SAYISAL İŞARET İŞLEME LABORATUARI LAB 5: SONSUZ DÜRTÜ YANITLI (IIR) FİLTRELER

Transkript

1 SAYISAL İŞARET İŞLEME LABORATUARI LAB 5: SONSUZ DÜRTÜ YANITLI (IIR) FİLTRELER Bu bölümde aşağıdaki başlıklar ele alınacaktır. Sonsuz dürtü yanıtlı filtre yapıları: Direkt Şekil-1, Direkt Şekil-II, Kaskad ve Parelel. Filtre tasarımı için çift doğrusal dönüşüm. Fark eşitlikleri kullanarak sinüzoidal dalga şekli üretimi. Filtre tasarımı ve faydalı paketler. TMS320C6X and C kodları kullanarak oluşturulan programlama örnekleri. Bölüm 4 de tartışılan FIR filtrelerin analog karşılıkları yoktur. Bu kısımda tartışacağımız IIR filtreler analog filtreler ile de gerçekleştirilebilirler. Tasarım, çift doğrusal dönüşüm tekniği (BLT) kullanarak analog filtreyi sayısal eşdeğerine dönüştürerek gerçekleştirilir. BLT yöntemi aslında, analog bir filtrenin s-domenindeki transfer fonksiyonunu z-domeninde ayrık-zaman eşdeğer transfer fonksiyonuna dönüştüren bir tekniktir. 5.1.Giriş şeklinde verilen bir giriş-çıkış eşitliğini ele alalım. Bu eşitlik, eşitliği ile eşdeğerdir. Bu yinelemeli eşitlik IIR bir filtreyi ifade etmektedir. Çıkış, giriş kadar çıkışın önceki değerlerine (geri besleme ile) de bağlıdır. Eşitlik (5.2) den görüldüğü gibi, n anındaki çıkış y(n), sadece girişin o andaki değeri x(n) ve geçmiş değerleri x(n-1),,x(n-m) e değil çıkışın önceki değerleri y(n-1),,y(n-n) e de bağlıdır. Tüm başlangıç koşulları sıfır kabul edilirse Eşitlik (5.2) nin z-dönüşümü ile verilir. N=M kabul edilirse, transfer fonksiyonu H(z), şeklinde elde edilir. Burada N(z) ve D(z) sırasıyla pay ve payda polinomlarını göstermektedir. transfer fonksiyonunu z n ile çarpıp bölersek, Bu transfer fonksiyonunun N adet kutbu ve N adet sıfırı vardır. Eşitlik (5.5) deki tüm a katsayıları sıfır olursa transfer fonksiyonu N kutbu z-düzleminde orijinde olan FIR bir filtrenin transfer fonksiyonuna indirgenir ve her zaman kararlıdır. IIR bir filtrenin kararlı olabilmesi için her bir kutbunun genliği 1 den küçük olmalıdır. Yani,

2 1. ise, olur ve sistem karalıdır. 2. ise olur ve sistem karasızdır. 3. ise sistem kısmen karalıdır ve osilasyon yapar. Ayrıca, birim dairedeki katlı kutuplar da sistemin karasız olmasına neden olur. Tüm a katsayılarının sıfır olmasının sistemin yinelemesiz ve karalı bir FIR filtreye dönüşmesine neden olduğu unutulmamalıdır IIR Filtre Yapıları IIR bir filtreyi göstermek için kullanılan farklı yapılar vardır. Bu yapılar aşağıda tartışılmıştır Direkt Şekil-I Yapısı Şekil 5.1 de gösterilen direkt şekil-i yapısı ile Eşitlik (5.2) ile verilen filtre gerçekleştirilebilir. N. dereceden bir filtre için bu yapıda, ile gösterilen 2N adet gecikme elemanı vardır. Örneğin, ikinci dereceden bir filtre için dört gecikme elemanı kullanılır Direkt Şekil-II Yapısı Şekil (5.2) de verilen direkt şekil-ii yapısı en yaygın olarak kullanılan yapılardan biridir. Direkt şekil-i e göre yarı yarıya daha az gecikme elemanı gerektirir. Örneğin, ikinci derecen bir filtre iki adet gecikme elemanı gerektirir. Şekil 5.2 de verilen blok diyagramdan, olduğu görülmektedir. Eşitlik (5. 6) ve (5.7) nin z-dönüşümü alınarak elde edilir. O halde, olacaktır. Transfer fonksiyonu, Görüldüğü gibi, Eşitlik (5.11) Eşitlik (5.4) ün aynısıdır. Direkt şekil-ii yapı, fark eşitlikleri olan Eşitlik (5.6) ve (5.7), Eşitlik (5.2) de yerine konularak ifade edilebilir.

3 Şekil 5.1. Direkt Şekil-I IIR Filtre Yapısı. Şekil 5.2. Direkt Şekil-II IIR Filtre Yapısı. (5.6) ve (5.7) eşitlikleri IIR bir filtreyi programlamak için kullanılır. Başlangıç olarak, w(n-1), w(n-2), sıfıra eşitlenir. n anında yeni bir x(n) örneği elde edilir ve (5.6) eşitliği w(n) e göre çözülür. Daha sonra, Eşitlik (5.7) kullanılarak y(n) hesaplanır Direkt Şekil-II Evrik Yapı Şekil 5.3 de gösterilen direkt şekil-ii evrik yapı, direkt şekil-ii nin düzenlenmiş bir versiyonudur ve aynı sayıda gecikme elemanı gerektirir. Blok diyagramdan, filtre çıkışı aşağıdaki şekilde hesaplanabilir

4 Şekil 5.3. Direkt Şekil-II Evrik IIR Filtre Yapısı. Daha sonra, gecikme hattında bulunanlar eşitlikleri ile güncellenirler ve elde edilene kadar bu şekilde devam edilir. w 0 (n-1) i bulmak için Eşitlik (5.13) kullanılırsa, Benzer şekilde, w 1 (n-2) yi bulmak için Eşitlik (5.14) kullanılırsa Eşitlik (5.15) e kullanılana kadar bu yöntemi devam ettirerek, Eşitlik (5.12) nin Eşitlik (5.2) ye eşdeğer olduğu gösterilebilir. O halde, Şekil (5.3) deki blok diyagram da Şekil 5.1 ve Şekil 5.2 dekine eşdeğerdir. Evrikleştirilmiş yapı ilk olarak sıfırları sonra kutupları gerçekleştirir oysa direkt şekil-ii yapısı ilk olarak kutupları gerçekleştirir Kaskad Yapı Eşitlik (5.5) ile verilen transfer fonksiyonu birinci ve ikinci dereceden transfer fonksiyonları cinsinden aşağıdaki şekilde yazılabilir

5 Şekil 5.4. Kaskad IIR Filtre Yapısı. Şekil 5.5. Kaskad bağlı direkt şekil-ii iki parçadan oluşmuş dördüncü dereceden IIR bir filtre. Kaskad (ya da seri) yapı Şekil 5.4 de gösterilmiştir. Sistemin tamamının transfer fonksiyonu kaskad transfer fonksiyonları ile gösterilebilir. Her bir parça için, direkt şekil-ii yapısı veya evriği kullanılabilir. Şekil 5.5 de dördüncü dereceden IIR bir filtre kaskad bağlı direkt şekil-ii ile gerçekleştirilmiş ikinci dereceden iki filtre olarak gösterilmektedir. Transfer fonksiyonu H(z), kaskad bağlı ikinci dereceden transfer fonksiyonları cinsinden yazılabilir. Eşitlik (5.17) deki C sabiti katsayıların içerisine dahil edilmiştir ve farklı her bir parça i ile gösterilmiştir. Örneğin dördüncü dereceden bir transfer fonksiyonu için N=4 dür ve Eşitlik (5.8) şeklinde yeniden düzenlenebilir. Bu eşitlik Şekil (5.5) ile de doğrulanmıştır. Matematiksel açıdan pay ve payda katsayılarının doğru sıralanması çıkışı etkilemez. Ancak, pratik açıdan her bir parçanın doğru sırada olması kuantalama gürültüsünü azaltır. Birinci parçanın çıkışının ikinci parçanın girişi olduğuna dikkat ediniz. Bu kısımda verilecek bir programlama örneği IIR bir filtrenin ikinci dereceden direkt şekil-ii yapısı kullanılarak seri şekilde nasıl gerçekleştirildiğini göstermektedir Paralel Şekil Yapı Eşitlik (5.5) de verilen transfer fonksiyonu kısmi kesirlerine ayırma (PFE) yöntemi kullanılarak

6 Şekil 5.6. Paralel şekil IIR filtre yapısı. şeklinde gösterilebilir. Paralel yapı Şekil 5.6 da gösterilmiştir. Transfer fonksiyonlarından her biri birinci ya da ikinci dereceden fonksiyonlar olabilir. Paralel şekil etkin bir şekilde ikinci dereceden direkt şekil-ii yapıları ile gösterilebilir. H(z) aşağıdaki şeklide ifade edilebilir Örneğin, dördüncü dereceden bir transfer fonksiyonu için Eşitlik (5.21) deki H(z) şeklinde yeniden düzenlenebilir. Dördüncü dereceden bu paralel yapı Şekil 5.7 de gösterildiği gibi ikinci dereceden iki direkt şekil-ii parça ile gösterilebilir. Şekilden, y(n) çıkışı her bir parçanın çıkışına bağlı olarak ifade edilebilir IIR filtrenin katsayılarına ilişkin kuantalama hatası, filtrenin kutuplarının ve sıfırlarının karmaşık düzlemdeki yerinin kayma miktarına bağlıdır. Yani belirli bir kutbun karmaşık düzlemdeki yerinin değişmesi diğer kutupların tümünün konumuna bağlıdır. Kutuplar arasındaki bu bağımlılığı en küçük yapmak için, N. dereceden IIR bir filtre ikinci dereceden filtrelerin seri bağlanması ile gerçekleştirilir Çift Doğrusal Dönüşüm (BLT) BLT analog bir filtreyi sayısal bir filtreye dönüştürmek için kullanılan en yaygın tekniktir. Bu dönüşüm

7 Şekil 5.7. Paralel bağlı ikinci dereceden iki direkt şekil-ii parçadan oluşan dördüncü dereceden IIR filtre. eşitliğini kullanarak analog s-düzleminden z-düzlemine bire bir geçiş sağlar. T saniyedeki örnekleme sayısı olmak üzere, K sabiti genellikle 2/T olarak seçilir. Sonraki kısımlarda K nın diğer değerleri de verilecektir. Bu dönüşüm sayesinde i) s-düzleminin sol tarafı z-düzleminde birim dairenin içine ii) iii) s-düzleminin sağ tarafı z-düzleminde birim dairenin dışına s-düzleminde sanal jw ekseni z-düzleminde birim dairenin üzerine haritalanır. w ve (5.24), A w D sırasıyla analog ve sayısal frekansları göstersin. s=jw A ve z= olan-k üzereeşitlik olacaktır. Karmaşık üstel fonksiyonlar cinsinden sinüs ve kosinüs için Euler bağlantılarını kullanarak Eşitlik (5.25) deki w A elde edilir. Bu eşitlik analog frekansla sayısal frekans arasındaki ilişkiyi verir. Bu ilişki pozitif w A değerleri için Şekil 5.8 de çizilmiştir.

8 Şekil 5.8. Analog ve sayısal frekanslar arasındaki ilişki BLT Tasarım Yöntemi H(s) transfer fonksiyonuna sahip analog bir filtreyi H(z) transfer fonksiyonlu sayısal bir filtreye BLT yöntemi ile dönüştürmek şu şekilde ifade edilebilir: H(s) analog filtre tasarımından iyi bilinen filtrelerden birinin (Butterworth, Chebyshev, Bessel vb.) transfer fonksiyonu olarak seçilebilir. Genellikle K sabiti 2/T seçilir. Ancak olarak da seçilebilir. Burada w A = w = w dir. c D