansımalıdır (reflexivedir) (Agarwal et al. 2009). İspat: düzgün konveks Banach uzayı, { } da birim yuvar ve olsun. olacak şekilde de { } dizisinin var olduğu kabul edilsin. { } dizisinin Cauchy dizisi olduğu gösterilecektir. Tersine, ve olacak şekilde { } nin { } ve { } alt dizileri mevcut olsun. in düzgün konveksliği olacak şekilde varlığını garanti eder. Buradan yazılabilir. Bu bir çelişkidir. Bu yüzden { } dizisi Cauchy dizisi olup, şekilde vardır. Açıkça dir. Gerçekten de olacak dir. James Teoreminden (Banach uzayının yansımalı olabilmesi için gerek ve yeter şart uygun için olacak şekilde olmasıdır) yansımalıdır.

30 22 Her sonlu boyutlu Banach uzayı yansımalıdır. Fakat bu uzayların düzgün konveks olması gerekmez. Buna örnek olarak için normu ile uzayı verilebilir. Tanım (Smooth Uzay): normlu uzay olsun. Eğer her için ve olacak şekilde bir tek varsa normlu uzayı smooth uzay denir (Chidume 2009). Örneğin, için uzayları smooth Banach uzaylardır, ve uzayları ise smooth uzaylar değildirler. Teorem : bir yansımalı Banach uzay olsun. Bu durumda (a) smooth olmasi için gerek ve yeter şart kesin konveks olmasıdır. kesin konveks olması için gerek ve yeter şart smooth olmasıdır. (Agarwal et al. 2009) Tanım (Gâteaux Diferansiyellebilir Norm): bir normlu uzay ve in birim yuvarı olsun. Eğer her için limiti varsa, in normu noktasında Gâteaux diferansiyellebilirdir denir. Yukarıdaki limit ifadesiyle de gösterilebilir. Burada normunun gradiyenti olarak adlandırılır. in normu, kümesinin tüm noktalarında Gâteaux diferansiyellebilirse, bir Hilbert uzayı olmak üzere ın normu diferansiyellebilirdir. Gerçekten herhangi için in normu Gâteaux diferansiyellebilirdir denir. Örneğin; ile birlikte Gâteaux

31 23 elde edilir. Bu ise nın normunun Gâteaux diferansiyellebilir olduğunu gösterir. Aşağıdaki teorem bir normun Gâteaux differansiyellenebilmesi ile smoothluk arasındaki ilişkiyi göstermektedir. Teorem : bir Banach uzayının smooth olması için gerek ve yeter şart { } üzerindeki normun Gâteaux differansiyellenebilmesidir (Agarwal et al. 2009). Tanım (Smoothluğun Modülü): olsun. [ [, boyutu ikiden büyük olan bir normlu uzay { } olarak tanımlanan fonksiyonuna in smoothluğunun modülü denir. Yukarıdaki tanımdan, ve her için olduğu görülür. Tanım (Düzgün Smooth Uzay): bir Banach uzayı olsun. Eğer şartını sağlanıyorsa bu uzaya düzgün smooth uzaydır denir. (Agarwal et al. 2009) Örnek : uzayları düzgün smoothtur. Gerçekten dir.

32 24 Düzgün smoothluk normun diferensiyellenebilirliği ile yakından ilişkilidir. Teorem : Her düzgün smooth 2009). Banach uzayı smooth uzaydır. (Agarwal et al. Tanım : Bir Banach uzayı olsun. Her için, olmak üzere eğer limiti mevcut ise in normu Fréchet diferansiyellenebilirdir denir. Düzgün smoothluk, normun düzgün Fréchet diferansiyellenebilirliği ile karakterize edilebilir. Teorem : bir Banach uzayı olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeler denktir. (a) düzgün Fréchet diferansiyellenebilir norma sahiptir. (b) düzgün konvekstir. (Agarwal et al. 2009). Tanım (Asimptotik Yarıçap ve Asimptotik Merkez): alt kümesi ve { }, de sınırlı bir dizi olsun. olmak üzere Banach uzayının bir { } kuralı ile verilen { } : fonksiyonu göz önüne alınsın. da tanımlı { } fonksiyonunun infumumuna { } dizisinin ya göre asimptotik çapı denir ve { } ile gösterilir. Yani asimptotik yarıçap { } { { } } dir. olmak üzere { } { { } } { }

33 25 oluyorsa bu noktasına { } dizisinin ya göre asimptotik merkezi denir. { } dizisinin ya göre asimptotik merkezlerinin sınıfı { } ile gösterilir. Yani asimptotik merkez { } { { } } { } dir (Agarwal et al. 2009). { } boş küme olabildiği gibi tek ya da çok elemanlı olabilir. Aşağıda asimptotik merkezin hangi durumlarda var ve tek olduğu ile ilgili teoremler verilmiştir. Teorem : { } Banach uzayında sınırlı bir dizi ve bu uzayın boş olmayan alt kümesi olsun. Bu durumda (i) Eğer K zayıf kompakt ise { } dir. (ii) Eğer K zayıf kompakt ve konvekse { } boş olmayan konveks bir kümedir (Agarwal et al. 2009). Teorem : düzgün konveks bir Banach uzay, bu uzayın boş olmayan kapalı konveks bir alt kümesi ve { } de sınırlı bir dizi olsun. Bu durumda { } tek elemanlı bir kümedir (Agarwal et al. 2009). Teorem :, düzgün konveks Banach uzayının boş olmayan kapalı konveks bir alt kümesi olsun. deki her sınırlı { } dizisi ya göre bir tek asimptotik merkeze sahiptir. Yani { } { } ve olmak üzere dir (Agarwal et al. 2009). Sonuç : (i) Eğer zayıf kompaktsa, { } boş olmayan bir kümedir. (ii) Eğer kapalı ise, { } de kapalıdır.

34 26 (iii) Eğer konveks ise, { } de konvekstir. Teorem : düzgün konveks Banach uzayının boş olmayan kapalı konveks bir alt kümesi ve { }, da { } { } olacak şekilde sınırlı bir dizi olsun. Eğer { }, da { } { } şartını sağlayan bir dizi ise, dir (Agarwal et al. 2009) Dönüşümlerin Sabit Noktaları Daraltan, kesin daraltan, genişlemeyen ve Lipschitzian gibi dönüşümlerin bazılarının sabit noktası olmadığı halde, bazılarının bir veya birden fazla sabit noktası olabilir. Bu bölümde, hangi tür dönüşümlerin sabit noktalarının var ve bu sabit noktaların hangi koşullar altında tek olduğunu teorem ve örneklerle ifade edeceğiz. Aşağıdaki teorem analizdeki en basit sabit nokta teoremi olarak bilinir. Teorem 2.3.1: [ ], de bir kapalı aralık ve [ ] [ ] sürekli bir dönüşüm olsun. Bu durumda olacak şekilde bir [ ] sayısı vardır. İspat: Her [ ] için şeklinde bir [ ] dönüşümü tanımlansın. Bu durumda sürekli bir dönüşümdür. Eğer ise, ve ise, olur. Ara değer teoremi gereğince olacağından olacak şekilde bir [ ] vardır. Teorem (Brouwer Sabit Nokta Teoremi):, de kapalı bir küre (dolayısıyla nin bir kompakt konveks alt kümesi) olsun. Bu durumda sürekli dönüşümü en az bir sabit noktaya sahiptir (Khamsi and Kirk 2001).

35 27 Bu teorem sonlu boyutlu uzaylarda geçerli olan bir teoremdir. Yani, Brouwer ın bu teoremi herhangi bir sonsuz boyutlu Banach uzayında geçerli değildir. Bu durumu bir örnekle izah edelim. Örnek 2.3.3:, Banach uzayında bir kapalı birim küre olsun. için dönüşümünü alalım. Her için olduğundan süreklidir. Ancak, denkleminin de bir çözümü yoktur. Teorem (Schauder Sabit Nokta Teoremi): bir Banach uzayı, boş olmayan kompakt konveks bir alt küme ve sürekli bir dönüşüm olsun. Bu durumda en az bir sabit noktaya sahiptir (Khamsi and Kirk 2001). İspat: kompakt olduğundan ön-kompaktır. Dolayısıyla total sınırlıdır. Böylece, her için olacak şekilde { } vardır. Her bir için { } olarak tanımlayalım. Böylece her bir için olacak şekilde en az bir { } vardır. Schauder operatörü olarak adlandırılan, operatörünü göz önüne alalım. Burada, { } elemanlarının bir konveks kombinasyonu olduğundan dır. Ayrıca sürekli olduğundan fonksiyonlarının her biri de süreklidir.

36 28 Şimdi, { } olsun. Bu durumda, { } vektörleri tarafından gerilen sonlu boyutlu Banach uzayının sınırlı, kapalı ve konveks bir alt kümesidir. Üstelik dir. Brouwer teoremine göre dönüşümlerinin her biri sabit noktasına sahiptir. kompakt olduğundan { } dizisi, noktasına yakınsayan bir { } alt dizisine sahiptir. Herhangi için [ ] olur. O halde ( ) ( ) olduğundan için eşitsizliğin sol tarafı e giderken sağ tarafı a gider. Yani, olur. Dolayısıyla nin bir sabit noktasıdır. Örnek 2.3.5: Banach uzayı ve { } kapalı birim yuvarı verilsin. Her için şeklinde tanımlanan dönüşümünü alalım. genişlemeyen bir dönüşümdür ve, nin bir sabit noktasıdır. Fakat, dır. Yani, genişlemeyen dönüşümü uzayında bir sabit noktaya sahip değildir. Teorem (Banach Daralma İlkesi): tam metrik uzay ve daraltan bir dönüşüm olsun. Bu durumda bir tek sabit noktaya sahiptir.( Maddox 1988)

37 29 İspat:, de keyfi bir nokta ve olsun. Önce { } dizisinin bir Cauchy dizisi olduğunu ve sonra da bu dizinin limit noktasının denkleminin bir tek çözümü olduğunu göstereceğiz. için ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] olur. Yani ( ) ( ) dır. olduğundan için limit alınırsa, ( ) elde edilir. Bu da { } dizisinin Cauchy dizisi olduğunu gösterir. tam olduğundan ve dolayısıyla dir. dönüşümü sürekli olduğundan dizisel süreklidir, yani dir. de için limit alınırsa elde edilir. Şimdi bu sabit noktanın tek olduğunu gösterelim., nin başka bir sabit noktası yani, olsun. Bu durumda

38 30 olur. Bu ise olmasını gerektirir. Çünkü [ ] dir. olduğundan dır. Dolayısıyla hem hem de olduğundan [ ] eşitsizliğinin sağlanması için olması gerekir. Bu da demektir. Teorem 2.3.7: bir tam metrik uzay ve için bir daraltan dönüşüm olacak şekilde bir dönüşümü verilsin. Bu durumda bir tek sabit noktaya sahiptir (Khamsi and Kirk 2001). İspat: Banach sabit nokta teoremi gereğince, bir tek sabit noktasına sahiptir. Dolayısıyla yazılır. Ayrıca, nin bir sabit noktasıdır. nin sabit noktası tek olduğu için gerektirir. olur. Eğer ise, bu durumda olur. Bu da olmasını Teorem 2.3.8: bir kompakt metrik uzay ve kesin daraltan bir dönüşüm olsun. Bu durumda bir tek sabit noktasına sahiptir. Üstelik her için dır (Khamsi and Kirk 2001). İspat: için, şartını sağlayan bir fonksiyonunu tanımlayalım. Bu durumda sürekli ve alttan sınırlıdır. Bu yüzden, bir noktasında minimum değerini alır. olduğunu kabul edelim. Buradan

39 31 elde edilir. Bu ise olmasını gerektirir. Şimdi noktası ve dizisi verilsin. Şayet ise, olur. Bu nedenle dizisi kesin azalandır. Sonuç olarak için limiti vardır ve dır. Ayrıca kompakt olduğu için dizisi yakınsak bir alt dizisine sahiptir. diyelim. dizisi azalan olduğundan olur. Eğer ise, bu durumda dir. Bu ise in herhangi yakınsak alt dizisinin noktasına yakınsadığını gösterir. O halde dır.

40 32 3. MATERYAL ve YÖNTEM 3.1. İterasyon Yöntemleri Bir dönüşümün sabit noktasını veya noktalarını bulurken çeşitli iterasyonlar kullanılır. Bunlardan bazıları, Picard iterasyonu, Mann iterasyonu, Ishikawa iterasyonu, Noor iterasyonu ve S iterasyondur. Picard İterasyonu: bir metrik uzay, kapalı bir alt küme ve bir dönüşüm olsun. olmak üzere Picard iterasyonu, (3.1) şeklinde tanımlanır (Picard 1890). Picard iterasyonu bazen ardışık yaklaşıklar dizisi (sequence of successive approximations) olarak da adlandırılır. Tam metrik uzayda tanımlı daraltan dönüşümlerin sabit noktalarına yaklaşmak için kullanılan iterasyonlardan biri de Picard iterasyonudur. Daraltan dönüşüm yerine farklı sınıftan bir dönüşüm alınırsa Picard iterasyonu, dönüşümün sabit noktasına yakınsamayabilir. Örnek 3.1.1: [ ] olmak üzere [ ] [ ], olsun. genişlemeyen bir dönüşüm ve { } dir. Herhangi bir noktası için (3.1) Picard iterasyonu,

41 33 şeklinde olup bu ise salınımlı dizisine karşılık gelir. Bu dizi için yakınsak olmadığından, Picard iterasyonu dönüşümün sabit noktasına yakınsamaz. Dolayısıyla istenilen sabit noktayı bulmak için diğer iterasyon metodlarını göz önüne almak gerekir. Mann İterasyonu: Mann tarafından 1953 yılında kurulmuş ve Banach daralma ilkesini sağlamayan dönüşümlerin sabit noktalarını elde etmek için kullanılmıştır. bir normlu uzay, boş olmayan konveks bir alt küme, bir dönüşüm ve keyfi bir nokta olmak üzere Mann iterasyonu, (3.2) şeklinde tanımlanır. Burada { }, aralığında şartlarını sağlayan bir dizidir (Mann 1953). Mann ın bulmuş olduğu sonuçlar Franks and Marzec (1971) çalışmasında, aynı şekilde Franks ve Marzec in sonuçları da Rhoades (1974) çalışmasında genişletilmiştir. Yine Rhoades (1974) çalışmasıyla, herhangi bir kapalı ve sınırlı aralıktan yine bu aralığa tanımlı bir dönüşüm (self-map) için Mann iterasyonunun bu dönüşümün bir sabit noktasına yakınsadığını göstermiştir. Örnek 3.1.2: [ ] kümesi üzerinde, olarak tanımlanırsa, Mann iterasyonu bu dönüşümün sabit noktası olan e yakınsar. Ishikawa İterasyonu: 1974 yılında S. Ishikawa tarafından kurulmuş ve Lipschitzian ve pseudocontractive dönüşümler için Mann iterasyon yönteminin yetersizliği durumunda yeni bir iterasyon metodu olarak oluşturulmuştur. Bu iterasyon ilk olarak bir Hilbert uzayının konveks ve kompakt alt kümesi üzerinde tanımlı Lipschitzian ve pseudocontractive bir dönüşümün sabit noktaya kuvvetli yakınsadığını göstermek

42 34 amacıyla kullanılmıştır (Berinde 2006). bir normlu uzay, boş olmayan konveks alt küme, bir dönüşüm ve keyfi bir nokta olmak üzere Ishikawa iterasyonu, { (3.3) şeklinde tanımlanır. Burada { } ve { } ve dir (Ishikawa 1974). (3.3) eşitliği ile verilen iterasyonda alınırsa, bu iterasyon Mann iterasyonuna indirgenir. Buna rağmen Mann ve Ishikawa iterasyonları için yakınsama sonuçları arasında genel bir bağ yoktur (Berinde 2006). Rhoades and Şoltuz, yıllarında dönüşümlerin çeşitli sınıfları için Ishikawa iterasyonunun yakınsaklığının, Mann iterasyonunun yakınsaklığına denk olduğunu göstermişlerdir. Noor İterasyonu: 2000 yılında Noor tarafından kurulmuştur. bir normlu uzay, boş olmayan konveks alt küme, bir dönüşüm ve keyfi bir nokta olmak üzere Noor iterasyonu, { şeklinde tanımlanır. Burada { }, { }, { } ve dir (Noor 2000).

43 35 S-İterasyonu: bir lineer uzay, boş olmayan konveks alt küme, bir dönüşüm ve keyfi bir nokta olmak üzere S-iterasyonu, { şeklinde tanımlanır. Burada { } { } dir. (Agarwal et al. 2007) S-iterasyon yöntemi Mann ve Ishikawa iterasyon yöntemlerinden bağımsızdır. Yani S- iterasyonu ile Mann veya Ishikawa iterasyonu birbirinden elde edilemez. Agarwal- O Regan-Sahu, daraltan dönüşümler için S-iterasyon yönteminin yakınsama hızının Picard iterasyon yönteminin yakınsama hızına denk ve diğer sabit nokta iterasyon yöntemlerinin yakınsama hızlarından daha hızlı olduğunu göstermişlerdir (Agarwal et al. 2007). Yenilenmiş S-İterasyonu: bir lineer uzay, boş olmayan konveks alt küme, iterasyonu, bir dönüşüm ve keyfi bir nokta olmak üzere modifiye edilmiş S- { şeklinde tanımlanır. Burada { } { } dir (Agarwal et al. 2007). Agarwal et al. (2007), çeşitli dönüşümler için hem S-iterasyon hem de modifiye edilmiş S-iterasyon yönteminin dönüşümün sabit noktasına kuvvetli ve zayıf yakınsamasını incelemişlerdir. 3.2 Bazı Önemli Tanım ve Lemmalar Bu kısımda çalışmamızda kullanacağımız bazı tanım ve lemmalar verilmiştir.

44 36 Tanım (Demiclosed): bir reel Banach uzayı ve bir dönüşüm olsun. Eğer, deki { } dizisi a zayıf ve { } dizisi ye kuvvetli yakınsadığında oluyorsa ye de demicloseddir denir. Tanım (Opial Şartı): Bir Banach uzayında zayıf yakınsaması her için olmasını gerektiriyorsa, Banach uzayı Opial şartını sağlıyor denir (Opial 1967). Bu eşitsizlikteki ifadeleri ile yer değiştirirse, benzer bir şart elde edilir. Yine aynı eşitsizlikte yerine alınırsa zayıf Opial şartı olarak adlandırılan şart elde edilir. Örnek 3.2.3: Her Hilbert uzayı Opial şartını sağlar. Yani bir X Hilbert uzayında { } dizisi noktasına zayıf yakınsak ise, her ve için dir. Her zayıf yakınsak dizi sınırlı olduğundan ve sonludur. olduğundan elde edilir. Tanım (Semikompakt): bir dönüşüm olsun. Eğer daki her sınırlı { } dizisi için ise, dönüşümüne semikompakttır denir. Bu durumda { } dizisinin, da sabit noktasına güçlü yakınsayan { } alt dizisi vardır.

45 37 Tanım (Tamamen Sürekli Dönüşüm): bir dönüşüm olsun. Eğer her sınırlı { } dizisinin bir { } alt dizisi var ve { } dizisi nin görüntü kümesinde yakınsak ise, dönüşümüne tamamen süreklidir denir. Tanım ( Şartı):, Banach uzayının boştan farklı bir alt kümesi, bir dönüşüm ve olsun. Eğer her için, olacak şekilde azalmayan bir [ [ fonksiyonu var ve her için ( ( )) ise, ye şartını sağlıyor denir (Senter and Dotson 1974). Burada ( ) dir. Tan ve Xu ya göre şartı, nın kompaktlığından daha zayıftır (Tan and Xu 1993). Khan ve Fukhar-ud-din (2005), iki dönüşüm için şartını aşağıdaki şekilde genelleştirmiştir. Tanım ( Şartı): Banach uzayının boştan farklı bir alt kümesi ve dönüşümleri verilsin. Eğer her için, olacak şekilde azalmayan bir [ [ fonksiyonu var ve her için ( ( )) ise, dönüşümleri şartını sağlıyor denir (Khan and Fukhar-ud-din 2005). Ayrıca olarak alınırsa şartının nün özel bir hali olduğu görülür. Tanım (Kadec Özelliği): bir Banach uzayı olsun. Eğer deki her { } ağı için zayıf ve kuvvetli yakınsaması olmasını gerektiriyorsa, Banach uzayı Kadec özelliğine sahiptir denir (Goebel and Kirk 1990). Eğer bu tanım, dizilere kısıtlanırsa aşağıdaki Kadec-Klee özelliği elde edilir.

46 38 Tanım (Kadec-Klee Özelliği): bir reel Banach uzayı olsun. Eğer deki her { } dizisi için zayıf ve kuvvetli yakınsaması olmasını gerektiriyorsa, Banach uzayı Kadec-Klee özelliğine sahiptir denir (Goebel and Kirk 1990). Reflexive uzaylarda Kadec-Klee özelliğinin Kadec özelliğine denk olduğu bilinir (Kirk 1989; Aksoy and Khamsi 1990). Teorem : Her düzgün konveks Banach uzayı Kadec-Klee özelliğine sahiptir (Agarwal et al. 2009). İspat: düzgün konveks bir Banach uzayı olsun. de ve olacak şekilde bir { } dizisi alalım. Eğer ise, olur. Bu olmasını gerektirir. olduğunu kabul edelim. Bu durumda olduğunu göstermeliyiz. Kabul edelim ki yani dir. Böylece için olacak şekilde { } dizisinin { } alt dizisi vardır. düzgün konveks olduğundan olacak şekilde vardır. ve olması anlamına geldiğinden yazılabilir. Bu çelişki { } dizisinin, noktasına kuvvetli yakınsadığını gösterir. Lemma : { } ve { }, her için

47 39 eşitsizliğini sağlayan ve negatif olmayan reel sayı dizileri olsun. Eğer ise, limiti vardır. Ayrıca { } dizisinin iken olacak şekilde yakınsak bir alt dizisi varsa iken dır (Tan and Xu 1993). Lemma : { } { } ve { } eşitsizliği sağlayan ve negatif olmayan reel sayı dizileri olsun. Eğer ve ise, limiti vardır (Tan and Xu 1993). İspat: için ( ) ( ) ( ) eşitsizliği yazılabilir. Böylece ( ) ( ) (3.4) olur. ve olduğundan ve elde edilir. (3.6) dan eşitsizliği yazılabilir. O halde limiti vardır. Lemma : düzgün konveks bir reel Banach uzayı ve için olsun. { } ve { }, de iki dizi olmak üzere uygun bir için

48 40 şartları sağlansın. Bu durumda dır (Schu 1991). İspat: için ispat açıktır. olsun. { } dizisi sıfıra yakınsadığı kabul edilsin. Bu durumda { } dizisinin olacak şekilde { } alt dizisi vardır. ve olduğundan olacak şekilde { } alt dizisi için olduğunu kabul edebiliriz. Her için ( ) olacak şekilde seçebiliriz. düzgün konveks olduğundan her,,, ve için [ { } ( )] (3.5) elde edilir. (3.5) den [ ( ) ( )] [ ( )] olur. Bu durum hipotezle çelişmektedir. Böylece ispat tamamlanmış olur. Lemma : bir reel refleksive Banach uzayı ve nin dualide Kadec-Klee özelliğine sahip olsun. { }, de sınırlı bir dizi ve olsun Ayrıca her [ ] için mevcut olduğunu kabul edelim. Bu durumda dir (Kaczor 2002). İspat: Her ve için olacak şekilde bir sayısı vardır. Her ve için ( )

49 41 yazılabilir. { } olduğundan ( ) olur. için (3.6) elde edilir. Lemma yi kullanarak her için ] ve yazılabilir. (3.6) dan olduğu görülür. Böylece için olacak şekilde bir { } dizisi vardır. Her için ( ( ) ) (3.7) dır. Şimdi her için { } kümesini ele alalım. Burada iki durum söz konusudur. 1.Durum: dır. Eğer olarak alınırsa, ve (3.8) eşitlikleri elde edilir. Böylece (3.7) den (3.9) olur. (3.10) 2. Durum: dır. Bu durumda ve olacak şekilde ye zayıf yakınsayan { ( )} alt dizisini seçebiliriz. (3.7) eşitsizliğinden

50 42 elde edilir. Ayrıca (3.11) ( ( ) ) ( ) dir. Diğer taraftan, ( ( ) ) ( ( ) ( ( ) ) ) (3.12) eşitliğini yazabiliriz. Böylece (3.13) ve dir. Şimdi olmak üzere { } noktasına zayıf yakınsayan bir { } alt dizisi ve ye zayıf yakınsayan bir { } dizisi seçebiliriz. Böylece (3.9) ve (3.13) ten eşitsizliğini, (3.8) ve (3.12) den de eşitliğini elde ederiz. Böylece dir. uzayı refleksive ve dual uzayı da Kadec-Klee özelliğine sahip olduğundan dolayı { Böylece (3.10) ve (3.11) den } dizisi noktasına güçlü yakınsar. yazılabilir. Yani

51 43 dır. Bu ise olmasını gerektirir. Lemma : Opial şartını sağlayan bir Banach uzayı, { } de bir dizi ve olmak üzere ve limitleri var olsun. Eğer { } dizisinin { } ve { } alt dizileri sırayla ve noktalarına zayıf yakınsıyorlarsa dir (Suantai 2005). İspat: olarak kabul edilsin. Opial şartından yazılır. Bu ise çelişkidir. O halde dir Asimptotik Genişlemeyen Dönüşümler Bu başlık altında ilk önce, asimptotik genişlemeyen dönüşümler ile demiclosedluk arasındaki bağlantıdan bahsedilmiştir. Daha sonra, bu bilgiler ışığında asimptotik genişlemeyen dönüşümler için temel varlık teoremi verilmiştir. Lemma 3.3.1: düzgün konveks Banach uzayı, da bu uzayın boş olmayan kapalı konveks alt kümesi ve asimptotik genişlemeyen bir dönüşüm olsun. Eğer { }, da ve { } { }

52 44 şartlarını sağlayan sınırlı bir dizi ise 2009). nin bir sabit noktadır (Agarwal et al. İspat: da, = şeklinde bir { } dizisi tanımlansın. için (3.14) olur. (3.14) ten { } { } { } yazılır. Dolayısıyla iken { } { } { } olur. dir. bir Banach uzayı olduğundan zayıf Opial şartına sağlar. Bu yüzden nin sürekliliğinden olur. Böylece ispat tamamlanmış olur. Teorem 3.3.2: Opial şartını sağlayan düzgün konveks Banach uzayı, da bu uzayın boş olmayan kapalı konveks (sınırlı olmak zorunda değil) bir alt kümesi ve asimptotik genişlemeyen bir döşüm olsun. O zaman ( sıfırda demicloseddır (Gornicki 1989). İspat: { } da noktasına zayıf yakınsayan bir dizi ve iken T olsun. Opial şartını sağlayan düzgün konveks Banach uzayı, da bu uzayın boş olmayan kapalı konveks bir alt kümesi olduğundan iken ise noktası { } dzisinin asimptotik merkezidir. Lemma den, T nin bir sabit noktası olur.

53 45 Lemma 3.3.3: Opial şartını sağlayan Banach uzayı, bu uzayın boş olmayan zayıf kompakt bir alt kümesi ve asimptotik genişlemeyen bir döşüm olsun. { } iken ve T şartlarını sağlayan bir dizi ise { } dizisi noktasına zayıf yakınsar (Agarwal et al. 2009). İspat: olmak üzere = ({ } ) ve kümeleri göz önüne alınsın. zayıf kompakt bir küme olduğundan dir., Banach uzayının zayıf kompakt konveks bir alt kümesi olsun. Ayrıca { } dizinin tüm zayıf alt dizi limitleri ile gösterilsin. Burada { } = dır. Yukarıdaki eşitlikten yola çıkarak { } olduğu görülür. Şimdi { } olduğu yani { } olduğu gösterilsin. { } dizisi sınırlı bir dizi olduğundan, olmak üzere şeklinde bir fonksiyonu tanımlanabilir. olacak şekilde bir olduğu kabul edilsin. olduğu gösterilirse ispat tamamlanmış olur. Opial şartından dolayı dır. Ayrıca dönüşümü asimptotik genişlemeyen bir dönüşüm olduğundan dır. Bundan dolayı olmak üzere her için olacak şekilde vardır. olduğundan (3.15) olacak şekilde sayısı ve negatif olmayan sayılar olmak üzere toplamı vardır. ( )

54 46 = olur. Bu bir çelişkidir. O halde, yani { } dır. Teorem 3.3.4: Opial şartını sağlayan lokal düzgün konveks Banach uzayı, bu uzayın boş olmayan zayıf kompakt konveks alt kümesi ve asimptotik genişlemeyen bir dönüşüm olsun. O halde sıfırda demicloseddır (Agarwal et al. 2009). Teorem 3.3.5: düzgün konveks bir Banach uzayı, bu uzayın boş olmayan kapalı sınırlı konveks bir alt kümesi ve asimptotik genişlemeyen bir dönüşüm olsun. O halde sıfırda demicloseddir (Xu 1991). İspat: { } da noktasına zayıf yakınsayan bir dizi ve iken T olsun. Teoremin ispatı için olduğu gösterilmelidir. { } dizisi noktasına zayıf yakınsadığından her için olacak şekilde bir

55 47 konveks kombinasyonu vardır. Burada ve dir. Herhangi bir sabiti için iken olduğundan her için ve ( ) olacak şekilde sayısı vardır. E düzgün konveks Banach uzayı olduğundan ( ) (3.16) olacak şekilde kesin artan, sürekli ve konveks bir [ [ fonksiyonu vardır. Burada genişlemeyen bir dönüşüm, { } nın sonlu sayıdaki elemanlarının kümesi ve { }, şartıyla birlikte negatif olmayan sonlu sayılar kümesidir., dönüşümünün Lipschitz sabiti olsun. Bu durumda, da genişlemeyen bir dönüşümdür. (3.16) dan ( ) ( ) (3.17) yazılır. ( ) ( ) olduğundan (3.17) den ( ( ) ) (3.18)

56 48 eşitsizliği elde edilir. (3.18) eşitsizliğinde her iki taraf için limsup alınırsa, her için ( ( ) ) (3.19) olur. Her için ( ) (3.20) yazılır. olduğundan (3.19) ve (3.20) den (( ) ) ( ( ) ) yazılır. Bu ise olduğu gösterir. nin sürekliliğinden yazılır. Böylece ispat tamamlanmış olur. Yukarıda verilen bilgiler ışığında asimptotik genişlemeyen dönüşümler için temel varlık teoremi aşağıda verilmiştir. Teorem (Goebel ve Kirk Sabit Nokta Teoremi): düzgün konveks Banach uzayı, da bu uzayın boştan farklı kapalı, konveks, sınırlı bir alt kümesi ve asimptotik genişlemeyen bir dönüşüm olsun. Bu durumda, da bir sabit noktaya sahiptir (Goebel and Kirk 1972). İspat: ve için merkezli ve yarıçaplı yuvarını göz önüne alınsın. ( ( )) olacak şekilde bir sayısının olduğu, bütün sayılarından oluşan küme olarak tanımlansın. Eğer, nın çapı yani ise dir. Böylece dir. { } olsun. Her için ( ( ))

57 49 tanımlanabilir (Kirk 1969). O halde her için kümesi boştan farklı ve konvekstir. uzayının yansımalı olması olmasını gerektirir., ve için olacak şekilde bir tamsayısı vardır. Şimdi elemanı için { } dizisinin noktasına kuvvetli yakınsamadığı kabul edilsin. Bu durumda her için olacak şekilde { } in bir { } alt dizisi vardır. in Lipschitz sabiti olsun. O halde için dir. ( ( )) eşitsizliğini sağlayan ve sayılarının olduğu kabul edilsin. ve ( ) olacak şekilde bir sayısı seçilsin. Eğer yeteri kadar büyükse bu durumda için olur. Dolayısıyla ve ( ) olup, için in düzgün konveksliğinden

58 50 ( ( )) elde edilir. Bu ise ın tanımına terstir. Böylece veya sonucu elde edilir. Fakat, { } nin bir Cauchy dizisi olmasını gerektirir ve böylece olur. Bu durumda, nin bir sabit noktasını ihtiva eden tek nokta kümesidir. Teorem 3.3.7: düzgün konveks Banach uzayı, da bu uzayın boş olmayan kapalı, konveks, (sınırlı olmak zorunda değil) bir alt kümesi ve asimptotik genişlemeyen bir dönüşüm olsun. O halde aşağıdaki ifadeler birbirine denktir. (i) bir sabit noktaya sahiptir. (ii) { } dizini sınırlı yapan bir vardır. (iii) =0 olacak şekilde da sınırlı bir { } dizisi vardır (Agarwal et al. 2009). İspat: ve olduğu kolayca görülür. İlk olarak olduğu gösterilsin. olmak üzere { } dizisi sınırlı olsun. Asimptotik merkezin tekliğinden dolayı { } ={ } olacak şekilde bir vardır. Her için olacak şekilde bir { } dizisi tanımlansın. iterasyononun Lipschitz sabiti olsun. T asimptotik genişlemeyen bir dönüşüm olduğundan dir. Buradan { } { } { } ve dolayısıyla { } { } olduğu görülür. Bu ise olmasını gerektirir. Şimdi olduğunu gösterilsin. { }, da =0 şartını sağlayan sınırlı bir dizi olsun.