SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II KUYRUK TEORİSİ - I DERS NOTLARI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II KUYRUK TEORİSİ - I DERS NOTLARI"

Transkript

1 SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II KUYRUK TEORİSİ - I DERS NOTLARI

2 KUYRUK TEORİSİ Her birimiz kuyruklarda bekleyerek vakit geçirmişizdir. Bu derste kuyruklarlarla ilgili matematisel model geliştireceğiz. Kuyrukları tarifte kullanılan terminolojiden bahsedeceğiz. Kuyrukları tarifte gereken bazı dağılımlara (Üstel ve Erlang gibi) değineceğiz. Doğum-ölüm proseslerinden bahsedeceğiz. Aşağıdaki soruları cevaplarken kullanılan bazı kuyruk modellerini göreceğiz. Kuyruk analizi yaparken aşağıdaki sorulara cevap arayabiliriz: 1. Her bir servisçi nin boş kalma yüzdesi nedir? 2. Kuyrukta bekleyen ortalama müşteri sayısı nedir? 3. Müşterinin kuyrukta ortalama geçirdiği süre nedir? 4. Kuyrukta aktif olarak var olan müşteri sayısının olasılık dağılımı nedir? 5. Müşterinin bekleme süresinin olasılık dağılımı nedir? 6. Eğer banka yöneticisi sadece %1 müşterinin 5 dakikadan fazla beklemesine razı olursa ne kadar servisçi çalıştırılmalıdır?

3 BAZI KUYRUK TERMİNOLOJİSİ Kuyruk sistemini tarif etmek için girdi ve çıktı süreçlerinin belirlenmesi gerekir. Bazı girdi ve çıktı prosesleri aşağıda tablo 1 de verilmiştir. DURUM GİRDİ PROSESİ ÇIKTI PROSESİ Banka Pizza Salonu Hastane Kan Bankası Bankaya Müşterilerin Gelmesi Alınan Pizza siparişleri Gelen ünite kan Servisçilerin müşterilere hizmeti Pizza salonu teslimat için servisçi gönderir Hastalar ünite kanları kullanır Bozulup tersaneye Donanma tersanesi gelen gemiler Tablo 1: Kuyruk Sitemi Örnekleri Gemiler onarılır ve denize döner

4 GİRDİ VEYA GELİŞ SÜRECİ Girdi Süreci genellikle geliş süreci olarak bilinir. Gelişler müşteri diye adlandırılır. Bütün modellerde verilen bir anda en fazla bir müşteri (tek olarak veya toplu olarak) gelebilmektedir. Eğer gelişte birden fazla müşteri varsa o zaman yine verilen anda yalnızca bir tane toplu müşteri gelir kabul etmekteyiz. Genellikle Müşterilerin Geliş Süreci sistemdeki müşteri sayısından etkilenmemektedir. Banka örneğinde sistemde 5 tane yada 500 tane müşteri olması geliş sürecini etkilemez. Bazı durumlarda müşteri geliş prosesi sistemdeki müşteri sayısından etkilenmektedir. Bazen müşteri popülasyonu küçüktür ve sistemdeki müşteri sayısı gelişi etkiler. Örneğin 4 gemiden oluşan bir donama varsa ve 4 gemi tamir ediliyorsa o zaman yeni bozulma olmaz. Yada 4 gemi denizde ve tersane de gemi yoksa o zaman bozulma oranı daha fazla olur. Eğer gelişler sınırlı bir popülasyondan oluşuyorsa bu modeller sınırlı kaynak modelleri olarak bilinir. Bazende müşteriler kalabalık sisteme daha az girmek isteyebilir böyle durumda da geliş süreci sistemdeki müşteri sayısından etkilenmektedir. Eğer geliş süreci sistemdeki mevcut müşteri sayısından etkilenmiyorsa, o zaman gelişler arası süreyi genellikle bir olasılık dağılımıyla ifade ederiz.

5 ÇIKTI VEYA SERVİS SÜRECİ (PROSESİ): Bir kuyruğun çıktı sürecini (çoğunlukla servis süreci olarak adlandırılır) tarif ederken bir olasılık dağılımı (Servis zamanı dağılımı) belirleriz. Bu dağılım müşteriye servis zamanını belirler. Pek çok durumda servis zamanı dağılımı mevcut müşteri adedinden bağımsızdır. Bu eğer fazla müşteri varsa servisçinin daha hızlı çalışmadığı anlamına gelir. Bu derste servisçilerin iki tip düzenini çalışacağız. Servisçiler paralel veya seri halde çalışabilirler. Servisçiler paralelse (Örneğin marketteki kasiyerler) aynı hizmeti vermektedirler ve müşteriler herhangi bir paralel servisçiden hizmet alabilir. Servisçiler seri çalışıyorsa o zaman gerekli hizmetler seri görülmesi gereken bir takım hizmetlerdir. Montaj hattı seri halinde servisçilerin olduğu kuyruk sistemidir.

6 KUYRUK DİSİPLİNİ Kuyruk sistemini tam anlamıyla tarif etmek için, kuyruk disiplinini ve müşterilerin kuyruğa dahil olma şeklini tarif etmemiz gerekmektedir. Kuyruk Disiplini müşterilerin servis görme sırasına karar vermede kullanılan metodu tarif eder. En yaygın kuyruk disiplini FCFS (İlk gelen ilk hizmet görür = First Come, First Served) disiplinidir. Diğer bir disiplin LCFS (Son gelen ilk hizmet görür = Last Come, First served) disiplinidir. Bankaya gelen müşteriler FCFS disiplinine göre hizmet verirken, yıkanmak için tezgahta yığılan tabaklar LCFS disiplinine göre hizmet görür. Diğer bir disiplin SIRO (Hizmet Rassal sırada görülür = Service in Random Order) disiplinidir. Diğer bir disiplin Önceliğe göre sıralama disiplinidir (Priority queuing disciplines). Öncelik disiplininde gelişler öncelik derecelerine göre sınıflara ayrılır ve her bir kategori FCFS disiplinini ayrıca kullanabilir. SPT (En kısa işlem zamanı= Shortest Processing time) Oldukça yaygın olarak kullanılan yöntemdir. Müşterilere başka yöntemlere görede öncelik verilir ve önceliği en yüksek olan müşteri ilk işlem görür. Hastanedeki hastalar acil olma durumuna göre sınıflara ayrılabilir ve en acil olanlar en yüksek önceliği alabilir. Kategori içerisinde FCFS disiplini kullanılabilir. Yazıcı ve bilgisayarın zamanpaylaştırma sistemi önceliğe göre sıralama yöntemi olabilir. Yada Atölye tipi üretimde işler makine önünde pek çok yöntemle hesaplanabilen yollardan biriyle öncelik değeri verilebilir ve önceliği en yüksek iş ilk işlem görür.

7 GELİŞLERDE KUYRUĞA DAHİL OLMADA KULLANILAN METODLAR Müşteriler kuyruğa geldiklerinde bazen sistemde tek bir kuyruk olabilir ve müşteriler bu kuyruğa dahil olmak zorundadır. Bazı sistemlerde birden fazla kuyruk olabilir ve müşteriler en kısa gördükleri kuyruğa girebilir ve hatta gerekli görürlerse kuyruk değiştirebilirler.

8 GELİŞ VE SERVİS SÜRECİNİ MODELLEME GELİŞ SÜRECİNİ MODELLEME Daha önce bahsettiğimiz gibi tek olarak (yada toplu olarak) verilen bir anda yalnızca bir müşteri (Toplu halde müşteriler = Kasalar halinde işlem görmeye gelen parçalar gibi) gelir. ti i inci müşterinin gelişi olsun t1=3 t2=8 t3=15 T1=8-3=5 T2=15-8=7 i>=1 için Ti =t(i+1) ti olsun. (Ti i inci gelişler arası süre olsun) Gelişler sürecini modellerken i Ti lerin bağımsız ve sürekli rassal değişken olduğunu kabul ederiz. Bağımsızdan maksat örneğin T2 nin, T3 ve T4 üzerine etkisi yoktur. Sürekli rassal değişkenden maksat Ti değerleri kesirli sayılar olabilir. Örneğin 1 inci gelişler arası süre 1,55 dakika olabilir.

9 Gelişler arası süre rassal değişkendi ve hepsi aynı rassal değişkendir. Bu gelişler arası dağılımın günün hangi zamanı veya haftann hangi günü olmasından bağımsızdır. Bu gelişlerarası süresin stasyoner (sabit) olması anlamına gelir. Gerçek hayatta stasyoner varsayımı bazen geçersiz olur. Örneğin trafikte iş saaatleri yoğunluk fazla olabilmektedir. Bu durumda zamanı parçalara bölüp her bir parçayı ayrı ayrı tanımlayıp yaklaşık olarak her bir parçanın stasyoner olduğunu varsayabiliriz. Gelişler arası süreyi A dağılımı ile ifade edersek : A nın olasılık yoğunluk fonksiyonu a(t) olsun. O zaman; P (A <= c) = 0 c a t dt ve P (A > c) = c a t dt olur 1/λ ortalama gelişler arası süre olsun. Eğer zaman saat olarak ölçülüyorsa o zaman 1/λ ortalama herbir gelişler arası sürenin saat miktarıdır. λ ise 1 saat içerisinde ortalama geliş miktarı olur. 1/λ = 0 ta t dt olur.

10 Eğer A üstel dağılımsa ki pek çok durumda gelişlerarası süreyi modellerken üstel dağılımı kullanırız. O zaman a(t)= λ e λt olur. E(A) = 1/ λ ve Var(A) = 1 λ 2 olur. Aşağıda üstel dağılımın grafiği verilmiştir. a(t)= λ e λt λ 6 5 Üstel Dağılım grafiği λ e λt t

11 ÜSTEL DAĞILIMIN UNUTKANLIK (HAFIZASIZLIK) ÖZELLİĞİ Üstel dağılımın unutkanlık özelliği olduğundan dolayı çok sık kullanılan bir dağılımdır. 0 zamanında bir gelişler arası süre düşünelim. Bu sürenin h den büyük olma olasılığını düşünelim. Şimdi t kadar zaman geçtiğini ve geliş olmadığını düşünelim. İlk gelişin (t+h) den büyük olma olasılığını düşünelim. Yukarıdaki iki olasılıkta üstel dağılımın unutkanlık özelliğinden dolayı aynıdır. Bu durumu şu şekilde ifade edebiliriz. P(A > t + h / A >=t) = P (A > h) Bu durumun ispatı aşağıda verilmiştir.

12 LEMMA 1: P(A > t + h / A >=t) = P (A > h) (5) İSPAT: P (A >h) = h λ e λt dt = e λh (6) ise P(A > t + h / A >=t) = P(A > t + h A >=t) P (A >t) (6) yı kullanırsak P(A > t + h A >=t) = e λ(t+h) ve P (A >t)= e λt olur. Böylece P(A > t + h / A >=t) = e λ(t+h) e λt = e λh = P(A>h) ispat tamamlanmış olur. Örneğin P (A>9/A>=5) = P (A>7/A>=3) = P (A>6/A>=2) = P (A>4/A>=0) = P (A>4) = e 4λ

13 POISSON DAĞILIMI İLE ÜSTEL DAĞILIM ARASINDAKİ İLİŞKİ Eğer gelişlerarası süre üstel dağılıma uyuyorsa, t uzunluğundaki bir zaman diliminde gerçekleşen geliş sayısı poisson dağılıma uyar. TEOREM 1 : Eğer gelişler arası süre λ parametresiyle üstel dağılıma uyuyorsa, verilen bir zaman uzunluğunda (t kadar zamanda) geliş sayısı λt parametreli poisson dağılıma uyar. Kesikli rassal değişken N, aşağıdaki koşulu sağlıyorsa λ parametresiyle poisson dağılıma sahiptir. P(N=n) = λn e λ n! (n= 0, 1,2.) (7) Eğer N poisson dağılımı ise E(N) = Var N = λ olur. Eğer N t t uzunluğundaki bir sürede geliş sayısı ise Teorem 1 e göre P(N t =n) = (λt)n e λt n! (n= 0, 1,2.) olur. N t (λt) parametresi ile poisson dağılımına uyduğu için E(N t ) = Var N t = λt

14 Ortalama olarak t kadar zamanda λt geliş olduğundan dolayı birim zamanda λ kadar geliş olmaktadır. Böylece λ birim zamanda olan geliş adedi olarak yada geliş hızı olarak düşünülebilir. Gelişler arası sürenin üstel (eksponensiyel) dağılması için aşağıdaki iki varsayımın sağlanması gerekir 1) Kesişmeyen zaman dilimlerindeki gelişler bağımsızdır. Örneğin 1 ile 10 zamanındaki gelişlerle 30 ile 50 arası zamanındaki gelişler bağımsızdır. 2) Küçük bir zaman dilimi Δt (ve herhangi bir t değeri için) süresince a) 1 geliş olma ihtimali: λ Δt + o(δt) olur b) Geliş olmama ihtimali : 1- (λ Δt + o(δt) ) olur c) Birden fazla geliş olma ihtimali : o(δt) olur o(δt) aşağıdaki eşitliği sağlayan herhangi bir miktardır. lim o(δt)/δt = 0 dır. Yani pratik olarak 1 geliş olma ihtimali λ Δt, hiç geliş Δt 0 olmama ihtimali 1- λ Δt ve 1 den fazla geliş ihtimali 0 olur.

15 TEOREM 2: Eğer varsayım 1 ve 2 sağlanırsa o zaman N t, λt parametresiyle poisson dağılımına uyar ve gelişler arası süre λ parametresiyle üstel dağılıma uyar. a(t)= λ e λt ÖRNEK 1: Kahve Dünyasında bir saatte sipariş verilen kahve, ortalaması saatte 30 kahve olan poisson dağılımına uymaktadır. a) Saat 10:00 ile 12:00 arasında 60 tane kahve siparişi verilmesinin olasılığı nedir? b) Saat 10:00 ile 14:00 arasında sipariş verilen kahvelerin ortalaması ve standart sapması nedir? c) İki sipariş arasındaki sürenin 1 ile 3 dak. Arasında olması ihtimali nedir?

16 ÇÖZÜM 1: a) 10:00 ile 12:00 arasında sipariş verilen kahve miktarı λt =2*30 = 60, parametre= λt=60 ile poisson dağılıma uyar. Bu süre zarfında 60 kahve siparişi verilmesinin olasılığı P(N t =n) = (λt)n e λt P(N n! t =60) = (60)60 e 60 olur 60! b) λ =30 Kahve/saat t=4 saattir. Eğer N poisson dağılımı ise E(N) = Var N = λ olur. Eğer süre 1 birim süre (saat) den farklı ise; Sorumuzda süre 4 saattir o zaman Eğer N t poisson dağılımı ise E(N t ) = Var N t = λt olur. 10:00 ile 14:00 arası sipariş verilen kahve ortalaması E(N t ) = λt =4*30 = :00 ile 14:00 arası sipariş verilen kahvenin standart sapması Var N t = λt = 4*30 = 120 Standart Sapma = (Var N t ) 1/2 = (120) 1/2 =10.95

17 ÇÖZÜM 1: c) X ardışık iki sipariş arasındaki zamanı (dakika) ifade etsin. Dakika başına ortalama sipariş 30/60=0,5 kahve/dak parametresi ile poisson dağılımına uyar. İki geliş (sipariş) arasındaki süre ise X(t)= 0,5 e 0,5t üstel dağılımına uyar. P(1<= X <= 3) = 1 3 0,5 e 0,5t dt = e 0,5 - e 1,5 = 0.38

18 ERLANG DAĞILIMI : Gelişlerarası süre üstel gibi gözükmüyorsa sıklıkla Erlang dağılımıyla modellenebilir. Erlang dağılımı iki parametreden oluşan sürekli bir dağılımdır. Erlang dağılımını T ile ifade edersek, olasılık yoğunluk fonksiyonu f(t) oran(hız) parametresi R ve şekil parametresi k (k pozitif bir tamsayı olmalıdır) ile tarif edilir. R ve k değerleri verildiğinde Erlang olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olur f(t)= R(Rt)k 1 e Rt (t>=0) Bu fonksiyonun parçalı integralini alarak Erlang k 1! dağılımının beklenen değer ve varyansını aşağıdaki gibi bulabiliriz. E(T) = k R Var(T) = k R 2 Eğer şekil parametresini k ve oran parametresini kλ olarak düşünürsek Erlang dağılımının bağımsız ve aynı k tane üstel dağılımın toplamı olduğunu görürüz Eğer A i kλ parametresi ile tarif edilen bir üstel dağılımsa o zaman T = A 1 + A A k erlang dağılımdır (A 1, A 2,,A k dağılımları tıpatıp aynı üstel dağılımlardır ve her birinin parametresi kλ dır)

19 Burada Erlang dağılımın seri olarak k fazdan oluşan bir durum olarak düşünebiliriz. Örneğin müşteri gelişi k fazdan oluşan bir geliş veya müşteriye hizmet k fazdan oluşan bir hizmet olarak düşünülebilir. Her bir faz unutkanlık özelliği olan bir üstel dağılımdır ve her bir faz tıpatıp aynı üstel dağılım olup parametreleri kλ dir. Aşağıda k fazlı bir servis gösterilmiştir. K fazlı geliş içinde benzer şekil düşünülebilir. Şekil 5: Erlang Servis zamanının Gösterimi (k fazlı) Not: k fazlı gelişte benzer şekilde gösterilebilir

20 Şekil 3: Erlang Dağılımları için olasılık yoğunluk fonksiyonları AÇIKLAMA: k=1 olduğunda(tek faz olduğunda) Erlang dağılımı üstel dağılım aynı olur. k=1 olduğunda Erlang dağılımı paremetresi R olan bir üstel dağılımdır. k arttıkça erlang dağılımı simetrik bir yapıya dönüşmeye başlar normal dağılımı andıran bir şekle dönüşmeye başlar. Çok büyük k değeri için varyansı 0 olan bir yapıya erişir (Gelişlerarası süre sabit olan bir durum gibi). Şekilde görüldüğü gibi Erlang dağılımı küçük k lar için çarpık ve büyük k lar için simetrik bir yapıya dönüşür.

21 SERVİS SÜRECİNİ MODELLEME Her bir müşterinin servis zamanlarının bağımsız rassal değişkenler olduğunu kabul edelim ve her bir müşterinin servisi süresini olasılık yoğunluk fonksiyonunun s(t) olan S rassal değişkeniyle belirlendiğini kabul edelim. Eğer 1/μ bir müşteri için ortalama servis zamanıysa o zaman; 1/μ = 0 ts t dt olur. 1/μ müşteri başına zaman birimi (saat) sayısı; μ ise birim zaman (saat) başına müşteri sayısını ifade eder. Gelişlerarası sürede olduğu gibi servis süreleri de üstel dağılımla modellenebilir. Eğer servis süreleri üstel dağılım fonksiyonu s(t)= μ e μt izlerse o zaman müşterilerin ortalama servis süresi 1/ μ olur. Şekil 4: Üstel Dağılım (Servis süreleri)

22 Şekil 5: Erlang Servis zamanının Gösterimi (k fazlı) Not: k fazlı gelişte benzer şekilde gösterilebilir Bazen servis süreleri unutkanlık (hafızasızlık) özelliği taşımaz. Bu nedenle sıklıkla Servis sürelerini Erlang dağılımıyla ifade ederiz. Yukarıda k fazlı servisi gösteren Erlang dağılımı verilmiştir. Pek çok durumda gelişlerarası süre ve servis süreleri varyansı 0 olacak şekilde modellenebilir. Bu durumda süreler deterministiktir. Gelişlerarası süre 1/λ ve servis süresi 1/μ olur

23 KUYRUK SİSTEMLERİNDE KENDALL-LEE NOTASYONU Şekil 6: Tek-kuyruk ve paralel servisçilerin olduğu sistem Kuyruk sistemini Kendall (1951) aşağıdaki notasyonla tarif etmiştir. Her bir kuyruk sistemi altı özellikle tarif edilir. 1/2/3/4/5/6 1/ Birinci özellik geliş sürecini ifade eder. Aşağıdaki standart kısaltmalar kullanılmaktadır. M = Gelişlerarası süre bağımsız, benzer dağılan (bbd = iid independent identically distributed) rassal değişken olup üstel dağılmaktadır. D = Gelişlerarası süre bbd olup deterministiktir E k = Gelişlerarası süre bbd Erlang dağılımı olup şekil parametresi k dır. GI = Gelişlerarası süre bbd olup bazı genel dağılıma uymaktadır.

24 Kuyruk sistemini Kendall (1951) aşağıdaki notasyonla tarif etmiştir. Her bir kuyruk sistemi altı özellikle tarif edilir. 1/2/3/4/5/6 /2/ İkinci özellik servis sürecini ifade eder. Aşağıdaki standart kısaltmalar kullanılmaktadır. M = Servis süresi bağımsız, benzer dağılan (bbd = iid independent identically distributed) rassal değişken olup üstel dağılmaktadır. D = Servis süresi bbd olup deterministiktir E k = Servis süresi bbd Erlang dağılımı olup şekil parametresi k dır. G = Servis süresi bbd olup bazı genel dağılıma uymaktadır.

25 Kuyruk sistemini Kendall (1951) aşağıdaki notasyonla tarif etmiştir. Her bir kuyruk sistemi altı özellikle tarif edilir. 1/2/3/4/5/6 /3/ Üçüncü özellik paralel servisçi sayısını göstermektedir. /4/ Dördüncü özellik kuyruk disiplinini tarif etmektedir. FCFS = İlk gelen ilk hizmet görür (First Come, First Served) LCFS = Son gelen ilk hizmet görür (Last Come, First Served) SIRO = Servis rassal sıraya göre yapılır (Service in Random Order) GD = Genel kuyruk disiplini (General Queue Discipline) /5/ İzin verilen maksimum müşteri sayısı ( Hem kuyrukta hem de hizmet gören) /6/ Müşterilerin geldiği popülasyonun büyüklüğü Pek çok modellerde 4/5/6 GD/ / olduğundan böyle durumlarda açıkça gösterilmeyebilirler.

26 BAZI KUYRUK SİSTEMİ MODELLERİ M/E 2 /8/FCFS/10/ bu model bir kliniği ifade ediyor olabilir. 1/ Gelişler arası süre üstel dağılmaktadır /2/ Servis süreci iki fazlı erlang dağılımına uymaktadır /3/ 8 tane doktoru temsil etmektedir /4/ Kuyruk disiplini FCFS dir /5/ Sistemin kapasitesi 10 hastadır /6/ Müşterilerin geldiği popülasyonun büyüklüğü sonsuz kabul edilir. M/M/3/FCFS/10/100 1/ Gelişler arası süre üstel dağılmaktadır /2/ servis süresi üstel dağılmaktadır /3/ 3 tane servisçiyi temsil etmektedir /4/ Kuyruk disiplini FCFS dir /5/ Sistemin kapasitesi 10 müşteridir /6/ Müşterilerin geldiği popülasyonun büyüklüğü 100 dür.

27

KUYRUK TEORİSİ (BEKLEME HATTİ MODELLERİ) Hazırlayan: Özlem AYDIN

KUYRUK TEORİSİ (BEKLEME HATTİ MODELLERİ) Hazırlayan: Özlem AYDIN KUYRUK TEORİSİ (BEKLEME HATTİ MODELLERİ) Hazırlayan: Özlem AYDIN GİRİŞ Bir hizmet için beklemek günlük yaşantının bir parçasıdır. Örneğin, restoranlarda yemek yemek için bekleme, hastanelerdeki hasta kuyruğunda

Detaylı

KUYRUK TEORİSİ II DOĞUM-ÖLÜM SÜRECİ

KUYRUK TEORİSİ II DOĞUM-ÖLÜM SÜRECİ SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II KUYRUK TEORİSİ II DOĞUM-ÖLÜM SÜRECİ DERS NOTLARI DOĞUM-ÖLÜM SÜRECİ Kuyruk sistemindeki t zamanındaki müşteri sayısını kuyruk sisteminin

Detaylı

Notasyonlar ve Genel Kurallar

Notasyonlar ve Genel Kurallar Notasyonlar ve Genel Kurallar BSM 445 Kuyruk Teorisi Güz 2014 Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık Bir kuyruğun temel bileşenleri 1. Varış Prosesi 6. Servis disiplinleri 2. Servis zamanı dağılımı 4. Bekleme yerleri

Detaylı

Bekleme Hattı Teorisi

Bekleme Hattı Teorisi Bekleme Hattı Teorisi Sürekli Parametreli Markov Zincirleri Tanım 1. * +, durum uzayı * +olan sürekli parametreli bir süreç olsun. Aşağıdaki özellik geçerli olduğunda bu sürece sürekli parametreli Markov

Detaylı

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ Üstel Dağılım Normal Dağılım 1 Üstel Dağılım Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin

Detaylı

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ YTÜ-İktisat İstatistik II Merkezi Limit Teoremi 1 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ CENTRAL LIMIT THEOREM X 1,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun.

Detaylı

19.11.2013 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Sürekli Dağılımlar (2) Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar.

19.11.2013 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Sürekli Dağılımlar (2) Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar. 9..03 EME 305 SİSTEM SİMÜLASYONU Simulasyonda İstatistiksel Modeller-II Ders 5 Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar Sürekli Düzgün (Uniform) Dağılım Normal Dağılım Üstel (Exponential)

Detaylı

Kuyruk Sistemlerinin Benzetimi. KUYRUK & BEKLEME HATTI SİSTEMLERİ Genel nüfus Bekleme hattı Sunucu

Kuyruk Sistemlerinin Benzetimi. KUYRUK & BEKLEME HATTI SİSTEMLERİ Genel nüfus Bekleme hattı Sunucu Kuyruk Sistemlerinin Benzetimi KUYRUK & BEKLEME HATTI SİSTEMLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI Genel nüfus Bekleme hattı Sunucu Genel nüfus Kuyruğa giriş ve hizmetlerin yapısı Sistemin kapasitesi Kuyruk disiplini

Detaylı

9/22/2014 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Giriş. Tek Kanallı Kuyruk Sistemi. Kuyruk Sistemlerinin Simulasyonu. Simulasyon Örnekleri Ders 2

9/22/2014 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Giriş. Tek Kanallı Kuyruk Sistemi. Kuyruk Sistemlerinin Simulasyonu. Simulasyon Örnekleri Ders 2 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU Simulasyon Örnekleri Ders Giriş Bu derste bilgisayar yardımı olmaksızın çalıştırılabilen birkaç simulasyon örneği verilmiştir. Bu örnekler size sistem simulasyonu metodolojisini

Detaylı

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@ankara.edu.tr 10 KASIM 2017 1. HAFTA 1 Kuyruk Teorisi: Giriş Bir hizmete olan talep arrtıkça talebi karşılamak için hizmeti

Detaylı

Yönetimde Karar Verme Teknikleri

Yönetimde Karar Verme Teknikleri SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Yönetimde Karar Verme Teknikleri Hafta 0 Yrd. Doç. Dr. Harun R. YAZGAN Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi ne aittir. "Uzaktan Öğretim" tekniğine

Detaylı

BENZETİM. Prof.Dr.Berna Dengiz. 4. Ders Modelleme yaklaşımları Benzetim yazılımlarında aranan özellikler M/M/1 Kuyruk Sistemi benzetimi

BENZETİM. Prof.Dr.Berna Dengiz. 4. Ders Modelleme yaklaşımları Benzetim yazılımlarında aranan özellikler M/M/1 Kuyruk Sistemi benzetimi Prof.Dr.Berna Dengiz 4. Ders Modelleme yaklaşımları Benzetim yazılımlarında aranan özellikler M/M/1 Kuyruk Sistemi benzetimi BENZETİM DİLLERİNDE MODELLEME YAKLAŞIMLARI Tüm benzetim dilleri; ya olay-çizelgeleme

Detaylı

ENM 316 BENZETİM DERS 3 KUYRUK SİSTEMİ. Operasyon yönetiminde önemli bir alana sahiptir.

ENM 316 BENZETİM DERS 3 KUYRUK SİSTEMİ. Operasyon yönetiminde önemli bir alana sahiptir. ENM 316 BENZETİM DERS 3 KUYRUK SİSTEMİ Kuyruk sistemleri, Operasyon yönetiminde önemli bir alana sahiptir. Üretimde, atölye çevresi kuyruk şebekelerinin karmaşık bir ilişkisi olarak düşünülebilir. Bir

Detaylı

Tesadüfi Değişken. w ( )

Tesadüfi Değişken. w ( ) 1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere

Detaylı

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME SORU 1: Bir hasar sıklığı dağılımının rassal değişken olan ortalaması (0,8) aralığında tekdüze dağılmaktadır. Hasar sıklığı dağılımının Poisson karma dağılıma uyduğu bilindiğine göre 1 ya da daha fazla

Detaylı

SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN

SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ Günümüz simülasyonları gerçek sistem davranışlarını, zamanın bir fonksiyonu olduğu düşüncesine dayanan Monte Carlo yöntemine dayanır. 1.

Detaylı

IE 303T Sistem Benzetimi

IE 303T Sistem Benzetimi IE 303T Sistem Benzetimi 1 L E C T U R E 5 : O L A S I L I K T E K R A R 2 Review of the Last Lecture Random Variables Beklenen Değer ve Varyans Moment Kesikli Dağılımlar Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı

Detaylı

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@ankara.edu.tr 10 KASIM 2017 5. HAFTA 2.7 M/M/1/ / sistemi için Bekleme zamanının dağılımı ( ) 1 T j rastgele değişkeni j. birimin

Detaylı

WEIBULL DAĞILIMI WEIBULL DAĞILIMI ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

WEIBULL DAĞILIMI WEIBULL DAĞILIMI ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ SÜREKLİ DAĞILIMLAR-2 DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 WEIBULL DAĞILIMI Weibull dağılımı, pek çok farklı sistemlerin bozulana kadar geçen süreleri ile ilgilenir. Dağılımın

Detaylı

Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları

Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Rastgele değişken kavramı Kesikli ve sürekli rastgele değişkenler İki boyutlu rastgele değişkenler Beklenen değer Varyans Örnek uzaydaki her elemanı bir sayıyla

Detaylı

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Sürekli verilerin göstermiş olduğu dağılışa sürekli olasılık dağılışı denir. Sürekli olasılık dağılışlarının fonksiyonlarına yoğunluk fonksiyonu denilmekte ve bu dağılışlarla

Detaylı

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.

Detaylı

Rastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Rastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler Rastgele Değişkenlerin Dağılımları Mühendislikte İstatistik Yöntemler Ayrık Rastgele Değişkenler ve Olasılık Dağılımları Yapılan çalışmalarda elde edilen verilerin dağılışı ve dağılış fonksiyonu her seferinde

Detaylı

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@ankara.edu.tr 10 KASIM 2017 14. HAFTA 8 Tek kanallı, Sonsuz Kapasiteli, Servis Süreleri Keyfi Dağılımlı Kuyruk Sistemi M/G/1/

Detaylı

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01 Ortak Varyans ve İstatistiksel Bağımsızlık Bir rassal değişken çifti istatistiksel olarak bağımsız ise aralarındaki ortak varyansın değeri 0 dır. Ancak ortak varyans değerinin 0 olması, iki rassal değişkenin

Detaylı

1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:5 Rassal Değişken Üretimi

1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:5 Rassal Değişken Üretimi 1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN Ders No:5 RASSAL DEĞIŞKEN ÜRETIMI Bu bölümde oldukça yaygın bir biçimde kullanılan sürekli ve kesikli dağılımlardan örneklem alma prosedürleri

Detaylı

KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ ÖRNEKLER BİR KUYRUK SİSTEMİNİN ÖRNEKLER

KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ ÖRNEKLER BİR KUYRUK SİSTEMİNİN ÖRNEKLER KUYRUK SİSTEMİ VE SİSTEM SİMULASYONU 5. KUYRUK SİSTEMLERİ Bi kuyuk sistemi; hizmet veen bi veya biden fazla sevise sahipti. Sisteme gelen müşteile tüm sevislei dolu bulusa, sevisin önündeki kuyuğa ya da

Detaylı

Veri Ağlarında Gecikme Modeli

Veri Ağlarında Gecikme Modeli Veri Ağlarında Gecikme Modeli Giriş Veri ağlarındaki en önemli performans ölçütlerinden biri paketlerin ortalama gecikmesidir. Ağdaki iletişim gecikmeleri 4 farklı gecikmeden kaynaklanır: 1. İşleme Gecikmesi:

Detaylı

BAKIM-ONARIM İÇİN SIRADA BEKLEME (KUYRUK) MODELLERİ

BAKIM-ONARIM İÇİN SIRADA BEKLEME (KUYRUK) MODELLERİ GIRIŞ 2 BAKIM-ONARIM İÇİN SIRADA BEKLEME (KUYRUK) MODELLERİ D R. F E R H A T G Ü N G Ö R 1 Kuyruk teorisi; servis almak için oluşan kuyruk, sağlanan servis hizmetinden fazladır. Bunun çeşitli nedenleri

Detaylı

ENM 316 BENZETİM ÖDEV SETİ

ENM 316 BENZETİM ÖDEV SETİ ENM 16 BENZETİM ÖDEV SETİ Ödev 1. Bir depo ve N adet müşteriden oluşan bir taşımacılık sisteminde araç depodan başlayıp bütün müşterileri teker teker ziyaret ederek depoya geri dönmektedir. Sistemdeki

Detaylı

Simülasyonda İstatiksel Modeller

Simülasyonda İstatiksel Modeller Simülasyonda İstatiksel Modeller Amaç Model-geliştirici dünyaya deterministik değil olasıksal olarak bakar. İstatiksel modeller değişimleri iyi tanımlayabilir. İlgilenilen olayın örneklenmesi ile uygun

Detaylı

ARALIK TAHMİNİ (INTERVAL ESTIMATION):

ARALIK TAHMİNİ (INTERVAL ESTIMATION): YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmini I 1 ARALIK TAHMİNİ INTERVAL ESTIMATION): Nokta tahmininde ilgilenilen anakütle parametresine ilişkin örneklem bilgisinden hareketle tek bir sayı üretilir. Bir nokta

Detaylı

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir,

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir, 14. Binom ve Poisson olasılık dağılımları Faktöriyeller ve kombinasyonlar Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, n! denir ve n! = 1.2.3...(n-2).(n-l).n biçiminde gösterilir.

Detaylı

Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ Kuyruk Teorisi. Bölüm 1: Temel Kavramlar. Varışlar: Müşteriler sisteme belirli bir varış yapısında girerler

Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ Kuyruk Teorisi. Bölüm 1: Temel Kavramlar. Varışlar: Müşteriler sisteme belirli bir varış yapısında girerler Kuyruk Teorisi Bölüm 1: Temel Kavramlar KONU 8 Kuyruk Teorisi nin Bileşenleri Varışlar: Müşteriler sisteme belirli bir varış yapısında girerler Kuyrukta Bekleme : Müşteriler sırada veya sıralarda hizmet

Detaylı

Dr. Mehmet AKSARAYLI

Dr. Mehmet AKSARAYLI Dr. Mehmet AKSARAYLI Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir. Şans Değişkenleri KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli

Detaylı

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 3.6. Bazı Sürekli Dağılımlar 3.6.1 Normal Dağılım Normal dağılım hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılımdır. Normal dağılımın istatistikte önemli bir yerinin olmasının

Detaylı

Rassal Değişken Üretimi

Rassal Değişken Üretimi Rassal Değişken Üretimi Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI GİRİŞ Yaşadığımız ya da karşılaştığımız olayların sonuçları farlılık göstermektedir. Sonuçları farklılık gösteren bu olaylar, tesadüfü olaylar olarak adlandırılır.

Detaylı

RISK ANALIZI SINAVI WEB EKİM Kasko sigortasından çekilen beş hasarlı bir rassal örneklem aşağıdaki gibi verilmektedir:

RISK ANALIZI SINAVI WEB EKİM Kasko sigortasından çekilen beş hasarlı bir rassal örneklem aşağıdaki gibi verilmektedir: RISK ANALIZI SINAVI WEB EKİM 2017 SORU 1: Kasko sigortasından çekilen beş hasarlı bir rassal örneklem aşağıdaki gibi verilmektedir: 115 240 325 570 750 Hasarların α = 1 ve λ parametreli Gamma(α, λ) dağılıma

Detaylı

2016 YILI I.DÖNEM AKTÜERLİK SINAVLARI: SİGORTA MATEMATİĞİ. Soru 1

2016 YILI I.DÖNEM AKTÜERLİK SINAVLARI: SİGORTA MATEMATİĞİ. Soru 1 Soru Günde 8 saat çalışan bir bankanın müşterilerinin sayısı ile ilgili olarak şu bilgi verilmektedir: Müşteri sayısı, bankanın açıldığı an 9 müşteri ile başlayıp, her saat başı 9 oranı ile doğrusal artarak

Detaylı

Simülasyonda İstatiksel Modeller. Banks, Carson, Nelson & Nicol Discrete-Event System Simulation

Simülasyonda İstatiksel Modeller. Banks, Carson, Nelson & Nicol Discrete-Event System Simulation Simülasyonda İstatiksel Modeller Banks, Carson, Nelson & Nicol Discrete-Event System Simulation Amaç Model-geliştirici dünyaya deterministik değil olasıksal olarak bakar. İstatiksel modeller değişimleri

Detaylı

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı 1 Bernoulli Dağılımı Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte bernoulli

Detaylı

MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI

MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI DERS NOTLARI 1 Önceki derslerimizde pek çok geçişten sonra n-adım geçiş olasılıklarının

Detaylı

Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Detaylı

Faaliyet Faaliyet zamanı dağılımı A U(5, 8) B U(6, 15) U(10,20) U(4,20) U(12,25) U(15,30)

Faaliyet Faaliyet zamanı dağılımı A U(5, 8) B U(6, 15) U(10,20) U(4,20) U(12,25) U(15,30) ENM 316 BENZETİM ÖDEV SETİ Ödev 1. Bir projede A, B, C, D, E ve F olmak üzere 6 faaliyet vardır. Projenin tamamlanması için bu faaliyetlerin sırası ile yapılması gerekmektedir. Her faaliyetin tamamlanması

Detaylı

Poisson Dağılımı Özellikleri ve Olasılıkların Hesaplanması

Poisson Dağılımı Özellikleri ve Olasılıkların Hesaplanması Özellikleri ve Olasılıkların Hesaplanması Doç. Dr. Ertuğrul ÇOLAK Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı Poisson dağılımı kesikli dağılımlar içinde Binom dağılımından

Detaylı

KUYRUK TEORİSİ III KUYRUK SİSTEMLERİ

KUYRUK TEORİSİ III KUYRUK SİSTEMLERİ SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II KUYRUK TEORİSİ III KUYRUK SİSTEMLERİ DERS NOTLARI M/M/1/GD/c/ KUYRUK SİSTEMİ Geçen dersimizde sistemin kapasitesini sınırsız görmüştük.

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix C: İstatistiksel Çıkarsama Doç.

Detaylı

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME MAYIS 2015

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME MAYIS 2015 RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME MAYIS 2015 SORU 2: Motosiklet sigortası pazarlamak isteyen bir şirket, motosiklet kaza istatistiklerine bakarak, poliçe başına yılda ortalama 0,095 kaza olacağını tahmin

Detaylı

SÜREKLİ( CONTINUOUS) OLASILIK

SÜREKLİ( CONTINUOUS) OLASILIK SÜREKLİ( CONTINUOUS) OLASILIK DAĞILIMLARI Sürekli bir random değişken (a,b) aralığındaki her değeri alabiliyorsa bu değişkene ait olasılık dağılım fonksiyonunun grafiğinde eğri altında kalan alan bize

Detaylı

EME 3105 SISTEM SIMÜLASYONU. Giriş. Arena Ortamı. Simulasyon Dilleri

EME 3105 SISTEM SIMÜLASYONU. Giriş. Arena Ortamı. Simulasyon Dilleri EME 3105 SISTEM SIMÜLASYONU ARENA ya Giriş Lab-1 1 2 Giriş Bu derste ARENA ortamında modelleme yeteneklerini genel olarak tanıtmak için basit bir model sunulacaktır. Yrd.Doç.Dr.Beyazıt Ocaktan Simulasyon

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

NORMAL DAĞILIM. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına uyan rassal bir değişkense ve 'a gidiyorsa,

NORMAL DAĞILIM. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına uyan rassal bir değişkense ve 'a gidiyorsa, NORMAL DAĞILIM TEORİK 1., ortalaması, standart sapması olan bir normal dağılıma uyan rassal bir değişkense, bir sabitken nin beklem üreten fonksiyonunu bulun. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına

Detaylı

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi

Detaylı

MAT 208 İSTATİSTİK ve OLASILIK II ALIŞTIRMALAR-1

MAT 208 İSTATİSTİK ve OLASILIK II ALIŞTIRMALAR-1 MAT 208 İSTATİSTİK ve OLASILIK II ALIŞTIRMALAR-1 şeklinde tanımlanan dağılımın a) Ortalama ve varyans değerlerini bulunuz b) Moment yaratma fonksiyonunu bularak a-şıkkını tekrar çözünüz. Bir tezgahta üretilen

Detaylı

SİMULASYON MODELLEME VE ANALİZ. Giriş. Arena Ortamı. Simulasyon Dilleri HAFTA 2. Yrd.Doç.Dr.Beyazıt Ocaktan

SİMULASYON MODELLEME VE ANALİZ. Giriş. Arena Ortamı. Simulasyon Dilleri HAFTA 2. Yrd.Doç.Dr.Beyazıt Ocaktan SİMULASYON MODELLEME VE ANALİZ 1 2 Giriş Bu derste ARENA ortamında modelleme yeteneklerini genel olarak tanıtmak için basit bir model sunulacaktır. HAFTA 2 Yrd.Doç.Dr.Beyazıt Ocaktan Simulasyon Dilleri

Detaylı

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.

Detaylı

IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R

IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R Geçen Ders Envanter yonetımı: Gazetecı problemı Rastsal Rakamlar Üret Talebi hesapla Geliri hesapla Toplam maliyeti hesapla Günlük ve aylık

Detaylı

ENM 316 BENZETİM. Faaliyet Faaliyet zamanı dağılımı A U(5, 8) B U(6, 15) U(10,20) U(4,20) U(12,25) U(15,30)

ENM 316 BENZETİM. Faaliyet Faaliyet zamanı dağılımı A U(5, 8) B U(6, 15) U(10,20) U(4,20) U(12,25) U(15,30) ENM 316 BENZETİM ÖDEV 1: Bir projede A, B, C, D, E ve F olmak üzere 6 faaliyet vardır. Projenin tamamlanması için bu faaliyetlerin sırası ile yapılması gerekmektedir. Her faaliyetin tamamlanması için gereken

Detaylı

ENM 316 BENZETİM ÖDEV SETİ

ENM 316 BENZETİM ÖDEV SETİ ENM 316 BENZETİM ÖDEV SETİ ÖDEV 1: El ile Benzetim Bir depo ve 7 adet müşterisi olan bir taşımacılık sisteminde müşterilerden gelen siparişler araç ile taşınmaktadır. İki tür sipariş söz konusudur. Birincisi

Detaylı

Yapılan alan araştırması sonucunda aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. ( ) ( ) ( ) ( )

Yapılan alan araştırması sonucunda aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. ( ) ( ) ( ) ( ) İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK Rassal bir deneme yapılmakta ve farklı iki olay ile ilgilenilmektedir. A 1, A 2,,A i olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır. B 1, B 2,,B j olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır.

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ÖRNEK: GEOMETRİK DAĞILIM

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ÖRNEK: GEOMETRİK DAĞILIM ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ KESİKLİ DAĞILIMLAR-2 DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 GEOMETRİK DAĞILIM Bir Bernoulli deneyi ilk olumlu sonuç elde edilmesine kadar tekrarlansın. X: ilk olumlu sonucun

Detaylı

SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ

SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMLERİ KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ Bi kuyuk sistemi; hizmet veen bi veya biden fazla sevise sahipti. Sisteme gelen müşteile tüm sevislei dolu bulusa, sevisin önündeki kuyuğa

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

Girdi Analizi. 0 Veri toplama 0 Girdi sürecini temsil eden olasılık dağılımı belirleme. 0 Histogram 0 Q-Q grafikleri

Girdi Analizi. 0 Veri toplama 0 Girdi sürecini temsil eden olasılık dağılımı belirleme. 0 Histogram 0 Q-Q grafikleri Girdi Analizi 0 Gerçek hayattaki benzetim modeli uygulamalarında, girdi verisinin hangi dağılımdan geldiğini belirlemek oldukça zor ve zaman harcayıcıdır. 0 Yanlış girdi analizi, elde edilen sonuçların

Detaylı

İSTATİSTİK DERS NOTLARI

İSTATİSTİK DERS NOTLARI Balıkesir Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü umutokkan@balikesir.edu.tr İSTATİSTİK DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Umut OKKAN Hidrolik Anabilim Dalı Balıkesir Üniversitesi Balıkesir Üniversitesi İnşaat

Detaylı

Olasılık ve İstatistik Hatırlatma

Olasılık ve İstatistik Hatırlatma Olasılık ve İstatistik Hatırlatma BSM 445 Kuyruk Teorisi Güz 014 Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık Bir olayın olasılığı bize ne anlatır? Verilen bir olasılığın manası nedir? Örnek: Tavlada düşeş atma olasılığı

Detaylı

ÇIKTI ANALİZİ BENZETİM TÜRLERİ

ÇIKTI ANALİZİ BENZETİM TÜRLERİ ÇIKTI ANALİZİ BENZETİM TÜRLERİ Çıktı analizi benzetimden üretilen verilerin analizidir. Çıktı analizinde amaç, bir sistemin performansını tahmin etmek ya da iki veya daha fazla alternatif sistemlerin performansını

Detaylı

EME 3105 SİSTEM SİMULASYONU (ARENA) Hafta 2

EME 3105 SİSTEM SİMULASYONU (ARENA) Hafta 2 T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EME 3105 SİSTEM SİMULASYONU (ARENA) Hafta 2 Beyazıt OCAKTAN GELİŞ SÜRECİNİN ARENA'DA GÖSTERİMİ Varlıklar (entities) modele girmedikçe, ARENA'da

Detaylı

Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal. değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma

Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal. değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma 2 13.1 Normal Dağılımın Standartlaştırılması Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma değerleriyle normal

Detaylı

BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme Kesikli Olay Benzetimi. İlhan AYDIN

BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme Kesikli Olay Benzetimi. İlhan AYDIN BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme Kesikli Olay Benzetimi İlhan AYDIN KESİKLİ-OLAY BENZETİMİ Kesikli olay benzetimi, durum değişkenlerinin zaman içinde belirli noktalarda değiştiği sistemlerin modellenmesi

Detaylı

3/6/2013. Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları

3/6/2013. Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

1106104 SİSTEM SİMÜLASYONU

1106104 SİSTEM SİMÜLASYONU 6 SİSTEM SİMÜLASYONU Yrd Doç. Dr. Sırma Yavuz Çarşamba : - : (F-9) Ofis: B Blok - Kat Donanım Lab. Ofis Saatleri : Çarşamba 6: - 7: İçerik Simülasyon Modeli Yaklaşımları Kuyruk Sistemlerinin Simülasyonu

Detaylı

Laboratuvar 3. Yrd.Doç.Dr.Beyazıt Ocaktan. Elektronik Montaj ve Test Örneği

Laboratuvar 3. Yrd.Doç.Dr.Beyazıt Ocaktan. Elektronik Montaj ve Test Örneği 1 SİSTEM SİMULASYONU Laboratuvar 3 Yrd.Doç.Dr.Beyazıt Ocaktan Elektronik Montaj ve Test Örneği 2 Bir elektronik devre üreticisinin kaplama atölyesini ele alalım. Bu isletmede A ve B parcaları farklı atölyelerde

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 5: Rastgele Değişkenlerin Dağılımları II Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Sık Kullanılan Dağılımlar Frekans tablolarına dayalı histogram ve frekans poligonları, verilerin dağılımı hakkında

Detaylı

SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II MARKOV ZİNCİRLERİ DERS NOTLARI

SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II MARKOV ZİNCİRLERİ DERS NOTLARI SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II MARKOV ZİNCİRLERİ DERS NOTLARI STOKASTİK (RASSAL) SÜREÇLER Bazen rassal değişkenlerin zamanla nasıl değiştiğiyle ilgileniriz. Örneğin

Detaylı

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 İSTATİSTİK ve SAYISAL BİLGİ 11 1.1 İstatistik ve Önemi 12 1.2 İstatistikte Temel Kavramlar 14 1.3 İstatistiğin Amacı 15 1.4 Veri Türleri 15 1.5 Veri Ölçüm Düzeyleri 16 1.6

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BEKLENEN DEĞER. X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BEKLENEN DEĞER. X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = BEKLENEN DEĞER Belli bir malzeme taşınan kolilerin ağırlıkları

Detaylı

EMİCİ(YUTUCU) ZİNCİRLER

EMİCİ(YUTUCU) ZİNCİRLER SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II EMİCİ(YUTUCU) ZİNCİRLER DERS NOTLARI Pek Çok ilginç markov zinciri uygulamalarında bazı durumlar emici (yutucu) ve geri kalan durumlar

Detaylı

Sürekli Rastsal Değişkenler

Sürekli Rastsal Değişkenler Sürekli Rastsal Değişkenler Normal Dağılım: Giriş Normal Dağılım: Tamamen ortalaması ve standart sapması ile tanımlanan bir rastsal değişken, X, için oluşturulan sürekli olasılık dağılımına normal dağılım

Detaylı

ENM-3105 Sistem Simulasyonu Kısa Sınav 1

ENM-3105 Sistem Simulasyonu Kısa Sınav 1 ENM-3105 Sistem Simulasyonu Kısa Sınav 1 Sınav Tarihi ve Yeri: 06 Kasım 2014, Perşembe, İlk ders, B203 No lu Derslik) (Kısa Sınav 1 de aşağıda verilen sorulardan birinin benzeri sorulacaktır.) Soru 1)

Detaylı

0.04.03 Standart Hata İstatistikte hesaplanan her istatistik değerin mutlaka hatası da hesaplanmalıdır. Çünkü hesaplanan istatistikler, tahmini bir değer olduğu için mutlaka hataları da vardır. Standart

Detaylı

Merkezi Limit Teoremi

Merkezi Limit Teoremi Örnekleme Dağılımı Merkezi Limit Teoremi Şimdiye kadar normal dağılıma uygun olan veriler ile ilgili örnekler incelendi. Çarpıklık gösteren veriler söz konusu olduğunda ne yapılması gerekir? Hala normal

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Örnekleme Planlar ve Dağılımları Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım İncelenen olayın ait olduğu anakütlenin bütünüyle dikkate alınması zaman, para, ekipman ve bunun gibi nedenlerden dolayı

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Bu bölümde eşitsizlik kısıtlarına bağlı bir doğrusal olmayan kısıta sahip problemin belirlenen stasyoner noktaları

Detaylı

SİGORTA MATEMATİĞİ SINAV SORULARI WEB. Belirli yaşlar için hesaplanan kommütasyon tablosu aşağıda verilmiştir.

SİGORTA MATEMATİĞİ SINAV SORULARI WEB. Belirli yaşlar için hesaplanan kommütasyon tablosu aşağıda verilmiştir. SORU 1 SİGORTA MATEMATİĞİ SINAV SORULARI WEB Şimdiki yaşı 56 olan Ahmet, Bireysel Emeklilik Sistemi (BES) ile biriktirmiş olduğu 250.000 TL yi yaşam süresi boyunca sabit ödemeli dönem başı yıllık maaş

Detaylı

EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Girdi Analizi Prosedürü. Dağılıma Uyum Testleri. Dağılıma Uyumun Kontrol Edilmesi. Girdi Analizi-II Ders 9

EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Girdi Analizi Prosedürü. Dağılıma Uyum Testleri. Dağılıma Uyumun Kontrol Edilmesi. Girdi Analizi-II Ders 9 EME 3105 1 Girdi Analizi Prosedürü SİSTEM SİMÜLASYONU Modellenecek sistemi (prosesi) dokümante et Veri toplamak için bir plan geliştir Veri topla Verilerin grafiksel ve istatistiksel analizini yap Girdi

Detaylı

İSTATİSTİK VE OLASILIK SORULARI

İSTATİSTİK VE OLASILIK SORULARI İSTATİSTİK VE OLASILIK SORULARI SORU 1 Meryem, 7 arkadaşı ile bir voleybol maçına katılmayı planlamaktadır. Davet ettiği arkadaşlarından herhangi bir tanesinin EVET deme olasılığı 0,8 ise, en az 3 arkadaşının

Detaylı

İçindekiler. Ön Söz... xiii

İçindekiler. Ön Söz... xiii İçindekiler Ön Söz.................................................... xiii Bölüm 1 İstatistiğe Giriş....................................... 1 1.1 Giriş......................................................1

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-II Hafta 14

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-II Hafta 14 9.0.07 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-II Hafta ERT ANALİZİ Olasılıksal roje Değerlendirme ve Gözden Geçirme Tekniği ERT (robabilistic Evaluation and Review Technique) Eğer projenin faaliyetlerinin tamamlanma süresi

Detaylı

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz...

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... 1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... CABİR VURAL BAHAR 2006 Açıklamalar

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik (Eşitlik Kısıtlı Türevli Yöntem) Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde

Detaylı

Başarı olasılığı olan bir Bernoulli denemesinin aynı şartlar altında (bağımsız olarak) n kez tekrarlanması ile oluşan deneye binom deneyi denir.

Başarı olasılığı olan bir Bernoulli denemesinin aynı şartlar altında (bağımsız olarak) n kez tekrarlanması ile oluşan deneye binom deneyi denir. 3.5. Bazı Kesikli Dağılımlar 3.5.1. Bernoulli Dağılımı Bir deneyde başarı ve başarısızlık diye nitelendirilen iki sonuçla ilgilenildiğinde bu deneye (iki sonuçlu) Bernoulli deneyi ya da Bernoulli denemesi

Detaylı

1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ.DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:2 Simülasyon Örnekleri

1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ.DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:2 Simülasyon Örnekleri 1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ.DR. SAADETTIN ERHAN KESEN Ders No:2 GIRIŞ Bu derste elle ya da bir çalışma sayfası yardımıyla oluşturulacak bir simülasyon tablosunun kullanımıyla yapılabilecek simülasyon

Detaylı

Verilerin Özetlenmesinde Kullanılan Sayısal Yöntemler

Verilerin Özetlenmesinde Kullanılan Sayısal Yöntemler Verilerin Özetlenmesinde Kullanılan Sayısal Yöntemler Merkezi Eğilim Ölçüleri Merkezi eğilim ölçüsü, bir veri setindeki merkezi, yada tipik, tek bir değeri ifade eder. Nicel veriler için, reel sayı çizgisindeki

Detaylı

Hipotez Testi ENM 5210 İSTATİSTİK VE YAZILIMLA UYGULAMALARI. Ders 4 Minitab da İstatiksel Çıkarım-I. Hipotez Testi. Hipotez Testi

Hipotez Testi ENM 5210 İSTATİSTİK VE YAZILIMLA UYGULAMALARI. Ders 4 Minitab da İstatiksel Çıkarım-I. Hipotez Testi. Hipotez Testi ENM 52 İSTATİSTİK VE YAZILIMLA UYGULAMALARI Ders 4 Minitab da İstatiksel Çıkarım-I (Ortalamalar ve Oranlar İçin ) İstatistiksel Hipotezler İstatistiksel hipotez testi ve parametrelerin güven aralığı tahmini,

Detaylı

SIGORTA MATEMATİĞİ SORULARI WEB EKİM 2017

SIGORTA MATEMATİĞİ SORULARI WEB EKİM 2017 SIGORTA MATEMATİĞİ SORULARI WEB EKİM 2017 SORU 1: Hasar rassal değişkenini tanımlayan rassal X aşağıdaki dağılıma sahiptir: 150 F ( x) = 1, 0. x 150 + x Simülasyon teknikleri kullanılarak bu dağılımdan

Detaylı