Üçüncü bölümde klasik ve kuantum bilgisayarlar hesaplanabilirlik kavramı ve karmaşıklık sınıfları bakımından karşılaştırılacaklardır.

Transkript

1 1 1 GİRİŞ Teknoloji günümüzde, tarihte hiç görülmemiş bir ivmeyle gelişmektedir. Bu gelişimin doğrudan etkisinin görüldüğü alanların başında da bilgisayar bilimleri gelmektedir. Gerek yazılım gerekse donanım olarak her gün yeni teknolojilerin ortaya çıktığı bu dönemde, giderek bilimsel çevrelerin dikkatini çeken teknolojik yeniliklerden biri kuantum bilgisayarlardır. Kuantum bilgisayarlar, kuantum fiziğinin prensiplerine göre tasarlanmışlardır. Kuantum fizik kuramı, klasik fizikten pek çok yönden farklıdır. İnsanlar makro dünyayı gözlemleyebildikleri ve bu görünebilir dünyada temelde klasik fizik kuralları geçerli olduğu için, kuantum kuramı bilim çevrelerinde çok hararetli tartışmalar neticesinde kabul görerek bugünkü haline gelebilmiştir. Klasik bilgisayarlar gün geçtikçe gerek hız, gerek kapasite olarak güçlenmektedirler li yıllarda ileri sürülen Moore kanununa göre, bilgisayar çipinin bellek kapasitesi her 18 ayda bir iki katına çıkmaktadır. Doğal olarak bu büyüme sürecinin de bir sınırı vardır yılı civarında bilgisayar içinde kuantum etkileri görülmeye başlanacaktır (Williams and Clearwater, 1998). Bu da klasik fizik kullanarak tasarlanan klasik bilgisayarın sınırlarının sonuna ulaşması anlamına gelmektedir. Kuantum bilgisayarı, temelde kübit adı verilen yapılardan oluşur. Bunlar klasik bilgisayardaki bitlerin kuantum eşdeğerleri olarak düşünülebilirler. Bir kübit fiziksel olarak atom-altı bir parçacıktır. Kübitler bir araya getirilerek kuantum yazmaçları oluşturulur.

2 2 Kuantum bilgisayarlar, gerektirdikleri fiziksel şartların sağlanmasının çok zor olması nedeniyle akademik çevrelerce uzun bir süre ciddiye alınmamıştır. Bunun temel nedeni, kübitleri bir arada tutmanın oldukça zor olması ve bu işlemi gerçekleştirmek için çok ciddi bir yatırım gerekmesidir. Kübitler, en ufak bir ısı ya da enerji değişiminde bozulurlar. Bu yüzden kuantum bilgisayarında yapılan işlemler (ya da uygulanan fonksiyonlar) birimcil ve tersinir olmak zorundadır. Yani ilk bakışta kuantum bilgisayarında yapılabilecek işlemlerin sınırlı olduğu akla gelmektedir. Fakat tersinir fonksiyon kullanarak, tersinir olmayan fonksiyonların da gerçekleştirilebileceği gösterilmiştir. Dolayısıyla klasik bilgisayarda gerçekleştirilebilen her işlem kuantum bilgisayarında da gerçekleştirilebilir demektir. 1.1 Tarihçe Hesaplama ile kuantum mekaniği arasında bir ilişki olabileceğini ilk olarak 1980 yılında Paul Benioff öne sürmüştür de Richard Feynman, kuantum mekaniğinin klasik bilgisayarlarla etkin bir şekilde simüle edilemeyeceğini göstermiştir. Böylece kuantum fiziği ilkeleriyle çalışan bir bilgisayarın klasik bilgisayardan daha etkin hesaplama yapıp yapamayacağı sorusu akla gelmiştir yılında David Deutsch, ilk evrensel kuantum Turing makinesini ve kuantum paralelliği kavramını ortaya atmıştır. Ayrıca kuantum bilgisayarında klasik bilgisayara göre daha hızlı çözülebilen ilk problemi bulmuştur. Bu alandaki diğer algoritmalar 1992 de D. Deutsch - R. Jozsa ve A. Berthiaume - G. Brassard, 1993 te Bernstein - Vazirani ve 1994 te Simon tarafından geliştirilmiştir. Tüm bu gelişmelere karşın kuantum bilgi-işlem, 1994 yılına kadar çok ilgi çeken bir alan olamamıştır. Fakat o yıl Peter Shor un bulduğu bir

3 3 sayıyı asal çarpanlarına ayırma algoritması, akademik çevrelerin dikkatlerini bir anda kuantum bilgisayarına yoğunlaştırmalarına neden olmuştur. Çünkü bu algoritma, kuantum bilgisayarında klasik bilgisayara göre üstel bir hızlanma ile çözülebilmektedir. Günümüzün en sağlam veri şifreleme algoritmalarının başında gelen RSA algoritması, asal çarpanlarına ayırma probleminin büyük sayılar için (örneğin 512-bit, 1024-bit uzunlukta) bilgisayarda etkin bir şekilde çözülememesi prensibine dayanmaktadır. Dolayısıyla varolan en güvenilir şifreleme algoritmasının kuantum bilgisayarı vasıtasıyla etkisiz hale gelme olasılığı, bilim çevrelerinde ciddi bir heyecan yaratmış ve kuantum bilgisayarı alanında yeni bir çığır açmıştır yılında Grover, bu alandaki ikinci önemli algoritmayı geliştirmiştir. Bu algoritma, sıralanmamış bir veritabanındaki belirli bir elemanı aramaktadır. Bu işlem kuantum bilgisayarında yapıldığında, klasik bilgisayara göre kuadratik ( N ) bir hızlanma söz konusudur. Maalesef günümüzde, kuantum bilgi-işlem alanında geliştirilen ve klasik bilgisayara göre daha hızlı olan algoritma sayısı umulandan daha azdır. Bunun temel sebebi, ileride incelenecek olan ölçüm işleminin, kuantum paralelliğini bozmasıdır. Kuantum bilgisayarında klasik bilgisayara göre etkin olarak çözülebilecek problemlerin bulunması hala bu alandaki en önemli araştırma konularındandır. Bu tez çalışmasında ilk olarak, ikinci bölümde kuantum fiziği hakkında bilgi verilecektir. Anlaşılması oldukça zor olan ve son derece teorik bir temele dayanan bu kuramın yalnızca kuantum bilgisayarı uygulamasına yönelik kısmı, olabildiğince basit bir şekilde aktarılmaya çalışılacaktır.

4 4 Üçüncü bölümde klasik ve kuantum bilgisayarlar hesaplanabilirlik kavramı ve karmaşıklık sınıfları bakımından karşılaştırılacaklardır. Dördüncü bölümde, kuantum bilgisayarı ile ilgili matematiksel notasyon verilecek, kuantum devre modeli ve kuantum ağları açıklanacaktır. Beşinci bölümde, kuantum bilgi-işlem alanındaki üç önemli uygulama incelenecektir. Bunlar sırasıyla kuantum ışınlama, kuantum yoğun kodlama ve kuantum şifrelemedir. Altıncı bölümde, kuantum bilgi-işlem alanında bugüne kadar geliştirilen dört önemli algoritma incelenecektir. Bunlar sırasıyla Deutsch algoritması, Shor un asal çarpanlarına ayırma algoritması, Shor un ayrık logaritma hesaplama algoritması ve Grover ın veritabanı arama algoritmasıdır. Bu tezde temelde asal çarpanlarına ayırma algoritması incelendiğinden ve bilgisayar ortamında simüle edildiğinden, Shor un asal çarpanlarına ayırma algoritması olabildiğince ayrıntılı bir şekilde analiz edilecektir. Yedinci bölümde, bu tez çalışmasında temel amaç olan Shor un asal çarpanlarına ayırma algoritmasının klasik bilgisayarda simülasyonu hakkında genel bilgi verilecek ve simülasyondan elde edilen istatistiksel bilgiler ve sonuçlar irdelenecektir.

5 5 2 KUANTUM FİZİĞİ Kuantum bilgisayarını klasik bilgisayardan ayıran temel özellik, kuantum fiziğinin kurallarını kullanmasıdır. Atom-üstü dünyada genelde klasik fizik kuralları geçerli olduğundan, kuantum fiziği insanlara oldukça anlaşılmaz ve hatta mantıksız gelir. Bu dalın gelişme aşamasında Einstein ın da içinde bulunduğu pek çok fizikçi, kurama şiddetle karşı çıkmışlar ve devamlı birtakım kusurlar aramışlardır. Kuantum fiziğinin laboratuar ortamında test edilmesi ve doğrulanması, teknolojinin de gelişimine paralel olarak ancak 20. yüzyılın ikinci yarısının ortalarında gerçekleşebilmiştir. Klasik fizikle kuantum fiziğinin sınırları henüz kesin çizgilerle ayırt edilememektedir. Kabaca, klasik fizik makro (gözle görülebilen) dünyada geçerliyken kuantum fiziği mikro (gözle görülemeyen parçacık dünyası) dünyada etkilidir denebilir. Kuantum kuramı, en genel yapısıyla yalnız atom ve yakın atomüstü sistemler için değil, atom-altı ve çekirdek-altı sistemler için de geçerli temel kuramdır. Öyle ki atom çekirdeklerinin tüm davranışları buna uymakta, kimi çekirdeklerin belli kuantal özelliklerinin bulunması, elementler zincirinin, yıldızların ve güneş enerjisinin bunlara bağlı olarak oluşumu hep kuantum kuramıyla ve şaşırtıcı ölçüde bir tutarlılıkla anlaşılabilmektedir (Akyüz, 2000). Kuantum fiziği, anlaşılması oldukça zor ve çok geniş bir dal olduğundan, bu kısımda sadece kuantum bilgisayarında da kullanılacak temel özellikler verilecektir. Bunlar belirsizlik ilkesi, üst üste gelme ve ölçüm işlemi ile EPR deneyidir.

6 6 2.1 Heisenberg in Belirsizlik İlkesi Kuantum fiziğinin tarihsel gelişimi içinde en çok tartışılan unsurlardan biri belirsizlik ilkesidir. Bu ilkeye göre, fiziksel sistemlerin davranışlarını betimleyen bazı özel değişken çiftlerine ait elemanlardan birisinin kesinlikle bilinmesi durumunda diğerinin değeri tam olarak belirlenemez. Bu iki özellikteki belirsizliklerin çarpımı en az Planck sabiti (h: 6,626*10-34 J s) kadardır. Örneğin, bir parçacığın konumuyla momentumu (cismin kütlesiyle hızının çarpımı) aynı anda tam olarak ölçülemez (Gasiorowicz, 1974). Konumu belli bir anda kesin olarak bilinen bir parçacığın momentumu sonsuz belirsizliktedir ve bu nedenle parçacık kısa sürede o noktadan ayrılarak uzaya dağılır. Benzer şekilde momentumu kesin olarak hesaplanan bir parçacığın konumu sonsuz belirsizliktedir. Yani böyle bir parçacık uzayın her köşesinde bulunabilir. Bu yüzden doğada rastlanan parçacıkların bulunduğu kuantum durumlarında, parçacıkların hem konum hem de momentumları bir parça belirsiz olmak zorundadır. Belirsizlik ilkesi gereğince, kuantum bilgisayarında ölçüm işlemi öncesinde olası sonuç değerlerinden hangisinin ölçüleceği kesin olarak bilinemez. Yani ölçüm sonucu rastlantısaldır. Bu durum klasik fizikteki belirlenimciliğe aykırı olduğundan pek çok bilim adamının tepkisini çekmiş, hatta Einstein a Tanrı zar atmaz dedirtmiştir. 2.2 Üst Üste Gelme Prensibi ve Ölçüm İşlemi Kuantum kuramının üst üste gelme prensibine göre herhangi bir fiziksel sistem olası durumlardan sadece birinde değil, birçoğunda birden aynı anda bulunabilir. Örneğin, hidrojen atomu çevresinde dolaşan bir elektron aynı anda her yerde bulunur. Bu elektronun nerede olduğu tespit edilmek istendiğinde, elektronun bulunabileceği yerlerden biri rasgele

7 7 seçilir. Aynı zamanda uygulanan ölçme işlemi, elektronun içinde bulunduğu durumu da bozar. Elektron bundan böyle ölçülen yeni konuma yerleşmiştir. Tekrar ölçüm yapıldığında elektron %100 olasılıkla aynı yerde bulunur. Bu olaya çökme denir (Turgut, 2000). Kısaca özetlemek gerekirse, ölçüm işlemi tersinir olmayan bir işlemdir. Yani ölçüm bir kez yapıldıktan sonra artık geriye dönüş söz konusu olamaz. Bu yüzden kuantum bilgisayarındaki algoritmalarda ölçüm, genellikle en son işlem olarak gerçekleştirilir. 2.3 EPR Deneyi Einstein, Podolsky ve Rosen tarafından tasarlanan bu deneyde, birbiriyle etkileşen iki parçacığın hareketlerinin, aralarındaki uzaklık ne olursa olsun, birbirine bağımlı olduğu öne sürülmektedir. Parçacıklardan biri üzerinde yapılan bir gözlem, ikinci parçacığın durumu hakkında gözlemciye bilgi verir. Bu özellikte olan parçacıklar dolanık çift olarak adlandırılırlar. EPR kuramı, kuantum fiziği tarihinde en çetin tartışmaların yaşandığı alanlardan biridir. Çünkü dolanık iki parçacıktan biri ölçüldüğünde, diğer parçacığın değeri de bilinmektedir. İki parçacık arasındaki mesafenin büyüklüğü önemli değildir. Yani aralarında birkaç ışık yılı uzaklık olabilir. Bu durum Einstein ın, hiçbir nesnenin ışık hızından daha hızlı hareket edemeyeceğine ilişkin ünlü görelilik kuramına aykırıdır. EPR deneyi, anlaşılması daha kolay olduğu için elektronların dönüş biçimleriyle (spin) açıklanır. Elektron dönüşlerinin ölçümleri sonucunda, dönüşün kuantumlaştığı ve sadece iki değer alabildiği bilinmektedir. Bir eksen doğrultusunda dönüş ölçüldüğünde, sonuç ya o eksen yönünde

8 8 (yukarı doğru) ya da tam ters yönde (aşağı doğru) bulunur. Kuantum kuramına göre bir elektron, sadece yukarı yönde ya da sadece aşağı yönde dönmez. Bu iki dönüş biçiminin üst üste geldiği durumlarda da bulunabilir. Ölçüm sonucunda ise dönüş yönü uygun olasılıklara bağlı olarak aşağı ya da yukarı olarak bulunur. İki elektronun dönüş biçimlerinin dolanık olduğu bir sistem ele alınsın (örneğin, Helyum atomu). Bu sistemde iki durum söz konusudur: ya ilk elektron yukarı ikinci elektron aşağı doğru döner, ya da tam tersine ilk elektron aşağı ikinci elektron da yukarı doğru döner. Yani bu iki durumun gerçekleşme olasılıkları birbirine eşit ve %50 dir. Ölçüm işleminden önce bu elektronların dönüş yönleri hakkında daha fazla bilgi edinilemez. Bu iki elektrondan biri a noktasında, diğeri de b noktasında bulunsun. a ve b birbirinden olabildiğince uzak olsun. Elektronların dolanıklığı aralarındaki mesafeye bağlı olmadığından, sistem bundan etkilenmeyecektir. Elektronların dönüş yönleri oklarla gösterilsin. a ve b noktalarında ölçüm yapılmak istenirse, elektronların dönüş yönü %50 olasılıkla yukarı ya da aşağı doğru bulunur. Ölçüm sonucu, ölçümün yapıldığı anda belirlenir. İlk ölçüm a noktasında yapılsın ve elektronun yönü aşağı doğru bulunsun. Bundan sonra b noktasındaki diğer elektron ölçüldüğünde, %100 olasılıkla dönüş yönünün yukarı doğru olduğu bulunacaktır. a noktasındaki ölçüm, b noktasındaki deney sonuçlarını etkilemiştir.

9 9 EPR çifti : + a : ya da b : ya da Ölçüm a noktasında ölçüm yapılırsa ya da Şekil 2.1: EPR deneyi. Sonuçta iki parçacık arasında sonsuz hızla bir tür iletişim yapılmaktadır. Bu olaya kuantum telepatisi denir. İlk anda bu olayın sonsuz hızda haberleşmeyi olanaklı kıldığı düşünülebilir. Fakat a noktasında yapılan ölçüm yukarıda bahsedildiği gibi tamamen rastlantısaldır. Kuantum kuramına göre ölçüm sonucu kontrol edilemeyen bir süreç sonunda gerçekleşir ve tersinir değildir. Sonuçta iletilen rasgele bir değerdir (Turgut, 2000).

10 10 3 HESAPLANABİLİRLİK VE KARMAŞIKLIK Hesaplama teorisi, uzun yıllar boyunca yalnızca matematiksel bir olgu olarak algılanmıştır. Fiziksel bir işlem olarak düşünülmemiştir. Dolayısıyla hep soyut bir kavram şeklinde ele alınmıştır. Hesaplama kavramı Turing, Church, Post ve Gödel gibi öncüler sayesinde fiziksel bir altyapıya oturtulmuştur. Böylece klasik bilgisayarlar, klasik fizik kuralları kullanılarak tasarlanmışlardır. Kuantum bilgisayarını klasik bilgisayardan ayıran pek çok özellik vardır. Kuantum fiziğini kullanmanın getirdiği ayrıcalıklar ve üstünlükler, matematiksel ve işlemsel farklılıklar bir yana, kuantum bilgisayarı için hesaplanabilirlik ve karmaşıklık kavramlarını da farklı kılmıştır. Örneğin, kuantum bilgi-işlem için daha güçlü karmaşıklık sınıfları tanımlamak zorunluluğu doğmuştur. Bu bölümde klasik bilgi-işlem ile kuantum bilgi-işlem, hesaplanabilirlik ve karmaşıklık sınıfları yönünden karşılaştırılacaktır. Bu bazda kuantum bilgisayarların klasik bilgisayarlara olan üstünlüğünün nedenleri incelenecektir. 3.1 Hesaplanabilirlik Teorisi ve Turing Makineleri Hesaplanabilirlik teorisi, bir bilgisayarda sonlu zamanda hangi problemlerin çözülebilir olup olmadığını belirler. Eğer problemi bu bağlamda çözen bir algoritma yoksa, o zaman problem hesaplanamaz demektir. Hesaplanabilirlik, bilgisayar biliminde önemli bir kavramdır. 20. yüzyıl başlarında, David Hilbert adlı bir Alman matematikçi, herhangi bir matematiksel ifadenin doğru ya da yanlış olduğunu ispatlayacak mekanik bir prosedür olup olmadığı sorusunu ortaya attı.

11 11 Hilbert ın bu problemi, Entscheidungsproblem olarak bilinir. Turing makinesi, bu probleme çözüm getirmek amacıyla geliştirilen, bir bilgisayarın neler yapıp yapamayacağını belirlemeye yarayan, dolayısıyla hesaplanabilirlik kavramını simüle eden, Alan Turing tarafından 1936 da tasarlanmış matematiksel bir bilgisayar modelidir. Klasik bir bilgisayarda hesaplanabilen her problem, Turing makinesinde de (etkinliğe bakılmaksızın) hesaplanabilir. Turing makinesi hesaplanabilirlik kavramına somut bir nitelik kazandırmıştır. Birkaç çeşidi vardır: Gerekirci Turing Makinesi (GTM) Bu model, hücrelere bölünmüş sonsuz uzunlukta bir teyp (bellek), teyp üzerinde her iki yönde hareket ederek hücrelerin içeriğini saptayabilen ve değiştirebilen bir okuma/yazma kafası ile bu kafanın hareketini kontrol eden bir komut setinden (program) oluşmaktadır. Teyp üzerindeki bir hücre ya boştur ya da 0 veya 1 değerine sahiptir. Komut setine bağlı olarak, kafanın üzerinde bulunduğu hücre içeriği değiştirilebilir ya da hücredeki değer, kafanın içerisinde bulunan bir belleğe yazılabilir. Sonuç olarak; son derece basit yapısına karşın, Turing makinesi hesaplanabilirliğin en genel modeli olup, kuramsal olarak günümüz modern bilgisayarının yapabileceği her şeyi simüle edebilmektedir Olası Turing Makinesi (OTM) İşlem sonucunda, belirli bir küme içindeki değerlerden rasgele birini üretebilen Turing makineleri de mevcuttur. Bunlara olası Turing makineleri denir. Bir OTM tarafından hesaplanabilen bir algoritma, GTM tarafından da hesaplanabilmektedir. Fakat şaşırtıcı bir şekilde pek çok problem, OTM lerde GTM lere göre daha kısa süre çözülebilmektedir. Bir OTM in işlem sonucunda yanlış sonucu verme olasılığı da vardır, dolayısıyla

12 12 algoritmayı birden fazla sayıda çalıştırarak doğru sonuca ulaşmak mümkündür. Yani OTM lerde, işlem süresi ile işlem sonunda doğru sonuç elde edilmesi arasında ters orantı vardır. Kesin sonuç alınmak istendiğinde, algoritmanın çalışma süresi belirsiz olabilir. Turing makinesinin evrensellik özelliğine sahip olduğu, ünlü Church- Turing tezinde ifade edilmiştir: Doğal olarak hesaplanabilir kabul edilen her fonksiyon, evrensel Turing makinesi tarafından da hesaplanabilir. Bu tez öne sürüldüğünde, yalnızca klasik fizik kuralları göz önüne alınmıştı. Zira o tarihte kuantum fiziğinin geçerliliği hala tartışma konusuydu yılında Richard Feynman, Turing makinesinin bazı kuantum sistemlerini üstel yavaşlama olmadan simüle edemeyeceğini, bu işlemi etkin bir biçimde ancak evrensel bir kuantum simülatörünün gerçekleştirebileceğini gözlemlemiştir (Feynman, 1982). Bu gözlemler neticesinde 1985 yılında Deutsch, güçlendirilmiş Church tezini ortaya koymuştur: Her sınırlı fiziksel sistem, sınırlı kaynaklara sahip bir evrensel hesaplama makinesi tarafından simüle edilebilir. Turing makinelerinin kuantum fiziğini kullanan modeline Kuantum Turing makinesi denir ve bu ayrı bir Turing makinesi sınıfı teşkil eder Kuantum Turing Makinesi (KTM) Turing makinesinin ilk kuantum mekaniksel tanımı 1980 yılında Paul Benioff tarafından yapılmıştır te ise David Deutsch, ilk gerçek KTM ni ortaya koymuştur. KTM ler, kısaca OTM lerin kuantum mekaniksel özelliklere sahip benzerleridir. Yalnız bir OTM de sonuca

13 13 giderken tek bir yol izlenmesine karşın, KTM de pek çok yol eş zamanlı olarak izlenmektedir. Klasik Turing makinesine benzer şekilde, Kuantum Turing makinesi de evrenseldir. Bunun yanında KTM, gerekirci ve olası Turing makinelerini simüle edebilmektedir. Hatta, bu makinelerin yapamadığı bir işi de yapabilmekte, gerçek anlamda rasgele sayı üretebilmektedir. Kuantum Turing makinesi, kuantum bilgisayarının iyi bir soyut modeli olmasına karşın uygulamada yetersiz kalmaktadır. Bunun için ileride işlenecek olan kuantum devre modeli geliştirilmiştir 3.2 Karmaşıklık Teorisi Karmaşıklık Teorisi, genel olarak bir fonksiyonun ya da algoritmanın işlerliğinin hangi etkinlikte olduğunun ölçütüdür. Etkinlik, bilgi-işlem dünyasında önemli bir kavramdır, zira bir problemin hesaplanabilir olmasının yanı sıra, makul bir sürede çözülebilmesi de önem taşır. Eğer bir problemin bilgisayarda çözümü çok uzun sürüyorsa (örneğin; birkaç yıl) ya da aşırı miktarda bellek birimi gerektiriyorsa (örneğin; birkaç terabyte), pratikte problem etkin bir şekilde çözülemez demektir. Kısaca, problemlerin hesaplanabilir olması ile etkin olması tamamen farklı kavramlardır. Bir algoritmanın karmaşıklığını hesaplamak için kullanılan kriterler, algoritmanın gerçekleştirdiği toplam işlem (adım) sayısı ve kullandığı bellek miktarıdır. Bu kriterler, algoritmanın girdi büyüklüğüne bağlı olarak değerlendirilirler. Örneğin, bir algoritmanın girdisi N sayısıysa, bu N sayısının büyüklüğüne (bit sayısı; log 2 N) bağlı olarak algoritmanın gerçekleştirdiği işlem sayısındaki artış miktarı, algoritmanın karmaşıklığını belirlemede kullanılır.

14 Klasik karmaşıklık sınıfları Algoritmalar temelde polinom-zamanlı (P) ve üstel-zamanlı (NP) olarak ikiye ayrılırlar. Polinom-zamanlı olan algoritmalara aynı zamanda çözülebilir algoritmalar da denilir. Benzer şekilde üstel-zamanlı algoritmalara da çözülemez algoritmalar denir. Örnek olarak; değişebilen büyüklükteki bir girdiye sahip olan bir A algoritmasını ele alınsın. Girdinin bit uzunluğu N olsun; buna bağlı olarak algoritmanın karmaşıklığının T A (N) fonksiyonu ile gösterildiği varsayılsın. T A (N), herhangi bir N-bit girdi için algoritmanın en fazla çalışma zamanıdır. Eğer; T A (N) Poly (N) koşulu sağlanıyorsa (Poly(N); N için polinom zaman), A polinomzamanlı bir algoritmadır denir. Aksi durumda, A üstel-zamanlı bir algoritma demektir. Algoritmaların karmaşıklığını matematiksel olarak Big- O notasyonu ile gösterebiliriz. Bu notasyona göre, polinom-zamanlı algoritmalar O(n b ) (n= log 2 N, b>1) ve üstel-zamanlı algoritmalar da O(b n ) olarak ifade edilirler (Rosen, 1995). Polinom-zamanlı bir problemi çözmek için gereken zaman, girdinin bit uzunluğunun üssünden daha hızlı büyümemelidir. Örneğin; iki sayıyı çarpma işlemi polinom-zamanlı iken, ileride detaylı olarak ele alacağımız bir sayıyı asal çarpanlarına ayırma problemi üstel-zamanlıdır. Yukarıda incelenen P ve NP sınıflarına ek olarak, ZPP (polinomzamanda sıfır hata olasılığı) ile BPP (polinom-zamanda sınırlı hata olasılığı) sınıfları da mevcuttur. ZPP, OTM tarafından hatasız olarak ortalama polinom zamanda çözülebilen problemlerin oluşturduğu sınıftır. BPP ise OTM tarafından polinom zamanda ve 2/3 ten büyük doğruluk

15 15 oranıyla çözülebilen problemleri içerir. Bu sınıftaki problemler arka arkaya birkaç kere çalıştırılarak, doğru sonuca varılma olasılığı arttırılabilir (Meglicki, 2002). BPP sınıfının, P sınıfını kapsadığı bilinmektedir. Fakat BPP ile NP sınıfları arasındaki kesin ilişki bilinmemektedir (Arikan and Shumovsky, 2001) Kuantum karmaşıklık sınıfları Yukarıda incelenen klasik karmaşıklık sınıflarının kuantum bilgiişlemedeki karşılıkları kuantum karmaşıklık sınıflarıdır. Klasik P, BPP ve ZPP sınıfları burada QP, BQP ve ZQP olarak adlandırılırlar. QP, bir kuantum bilgisayarında en kötü ihtimalle polinom-zamanlı olarak çözülebilen problemleri içerir. QP, klasik P sınıfını kapsadığından, kuantum bilgisayarında klasik bilgisayarlara göre daha çok sayıda problem etkin olarak çözülebilmektedir. ZQP sınıfındaki problemler, kuantum bilgisayarı tarafından hatasız olarak ortalama polinom zamanda çözülebilirler. ZQP sınıfı, ZPP sınıfını kapsamaktadır. BQP sınıfı ise kuantum bilgisayarı tarafından en çok 1/3 yanılma oranıyla, polinom zamanda hesaplanabilen problemleri içermektedir. Yani bu sınıftaki problemlerin doğru çözülme olasılıkları 2/3 ten büyüktür. Shor un geliştirdiği asal çarpanlara ayırma algoritması BQP sınıfındadır. Bu algoritma klasik olarak etkin bir şekilde çözülemediğinden BPP sınıfında değildir. Bu yüzden, kesinliliği henüz ispatlanmamakla beraber BQP BPP olduğuna inanılmaktadır (Williams and Clearwater, 1998).

16 16 4 KUANTUM BİLGİ-İŞLEMİN TEMEL İLKELERİ Kuantum bilgisayarı ile klasik bilgisayar, farklı fiziksel prensiplere dayandıklarından matematiksel olarak da birbirlerinden çok farklıdırlar. Bu bölümde ilk olarak kuantum bilgisayarı ile ilgili temel matematiksel tanımlar ve notasyon verilecektir. Ardından kuantum devre ve ağ modeli incelenecek, kuantum bilgisayarı içinde işlemlerin ne şekilde gerçekleştiği açıklanacaktır. 4.1 Matematiksel Yapılar Kuantum bilgi-işlem ile klasik bilgi-işlem yapı olarak birbirlerine benzerler. Klasik bilgi-işlemdeki bit, yazmaç, mantıksal geçit, devre modeli gibi kavramlar kuantum bilgi-işlemde de mevcuttur. Tabii uygulamaya gelince, bu kavramlar arasında işlevsel olarak pek çok fark olduğu görülmektedir Kübit ve kuantum yazmacı Klasik bilgi-işlem dünyasındaki en küçük veri yapısı bittir. Benzer şekilde kuantum bilgi-işlemede veriler kuantum bitlerle temsil edilirler. Kuantum bite kısaca kübit te denir. Kübit, Hilbert uzayı içinde tanımlanır. Tanım 4.1 Hilbert uzayı (H) Sonlu, doğrusal, karmaşık vektör uzayıdır. n boyutlu Hilbert uzayı H n ile gösterilir. Bir kübit fiziksel olarak genellikle atom, spin-1/2 parçacıkları ya da polarize edilmiş foton gibi mikroskopik bir sistemdir. Örneğin; spin-1/2 sistemini örnek alırsak, yukarı doğru dönen bir parçacık 0 ı, aşağı doğru dönen bir parçacık ta 1 i temsil edebilir.

17 17 Klasik bit yalnızca 0 ya da 1 değerini alırken kübit 0, 1 ya da aynı anda hem 0 hem de 1 değerlerini alabilmektedir. Kübitin bu özelliğine süperpozisyon durumu denir. Kuantum bilgi-işlemin klasik bilgi-işleme olan üstünlüğünün nedenlerinden biri, kübitin böyle bir özelliğe sahip olmasıdır. Tanım 4.2 Kübit Ψ = α 0 + β 1, α 2 + β 2 = 1 Kübit, H 2 vektördür. içinde tanımlanan ve Ψ ile gösterilen karmaşık bir β ψ α Şekil 4.1 : Süperpozisyon durumundaki kübitin şematik gösterimi. Kübit tanımında yer alan α ve β, karmaşık sayılardır. Bir kübiti ölçtüğümüzde α 2 olasılıkla 0, β 2 olasılıkla da 1 değerini bulabiliriz. Yani kübit, ölçüm işleminden sonra süperpozisyon durumunu kaybederek, α ve β karmaşık sayılarına da bağlı olarak 0 veya 1 değerlerine çöker. Kübiti tanımlarken kullanılan gösterim şekline bra/ket notasyonu denir. Bra/ket notasyonu Dirac tarafından bulunmuştur. x ile genellikle

18 18 sütun vektörleri gösterilir. x ise, x ifadesinin devrik eşleniğidir (devrik eşlenik için bkz. Bölüm 4.2). Kübitler vektörel olarak da ifade edilebilirler. Genellikle 0 değeri Ψ 0 = (10) T, 1 değeri ise Ψ 1 = (01) T sütun vektörleriyle temsil edilir (T: devriklik). Kübitler bir araya gelerek kuantum yazmaçlarını oluştururlar. Bu işlemi gerçekleştirmek için kübitler arasında tensör çarpımı yapılır. Bu uygulama da kuantum bilgi-işlem ile klasik bilgi-işlem arasındaki farklardan biridir. Çünkü klasik bilgi-işlemde bitler arasında kartezyen çarpımı yapılır. Tensör çarpımı ile gösterilir. X ve Y sistemleri üzerinde işlem yapıldığı varsayılsın. Kartezyen çarpım sonucunda elde edilen bileşke sistemin eleman sayısı, X ve Y nin eleman sayılarının toplamı iken, tensör çarpımında bileşke sistem eleman sayısı X ve Y sistemlerinin eleman sayılarının çarpımına eşit olur (Rieffel and Polak, 2000). dim (X x Y) = dim (X) + dim (Y) dim (X Y) = dim (X) * dim (Y) kartezyen çarpımı tensör çarpımı Kübitler 2-boyutlu olduklarından (0 ya da 1 değerlerini alabilirler), n adet kübitten oluşan bir kuantum yazmacı aynı anda 2 n adet değeri tutabilmektedir. İki kübitten oluşan bir kuantum yazmacı ele alınsın: Ψ 1 = α 0 + β 1, Ψ 2 = γ 0 + δ 1 Ψ 1 ve Ψ 2 iki farklı kübit olmak üzere, bu iki kübitin oluşturduğu kuantum yazmacı;

19 19 Ψ 1 Ψ 2 = (αγ) 00 + (αδ) 01 + (βγ) 10 + (βδ) 11, ( αγ 2 + αδ 2 + βγ 2 + βδ 2 ) = 1 biçiminde gösterilir. Yukarıdaki ifadeden de görüldüğü gibi kuantum yazmaçları, klasik bilgi-işlemdeki yazmaçlara göre üstel olarak daha fazla sayıda veriyi tutabilmektedir. Bir kuantum yazmacı üzerinde ölçüm yapıldığında, kübitteki çökme olayına benzer şekilde burada da yazmacın tuttuğu değerlerden birine çökme olur. Örneğin yukarıdaki 2-bitlik yazmaçta ölçüm yapıldığında, αγ 2 olasılıkla 00, αδ 2 olasılıkla 01, βγ 2 olasılıkla 10 ve βδ 2 olasılıkla 11 değerleri bulunacaktır. Dolayısıyla ölçüm sonucunda, klasik bilgiişlemdekine benzer şekilde tek bir sonuç elde edilir. Bu ölçümden sonra aynı yazmaç üzerinde ikinci bir ölçüm yapıldığında, tekrar ilk ölçüm sonucu elde edilecektir. Yani ilk ölçümden sonra yazmaç belirli bir değere çökelmiş olur ve eğer varsa içindeki süperpozisyon durumu kaybolur. Aşağıda farklı kübitlerle oluşturulan kuantum yazmaçları gösterilmiştir: 0 (1/ 2)( ) 1 = (1/ 2) 1 + (1/ 2) 3 (1/ 2)( ) 1 (1/ 2)( ) = (1/2) 2 + (1/2) 3 + (1/2) 6 + (1/2) 7 (1/ 2)( ) (1/ 2)( ) (1/ 2)( ) = (1/2 2) ( ) Hatırlanacağı üzere kuantum yazmaçları oluşturulurken, kübit değerleri arasında tensör çarpım gerçekleştiriliyordu. Bu noktada kübitlerin vektörel ya da matris ifadeleri kullanılabilir.

20 20 Tanım 4.3 Matrislerin Tensör Çarpımı İki matrisin tensör çarpımı şu şekilde tanımlanır: a 11 a 12 a 1s b 11 b 12 b 1u a 21 a 22 a 2s b 21 b 22 b 2u A=... ve B =... olmak üzere; a r1 a r2 a rs b t1 b t2 a tu A B = a 11 B a 12 B a 1s B a 21 B a 22 B a 2s B... a r1 B a r2 B a rs B Örnek = (1 0) T ve 1 = (0 1) T olarak gösterilsin. Bu iki kübitten oluşan bir kuantum yazmacı şu şekilde ifade edilir: 01 = = ( ) T Benzer şekilde, farklı kübit değerleri için 2-kübitlik yazmaçların vektörel ifadeleri şu şekilde bulunur: 00 = ( ) T, 10 = ( ) T, 11 = ( ) T

21 Dolanıklık Eğer bir kuantum yazmacı, bileşenlerinin (içerdiği kübitlerin) tensör çarpımı olarak ifade edilemiyorsa dolanıktır denir. Örneğin, aşağıdaki Ψ EPR yazmacı iki farklı kübitten oluşmaktadır fakat bu kübitler Ψ EPR = Ψ 1 Ψ 2 şeklinde ifade edilememektedir. Ψ EPR = ( 1 2) ( ) İkinci bölümde işlenen EPR Deneyi hatırlanacak olursa, bir EPR çiftini oluşturan parçacıklardan biri ölçüldüğünde, diğer elektronun değeri bu ölçüme bağlı olarak belli bir değere dönüşmekteydi. Yukarıdaki kübit çifti ölçüldüğünde de buna benzer bir durum söz konusu olmaktadır. Ölçüm sonucunda birinci kübit 0 olursa, ikinci kübit 1 değerini alacaktır. Birinci kübit 1 olarak ölçülürse de ikinci kübit 0 olur. Yani ölçümden önce iki kübitin değerleri belli değildir. Ölçüm sonrasında değerleri (birbirlerinin tersi olacak şekilde) değişir. 4.2 Kuantum Devre Modeli ve Kuantum Geçitleri Klasik bilgisayarlardaki AND, OR, NOT gibi geçitlere benzer olarak kuantum bilgisayarlarında da kuantum geçitleri bulunmaktadır. Bu geçitler kullanılarak matematiksel işlemler gerçekleştirilirler. Kuantum devre modeli, hesaplama gücü olarak Turing modeline eşdeğerdir. Kuantum devre modelinde kullanılan geçitler belleksizdir. Girdi bitlerini, ilgili fonksiyon uygulandıktan sonra tutmadan anında çıkışa verirler. Dolayısıyla burada bir işlem için zaman-karmaşıklığı söz konusu olamaz. Bunun yerine bir devrenin karmaşıklığı boyutuyla, yani içerdiği toplam geçit sayısıyla belirlenir.

22 22 Kuantum geçidi, belirli bir zaman diliminde girdi kübitlerine birimcil bir işlem uygulayarak elde edilen sonucu çıkışına veren bir mekanizmadır. Kuantum geçitleri matrislerle ifade edilirler. Kuantum geçidinin matrisi ile geçidin girdisinin vektör ya da matris ifadesi çarpılarak çıkış değeri bulunur. Tanım 4.4 Karmaşık Eşlenik a+ib biçimindeki bir karmaşık sayının eşleniği a-ib dir. Tanım 4.5 Devrik Eşlenik A = x 0 +iy 0 x 2 +iy 2 x 1 +iy 1 x 3 +iy 3 ise, A nın devrik eşleniği A * şu şekilde bulunur. A * = x 0 -iy 0 x 2 -iy 2 x 1 -iy 1 x 3 -iy 3 Tanım 4.6 Birimcillik Bir A matrisinin birimcil olabilmesi için tersinin (A -1 ), devrik eşleniğine (A * ) eşit olması gerekir. A * = A -1 Birimcil bir matris devrik eşleniği ile çarpılırsa, sonuç birim matris (I) olacaktır. A A * = A * A = I

23 Tersinirlik Kuantum bilgisayarı kuantum fiziği yasaları kullanılarak tasarlandığından, klasik bilgisayarda görülmeyen ve bizlere oldukça tuhaf gelen özelliklere sahiptir. Tersinirlik te bunlardan biridir. Bir işlemin girdi bitleri bilindiğinde çıkış bitlerinin de belirlenebileceği açıktır. Buna ek olarak, bir işlemin tersinir olabilmesi için, çıkış bitleri vasıtasıyla girdi bitlerinin de belirlenebilmesi gereklidir. Bu mantıksal tersinirlik olarak adlandırılır. Eğer aynı zamanda işlem geriye doğru da çalışabiliyorsa (bu durumda çıkış bitleri girdi, girdi bitleri de çıkış olacaktır) o zaman buna fiziksel tersinirlik denir. Klasik geçitler genellikle bu özelliğe sahip değillerdir. DEĞİL geçidi, tersinir olan klasik geçitlere bir örnek olarak verilebilir. Bu geçit, girdisi olan bitin değerinin değilini çıkışına vermektedir. Çıkıştaki bitin değeri biliniyorsa, girdi bunun tam tersidir. XOR geçidini inceleyecek olursak; çıkış bitinin değeri 1 ise, iki girdi bitinden birinin değeri 1, ötekinin değeri ise 0 demektir. Fakat çıkış 0 olduğunda, girdi bitlerinin ikisi de 0 ya da 1 demektir. Bu durumda XOR klasik olarak tersinir değildir demektir lı yıllarda, IBM de çalışan Landauer adlı bir fizikçi, bilgisayarda açığa çıkan ısının tersinir olmayan işlemlerden kaynaklandığını öne sürdü. Landauer in prensibine göre, bilgisayarda tek bir bit silme işlemi, çevreye en azından ktlog e 2 (T: sıcaklık, k: Boltzmann sabiti) birim ısı yaymaktadır. Kuantum bilgisayarında, kübitleri belli bir süre bir arada tutmak oldukça zordur, çünkü çevreyle en küçük etkileşimde kübitler sanki üzerlerinde ölçüm yapılmışçasına birtakım değerlere çökerler. İşlem sırasında yukarıda bahsedilen türden bir ısının açığa çıkması, kübitlerin değerlerinin rasgele değişmesine ve kuantum

24 24 bilgisayarının çalışamamasına neden olacaktır. Bu nedenle prensip olarak kuantum bilgisayarlarının enerji açığa çıkarmaması gerekir. Termodinamiğin ikinci kuramına göre fiziksel tersinir olan bir cihaz ısı açığa çıkarmaz (Braunstein, 1999). C. Bennett, tersinir geçitler kullanıldığında enerjinin açığa çıkmadığını göstermiştir. Hatta tersinir olmayan tüm işlemlerin, tersinir geçitler kullanarak ta gerçekleştirilebileceğini ispatlamıştır (Bennett, 1973). Dolayısıyla problem, tersinir olmayan geçitlerin nasıl tersinir hale getirileceğidir. Yukarıda tersinir olmadığı belirtilen klasik XOR geçidini örnek alalım. Bu geçidin iki girişi ve bir çıkışı vardır. Eğer girişlerden birini çıkışa verecek olursak, bu geçit tersinir hale gelecektir. Aşağıda tersinir XOR geçidinin doğruluk çizelgesi verilmiştir. Çizelge 4.1 : XOR geçidinin bir girişinin çıkışa verilmesi durumundaki doğruluk çizelgesi. GİRİŞ ÇIKIŞ a b a a XOR b a girdi biti çıkışa verildiğinde, çıkışta bu değere ve işlemin sonucuna (a XOR b) bakılarak b girdi bitinin değeri tespit edilebilir. Böylece klasik

25 25 olarak tersinir olmayan XOR geçidi, bir girişi çıkışına verilerek kuantum bilgi-işlem için tersinir hale getirilmiş olur. Bir matematiksel işlemin kuantum mekaniksel olarak gerçekleştirilebilmesi için birimcil olması gerektiğinden bahsedilmişti. Birimcil olan bir işlem zaten tersinirdir (Vedral and Plenio, 1998), dolayısıyla kuantum bilgisayarı yapısında birimcil kuantum geçitleri kullanılarak tersinirlik sağlanabilir. Karmaşıklık teorisi yönünden tersinir fonksiyonlar, tersinir olmayan fonksiyonlarla eşdeğerdirler. Yani tersinir olmayan bir fonksiyon polinom zamanda hesaplanabiliyorsa, tersinir hale getirildiğinde de yine polinom zamanda hesaplanabilir demektir (Barenco, 1996) Kübitli geçitler I : X: Y: 0 -i 1 Z: i 1 i 0 i Bazı basit 1-kübitli kuantum geçitleri ve matris ifadeleri yukarıda gösterilmiştir. I birim, X değil, Z faz kaydırıcı ve Y de bit ve faz kaydırıcı geçitler olarak adlandırılırlar. Bu geçitlerin birimcil olduğu kolayca görülebilir. Örneğin; Y Y * = 0 -i 0 -i = i 0 i X, Y ve Z geçitleri Pauli işleçleri olarak ta bilinirler.

26 26 1-kübitli geçitler, grafiksel olarak Şekil 4.2 deki gibi gösterilirler. Y Şekil 4.2 : 1-kübitli kuantum geçitlerinin şematik gösterimi Hadamard geçidi Kuantum geçitlerinin en önemlilerinden ve en çok kullanılanlarından biridir. Klasik bilgi-işlemde bu geçidin karşılığı yoktur. 1 1 H = (1/ 2) x H 1-1 (-1) x x + 1-x Şekil 4.3 : Hadamard geçidi. Hadamard geçidi, girdisi olan kübiti süperpozisyon durumuna sokmaktadır. Girdi 0 ise çıkışta 0 + 1, 1 ise 0-1 elde edilir. Bu geçidin kullanım alanına şöyle bir örnek verebiliriz: 2 kübitlik bir Ψ kuantum yazmacımız olsun. Kübitlerin başlangıç değerleri 0 olsun. Bu kübitlerin her biri Hadamard geçidinden geçirildiğinde, değerleri (1/ 2) ( ) olacaktır. Hatırlanacağı üzere kuantum yazmacının değeri, bu 2 kübitin tensör çarpımına eşittir. Ψ = (1/ 2) ( ) (1/ 2) ( ) = (1/2) ( ) Sonuç olarak, n-kübitten oluşan bir kuantum yazmacında başlangıç değerleri sıfır olan kübitlerin her biri Hadamard geçidinden geçirildiğinde,

27 27 yazmaçta 0 ile 2 n -1 arasındaki değerler aynı anda tutulabilmektedir. Klasik bir yazmaçta aynı anda birden fazla değer tutulamaz. Bu yönden kuantum bilgisayarı klasik bilgisayara göre üstel olarak daha fazla sayıda değer tutabilmektedir Kübitli geçitler C-NOT (Kontrollü-DEĞİL) geçidi En çok kullanılan kuantum geçitlerinden biridir. Kübitlerden biri kontrol, diğeri hedef kübiti olarak adlandırılır. Kontrol kübiti (c) 1 ise hedef kübitinin (d) değeri tersine çevrilir, 0 ise hedef kübitin değeri değiştirilmez. Bu işlem klasik XOR işlemine benzemektedir. c d c c d CNOT = Şekil 4.4 : CNOT geçidi Faz kaydırma geçidi İleride işlenecek olan kuantum Fourier dönüşümü nde kullanılır. j ve k, işlemin uygulanacağı bitlerin indislerini gösterir (j < k) π T = θ k-j = e iθk-j 2 k-j

28 Kübitli geçitler Toffoli geçidi Bu geçide Kontrollü-CNOT geçidi de denir. İki kontrol biti, bir de hedef biti vardır. Kontrol bitlerinin (a,b) ikisi de 1 ise hedef biti değiştirilir, 0 sa bir değişiklik yapılmaz. a a b b T = c c ab Şekil 4.5 : Toffoli geçidi. Toffoli geçidinin doğruluk çizelgesi ile matris ifadesi Şekil 4.5 ile verilmiştir. Bu geçidin en büyük özelliği evrensel olmasıdır Evrensellik Klasik bilgisayarda herhangi bir Boole işlemi, bazı geçit kümeleriyle ifade edilebilmektedir. Dolayısıyla bu geçit kümeleri vasıtasıyla bilgisayarda her türlü işlem (etkinliğe bakılmaksızın) çözülebilmektedir. Bu özelliğe sahip geçit kümeleri evrensel olarak adlandırılır. Klasik VE, VEYA ve DEĞİL geçitlerinden oluşan küme, evrensel geçit kümelerine bir örnek olarak verilebilir. Kuantum bilgi-işlemede de buna benzer evrensel geçitler mevcuttur. Tüm 1-kübitli geçitler ile 2-kübitli CNOT geçidinden oluşan kümenin,

29 29 evrensel bir küme oluşturduğu gösterilmiştir (Barenco et al., 1995). Yani kuantum bilgi-işlemde, sadece bu geçitler kullanılarak her türlü işlem gerçeklenebilmektedir. Yukarıda tanımlanan Toffoli geçidinin de evrensel olduğu gösterilebilir. ab, c = 0 için; (VE) c ab = a c, b = 1 için; (XOR) a, b = c = 1 için; (DEĞİL) a, b =1, c = 0 için; (KOPYALAMA) Yukarıda görüldüğü gibi, Toffoli geçidi ile klasik evrensel geçit kümesi simüle edilebilmektedir Kuantum ağları Kuantum devre modelinde, kuantum geçitlerini birbirine bağlayarak elde edilen yapılara kuantum ağları denir. Kuantum ağları oluşturulurken, klasik bilgisayardaki devre yapısına benzer şekilde, bir kuantum geçidinin çıkışı, diğer bir kuantum geçidinin girişine bağlanarak geçitler arasında veri akışı sağlanır. Bir kuantum ağının büyüklüğü, içerdiği kuantum geçitlerinin sayısına eşittir. Kuantum geçitleri tersinir olduğundan, bir kuantum ağındaki işlem de tersinirdir. Yani kuantum ağının çıkışları bilindiğinde, girdi değerleri de bulunabilir.

30 Kuantum fonksiyonları Kuantum fonksiyonları birimcil yapıda oldukları için klasik fonksiyonlar gibi hesaplanamazlar. ƒ klasik bir fonksiyon olsun. ƒ : {0, 1,, 2 m 1} {0, 1,, 2 n 1}, m, n > 0 ; Bu fonksiyon her bir girdi için ƒ(0), ƒ(1),, ƒ(2 m 1) şeklinde çıktılar üretecektir. Eğer ƒ bire-bir fonksiyon değilse (örneğin; ƒ(x) = ƒ(y), x y), bazı değerler için sonuç bilinse bile bu sonuçlardan girdiler elde edilemez. Yani bire-bir olmayan fonksiyonlar birimcil olmadıklarından, kuantum fonksiyonları bu şekilde kullanılamaz. Daha önce birimcil olmayan kuantum geçitlerinin, girdi bitlerinin çıkışa iletilmesi ile birimcil hale getirilebildikleri belirtilmişti. Benzer şekilde burada da girdiler çıkışa aktarılırlar. Bunun için kuantum bilgisayarı, biri girdi biri de çıkış bitlerini tutmak üzere 2 adet yazmaç kullanır. U ƒ x 0 = x ƒ(x) Girdi bitlerini tutan yazmaç üzerinde herhangi bir işlem yapılmaz, bu bitler aynen çıkışa aktarılırlar. Fonksiyon sonucu ƒ(x), işlem sonucunda ikinci yazmaçta tutulur. Bu noktada kuantum bilgisayarı ile klasik bilgisayar arasındaki temel farklardan biri ortaya çıkmaktadır. Eğer fonksiyon süperpozisyon durumundaki bir girdi yazmacı üzerine uygulanıyorsa, çıkış yazmacında, giriş yazmacındaki her bir x değeri için ƒ(x) değeri yer alacaktır. Ψ = U ƒ ( 1 2 m/2 ) x 0 = 1 m/2 2 x ƒ(x).

31 31 Yani U ƒ fonksiyonu 2 m tane sayı üzerine aynı anda uygulanmaktadır. Dolayısıyla burada klasik bilgi-işleme göre üstel bir hızlanma söz konusu gibidir. Ama ölçüm sonucunda, ikinci yazmaç içinde kaç tane değer olursa olsun, yalnızca birinin sonuç olarak elde edilebileceğini unutmamak gerekir. Yani U ƒ işleminin uygulanmasından sonra ölçüm yapıldığında ƒ(0), ƒ(1),, ƒ(2 m 1) değerlerinden biri (olasılık dağılımının ne şekilde olduğuna bağlı olarak) bulunacaktır. Dolayısıyla bu haliyle kuantum bilgisayar, klasik bilgisayara göre daha hızlı değildir. Fakat unutmamak gerekir ki işlem sırasında ikinci yazmaçta 2 m adet sayı aynı anda bulunabilmektedir. Eğer ölçümden önce, bu sayılar arasında işimize yarayacak birtakım bilgileri çekebilirsek, o zaman kuantum bilgisayarının klasik bilgisayardan üstel olarak hızlı olduğu ortaya konabilir. Örneğin; Shor un geliştirdiği ve bu alanda bugüne kadar bulunmuş en ünlü algoritma olan asal çarpanlara ayırma problemi, ikinci yazmaç içindeki sayılardan oluşan bir dizinin periyodunu bulur. Bunu gerçekleştirirken de Kuantum Fourier Dönüşümü denilen bir işlemi kullanır. Sonuç olarak, kuantum bilgisayarının olanaklarından ve üstel hızından yararlanmak için, buna benzer algoritmalar ve fonksiyonlar geliştirilmelidir.

32 32 5 KUANTUM BİLGİ-İŞLEM UYGULAMALARI Kuantum bilgisayarı yapmak günümüz teknolojisiyle henüz mümkün olmadığı gibi, en az yıl daha 100-kübitlik bir bilgisayarın çalışılabilir hale getirilmesi hayalden öteye gidemeyecektir (Steane and Rieffel, 2000). Kuantum bilgisayarı yapımında karşılaşılan tüm zorluklara rağmen, kuantum bilgi-işlemin başka uygulama alanlarının da olması ve bu alanlarda daha şimdiden çalışabilen prototiplerin hayata geçirilebilmesi şaşırtıcıdır. Bu uygulamaların en önemlileri kuantum ışınlama, kuantum yoğun kodlama ve kuantum şifrelemedir. 5.1 Kuantum Işınlama Işınlama denildiğinde, akla ilk anda bilim-kurgu filmlerinde sıkça işlenen cisim ışınlama olayı gelmektedir. Kuantum ışınlama, değeri bilinmeyen bir kübitin, 2-bitlik klasik mesaj vasıtasıyla bir yerden başka bir yere transfer edilmesidir. Transfer sonrasında gönderici taraftaki kübit orijinal değerini kaybettiğinden, kübitin kopyalanması söz konusu değildir. Değeri bilinmeyen kübit ψ Alice 2-bit klasik mesaj EPR çifti Bob ψ Şekil 5.1 : Kuantum ışınlama işlemi.

33 33 Işınlama işlemini gerçekleştirmek için kullanılan devre Şekil 5.2 ile verilmiştir (Terminolojide gönderici taraf için Alice, alıcı taraf için Bob, veri iletişimine müdahale eden istenmeyen kişiler için de Eve isimlerini kullanmak bir çeşit alışkanlık haline gelmiştir. Metinde de bu terminoloji kullanılacaktır). Bu devrede gönderici (Alice) ile alıcı (Bob) kısımları noktalı çizgi ile ayrılmıştır. Yani devrenin sol kısmı göndericide, sağ kısmı ise alıcıda bulunur. Işınlama işlemine başlamadan önce, devrenin gönderici tarafındaki a girişinde transfer edilecek Ψ kübiti bulunur, b ve c girişleri ise 0 yapılır. İşlem sonucunda alıcının z çıkışında Ψ kübiti bulunacaktır. a Ψ H x b H y c H H z Ψ Şekil 5.2 : Kuantum ışınlama devresi. Kuantum ışınlama işlemi aşağıda 4 adımda incelenecektir. Bunların ilk üçü gönderici, sonuncusu da alıcı tarafında gerçekleşir: 1. Adım : Alice kuantum kanalı yaratır. Alice, ilk olarak dolanık bir çift parçacık yaratıp bunlardan birini bir kuantum kanalı vasıtasıyla Bob a gönderir. Dolanık parçacığı yaratmak için kullanılan devre Şekil 5.3 (a) da büyük ölçekli olarak tekrar verilmiştir.

34 34 Alice in Bob a göndereceği değeri bilinmeyen kübiti Ψ ile, yarattığı dolanık parçacık çiftini de Φ ile göstererek devreyi inceleyelim: Ψ = a 0 + b 1, Φ = 1 2 ( ) Şekil 5.3 (a) nın girdi kübitleri b ve c ye, başlangıç olarak 0 değerinin verildiği belirtilmişti (1). b kübiti Hadamard geçidinden geçirildiğinde, değeri (1/ 2) ( ) olacaktır (2). Süperpozisyon durumundaki bu kübit ile c girişindeki 0 kübiti CNOT geçidinden geçirilirse çıkışta dolanık bir çift kübit elde edilecektir (3). Bu kübitler ebit olarak ta adlandırılırlar. 0 0 = 00 (5.1.1) 00 H 1 (1/ 2) ( ) 0 = ( 1/ 2) 00 + (1/ 2) 10 (5.1.2) ( 1/ 2) ( ) CNOT (1/ 2) ( ) (5.1.3) Yani devrenin çıktısı; Φ = σ ρ = ( 1/ 2) ( ) olacaktır. Alice dolanık kübit çiftini yarattıktan sonra bunlardan birini (ρ) kuantum kanalı vasıtasıyla Bob a gönderir, diğerini ise sonraki işlemler için saklar.

35 b H σ Ψ H u c 3 ρ σ v (a) (b) Şekil 5.3 : Kuantum ışınlama devresinin göndericideki kısmı a) 1. bölüm, b) 2. bölüm 2. Adım : Alice dolanıklık yaratır. Alice, ışınlayacağı kübiti Bob a göndermeden önce, ilk adımda elde ettiği σ ebiti ile bu kübiti dolanık hale getirir. Bunun için de Şekil 5.3 (b) deki devreyi kullanır. Ψ σ = (a 0 + b 1 ) ( 1/ 2) ( ) = ( 1/ 2) (a a b b 111 ) (5.1.4) CNOT ( 1/ 2) (a a b b 101 ) (5.1.5) H1 (1/2) (a ( ) + b ( )) (5.1.6) Sonuç olarak, Alice in işlemleri bittiğinde, 3 kübitten oluşan sistem şu şekilde olacaktır: u v ρ = (1/2) ( 00 (a 0 +b 1 ) + 01 (a 1 +b 0 ) + 10 (a 0 -b 1 ) + 11 (a 1 -b 0 )) (5.1.7) 3. Adım : Alice ölçüm yapar. Alice son olarak en üstteki ve ortadaki kübitleri ölçer. Ölçüm sonrasında artık Alice in elinde 2 bitlik bir klasik değer vardır. Klasik bir

36 36 iletişim kanalıyla bu bilgiyi Bob a gönderir. İkinci adımda, Alice Bob a kuantum kanalı vasıtasıyla dolanık durumdaki bir kübiti göndermişti. Ölçümün sonucuna göre Bob ın elindeki dolanık kübitin değerinin de değişeceği unutulmamalıdır. Yani Alice ölçüm yaptığında ünlü EPR deneyi gerçekleşir ve Bob un kübiti, Alice in ölçüm sonucuna bağlı olarak uygun bir değere çökelir (örneğin; Alice in ölçümü 10 olursa, Bob ın elindeki kübit a 0 -b 1 değerini alır). Yapılan ölçümün diğer bir sonucu da Alice in Bob a gönderdiği değeri bilinmeyen Ψ kübitinin çökmesi ve böylece artık Alice in elindeki kübitin orijinal değerini kaybetmesidir. Böylece değeri bilinmeyen kübitlerin kopyalanamaması kuramı da çiğnenmemiş olur. 4. Adım : Bob ın işlemleri. Bob Alice ten klasik 2-bitlik veriyi aldığında, bu değerlere uygun u ve v kübitlerini oluşturarak, bunları zaten elinde tutmakta olduğu ρ ebiti ile birlikte devresine girdi olarak verir. Devrenin z çıktısı Alice in orijinal Ψ kübitine eşit olacaktır. Devrenin (Alice in ölçümüne bağlı olarak) 4 farklı girdisi olabileceğinden, her bir girdi dolayısıyla da her bir devre ayrı ayrı incelenmeyecektir. Teorik olarak Bob ın bu devreye gereksinimi de yoktur. Gelen klasik 2-bitin değerine bakarak, Çizelge 5.1 de bu değere karşılık gelen uygun birimcil işlemi u v kübitlerine uygulayarak, Ψ kübitini elde edebilir. Örneğin; Alice ölçüm sonucunda 2-bitlik 10 değerini bulmuş olsun. Yukarıda da belirtildiği gibi Bob ın elindeki kübit bu durumda a 0 -b 1 olacaktır. Çizelgede bu değere karşı gelen birimcil işlem ile kübit çarpıldığında, Bob Alice teki orijinal kübite sahip olur.

37 a * -b = a b Kısaca, Bob elindeki klasik bit değerine bakarak, kübite uygulayacağı birimcil işlemi belirler ve kübiti orijinal haline getirir. Çizelge 5.1 : Kuantum ışınlama işleminde, Bob ın elindeki kübite uygulayacağı birimcil işlemleri gösteren çizelge. Transfer Edilen Bitler Kübit İşlem a 0 + b a 1 + b a 0 - b a 1 - b Kuantum ışınlamayı gerçekleştirmede kullanılan devre oldukça basit bir yapıdadır. Buna rağmen bu uygulamayı uzun mesafelerde güvenilir ve kalıcı şekilde gerçekleştirmek zaman alacaktır. Kısa mesafeli ışınlama, özellikle bir kuantum bilgisayarı içinde ya da birden fazla kuantum bilgisayarı arasında kübit transferini gerçekleştirmeye olanak sağlayabilir (Brassard et al., 1998).

38 Kuantum Yoğun Kodlama Kuantum bilgi-işlemedeki ilginç uygulamalardan biri de yoğun kodlamadır. Kübitler, klasik bitleri transfer etmek için kullanılabilirler. Normal şartlarda izlenilen basit yol şöyledir: Gönderici, göndermek istediği klasik veri için uygun kübitleri hazırlayıp bir kuantum kanalından alıcıya gönderir. Alıcı da bu kübitler üzerinde ölçüm işlemini gerçekleştirip elde ettiği bilgiyi klasik hale dönüştürür. Fakat ilginç bir şekilde, 1 adet kübitle 2 bitlik klasik veri transferi mümkündür. Şekil 5.4 te yoğun kodlama işleminin nasıl gerçekleştiği görülmektedir. Alice ile Bob, aynen kuantum ışınlama uygulamasında olduğu gibi dolanık bir çift kübiti (ebit) paylaşmaktadır. Bu dolanık parçacık çiftini Φ ile gösterelim. Φ = (1/ 2) ( ) 2-bit klasik mesaj Alice 1-kübitlik kuantum kanalı Bob 2-bit klasik mesaj EPR çifti Şekil 5.4 : Yoğun kodlama işlemi. Alice elindeki 2 bitlik klasik verinin değerini ondalığa çevirir. Dolayısıyla bu değer 0, 1, 2 veya 3 olacaktır. Bu değere bağlı olarak elindeki ebite Çizelge 5.2 de verilen işlemlerden birini uygular.

39 39 Çizelge 5.2 : Yoğun kodlama işleminde, Alice in elindeki kübite uygulayacağı birimcil işlemleri gösteren çizelge. Ondalık Değer İşlem Yeni durum 1 0 (1/ 2) ( ) (1/ 2) ( ) (1/ 2) ( ) (1/ 2) ( ) Alice uygun işlemi gerçekleştirdikten sonra elindeki kübiti Bob a kuantum kanalından gönderir. Bob Alice ten gelen kübiti aldıktan sonra, bunu ve kendi elindeki dolanık çiftin diğer üyesi olan kübiti CNOT geçidinden geçirir. Bu işlemin sonucu Çizelge 5.3 te gösterilmiştir. Çizelge 5.3 : Bob ın elindeki kübitlere CNOT işleminin uygulanması. Başlangıç Durumu CNOT 1. bit 2. bit (1/ 2) ( ) (1/ 2) ( ) (1/ 2) ( ) 0 (1/ 2) ( ) (1/ 2) ( ) (1/ 2) ( ) 1 (1/ 2) ( ) (1/ 2) ( ) (1/ 2) ( ) 1 (1/ 2) ( ) (1/ 2) ( ) (1/ 2) ( 0-1 ) 0 Alice ten gelen kübite bağlı olarak Bob ın elinde bulunan dolanık kübit çifti çizelgenin ilk sütununda verilmiştir. Bu kübit çiftine CNOT

40 40 geçidi uygulandıktan sonra ilk kübitin süperpozisyon durumunda kalacağı, diğerinin ise 0 veya 1 değerini alacağı görülmektedir. Yani Bob bu noktada ikinci kübiti ölçebilir, zira bu ölçüm herhangi bir süperpozisyon durumunu bozmayacak ve çökmeye neden olmayacaktır. Bob ın ölçümü sonucunda 0 bulunursa, klasik veri 0 veya 3 demektir. 1 bulunursa da klasik veri 1 veya 2 dir. Bob gerekli ayrımı yapabilmek için ilk kübiti Hadamard geçidinden geçirir. Çizelge 5.4 : Bob ın elindeki ilk kübite Hadamard işleminin uygulanması. Başlangıç Durumu İlk bit Hadamard (İlk bite) (1/ 2) ( ) (1/ 2) ( ) 0 (1/ 2) ( ) (1/ 2) ( ) 0 (1/ 2) ( ) (1/ 2) ( ) 1 (1/ 2) ( ) (1/ 2) ( 0-1 ) 1 Bob, Hadamard işleminden sonra ilk kübiti ölçerek Alice teki klasik bitin değerini belirleyebilir. Örneğin; ilk ölçüm sonucunda 0, ikinci ölçüm sonucunda da 1 bulunmuşsa Alice in elinde, ondalık 3 değerine karşılık gelen 11 bitleri bulunmaktadır. Sonuç olarak Bob, birer tane CNOT ve Hadamard geçidi kullanarak ve 2 adet te ölçüm işlemi yaparak Alice in klasik bitlerine sahip olacaktır.