Kuvvet ve Hareket HAREKETÝN NEDENÝ

Transkript

1 Kuvvet ve Hareket Bu ünitede, hareketin nedenlerini, kuvvetin cisimler üzerindeki etkisini, cisimlerin birbirine göre hareketlerinin nasýl olduðunu, net bir kuvvet etkisinde kalan cismin hýz, ivme ve yer deðiþtirmesinin ne olacaðýný, iki boyutta ivmeli hareketlerin neler olduðunu, etki-tepki kuvvetlerini, cisimlerin eylemsizliðini öðreneceðiz. Kuvvet ve bileþke kuvvet, baðýl hareket ve baðýl hýz, nehirde hareket, sabit ivmeli hareket formülleri, konum-zaman, hýz-zaman ve ivme zaman grafikleri, ortalama hýz ve ani hýz kavramlarý, iki boyutlu ivmeli hareketlerden yatay atýþ ve eðik atýþ hareketleri, uçuþ süresi ve menzil kavramlarý, etki tepki kuvvetleri ve sistem hesaplamalarý, cisimlerin eylemsizliði, eylemsizlik kütlesi bu ünitede anlatýlacaktýr. Burada, tek boyutlu doðrusal hareket ile bu hareketin grafiklerinin öðrenildiði, ivmenin bilindiði, temel kuvvetlerden kütle çekimi kuvetinin öðrenildiði, dengelenmiþ ve dengelenmemiþ kuvvetlerin etkisindeki cisimlerin hareketlerinin incelendiði, Newton un hareket yasalarýnýn ve sürtünme kuvvetinin nelere baðlý olduðunun bilindiði kabul edilerek; Kuvvetin vektörel özellikleri, net kuvvet ile cismin dengesi arasýndaki iliþki, sadece sabit ivmeli hareket yapan cisim ya da sistemlerde hareketin nedenleri, cisimlerin kütlelerinden dolayý eylemsizliðinin olduðu açýklanacaktýr. HAREKETÝN NEDENÝ Cisimlerin harekete geçmesi ve sürat kazanmasý için itilmesi ya da çekilmesi gerekir. Bu itme ve çekme etkisi bir çok olayda gözlenir. Cisimlerin þekillerinin ve hareket yönlerinin deðiþmesi, hareket eden cisimlerin ise hýzlanmasý ya da yavaþlamasý, duran cisimlerin de harekete geçebilmesi, itme ya da çekme etkisiyle mümkündür. Ýtme ya da çekme etkisi, bazen temas gerektirirken bazende temas gerektirmez. Bazý durumlarda dengelenirken bazý durumlarda da dengelenmemiþ olabilir. Gerçekleþtirilecek olan her itme ya da çekme olayý için, mutlaka belirli bir enerji harcamak ya da güç kullanmak gerekir. Belirli bir enerji harcayarak ya da güç kullanarak gerçekleþtirilen etkiye kuvvet denir. Kuvvetin kaynaðý enerjidir. Enerji olmadan kuvvetten bahsetmek anlamsýzdýr. 1 Kuvvet, cisimlerde þekil, hýz ve yön deðiþtiren etkidir. Etki ettiði cisimlerde þekil deðiþtirmesi, esnek cisimleri uzatýp sýkýþtýrmasý, duran cisimleri hareket ettirmesi, hareket hâlindeki cisimlerin hýzýnda deðiþiklikler yapmasý kuvvet ile gerçekleþir. O hâlde, cisimlerin þeklini ve hareket durumlarýný deðiþtiren etkiye kuvvet denir. Cisimleri herhangi bir yönde hareket ettirmek için o yönde kuvvet uygulamak gerekir. Dolayýsý ile hareketin hangi yönde olacaðý uygulanacak kuvvetin yönüne baðlýdýr. Futbolda, gol atýlabilmesi için uygun bir doðrultuda þut çekilerek topun kaleye göderilmesi gerekir. Bowling oyununda bütün lobutlarýn devrilebilmesi için bowling topunun doðrultusunun iyi ayarlanmasý ve ona göre kuvvet uygulanmasý gerekir. Küçük bir topu düþey olarak yukarý doðru atýp tekrar tutabilmek için ya da yerde sektirebilmek için uygun bir þekilde kuvvet uygulamak gerekir. Ayný topun yatay bir düzlemde hareket ettirilebilmesi içinde düzleme paralel bir kuvvetin uygulanmasý gerekir. Bilardo oyununda ýstaka ile toplara kuvvet uygulanýr ve toplarýn uygun bir doðrultuda gitmesi saðlanýr. Halat çekme oyununda takýmlar halata, rakip takýmýn uyguladýðý kuvvetle ayný doðrultuda fakat zýt yönde kuvvet uygular. Ayný takýmdaki herbir eleman ise halata ayný yönde kuvvet uygulayarak rakip takýmýn uyguladýðý kuvveti yenmeye çalýþýr. Düz bir zeminde hareket hâlinde olan cisme uygulanacak kuvvetin doðrultusu ve yönüde cismin hareketini etkiler. Hareket yönüne zýt yönde uygulanan kuvvet cismi yavaþlatýrken, hareket yönünde uygulanan kuvvet ise cismi hýzlandýrýr. Ayný cisme hareketine dik ya da uygun bir açý ile düzleme paralel olarak uygulanan kuvvet ise cismin hareket yönünü ve hýzýný deðiþtirir. Basket topunun potaya atýlmasýnda, tenis oyununda, masa tenisinde vs kuvvetin belirli doðrultuda ve yönlerde uygulanmasý gerekir. Musluðun açýlmasýnda, bir masanýn hareket ettirilerek yerinin deðiþtirilmesinde uygun bir yön ve doðrultuda kuvvet uygulanýr. Hareket hâlindeki bir arabanýn frenlerine basýlýnca fren kuvvetinin arabayý durdurmasý, rüzgarýn estiði yönde yelkenliyi hareket ettirmesi, demir tozu, çivi ya da ataþa yaklaþtýrýlan mýknatýsýn yaklaþtýrma doðrultusuna göre onlarý kendine doðru çekmesi, dalýndan kopan elmanýn yerçekimi kuvvetinin etkisiyle yere doðru düþmesi, elektrikle yüklenmiþ plastik bir çubuðun küçük kaðýt parçacýklarýný, yaklaþtýrýldýðý tarafa doðru çekmesi, uçak gemilerine iniþ yapan uçaklarýn açýlan paraþütlerinin uçaðý ayný doðrultuda yavaþlatýp

2 durdurucu kuvvet uygulamasý, kuvvetin yönlü bir büyüklük olduðunu gösteren örneklerden bazýlarýdýr. Kuvvetler belirli yönlerde ve doðrultuda uygulanýr. Dolayýsý ile, cisimlere uygulanan her kuvvetin bir yönü ve doðrultusu vardýr diyebiliriz. Sonuç olarak, kuvvet vektörel olup, türetilmiþ bir büyüklüktür. Kuvvetin, yönü, doðrultusu, þiddeti ve bir uygulama noktasý vardýr. Yönleri zýt, doðrultularý ayný kuvvetler olabildiði gibi, farklý yön ve doðrultularda kuvvetler olabilir. Kuvvet ÁF ile gösterilir. Kuvvetleri gösterirken oklar kullanýlýr. Okun yönü kuvetin yönünü, okun büyüklüðü kuvvetin büyüklüðünü verir. Kuvvetin birimi, SΙ birim sisteminde newton(n) dur. Dinamometre çeþitleri Kuvvet, sarmal bir yayýn esneklik özelliðinden faydalanýlarak yapýlmýþ dinamometre ile ölçülür. Masa üzerinde çekilen kutunun hareket ettirilmesi için gerekli kuvvetin kaç newton olduðu, cisimlerin bulunduðu yerdeki aðýrlýklarý dinamometre kullanýlarak ölçülebilir. Dinamometreler yapýlýþlarýna göre uygun deðerlerdeki kuvvetleri ölçer. Çünkü dinamometrede kullanýlan yayýn belli bir esneklik sýnýrý vardýr. Her dinamometrenin ölçebileceði en büyük kuvvet deðeri üzerinde yazýlmýþtýr. Cisimlere etki eden kuvvetlerin doðrultu ve yönleri dikkate alýndýðýnda, cisimlerin dengelenmiþ ya da dengelenmemiþ kuvvetlerin etkisinde kaldýðý görülür. Bir cisme birden fazla kuvvet uygulandýðýnda cismin hareket edip etmeyeceði hareket ediyorsa hareket yönü, dengelenmiþ ya da dengelenmemiþ kuvvetlere göre belirlenir. Cisimlere uygulanmýþ bir kuvvetin etkisi, uygulanan kuvvete zýt yönde uygulanacak yeni bir kuvvetle azaltýlýr. Halat çekme oyununda, bilek güreþi oyununda uygulanan kuvvete karþý zýt yönde kuvvet uygulayarak etki azaltýlýr. Hatta daha çok kuvvet uygulanýrsa oyun kazanýlabilir. Duran cisimlere uygulanan kuvvet arttýkça cisimleri harekete geçirmek kolaylaþýr. Bazen birden fazla kuvvet yerine tek bir kuvvet uygulayarak ayný etki yapýlabilir. Dolayýsý ile cisimlere birden fazla kuvvet uygulandýðýnda kuvvetlerin yaptýðý etkiyi tek baþýna yapabilen kuvvete net kuvvet ya da bileþke kuvvet denir. Bileþke kuvvet ÁR ya da ÁF net þeklinde gösterilir. Bir cisme etkiyen net kuvvet sýfýr ise, o cisim dengelenmiþ kuvvetlerin etkisindedir. Bu þekildeki dengelenmiþ kuvvetlerin etkisinde olan cisimler hareketsiz olarak kalýr ya da sabit süratle yoluna devam eder. Bir cisme etkiyen net kuvvet sýfýrdan farklý ise, o cisim dengelenmemiþ kuvvetlerin etkisindedir. Bu þekildeki dengelenmemiþ kuvvetlerin etkisinde olan cisimlerin hareket yönünde ya da süratinde deðiþiklikler olur. Duran bir top dengelenmemiþ kuvvet etkisiyle harekete geçebilir. Dengelenmemiþ kuvvet ile bir tenis topunun hareket yönü ve sürati deðiþtirilebilir. Dengelenmemiþ kuvvet uygulanarak hareket hâlindeki bir top durdurulabilir. Halat çekme oyununda halat hareketsiz iken kuvvetler dengelenmiþtir. Halat, eðer bir tarafa çekilmiþ ise o zaman dengelenmemiþ kuvvetlerin etkisindedir. Bilek güreþi oyununda eller haraketsiz iken dengelenmiþ kuvvetlerin etkisindedir. Eller masaya doðru hareket ediyorken ise dengelenmemiþ kuvvetlerin etkisindedir. Bir cismin ayný noktasýna uygulanmýþ kuvvetlerin dengelenmiþ ya da dengelenmemiþ olup olmadýðý kuvvetlerin bileþkesi bulunarak söylenebilir. cisim ÁF R=F 1 +F ÁR ÁF 3 18 ÁF cisim ÁR R = F F 3 Bir noktaya etki eden ve ayný doðrultulu olan kuvvetlerin bileþkesi, ÁR = + ÁF þeklinde bulunur. Bir cisme ayný doðrultuda ve ayný yönde kuvvetler etki ediyorsa, net kuvvetin büyüklüðü kuvvetlerin büyüklükleri toplamýna eþit, net kuvvetin yönü ve doðrultusu ise kuvvetlerle ayný yönde ve doðrultuda olur. Bir cisme ayný doðrultuda ve zýt yönde kuvvetler etki ediyorsa, net kuvvetin büyüklüðü kuvvetlerin büyüklükleri farkýna eþit, net kuvvetin doðrultusu kuvvetlerle ayný doðrultuda, yönü ise büyük kuvvet yönünde olur. Kuvvetler ayný yönlü ve ayný doðrultuda ise bileþke kuvvet kuvvetlerin toplamýna eþit büyüklüktedir. Ayný doðrultulu, zýt yönlü iki kuvvetin bileþkesi büyük kuvvet ile küçük kuvvetin farkýna eþit büyüklüktedir. Kuvvetlerin bileþkesi, çokgen, paralelkenar ve bileþenlerine ayýrma yöntemleri kullanýlarak bulunur. Doðrultularý birbirini kesen kuvvetlerde bileþke kuvvet çokgen ya da uç uca ekleme yöntemi, paralelkenar yöntemi ya da bileþenlerine ayýrma yöntemlerinden birisi kullanýlarak yapýlabilir. Kesiþen iki ya da daha fazla kuvvetin bileþkesi vektörel toplama yöntemi ile bulunur. Vektörel toplama demek, vektörlerin bileþkesini bulmak demektir. Kuvvet vektörel bir büyüklük olduðundan kýsaca bileþke kuvveti ya da net kuvveti bulmak demektir.

3 Ayný düzlemde bulunan, ÁF ve ÁF 3 gibi üç kuvvetin toplanmasý + ÁF + ÁF 3 þeklinde gösterilir. Toplamada sýranýn önemi yoktur. Önemli olan kuvvetlerin özelliklerini deðiþtirmeden bu iþlemi gerçekleþtirebilmektir. Kuvvetler; yön, doðrultu ve þiddet deðiþtirilmeden ayný düzlem üzerinde istenilen noktaya taþýnabilir. Bu olaya paralel kaydýrma da denilebilir. Dikkat edilmesi gereken nokta, kuvvetin özelliklerini (yön, doðrultu ve þiddet) deðiþtirmemektedir. Eðer kuvvetin yönü deðiþtirilirse ya da büyüklüðü deðiþtirilirse, o zaman elde edilen kuvvet baþka bir kuvvet olur. Þekilde verilen ÁF kuvveti, I, ÁF II ve III teki konumlara verilen I biçimlerde taþýnabilir. Bu þekildeki taþýmalarda kuvvetlerle iþlem yapmak kolaylaþýr. III II Bir kuvvetin negatifi; o kuvvete eþit büyüklükte fakat yönü o kuvvetin tersinde olan kuvvettir. Bir kuvvetin negatifi alýnýrken, kuvvet ters çevrilir. Elde edilen kuvvet ilk kuvvetin zýt iþaretlisidir. Þekle göre, ile ÁF ve ÁF 3 ile ÁF 4 kuvvetleri birbirinin negatifidir. Dolayýsýyla kuvvetler arasýnda, = ÁF ve ÁF 3 = ÁF 4 iliþkileri vardýr. F 1 ÁF ÁF 3 ÁF 4 ÁF 3 Þekil I ÁF 3 ÁF Þekil III ÁF ÁF 3 +ÁF + Þekil - I de verilen ayný düzlemdeki, ÁF ve ÁF 3 kuvvetlerinin uç uca eklenmesi Þekil - II, Þekil - III ve Þekil - IV te gösterilmiþtir. Sýra gözetilmeksizin bir kuvvetin bitimine diðer bir kuvvetin baþlangýç noktasý çakýþtýrýlarak kuvvetler uç uca eklenir. Açýk uçlar ise birleþtirilir. Ýlk kuvvetin baþlangýcýný son kuvvetin bitimine götüren kuvvet, toplam yani bileþke kuvveti verir. Eðer kuvvetlerin uç uca eklenmesi þekildeki gibi ise toplam kuvvet sýfýrdýr. Çünkü, kuvvetler uç uca eklendiðinde, ilk kuvvetin baþlangýç noktasý ile son kuvvetin bitiþ noktasý çakýþýyorsa, bilþeke kuvvet sýfýr olmak zorundadýr. Þekle göre, + ÁF + ÁF 3 + ÁF 4 = eþitliði yazýlýr. Eðer kuvvetlerin uç uca eklenmesi þekildeki gibi ise, toplam vektör ÁF e eþittir. Çünkü; ÁF 5 + ÁF 6 + ÁF 7 = ÁF dir. +ÁF +ÁF 3 ÁF Þekil II Þekil IV ÁF ÁF ÁF 3 ÁF + +ÁF 3 ÁF 3 ÁF1 ÁF4 ÁF 5 ÁF 3 ÁF 6 Kuvvetlerin toplamý, ÁF 7 Uç Uca Ekleme (Çokgen) Yöntemi Kuvvetlerin uç uca eklenerek yeni bir kuvvet elde edilmesine uç uca ekleme yöntemi denir. Bu yöntemle büyüklükleri 3 br ve 4 br olan iki kuvvet vektörü ile büyüklüðü 5 br olan bir kuvvet vektörü elde edilebilir. Uç uca ekleme yöntemine göre, kuvvetlerin doðrultusu, yönü ve þiddeti deðiþtirilmeden, birinin bitiþ noktasýna diðerinin baþlangýç noktasý çakýþacak biçimde uç uca eklenir. Daha sonra, ilk kuvvetin baþlangýç noktasýndan son kuvvetin bitiþ noktasýna bir kuvvet çizilir. Çizilen bu kuvvet, toplam kuvveti ya da bileþke kuvveti verir. Uç uca ekleme yönteminde sýranýn önemi yoktur. Kuvvetler hangi sýra ile uç uca eklenirse eklensin bileþke kuvvet deðiþmez. ÁF 5 + ÁF 6 + ÁF 7 + ÁF olacaðýndan, bileþke kuvvet ÁF ye eþit olur. Paralelkenar Yöntemi Bu yöntemde kuvvetler ikiþer ikiþer ele alýnarak bileþkeleri bulunur ve tek bir bileþke kuvvet buluncaya kadar iþleme devam edilir. Paralelkenar yöntemi üç ya da daha fazla kuvvet için iþlem kolaylýðý saðlamaz. Paralelkenar yönteminde iki kuvvetin baþlangýç noktasý ayný yerde olacak biçimde taþýnýr. Meydana gelen þekil kare, dikdörtgen ya da paralelkenardan birisi olacak biçimde tamamlanýr. Kuvvetlerin baþlangýç noktasýndan geçen ve köþegen boyunca çizilen kuvvet net kuvveti ya da bileþke kuvveti verir. 3

4 ÁF Þekil I ÁF Þekil - I de verilen Á ve ÁF kuvvetlerinin bileþkesi paralelkenar yöntemi ile bulunurken, kuvvetinin bitiþ noktasýndan ÁF ye paralel, ÁF kuvvetinin bitiþ noktasýndan da e paralel çizgiler çizilir. Böylece elde edilen þekil paralelkenar olur. ve ÁF kuvvetlerinin çakýþýk olan baþlangýç noktasýný paralel kenarýn karþý köþesine birleþtiren kuvvet, iki kuvvetin toplamýna eþit olan kuvvettir. Büyüklükleri eþit olan ve ÁF kuvvetlerinin bileþkesi açý ortay üzerindedir. Dolayýsýyla bileþke kuvvet, kuvvetler arasý açýyý iki eþit parçaya böler. Yani θ 1 = θ dir. Kuvvetlerden birinin büyüklüðü daha fazla ise, bileþke kuvvet büyük kuvvete daha yakýndýr. Þekle göre, ÁF 3 < ÁF 4 dir. Dolayýsý ile θ 4 < θ 3 tür. Þekil II F 3 θ 3 θ4 θ 1θ θ +ÁF ÁF F 1 +F F 3 +F 4 R=F 1 +F ÁF ÁF 4 R = F + F +. F. F. cos6 R = F + F. 1/ R = 3F R = Fñ3 olur. Eþit ve F büyüklüðündeki kuvvetler arasýndaki açý 9 ise bileþke kuvvetin büyüklüðü pisagor baðýntýsýndan bulunur. Buna göre, R = F + F R = F R = F. ñ olur. Eþit ve F büyüklüðündeki kuvvetler arasýndaki açý 1 ise bileþke kuvvetin büyüklüðü, R = F + F +.F.F.cos1 1 R = F + F R = F F R = F R = F olur. Kuvvetler zýt yönlü ise bileþke kuvvetin þiddeti minimum olur. Bir baþka ifade ile kuvvetler arasýndaki açý 18 ise bileþke kuvvet en küçük deðerinde olur. Ýki kuvvetin bileþkesinin büyüklüðü, kuvvetlerin cebirsel toplamýndan büyük, farkýndan ise küçük olamaz. Kuvvet büyüklüklerine F 1, F ; bileþke kuvvetin büyüklüðüne R denilirse, F 1 < F olmak þartý ile bileþke kuvvetin büyüklüðü, F F R=F R=F F F Ayný düzlemde bulunan ve aralarýnda θ açýsý kadar açý olan iki kuvvetin bileþkesinin büyüklüðü cosinüs teoremi ile bulunur. Þekildeki ve ÁF kuvvetlerinin toplamý ÁR, kuvvetler arasý açý θ olmak üzere bileþke kuvvet; þeklinde verilen aralýkta ola- F F 1 R F 1 + F bilir. R = F 1 + F + F 1 F cosθ baðýntýsý ile hesaplanýr. Bu baðýntýya göre, kuvvetler arasýndaki açý arttýkça bileþke kuvvetin büyüklüðü azalýr. Tersine, kuvvetler arasý açý azaldýkça bileþke kuvvetin büyüklüðü artar. Kesiþen ve büyüklükleri eþit olan kuv- F R=F 3 vetlerin bileþkesi kuvvetler arasý açýnýn 6, 9 ve 1 olmasýna göre, þu þekillerde bulunur. 3 3 F Eþit ve F büyüklüðündeki kuvvetler arasýnda 6 lik açý var ise bileþke kuvvetin þiddeti, Kuvvetlerde Çýkarma Kuvvetlerin çýkarýlmasý, negatif kuvvetin diðer kuvvet ile toplanmasý demektir. Kuvvetlerde yapýlan çýkarma iþlemi, toplama iþlemine benzer. Örneðin ayný düzlemde bulunan ve ÁF gibi iki kuvvet için ÁF iþlemi vektörel çýkarma iþlemidir. Bu iþlem + ( ÁF ) þeklinde düzenlenirse, bu iþlem kuvvetinden ÁF kuvvetinin çýkarýlmasý demek olup ÁF kuvveti ters çevrilerek, kuvvetinin ucuna eklenmesi ile iþlem gerçekleþtirilmiþ olur. 4

5 ÁF Á ÁF yatay bileþen, y eksenindeki bileþenine ise düþey bileþen denir. ÁF Á ÁF ÁF Þekilde ÁF kuvvetinin x ve y eksenlerine gö- +y Þekil I Þekil II Þekil III Kuvvetlerde çýkarma iþlemi iki yol ile yapýlabilir. Þekil I de verilen ve ÁF kuvvetleri için ÁF kuvveti Þekil II ya da Þekil III teki gibi olur. 1. yol: kuvvetinin ucuna ÁF kuvveti ters çevrilerek eklenir. Açýk uçlar bileþtirilir. Bileþke kuvvet fark kuvvetini verir.. yol: ile ÁF kuvvetlerinin baþlangýç noktalarý çakýþtýrýlýr. Hangi kuvvet çýkarýlýyorsa, (burada ÁF kuvveti çýkarýlmaktadýr.) Onun ucundan diðerine bir kuvvet çizilir. Bu kuvvet fark kuvveti verir. Þekil - III te ÁF kuvveti ÁF den e çizilen kuvvettir. Bir Kuvvetin Skaler Bir Sayý Ýle Çarpýmý ve Skaler Sayýya Bölümü Bir kuvvet skaler bir sayý ile çarpýlabilir ya da skaler sayýya bölünebilir. Bu iþlemde kuvvetin doðrultusu deðiþmez fakat þiddeti skaler sayý katý kadar deðiþmiþ olur. Eðer kuvvetr pozitif bir sayý ile çarpýlmýþ ise yönü deðiþmez. Kuvvetler, negatif skaler sayý ile çarpýlýrsa yönü deðiþir. Kuvvetlerin skaler sayýya bölümü kesirli sayýlarla çarpýmý demektir. Sonuç olarak kuvvetler ister skaler sayý ile çarpýlsýn isterse bölünsün yeni bir kuvvet elde edilir. Þekilde ÁF kuvvetinin ÁF 1/, ve gibi sayýlarla çarpýmý sonucu oluþan kuvvetler verilmiþtir. Dikkat edilirse ÁF kuvvetinin doðrultusu deðiþmemekte, yön ya da þiddet deðiþmektedir. ÁF ÁF ÁF re bileþenleri ÁF X ve ÁF Y ÁF verilmiþtir. Tersine düþürülürse ÁF X ÁF Y kuvveti ile ÁF Y kuvvetinin vektörel toplamý ÁF kuvvetini +x ÁF X verir. Dolayýsý ile tüm bileþen bulmada bileþenlerin vektörel toplamý, kuvvetinn kendisini vermek zorundadýr. Kuvvetlerin bileþenlerinin büyüklüðü birim karelerde verilmiþ ise, yatay ve düþey bileþenler birim kareler cinsinden bulunur. Buna göre, þekilde verilen ÁF kuvvetinin yatay bileþeni ÁF X, 3 birim büyüklüðünde, düþey bileþeni ÁF Y ise birim büyüklüðündedir. Kuvvetler, ölçekli bölmelerde verilmemiþ ise kuvvetlerin herhangi bir eksenle yaptýðý açýnýn sinüs, cosinüs ya da tanjantý alýnarak istenilen deðerler elde edilir. Þekilde verilen ÁF kuvvetinin +y yatay ve düþey bileþenlerinin büyüklüðü, ÁF Y F X = F. cosθ F Y = F. sinθ baðýntýlarý ile hesaplanýr. Ayrýca ÁF vektörünün yatay x ekseni ile yaptýðý açý biliniyorsa, F tanθ= Y baðýntýsýndan bileþenler arasýndaki oranda FX bulunabilir. θ ÁF X ÁF +x Kuvvetlerin Dik Bileþenlerine Ayrýlmasý Ýstenilen durumlara göre kuvvetlerin her eksene göre bileþeni alýnabilir. Þekil I Þekil II Kuvvetlerin dik bileþenlerine ayrýlmasý, o kuvveti oluþturan xy koordinat eksenindeki kuvvetlerin ayrý ayrý bulunmasý demektir. Kuvvetlerin dik bileþenleri alýnýrken, kuvvetin baþlangýç noktasý xy koordinat ekseninin baþlangýcý alýnýr. Kuvvetten hem x, hem de y eksenine dik inilerek, baþlangýç noktasýndan inilen ya da gidilen dikmelere kuvvetler çizilir. Kuvvetlerin x eksenindeki bileþenine Þekil III Þekil IV Bir kuvvetin istenilen tüm eksenlerine göre bileþeni alýnabildiðinden Þekil I de verilen ÁF kuvvetinin bileþenleri Þekil II, Þekil III ve Þekil IV te verilmiþtir. 5

6 Þekil III te verilenler ÁF kuvvetinin dik bileþenleridir. Benzer olarak þekildeki ÁF kuvvetinin bileþenleri verilmiþtir. ÁF Þekil I Þekil II Þekil III Kesiþen kuvvetler üç ya da daha fazla ise, uygun iþlemler yapýlarak (kuvvetlerin ikiþer ikiþer bileþkeleri alýnarak) tek bir kuvvet buluncaya kadar iþleme devam edilir. Durgun cisimler, üzerine etkiyen kuvvetlerin bileþkesi yönünde harekete geçer. Dolayýsýyla cisimlerin hareket yönlerini bulabilmek için cisimlere etkiyen bileþke kuvveti bulmak gerekir. Hareket halindeki cisimler, bileþke kuvvetin yönüne göre ya hýzlanýr ya da yavaþlayýp bir an durur ve ters yönde hýzlanýr. Þekil IV Þekil V Bir kuvvetin dik bileþenlerine ayrýlabilmesi için xy koordinat eksenine göre, kuvvetin eðik kuvvet olmasý gerekir. Ayrýca verilen eðik kuvvet koordinat eksenindeki dört farklý bölgenin birisinde olabilir. Bu durumda bileþen kuvvetlerin iþaretlerine dikkat etmek gerekir. Þekilde verilen ÁF kuvvetinin yatay bileþen- +y ÁF ÁF leri ÁF X ; x yönündedir. Düþey bileþeni ise x +x Y ÁF Y ; +y yönündedir. ÁF X Kuvvetlerin dik bileþenleri bulunarak toplamý alýnabilir. Böyle bir durumda dik bileþenlerin iþaretlerine dikkat edilir. Koordinat düzleminde y eksenindeki bileþenlerin bileþkesi ile x eksenindeki bileþenlerin bileþkesi ayrý ayrý bulunur. Daha sonra y ve x eksenindeki bileþke kuvvetlerin paralelkenar yöntemi ile yeniden bileþkesi alýnarak toplam kuvvet ya da net kuvvet bulunmuþ olur. Kuvvetlerin x eksenindeki bileþenlerinin bileþkesine ÁR X, y eksenindekilere ÁR Y denilirse, net kuvvet, ÁR = ÁR X + ÁR Y þeklinde olur. Dik bileþeni alýnan kuvvetlerin bileþenleri tablo halinde hazýrlanarak þekildeki gibi bileþke kuvvet bulunabilir. Þekil VI x y ÁF ÁF ÁR ÁR X ÁR Y NET KUVVETÝN SIFIR OLDUÐU DU- RUMDA CÝSÝMLERÝN HAREKETÝ Duran ya da hareket hâlinde olan cisim ya da sistemler dengelenmiþ kuvvetler etkisinde olduðu sürece durumlarýnda deðiþiklik olmaz. Cisimler baþlangýçta ister durgun hâlde olsun isterse belirli bir hýzla hareket ediyor olsun, net kuvvet sýfýr olduðu sürece sahip olduklarý hâllerini devam ettirirler. Bir cisme etki eden kuvvetlerin bileþkesi sýfýr ise, cisim ya durur ya da bir doðru boyunca sabit hýzlý olarak hareketine devam eder. Cisimlerin durmasý ya da bir doðru boyunca sabit hýzla hareketine devam edebilmesi için bileþke kuvvetin sýfýr olmasý gerekir. Cisimlerin hareket durumlarý, etki eden net kuvvete göre yorumlanýr. Baþlangýçta cismin durup durmadýðý, cisme etki eden kuvvetlerin bileþkesinin sýfýr olup olmadýðý tespit edilerek cisimlerin hareketleri durumlarý söylenebilir. Net kuvvetin ya da bileþke kuvvetin sýfýr olduðu durumlarda, duran cisimleri harekete geçirecek, hareket etmekte olan cisimlerin hareketinde deðiþiklikler yapacak etki olmadýðýndan, duran cisimler durmaya, hareket hâlinde olan cisimler ise hareketine aynen devam eder. Ýpe baðladýðý sepeti balkondan sarkýtarak hareketsiz tutan bir çocuk, sepete etki eden yerçekimi kuvvetini ipe uyguladýðý kuvvetle dengelediðinden net kuvvet sýfýrdýr. Yani sepet dengelenmiþ kuvvetlerin etkisindedir. Bu durumda sepet sahip olduðu hâli yani durma eylemini devam ettirecektir. Çocuðun ipi biraz gevþek býrakmasýyla net kuvvet sýfýrdan farklý olacak ve sepet biraz aþaðý doðru hareket edecektir. Düz yolda köpeðinin ipini tutan bir bakýcý, köpeðin ileri gitmek için yaptýðý hamleleri ipe uyguladýðý kuvvetle dengeleyerek köpeðin süratini korumaya çalýþýr. Bu durum köpeðin dengelenmiþ kuvvetler etkisinde kalmasý yani köpeðe etki eden net kuvvetin sýfýr olmasý demektir. Dolayýsý ile köpek 6

7 dengelenmiþ kuvvetler etkisinde olduðundan sabit hýzla hareketine devam edecektir. Uçaktan atlayan paraþütçü, paraþütü açtýktan bir süre sonra sabit süratle aþaðý doðru inmeye baþlar. Bu sýrada paraþüte etkiyen havanýn direnç kuvveti paraþütçünün toplam aðýrlýðýný dengelediðinden paraþütçü dengelenmiþ kuvvetler etkisindedir. Yani paraþütçüye etkiyen net kuvvet sýfýrdýr. Net kuvvet sýfýr iken o anda paraþütçünün hýzý olduðu için paraþütçü o hýzla yoluna devam edecektir. Yaðmur yaðarken yaðmur damlalarý sabit hýzlarla yere düþer. Yaðmur damlasýna yer çekiminin uyguladýðý aðýrlýk kuvveti havanýn direnç kuvvetiyle dengelendiðinden yaðmur damlasý dengelenmiþ kuvvetlerin etkisindedir. Dolayýsý ile yaðmur damlasý sabit hýzla hareketine devam edecektir. Düz bir yolda giden aracýn motor kuvveti yoldaki sürtünme kuvvetini dengelediði sürece araç sabit süratle hareketine devam eder. Çünkü bahsi geçen durumda araç dengelenmiþ kuvvetler etkisinde olacaktýr. Ancak, motorun ürettiði kuvvet arttýkça araç hýzlanmaya baþlar. Bir uçaðýn sabit hýzla uçmasý, üzerine etki eden net kuvvetin sýfýr olduðunu gösterir. Bu da uçaða motorlarý vasýtasýyla uygulanan itici kuvvete eþit büyüklükte ve zýt yönde baþka kuvvetlerinde etki ettiðini gösterir. Bahsi geçen baþka kuvvetler arasýnda, uçaða hava tarafýndan uygulanan sürtünme kuvveti vardýr. Durgun bir cisme sabit bir kuvvet etki ederse ne olur? Hareket hâlindeki bir cisme sabit bir kuvvet uygulanýrsa ne olur? Sürtünmesiz ortamda cismin hareketini devam ettirmek için sürekli bir kuvvet uygulamak gerekir mi? Cismin hýzý deðiþtikçe uygulanan kuvvette deðiþir mi? Þimdi bu sorulara cevap arayalým. Durmakta olan bir cisim için hareket söz konusu olamaz. Bu cismin konumunu deðiþtirmek için üzerine mutlaka bir etki uygulamak gerekir. Bu etki; itmek, kaldýrmak ya da baþka varlýklardan yararlanarak cisim üzerine etki uygulamak þeklinde olabilir. Eðer bir cismin daha hýzlý hareket etmesi isteniyorsa, daha büyük kuvvete ihtiyaç vardýr. Dolayýsý ile cisim üzerine daha kuvvetli bir etki uygulandýðýnda, cismin hýzý daha büyük olacaktýr. Örneðin dört at ile çekilen bir at arabasý, iki at ile çekilene göre daha hýzlý gider. Sonuç olarak, hýz yapýlan etkiye her zaman baðlýdýr. Yeterince uzun düz bir yolda dört tekerlekli oyuncak araba itilirken aniden býrakýlýrsa, bir süre sonra durduðu görülür. Acaba arabanýn býrakýldýðý andan duruncaya kadar geçen sürede aldýðý yolun uzunluðu Deney aracý nelere baðlýdýr? Bu yolu artýrmak nasýl mümkün olur? Bunun için; tekerleri yaðlamak, yolu pürüzsüz hâle getirmek vs. yapýlabilir. Tekerlerin yaðlanmasý, hem tekerlekteki hem de tekerlek ile yol arasýndaki dýþ etkilerin azalmasýna neden olur. Dolayýsýyla tekerlek daha kolay döndüðünden ve yolda daha pürüzsüz olduðundan araba daha uzun mesafe gidecektir. Yolun tamamen pürüzsüz olduðunu ve tekerleklerde sürtünme olmadýðýný düþünürsek, oyuncak arabanýn sonsuza kadar hareket etmesi beklenir. Çünkü, arabayý durduracak bir etki yoktur. Gerçekte daha büyük etki sonucu daha büyük hýz olurken, hýz, bir cismin üzerine dýþ kuvvetlerin etki edip etmediðini göstermez. Eðer bir cisim, itilmiyor, çekilmiyor ya da üzerine herhangi bir yol ile etki yapýlmýyorsa kýsaca cisim üzerine dýþ kuvvetler etki etmiyorsa cisim düzgün hareket yapar. Yani bir doðru boyunca ayný hýzla gider. Sonuç olarak, hýz, cisim üzerinde dýþ kuvvetlerin etki edip etmediðini göstermez. Ancak hýz deðiþiyor ise, mutlaka bir net kuvvet etki ediyor demektir. Bir cisme etkiyen net kuvvet kaldýrýldýðýnda cisim o andaki hýz ile sabit hýzlý hareket yapar. Bu nedenle Hareket hâlindeki bir cisme etkiyen net kuvvet kaldýrýldýðýnda cisim zamanla durur. ifadesi belirli þartlara baðlýdýr. Net kuvvet ivmeli hareket oluþturur. Sabit hýz ise net kuvvet sýfýr olduðunda gerçekleþir. Bu nedenle Sabit hýzlý hareket eden bir cisme etkiyen net bir kuvvet vardýr. ifadesi yanlýþ bir ifadedir. Hareketler ivmeli ise net kuvvet vardýr, sabit hýzlý ise net kuvvet sýfýrdýr. Bu nedenle Hareket varsa her zaman net kuvvet vardýr. demek doðru deðildir. Her hareket kuvvet ile baþlar. Ancak her kuvvet her zaman hareket oluþturmaz. Bir kuvvet dengelenmediði sürece harekete sebep olur. Durgun hâldeki bir cisme etki eden kuvvetler birbirlerini dengelediðinde harekete sebep olmazlar. Bu nedenle Kuvvet varsa her zaman hareket de vardýr. denilemez. Çevremizde bahsi geçen düzgün hareketin gerçekleþmesi oldukça zordur. Çünkü dýþ kuvvetlerin etkisini ortadan kaldýrmak doðal olarak mümkün deðildir. Örneðin kuleden atýlan cisim, bir yol boyunca hareket ettirilen teneke kutu, dalýndan düþen yaprak, serbest býrakýlan uçan balon vs düzgün hareket edemezler. Düzgün olmayan harekete bir örnekte yaðmurun yaðmasýdýr. Yaðmur damlalarý, sürekli hýzlanarak yeryüzüne inmezler. Önce hýzlanýr, daha sonra sabit hýzla yoluna devam ederler. Yaðmur damlasýnda gözlenen bu olaya limit hýz olayý denir. Limit hýz, yaðmur damlasýnýn üzerine etki eden net kuvvetin sýfýr olduðu an ve sonrasýnda sahip olduðu hýz deðeridir. Yaðmur damlasý hareket ederken havanýn 7

8 direnç kuvveti yaðmur damlasýnýn aðýrlýk kuvvetini dengelediðinden, yaðmur damlasý dengelenmiþ kuvvetler etkisindedir. Yani bileþke kuvvet sýfýrdýr. Bileþke kuvvet sýfýr iken yaðmur damlasýnýn belirli bir hýzý vardýr. Yaðmur damlasý sahip olduðu bu hýzla yani limit hýzla yeryüzüne doðru düþmektedir. Hava ortamýnda bir cisme etki eden direnç kuvvetinin, cismin aðýrlýðýna eþit büyüklüðe ulaþtýðý anda cismin sahip olduðu sabit hýza limit hýz denir. Havanýn, içinde hareket eden cisimlere uyguladýðý sürtünmeye hava sürtünmesi ya da hava direnci denir. Havada hareket eden her cisme hava direnci etki eder. Hava direnci, hafif ve geniþ yüzeyli cisimleri limit hýza daha çabuk ulaþtýrýr. Aðýr ve yüzey alaný küçük olan cisimler hava direncinden daha az etkilenirler ve limit hýza daha geç ulaþýrlar. Örneðin, hava ortamýnda ayný yükseklikten serbest býrakýlan buruþturulmuþ A4 kaðýdý ile normal A4 kaðýdý ayný anda yere düþmez. Çünkü aðýrlýklarý eþit olmasýna raðmen açýk olan A4 kâðýdýnýn yüzey alaný buruþturulmuþ olanýnkinden daha fazla olduðundan, etki eden hava direnç kuvveti daha fazla olur ve daha yavaþ düþer. Paraþütle atlamada, paraþüt atlayanýn, hareket yönüne dik olan yüzey alanýný oldukça çok artýrýr. Böylece havanýn direnç kuvveti artar ve kýsa sürede limit hýza ulaþýlarak güvenle yere inme saðlanmýþ olur. Cisimlerin Birbirine Göre Hareketi Hareketler, gözlendiði referans sistemine ya da gözlem çerçevesine baðlý olarak tanýmlanýr. Eðer bir cisim, sabit kabul edilen gözlem çerçevesine göre zamanla yerdeðiþtiriyorsa hareket ediyor görülürken, sabit olmayan baþka gözlem çerçevesine göre hareketsiz görülebilir. Hareket hâlindeki otobüste oturan bir yolcu, otobüse göre hareketsiz, yere göre hareketlidir. Ayný yönde eþit süratlerle yanyana giden iki aracýn sürücüleri birbirine göre hareketsizdir. Ancak bu araçlara zýt yönde giden bir aracýn sürücüsüne göre ya da yolda durmakta olan bir yolcuya göre hareketlidir. Yerde duran bir gözlemciye göre düþey olarak inen yaðmur damlalarýnýn izlediði yol, hýzla giden bir otomobilin þoförüne göre eðik görünür. Dolayýsýyla hem hareket hemde hareket sýrasýnda izlenilen yol, referans ya da gözlem çerçevelerine göre deðiþik olabilir. Bir cismin, duran ya da hareket eden baþka bir cisme göre yaptýðý harekete baðýl hareket denir. Cisimlerin birbirine göre hareketlerinin farklý algýlanmasýnýn nedeni hýzlarýnýn ya da hareket yönlerinin farklý oluþundandýr. Cisimlerin hýzý ve hareket yönü gözlemcinin hýzý ve hareket yönüne göre ya da seçilen baþlangýç noktasýna göre deðiþebilir. Baðýl hýz : Bir cismin hýzýnýn duran ya da hareket eden baþka bir cisme göre hýzýdýr. Áv b ile gösterilir. Vektörel bir büyüklüktür. Birimi m/s dir. Baðýl hýz, Ávb = Ávgözlenen Ávgözlemci baðýntýsý ile hesaplanýr. Baðýl hýz vektörel olduðu için, iþlemler vektörlerin özelliklerine göre yapýlýr. Buna göre, gözlemci cismi Áv b hýzý ile hareket ediyormuþ gibi görür. Baðýntýya göre, baðýl hýz bulunurken, gözlediðimiz cismin hýzý aynen alýnýp, gözlemcinin hýzý ters çevrilerek vektörel olarak toplanýr. Bu toplam vektör baðýl hýzý verir. Ya da baðýl hýz bulunurken, gözlenen cisim hýz vektörü ile gözlemcinin hýz vektörü çakýþtýrýlýr. Gözlemcinin hýz vektörünün ucundan, gözlenenin hýz vektörünün ucuna çizilen vektör baðýl hýzý verir. Araçlar ayný doðrultuda hareket ediyorlarsa: Hareket yönleri ayný olan araçlarýn baðýl hýzýnýn büyüklüðü hýzlarýnýn farkýna eþittir. Birinin sürücüsü diðerini pozitif yönde gidiyor görürse, öbürü de diðerini negatif yönde gidiyor görür. Hareket yönleri zýt olan araçlarýn baðýl hýzýnýn büyüklüðü hýzlarýnýn toplamýna eþittir. Araçlarýn sürücüleri, birbirlerini yere göre hareket yönlerinde gidiyor görürler. Baðýl hýz bulunurken, gözlemcinin hýzý ile gözlenenin hýzý iyi tespit edilmelidir. Örneðin, K nin L ye göre hýzý sorulduðunda, L gözlemci K gözlenendir. Ayrýca, K aracýnýn sürücüsü yalnýz L aracýna bakarak kendini nasýl hareket ediyor görür denildiðinde, gözlemci K aracýnýn sürücüsü deðil, L nin sürücüsüdür. Sorularda baðýl hýz ile gözlenen ya da gözlemcinin hýzýnýn birisi verilmiþ ise, Áv b = Áv gözlenen Áv gözlemci baðýntýsý kullanýlarak istenilen hýz, vektörel olarak bulunabilir. Bir referans sisteminde duran bir cisim, baþka bir referans sistemine göre hareketli olabilir. Cismin izlediði yörünge ise, gözlem çerçevesine göre doðrusal ya da eðrisel olabilir. 8

9 Nehir, hareketli bir araç ve rüzgarlý bir hava gibi hareketli ortamlardaki cisimlerin hareketi farklý gözlem çerçevelerine göre yorumlanýr. Hareketli ortamlardaki cisimlerin hýzýda yine gözlem çerçevelerine göre farklý yönlerde ve büyüklüklerde olabilir. Birden fazla hareketin etkisinde olan cisimlerin hareketi, boyutlar gözönüne alýnarak farklý þekilde tanýmlanýr. Genel olarak hareketli ortam içerisinde olan cisimlerin hareketleri bileþik hareket grubuna girer. Bileþik harekete örnek olarak, rüzgârlý bir havada uçan uçak, uçak gemisinde havalanmakta olan uçak, nehirde hareket eden bir vapurdaki hareket eden yolcular, yürüyen bantlardaki yürüyen yolcular vs. verilebilir. Bahsi geçen örneklerdeki rüzgarýn hýzý, geminin sahip olduðu hýz uçaðýn hýzýný, yürüyen bandýn hýzý ise yolcularýnýn hýzýný etkiler. Baðýl harekette, hýz hesabý oldukça karmaþýk hesaplamalar gerektirse de ayný ve dik doðrultulu hareketlerdeki baðýl hýzý hesaplamak oldukça kolaydýr. Burada, cisimlerin birbirine ve yere göre hýzlarý ile hareketli ortamlardaki hýzlarý ve hareketleri için karmaþýk olmayan ayný doðrultulu ile dik doðrultulu hareketler ele alýnacaktýr. Dolayýsý ile baðýl hareketi, iki cismin birbirlerine göre olan hareketi ve hareketli bir ortamdaki cisimlerin farklý gözlem çerçevelerine göre hareketi þeklinde ele alýp, yalnýz sabit hýzlý olanlarýný yorumlayacaðýz. Akýntý hýzýnýn her yerinde eþit ve sabit olduðu bir ýrmaktaki, kayýk, motor ya da yüzücülerin hareketleri yere göre hýzlarý dikkate alýnarak incelenir. Irmak içindeki hareketlerde, suya göre hýz, kayýða göre hýz ya da yere göre hýz kavramlarý çokça kullanýlýr. Bu hýzlardan; Suya göre hýz: Su durgun iken kayýðýn ya da motorun sahip olduðu hýzdýr. Kayýða göre hýz: Kayýk durgun iken sahip olunan hýzdýr. Yere göre hýz: Suya göre hýz ile akýntý hýzýnýn vektörel bileþkesi olan hýzdýr. Yani, yerde duran bir gözlemciye göre hýzdýr. Irmak içindeki hareketlerde sabit hýzlý hareket çokça kullanýlýr. Dolayýsýyla alýnan yol, Yol = Hýz Δx = v Δt baðýntýsý ile hesaplanýr. Irmak içindeki hareketliler için, her hýz kendi yönünde yol aldýrýr kuralý geçerlidir. Dolayýsýyla önce alýnacak yol belirlenir. Daha sonra bu yolu aldýracak hýz kullanýlarak iþlemler yapýlýr. 9 I. Ayný Doðrultulu Irmak Problemleri Þekildeki kayýk, Áv su hýzý ile akan ýrmakta suya göre Áv K hýzýyla hareket etmektedir. v kayýk Kayýðýn yere göre hýzý(áv yer v kayýk ): suyun hýzý ile suya göre hýzýnýn bileþkesine eþittir. Buna göre, kayýk akýntý yönünde hareket ediyorsa, v yer = v su + v K dir. Kayýk suya göre, Áv K hýzýyla akýntýya ters yönde hareket ederse üç ihtimal vardýr. a. v K > v su ise, akýntýya ters yönde yol alýr. b. v K = v su ise, olduðu yerde kalýr. c. v K < v su ise, akýntý yönünde sürüklenir. Akýntý hýzýnýn her yerinde eþit sabit ve v olduðu bir ýrmaktaki yüzücünün hýzý zamanla þekildeki gibi deðiþiyorsa; v 3t t t t zaman aralýðýnda v yüzücü kendini akýntýya serbest býrakmýþtýr. t t zaman aralýðýnda yüzücü akýntýya zýt yönde yüzmüþtür. t 3t zaman aralýðýnda yüzücü akýntý ile ayný yönde ve akýntýya göre v hýzý ile yüzmüþtür. 3t 4t zaman aralýðýnda ise yüzücü akýntýya zýt yönde ve akýntýya göre v hýzý ile yüzmüþtür. Akýntýya zýt yönde hareket eden kayýðýn yere göre hýzý, büyük vektörden küçük vektör çýkarýlarak bulunur. v yer = v su v K v yer = v K v su ya da, olur. v Hýz II. Dik Doðrultulu Irmak Problemleri v su 4t Bir nehirde motorla karþýdan karþýya geçerken, sürekli akýntýya dik olarak hareket edilse bile tam karþýdaki noktaya çýkýlamaz. Çünkü motor hareket ederken bir taraftan da akýntý tarafýndan sürüklenir. Dolayýsýyla motor hem kendi hýzýnýn hem de akýntý hýzýnýn etkisinde bileþik bir hareket yapar. Þekilde suya göre Áv K hýzýyla ýrmaða dik doðrultuda giren kayýk akýntýnýn L x da etkisiyle M nokta- sýna çýkar. Burada yere Áv K göre hýz; suyun hýzý ile v su v yer suya göre hýzýn bileþkesidir. K M d

10 Á Á Kuvvet ve Hareket Bu bir bileþik hareket olduðundan, hangi doðrultudaki yer deðiþtirme bulunmak isteniyorsa, o doðrultudaki bileþke hýz alýnýr. Alýnan yollarda sabit hýzla alýndýðýndan, yol = hýz zaman baðýntýsý kullanýlýr. Buna göre, d = KL = v K t x = LM = v su t KM = v yer t dir. Baðýntýdaki t ler her durumda aynýdýr. Çünkü, dik doðrultulu bileþik hareketlerde, iki doðrultudaki hareketler farklý hýzlarla gerçekleþsede geçen zaman ortaktýr. Yani hareketli her hangi bir anda bir boyutta ne kadar süre hareket etmiþse diðer boyutta da ayný süre hareket etmiþ olur. Kayýðýn karþý kýyýya geçme süresi, suya göre hýz vektörünün ýrmaða dik bileþeninden bulunur. KL = d = v K t Akýntý hýzý, karþý kýyýya varma süresini etkilemez. Karþý kýyýya varma süresi, ýrmaðýn geniþliði ile, kayýðýn akýntýya dik hýzý olan Áv Y ye baðlýdýr. Akýntý hýzýnýn artmasý yere göre hýzý artýrýrken, yöre göre alýnan yolu da artýrýr. Dolayýsýyla oranlar deðiþmez. Bu da karþý kýyýya varma süresinin deðiþmemesi demektir. UYARI Irmaktaki; kayýk, motor, yüzücü gibi hareketliler daima yere göre hýz vektörü yönünde hareket eder. NET BÝR KUVVETÝN ETKÝSÝNDEKÝ CÝS- MÝN HAREKETÝ Kuvvet, cisimlerde hýz deðiþimine neden olduðundan, dengelenmemiþ kuvvetler etkisinde kalan cisim ya da sistemlerin hareketi ve hýzý, net kuvvete ya da bileþke kuvvete baðlý olarak deðiþir. Durgun hâlde olan cisimlere sabit bir net kuvvet etki ettiðinde, cisimler kuvvet yönünde hýzlanýrken, hareket hâlinde olan cisimlere hareketleri doðrultusunda sabit bir net kuvvet uygulandýðýnda ise hýzlarý deðiþir. Net kuvvet cismin hareketi yönünde iken cisim düzgün olarak hýzlanýr. Net kuvvet cismin hareketine zýt yönde ise, cisim önce düzgün olarak yavaþlar, bir an durur ve sonra ters yönde hýzlanýr. Ývme, birim zamandaki hýz deðiþimi olduðundan, net kuvvet etkisiyle hýzý deðiþen cisim, net kuvvet etkisiyle ivmeli hareket yapýyor demektir. Durmakta olan cismin dengelenmemiþ sabit bir kuvvet etkisinde düzgün olarak hýzlanmasý, hareket hâlinde olan cisimlerin net kuvvet etkisiyle düzgün hýzlanmasý ya da düzgün yavaþlamasý kýsaca cismin hýzýnýn düzgün deðiþmesi, net kuvvetin cismin ivmesiyle iliþkili olduðunu gösterir. Dengelenmemiþ sabit Hýz bir net kuvvet etkisinde kalan cismin hýzýnýn zamanla deðiþim grafiði þekildeki gibi olur. Grafikte doðrunun eðimi θ sabit olduðundan bu hareket, sabit ivmeli bri harekettir. O hâlde, dengelenmemiþ sabit bir kuvvetin etkisi altýndaki cisim ya da sistemler sabit ivmeli hareket yapar. Bir cisme etki eden net kuvvet sýfýrdan farklý ise, cisim ivme kazanýr. Cismin kazandýðý ivme, uygulanan net kuvvet ile doðru orantýlý, kütlesi ile ters orantýlýdýr. Cisme etkiyen net kuvvetin, cismin kazandýðý ivmeye oraný sabittir. Bu sabit ise cismin eylemsizlik kütlesidir. Cismin kütlesi m, cisme etkiyen net kuvvet ÁF net ve cismin ivmesi a olmak üzere, II. Hareket Yasasý olarak bilinen temel prensip; Fnet = m a baðýntýsý ile gösterilir. Baðýntýdaki m, kilogram, a: metre/saniye ve F net ise newton cinsinden alýnýr. Verilen baðýntýya göre, kütle sabit iken net kuvvetin deðiþimi ve iþareti nasýlsa, ivmenin deðiþimi ve iþareti de aynýdýr. Yani net kuvvet - zaman grafiði ile ivme - zaman grafiði þekilce özdeþtir. Hatta cismin kütlesi 1 kg ise grafikler birebir aynýdýr. 1

11 F F Net kuvvet m a m a t t 3t Þekil I Ývme t t 3t Þekil II Net kuvvet - zaman grafiði Þekil I de verilen m kütleli cismin ivme - zaman grafiði Þekil II deki gibi olur. Bir Doðru Boyunca Hareket Düz bir yolda sabit süratla hareket eden, hýzlanan ya da yavaþlayan; sürtünmesi önemsiz ortamda belirli yükseklikten serbest býrakýlan ya da aþaðý doðru düþey olarak bir hýzla atýlan, yerden düþey olarak yukarý doðru atýlan cisimlerin hareketi bir doðru boyunca harekettir. Bir doðru boyunca hareket eden cismin hýzýna göre, hareket çeþitleri belirlenir. Bu hareketlerden, düzgün doðrusal hareket: Cismin eþit zaman aralýklarýnda eþit miktar yer deðiþtirdiði hareket çeþitidir. Bu harekette cismin hýzý sabittir. Düzgün doðrusal harekette hýz sabit olduðu için ivme sýfýrdýr. Cismin konumu x, x, 3x, 4x...olarak deðiþirken Δx = x olup, v = sabit tir. Dolayýsýyla a = dýr. Düzgün deðiþen doðrusal hareket: Cismin hýzýnýn eþit zaman aralýklarýnda eþit miktar deðiþtiði hareket çeþididir. Bu harekette hýz sabit deðildir. Düzgün deðiþen doðrusal harekette, hýz düzgün deðiþtiði için ivme sabittir. Cismin hýzý v, v, 3v, 4v... olarak deðiþirken Δv = v olup a = sabittir. Duruþtan ya da belirli bir ilk hýzla harekete baþlayan cisimlere hareketi yönünde net kuvvet uygulandýðýnda, cismin hýzý zamanla düzgün olarak artar. Cismin yapmýþ olduðu bu harekette net kuvvet sabit olduðundan ivmede sabittir. Eðer net kuvvet ilk hýza zýt yönde ise bu kez cismin hýzý düzgün olarak azalýr sýfýr olur. Sonra ise zýt yönde düzgün olarak artar. Yani cisim önce düzgün olarak yavaþlayýp durur sonra zýt yönde düzgün olarak hýzlanmaya baþlar. Burada da net kuvvet sabit olduðundan ivmede sabittir. Ancak buradaki ivme ile yukarýda bahsedilen ivme ile ayný yönlü deðildir. Belirli bir ilk hýzla bir doðru boyunca hýzlanan cismin hýz - zaman grafiði þekildeki gibi olur. Hýz - zaman grafiðinde doðrunun eðimi ivmeyi verir. O hâlde ivme, a = tanθ = olur. v t = sabit v v Hýz θ Δt t Δv Hýz - zaman grafiðinin eðimi ivmeyi verdiðinden belir- Ývme li bir ilk hýzla hýzlanan cismin ivme - zaman grafiði Δv = a Δt a þekildeki gibi olur. Ývme - zaman grafiðinin altýnda Δt kalan alanda hýz deðiþimini verir. O hâlde t süre sonra hareketlinin hýzý, Δv = a Δt v v = a (t ) v = v + a t baðýntýsý ile hesaplanýr. Hýz - zaman grafiðinin altýnda kalan alan yer deðiþtirmeyi verir. v ilk hýzý ile düzgün hýzlanan cismin hýz - zaman grafiðine göre, t süredeki yer deðiþtirme yamuðun alanýna eþit olduðundan, t v+v Δx = ( ) Δt olur. Burada v yerine v = v + a t baðýntýsý yazýlýrsa, (v +a t)+v Δx = ( ) (t ) Hýz 1 Δx = v t + a t bulunur. Baþlangýçta hareketlinin ilk konumu sýfýr ise t anýndaki konumu, 1 x = v t + a t olur. Eðer, belirli bir x konumundan harekete baþlamýþ ise t süre sonraki konumu, 1 x = x + v t + a t þeklinde olur. v v Alan = Δx Ýlk konumu sýfýr olan bir cismin t süre sonundaki hýzý, zamansýz olarak þu þekilde hesaplanýr. v = v + a t baðýntýsýnda t yalnýz býrakýlýp, 1 x = v t + a t baðýntýsýnda yerine yazýlýrsa; v v t = olacaðýndan, bu deðer yol denkleminde yerine a yazýlýrsa, v v x = v 1 v v + a ( ) a a Δt t 11

12 v v 1 v v x= v ( ) + a( ) a a v v v 1 v + v v v x = + a a v v v v + v v v x = + a a a x= v v v = v + a x olur. Bu baðýntý kullanýlarak, süre hesaba katýlmadan cismin son hýzý hesaplanabilir. Bir doðru boyunca hareket eden cisimler için hareket denklemleri þu þekilde genellenebilir. Sürtünmesi önemsiz v a,t v düz bir yolda v hýzýyla harekete baþlayan x bir cisim sabit a ivmesiyle t süre hareket ederse, ilk konumundan x kadar uzaklaþýr. Bu sürede hýzý deðiþir ve v olur. Cismin aldýðý yol ve son hýzý þu baðýntýlarla hesaplanýr. 1 x = v t ± a t Bir doðru boyunca harekette cismin hareketi grafikler yardýmý ile açýklanýr ve formüller kullanýlarak hesaplamalar yapýlýr. Hareketin daha iyi anlaþýlmasý grafiklerin anlaþýlmasýna ve yorumlanmasýna baðlýdýr. Cismin hareketi ile ilgili grafikler konum - zaman, hýz - zaman ve ivme - zaman grafikleridir. Grafiklerde, grafiðin eðimi ve alaný anlam ifade edebilir. Eðim : Bir doðrunun yatayla yaptýðý açýnýn Karþý dik kenar tanjantýna denir. Eðim = tanθ= Komþu dik kenar Eðim bir doðrunun dikliðinin ölçüsüdür. Diklik artýyorsa eðim artýyor, diklik azalýyorsa eðim azalýyor, diklik sabitse eðim de θ sabittir. Þekillerde verilen grafiklerin eðimleri çizilen teðetlerin yatayla yaptýðý açý- Yatay nýn tanjantýna göre bulunur. (+) yöndeki grafikler: Pozitif yönde Sabit eðimli ( ) yöndeki grafikler: Sabit eðimli Pozitif yönde Artan eðimli Artan eðimli Pozitif yönde Azalan eðimli Azalan eðimli Eðim sýfýr Eðim sýfýr v = v ± a t v = v ± a x Baðýntýdaki v : ilk hýz, v : son hýz, t : hareket süresi, x : cismin aldýðý yol, a : cismin ivmesidir. Formüllerde kullanýlan (+) ve ( ) iþareti cismin ivmesinin iþaretidir. Genel olarak, hýzlanan hareketlerde formülde (+), yavaþlayan hareketlerde formülde ( ) iþareti kullanýlýr. Ayrýca soru içerisinde geçen durgun hâlden harekete geçen cisim...? denildiðinde v = demektir. Benzer þekilde... düzgün yavaþlayýp duran...? denildiðinde, v s = dýr. Cisim düzgün yavaþladýðý için formüllerde ( ) iþareti kullanýlýr. Cismin ivmesi de sabit demektir. Bir doðru boyunca harekette cisimler eþit zaman aralýklarýnda farklý yer deðiþtirme yapabilirler. Eþit zaman aralýklarýnda yer deðiþtirmelerin farklý olmasý, hareketlinin hareketi süresince hýzýnýn deðiþmesi demektir. Hýzý deðiþen cisimlerin konum - zaman grafikleri ise parabol olur. Ýkinci dereceden bir fonksiyonun analitik düzlemdeki görüntüsüne parabol denir. Parabol, düzgün tel parçasýnýn uçlarýndan tutularak bükülmesiyle oluþan, kollarý yukarýya doðru ya da aþaðýya doðru olan bir eðridir. Grafik parçalarýnýn alaný, zaman ekseni ile oluþan bölgedir. ekseninin üstündeki alanlarýn iþareti (+), zaman ekseninin altýndaki alanlarýn iþareti ( ) alýnýr. Doðrusal hareketteki grafiklerin eðim ve alanlarý þekildeki tabloda verilmiþtir. Grafik Konum zaman Hýz zaman Ývme zaman Eðim v a Alan Konum - Grafiklerinin Özellikleri Konum - zaman grafiklerinde eðim hýzý verir. Eðimin büyüklüðü ve iþareti ne ise hýzýn büyüklüðü ve iþareti odur. x 3 x x 1 Konum I II III IV V VI VII Δx Δv 1

13 Konum - zaman grafiklerinden hareketlinin yönü bulunabilir. Hýzýn iþareti hareketin yönünü belirtir. Verilen grafikte cisim; I II III IV V VI VII aralýðýnda (+) yönde hýzlanan hareket yapmaktadýr. Çünkü grafiðin eðimi pozitif yönde ve artmaktadýr. aralýðýnda (+) yönde sabit hýzlý hareket yapmaktadýr. Çünkü grafiðin eðimi pozitif yönde ve sabittir. aralýðýnda (+) yönde yavaþlayan hareket yapmaktadýr. Çünkü grafiðin eðimi pozitif yönde ve azalmaktadýr. aralýðýnda durmaktadýr. Çünkü grafiðin eðimi sýfýrdýr. aralýðýnda ( ) yönde hýzlanan hareket yapmaktadýr. Çünkü grafiðin eðimi negatif yönde ve artmaktadýr. aralýðýnda ( ) yönde sabit hýzlý hareket yapmaktadýr. Çünkü grafiðin eðimi negatif yönde ve sabittir. aralýðýnda ( ) yönde yavaþlayan hareket yapmaktadýr. Çünkü grafiðin eðimi negatif yönde ve azalmaktadýr. Hýz - Grafiklerinin Özellikleri Hýz - zaman grafiklerinden hareketlinin herhangi bir andaki yönü belirlenebilir. Grafikte hýz ýn ve alan ýn iþareti hareket yönünü belirler. Hýzýn iþaret deðiþtirdiði yerde cisim yön deðiþtirir. Hýz - zaman grafiklerinde eðim ivmeyi verir. Eðimin büyüklüðü ve iþareti ne ise ivmenin büyüklüðü ve iþareti odur. Ývmenin iþareti cismin hýzýnýn belli bir yöne göre arttýðýný ya da azaldýðýný gösterir. Örneðin ivmenin iþareti (+) ise cisim ya ileri hýzlanan hareket yapýyordur ya da geri doðru yavaþlayan hareket yapýyordur. Ývmenin iþareti ( ) ise cisim ya geriye doðru hýzlanan hareket yapýyordur ya da ileri doðru yavaþlayan hareket yapýyordur. Eðer ivme sýfýr ise, o zaman cisim ya duruyordur ya da sabit hýzla hareket ediyordur. Hýz - zaman grafiklerinde, grafik par- Hýz çalarý ile zaman +Δx 1 ekseni arasýnda kalan alan yer deðiþtirmeyi verir. Za- Δx man ekseninin üstünde kalan alan; (+) yöndeki, altýnda kalan alan ise cismin ( ) yöndeki yer deðiþtirme miktarýný verir. Toplam yer deðiþtirme alanlarýn cebirsel toplamýna eþittir. ΣΔx = (+Δx 1 ) + ( Δx ) Grafik parçalarý zaman ekseninden uzaklaþýyorsa cisim hýzlanýyor, yaklaþýyorsa yavaþlýyor demektir. 13 Ývme - Grafiklerinin Özellikleri Ývme - zaman grafiklerinde grafik parçalarý ile Ývme + a zaman ekseni arasýnda +Δv kalan alan hýz deðiþimini (Δv) verir. 1 Δv ekseninin üstünde kalan alan (+) a yönde hýz deðiþimini, altta kalan alan ise cismin ( ) yönde hýz deðiþimini verir. Toplam hýz deðiþimi alanlarýn cebirsel toplamýna eþittir. Hareketlinin ilk hýzý v verilmiþ ise, son hýzý ivme - zaman grafiklerinden faydalanarak, baðýntýsý ile bulunur. Grafikler birbirine dönüþtürülürken, grafiðin özellikleri kullanýlýr. Konum - zaman grafiðinin eðimi alýnarak hýz - zaman grafiði, hýz - zaman grafiðinin de eðimi alýnarak ivme - zaman grafiði çizilebilir. Ývme - zaman grafiðinin hýz - zaman grafiði çizilirken, ivme - zaman grafiðinde alanýn hýz deðiþimini vermesi ve hýz - zaman grafiðindeki eðimin ivmeyi vermesi birlikte düþünülür ve ona göre çizim yapýlýr. Hýz - zaman grafiðinin konum - zaman grafiði çizilirken, hýz - zaman grafiðinde alanýn konum deðiþimini vermesi ve konum - zaman grafiðinde de eðimin hýzý vermesi birlikte düþünülür ve ona göre çizim yapýlýr. v ΣΔv = (+Δv 1 ) + ( Δv ) v s = v + ΣΔv Hýz t Þekil I t Konum t t Þekil I de verilen hýz - zaman grafiðinin konum - Ývme +a zaman ve ivme - zaman t t grafikleri Þekil II ve Þekil III teki gibidir. Hýz - zaman a grafiðine göre ( t) zaman aralýðýnda hýz artmýþ- Þekil III týr. Grafiðin alaný da pozitif olduðundan, cisim pozitif yönde hýzlanan hareket yapmýþtýr. Konum - zaman grafiði çizilirken, konumun eðimi hýzý verdiðinde, hýz arttýðýna göre, konumun da eðimi artan parabol olmalýdýr. x x Þekil II

14 Á Á Á Á Kuvvet ve Hareket Ayný þekilde t t zaman aralýðýnda cismin hýzý azalmýþtýr. Grafiðin alaný pozitif olduðundan, cisim ileri doðru yavaþlayan hareket yapmýþtýr. Konum - zaman grafiðinde, konumun eðimi hýzý verdiðinden, hýz azaldýðý için, konum da eðimi azalan parabol olmalýdýr. Bu açýklamalara göre konum - zaman grafiði Þekil II deki gibidir. Hýz - zaman grafiðinden ivme - zaman grafiði çizilirken, hýzýn eðimi alýnýr. - t zaman aralýðýnda grafik parçasýnýn eðimi pozitif yönde sabittir. O halde ivme de pozitif yönde sabittir. t - t zaman aralýðýnda grafik parçasýnýn eðimi negatif yönde sabittir. O halde ivme de negatif yönde sabit olur. Bu açýklamalara göre ivme - zaman grafiði Þekil - III teki gibi olur. Aþaðýda çokça karþýlaþýlacak olan hýz - zaman grafiklerinin konum - zaman ve ivme - zaman grafikleri verilmiþtir. Grafik dönüþümlerini kontrol ederek doðruluðunu test ediniz. v v v Hýz t Þekil IV Hýz t Þekil VII x x t t Ortalama Hýz x Konum t Þekil V Konum t +a a t t Þekil VIII a Ývme t Þekil VI Ývme t t Þekil IX Bir doðru boyunca harekette cisimler sabit ivmeli hareket yaparken hýzlarý artar ya da azalýr. Cisimlerin yapacaðý yerdeðiþtirme ya da alacaðý yol, hýzýna ve hareket süresine baðlý olarak deðiþir. Cisim ya da araçlar deðiþik uzunluktaki yollarý farklý sabit hýzlarla katedebilir. Cisimlerin hýzlarýnýn düzgün olarak deðiþtiði ya da farklý sabit hýzlarla hareket ederken farklý uzunluklarda yollar aldýðý durumlarda cismin ortalama hýzý kullanýlarak iþlemler basite indirgenir. Cismin toplam yer deðiþtirme miktarýnýn bu yer deðiþtirme miktarýný almasý için geçen zamana oraný ortalama hýzý verir. Áv ort ile gösterilir. Vektörel bir niceliktir. Birimi SΙ birim sisteminde m/s dir. t baðýntýsý ile hesapla- Ortalama hýz, v nýr. Bir doðru boyunca sabit ivme ile hareket eden bir cismin ortalama hýzý, ilk ve son hýzlarýnýn toplamýnýn yarýsý yani aritmetik ortalamasý alýnabilir. v ort = baðýntýsýyla, yerdeðiþtirme miktarý ise; Δx = v ort Δt baðýntýsýyla hesaplanabilir. Duruþtan sabit ivmeyle harekete geçen cisimlerin ortalama hýzlarý son hýzlarýnýn yarýsýna eþittir. Konum zaman grafiðinden de ortalama hýz bulunabilir. Grafikte iki konum arasýndaki doðrunun eðimi ortalama hýzý verir ve, ΔÁx Áx Áx1 vort = Eðim= tanθ= = Δt t t1 hesaplanýr. vilk + vson ort = baðýntýsý ile Hýz zaman grafiðinden Hýz de ortalama hýz bulunabilir. Hýz - zaman grafi- 3v ðinde alan yer deðiþtirmeyi verdiðinden, cismin toplam yer deðiþtir- v mesi bulunarak geçen t 5t zamana bölünür. Çýkan sonuç ortalam hýzý verir. Eðer hýz düzgün deðiþiyorsa hýzlarýn aritmetik ortalamasý alýnýr. Þekilde verilen hýz - zaman grafiðine göre cismin ortalama hýzý, ( - t) zaman aralýðýnda v; (t - 5t) zaman aralýðýnda 1,5v dir. ( - 5t) zaman aralýðýnda ise 1,6v dir. Hareketlinin herhangi bir andaki hýzýna ani hýz ya da anlýk hýz denir. Bu hýz, konum zaman grafiðinde eðriye herhangi bir anda çizilen teðetin eðimine eþittir. Verilen konum zaman grafiðine göre cismin t anýndaki hýzý, Δx x vani = Eðim= tanθ= = Δt t t1 baðýntýsý ile hesaplanýr. Δx Δt x x x x 1 Konum t1 θ θ Δt t 1 t t t Δt Δx Δx 14

15 Bir doðru boyunca harekette; sabit hýz, düzgün hýzlanma, düzgün yavaþlama, durma gibi olaylarla günlük hayatta çokça karþýlaþýrýz. Marekete gitmek isteyen bir çocuðun evlerinden çýkarak bisikletine doðru sabit adýmlarla yürümesi, durup bisikletine binmesi, sokanýn sonundaki markete doðru bisikletini yöneltmesi, bisikletiyle önce düzgün hýzlanýp sonra bir süre sabit hýzla gitmesi, markete yaklaþtýðýnda bisikletin frenine basarak düzgünce yavaþlamasý ve durmasý, bisikletinden inmesi, yürüyerek marketin içine girmesi ve durup annesinin verdiði listeyi marketçi amcaya uzatmasý. Bahsi geçen bu olayda hareketin tüm durumlarý bulunmaktadýr. Çocuðun evden çýkarak, market sahibiyle karþýlaþýncaya kadar gerçekleþen olayýn hýz - zaman grafiði çizilebilir. Olayýn tamamýnýn bir doðru boyunca olduðu kabul edilirse, hýz - zaman grafiði þekildeki gibi olur. v v 1 Hýz t 1 t t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 Trafikte bir olayý görme ile frene basýncaya kadar geçen süre ve frene bastýktan sonra arabanýn durmasýna kadar geçen süre çok önemlidir. Örneðin kýrmýzý trafik iþaretinin ya da yolda meydana gelmiþ bir kazanýn görülme aný ve aracýn frenine basýlma süresi, frene basýlýrken aracýn aldýðý yol ile frene basýldýktan sonra aracýn duruncaya kadar aldýðý yol, trafik kurallarýný ihlal edip etmeyeceðimizi ya da kazaya karýþýp karýþmayacaðýmýzý belirler. Olayýn görülmesi ile frene basýlmasýna kadar geçen süreye reaksiyon süresi, frene basýldýktan sonrada aracýn durmasýna kadar geçen sürede de aracýn aldýðý yola fren mesafesi denir. Reaksiyon süresi ile fren mesafesi bir çok niceliðe baðlýdýr. Örneðin kaza olup olmayacaðýný etkileyen faktörler; insan faktörü, yolun durumu, hava þartlarý ve araçtan kaynaklanan durumlar olabilir. Reaksiyon süresini etkileyen faktörler ise; hýz, yaþ, tecrübe, uykusuzluk, cinsiyet, sinirlilik, hastalýk, ilaç kullanýmý, alkol kullanýmý, sürücünün fiziki ve ruhsal durumu, sürücünün konsantrasyonu vs lerdir. Fren mesafesini etkileyen faktörler ise; aracýn hýzý, yol ile tekerler arasý sürtünme, lastiklerin durumu, yaðýþ olup olmamasý, arabanýn fren sistemi vs lerdir. Reaksiyon mesafesi ve frenleme mesafesinin toplamý durma mesafesini verir. Çocuk t 1 anýnda bisikletinin yanýndadýr. t anýnda bisikletine binip merkete doðru harekete baþlamýþtýr. Bisikletiyle sabit hýzlý gittiði süre t 3 ile t 4 süreleri arasý farktýr. t 4 anýndan sonra bisikletinin frenine basmaya baþlamýþtýr. t 5 anýnda bisiklet durmuþtur. t 5 ile t 6 arasý bisikleti sabit bir yere yerleþtirmektedir. t 6 ile t 7 arasý marketin içine doðru sabit adýmlarla yürümektedir. t 8 anýnda elindeki listeyi marketçi amcaya vermiþtir. Hýz - zaman grafiðinin eðimi ivmeyi verdiðinden, çocuðun bisikletiyle düzgün hýzlandýðý t ile t 3 süreleri arasýnda gafiðin eðimi alýnýrsa bisikletin hýzlanýrkenki ivmesi bulunur. Benzer olarak bisikletin yavaþladýðý t 4 ile t 5 süreleri arasý grafiðin eðimi alýndýðýnda bisikletin yavaþlarkenki ivmesi hesaplanmýþ olur. Trafikte araçlarýn kullanýlmasý sýrasýnda da, hýzlanma, bir süre sabit hýzla gitme, frene basýp tekrar yavaþlama, durma, duruþtan tekrar harekete geçme gibi sürekli tekrarlanan olaylar gerçekleþir. Ýki durak arasýnda yolcu taþýyan metrobüsler duraktaki yolcularý aldýktan sonra bir süre hýzlanýr. Sonra sahip olduðu hýzla sabit hýzla yoluna devam eder. Trafik ýþýklarý varsa kýrmýzý ýþýk görüldüðünde frene basýlarak yavaþlayýp kurallara uygun olarak durulur. Bir süre beklenir. Yeþil ýþýk yandýðýnda ise tekrar hýzlanýlarak yola devam edilir. Son duraða varýncaya kadar olaylar böylece tekrar eder gider. Tek boyuttaki sabit ivmeli hareketler, sabit bir net kuvvetin etkisiyle gerçekleþir. Düz yolda arabalarýn motor kuvvetiyle hýzlanmasý, frenlerine basýlarak yavaþlamasý, dalýndan yere düþen elma, balkondan yere düþen saksý, sürtünmesi önemsiz ortamda kuleden serbest býrakýlan ya da aþaðý düþey olarak atýlan cisimler, yerden düþey olarak yukarý doðru atýlan cisimler tek boyutta ivmeli hareketlerden bazýlarýdýr. Hava oratmýnda A4 kaðýdý ile silgi ayný yükseklikten ayný anda serbest býrakýlsa, bu iki cisim yere ayný anda düþmez. Kaðýt buruþturularak yine ayný olay tekrarlansa yine cisimlerin farklý zamanlarda yere düþtükleri ancak buruþturulan kaðýdýn yere öncekinden daha kýsa sürede düþtüðü görülür. Bu olaylarda zamanlarýn farklý olmasý, düþme olaylarýnda havanýn etkili olduðunu gösterir. Ayrýca cismin kütlesi deðiþtirilmeden boyutlarýnýn küçültülmesi durumunda havanýn etkisinin azaldýðýný gösterir. Hava ortamý ile boþlukta (havasý alýnmýþ ortamda) ayný yükseklikten serbest býrakýlan cisimlerin yere düþme süreleri ve yere çarpma hýzlarý ayný olmaz. Boþlukta serbest býrakýlan cisimlerin yere düþme süreleri ile yere çarpma hýzlarý yerçekimine baðlýdýr. Çünkü, cisimler yerçekimi kuvvetinin etkisiyle gerçekleþen yerçekimi ivmesinin etkisindedir. Yani cisimler sabit ivmeli hareket yapmaktadýrlar. 15

16 Serbest býrakýlan bir cismin kütlesi m, cisme etki eden yerçekimi kuvveti ÁF (F = mg) ise, II. Hareket Yasasýna göre, F = m a m Ág = m Áa Áa = Ág olur. Sürtünmesi önemsiz ortamda serbest býrakýlan, belirli bir ilk hýzla düþey olarak aþaðý ya da yerden düþey olarak yukarý doðru atýlan cisimler için ivme yerçekimi ivmesi olup eþit ve sabittir. Bu ivmenin deðeri g = 9,8 m/s ya da yaklaþýk olarak g = 1 m/s dir. Serbest düþme hareketi, ilk hýzsýz olarak düþmeye býrakýlan cismlerin aðýrlýk etkisiyle yaptýklarý harekettir. Bu hareket, ilk hýzý sýfýr olan, düzgün hýzlanan, düþey doðrultulu ve aþaðý yönlü tek boyutta bir harekettir. Dolayýsý ile ilk Serbest düþme hareketleri hýzý olmayan duruþtan düzgün olarak hýzlanan cisimlerin hareketi ne ise serbest düþme hareketide o dur. Serbest býrakýlan cismin yere düþme süresi ve yere çarpma hýzý, býrakýldýðý yüksekliðe ve ortamýn çekim ivmesine baðlýdýr. Cismin kütlesi sadece cisme etki eden yer çekimi kuvvetini deðiþtirir. Ývmesini deðiþtirmez. Çünkü ivme, yerçekiminden kaynaklanan sabit bir ivmedir. Bir doðru boyunca harekette kullanýlan yol, hýz ve zamansýz hýz baðýntýlarý serbest býrakýlan, aþaðý düþey olarak atýlan ve yerden yukarý doðru düþey olarak atýlan cisimler içinde kullanýlýr. Baðýntýlarda a yerine g, x yerine h nicelikleri gelir. Buna göre, sürtünmesi önemsiz ortamda h yüksekliðinden serbest býrakýlan cisimler için; 1 h = g t v = g t v = g h baðýntýlarý kullanýlýr. Bu baðýntýlara göre, cismin düþeyde aldýðý yolun zamanýn karesi ile orantýlý olduðu, yere düþme süresinin ve yere çarpma hýzýnýn serbest býrakýldýðý yüksekliðin karekökü ile doðru orantýlý olduðu görülür. h yüksekliðinden serbest býrakýlan cisim t sürede yere v hýzý ile çarpýyorsa, h den serbest býrakýlan cisim tñ sürede ve ñ v hýzý ile yere çarpar. t tñ3 4h tñ 3h t h h v vñ vñ3 v yer Benzer þekilde 3h ve 4h den serbest býrakýlan cisimlerde tñ3, t sürelerde ve ñ3 v, v hýzlarý ile yere çarparlar. Serbest býrakýlan cismin her saniyede aldýðý yol; 5, 15, 5, 35, 45 metre... þeklinde olur. Bu yollar h, 3h, 5h, 7h... þeklinde de gösterilebilir. Sürtünmesi önemsiz ortamda serbest býrakýlan cismin konum - zaman, hýz - zaman ve ivme - zaman grafikleri þekillerdeki gibi olur. t h 3h Þekil I Hýz t t v v Þekil II a Hýz - zaman grafiðinin alaný cismin düþeyde aldýðý h yolunu verir. Cismin hýzý her saniye yerçekimi ivmesi kadar artarken, cisim düþeyde sürekli artan yollar alarak aþaðý iner. v ve belirli bir hýzla yere çarpar. Ývme t t t Hýz Þekil III Alan = h t Sürtünmesi önemsiz ortamda belirli yükseklikten düþey olarak aþaðý doðru ilk hýzla atýlan cisimde sabit ivmeli hareket yapar. Bu cismin serbest düþme hareketinden tek farký ilk hýzýnýn olmasýdýr. Dolayýsý ile düþey olarak aþaðý doðru atýlan cismin hareketi, düz bir yolda belli bir ilk hýzý olan ve düzgün hýzlanan cismin hareketine benzer. Sürtünmesi önemsiz ortamda düþey olarak aþaðý doðru atýlan bir cismin konum - zaman, hýz - zaman ve ivme - zaman grafikleri þekillerdeki gibi olur. h Þekil I Hýz t t v a v Þekil II Ývme Þekil III Hýz - zaman grafiðinin alaný Hýz cismin düþeyde aldýðý h yolunu verir. Cismin hýzý ilk hýzýnýn t v Alan = h üzerine her saniye yerçekimi ivmesi kadar artarken, cisim v düþeyde sürekli artan yollar alarak aþaðý iner. ve belirli bir hýzla yere çarpar. Sürtünmesi önemsiz ortamda yerden ya da belirli yükseklikten düþey olarak yukarý doðru atýlan cisimde sabit ivmeli hareket yapar. Bu cismin hareketi önce düzgün yavaþlayýp bir an durma sonrasýnda serbest düþme hareketinde olduðu gibi düzgün hýzlanma þeklindedir. t 16

17 Sürtünmesi önemsiz ortamda yerden düþey olarak yukarý doðru atýlan bir cismin konum - zaman, hýz - zaman ve ivme - zaman grafikleri þekillerdeki gibi olur. h Konum t Þekil I Hýz - zaman grafiðinin alaný Hýz cismin düþeyde aldýðý h yolunu verir. t süresine kadar v Alan = h max aldýðý yol maksimum çýkýþ yüksekliðine eþittir. Cismin t t uçuþ hýzý her saniye yerçekimi ivmesi kadar önce azalýr bir v an sýfýr olur. Sonra serbest düþme hareketinde olduðu gibi tekrar yerçekimi ivmesi kadar artar. Cisim düþeyde önce azalan yollar alarak yükselir. Sonra artan yollar alarak belirli bir hýzla yere çarpar. Cismin çýkýþ süresi, iniþ süresine eþittir. Cismin uçuþ süresi; v tuçuþ = g v t v Hýz baðýntýsý ile hesaplanýr. Cismin çýkabileceði maksimum yükseklik ise, v = 1 1 hmax = g tç = g ti g baðýntýlarýnýn birisi ile hesaplanýr. Cismin her hangi bir andaki çýkýþ ve iniþ hýzý ayný düzeyde eþit büyüklüktedir. Yukarý atýlan cisim belli bir H yüksekliðinden atýlmýþ ise yere çarpma hýzý daha büyük olur. Böyle bir durumda þekildeki grafikte verilen yeþil olarak taranmýþ alan cismin atýldýðý yüksekliði verir. t Þekil II v v Alan=H v Ývme t t a Þekil III t Tek boyutta sabit ivmeli hareket olan, serbest düþme, aþaðý atýþ ve yukarý atýþ hareketlerinde ivme ile hýz ayný doðrultudadýr. Serbest düþme ve aþaðý düþey atýþta hýz ile ivme ayný yönlü iken, yukarý atýþta cisim tepe noktasýna çýkýncaya kadar ivme, hýz ile zýt yönlü, sonrasýnda ise ayný yönlüdür. Yukarý düþey olarak atýlan cismin hýzý sýfýr olduðunda ivme sýfýr deðildir. Çünkü cismin ivmesi kendi hareketinden kaynaklanan bir ivme olmayýp, yerkürenin kütle çekiminden kaynaklanan bir ivmeye sahiptir. Bu ivmede, sabit olup yerçeimi ivmesidir. Cismin, hýzýndan, hareket süresinden kütlesinden hareket yörüngesinden etkilenmeyen bir ivmedir. Dolayýsýyla cismin ivmesi yukarý çýkarken ve dönüþte aþaðý inerken deðiþmez. Ýki Boyutta Sabit Ývmeli Hareket Birbirine dik olan iki düzlemde gerçekleþen, birinin diðeri üzerinde izdüþümünün olmadýðý dolayýsý ile her iki boyuttaki hareketin birbirinden baðýmsýz olduðu hareket türüne iki boyutta hareket denir. Ýki boyutlu hareketler bileþik hareketlerdir. Bileþik hareketlerde hareket için geçen süreler her iki boyut içinde aynýdýr. Ýki boyuttaki sabit ivmeli hareketin ivmesi, harekete dengelenmemiþ bir net kuvvetin uygulanmasýndan kaynaklanýr. Bu hareketler, yatay bir düzlemde hareket hâlinde olan ve hareket doðrultusu dýþýnda düzleme göre paralel olarak uygulanmýþ kuvvetin etki ettiði cisim üzerinde görülebileceði gibi, hava ortamýnda belirli bir yükseklikten yatay olarak atýlan cisimlerin ya da yerden eðik olarak atýlan cisimlerin hareketlerinde de gözlemlenebilir. Ýlk hýz Aðýrlýk Ýlk hýz Yatay atýþ Aðýrlýk Eðik atýþ Yatay düzlemdeki cisme uygulanan kuvvet, cismin hýzýnýn yönünü deðiþtirerek yörüngesinin eðrisel olmasýný saðlar. Yani cisim sahip olduðu hýzdan hariç, uygulanan kuvvetin etkisiylede hýz kazanarak iki farklý hýzla hareket etmeye devam eder. Belirli bir yükseklikten yatay olarak atýlan cisimde yerçekimi kuvvetinin etkisiyle düþeyde hýz kazanýrken, yatayda sahip olduðu hýz ile düþeyde kazandýðý hýzýn bileþkesi olan bir hareket yapar. ÁF hareket yönü 17

18 Benzer olarak yerden eðik olarak atýlan cisimde yine yerçekimi kuvvetinin etkisiyle yatay eksen ile düþey eksen arasýnda eðrisel bir yörünge izler ve bu þekilde hareketini sürdürür. Yerçekimi kuvveti cismin düþey eksendeki hýzýný deðiþtiriken yatay eksendeki hýzýný deðiþtirmez. Çünkü yerçekimi kuvveti cismin yatay hýzýna dik olarak etki eder. Dik kuvvetler hýzýn büyüklüðünü deðiþtiremezler. Ýlk durumda yerçekimi kuvveti, cismin düþey hýzýna zýt yönde olduðundan düþey hýzý önce azaltýr bir an sýfýr yapar, sonra ise düzgün olarak artýrýr. Yatay ve eðik atýþ hareketleri sabit ivmeli hareket ile sabit hýzlý hareketin bir bileþimi olduðundan tek boyuttaki hareket baðýntýlarý iki boyuta uyarlanýr. Yatay atýþ için; Cisim ayný anda K L iki hareketin bileþkesi olan hareketi v yatay yapar. Bunlar, düþeyde serbest düþme hareketi, yatayda ise sabit hýzlý harekettir. yer I. Cisim düþeyde serbest düþme hareketi yaptýðýndan h yolunu serbest düþme ile alýr. Buradan cismin t yere düþme süresi hesaplanýr. Bu süre, h yüksekliðine ve g yer çekimi ivmesine baðlýdýr. Cismin ilk hýzýna ve kütlesine baðlý deðildir. Cismin yere düþme süresi, 1 h= g t II. baðýntýsý ile bulunur. Cisim yatayda v hýzý ile sabit hýzlý hareket yapar. Yani cismin yatay hýzý yörünge boyunca sabittir. Yere çarptýðý andaki yatay hýzý yine v dýr. Cismin yatayda aldýðý x yolu ise x = v t baðýntýsý ile hesaplanýr. Cismin herhangi bir andaki hýzý, yatay hýzý ile düþey hýzýnýn vektörel bileþkesine eþittir. Örneðin yere çarptýðý andaki hýza v denilirse, yatay hýzý v ile düþey hýzý (v y = g t) nin vektörel bileþkesi v yi verir. Yatay olarak atýlan cismin hýz - zaman grafiði ise þekildeki gibi olur. Yatay hý- v zýn zaman ekseni ile arasýnda kalan alan x i, dü- þey hýzýn zaman ekseni v ile oluþturduðu alan ise h Y yüksekliðini verir. Hýz t Alan=x Alan=h Eðik atýþ için; cisim ayný anda iki hareketin bileþkesi olan hareketi yapar. Bunlar; L K v I. Yatayda v X li sabit hýzlý hareket, II. Düþeyde ise v Y li yukarý atýþ hareketidir. Eðik olarak atýlan cismin uçuþ süresi ve çýkabileceði maksimum yükseklik yukarý atýþta nasýl bulunuyorsa burada da ayný þekilde bulunur. Buna göre, düþey hýz kullanýlarak; Uçuþ süresi için; Maksimum yükseklik için; voy 1 1 hmax = = g tç = g ti g baðýntýlarý kullanýlýr. Cismin yatayda aldýðý yol, atýþ uzaklýðýdýr. Bu uzaklýða x menzil denir. Ve xmenzil = vox tuçuþ voy tuçuþ = g baðýntýsý ile hesaplanýr. Cismin düþey hýzý önce düzgün olarak azalýr sýfýr olur. Sonra tekrar düzgün olarak artar. Yatay hýzý ise yörünge boyunca sabittir. Eðik olarak atýlan cismin tepe noktasýndaki hýzý minimum hýz olup yatay hýz olan v X e eþittir. Cismin hýz - zaman grafiði þekildeki gibi olabilir. Grafiðe Hýz Alan=x menzil v X göre düþey hýzýn çýkýþ süresinceki alaný h max ý, yatay hýzýn uçuþ süresinceki t uçuþ v Y alaný x menzil i verir. Alan=h max Eðik olarak atýlan cismin tepe noktasýndan sonraki kýsmý yatay atýþtýr. Dolayýsý ise buradan yararlanýlarak istenilen nicelikler bulunabilir. Belirli bir yükseklikte sabit hýzla uçmakta olan uçaktan, uçaða göre serbest býrakýlmýþ bir cisim ile, yükselmekte olan bir balondan, balona göre düþey hýzý balonun hýzýna eþit ve zýt yönde olacak biçimde aþaðý eðik atýlan cisim yere göre yatay atýþ hareketi yapar. yer Düz yolda giden araç içindeki çocuk elindeki topu kendine göre yukarý doðru düþey olarak atarsa, topun yapacaðý hareket ile, yükselmekte olan bir balondan, balona göre yatay olarak atýlan topun hareketi yere göre eðik atýþ hareketidir. 18

19 HER ETKÝ BÝR TEPKÝ DOÐURUR Etkileþim hâlinde olan tüm cisimler birbirine kuvvet uygular. Her etkiye eþit ve zýt yönlü tepki kuvveti vardýr. Etki ve tepki kuvvetleri ayný büyüklükte ve zýt yönlü olmasýna raðmen farklý cisimler üzerine etki ettiðinden birbirlerinin etkisini yok etmezler. Bir atýn arabayý çekmesinde, at arabayý çekerken, araba da zýt yönlü eþit bir kuvvetle ata tepki gösterir. Etki tepkiye eþit olmasýna raðmen araba hareket eder. Burada etki araba üzerine, tepki ise at üzerinedir. Etki ile tepki ayný cisim üzerine deðildir. Ayný cisim üzerinde olsaydý, net kuvvet sýfýr olacaðýndan araba hareket etmeyecekti. Etki - tepki olayý; yarýþa baþlayacak olan sporcularýn ilk hareket anýnda, potaya basket atmak için yerden zýplamak üzere olan sporcunun ayaklarý ile yer arasýnda, koli ya da kutuyu sürüklemeye çalýþan iþçi ile koli arasýnda, kaleye þut çeken futbolcunun ayakkabýsý ile top arasýnda, koltuða oturan yolcu ile koltuk arasýnda, elinde çay tepsisi ile çay daðýtan çaycýnýn eli ile tepsi arasýnda, ok atmak üzere yayýný geren sporcunun eli ile yay arasýnda vs. görülebilir. Etki ile tepki arasýndaki iliþki ÁF etki = ÁF tepki þeklinde gösterilir. Etki - Tepki büyüklüðü, etkileþme yüzeyine dik olan kuvvetlerin bileþkesinden bulunur. Etki - Tepki büyüklüðüne N denilir. Cisim aðýrlýðý mg olmak üzere þekillerde etki - tepki büyüklüðü olan N deðerleri verilmiþtir. mg N F.sinθ mg N = mg ÁF θ F.cosθ N = mg F sinθ Duran cisimlerin harekete geçebilmesi için, üzerlerine net bir kuvvetin uygulanmasý gerekir. Yatay zeminde durmakta olan K ve L cisimlerinden K ÁF ye ÁF kuvveti uygulanarak harekete zorlandýðýnda, K cismi L cismine T etki kuvveti uygular. θ N F mg θ N = mg cosθ mg N N = mg + F K T tepki L T etki Bu kuvvet L yi hareket ettirmek ister. Her etkiye eþit ve zýt yönlü tepki kuvveti olduðundan, L cismi de K ye T tepki kuvveti uygular. Etki = Tepki büyüklüðü ÁF nin büyüklüðünden küçük olduðu sürece cisimler birlikte hareket eder. ip T T Yatay düzlemde durmakta olan X ve Y cisimlerinden Y cismi ÁF kuvvetiyle çekilirken, cisimler arasý ip gerilerek X cismi de harekete zorlanýr. Burada Y cismi X cismine T kadar etki göstererek X i kendine doðru çeker. X cismi de Y ye ayný büyüklükte, fakat zýt yönde tepki göstererek Y nin hareket etmesini engellemeye çalýþýr. T < F olduðu sürece cisimler birlikte hareket eder. Bu olaylarda cisimlerin birlikte hareket etmesi etki - tepki kuvvetiyle saðlanýr. Etki - Tepki kuvveti birbirini dengelediði için net kuvvete etkisi yoktur. Tepkinin büyüklüðü etkiyi yapanla ilgili olduðundan, kütlesi daha büyük olan ya da daha hareketli olan ve ya daha sert olan diðerine daha fazla kuvvet uygular diye bir durum yoktur. Yapýlan etki kadar tepki vardýr. Birden fazla cisimlerden oluþan düzeneklerde, sistemin ve cisimlerin ivmesi, hareketi saðlayan net kuvvete ve cisimlerin kütlelerine baðlý olarak deðiþir. Hareketi saðlayan net kuvvet ise, dýþarýdan sisteme uygulanan kuvvetlerden, cisimlerin bulunduðu düzlemlerin yatay, eðik ya da düþey olmasýndan, yüzey ile cisimler arasýndaki sürtünme kuvvetlerinden etkilenir. I. Cisimlerin ivmesi hesaplanýrken ya da ip gerilmesi bulunurken, bazý durumlarda cisimler aðýrlýklarýnýn etkisiyle hareket edebilir. Böyle durumlarda, aðýrlýk, net kuvveti, net kuvvet de cismin ivmesini ve varsa ip gerilmesini etkiler. Þimdi bunlarý görelim; ÁF S k= k= X Y hareket yönü ok yönünde ise Sürtünmesi önemsiz yatay düzlemdeki cismin mg aðýrlýðýnýn harekete yani net kuvvete etkisi yoktur. Kýsaca cisim aðýrlýk etkisi ile hareket edemez. Dýþarýdan bir kuvvete ihtiyaç vardýr. Eðer yüzey sürtünmeli ise cismin aðýrlýðý, dolaylý olarak net kuvveti etkiler. Çünkü sürtünmeden dolayý cisim ile yüzey arasýnda statik ya da kinetik sürtünme kuvveti (F S = k mg kadarlýk bir sürtünme kuvveti) oluþur. Bu sürtünme kuvvetleri ise net kuvveti etkiler. F 19

20 II. m mg sinθ θ θ mg Þekil - I k= mg sinθ F S =k N=k mg cosθ Sürtünmesi önemsiz eðik düzlemde cisim aþaðý doðru kaymaya baþlar. Cismin aþaðý doðru kaymasý, aðýrlýðýnýn sinüs bileþeninden kaynaklanýr. (Þekil - I). Yani mg.sinθ cisme etki eden net kuvvettir. Sürtünmeli eðik düzlemde ise, cisim, aðýrlýðýnýn sinüs bileþeni olan mg.sinθ kuvvetinden dolayý aþaðý kaymak isterken, eðik düzlemin yukarýsýna doðru da cisme F S sürtünme kuvveti etki eder. Dolayýsý ile bu iki zýt kuvvetten dolayý net kuvvet deðiþir. III. Sürtünmesi önemsiz düþey boþluk düzlemde bulunan serbest hâldeki ya da ÁF kuvvetinin etkisindeki cisimler aðýrlýklarýndan dolayý hareket eder. m v= O halde boþlukta olan ya da mg ÁF kuvvetinin etkisindeki cisimlerin aðýrlýk kuvvetleri net kuvveti doðrudan etkiler. θ θ F S mg Þekil - II EÐÝK DÜZLEMDE HAREKET k= mg cosθ ÁF m mg Günlük hayatta karþýlaþtýðýmýz, rampa çýkan ya da yokuþtan aþaðý yavaþ yavaþ inen týr gibi aðýr vasýtalar, aslýnda yatay düzleme göre belirli yüksekliðe çýkmak ya da inmek için yapýlmýþ yollarda hareket etmektedir. Bu yollara, kýsaca eðik düzlem denir. Bu yollar, yere göre belirli eðime sahip, kesiti dik üçgen þeklinde olan yüzeyler üzerindedir. Düz yolda hareket eden araçlarýn rampa çýkarken zorlanmalarý, yokuþtan aþaðý ise kendiliðinden inmeleri, hatta yokuþ aþaðý inerken fren yapýlarak uygun hýzlarda inmeleri, eðik düzlemlerde araçlara etki eden sürtünmeden baþka bir kuvvetin var olduðunu gösterir. Bu kuvvet ise araçlarýn aðýrlýðýnýn eðik düzleme paralel olan bileþenidir. Eðimli yollarda, cisim yolun aþaðýsýna iniyorsa ya da yolun yukarýsýna çýkýyorsa, farklý net kuvvetlerin etkisinde kalýyor demektir. Sürtünme kuvveti hareketi engellediðinden, cisim yolun yukarýsýna çýkarken cismin aðýrlýðýnýn mg sinθ bileþeni ile ayný yönde etki eder. Eðer cisim yolun aþaðýsýna iniyorsa, cismin aðýrlýðýnýn sinüs bileþenine zýt yönde etki eder. I. Sürtünmesi önemsiz eðik düzlemdeki cismin ivmesi, Fnet = m a baðýntýsýndan bulunur. Net kuvvet cismin aðýrlýðýnýn sinüs bileþenidir. Bundan mg sinθ = m a a = g sinθ olur. Demek ki cismin ivmesi g yer çekim ivmesi ile, eðik düzlemin eðim açýsýna baðlýdýr. Cismin kütlesine, ilk hýzýna, hareket yönüne baðlý deðildir. Ve eðik düzlem boyunca sabittir. II. Sürtünmeli eðik düzlemdeki cismin ivmesi yine F net = m a baðýntýsýna göre bulunur. Örneðin cisim eðik düzleme doðru v hýzýyla çýkarken, v cisme etki eden k= net kuvvet; cismin aðýrlýðýnýn sinüs bileþeni ile m g sinθ F S θ cisme etki eden F S sürtünme kuvvetinin toplamýna mg eþittir. Ýki kuvvet ayný yönlü olduðundan, cis- min ivmesi, mg sinθ + k mg cosθ = m.a a = g sinθ + k g cosθ olur. Dolayýsýyla eðik düzlem sürtünmeli de olsa, cismin ivmesi kütlesine baðlý deðildir. Cisim, sürtünmeli eðik düzlemde önce yavaþlar bir an durur. Sonra tekrar aþaðý kaymak ister. Bu durumda ise F S sürtünme kuvveti yön deðiþtirir. Eðer mg sinθ > F S ise cisim aþaðý kaymaya baþlarken, mg sinθ = F S ya da mg sinθ < F S olduðu zaman ise orada hareketsiz kalýr. Sürtünmeli eðik düzlemin üst ucunda v hýzý ile atýlan cismin hýzý hiç deðiþmiyorsa, cisme etki eden net kuvvet sýfýr demektir. Böyle bir durumda, k mg cosθ = mg sinθ olur. Buradan sinθ k = cos θ k = tanθ m.g.sinθ mg sinθ θ v mg sinθ θ θ olur. mg θ k mg cos =F S mg k= k mg cosθ

21 Eðik düzlemlerde yüzey ile cisim arasýndaki sürtünme kat sayýsý þu þekilde de bulunabilir: Birbirine menteþeyle baðlanmýþ birisi yatay yüzey diðeri eðik yüzey olacak iki levha kullanýlýr. Eðik düzlem üzerine sürtünme kat sayýsý bulunacak madde yerleþtirilir. Bu maddeler tahtanýn kendisi, plastik, metal levha, cam levha ya da yaðlý tahta olabilir. Cisim eðik düzlem üzerinde iken, eðik düzlem yavaþ yavaþ kaldýrýlarak eðim açýsý artýrýlýr. Cisim tam kaymaya baþladýðý an eðik düzlem durdurulur ve sabitlenir. Cismin kaymaya baþladýðý durumun alt ve üst sýnýrlarýna dikkat edilerek hassas ölçüm yapýlýr. Bundan sonra, eðik düzlemin yüksekliði ve yatay uzaklýðý cetvelle bulunarak, tanjant deðeri alýnýr. Ya da açýölçer yardýmýyla eðim açýsý bulunur. Eðimin tanjant deðeri, eðik düzlemdeki madde ile cisim arasýndaki statik sürtünme kat sayýsýnýn maksimum deðerini verir. Eðik düzlem olarak plastik, metal ya da cam levha kullanýldýðýnda sürtünme kat sayýsýnýn farklý deðerlerde olduðu sonucuna varýlýr. Kayakla atlamada kayaðýn yapýmýnda kullanýlacak malzemenin sürtünme kat sayýsýnýn küçük olmasýna dikkat edilir. Sürtünme kat sayýsý deðeri platformdan atlama hýzýný etkiler. Sporcunun platformdan atlama açýsý, platformdan ayrýldýðý andaki hýz, sporcunun ayak ve vücud pozisyonu atlama mesafesini etkilerken, sporcunun zayýf ya da þiþman olmasý platformdaki hýzýný etkilemez. Ancak, havadaki dengesini ve hýzýný etkiler. Platformdan daha hýzlý atlamak için, kayaðýn yapýldýðý malzeme ile yüzey arasýnda oluþacak sürtünme kat sayýsýný olabildiðince minimuma indirmek gerekir. Uçuþ mesafesini artýrabilmek için ise sporcunun platformdan ayrýldýðý ilk anda ayaklarýný V þeklinde açýp, vücudunu da yere paralel konuma getirerek 45 lik açý yapmaya çalýþmalýdýr. Çünkü bu açý deðerinde uçuþ uzaklýðý en büyük olabilir. CÝSÝMLERÝN EYLEMSÝZLÝÐÝ Eylemsizlik maddelerin ortak özelliklerinden birisidir. Eylemsizlik cisimlerin durgun ya da hareketli olmasý ile ilgili deðildir. Kütlesi olan bütün cisimlerin her durumda eylemsizliði vardýr. Cisimlerin hareket durumlarýný koruma eðiliminde olmasý olayýdýr. Durgun ya da sabit süratle hareket eden araçlar içerisindeki cisimler konumlarýný deðiþtirmezler. Aracýn sabit ivme ile hareket etmesi durumunda, örneðin araç duruþtan hýzlanýrken ya da belirli bir hýzla gidiyorken aniden yavaþlarken, araç içindeki cisimler o andaki hareketlerini sürdürmek ister. Hýzlanan bir otobüsteki yolcularýn geriye doðru meyletmesi, fren yapan araçtaki yolcularýnda öne doðru meyletmesi eylemsizlikten dolayýdýr. Sabit ivmeli hareket durumunda eylemsizlik, cisim üzerine bir kuvvet etkiyormuþ gibi davranmasýna neden olur. Ancak, eylemsizlik, cisimlerin hareket durumlarýný sürdürmesini saðlayan bir kuvvet deðildir. Cisimlerin eylemsizliði kütlelerinin bir ölçüsüdür. Hareketin II. Yasasýna göre, F net = m a F m = net baðýntýsýndan bulunan deðer, cisimlerin eylemsizlik kütlesidir. Kýsaca eylemsizlik kütle- a si, kuvvet etkisindeki cisimlerin farklý büyüklükteki net kuvvetler ile bu net kuvvetlere karþý kazandýklarý ivmelerin oranýdýr. Yani net kuvvet artýrýlýrsa cismin ivmesi artar. Net kuvvet azaltýlýrsa cismin ivmesi de azalýr. Ancak, net kuvvet ile ivmenin oraný her durumda ayný kalýr. Ýþte bu orana eylemsizlik kütlesi denir. Dijital ya da eþit kollu terazi ile ölçülen kütle çekim kütlesidir. Yapýlan duyarlý ölçümler sonucu çekim kütlesi ile eylemsizlik kütlesinin yaklaþýk ayný olduðu bulunmuþtur. Sürtünmesi önemsiz ortamda eþit net kuvvetlerle eþit ivme kazanan cisimlerin eylemsizlik kütleleri eþittir. Bu cisimler eþit kollu terazide de yatay olarak dengelenirler. Dolayýsý ile bir cismin çekim kütlesini ölçmek demek, o cismin eylemsizlik kütlesini de bulmak demektir. 1

22 DD EE Çözümlü Sorular.. Örnek.. 1 Kuvvetin cisimler üzerinde oluþturduðu etkiler için resimlerde verilenlere göre, I. Kuvvetin yön deðiþtirme etkisi vardýr. II. Kuvvetin hýz deðiþtirme etkisi vardýr. III. Kuvvetin þekil deðiþtirme etkisi vardýr. sonuçlarýndan hangileri çýkarýlabilir? D) I ve II E) I, II ve III Çözüm... Kuvvet, cisimlerde þekil, hýz, yön ve doðrultu deðiþtirebilen etkidir. Sporcular raketleri ile gelen topu karþýlayarak, toplarýn hem hýzlarýný deðiþtirir hemde vuruþ tekniðine göre eðrisel bir yörünge izlemesi saðlarlar. Kuvvetin þekil deðiþtirme etkisi verilen resimlerden anlaþýlamaz. O halde I. ve II. de verilen sonuçlar çýkarýlabilir, III. de verilen sonuç çýkarýlamaz. Cevap D Örnek.. I II III Basket atmak Halat çekmek Direksiyon çevirmek Yukarýdaki resimlerde verilenlerin hangilerinde olaya neden olan kuvvetin vektörel bir nicelik olduðu sonucu çýkarýlabilir? D) I ve II E) I, II ve III Çözüm... Basket topunun potaya atýlmasýnda, halata uygulanan çekme kuvvetinde, direksiyonun döndürülmesinde kuvvetin yönlü bir büyüklük olduðu gözlemlenebilr. Vektörel büyüklüklerin yön, doðrultu ve þiddeti olduðundan verilen resimlerin üçüde kuvvetin vektörel bir nicelik olduðunu gösterir. Cevap E EE EE Örnek.. 3 Þekildeki resimde verilen cisme etki eden kuvvetlerin büyüklükleri bilinmektedir. Bileþke kuvveti hesaplayabilmek için, Cisim I. Çokgen yöntemi II. Paralelkenar yöntemi III. Bileþenlerine ayýrma yöntemi verilen yöntemlerden hangileri uygulanabilir? D) I ve II E) I, II ve III Çözüm... Kuvvetlerin büyüklükleri bilindiðine göre, bileþke kuvvet bilinen yöntemlerden uç uca ekleme yöntemi olan çokgen yöntemine göre, paralelkenar yöntemine göre ya da bileþenlerine ayýrma yöntemine göre hesaplanabilir. Kuvvetler arasýndaki açýlara dikkat edilerek gerekli matematiksel iþlemler yapýlýr ve istenen sonuç bulunur. Cevap E Örnek.. 4 Þekildeki resimde verilen cisme etki eden kuvvetlerin büyüklükleri 3 N, 7 N, 5 N ve 8 N dir. 7 N Kuvvetler arasýndaki açý 9 olduðuna göre, cisme etki eden bileþke kuvvet kaç newtondur? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 Çözüm... Kuvvetlerin büyüklükleri bilindiðine göre, bileþke kuvvet ayný ve zýt yönlü kuvvetlerin bileþkesialýnarak hesaplanabilir. Resimde verilen dinamometrelerden 3 N luk deðer gösteren ile 7 N luk deðer gösterenin bileþkesi 7 3 = 4 N dir. Benzer olarak, dinamometrelerden 8 N luk deðer gösteren ile 5 N luk deðer gösterenin bileþkesi 8 5 = 3 N dir. Bunlarýn bileþkesi ise, pisagor baðýntýsýndan bulunur. Çünkü iki kuvvet birbirine dik doðrultudadýr. R = R = 5 N olur. 8 N 3 N Cisim 5 N Cevap E

23 DD EE Örnek.. 5 Þekildeki resimde verilen K, L ve M dinamometreleri dengededir. Resimde verilenlere göre, I. K dinamometresinin gösterdiði deðer M ninkinden küçüktür. II. L dinamometresinin gösterdiði deðer K ninkinden büyüktür. III. L dinamometresinin gösterdiði deðer M ninkinden büyüktür. yargýlarýndan hangileri kesinlikle doðrudur? A) Yalnýz I B) Yalnýz II C) I ve II D) II ve III E) I ve III Çözüm... Dinamometreler dengede olduðuna göre, dinamometrelerdeki kuvvetlerin bileþkesi sýfýr demektir. Yani K ile L nin bileþkesini M, benzer þekilde K ile M nin bileþkesini L dengeliyor, L ile M nin bileþkesinide K dengeliyor demektir. Kuvvetler arasýndaki açý arttýkça bileþkeleri küçüldüðünden dengeleyen kuvvette küçük olur. Baþka bir ifade ile kuvvetler arasýndaki açý küçük ise bileþke kuvvet büyük olur. Bu bileþkeyi dengeleyen kuvvette büyük olur. Kýsaca küçük açý karþýsýnda büyük kuvvet, büyük açý karþýsýnda küçük kuvvet bulunur. K ile M dinamometrelerinin arasýndaki açý 6 olduðundan ve bu iki dinamometredeki kuvvetlerin bileþkesi L ile dengelendiðinden L nin gösterdiði deðer K ile M ninkinden kesinlikle büyüktür. K ile L ve L ile M arasýndaki açýlar bilinmediðinden K ile M için yorum yapýlamaz. Cevap D Sayýsal / 3 M K 6 Örnek.. 6 Þekildeki gibi dengede olan X, Y ve Z dinamometreleri için; I. X dinamometresinin gösterdiði deðer Y ninkinden 6 Y büyüktür. Z II. Y dinamometresinin gösterdiði deðer Z ninkinden küçüktür. P cismi III. Z dinamometresi P cisminin aðýrlýðýný gösterir. yargýlarýndan hangileri doðrudur? A) Yalnýz I B) Yalnýz II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III X L Tavan 3 CC Çözüm... Dinamometreler dengede olduðundan bileþke kuvvet sýfýrdýr. Z dinamometresi asýlý olan P cisminin aðýrlýk deðerini yani P cismine etki eden yerçekimi kuvvetini gösterir. Ayrýca X ile Y dinamometrelerindeki deðerlerin bileþkesi Z dinamometresinin gösterdiði degere eþittir. X ile Y nin paralelkenar yöntemine göre bileþkesi alýndýðýnda, bileþkenin yani Z nin gösterdiði degerin X e yakýn olduðu görülür. Bu durum bileþke kuvvetin büyük kuvvete yakýn olmasý anlamýna geldiðinden X te okunan deðer Y dekinden büyüktür. Sonuç olarak verilen üç yargýda doðrudur. Cevap E Örnek.. 7 Þekildeki yatay ve sürtünmesi önemsiz düzlemdeki cisim büyüklükleri verilen kuvvetlerle çekiliyor. Buna göre, cisme etki eden bileþke kuvvet kaç N newtondur?(sin53 =,8; cos53 =,6) A) 5 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Çözüm... Uygulanan kuvvetlerin bileþkesi cosinüs teoreminden bulunabileceði gibi, eðik olan 3 N lik kuvvetin dik bileþenleri alýnarakta bulunabilir. Cosinüs teoremine göre, R = cos53 R = ,6 R = R = 16 R = 4 N olur. Eðik olan 3 N lik kuvvetin dik bileþenleri alýnarak pisagor baðýntýsý uygulanýrsa, 3 sin53 = 4 N düþey bileþen, 3 cos53 = 18 N yatay bileþendir. Yatay olarak uygulanan kuvvet ile 3 N lik kuvvetin yatay bileþeni ayný yönlü olduðundan bileþkeleri = 3 N olur. Bu kuvvet ile 4 N lik kuvvet birbirine dik 4 N 3 N N 18 N olduðundan pisagor baðýntýsý uygulanýrsa; R = R = = 16 R = 4 N olur. 3 N Cevap C

24 CC CC Örnek.. 8 Bir cisme þekildeki gibi kuvvetler uygulanmýþtýr. Kuvvetlerin büyüklükleri F 3 = 4 N verildiði- ne göre, F = 6 N cisme etki eden bileþke kuvvet kaç N dur? (sin37 =,6; cos37 =,8) A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Çözüm... Eðik olarak verilmiþ kuvvetinin x ve y eksenlerine göre dik bileþenleri alýndýðýnda, F 1X = F 1 cos37 = 1,8 = 8 N dur. F 1Y = F 1 sin37 = 1,6 = 6 N dur. Y bileþeni ÁF kuvvetine eþit büyüklükte ve zýt yönde olduðundan bu kuvvetler birbirini dengeler. X bileþeni ise ÁF 3 kuvvetine zýt yönde ve þiddeti daha büyük olduðundan cisme etki eden bileþke kuvvet, R = F 1X F 3 R = 8 4 = 4 N dur. Örnek.. 9 +y 37 F 1 = 1 N +x Cevap C Bir cisme þekildeki gibi kuvvetler uygulanmýþtýr. 5 N K 37 7 N Kuvvetlerin yatay L büyüklükleri verildiðine göre, cisme etki eden bileþke yer kuvvet kaç N dur? (sin37 =,6; cos37 =,8) A) 1ñ B) ñ C) 3ñ D) 4ñ E) 5ñ Çözüm... Eðik olarak çekilen K dinamometresindeki kuvvetin yatay ve düþey bileþenleri alýnýrsa, F KX = F K cos37 = 5,8 = 4 N dur. F KY = F K sin37 = 5,6 = 3 N dur. F KX ile F L birbirine zýt yönlü olduðundan bileþkeleri, F L F KX = 7 4 = 3 N olur. 3 N lik bu kuvvet ile F KY birbirine dik olduðundan, pisaðor baðýntýsý uygulanýr. Kuvvetler eþit ve aralarýndaki açý 9 olduðundan, cisme etki eden bileþke kuvvet 3ñ N dur. Cevap C Örnek.. 1 Sürtünmesi önemsiz yatay düzlem üzerindeki cisim þekildeki gibi ölçekli olarak K, L, M, N ve P ile verilmiþ iplere uygulanan kuvvetlerle çekilmektedir. Ýplere uygulanan kuvvetin büyüklüðü iplerin boylarý ile doðru orantýlý olduðuna göre, cisme etki eden bileþke kuvvetin yönü hangi ipe uygulanan kuvvet yönündedir? A) K ipi B) L ipi C) M ipi D) N ipi E) P ipi Çözüm... Kuvvetlerin büyüklüðü iplerin boylarý ile doðru orantýlý olduðundan, kuvvetler Þekil I deki gibi olur. Cisme etki eden kuvvetlerin bileþkesi uç uca ekleme yöntemine göre bulunabilir. Bu kuvvetlerin uç uca eklenmesi ise Þekil II de gösterilmiþtir. K L Cisim Þekil I M Dikkat edilirse bileþke kuvvet N ipine uygulanan kuvvet yönündedir. Eðer, cisme etki eden kuvvetlerin bileþkesi, dik bileþenlerine ayrýlarak bulunmak istenirse, iplerdeki kuvvet vektörlerinin x ve y eksenlerine göre bileþenleri tabloda verilen gibi olur. Buradan bileþke kuvvetin x bileþeninin +1 birim, y bileþenininde +1 birim olduðu görülür. P N K ÁK ÁL ÁM ÁN ÁP Sonuç olarak cisme etki eden kuvvetlerin bileþkesi ÁR, N ipine uygulanan kuvvet yönündedir. Cevap D ip Cisim P L ip L ÁR K ip M N Þekil II x M ÁR ip ip P N y Sayýsal / 3

25 Örnek...11 Yukarýdaki resimlerde verilenlerin hangileri dengelenmiþ kuvvetler etkisindedir? Çözüm.. I II III Durmakta olan sürat teknesi D) I ve III E) I, II ve III Dengelenmiþ kuvvet, toplam kuvvetin sýfýr olduðu kuvvettir. Dendelenmiþ kuvvetler etkisinde olan cisimler ya durur ya da sabit hýzla hareket eder. Dolayýsý ile duran ya da sabit hýzla giden tüm cisimler için dengelenmiþ kuvvetler vardýr. Buna göre, I ve III te verilenler dengelenmiþ kuvvet etkisindedir. II de verilen ise hýzlanmaya devam ettiðinden dolayý dengelenmemiþ kuvvetler etkisindedir. Örnek...1 Sayýsal / 3 Hýzlanan sürat teknesi Resimde verilen yamaç paraþütçüsüne etki eden kuvvetler; I. Aðýrlýk kuvveti II. Sürtünme kuvveti III. Kardýrma kuvveti verilenlerden hangileridir? Sabit hýzla uçan yolcu uçaðý Cevap D Çözüm.. D) I ve III E) I, II ve III Yamaç paraçütçüsü Yamaç paraþütünde, paraþütçü aþaðýlara doðru inerken, aðýrlýk kuvveti, havanýn sürtünme ve kaldýrma kuvveti etki eder. Paraþütçü sabit hýza ulaþtýðýnda bu kuvvetlerin toplamý sýfýr olur. Buna göre, paraþütçü verilen kuvvetlerin üçününde etkisindedir. Cevap E 5 Örnek...13 Resimde verilen tramvay ile otomobil birbirine paralel olarak sabit +Áv ve 3Áv hýzlarý ile hareket etmektedir. Tramvay içinde bulunan bir yolcuda tramvayýn hareket yönüne zýt yönde v büyüklüðünde hýzla gitmektedir. Buna göre, I. Tramvayýn otomobile göre hýzý +5Áv dir. II. Yolcunun yere göre hýzý +Áv dir. III. Yolcu otomobili 4Áv hýzýyla gidiyor olarak görür. yargýlarýndan hangileri doðrudur? Çözüm.. D) I ve III E) I, II ve III I. Tramvayýn otomobile göre hýzý dendiði için, gözlemci otomobilin v oto = 3v v tra = v þoförü, gözlenen ise Áv b = +5Áv tramvaydýr. Tramvay ve otomobilin hýz vektörleri çakýþtýrlarak gözlemcinin hýz vektörünün ucundan gözlenenin hýz vektörünün ucuna çizilen vektör baðýl hýzý verir. Çizim yapýldýðýnda tramvayýn otomobile göre hýzý þekildeki gibi +5Áv olur. Bu durumda otomobil tramvayý pozitif yönde 5v büyüklüðündeki hýzla uzaklaþýyor olarak görecektir. (I. yargý doðrudur.) II. Áv Yere göre hýz, yerde duran v tra = v bir gözlemcinin gördüðü hýzdýr. Tramvay içindeki yolcu hiç hareket etmeseydi Áv yer = +Áv Áv yolcu = Áv hýzý tramvayýn hýzý olan Áv ye eþit olacaktý. Ancak, yolcu tramvaya zýt yönde v büyüklüðündeki hýz ile gittiði için yere göre hýzý bu hýzlarýn vektörel toplamýna eþit olur. Bu durum þekildeki çizimde gösterilmiþtir. Buna göre, aslýnda yolcu yere göre v büyüklüðündeki hýzla gitmesi gerekirken v büyüklüðündeki hýzla tramvaya zýt yönde hareket ettiðinden yere göre hýzý v v = v büyüklüðünde olacak biçimde azaltmýþtýr. Yolcu yere göre tramvayýn hareket yönünde v büyüklüðündeki hýzla hareket etmektedir. (II. yargý doðrudur.) 3Áv +Áv Hareket etmekte olan tramvay ve otomobil

26 III. Yolcunun otomobile v oto = 3v yolcu göre hýzýný bulabilmek için yolcunun yere göre hýzýný bilmek gerekir. Yolcunun yere göre hýzýnýn +Áv oldu- Áv b = 4Áv ðunu II. yargýda göstermiþ idik. Bundan sonra yolcunun yere göre hýzý ile otomobilin hýzlarýnýn baþlangýç noktalarý çakýþtýrýlýr. Sonra, gözlemcinin hýz vektörünün ucundan gözlenenin hýz vektörünün ucuna çizilen vektör, baðýl hýzý verir. Gözlemci yolcu, gözlenen ise otomobildir. Bunu çizim yaparak bulabiliriz. Bu ise þekilde verilmiþtir. Bulunan bu baðýl hýza göre, yolcu otomobili negatif yönde ve 4v büyüklüðündeki hýzla gidiyor olarak görecektir. Yani otomobilin yolcuya göre hýzý 4Áv dir. (III. yargý doðrudur.) Örnek...14 Resimde verilen X, Y ve Z paraþütçüleri belirtilen sabit hýzlarla aþaðý doðru düþey olarak inmektedir. X in Y ye göre hýzý Áv 1, Y nin Z ye göre hýzý Áv, Z nin X e göre hýzý Áv 3 tür. Cevap E Buna göre, bu hýzlarýn büyüklükleri arasýndaki iliþki nedir? A) v 1 <v <v 3 B) v =v 3 <v 1 C) v 1 <v 3 <v D) v 1 =v <v 3 Çözüm.. E) v 1 =v =v 3 Áv Y X 3Áv Áv Paraþütçüler Paraþütçülerin birbirine göre X Y Z X Z hýzýnýn büyüklüðü, Áv X = Áv Áv X = Áv ayný Áv Z =Áv yönde düþey Áv 3 = +Áv olarak aþaðý Áv Z =Áv Áv doðru hareket 1 = Áv Áv = Áv ettiklerinden hýzlarýnýn farkýna Áv Y =3Áv eþittir. Birbirine göre baðýl hýzlarý ise þekilde göste- rilmiþtir. X in Y ye göre hýzý bulunurken gözlemci Y, gözlenen X alýnýr. Y nin Z ye göre hýzý bulunurken gözlemci Z, gözlenen Y alýnýr. Benzer olarak Z nin X e göre hýzýnda gözlemci X, gözlenen Z alýnýr. Sonuç olarak paraþütçülerin birbirine göre hýzý arasýndaki iliþki v = v 3 < v 1 þeklindedir. Z Cevap B 6 Örnek...15 Resimde düz bir yolda L giden araçlar ve bunlarýn hýzlarý verilmiþtir. M Áv Áv K Araçlarýn hýzlarý sabit 3Áv Batý olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi Doðu yanlýþtýr? Düz yolda hareket A) M nin sürücüsü L yi duruyor olarak görür. B) L nin sürücüsü M yi batýya gidiyor olarak görür. C) M nin sürücüsü K yi doðuya gidiyor olarak görür. D) M nin sürücüsü L yi doðuya gidiyor olarak görür. E) L nin sürücüsü K yi doðuya gidiyor olarak görür. Çözüm.. Resimde K ile L araçlarý doðu yönünde giderken M aracý batý yönünde gitmektedir. K nin hýzý L ninkinden büyük olduðu için K aracý L ye göre doðu yönünde, L aracý da K ye göre batý yönünde hareket ediyor gibidir. M aracý hem K ye hemde L ye zýt yönde yani batý yönünde gittiðine göre, M ye göre K ve L araçlarý doðu yönünde gitmektedir. K ve L ye göre M ise batý yönünde gitmektedir. Bir aracýn diðer araca göre duruyor olabilmesi için hýzlarýnýn eþit olmasý gerekir. Yani ayný yönde ve eþit büyüklükteki hýzlarla gidiyor olmasý gerekir. L ile M nin hýzlarý eþit büyüklükte ancak zýt yöndedir. Örnek...16 Yeþilova kasabasýnda bulunan kuzey-güney doðrultusundaki otobanda sabit süratlerle hareket eden otobüs ve bir kamyonet karþýlaþtýðýnda kamyonetin þoförü otobüsü kuzeye 3 km/h lik hýzla gidiyor olarak görmektedir. Sayýsal / 3 Cevap A Kamyonetin yere göre hýzý km/h ve güneye olduðuna göre, otobüsün yere göre hýzý ve hareket yönü nedir? A) Kuzeye, 3 km/h B) Kuzeye, km/h C) Kuzeye, 1 km/h D) Güneye, 1 km/h E) Güneye, 3 km/h Kamyonet ve otobüs

27 Çözüm.. Kamyonet yere göre güney yönünde giderken, resimdeki otobüs, kamyonete göre kuzey yönünde gittiðine göre, baðýl hýz ve gözleyenin hýzýndan otobüsün yere göre hýzý ve hareket yönü bulunabilir. Bunun için, baðýl hýz baðýntýsý kullanýlýr. Baðýl hýz ile gözleyenin hýzýnýn vektörel toplamý gözlenenin hýzýný yani otobüsün yere göre hýzýný verir. Buradan, otobüsün yere göre hýzý kuzey yönünde ve 1 km/h olarak bulunur. Þekilde bu durum gösterilmiþtir. Örnek...17 Resimde verilen planörler havada yatay ve sabit olan Áv ve Áv hýzlarý ile hareket etmektedir. Buna göre; I. X in pilotuna göre Y nin hýzý Áv dir. Otobüs v baðýl =3 km/h Kuzey Kamyonet v K = km/h v O =1 km/h Güney Cevap C II. X in Y ye göre hýzý +Áv dir. III. Y nin pilotu X i kendinden uzaklaþýyor olarak görür. yargýlarýndan hangileri doðrudur? Çözüm.. D) I ve III E) I, II ve III I. X in pilotuna göre Y nin hýzý X X için gözlemci X, gözlenen Y dir. X ve Y nin pilotlarýnýn hýzý Y Áv planörlerin hýzýna eþit olduðundan, bu hýzlarýn baþlangýç noktalarý b = Áv Áv Y = v çakýþtýrýlýr. II. Gözlemci X olduðundan X in hýz vektörünün ucundan Y nin hýz vektörünün ucuna çizilen vektör baðýl hýzý verir. Bu hýz þekilde de gösterildiði gibi Áv dir. Planörlerin hareket yönü pozitif seçildiði için X in plotuna göre Y nin hýzý negatif yönde olur. (I yargý doðrudur.) X in Y ye göre hýzý için, gözlemci Y, gözlenen X tir. I. yargýda yapýlan iþlem burada da yapýlýrsa, Y nin hýz vektörünün ucundan X in Áv Havada uçmakta olan planörler X X Áv b = +Áv Áv X Áv Y = v Y Y hýz vektörünün ucuna çizilen vektör X in Y ye göre hýzýný verir. Bu durum þekilde verilmiþtir. Dolayýsý ile X in plotu Y planörünü negatif yönde v büyüklüðündeki hýzla uzaklaþýyor olarak görür. (II. yargý doðrudur.) III. Ayný yönde giden araçlarda yavaþ giden hýzlý gideni kendisinden uzaklaþýyor olarak görür. X in hýzý Y ninkinin iki katýdýr. X in Y ye göre hýzý +Áv olduðuna göre, X planörü Y planöründen Áv hýzý ile uzaklaþmaktadýr. (III. yargý doðrudur.) Örnek 18 Cevap E Þekilde 8 m/s hýzla akan ve geniþliði 3 m olan ýrmakta, suya göre hýzý 6 v su =8 m/s 3 m m/s bir yüzücü iskeleden v=6 m/s tam karþý kýyýya dik olarak yüzmeye baþlýyor. Ýskele Buna göre, I. Ýskelede duran bir kiþiye göre yüzücünün hýzý 1 m/s dir. II. Yüzücü karþý kýyýya 5 saniyede varýr. III. Yüzücü karþý kýyýya vardýðýnda hedefine ulaþmasý için 4 m yürümelidir. yargýlarýndan hangileri doðrudur? Çözüm.. D) I ve III E) I, II ve III I. Ýskelede duran kiþiye göre yüzücünün hýzý, yere göre hýzdýr. Bu hýz yüzücünün suya göre hýzý ile akýntý hzýnýn vektörel bileþkesinden bulunur. Þekilde gösterilen bu hýz pisagor baðýntýsý ile hesaplanýr. v = v = 1 6 m/s v = 1 m/s dir. (I. yargý doðrudur.) Ýskele 8 m/s 1 m/s II. Yüzücü karþý kýyýya t sürede ulaþýyorsa, bu süre d = v t baðýntýsýna göre hesaplanýr. Soruda verilen deðerler yerine yazýlýrsa, 3 = 6 t t = 5 s dir. (II. yargý doðrudur.) Sayýsal / 3 7

28 III. Yüzücü akýntýdan dolayý hedefine tam varamaz. Akýntýnýn sürüklediði uzaklýðý, karþý kýyýya vardýktan sonra yürüyerek gitmelidir. Akýntýnýn sürükleme mesafesi, x = v a t baðýntýsýna göre, esaplanýr. Soruda verilen deðerler yerine yazýlýrsa, x = 8 5 x = 4 m dir. (III. yargý doðrudur.) Cevap E Çözüm... Tramvay hýzlanýncaya kadar, elektrik direklerinden 11 tane geçtiðine göre, tramvay; 1 75 = 75 m yol almýþ demektir. Bu yol için geçen süre t = 5 s olduðundan, tramvayýn ortalama hýzý, v ort = 75/5 = 3 m/s olur. Cevap C Örnek 19 Konum - zaman grafiði verilen bir hareketlinin 4 konumu üzerinde þekildeki gibi teðet çizilmiþtir Buna göre, saniye 6 sonra hareketlinin anlýk hýzý kaç m/s dir? Konum(m) (s) A) 3 B) 6 C) 8 D) 1 E) 1 Çözüm.. Konum zaman grafiðinde grafik parçasýna herhangi bir anda çizilen teðetin eðimi hareketlinin anlýk hýzýný verir. Teðetin eðimi; Eðim = v = 4 4 = = 8m/sdir Buradan hareketlinin saniye sonraki hýzý v = 8 m/s dir. Cevap C Örnek 1 Düz bir yol boyuca hareket Hýz(m/s) eden aracýn hýz zaman grafiði þekildeki gibidir. 3 Buna göre, bu aracýn 1 ortalama hýzý kaç m/ s (s) dir? A) B) 4 C) 3 D) 36 E) 48 Çözüm... Örnek Tramvay ile okula gidip gelen bir öðrenci tramvay maksimum hýzýna ulaþýncaya kadar geçen süreyi 5 saniye olarak ölçüyor. Bu süre içinde yol kenarýnda bulunan ve aralarýnda 75 m uzaklýk bulunan elektrik direklerinden de 11 tane geçtiðini tespit ediyor. Tramvayýn düz bir yolda düzgün olarak hýzlandýðý ve öðrencinin ölçümlerinin doðru olduðu kabul edilirse, tramvayýn ortalama hýzý kaç m/ s dir? A) B) 4 C) 3 D) 36 E) 48 Aracýn ortalama hýzýný Hýz(m/s) bulabilmek için yerdeðiþtirme miktarýný bulmak gerekir. Yerdeðiþ- 3 tirme miktarý hýz zaman grafiðinin alanýn dan bulunur. (s) Toplam yerdeðiþtirme = 16 m dir. Bu yol için geçen süre t = 8 s olduðundan, aracýn ortalama hýzý, v ort = 16/8 = m/s olur. Cevap A 8 Sayýsal / 3

29 Örnek Yol bakým nedeni ile tek þeride indirilmiþ bir yolda 3 m/s ve 45 m/s lik hýzlarla hareket etmekte olan 1 kg kütleli otomobil ile 3 kg kütleli kamyonet sürücüleri birbirini 3 m kala görüyor ve ayný anda frene basýyorlar. Lastikler ile yol arasýndaki kinetik sürtünme kat sayýsý araçlar için eþit ve,45 olduðuna göre, bu iki aracýn çarpýþýp çarpýþmayacaðý hakkýnda ne söylenebilir?(g=1 m/s alýnýz.) A) Çarpýþýrlar. B) 45 m kala dururlar. C) 75 m kala dururlar. D) 1 m kala dururlar. E) 15 m kala dururlar. Çözüm... k=,45 Fren yapan araçlara etki eden kinetik sürtünme kuvveti F s = k N baðýntýsý ile hesaplanýr. Otomobile etki eden sürtünme kuvveti F so =,45 1= 54 N Kamyonete etki eden sürtünme kuvveti, F sk =,45 3 = 135 N olur. Bu sürtünme kuvvetlerinin araçlara kazandýrdýðý ivme, F net = m a baðýntýsý ile hesaplanýr. Otomobilin ivmesi, a O = 54/1 =4,5 m/s olur. Kamyonetin ivmesi ise a K = 135/3 =4,5 m/s olur. Bu ivmelerle düzgün olarak yavaþlayan araçlarýn duruncaya kadar aldýklarý yollar zamansýz hýz baðýntýsý olan v = v ax baðýntýsý ile hesaplanýr. Otomobilin aldýðý yol, 45 m/s 3 m 3 m/s = 3 4,5 x x =1 m dir. Benzer olarak kamyonetin aldýðý yol ise, = 45 4,5 x x = 5 m olur. Kaza olacak mý? k=,45 Alýnan toplam yol = 35 m dir. Bu mesafe 3 m den büyük olduðu için otomobil ile kamyonet çarpýþýr. Cevap A Örnek 3 Yerden yüksekliði 5 m olan bir balkonda duran top, düþey olarak yukarý doðru m/s lik hýzla atýlýyor. Buna göre, top; I. Yere 3 m/s lik hýzla çarpar. II. Yere 5 saniye sonra düþer. 5 m III. saniye sonra yerden 55 m yukarýdadýr. yer yargýlarýndan hangileri doðrudur? (Sürtünmeler önemsiz; g=1 m/s ) Çözüm.. D) I ve II E) I, II ve III m/s I. Top yukarý düþey atýþ hareketi yaptýðýndan dönüþte atýldýðý düzeyden m/s lik hýzla geçer. Yere çarpma hýzý v =v + g h baðýntýsý ile hesaplanabilir. Soruda verilen deðerlere göre, v = v =9 v=3 m/s olur. (I. yargý doðrudur.) II. Topun yere düþme süresi, tepe noktasýna çýkýþ süresi ile tepe nktasýndan yere düþme süresinin toplamýna eþittir. Bu süre, h = v t + (1/) g t baðýntýsý kullanýlarak hesaplanýr. Topun düþeydeki yerdeðiþtirmesi negatif iþaretli olduðundan h yüksekliði ( ) iþaretli alýnýr. Buradan, 5 = t + (1/) 1 t 5 = 4t + 5 t t = 5 saniye olur. (II. yargý doðrudur.) III. Topun saniye sonraki yerden yüksekliði çýktýðý yükseklik ile balkonun yerden yüksekliði düþünülerek bulunabilir. h = v t (1/) g t baðýntýsýna göre top; h = (1/) 1 h = 4 = m yukarý çýkar. Balkonun yerden yüksekliði 5 m olduðundan, top saniye sonra yerden 5 + = 45 m yukarýda olur. (III. yargý yanlýþtýr.) Cevap D Sayýsal / 3 9

30 Örnek 4 Yerden yüksekliði m olan bir balkonda duran top, aþaðý düþüyor. Buna göre, top; I. Yere m/s lik hýzla çarpar. II. Yere saniye sonra düþer. III. Ortalama hýzý 1 m/s dir. yargýlarýndan hangileri doðrudur? (Sürtünmeler önemsiz; g=1 m/s yer ) Çözüm.. D) I ve II E) I, II ve III I. Topun yere çarpma hýzý v = g h baðýntýsý ile hesaplanabilir. Soruda verilen deðerlere göre, v = 1 v =4 v= m/s olur. (I. yargý doðrudur.) II. Topun yere düþem süresi, h = (1/) g t baðýntýsý ile bulunabilir. Soruda verilen deðerlere göre, = (1/) 1 t = 5 t 4 = t t = saniye olur. (II. yargý doðrudur.) III. Topun ortalama hýzý ilk ve son hýzýnýn aritmetik ortalamasýndan ya da aldýðý düþey yolun geçen zamana oranýndan bulunabilir. v ort = + Örnek 5 =1 m/s olur. (III. yargý doðrudur.) Yerden yüksekliði 4 m olan bir balkonda duran top, aþaðý düþey olarak 1 m/s lik hýzla atýlýyor. Buna göre, top; I. Yere 3 m/s lik hýzla çarpar. II. Yere saniye sonra düþer. III. Ortalama hýzý m/s dir. m Cevap E yargýlarýndan hangileri doðrudur? (Sürtünmeler önemsiz; g=1 m/s ) Çözüm.. D) I ve II E) I, II ve III I. Topun yere çarpma hýzý v =v + g h baðýntýsý ile hesaplanabilir. Soruda verilen deðerlere göre, yer 1 m/s 4 m 3 v = v =9 v=3 m/s olur. (I. yargý doðrudur.) II. Topun yere düþme süresi, v = v + g t baðýntýsý ile bulunabilir. Topun yere çarpma hýzýný 3 m/s olarak bulmuþtuk, soruda verilen deðerlere göre de, 3 = t = 1 t t = saniye olur. (II. yargý doðrudur.) III. Topun ortalama hýzý ilk ve son hýzýnýn aritmetik ortalamasýndan ya da aldýðý düþey yolun geçen zamana oranýndan bulunabilir. v ort = Örnek 6 Kütleleri kg ve 6 kg olan X ve Y cisimleri þekildeki gibi üst üste konulup sabit ÁF kuvvetiyle çekiliyor. Düzenekte yalnýz X ile Y arasýnda sabit 4 newtonluk sürtünme kuvveti olduðuna göre, X cisminin Y cismi üzerinden düþmemesi için ÁF nin büyüklüðü maksimum kaç newton olmalýdýr? C A) 1 B) 14 C) 16 D) 18 E) Çözüm lir- F S =4 N Cisimler F kuvvetiyle çekiken ortak a ivmesiyle hareket etmelidir. Bu ivme; dinamiðin temel prensibinden, F = (m X + m Y ) a F F=8a a = dir. 8 Sayýsal / 3 kg 6 kg X Y F=? Bu durumda X cismine; m X a büyüklüðünde eylemsizlik kuvveti etki eder ki X i Y nin üstünde tutan dengeleyici kuvvet sürtünme kuvvetidir. Bu durumda; mx a=f sür dür. F =4 8 F =16 N olarak bulunur. = m/s olur. (III. yargý doðrudur.) m X a 6 kg X Y Cevap E F Cevap C

31 1. Cevaplý Test.. 4. Resimde verilen paraþütçü en az kaç kuvvetin etkisindedir? CCCC A) Bir B) Ýki C) Üç D) Dört E) Beþ Yukarýda verilenlerin hangilerinde kesinlikle net kuvvet sýfýrdýr? CCC A) Yalnýz I B) Yalnýz II C) I ve II 5. D) I ve III E) II ve III. Resimde verilen uçak normal uçuþ yüksekliðinde sabit hýzla ilerlemektedir. Buna göre, bu uçaða etki eden net kuvvet için ne söylenebilir? AAA A) Sýfýrdýr. B) Sürtünme kuvvetinden büyüktür. C) Aðýrlýk kuvvetine eþittir. D) Havanýn kaldýrma kuvvetinden büyüktür. E) Motorun itme kuvvetine eþittir. Resimde verilen gemi denizde yol alýrken, gemiye etki eden kuvvetler için aþaðýdakilerden hangisi söylenemez? DDD A) 1 yönündeki kuvvet, kaldýrma kuvvetidir. B) 4 yönündeki kuvvet, sürtünme kuvvetidir. C) 3 yönündeki kuvvet, yerçekimi kuvvetidir. D) Gemi hýzlanýyorsa net kuvvet sýfýrdýr. E) Gemi hýzlanýyorsa motorun itme kuvveti sürtünme kuvvetinden büyüktür Yukarýda verilenlerin hangilerinde baðýl hýz sýfýrdan farklýdýr? BBB D) I ve II E) II ve III Yukarýda verilenlerin hangilerinde baðýl hareket vardýr? EEE D) I ve III E) I, II ve III Sayýsal / 3 31

32 7. EE I II III Raketle topa vurmak Toplarý yukarý atmak Deney arabasýný itmek Yukarýda verilenlerin hangilerinin gerçekleþebilmesi için kuvvet olmasý gerekir? D) I ve II E) I, II ve III 8. Aþaðýda verilenlerin hangisinde kuvvetin harekete sebeb olduðu söylenemez? CC A) B) C) 1. Þekilde bir gurup öðrencinin yapmakta olduðu etkinlik verilmiþtir. Etkinlikte, özdeþ K ile L çubuklarýna sarýlmýþ ipi Yasemin tek eliyle çekerken diðer dört öðrenci ikiþerli olarak çekiyorlar. DD K çubuðu Ayþe Cemal Yasemin Ayþe ile Cemal in uyguladýðý kuvvetler öðrenciler Çubuklarý ve ipi çeken toplamý, Cemre ile Ahmet in uyguladýðý kuvvet ler toplamýna eþit büyüklükte olduðuna göre, I. Net kuvvet sýfýrdýr. II. Yaseminin uyguladýðý kuvvet net kuvvettir. III. K ile L çubuklarý Yaseminin uyguladýðý kuvvet nedeni ile birbirine yaklaþýr. yargýlarýndan hangileri doðrudur? D) II ve III E) I, II ve III Cemre Ahmet L çubuðu Istaka ile bilardo Kartalýn uçmasý topuna vurulmasý D) E) Irmaðýn akmasý ve akýþ yönü Nöbet tutan asker Ay ýn Dünya etrafýnda dolanmasý 11. Sürtünmesi önemsiz yatay düzlemdeki oyuncak arabayý evine götürmek isteyen beþ çocuk düzleme paralel olarak þekilde verilen ÁF, ÁF, ÁF 3, ÁF 4 ve ÁF 5 kuvvetlerini 1 uyguluyor. EE Buna göre, oyuncak araba hangi yönde harekete baþlar?(bölmeler eþit aralýklýdýr.) A) e zýt B) ÁF e zýt C) ÁF 3 e zýt ÁF 5 ÁF D) ÁF 4 e zýt E) ÁF 5 e zýt ÁF 4 ÁF 3 9. Hýzlanmakta olan bir arabaya ait aþaðýda verilenlerden hangisi yanlýþtýr? DD A) Motor kuvveti 1 yönündedir. B) Sürtünme kuvveti yönündedir. Hýzlanmakta olan otomobil C) Yer çekimi kuvveti 3 yönündedir. D) Net kuvvet yönündedir. E) Motor kuvveti sürtünme kuvvetinden büyüktür Sürtünmesi önemsiz yatay düzlemde durmakta olan oyuncak F 1 = 7 N bebeði alarak bebekle oynamak isteyen Eslem, Yasemin ve Þeyma, sýrasýyla þekilde verilen kuvvetleri düzleme paralel F 37 3 = 1 N olarak ayný anda uyguluyorlar. BB Buna göre, oyuncak bebeðe etki eden net kuvvet kaç newtondur? (sin37 =,6; sin53 =,8) +y 37 F = 5 N +x A) ñ B) ñ C) ñ3 D) 3ñ3 E) 3ñ 3 Sayýsal / 3

33 . Kuvvetin etkileri arasýnda; I. Þekil deðiþtirme II. Hareket cinsini deðiþtirme III. Hýz kazandýrma EE verilenlerden hangileri vardýr? D) II ve III E) I, II ve III 1. Kuvvet cisimlerin... deðiþtirebilir. Kuvvet... bir büyüklüktür. Kuvvetler...,...,... yöntemleri ile toplanýr. DD Yukarýda verilen cümlelerin doðru olarak tamamlanmasý için aþaðýda verilenlerden hangisini kullanmak gerekmez? A) Þeklini B) Hareketini C) Çokgen D) Net kuvvet E) Paralelkenar. Baþlangýçta hareketsiz olan þekildeki oyuncak ördek, düzleme paralel dört kuvvetin etkisinde kalýnca da durmaya devam ediyor. DD Kuvvetlerden üçü þekilde ÁF 3 verildiðine göre, dördüncü kuvvet aþaðýdakilerden hangisidir? (Bölmeler eþit aralýklýdýr.) A) B) C) D) E) ÁF 4. Baþlangýçta hareketsiz +y olan þekildeki oyuncak 1 araba, düzleme paralel üç kuvvetin etkisinde y doðrultusunda harekete 3 +x baþlýyor. Kuvvetlerden ikisi þekilde verildiðine göre, üçüncü kuvvet þekildeki 4 5 ÁF kesikli kuvvetlerden hangisi olamaz? (Bölmeler eþit aralýklýdýr.) AA A)1 B) C) 3 D) 4 E) 5 5. Baþlangýçta hareketsiz olan þekildeki aküsü bitmiþ oyuncak arabasýna binen Ýhsan, üç 5 ÁF 3 1 arkadaþýnýn sürtünmesi önemsiz yatay düz- leme paralel olarak uyguladýðý 4 ÁF kuvvetlerin et- 3 kisinde harekete baþlýyor. BB Ýhsan arabanýn direksiyonunu serbest býraktýðýna göre, þekilde verilen hangi yönde hareket etmektedir? (Bölmeler eþit aralýklýdýr.) A)1 B) C) 3 D) 4 E) 5 6. Durgun olan göldeki kayýk, su yüzeyine paralel dört kuvvetin etkisinde kalýyor. ÁF 3 ÁF 3. Baþlangýçta hareketsiz olan ÁF 5 þekildeki oyuncak araba, ÁF 4 düzleme paralel beþ kuvvetin etkisindedir. Kuvvetler þekilde verildiðine göre, oyuncak araba- ÁF ÁF 3 hangi kuvvet yönünde hareket ediyordur? (Bölmeler eþit aralýklýdýr.) DD BB ÁF 4 Buna göre, kayýðýn hareketi için ne söylenebilir? (Bölmeler eþit aralýklýdýr.) A) yönünde hareket eder. B) ÁF yönünde hareket eder. C) ÁF 3 yönünde hareket eder. D) ÁF 4 yönünde hareket eder. A) B) ÁF C) ÁF 3 D) ÁF 4 E) ÁF 5 E) Hareket etmez. Sayýsal / 3 33

34 7. ( ) Yatayýn üzerine doðru eðik atýþ hareketinde, tepe noktasýnda hýz sýfýrdýr. ( ) Yerden düþey olarak yukarý doðru atýlan cismin tepe noktasýndaki ivmesi sýfýrdýr. ( ) Yatay atýþ hareketi, yataydan sabit hýzlý hareket ile düþeyden serbest düþme hareketinin bileþkesidir. ( ) Aþaðý düþey atýþ hareketinde ivme sabittir. ( ) Dalýndan düþen elma, rüzgâr esmiyorsa serbest düþme hareketi yapar. Yukarýda verilenler doðru (D), yanlýþ (Y) olarak iþaretlendiðinde D ve Y lerin sayýsý için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? CCC D ler Y ler A) 1 4 B) 4 1 C) 3 D) 3 E) 5 8. Basketbol oynayan iki basketbolcu top ile paslaþýyorlar. Birisi diðerine yatay doðrultuda topu attýðýna göre, topun hareketi için, I. Yatay atýþ hareketidir. II. Yatay doðrultuda düzgün doðrusal hareket yapar. III. Düþey doðrultuda yukarýda aþaðý atýþ hareketi yapar. verilenlerinden hangileri yanlýþtýr? CCC D) I ve II E) II ve III 3. I. Hareketli eþit zaman aralýklarýnda eþit yol alýyorsa II. Hareketli eþit zaman aralýklarýnda farklý yol alýyorsa III. Hýz eþit zaman aralýklarýnda eþit artýyorsa IV. Hýz eþit zaman aralýklarýnda eþit azalýyorsa Yukarýda verilenlerin hangilerinde ivme vardýr? EEE A) Yalnýz I B) Yalnýz IV C) II ve III D) I, II ve III E) II, III ve IV 31. Ayný düzlemdeki, ÁF ve ÁF 3 kuvveti þekilde verilmiþtir. Buna göre, bu kuvvetlerin toplamýnýn büyüklüðü; I. in büyüklüðünden fazladýr. II. ÁF nin büyüklüðünden azdýr. III. ÁF 3 ün büyüklüðüne eþittir. yargýlarýndan hangileri doðrudur? (Bölmeler eþit aralýklýdýr.) DDD A) Yalnýz I B) Yalnýz II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III 9. Yatayýn üstüne doðru eðik atýþ hareketi yapan bir top için, I. Düþey doðrultuda aþaðýdan yukarýya düþey atýþ hareketi yapar. II. Yatay doðrultuda düzgün doðrusal hareket yapar. III. Ývmesi önce azalýr sonra artar. verilenlerden hangileri doðrudur? CCC A) Yalnýz I B) Yalnýz II C) I ve II D) I ve III E) Yalnýz III 3. Ayný düzlemde bulunan, ÁF ve ÁF 3 kuvvetleri þekilde verilmiþtir. Bu kuvvetler için, F 3 F1+ F + = R dir. 4 in büyüklüðü 1 birim olduðuna göre, ÁR nin büyüklüðü kaç birimdir? (Bölmeler eþit aralýklýdýr.) CCC A) 5 B) 9 C) 13 D) 15 E) Sayýsal / 3

35 33. Dört çocuk, sürtünmesi önemsiz yatay düzlemde duran kutuya kendi evleri doðrultusunda yere paralel olarak uyguladýklarý kuvvetlerle çekiyorlar. Buna göre, kutunun hareket yönü için ne söylenebilir? (Bölmeler eþit aralýklýdýr.) EEE A) Hareket etmez B) yönündeki eve doðru C) ÁF yönündeki eve doðru D) ÁF 3 yönündeki eve doðru 36. Resimde verilen araçlarla kuvvetin; I. Harekete neden olma II. Þekil deðiþtirme III. Hareket cinsini deðiþtirme verilenlerden hangileri gerçekleþtirilebilir? EEE A) Yalnýz I B) Yalnýz II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III E) ÁF 4 yönündeki eve doðru Sürtünmesi önemsiz yatay düzlemdeki bisiklet, düzleme paralel 5 N ve 8 N lik kuvvetlerin etkisindedir. Buna göre, bisiklete etki eden net kuvvet kaç N dir? (cos6 =1/; cos1 = 1/) CCCC A) 4 B) 6 C) 7 D) 9 E) Yukarýda verilen panoda kuvvet ve hareket iþlenecektir. Buna göre, bu panoda konuyla ilgisi olmayan resim kaç tanedir? AAA A) Bir B) Ýki C) Üç D) Dört E) Beþ 38. Yatay masa üzerinde bulunan oyuncak araba bir süre itilip serbest býrakýldýðýnda, yavaþlayýp duruyor. Buna göre, bu olayda; Yukarýdakilerin hangisinde kuvvetin vektörel özelliði gösterilebilir? EEE D) I ve III E) I, II ve III Sayýsal / 3 35 I. Hareketi saðlayan etki kuvveti II. Sürtünme kuvveti III. Yerçekimi kuvveti verilenlerden hangileri vardýr? EEE A) Yalnýz I B) Yalnýz II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III

36 Yukarýda verilenlerden hangileri kuvvet ile gerçekleþir? EEE A) Yalnýz I B) Yalnýz II C) I ve II Yukarýda verilenlerin hangilerinde kuvvet uygulanýrsa hareket meydana gelmez? BBB A) Yalnýz I B) Yalnýz IV C) II ve III 4. D) I ve IV E) I, III ve IV D) I ve III E) I, II ve III 4. Yukarýya doðru atýlan taþýn geri dönmesi Hareket hâlindeki arabanýn frenine basýlýnca durmasý Duran cisimleri harekete geçirmesi Güneþ, Ay ve gezegenlerin hareketini saðlamasý Nehirlerin akýþlarýný ve yönlerini etkilemesi Yukarýda verilenlerin kaç tanesinde kuvvetin etkisi vardýr? AAA A) Beþ B) Dört C) Üç D) Ýki E) Bir 43. Yukarýda verilenlerden kaç tanesinde kuvvet gereklidir? AAA A) 5 B) 4 C) 3 D) E) 1 36 Kuvvet ile ilgili yukarýda verilenlerden kaç tanesine evet cevabý verilir? EEE A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 Sayýsal / 3

37 44. I. Hýz II. Kuvvet III. Güç IV. Sýcaklýk V. Sürat 48. Bir hareketli ayný anda iki farklý hýza sahip olabilir. Buna göre, Yukarýda verilen niceliklerden kaç tanesi vektörel niceliktir? BBB A) 1 B) C) 3 D) 4 E) Kuvvetin etkileri arasýnda; I. Hareket II. Yön deðiþtirme III. Þekil deðiþtirme verilenlerden hangileri vardýr? EEE D) I ve II E) I, II ve III I, II ve III te verilenlerden hangileri böyle bir duruma örnek olabilir? EEE D) I ve III E) I, II, ve III 46. Terminalde v/ lik sabit hýzla hareket etmekte olan yürüyen banttaki bir çocuk, banta göre v hýzýyla koþuyor. Buna göre, çocuðun yere göre hýzý; v I. 3v II. III. Sýfýr verilenlerden hangileri olabilir? CCC A) Yalnýz I B) Yalnýz II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III 47. Yürüyen yatay bantlý yolda, Kemal bantýn üzerine çýkýp duruyorken, Cemal bantýn dýþýnda ve banta paralel olarak hareket ediyor. Buna göre, Kemal e göre Cemal; I. Duruyordur. II. Geriye gidiyordur. III. Ýleriye gidiyordur. verilenlerden hangileri olabilir? EEE D) I ve II E) I, II ve III 49. Otobanda sabit süratlerle hareket eden iki aracýn birbirine göre hýzý, I. Araçlarýn sürati II. Araçlarýn hareket yönü III. Araçlarýn modeli verilenlerden hangilerine baðlý olarak deðiþir? DDD 5. Çukurovanýn doðu-batý doðrultusundan geçen karayolunda batý yönünde 11 km/h lik sabit hýzla bir otomobil ve 9 km/h lik sabit hýzla bir otobüs gitmektedir. Buna göre, D) I ve II E) II ve III I. Otomobildeki bir yolcu otobüsü km/h lik hýzla doðuya gidiyor olarak görür. II. Otobüs koltuðunda oturan bir kiþi otomobili km/h lik hýzla doðuya gidiyor olarak görür. III. Yol kenarýnda duran ve bu araçlarý seyreden birisine göre otobüs 9 km/h lik hýzla doðuya gidiyor olarak görünür. yargýlarýndan hangileri yanlýþtýr? CCC D) I ve II E) II ve III Sayýsal / 3 37