ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ POTANSİYEL ALAN VERİLERİNİN KESİRSEL MERTEBE TÜREVLER İLE DEĞERLENDİRİLMESİ

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ POTANSİYEL ALAN VERİLERİNİN KESİRSEL MERTEBE TÜREVLER İLE DEĞERLENDİRİLMESİ Muzaffer Özgü ARISOY JEOFİZİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI ANKARA 2012 Her Hakkı Saklıdır

2 ÖZET Doktora Tezi POTANSİYEL ALAN VERİLERİNİN KESİRSEL MERTEBE TÜREVLER İLE DEĞERLENDİRİLMESİ Muzaffer Özgü ARISOY Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı Danışman: Doç. Dr. Ünal DİKMEN Diğer jeofizik yöntemlerde olduğu gibi gravite ve manyetik problemlerin çözümünde temel amaç belirtiye neden olan yeraltı yapılarının fiziksel ve geometrik özelliklerinin belirlenmesidir. Yeraltı yapılarının yatay yönde kenarlarının belirlenmesi ve görüntülenmesi günümüzde oldukça popüler bir konudur. Bu amaçla 1970 li yıllara kadar verinin yatay ve düşey türevleri kullanılırken, geliştirilen sınır belirleme süzgeçleri yatay ve düşey türevlere göre daha yaygın kullanılır hale gelmiştir. Sınır belirleme süzgeçleri verinin tamsayı mertebeli yatay ve düşey türevlerinin hesaplanmasını gerektirmektedir. Bu süzgeçlerin zayıf yönleri; gürültü varlığını kuvvetlendirmeleri ve derin veya düşük fiziksel özellik sunan yapılara ait sınırların belirlenmesinde yetersiz kalmalarıdır. Bu süzgeçlerin zayıf yönlerinin üstesinden gelebilmek için çeşitli yöntemler önerilmiştir. Bu tez çalışmasında, tamsayı mertebeli yatay ve düşey türevlerin hesaplanmasını gerektiren sınır belirleme süzgeçleri kesirsel mertebeli türevler kullanılarak model ve arazi verileri üzerinde sınanmıştır. Sınır belirleme süzgeçlerinin geleneksel kullanımlarıyla kesirsel mertebeden türevler ile kullanımları kıyaslandığında, kesirsel mertebeden türev kullanımının başarılı sonuçlar verdiği görülmüştür. Tez çalışması kapsamında yatay yönde kaymayı engellemek için faz uyarlanmış kesirsel mertebeli yatay türev süzgeci adı verilen bir süzgeç önerilmiştir. Bununla birlikte, potansiyel alan verilerinin modellenmesi, süzgeçlenmesi ve görselleştirilmesi amacıyla MATLAB programlama dilinde POTENSOFT adı verilen bir yazılım geliştirilmiştir. Haziran 2012, 78 sayfa Anahtar Kelimeler: Gravite ve Manyetik Veri, Kesirli Mertebe Türev, Yatay Türev, Düşey Türev, Sınır Belirleme, Dalgasayısı Ortamı Süzgeç. i

3 ABSTRACT Ph.D. Thesis EVALUATION OF POTENTIAL FIELD DATA USING FRACTIONAL ORDER DERIVATIVES Muzaffer Özgü ARISOY Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Geophysical Engineering Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Ünal DİKMEN Like the other geophysical methods, the main purpose in solving the gravity and magnetic problems is to identify the physical and geometrical properties of the subsurface structures that cause the magnetic or gravity anomalies. Nowadays, the matter of identification as well visualization of boundaries of the subsurface structures in horizontal directions is popular. For this purpose, the vertical and horizontal derivatives of the gravity or magnetic data have been used till 1970s and since then, the edge detection filters have improved and are preferred rather than the horizontal and vertical derivative schemes. The edge detection filters involve integer order vertical and horizontal derivatives of the data. The main disadvantage of these kinds of filters is that they enrich the noise and hence, fail on detecting the boundaries of the subsurface structures buried deep or with indistinct gravity or magnetic properties. To overcome the troubles with these filters, various techniques were proposed. In this thesis, the filters involving the integer order vertical and horizontal derivatives is tested with fractional order vertical and horizontal derivatives on both synthetic and field data. Comparing the fractional order differentiation with the traditional edge detection filters, successful results are achieved with the fractional order differentiation. In the frame of the thesis, a new type of filter named "phase adapted fractional order horizontal derivative filter" is proposed to overcome the shifting problem in horizontal directions. In addition, a MATLAB based computer code named POTENSOFT is developed for modeling, filtering and visualization of the potential field data. June 2012, 78 pages Key Words: Gravity and Magnetic Data, Fractional Order Derivative, Horizontal Derivative, Vertical Derivative, Edge Detection, Wavenumber Domain Filter. ii

4 TEŞEKKÜR Doktora tez çalışmamın her aşamasında engin bilgi birikimi, yakın ilgi ve önerileri ile beni yönlendiren tez danışmanım Doç. Dr. Ünal DİKMEN e (Ankara Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı) sonsuz teşekkür ederim. Tez çalışmam süresince, bilgisinin yanı sıra işine olan saygısı ve insani özelliklerinden edindiğim kazanımların benim için oldukça kıymetli olduğunu özellikle belirtmek isterim. Tez izleme komitemde yer alan ve kendime her zaman bilim adamı olarak örnek aldığım değerli hocam Prof. Dr. Ahmet TUĞRUL BAŞOKUR a (Ankara Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı) sonsuz teşekkür ederim. Doktora çalışmam boyunca katkı ve eleştirileriyle daima beni yönlendirmiş ve doktora çalışması dışındaki çalışmalarımda yanımda olmuş ve beni cesaretlendirmiştir. Değerli fikirleri ile tez çalışmamın olgunlaşmasında çok büyük katkıları olan ve tez izleme komitemde yer alan sayın Doç. Dr. Ziya TELATAR a (Ankara Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı) şükranlarımı sunarım. Ders aşaması zamanında kendisinden aldığım Sayısal Görüntü İşleme I ve Sayısal Görüntü İşleme II dersleri hem tez çalışmama büyük katkıda bulunmuştur hem de tez çalışması dışında farklı alanlara ilgi göstermeme neden olmuştur. Tez jüri üyeleri sayın Prof. Dr. Abdullah ATEŞ e (Ankara Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı) ve sayın Doç. Dr. Bülent ORUÇ a (Kocaeli Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı) katkılarından dolayı teşekkür ederim. Bugünlere gelmemde üzerimde emeği en büyük olan annem ve babama ayrıca teşekkür ederim. Doktora çalışmam boyunca her zaman sevgi ve desteklerini yanımda hissettiğim sevgili eşim Ebru ARISOY teşekkürlerin en büyüğüne layıktır. Tez çalışmasına başladığım ilk günlerde aramıza katılan oğlum Demir ARISOY manevi çalışma kaynağım olmuştur. Muzaffer Özgü ARISOY Ankara, Haziran 2012 iii

5 İÇİNDEKİLER ÖZET i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR.... iii SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ.... v ŞEKİLLER DİZİNİ vi 1. GİRİŞ POTANSİYEL ALAN VERİLERİNİN YORUMLANMASINDA TEMEL İŞLEMLER Yapma Gravite Dönüşümü Kutba İndirgeme Analitik Uzanım Bölgesel-Yerel Ayrım Dalga Sayısı Ortamı Süzgeçler Yönlü Süzgeçler Potansiyel Alan Verilerinin Değerlendirilmesinde Kullanılan Bilgisayar Yazılımları POTANSİYEL ALAN VERİLERİNDE SINIR BELİRLEME KESİRLİ MERTEBEDEN TÜREV KAVRAMI Tamsayı MertebeliTürev ve İntegralin Ortak Yazımı GL Kesirli Mertebe Türev RL Kesirli Mertebe Türev RL kesirli mertebe türevin dalgasayısı ortamı ifadesi Caputo Kesirli Mertebe Türev POTANSİYEL ALAN VERİLERİNİN KESİRLİ MERTEBEDEN TÜREVLERİ TARTIŞMA VE SONUÇLAR.. 61 KAYNAKLAR 63 EKLER 70 EK 1 BİR FONKSİYONUN n. MERTEBEDEN TÜREVİ 71 EK 2 n KATLI İNTEGRALİN GENEL YAZIMI.. 73 EK 3 GAMMA FONKSİYONU 75 ÖZGEÇMİŞ iv

6 SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ x y z RL GL 2B 3B k k x y k P x y (, ) F TYT AS GAS DAS Potansiyel alan verisi x-yönlü yatay türevi Potansiyel alan verisi y-yönlü yatay türevi Potansiyel alan verisi düşey türevi Riemann-Liouville Grünwald-Letnikov İki-boyut Üç-boyut x doğrultusundaki dalgasayısı y doğrultusundaki dalgasayısı Dalgasayısı Potansiyel alan Fourier Dönüşümü Toplam yatay türev Analitik sinyal Geliştirilmiş analitik sinyal Dengelenmiş analitik sinyal v

7 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 2.1 Histogram dengeleme ve Lambertian yansıtıcı yöntemleriyle manyetik alan görüntü haritalarının iyileştirilmesi.. 6 Şekil 2.2 Yapma gravite dönüşümünün manyetik model verisi üzerinde sınanması. 8 Şekil 2.3 Kutba indirgeme yönteminin manyetik model verisi üzerinde sınanması. 9 Şekil 2.4 Aşağı ve yukarı uzanım süzgeçlerinin manyetik model verisi üzerinde sınanması Şekil 2.5 Gravite model verisinden ikinci dereceden bir polinom yüzeyinin çıkarılması ile bölgesel-yerel ayrım yapılması 12 Şekil 2.6 Geleneksel dalga sayısı ortamı süzgeçlerin genlik spektrumlarına ait 3B perspektif görüntüler. Alçak ve yüksek geçişli durumda süzgeçlerin kesme dalga sayıları 0.25 rad/km olarak seçilmiştir 13 Şekil 2.7 Yönlü yatay türev süzgecinin farklı azimut açıları için gravite model verisi üzerinde sınanması. 14 Şekil 3.1 2B durum için birinci ve ikinci mertebeden yatay türev süzgecinin dalga sayısı ortamı davranışları Şekil 3.2 3B durum için birinci ve ikinci mertebeden x-yönlü ve y-yönlü yatay türev süzgeçlerinin dalga sayısı ortamı davranışları. 19 Şekil 3.3 Birinci ve ikinci mertebeden düşey türev süzgeçlerinin dalga sayısı ortamı davranışları Şekil 3.4 Birinci ve ikinci mertebeden düşey türevin sıfırlarını kullanarak yeraltı yapılarının sınırlarının belirlenmesi. 22 Şekil 3.5 Birinci ve ikinci mertebeden yatay ve düşey türev süzgeçlerinin gürültü eklenmemiş ve gürültü eklenmiş manyetik model verisine uygulanması. 23 Şekil 3.6 TYT ve AS süzgeçlerinin gürültü eklenmemiş ve gürültü eklenmiş 2B manyetik model verisine uygulanması.. 25 Şekil 3.7 AS ve GAS süzgeçlerinin manyetik model verisi üzerinde sınanması. 27 Şekil 3.8 TYT, AS, eğim açısı ve yatay eğim açısı süzgeçlerinin geometrik anlamı.. 29 Şekil 3.9 Sınır belirleme süzgeçlerinin manyetik model verisi üzerinde sınanması ve birbirleriyle karşılaştırılması.. 31 Şekil 4.1 Grünwald katsayılarının türev mertebesine bağlı değişimi. 36 Şekil 4.2 RL kesirli türev hesabı için şematik gösterim. 37 Şekil 4.3 Bir fonksiyonun 2.3. mertebeden RL kesirli türev hesabı Şekil 4.4 [0,1] aralığında 0.1 adımla hesaplanan RL integral çekirdek fonksiyonu davranışı Şekil 4.5 [0.25,2] aralığında 0.25 adımla hesaplanan RL kesirli türevi dalgasayısı ortamı görüntüleri. 41 Şekil 5.1 Kesirli mertebeden yatay türev süzgeçlerinin gürültü eklenmemiş ve gürültü eklenmiş manyetik model verisine uygulanması 45 vi

8 Şekil 5.2 Kesirli mertebeden düşey türev süzgeçlerinin gürültü eklenmemiş ve gürültü eklenmiş manyetik model verisine uygulanması 46 Şekil 5.3 Dalgasayısı ortamında faz uyarlanmış kesirli mertebeden yatay türev süzgecinin kurulması.. 47 Şekil 5.4 Kuramsal manyetik alan verisinin [0.25,1] aralığında 0.25 adımla hesaplanan yatay, düşey ve faz uyarlanmış yatay türev eğrileri.. 48 Şekil 5.5 TYT süzgecinin tamsayı ve kesirli mertebeden türev kullanımı ile manyetik model verisi üzerinde sınanması.. 49 Şekil 5.6 AS süzgecinin tamsayı ve kesirli mertebeden türev kullanımı ile manyetik model verisi üzerinde sınanması.. 50 Şekil 5.7 GAS süzgecinin tamsayı ve kesirli mertebeden düşey türev kullanımı ile manyetik model verisi üzerinde sınanması 51 Şekil 5.8 Eğim açısının toplam yatay türevi süzgecinin kesirli mertebeden türev kullanımı ile gürültü eklenmemiş ve gürültü eklenmiş manyetik model verisine uygulanması 53 Şekil 5.9 Kesirli mertebeden türevlerin kullanımı ile TYT süzgecinin manyetik model üzerinde sınanması 54 Şekil 5.10 Kesirli mertebeden türevlerin kullanımı ile AS süzgecinin manyetik model üzerinde sınanması 55 Şekil 5.11 Kesirli mertebeden türevlerin kullanımı ile eğim açısının toplam yatay türevi süzgecinin manyetik model üzerinde sınanması.. 56 Şekil 5.12 Kesirli mertebeden türevler ile TYT süzgecinin arazi verisinde sınanması. 58 Şekil 5.13 Kesirli mertebeden türevlerin kullanımı ile eğim açısı süzgecinin arazi verisi üzerinde sınanması 60 vii

9 1. GİRİŞ Gravite ve manyetik yöntemler literatürde Potansiyel alan yöntemleri başlığı altında birleştirilir. Dolayısıyla gravite ve manyetik veriler bu tez çalışmasının başlığında olduğu gibi potansiyel alan verileri olarak anılır. Bunun nedeni, gravite (yer-çekim) ve manyetik alanın kendilerine özgü bir matematiksel bağıntı ile ifade edilen potansiyellerden türetilmesidir. Gravite ve manyetik yöntemler, jeofizikte kullanılan ilk yöntemlerdendir. Gravite yönteminin temelini kayaçlar arasındaki yoğunluk farkları oluşturur. Kayaçlar arasındaki yoğunluk değişiminin dar bir genlik aralığında gözlenmesinden dolayı gravite belirtileri düzgün ve tekdüze değişimler sunar. Gravite yöntemi; yerkürenin şeklinin, yapısının araştırılmasında ve arama amaçlı kullanılan bir yöntemdir. Arama amaçlı araştırmalarda petrol, maden araştırmaları, tuz domları, yeraltı boşluklarının araştırılması, tektonik ve arkeolojik araştırmalar gibi konularda sıklıkla kullanılır. Gravite çalışmaları karanın dışında havadan ve denizden de yapılabilmektedir. Son yıllarda üretilen gravite aletleri arazide veri toplamada hız ve yüksek duyarlılık sunmaktadır. Manyetik yöntemin amacı; yerkürede manyetik özellik sunan yeraltı yapılarının ve dağılımlarının araştırılmasıdır. Yöntemde bir yeraltı yapısının belirti verebilmesi için etrafındaki yapıya/yapılara göre farklı manyetik duyarlık sunması gerekir. Petrol ve doğalgaz aramaları gibi derin kaynaklı yapıların incelenmesinden, arkeoloji gibi sığ yüzey araştırmalarına kadar, arama derinliği geniş aralıkta değişen bir yöntemdir. Manyetik arama çalışmaları gravite yöntemine benzer şekilde karadan, havadan ve denizden yapılabilmektedir. Veriler günümüzde sürekli kayıt şeklinde ve yeni nesil manyetik cihazlarla hızlı ve yüksek hassasiyetli toplanabilmektedir. Bunun neticesi olarak, manyetik yöntem özellikle maden aramalarında ve arkeoloji çalışmalarında en sık tercih edilen yöntem haline gelmiştir. 1

10 Arazi ölçümleri ile toplanan veriye her iki yönteme özgü öncel düzeltmelerin uygulanmasından sonra gravite ve manyetik veriler yoruma açık hale gelmektedir. Gravite belirti haritaları önceki paragrafta açıklandığı nedenle düşük dinamik aralık sunarlar ve gravite belirtileri kendilerine neden olan yeraltı yapılarının tam üzerinde yeralır. Bu nedenle, gerekli düzeltmeler yapılmış gravite haritaları yorumcu tarafından kabaca yorumlanabilir. Kabul edilebilir bir sonuca ulaşmak için izleyen bölümde verilen geleneksel veri-işlem yöntemlerinin gravite verilerine uygulanması zorunluluğunu unutmamak gerekir. Manyetik belirti haritalarının yorumu hem yüksek dinamik aralık sunmaları hem de mıknatıslanmadan dolayı oluşan bozucu etkileri içermeleri nedeniyle graviteye göre daha zordur. Gravite ve manyetik veriler farklı karakterlerde olmalarına karşın yorumlanmaları amacıyla kullanılan veri-işlem yöntemleri aynıdır. Ancak manyetik verilerin yorumlanmasında kullanım zorunluluğu olan farklı veri-işlem yöntemleri bulunmaktadır. Diğer jeofizik problemlerde olduğu gibi potansiyel alan verilerinin değerlendirilmesinde amaç; belirtiye neden olan yeraltı yapısının/yapılarının geometrik ve fiziksel özelliklerinin belirlenmesi ve görüntülenmesidir. Potansiyel alan verilerinin değerlendirilmesinde yeraltı yapılarının yatay ve düşey yönde sınırlarının belirlenmesi günümüzde çözülmeye çalışılan en önemli problemlerden birisidir. Bu tez kapsamında yeraltı yapılarının yatay yönde sınırlarının belirlenmesi ve görüntülenmesi üzerine odaklanılmıştır. Potansiyel alan verilerinde sınır analizi 1970 li yıllara kadar verinin yatay (x ve y) ve düşey (z) türevlerinin hesaplanması ve görselleştirilmesi şeklinde yapılmıştır. Sonraki yıllardan itibaren geliştirilen sınır belirleme süzgeçleri günümüzde yatay ve düşey türevlere göre daha sık tercih edilmektedir. Ancak, bu sınır belirleme süzgeçleri verinin yatay ve düşey türevlerinin hesaplanmasını gerektirir. Bu tez çalışmasında, potansiyel alan kaynaklarının yatay sınırlarının belirlenmesinde geleneksel olarak kullanılan tamsayı mertebeli türevler yerine kesirli mertebeden türevlerin kullanımı önerilmiş ve kesirli mertebeden türevlerin üstün yanları gösterilmiştir. Kesirli mertebeden türevler Riemann-Liouville (RL) kesirli türev yaklaşımı ile hesaplanmıştır. Tamsayı mertebeli türevleri kullanan sınır belirleme süzgeçleri kesirli mertebeden türevler ile yeniden oluşturulmuş ve sonuçlar 2

11 karşılaştırıldığında süzgeçlerin geleneksel kullanımlarına göre sonuçlarda iyileşme sağlandığı gözlenmiştir. Tezin ilk bölümünde, potansiyel alan verilerinin değerlendirilmesinde geleneksel kullanılan uzamsal ve dalgasayı ortamı süzgeçler hakkında bilgi ve model verileri üzerinde uygulama sonuçları verilmiştir. Potansiyel alan verilerinin modellenmesi, süzgeçlenmesi ve görüntülenmesi için MATLAB programlama dili kullanılarak geliştirilen POTENSOFT isimli yazılım genel özellikleri ile tanıtılmıştır. İkinci bölümde, yeraltı yapılarının sınırlarının belirlenmesinde kullanılan türev tabanlı yöntemlerle ilgili ayrıntılı bilgi verilmiş ve bu yöntemler model verileri üzerinde karşılaştırılmıştır. Üçüncü bölümde, tezin konusunu oluşturan kesirli mertebeden türev yaklaşımı hakkında bilgi verilmiştir. Riemann-Liouville (RL) kesirli türevinin uzamsal ve dalgasayısı ortamı karşılıkları verilmiştir. Son bölümde, potansiyel alan verilerinin değerlendirilmesinde kesirli mertebeden türevlerin kullanımı ile ilgili öncel çalışmalar hakkında bilgi verilmiştir. Daha sonra, tamsayı mertebeli türevlerin hesaplanmasını gerektiren sınır belirleme süzgeçleri RL kesirli türevleri kullanılarak model ve arazi verileri üzerinde uygulanmış ve sonuçları tartışılmıştır. 3

12 2. POTANSİYEL ALAN VERİLERİNİN YORUMLANMASINDA TEMEL İŞLEMLER Arazi çalışmaları ile toplanan ham-veriye gerekli düzeltmelerin yapılmasından sonra potansiyel alan verileri ölçü geometrisine bağlı olarak profil eğrileri (iki-boyutta, 2B, ölçü) veya görüntü haritaları (üç-boyutta, 3B, ölçü) şeklinde sunulur. 3B ölçü geometrisi ile toplanan veriler görselleştirme aşamasından önce ölçü noktalarına dağıtılır. Bu işleme gridleme (gridding) ismi verilir. Gridleme işlemi temelde bir interpolasyon tekniğidir. Çoğu zaman düzenli bir geometride toplananamayan gravite ve manyetik verilerin gridlenmesi aşamasında yorumcunun probleme en uygun gridleme yöntemini seçmesi gerekir (Briggs 1974, Hansen 1993, O Connel vd. 2005). Görüntü haritalarının dışında potansiyel alan verilerinin görselleştirilmesinde; kontur haritaları, renklendirilmiş kontur haritaları, yapma renklendirme haritaları, kabartma (gölgelendirme) haritaları ve 3B perspektif haritalarının kullanımı da yaygındır (Arısoy ve Dikmen 2011). Görselleştirilmiş veri üzerinde yorumcu; fiziksel özelliğin ölçü alanında dağılımı, veri kalitesi, olası gürültü varlığı gibi etkenleri kabaca yorumlayabilir. Potansiyel alan görüntü haritaları genellikle düşük genlik aralığındadır. Bu durum manyetik alan görüntü haritalarında sıklıkla görülür. Yorum aşamasından önce potansiyel alan görüntü haritalarının iyileştirilmesi yorumlamayı önemli ölçüde kolaylaştırır. Sayısal görüntü işleme uygulamalarında sıklıkla kullanılan histogram dengeleme (eşitleme) yöntemi son yıllarda potansiyel alan görüntülerinin iyileştirilmesinde kullanılmaktadır (Lili vd. 2005). Histogram eşitleme, görüntü işlemede görüntü histogramını kullanarak görüntü karşıtlığının ayarlanması için sıklıkla kullanılan bir yöntemdir. Yöntem, bir görüntüde düşük karşıtlık değerleriyle betimlenen bölümlerin karşıtlık değerlerini arttırır. Bu düzeltme ile görüntüdeki parlaklık değerleri histogram üzerinde daha iyi bir dağılım gösterir. Düşük yerel karşıtlıklı bölümlerin bir kazanç işlemi sonrası yüksek zıtlık değerlerine taşınması göze çarpmayan bölgelerin görünürlüğünün artmasına ve böylelikle görüntünün daha iyi yorumlanmasına olanak sağlar (Gonzales ve Woods 2002). Diğer kullanışlı bir yol ise kabartma haritalarının kullanımıdır. Potansiyel alan verilerinin kabartma haritalarının oluşturulması için en sık 4

13 kullanılan yöntem Lambertian yansıtıcı (Horn 1982) modelidir (Cooper ve Cowan 2007). Şekil 2.1 de bir toplam manyetik alan model verisine ait görüntünün histogram dengeleme yöntemi ve Lambertian yansıtıcı modeli kullanılarak oluşturulan görüntü haritaları gösterilmiştir. Modelde kullanılan tüm yapıların mıknatıslanma şiddetleri 1 A/m dir. Yer manyetik alan ile mıknatıslanma yöneyinin eğim ve sapma açıları sırasıyla 90 o ve 0 o olarak seçilmiştir. Yapıların derinlik dağılımları şekil 2.1.b den takip edilebilir. Mavi renkle temsil edilen yapı diğerlerine göre daha derine yerleştirilmiş ve şekil 2.1.c de verilen toplam manyetik alan görüntü haritasında belirtisi fark edilememektedir. Histogram dengeleme ve Lambertian yansıtıcı yöntemlerinin uygulama sonuçlarında ise (Şekil 2.1.d,e) toplam manyetik alan görüntü haritası iyileştirilmiş ve tüm yapılara ait belirtiler netleşmiştir. Veri görselleştirme aşamasından sonra veri iyileştirme adımı gelir. Veri iyileştirme aşaması, uzamsal veya dalgasayısı ortamı süzgeçlerin veriye uygulanması aşamasıdır. 2B uzamsal ve dalga sayısı süzgeçlerin jeofizikte en sık kullanım alanı bulduğu yer gravite ve manyetik yöntemlerdir. Potansiyel alan verilerinin süzgeçlenmesi; jeolojik birimlerin dokanak sınırlarının belirginleştirilmesi, veriden istenmeyen etkilerin uzaklaştırılması, sığ veya derin etkilerin kuvvetlendirilmesi, farklı yönelimlerdeki etkilerin ortaya çıkartılması, verideki kaymaların ortadan kaldırılması gibi amaçlarla kullanılmaktadır (Byerly 1965, Fuller 1967, Spector 1968, Parsneau 1970, Ku vd. 1971, Bhattacharyya 1972, Clement 1973, Gunn 1975, Rimando 1987, Vaclac vd. 1992, Blakely 1996, Telford vd. 1996, Naidu ve Mathew 1998, Arısoy ve Dikmen 2011). Uzamsal ortam süzgeçleme, amaca göre M M (M tek sayı olmak üzere) boyutunda oluşturulan maske (çekirdek) ile verinin katlamalı çarpımı (evrişim, konvolüsyon) şeklinde gerçekleştirilir. Dalgasayısı ortamı süzgeçleme ise dalgasayısı ortamında veri ve geliştirilen süzgecin çarpılması ve sonucun uzamsal ortama tekrar dönüştürülmesi şeklinde yapılır. Potansiyel alan verilerin değerlendirilmesinde geleneksel olarak kullanılan süzgeçler: yapma gravite, kutba indirgeme, analitik uzanım, bölgesel-yerel ayrım, alçak, yüksek, band geçişli ve yönlü süzgeçlerdir. 5

14 Şekil 2.1 Histogram dengeleme ve Lambertian yansıtıcı yöntemleriyle manyetik alan görüntü haritalarının iyileştirilmesi a. Modelin plan görüntüsü, b. Modelin 3B perspektif görüntüsü, c. Kuramsal toplam manyetik alan görüntü haritası, d. Histogram dengelenmiş toplam manyetik alan görüntü haritası, e. Lambertian yansıtıcı kullanılarak oluşturulan kabartma haritası 6

15 Veri iyileştirme adımından sonra, belirtiye neden olan yeraltı yapıların yatay ve düşey doğrultulardaki geometrik ve fiziksel özellikleri belirlenmeye çalışılır. Bu işlem için türev tabanlı yöntemler veya ters çözüm yöntemleri kullanılmaktadır. Tez çalışmasına konu olan türev tabanlı sınır belirleme yöntemleri üçüncü bölümde ayrıntılı anlatılmıştır. 2.1 Yapma Gravite Dönüşümü Poisson (1986), manyetik ve gravite potansiyelleri arasındaki ilişkiyi tanımlamıştır ve bu ilişki Poisson ilişkisi olarak adlandırılır (Garland 1951). Poisson bağıntısına göre manyetik belirtiye neden olan yeraltı yapısının gravite belirtisi manyetik veriden elde edilebilir. Bu dönüşüm, yapma gravite dönüşümü olarak bilinir. Yapma gravite belirtileri, dalgasayısı ortamında kurulan bir alçak geçişli süzgeç ile verinin çarpımı sonucu elde edilir (Baranov 1957, Blakely 1996). Karmaşık manyetik belirtilerin sadeleştirilmesinde ve sınır analizi öncesinde sıklıkla başvurulan bir yöntemdir. Şekil 2.2 de kuramsal toplam manyetik alan verisinin yapma gravite dönüşümü sonucu gösterilmiştir. Şekil 2.2.a,b de sırasıyla temsili yeraltı modelin plan ve 3B perspektif görüntüleri verilmiştir. Şekil 2.2.c de modelden hesaplanan toplam manyetik alan görüntü haritası ve şekil 2.2.d de ise kuramsal verinin yapma gravite dönüşümü sonucu verilmiştir. Yer manyetik alanının eğim ve sapma açıları sırasıyla 55 o ve 4 o olarak seçilmiştir. Modelde verilen tüm prizmatik yapıların mıknatıslanma vektörlerinin eğim ve sapma açıları yer manyetik alanınkiyle aynıdır. 7

16 Şekil 2.2 Yapma gravite dönüşümünün manyetik model verisi üzerinde sınanması a. Modelin plan görüntüsü, b. Modelin 3B perspektif görüntüsü, c. Kuramsal toplam manyetik alan görüntü haritası, d. Yapma gravite görüntü haritası 2.2 Kutba İndirgeme Gravite belirtileri kendilerini oluşturan yapıların üzerinde yeralır ve şekilleri yine kendilerini oluşturan yapıların geometrisine bağlıdır. Aynı durum manyetik belirtiler için geçerli değildir. Bunun nedeni, manyetik belirtilerin yapı mıknatıslanması ve yer manyetik alanın yönüne bağlı olmasıdır. Bu nedenle, manyetik verilerin yorumu gravite verilerine göre daha zordur. Bu zorluğu ortadan kaldırabilmek amacıyla kutba indirgeme manyetik verilere uygulanan zorunlu bir süzgeç haline gelmiştir. Kutba indirgeme dalga sayısı ortamında tanımlanan bir operatördür (Blakely 1996). Kutba indirgeme uygulanmış manyetik veri, sanki kuzey manyetik kutupta ölçülmüş manyetik 8

17 veriye dönüşür ve sonuçta manyetik belirtiler yatay yönde kendilerine neden olan yeraltı yapılarının üzerine kayar. Şekil 2.3 de yapma gravite dönüşümü örneği için hesaplanan kuramsal manyetik verinin kutba indirgeme sonucu gösterilmiştir. Şekil 2.3 Kutba indirgeme yönteminin manyetik model verisi üzerinde sınanması a. Toplam manyetik alan görüntü haritası, b. Kutba indirgenmiş toplam manyetik alan görüntü haritası 2.3 Analitik Uzanım Yeryüzünden veya havadan ölçülen gravite ve manyetik verilerin, ölçü düzleminin altında veya üstünde bir başka düzlem üzerinde alacağı değerlerin hesaplanması işlemine analitik uzanım adı verilir. Ölçülen veri kümesinin analitik ifadesi bilinmediğinden analitik uzanım sayısal olarak hesaplanır. Analitik uzanım operatörleri dalga sayısı ortamında tanımlanan operatörlerdir (Blakely 1996). Analitik uzanım yöntemleri temelde potansiyel alan belirtilerini birbirinden ayırma amacıyla kullanılır. Analitik uzanım, aşağı ve yukarı analitik uzanım yöntemleri olmak üzere iki grupta incelenir. Aşağı analitik uzanım yüksek geçişli bir süzgeçtir ve yüzeye yakın veya yüksek genlikli fiziksel özellik gösteren yapılara ait etkilerin kuvvetlendirilmesinde kullanılır. Yukarı analitik uzanım ise alçak geçişli bir süzgeç karakteri sunar ve farklı derinlik düzlemlerinde derin yapıların etkilerinin incelenmesinde kullanılır. Şekil 2.4 de plan ve 3B perspektif görüntüsü verilen modelden hesaplanan toplam manyetik alan verisinin farklı düzlemler için aşağı ve yukarı analitik uzanım sonuçları gösterilmiştir. Model çalışmasında kullanılan prizmatik yapıların mıknatıslanma 9

18 şiddetleri 1 A/m ve yer manyetik alan ile mıknatıslanma yöneyinin eğim ve sapma açıları sırasıyla 90 o ve 0 o olarak seçilmiştir. Şekil 2.4 Aşağı ve yukarı uzanım süzgeçlerinin manyetik model verisi üzerinde sınanması a. Modelin plan görüntüsü, b. Modelin 3B perspektif görüntüsü, c. Farklı seviyeler için yukarı analitik uzanım sonuçları, d. Farklı seviyeler için aşağı analitik uzanım sonuçları 10

19 2.4 Bölgesel-Yerel Ayrım Arazi çalışmaları ile toplanan gravite ve manyetik veriler bölgesel (rejyonal) ve yerel (rezidüel) belirtilerin etkilerini içerir. Uygulamada, büyük dalga boylu belirtilere derin yapıların neden olduğu kabulü yapılır. Bölgesel ve yerel belirtiler sadece belirtilerin dalgaboylarını dikkate alarak sınıflandırılmaz. Diğer önemli bir ölçüt ise ölçü alanının büyüklüğüdür. Potansiyel alan belirtilerinde bölgesel-yerel ayrım günümüzde polinom yüzeyine yaklaştırma, dalga sayısı ortamı süzgeçler, birinci ve ikinci mertebeden türevler ve dalgacık dönüşümü yöntemleriyle yapılmaktadır (Li ve Oldenburg 1998, Xu vd. 2009). Şekil 2.5 de ikinci dereceden bir polinom yüzeyinin veriden uzaklaştırılmasıyla (modelde derin yapıyı temsil eden prizmatik yapının gravite belirtisi ikinci dereceden polinom yüzeyine benzer) bölgesel gravite verisinin elde edilmesi gösterilmiştir. Şekil 2.5.a,b de sırasıyla yeraltı modelinin plan ve 3B perspektif görüntüleri verilmiştir. Bölgesel etkiyi temsil eden yeraltı yapısı siyah renkle gösterilmiştir. Tüm yapıların yoğunlukları 0.2 g/cm 3 alınmıştır. Şekil 2.5.c de modelden hesaplanan kuramsal gravite görüntü haritası ve şekil 2.5.d de ise bölgesel etki uzaklaştırılmış gravite görüntü haritası verilmiştir. 11

20 Şekil 2.5 Gravite model verisinden ikinci dereceden bir polinom yüzeyinin çıkarılması ile bölgesel-yerel ayrım yapılması a. Modelin plan görüntüsü, b. Modelin 3B perspektif görüntüsü, c. Kuramsal gravite alanı görüntü haritası, d. Bölgesel etki uzaklaştırılmış gravite alan görüntü haritası 2.5 Geleneksel Dalga Sayısı Ortamı Süzgeçler Gravite ve manyetik verilerin değerlendirilmesinde alçak, yüksek ve band geçişli süzgeçlerin kullanımı artık geleneksel bir durum almıştır. Potansiyel alan verilerinin değerlendirilmesinde geçiş bölgesi ani değişimler göstermeyen (butterworth, gaussian süzgeçler gibi) dalga sayısı ortamı süzgeçler ideal süzgeçlere göre daha sık tercih edilmektedir. Şekil 2.6 da Nyquist dalga sayısı 0.5 rad/km, alçak ve yüksek kesme dalga sayıları 0.25 rad/km seçilen ideal dairesel simetrik, Gaussian ve Butterworth süzgeçlerinin genlik spektrumları sunulmuştur. Bu süzgeçler potansiyel alan verilerinde, 12

21 gürültü etkilerini azaltma, derin veya sığ yapıların etkisinin kuvvetlendirilmesi veya azaltılması amacıyla kullanılır. Şekil 2.6 Geleneksel dalga sayısı ortamı süzgeçlerin genlik spektrumlarına ait 3B perspektif görüntüler. Alçak ve yüksek geçişli durumda süzgeçlerin kesme dalga sayıları 0.25 rad/km olarak seçilmiştir a. İdeal alçak geçişli dairesel bakışımlı süzgeç, b. İdeal yüksek geçişli dairesel bakışımlı süzgeç, c. Alçak geçişli Gaussian süzgeç, d. Yüksek geçişli Gaussian süzgeç, e. Alçak geçişli Butterworth süzgeç, f. Yüksek geçişli Butterworth süzgeç 2.6 Yönlü Süzgeçler Potansiyel alan belirtilerine neden olan yeraltı yapıları her zaman coğrafik kuzey temel alındığı durumda kuzeye dik veya koşut bir biçimde konumlanmazlar. Coğrafik kuzeyle belirli bir açı yapan bu tür yeraltı yapılarının etkilerini kuvvetlendirmek veya azaltmak için yönlü süzgeçlerin kullanımı yaygındır (Cooper ve Cowan 2007). Yönlü süzgeçler 13

22 dalga sayısı ortamında tanımlanan alçak veya yüksek geçişli operatörler (yönlü kosinüs süzgeci, yönlü ideal süzgeçler) olabildiği gibi yatay türevlerin döndürme yöneyi ile çarpımı şeklinde de tanımlanır. Şekil 2.7 de plan ve 3B perspektif görüntüsü verilen modelden hesaplanan gravite verisinin 0 o den 360 o ye kadar 45 o lik azimut açısı artımıyla hesaplanmış yönlü yatay türevlerine ait görüntü haritaları verilmiştir. Modelde tüm yapıların yoğunlukları 0.1 g/cm 3 olarak seçilmiştir. Şekil 2.7 Yönlü yatay türev süzgecinin farklı azimut açıları için gravite model verisi üzerinde sınanması a. Modelin plan görüntüsü, b. Modelin 3B perspektif görüntüsü, c. Kuramsal gravite alanı görüntü haritası, d. 0 o, e. 45 o, f. 90 o, g. 135 o, h. 180 o, i. 225 o, j. 270 o, k. 315 o, l. 360 o için hesaplanan yönlü yatay türev görüntü haritaları 14

23 2.7 Potansiyel Alan Verilerinin Değerlendirilmesinde Kullanılan Bilgisayar Yazılımları Gerek ülkemizde gerekse yurtdışında gravite ve manyetik verilerin modellenmesi, süzgeçlenmesi ve görselleştirilmesi amacıyla ticari programların kullanımı yaygındır. Bu ticari yazılımlara örnek olarak; Geosoft firması tarafından geliştirilen Oasis Montaj ve eklentileri, Encom firması tarafından geliştirilen Profile Analyst, ModelVision ve Intrepid firmasının kendi ismini verdiği Intrepid yazılımları gösterilebilir. Bu bilgisayar yazılımlarının ücretleri oldukça yüksektir. Yeni algoritmaları içeren güncel sürümler için de üretici firmalar ek ücret istemektedir. Bununla birlikte yorumcu, ihtiyacı olan her yöntemi bu yazılımlar içinde her zaman bulamamakta ve ek paket programlara ihtiyaç duymaktadır. Ticari programların dışında gravite ve manyetik verilerin değerlendirilmesi için literatürde açık kaynak kodları verilen birçok çalışma bulunmaktadır (Gibert ve Galdeano 1985, Bezvoda vd. 1990, Cooper 1997, Durrheim ve Cooper 1998, Cooper ve Cowan 2004, Cooper 2005, Fedi vd. 2005, Cooper 2006, Cooper ve Cowan, 2006, Mendonça ve Meguid 2008). Bu yazılımların çoğu sadece tek bir problemin çözümü için geliştirilmiştir ve program çıktılarının görselleştirilmesi noktasında araştırmacılar diğer ticari programlara bağlı kalmaktadır. Bu tez çalışmasının önemli bir çıktısı; gravite ve manyetik verilerin modellenmesi, süzgeçlenmesi ve görselleştirilmesi için geliştirilmiş olan bilgisayar yazılımıdır. Bilgisayar yazılımı MATLAB programlama dili kullanılarak geliştirilmiş ve POTENSOFT (Potential Field Data Modeling, Filtering and Mapping Software) ismi verilmiştir (Arısoy ve Dikmen 2011). POTENSOFT yazılımı potansiyel alan verilerinin değerlendirilmesinde standart olarak kullanılan tüm uzamsal ve dalga sayısı ortamı süzgeçleri içermektedir. Bununla birlikte, programın en göze çarpan özelliği dalga sayısı ortamı süzgeçleme esnasında; hem uzamsal hem de dalga sayısı ortam için giriş, kurulan süzgeç ve çıkış görüntü haritalarının eş zamanlı gösterilmesidir. Diğer önemli bir özelliği ise veri görselleştirmede çok sayıda haritalama seçeneğinin bulunmasıdır. Gravite ve manyetik verilerin modellenmesi eklentisi için geliştirilen dinamik arayüz ile 15

24 kullanıcı istenilen modeli kolaylıkla oluşturabilmekte ve model yanıtını eş zamanlı olarak izleyebilmektedir. Modelleme eklentisinde düz çözüm fonksiyonu Mendonça ve Meguid (2008) tarafından verilen 3B prizmatik yapıların model tepki algoritması ile çalışmaktadır. Diğer yandan POTENSOFT veri gridleme ve grid dosyalarının yönetimi ile ilgili kullanıcılara geniş olanaklar sunmaktadır. Yazılımın diğer özelliklerine Arısoy ve Dikmen den (2011) bakılabilir. 16

25 3. POTANSİYEL ALAN VERİLERİNDE SINIR BELİRLEME Potansiyel alan yöntemlerinde belirtiye neden olan yeraltı yapılarının yatay sınırlarının belirlenmesi günümüzde çözülmeye çalışılan en önemli problemderden biridir. Bu problemin çözümü için verinin tamsayı mertebeli yatay (x ve y) ve düşey (z) türevlerinin (geleneksel türevler) hesaplanması ve görselleştirilmesi kullanışlı ve kabul görmüş bir yoldur. Potansiyel alan verilerinin merkezi farklar yaklaşımına göre birinci mertebeden x-yönlü ve y-yönlü türevleri (yatay türevler) sırasıyla (, ) P +, P, P x y x = x x y x x y 2 x (3.1) (, ) P, P, P x y y = xy+ y xy y 2 y (3.2) bağıntıları ile verilir (Cordell ve Grauch 1985). (3.1) ve (3.2) numaralı bağıntılarda P( x, y ) potansiyel alanı, x ve y ise sırasıyla x ve y yönündeki örnekleme aralıklarını gösterir. Birinci mertebeden yatay türevlerin dalgasayısı ortamı karşılıkları Fourier Dönüşümü nün türev özelliğinden yararlanarak izleyen bağıntılarla verilir: P F = ikxf ( P) (3.3) x P F = ik yf ( P) (3.4) y (3.3) ve (3.4) numaralı bağıntılarda k x ve k y sırasıyla x ve y yönündeki dalgasayılarını gösterir. Benzer biçimde ikinci mertebeden yatay türevlerin dalga sayısı ortamı ifadeleri için, 17

26 2 P 2 F k ( ) 2 = x F P (3.5) x 2 P 2 F k ( ) 2 = y F P (3.6) y yazılabilir. (3.3)-(3.6) bağıntılarında yer alan ik x, ik y ve 2 k x, 2 k y sırasıyla dalga sayısı ortamında, ölçülen veriyi x ve y ye bağlı birinci ve ikinci mertebe yatay türevlerine dönüştüren süzgeçler olarak tanımlanır. Şekil 3.1 de 2B durum için birinci ve ikinci mertebeden x-yönlü (2B durum için yatay türev x-yönlü olarak adlandırılır) yatay türev süzgecinin genlik ve faz spektrumları gösterilmiştir. Şekil 3.2 de ise 3B durum için birinci ve ikinci mertebeden x-yönlü ve y-yönlü yatay türev süzgeçlerinin genlik ve faz spektrumları gösterilmiştir. Şekil 3.1 2B durum için birinci ve ikinci mertebeden yatay türev süzgecinin dalga sayısı ortamı davranışları a. Normalleştirilmiş genlik spektrumları, b. Faz spektrumları 18

27 Şekil 3.2 3B durum için birinci ve ikinci mertebeden x-yönlü ve y-yönlü yatay türev süzgeçlerinin dalga sayısı ortamı davranışları a. x-yönlü yatay türev süzgeçlerinin normalleştirilmiş genlik spektrumları, b. x-yönlü yatay türev süzgeçlerinin faz spektrumları, c. y-yönlü yatay türev süzgeçlerinin normalleştirilmiş genlik spektrumları, d. y-yönlü yatay türev süzgeçlerinin faz spektrumları 1 birinci mertebeden yatay türevi, 2 ise ikinci mertebeden yatay türevi temsil etmektedir Birinci dereceden yatay türev işlemi ile genlikler dalga sayısı ile orantılı olarak artmakta ve giriş verisinin fazına π/2 değeri eklenmektedir. Sıfır dalga sayısında ise faz sıfırdır (Şekil 3.1-Şekil 3.2). Dolayısıyla, potansiyel alan verisinin birinci mertebeden yatay türevleri, veriyi uzamsal ortamda yer değiştirir ve en yüksek genlik değerlerini sıfırlara dönüştürür. Verinin sıfırları ise en küçük veya en büyük genlik değerlerine dönüşür. İkinci dereceden yatay türev işleminde ise genlikler dalga sayısının karesi ile orantılı artmakta ve giriş verisinin fazına π değeri eklenmektedir (Şekil 3.1-Şekil 3.2). Dolayısıyla, ikinci mertebeden yatay türev, giriş verisinin uzamsal ortamda yerini değiştirmez. Verinin en büyük genlik değerleri en küçük değerlere ve en küçük genlik değerleri de en büyük değerlere dönüşür. 19

28 Potansiyel alan verilerinin birinci mertebeden düşey türevi, z ölçü yüksekliği ve z>0 olmak üzere: (,, ) P,, P,, P x y z z = lim z 0 xyz xyz z z (3.7) olarak tanımlanır. Dalga sayısı ortamında birinci mertebe düşey türev işlemi P F F = lim z z 0 1 e = lim z 0 z = k F ( P) F ( ) ( P) k z z F P e ( P) k z (3.8) olarak verilir (Blakely 1996). Benzer biçimde ikinci mertebeden düşey türev işlemi dalga sayısı ortamında: 2 P 2 F k 2 = F ( P) (3.9) z şeklinde verilir. İkinci mertebeden düşey türevin uzamsal ortam hesabında çoğunlukla Laplace denkleminden faydalanılır: 2 2 P P + P 2 2 = x y (3.10) (3.5) ve (3.6) bağıntılarından faydalanarak (3.10) eşitliğiyle verilen Laplace denkleminin dalga sayısı ortamı ifadesi: 20

29 2 P 2 2 F k 2 = x F P + ky F P z = k 2 F ( ) ( ) ( P) (3.11) olarak verilir. Şekil 3.3 de birinci ve ikinci mertebeden düşey (z) türev süzgeçlerinin genlik ve faz spektrumları gösterilmiştir. Şekil 3.3 Birinci ve ikinci mertebeden düşey türev süzgeçlerinin dalga sayısı ortamı davranışları a. Normalleştirilmiş genlik spektrumları, b. Faz spektrumları Birinci ve ikinci mertebeden düşey türev işleminde, tüm dalga sayıları için faz sıfır değerini almaktadır (Şekil 3.3.b). Türev mertebesi arttıkça genlikler dalga sayısı ile hızlı bir biçimde artmaktadır. Bu durumda derin yapılara ait etkiler söndürülüp yüzeye yakın yapılara ait etkiler kuvvetlenmektedir. Birinci mertebe düşey türev süzgecinin önemli bir özelliği, sıfırlarının kaynak sınırları üzerinden geçmesidir. İkinci mertebe düşey 21

30 türev süzgecinin sıfırları hem yapı kenarlarının üzerinden hem de yapı kenarlarına yakın bölgelerden geçer (Şekil 3.4). Şekil 3.4 Birinci ve ikinci mertebeden düşey türevin sıfırlarını kullanarak yeraltı yapılarının sınırlarının belirlenmesi a. Modelin plan görüntüsü, b. Modelin 3B perspektif görüntüsü, c. Kuramsal toplam manyetik alan görüntü haritası, d. Verinin birinci mertebe düşey türevi sıfırlarının kontur haritası, e. Verinin ikinci mertebe düşey türevi sıfırlarının kontur haritası Potansiyel alan verilerinin yatay türevleri, yeraltı yapılarının x ve y yönlü sınırlarının bulunmasında, düşey türevleri ise her iki yönde kenarların belirlenmesinde kullanılır. 22

31 Uygulamada genellikle birinci mertebeden düşey türevlerin kullanımı tercih edilir. Gürültüsüz veya gürültü etkisi azaltılmış potansiyel alan verilerinin değerlendirilmesinde ikinci mertebe düşey türevlerin kullanımı da yaygındır. Daha yüksek mertebeden yatay ve düşey türevlerin kullanımı olası gürültü içeriğini kuvvetlendirmesinden ötürü tercih edilmez. Şekil 3.5 de bir önceki örnekte kullanılan modele ait manyetik model yanıtı üzerinde yatay ve düşey türev uygulama sonuçları gösterilmiştir. Türevlerin gürültüye karşı duyarlılıklarını sınamak amacıyla aynı model verisine model verisinin en yüksek genlik değerinin %10 u kadar (10dB) rastsal gürültü eklenerek elde edilen sonuçlar Şekil 3.5 de sol sütünda verilmiştir. Şekil 3.5 Birinci ve ikinci mertebeden yatay ve düşey türev süzgeçlerinin gürültü eklenmemiş ve gürültü eklenmiş manyetik model verisine uygulanması a. Gürültü eklenmemiş manyetik model verisi, a1. Birinci mertebeden x-yönlü yatay türev, a2. İkinci mertebeden x-yönlü yatay türev, a3. Birinci mertebeden y-yönlü yatay türev, a4. İkinci mertebeden y- yönlü yatay türev, a5. Birinci mertebeden düşey türev, a6. İkinci mertebeden düşey türev, b. Gürültü eklenmiş manyetik model verisi, b1. Birinci mertebeden x-yönlü yatay türev, b2. İkinci mertebeden x- yönlü yatay türev, b3. Birinci mertebeden y-yönlü yatay türev, b4. İkinci mertebeden y-yönlü yatay türev, b5. Birinci mertebeden düşey türev, b6. İkinci mertebeden düşey türev 23

32 Potansiyel alan kaynaklarının sınırlarının belirlenmesi amacıyla birçok sınır belirleme süzgeci önerilmiştir. Sınır belirleme süzgeçlerininin ilk nesili olan toplam yatay türev ve analitik sinyal süzgeçlerinin kullanımı artık standart bir durum almıştır. Toplam yatay türev (TYT) süzgeci Cordell ve Grauch (1985) tarafından izleyen bağıntı ile verilmiştir. TYT P P = + x y 2 2 (3.12) TYT çıkışının en yüksek genlik değerleri kaynak sınırları üzerinden geçmektedir. Analitik sinyal (AS) genliği 2B durum için Nabighian (1972) tarafından, AS 2 2 P P = + x z (3.13) bağıntısı ile ve 3B AS genliği ise Roest vd. (1992) tarafından izleyen bağıntı ile verilmiştir: AS T T T = + + x y z (3.14) AS süzgeci özellikle yakın yüzey arama amaçlı toplanan potansiyel alan verilerinde sıklıkla kullanılan bir süzgeçtir. AS genliği kaynak yapıların üzerinde çan şekilli belirtiler sunar. Önemli özelliklerinden birisi de manyetik verilerde 2B durum için mıknatıslanma yönüne bağımlı olmamasıdır, aynı durum 3B durumda geçerli değildir (Li, 2006). TYT ve AS süzgeçlerinin zayıf yönlerinden birisi verideki olası gürültü içeriğini kuvvetlendirmesidir. Şekil 3.6 da üç adet 2B prizma kullanılarak oluşturulan yer altı modeli, bu modelden hesaplanan toplam manyetik alan profil eğrileri, TYT ve AS sonuçları verilmiştir. Her iki yöntemin gürültüye duyarlılığını sınamak amacıyla Şekil 3.6 nın sol sütununda aynı model verisine verinin en yüksek genliğinin %2 si (7dB) kadar rastsal gürültü eklenmiş, TYT ve AS sonuçları verilmiştir. Modelde 24

33 kullanılan tüm yapıların mıknatıslanma şiddetleri 1A/m, mıknatıslanma yöneyinin eğim ve sapma açıları sırasıyla 90 o ve 0 o olarak seçilmiştir. Şekil 3.6 TYT ve AS süzgeçlerinin gürültü eklenmemiş ve gürültü eklenmiş 2B manyetik model verisine uygulanması a. 2B model, a1. Manyetik model verisi, a2. TYT, a3. AS, b. 2B model, b1. Gürültü eklenmiş manyetik model verisi, b2. TYT, b3. AS TYT ve AS sonuçları incelendiğinde, her iki süzgecin de en büyük genlik değerlerini yapı kenarları üzerinde verdiği görülmektedir. Derin yapılara ait belirtiler incelendiğinde ise TYT süzgeci AS süzgecine göre daha yüksek çözünürlük sunmuştur. Gürültülü durumda ise her iki süzgece ait sonuçlarda gürültü içeriği kuvvetlenmiştir. Analitik sinyal süzgecinin zayıf yönlerinden birisi de birbirine oldukça yakın yapılara ait kenarların belirlenmesinde belirgin bir sonuç üretememesidir (yanal ayrımlılık). Aynı durum TYT süzgeci için de geçerlidir. Bu problemin üstesinden gelebilmek için 25

34 Hsu vd. (1996) geliştirilmiş analitik sinyal (GAS) yöntemini önermiştir. n türev mertebesi ve tamsayı olmak üzere GAS izleyen bağıntı ile verilir: n n n P P P GAS = n + n + n x z y z z z (3.15) (3.15) bağıntısındaki türev mertebesi, n, ne kadar büyük seçilirse GAS genliği kaynak yapıların kenarları üzerinde o kadar darlaşırken verideki olası gürültü içeriği de kuvvetlenir. Bu nedenle, GAS süzgecinin kullanımında oldukça dikkatli olunmalıdır. Şekil 3.7 de plan ve 3B perspektif görüntüsü verilen modelden hesaplanan toplam manyetik alan verisinin AS ve GAS sonuçları gösterilmiştir. Modelde kullanılan temsili yeraltı yapılarının mıknatıslanma şiddeti 1 A/m ve yer manyetik alan ile mıknatıslanma yöneyinin eğim ve sapma açıları sırasıyla 90 o ve 0 o olarak seçilmiştir. Tüm yapıların tavan ve taban derinlikleri sırasıyla 1 ve 3 km dir. Yapıların yatay yöndeki konumları şekil 3.7.a dan takip edilebilir. AS genlikleri (Şekil 3.7.d), yapıların birbirlerine bakan kenarlarında üst üste binerek, bu kısımlarda yöntem belirgin bir sonuç üretememiştir. n=1 için hesaplanan GAS sonuçlarında (Şekil 3.7.e), belirtiler yapı kenarları üzerinde darlaşarak (AS genliklerine göre), yapıların birbirlerine yakın kenarlarında girişim olayı ortadan kalkmıştır. n=2 için hesaplanan GAS (Şekil 3.7.f) diğer sonuçlara göre daha başarılı sonuç üretmiştir. 26

35 Şekil 3.7 AS ve GAS süzgeçlerinin manyetik model verisi üzerinde sınanması a. Modelin plan görüntüsü, b. Modelin 3B perspektif görüntüsü, c. Kuramsal toplam manyetik alan görüntü haritası, d. AS görüntü haritası, e. n=1 için hesaplanan GAS görüntü haritası, f. n=2 için hesaplanan GAS görüntü haritası Literatürde TYT ve AS süzgeçlerinin en çok tartışılan zayıf yönü, derin veya düşük yoğunluk/mıknatıslanma sunan yeraltı yapılarına ait kenarlarda düşük genlik sunmaları ve böylece bu yapılara ait kenar etkilerini yeterince yansıtamamalarıdır. Bu durum şekil 3.6 dan da anlaşılmaktadır. Her iki yöntemin bu zayıf noktasından yola çıkan araştırmacılar son yıllarda dengelenmiş (normalize edilmiş) türev yöntemleri başlığı 27

36 altında süzgeçler geliştirmiştir. Bu kavram içerisinde ilk geliştirilen süzgeç eğim açısı (tilt angle) süzgecidir ve Miller ve Singh (1994) tarafından izleyen bağıntı ile verilmiştir: Tilt P z TYT 1 = tan (3.16) Eğim açısı, düşey türevin TYT e oranlanarak normalleştirilmiş şeklidir. Eğim açısı, hem yakın yüzey hem de derin kaynakların etkilerini aynı genlik seviyesinde veren bir süzgeçtir. Eğim açısının genliği yapı üzerindeyken pozitif, yapı kenarı üzerindeyken sıfır ve yapının dışında ise negatif değerler alır. Genlik değerleri π/2 ve π/2 arasında değişir ve bu sayede yorumlanması oldukça kolaydır. Eğim açısı temelde plan veya şekil belirleyici bir süzgeçtir. Bu sebepten dolayı, Verduzco vd. (2004) eğim açısının toplam yatay türevinin sınır belirlemede kullanılabilir bir yaklaşım olacağını göstermiştir. Eğim açısının toplam yatay türevi Tilt Tilt THDR = + x y 2 2 (3.17) bağıntısıyla verilir. Eğim açısının toplam yatay türevi, türev tabanlı bir süzgecin tekrar türevi alınarak hesaplandığından verideki olası gürültünün artmasına neden olur. Diğer bir zayıf yönü ise derin yapılara karşı etkili sonuç üretememesidir. Öte yandan en kullanışlı özelliği ise mıknatıslanma yönünden bağımsız olmasıdır. Bu nedenle, uygulamada sıklıkla başvurulan bir süzgeçtir. Dengelenmiş türevler kavramı altında geliştirilen diğer bir süzgeç ise teta açısı süzgecidir. Teta açısı Wijns vd. (2005) tarafından 28

37 TYT cosθ = AS (3.18) bağıntısıyla verilmiştir. Teta açısı, analitik sinyal genliği kullanılarak toplam yatay türevin normalleştirilmiş şeklidir. Teta açısı; 0 < θ < pi/2 arasında değişir. Bu nedenle, yorumlanması oldukça kolaydır. Yöntemin zayıf noktası ise derin yapıların etkilerini dağınık bir şekilde göstermedir. Diğer bir yaklaşım ise Cooper ve Cowan (2006) tarafından önerilen yatay eğim açısı süzgecidir ve izleyen bağıntı ile verilmektedir: TDX = TYT T z 1 tan. (3.19) TYT, AS, eğim açısı ve yatay eğim açısı süzgeçlerinin geometrik anlamları Şekil 3.8 de verilmiştir. Şekil 3.8 TYT, AS, eğim açısı ve yatay eğim açısı süzgeçlerinin geometrik anlamı 29

38 Yukarıda anlatılan dengelenmiş türev yöntemleri, başta anlatılan TYT ve AS süzgeçlerinin derin yapılara karşı çözümsüz kalması probleminin üstesinden gelmektedir. Kronolojik sıra takip edilirse dengelenmiş türev süzgeçleri bir önce önerilen süzgecin zayıf noktasından hareket ederek geliştirilmiştir. Literatürde kullanılan bir sınır belirleme süzgecinin iyileştirilmesi mantığında geliştirilen tek süzgeç dengelenmiş analitik sinyal (DAS) süzgecidir. DAS, AS genliğinin iyileştirilmesi amacıyla Cooper (2009) tarafından önerilmiş ve AS DAS = k+ H AS + H AS + AS ( x( )) ( y( )) (3.20) bağıntısı ile verilmiştir. (3.20) bağıntısında H x ve H y sırasıyla AS nin x ve y yönlerinde Hilbert Dönüşümleri ve k ise süzgeç çıkışının genliğini kontrol eden bir sabittir. Buraya kadar anlatılan sınır belirleme süzgeçlerinin bir manyetik model verisine uygulama sonuçları şekil 3.9 da gösterilmiştir. Modelde tüm prizmatik yapıların mıknatıslanma şiddeti 1 A/m ve yer manyetik alan ile mıknatıslanma yöneyinin eğim ve sapma açıları sırasıyla 90 o ve 0 o olarak seçilmiştir. Model verisine verinin en yüksek genlik değerinin %5 i (7dB) kadar rastsal gürültü eklenmiştir. Tüm yapıların derinlik yönünde kalınlıkları 4 km olarak sabit tutulmuş ve sol üstten sağ alta doğru üst yüzey derinlikleri sırasıyla 1, 5 ve 9 km olarak seçilmiştir. Modelden hesaplanan toplam manyetik alan görüntü haritasında (Şekil 3.9.c) modelde yeşil renk ile temsil edilen ve en derinde bulunan yapıya ait belirti genliği düşük seviye kaldığından gözle fark edilmesi zorlaşmıştır. TYT (Şekil 3.9.d) ve AS (Şekil 3.9.e) süzgeçleri ise modelde sol üstte bulunan yapının kenarlarını belirleyebilmiş, ortada bulunan yapıya ait sonuç genlikleri düşük seviyede kalmış ve sağ altta bulunan yapıya ait kenarları belirleyememiştir. Dengelenmiş türev yöntemlerinin hemem hemen hepsi tüm yapılara ait kenarları belirleyebilmiş ancak sinyal ile birlikte gürültü seviyesini de yükselttiklerinden AS ve TYT sonuçlarına göre gürültü seviyeleri oldukça yüksek hale gelmiştir. Dengelenmiş türev süzgeçlerinden eğim açısının toplam yatay türevi derin yapılar için başarılı sonuç üretememiştir (Şekil 3.9.h). 30

39 Şekil 3.9 Sınır belirleme süzgeçlerinin manyetik model verisi üzerinde sınanması ve birbirleriyle karşılaştırılması a. Modelin plan görüntüsü, b. Modelin 3B perspektif görüntüsü, c. Kuramsal toplam manyetik alan görüntü haritası, d. TYT görüntü haritası, e. AS görüntü haritası, f. DAS görüntü haritası, g. Eğim açısı görüntü haritası, h. Eğim açısının toplam yatay türevi görüntü haritası, i. Teta açısı görüntü haritası, j. Yatay eğim açısı görüntü haritası 31

40 4. KESİRLİ MERTEBEDEN TÜREV KAVRAMI Kesirli mertebeden türev, teoride çok eskiden beri bilinmesine karşın fizik, kimya ve mühendislik gibi bilimlerdeki uygulamalarıyla son yıllarda sıklıkla karşımıza çıkmaktadır. Kesirli mertebeden türev kavramı uygulamalı matematiğin önemli bir dalını oluşturur. Kesirli matematiğin ve bu bağlamda kesirli mertebeden türev kavramının ortaya çıkmasının en önemli nedenlerinden birisi, doğada meydana gelen birçok olayın tam sayılarla ifade edilememesidir. Kesirli mertebeden türev ve integral kavramları, tamsayı mertebeli türev ve n-katlı integralleri kesirli mertebeye genelleştiren kavramlardır (Oldham ve Spainer 1974, Podlubny 1999). Kesirli analizin klasik analizden en önemli farkı, klasik analizde olduğu gibi tek bir türev tanımının olmayışıdır. Başlıca kesirli türev tanımları; Grünwald-Letnikov (GL), Riemann-Liouville (RL) ve Caputo kesirli mertebe türevleridir (Oldham ve Spainer 1974, Podlubny 1999, Bayın 2004, Das 2011). GL tanımı nümerik hesaplamalar için, RL tanımı hem nümerik hem de analitik hesaplamalar için, Caputo kesirli türev tanımı da analitik hesaplamalar için daha uygundur. Genel olarak, GL ve RL kesirli türev tanımı matematik ve mühendislik bilimlerinde, Caputo kesirsel türev tanımı ise fizikte kullanılmaktadır. Bunlara ek olarak, Cauchy integral formülü ve integral dönüşüm yöntemleri yardımıyla türetilen ve sadece bazı özel fonksiyonlar için geçerli olan kesirli integral ve türev tanımları da mevcuttur. Liouville (1832), Riemann (1853), Krug (1890), Weyl (1917), Civin (1941) ve Erdélyi (1964) değişik tipteki fonksiyonların kesirli mertebe türevlerini veren tanımları geliştirmiştir (Oldham ve Spanier 1974). Kesirsel türev ve integrallerin özel tanımları hakkında ayrıntılı bilgi Oldham ve Spanier de (1974) bulunabilir. Kesirli mertebeden türev kavramı, çeşitli madde ve işlemlerin kalıtsal özelliklerinin tanımlanmasında kullanılabilecek iyi bir araçtır. Bu durum, tamsayı mertebeli türevlerle karşılaştırıldığı zaman, kesirli türevler için önemli bir üstünlüktür. Kesirli türevlerin bu üstünlüğü nesnelerin mekanik ve elektriksel özelliklerinin matematiksel 32