ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ

Transkript

1 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ EYUP GÖKMEN FİLİNTE KONVEKSİYON-DİFÜZYON PROBLEMLERİNİN SONLU HACİM YÖNTEMİ İLE ANALİZİ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI ADANA, 2006

2 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONVEKSİYON-DİFÜZYON PROBLEMLERİNİN SONLU HACİM YÖNTEMİ İLE ANALİZİ Eyup Gökmen FİLİNTE YÜKSEK LİSANS TEZİ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANA BİLİM DALI Bu tez 27/09/2006 Tarihinde Aşağıdaki Jüri Üyeleri Tarafından Oybirliğiyle Kabul Edilmiştir. İmza. İmza. İmza. Yrd. Doç. Dr. Mustafa MAMAK Doç. Dr. Galip SEÇKİN Yrd.Doç. Dr.Hatice ÇAĞATAY DANIŞMAN ÜYE ÜYE Bu tez Enstitümüz İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalında hazırlanmıştır. Kod No: Prof. Dr. Aziz ERTUNÇ Enstitü Müdürü Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge, şekil ve fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

3 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ KONVEKSİYON-DİFÜZYON PROBLEMLERİNİN SONLU HACİM YÖNTEMİ İLE ANALİZİ Eyup Gökmen FİLİNTE ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANA BİLİM DALI Danışman: Jüri: Yrd. Doç. Dr. Mustafa MAMAK Yıl: 2006, Sayfa: 88 Doç. Dr. Galip SEÇKİN Yrd.Doç. Dr. Hatice ÇAĞATAY Günlük hayatımızda akışkanların incelenmesi, akışkanlara bağlı uygulamaların gelişimi açısından önem kazanmıştır. Akışkan hareketinin önemli bir rol oynadığı problemlerde, konveksiyon etkisi dikkate alınmalıdır. Doğada konveksiyonun yanında daima difüzyon olayı gerçekleşir; bu nedenle konveksiyon ve difüzyonu beraber ele alan hesap yöntemlerine ihtiyaç duyulmaktadır. Bu yöntemlerden biri sonlu hacim yöntemidir. Bu tez çalışmasında; bir boyutlu konveksiyon-difüzyon problemlerinin sonlu hacim yöntemi merkezi fark yaklaşımı, menba fark yaklaşımı, hybrid fark yaklaşımı ve kuvvet kuralı yaklaşımına göre farklı değişkenler kullanılarak analizi yapılmıştır. Problemlerin çözümlerinin elde edilebilmesi için MATLAB programında sonlu hacim yönteminin esaslarına dayanan kodlar oluşturulmuş ve farklı durumlar için çıkan sonuçlar program aracılığıyla elde edilmiştir. Elde edilen sonuçlar her durum için irdelenmiştir. Anahtar kelimeler: konveksiyon-difüzyon problemleri, sonlu hacim yöntemi, MATLAB, merkezi fark yaklaşımı, kuvvet kuralı yaklaşımı I

4 ABSTRACT MsC THESIS ANALYSIS OF CONVECTION-DIFUSSION PROBLEMS WITH FINITE VOLUME METHOD EYUP GÖKMEN FİLİNTE DEPARTMENT OF CIVIL ENGINEERING INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE UNIVERSITY OF CUKUROVA Supervisor: Jury: Assist. Prof. Dr. Mustafa MAMAK Year: 2006, Page: 88 Assoc. Prof. Dr. Galip SEÇKİN Assist. Prof. Dr. Hatice ÇAĞATAY In our daily life, examination of fluids and the improvement of applications dependent on fluids have earned importance. One of the important things in problems of fluid movement, convection effect is taken into consideration. In the nature, event of diffusion is come true together ith convection. For this reason ne calculation methods that dealing ith convection and diffusion together are needed. One of the calculation methods is finite volume method. In this thesis study, analysis of one dimensional convection-diffusion problems have been maken ith central differencing scheme, upind differencing scheme, hybrid differencing scheme and poer la scheme hich are elements of finite volume method using different variables. To obtain the solutions of problems, algorithms bases on finite volume method principles as formed at MATLAB computer program and the results of problems ere found for different cases. Obtained results have been examinized. Key ords: Convection-diffusion problems, finite volume method, MATLAB, central differencing scheme, poer la scheme II

5 TEŞEKKÜR Sonlu hacim yönteminin anlaşılabilmesi açısından faydalı olacağını düşündüğüm bu kaynağı hazırlamamda bana yardımcı olan, bilgisini ve fikirlerini paylaşan hocalarıma, desteklerini her zaman yanımda hissettiğim aileme ve çalışma arkadaşlarıma teşekkür ederim. III

6 İÇİNDEKİLER SAYFA ÖZ..Ι ABSTRACT.II TEŞEKKÜR...III İÇİNDEKİLER..IV TABLOLAR DİZİNİ...V ŞEKİLLER DİZİNİ...VII SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ IX 1.GİRİŞ SONLU HACİM YÖNTEMİ MATERYAL VE METOD Materyal Metod YÖNTEMLERİN ANLATILMASI Giriş Merkezi Fark Yaklaşımı Menba Fark Yaklaşımı Hybrid Fark Yaklaşımı Kuvvet Kuralı Yaklaşımı UYGULAMA Değişkenler Merkezi Fark Yaklaşımına Göre Çözümler Menba Fark Yaklaşımına Göre Çözümler Hybrid Fark Yaklaşımına Göre Çözümler Kuvvet Kuralı Yaklaşımına Göre Çözümler BULGULAR SONUÇLAR...85 KAYNAKLAR ÖZGEÇMIŞ...88 EKLER IV

7 TABLOLAR DİZİNİ SAYFA Tablo 4.1 Merkezi fark yaklaşımı katsayıları...10 Tablo 4.2 Hız yönlerine göre menba fark yaklaşımı katsayıları...12 Tablo 4.3 Menba fark yaklaşımı katsayıları genel formu...12 Tablo 4.4 Hybrid fark yaklaşımı katsayıları genel formu...14 Tablo 4.5 Kuvvet kuralı yaklaşımı katsayıları genel formu...14 Tablo 5.1 Merkezi fark yaklaşımı için katsayılar tablosu...18 Tablo 5.2 Durum 1 için merkezi fark yaklaşımı merkezi katsayı değerleri...18 Tablo 5.3 Durum 1 için merkezi fark yaklaşımı ve analitik sonuçlar...19 Tablo 5.4 Durum 2 için merkezi fark yaklaşımı katsayı değerleri...20 Tablo 5.5 Durum 2 için merkezi fark yaklaşımı ve analitik sonuçlar...21 Tablo 5.6 Durum 3 için merkezi fark yaklaşımı katsayı değerleri...22 Tablo 5.7 Durum 3 için merkezi fark yaklaşımı ve analitik sonuçlar...24 Tablo 5.8 Durum 4 için merkezi fark yaklaşımı katsayı değerleri...25 Tablo 5.9 Durum 4 için merkezi fark yaklaşımı ve analitik sonuçlar...26 Tablo 5.10 Durum 4 için merkezi fark yaklaşımı katsayı değerleri...28 Tablo 5.11 Durum 5 için merkezi fark yaklaşımı ve analitik sonuçlar...30 Tablo 5.12 Durum 6 için merkezi fark yaklaşımı katsayı değerleri...31 Tablo 5.13 Durum 6 için merkezi fark yaklaşımı ve analitik sonuçlar...33 Tablo 5.14 Menba fark yaklaşımı için katsayılar tablosu...37 Tablo 5.15 Durum 1 için menba fark yaklaşımı katsayı değerleri...38 Tablo 5.16 Durum 1 için menba fark yaklaşımı ve analitik sonuçlar...39 Tablo 5.17 Durum 2 için menba fark yaklaşımı katsayı değerleri...39 Tablo 5.18 Durum 2 için menba fark yaklaşımı ve analitik sonuçlar...40 Tablo 5.19 Durum 3 için menba fark yaklaşımı katsayı değerleri...42 Tablo 5.20 Durum 3 için menba fark yaklaşımı ve analitik sonuçlar Tablo 5.21 Durum 4 için menba fark yaklaşımı katsayı değerleri...45 Tablo 5.22 Durum 4 için menba fark yaklaşımı ve analitik sonuçlar...46 V

8 Tablo 5.23 Durum 5 için menba fark yaklaşımı katsayı değerleri...48 Tablo 5.24 Durum 5 için menba fark yaklaşımı ve analitik sonuçlar...50 Tablo 5.25 Durum 6 için menba fark yaklaşımı katsayı değerleri...51 Tablo 5.26 Durum 6 için menba fark yaklaşımı ve analitik sonuçlar...53 Tablo 5.27 Pe >2 durumunda hybrid fark yaklaşımı için katsayılar tablosu...56 Tablo 5.28 Durum 2 için hybrid fark yaklaşımı katsayı değerleri...56 Tablo 5.29 Durum 2 için hybrid fark yaklaşımı ve analitik sonuçlar...57 Tablo 5.30 Durum 4 için hybrid fark yaklaşımı katsayı değerleri...59 Tablo 5.31 Durum 4 için hybrid fark yaklaşımı ve analitik sonuçlar...61 Tablo 5.32 Durum 1 için kuvvet kuralı yaklaşımı katsayı değerleri...64 Tablo 5.33 Durum 1 için kuvvet kuralı yaklaşımı ve analitik sonuçlar...65 Tablo 5.34 Durum 2 için kuvvet kuralı yaklaşımı katsayı değerleri...65 Tablo 5.35 Durum 2 için kuvvet kuralı yaklaşımı ve analitik sonuçlar...66 Tablo 5.36 Durum 3 için kuvvet kuralı yaklaşımı katsayı değerleri...68 Tablo 5.37 Durum 3 için kuvvet kuralı yaklaşımı ve analitik sonuçlar...69 Tablo 5.38 Durum 4 için kuvvet kuralı yaklaşımı katsayı değerleri...70 Tablo 5.39 Durum 4 için kuvvet kuralı yaklaşımı ve analitik sonuçlar...71 Tablo 5.40 Durum 5 için kuvvet kuralı yaklaşımı katsayı değerleri Tablo 5.41 Durum 5 için kuvvet kuralı yaklaşımı ve analitik sonuçlar...75 Tablo 5.42 Durum 6 için kuvvet kuralı yaklaşımı katsayı değerleri Tablo 5.43 Durum 6 için kuvvet kuralı yaklaşımı ve analitik sonuçlar...78 Tablo 6.1 Sonlu hacim yaklaşımları genel katsayılar tablosu Tablo 6.2 Elde edilen çözümlerin ortalama hata yüzdeleri VI

9 ŞEKİLLER DİZİNİ SAYFA Şekil 2.1 Farklı Peclet sayılarındaki değerlerinin dağılımı...5 Şekil 4.1 P noktası etrafındaki kontrol hacmi...7 Şekil 4.2 Hız pozitif iken menba fark yaklaşımı...10 Şekil 4.3 Hız negatif iken menba fark yaklaşımı...11 Şekil 5.1 Ayrıklaştırma için ızgara şekli Şekil 5.2 Durum 1 ve Durum 2 için merkezi fark yaklaşımı ile elde edilen sonuçların grafiksel gösterimi...21 Şekil 5.3 Durum 3 ve Durum 4 için merkezi fark yaklaşımı ile elde edilen sonuçların grafiksel gösterimi...27 Şekil 5.4 Durum 5 ve Durum 6 için merkezi fark yaklaşımı ile elde edilen sonuçların grafiksel gösterimi...34 Şekil 5.5 Durum 1 ve Durum 2 için menba fark yaklaşımı ile elde edilen sonuçların grafiksel gösterimi...41 Şekil 5.6 Durum 3 ve Durum 4 için menba fark yaklaşımı ile elde edilen sonuçların grafiksel gösterimi...47 Şekil 5.7 Durum 5 ve Durum 6 için menba fark yaklaşımı ile elde edilen sonuçların grafiksel gösterimi Şekil 5.8 Durum 1 ve Durum 2 için hybrid fark yaklaşımı ile elde edilen sonuçların grafiksel gösterimi Şekil 5.9 Durum 3 ve Durum 4 için hybrid fark yaklaşımı ile elde edilen sonuçların grafiksel gösterimi...62 Şekil 5.10 Durum 1 ve Durum 2 için kuvvet kuralı yaklaşımı ile elde edilen sonuçların grafiksel gösterimi...67 Şekil 5.11 Durum 3 ve Durum 4 için kuvvet kuralı yaklaşımı ile elde edilen sonuçların grafiksel gösterimi...72 VII

10 Şekil 5.12 Durum 5 ve Durum 6 için kuvvet kuralı yaklaşımı ile elde edilen sonuçların grafiksel gösterimi...79 Şekil 6.1 Kuvvet kuralı yaklaşımında Peclet sayısı değerlerine göre ortalama hata 82 Yüzdeleri Şekil 6.2 Pe =0.05 için kuvvet kuralı yaklaşımı ortalama hata yüzdeleri 83 Şekil 6.3 Hız 2.5 m/s olduğunda 100 eşit kontrol hacmi aralığı için sonuçlar VIII

11 SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ ρ : Yoğunluk Γ : Difüzyon katsayısı S : Kuvvet ifadesi KH : Kontrol hacmi Pe : Peclet sayısı F : Konveksiyona bağlı ifade D : Difüzyona bağlı ifade δ x : Kontrol hacmi birim aralığı : Kontrol hacminin batı yüzeyindeki özelliği e : Kontrol hacminin doğu yüzeyindeki özelliği P : Kontrol hacminde P noktasındaki özelliği F e : Kontrol hacminin doğu yüzeyindeki konveksiyona bağlı ifade F : Kontrol hacminin batı yüzeyindeki konveksiyona bağlı ifade D e : Kontrol hacminin doğu yüzeyindeki difüzyona bağlı ifade D : Kontrol hacminin batı yüzeyindeki difüzyona bağlı ifade a W : Kontrol hacminin batı noktasındaki net katsayılar a E : Kontrol hacminin doğu noktasındaki net katsayılar a P : Kontrol hacminin içindeki noktadaki net katsayılar q : Kontrol hacminin batı yüzeyinde birim alana düşen net akım IX

12 1. GİRİŞ EYUP GÖKMEN FİLİNTE 1. GİRİŞ Akışkan hareketinin incelenmesi için çeşitli yöntemler bulunmaktadır. Akışkanların incelenmesi için kullanılan hesap yöntemleri hesaplamalı akışkanlar dinamiği (HAD) içerisinde gruplandırılabilir. Hesaplamalı akışkanlar dinamiği veya HAD; akışkan hareketi, ısı transferi, ve bunlarla ilişkili çeşitli problemleri (örn. kimyasal tepkimeler) içeren sistemlerin bilgisayarda modellenerek analiz edilmesidir.. Endüstriyel ve endüstriyel olmayan uygulama alanlarında çok geniş ve güçlü bir kullanım alanına sahip bir tekniktir. Uygulama alanlarına örnek verilecek olursa; - Uçak ve araçların aerodinamiğinde - Gemilerin hidrodinamiğinde - Gaz türbinleri ve motorların bulunduğu termik santrallerde - Elektrik ve elektronik mühendisliği alanlarında - Kimya mühendisliği alanlarında - Kıyı mühendisliğinde - Çevre mühendisliğinde - Meteroloji Akışkan problemlerini çözebilmek için nümerik algoritmalar kullanılarak HAD kodları yaratılmıştır. Bu kodlar üç temel aşamayı kapsar. Bu aşamalar ön işlem, çözüm ve son işlemdir. 1. Ön işlem: Bu aşamada akışkan probleminin çözümü için HAD programlarına kullanıcı tarafından verilen girdileri kapsamaktadır. Bunlar; o Çözüm bölgesi geometrisinin tanımı o Çözüm bölgesinin alt elemanlara ayrılması ve ızgara oluşumu o Fiziksel modelin seçimi o Akım özelliklerinin tanımlanması o Elemanlar üzerindeki sınır şartlarının belirlenmesi 2. Çözüm: Bu aşamada üç ayrı çözüm tekniği vardır. Bu teknikler; sonlu farklar yöntemi, sonlu elemanlar yöntemi ve sınır eleman yöntemidir. Sonlu 1

13 1. GİRİŞ EYUP GÖKMEN FİLİNTE hacimler yöntemi sonlu farklar yöntemindeki formülasyonların özel olarak geliştirilmesi ile bulunmuştur. Nümerik metodların çözüm aşamasını oluşturan temel adımlar; o Bilinmeyen akım değerlerinin basit fonksiyonlar cinsinden tanımlanması o Akımı idare eden denkleme yapılan yaklaşımların uygulanması ile ayrıklaştırma ve matematiksel işlemler o Cebrik denklem takımlarının çözümü 3. Son işlem: Çözümde elde edilen sonuçların çeşitli şekillerde gösterimidir. Bunlar; - bölge geometrisi ve grid gösterimi - Vektörel çizim - 2 veya 3 boyutlu çizimler - Parçacık takibi - Renkli çıktılar Akışkan hareketinin önemli bir rol oynadığı problemlerde, konveksiyon etkisi dikkate alınmalıdır. Doğada konveksiyonun yanında daima difüzyon olayı gerçekleşir; bu nedenle konveksiyon ve difüzyonu beraber ele alan yöntemlere ihtiyaç duyulmaktadır. Bu çalışmada, konveksiyon-difüzyon problemlerindeki genel bir özelliğinin değişimi sonlu hacim yöntemi ile incelenecek; merkezi fark yaklaşımı, menba fark yaklaşımı, hybrid fark yaklaşımı ve kuvvet kuralı ile çeşitli akışkan problemlerinin çözümüne yönelik çalışmalar yapılacaktır. 2

14 2. SONLU HACİM YÖNTEMİ EYUP GÖKMEN FİLİNTE 2. SONLU HACİM YÖNTEMİ Düzenli konveksiyon-difüzyon denklemi, genel bir özelliği için hareket denkleminden türetilebilir. Genel hareket denkleminin özelliğine bağlı diferansiyel ve integral formu aşağıdaki gibidir. ( ρ ) t ( ρu) ( ) + div = div Γ grad + S (2.1) (2.1) denklemi sözlü bir biçimde belirtmek istenilirse; Akışkan Akışkan elemanın Ø özelliğindeki artış elemanından çıkan net Ø + miktarı = Ø özelliğinin Ø'nin kütlesel difüzyona bağlı kuvvetlere bağlı artış oranı + artış oranı Çeşitli hareket işlemlerinde göze çarpan şey, denklemin sol tarafındaki değişim oranı ifadesi ve konvektif ifade ile denklemin sağ tarafındaki difüzyon ifadesi ve akım kaynağı ifadesidir. Düzenli akım için (2.1) denklemindeki zamana bağlı ifade sıfır olmaktadır. Buna göre (2.1) denklemini yeniden düzenlenirse; div( ρ u) = div( Γ grad ) + S (2.2) Yukarıdaki ifade bir kontrol hacmi (KH) üzerinde integre edilirse, div( ρu) = div( Γ grad ) dv + S dv (2.3) K. H K. H K. H (2.3) denkleminde bir a vektörüne Gauss diverjans teoremini uygulanabilir. 3

15 2. SONLU HACİM YÖNTEMİ EYUP GÖKMEN FİLİNTE K. H div adv = nada (2.4) A n ( ρ u) da = n ( Γ grad ) da+ S dv (2.5) A A KH Bu ifade kontrol hacmindeki akış dengesini göstermektedir. Eşitliğin sol tarafı, net konveksiyona bağlı akışı; sağ tarafı ise net difüzyon akışı ve kontrol hacmindeki özelliğinin değişimini vermektedir. Konveksiyon-difüzyon denkleminin sonlu sayıdaki kontrol hacimleri üzerinde integre edilmesi ile bir cebrik denklem takımı oluşur (Versteeg ve Malalasekera, 1995). Genellikle iteratif sayısal teknikler, büyük denklem takımlarının çözümünde kullanılmaktadır. Bu yöntemler, parametresinin tahmin edilen ilk dağılımına göre çözüme başlar ve yakınsayan bir sonuca ulaşana kadar hesaplamaya devam eder (Hirsch, 1990; Zhu, 1991). Scarborough (1958), yakınsayan bir iteratif yöntem için yeterli şartın, ayrıklaştırılmış denklemin katsayıları cinsinden ifade edilebileceğini göstermiştir: anb ' a P 1 bütün düğüm noktalarında < 1 en az bir düğüm noktasında Burada ' a P, merkezi düğüm noktası P nin net katsayısıdır ve paydaki ifade diğer komşu noktalardaki katsayıların toplamıdır. Roache (1976), akışkanın hareket özelliğini, Şekil 2.1 de görüldüğü gibi, bir P noktasında sabit bir kuvvetini dikkate alarak göstermeye çalışmıştır. Konveksiyon ve difüzyon ifadelerinin birbirine göre relatif ölçüsü olmak üzere boyutsuz Peclet sayısı tanımlanmıştır: Pe = F D ρu = Γ / δx 4

16 2. SONLU HACİM YÖNTEMİ EYUP GÖKMEN FİLİNTE Burada δx, karakteristik uzunluktur. Aşağıdaki şekilde farklı Peclet sayıları (Pe) için sabitine bağlı genel konturlar görülmektedir. Akım yönü Pe=0 Pe W P E Şekil 2.1 Farklı Peclet sayılarındaki değerlerinin dağılımı 5

17 3. MATERYAL VE METOD EYUP GÖKMEN FİLİNTE 3. MATERYAL VE METOD 3.1. Materyal Akım alanının bilindiği kabul edilerek, konveksiyon-difüzyon problemleri incelenecektir. Burada en önemli nokta, denklemdeki konveksiyon ifadesinin katkısı dikkate alınırken, kontrol hacminin yüzeylerinde oluşan özelliği için uygun formülasyonlar türetilmesidir. Merkezi fark yaklaşımı, menba fark yaklaşımı, hybrid fark yaklaşımı ve kuvvet kuralı gibi sonlu hacim yöntemleri, konveksiyon ve difüzyon ifadelerinin anlık etkisini tanımlamakta, yani düzenli bir akım ele alınmaktadır Metod Bu çalışmada, konveksiyon-difüzyon problemlerindeki genel bir özelliğinin değişimi sonlu hacim yöntemi ile incelenecek; yöntemin kontrolü amacıyla, analitik çözümleri bilinen örnekler ele alınacaktır. Ayrıca farklı yaklaşımlar ile elde edilen sonuçların birbiri ile karşılaştırması yapılacaktır. Sonlu hacim yöntemi ile bulunması gereken sonuçlar dört farklı yaklaşımın ana prensiblerine göre sahip oldukları formülasyonlar kullanılarak MATLAB 6.5 versiyonunda algoritmalar (Ek-1) oluşturulmuştur. Oluşturulan algoritmalar sonucunda her yaklaşım için istenilen değişkenlere göre sonlu hacim yöntemi sonuçları ile analitik yöntem sonuçları arasında karşılaştırmalı grafikler elde edilmiştir. Ayrıca sonuçların bulunması için çözülmesi gereken matrisler Mathematica programında çözülmüştür. 6

18 4. YÖNTEMLERİN ANLATILMASI EYUP GÖKMEN FİLİNTE 4. YÖNTEMLERİN ANLATILMASI 4.1. Giriş Kütlesel kuvvetlerin yokluğunda, bir boyutlu akım alanında özelliği konveksiyon ve difüzyon olayını idare eden denklem aşağıdaki gibidir. d dx d d ρ = dx dx (4.1) ( u ) Γ Akım aynı zamanda süreklilik prensibini sağlamalıdır. ( ) d ρu dx = 0 (4.2) Aşağıdaki şekilde bir boyutlu genel bir P noktasındaki kontrol hacmi verilmektedir. P noktasına komşu noktalar W ve E ile tanımlanmış ve kontrol hacmi yüzeyleri ve e olarak tanımlanmıştır. Şekil 4.1 P noktası etrafındaki kontrol hacmi Hareket denklemi kontrol hacmi üzerinde integre edilirse; ua ua = A A e Γ Γ x x ( ρ ) ( ρ ) e (4.3) 7

19 4. YÖNTEMLERİN ANLATILMASI EYUP GÖKMEN FİLİNTE Süreklilik denkleminin kontrol hacmi üzerinde integrasyonu sonucu aşağıdaki denklem elde edilir. ( ρua) ( ρua) 0 e = (4.4) Konveksiyon-difüzyon probleminde ayrıklaştırılmış denklemleri elde etmek üzere (4.3) denklemindeki ifadelerin belirlenmesi gerekmektedir. F ve D gibi iki değişken koyalım. Γ F = ρu ve D = (4.5) δ x Kontrol hacminin yüzeyindeki F ve D değerleri aşağıdaki gibi yazılabilir. F = ( ρu), F ( ρu) e = (4.6a) e D Γ =, D δ x WP e Γe = (4.6b) δ x PE A = A e = A kabulü ve merkezi fark yaklaşımı ile (4.3) denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir. ( ) ( ) F F = D D (4.7) e e e E P P W İntegre edilmiş süreklilik denklemi F e F = 0 (4.8) F e ve F değerlerini dikkate alırken akım alanındaki hızın bilindiğini varsayılmaktadır.(4.7) denkleminin çözümü için e ve yüzeylerindeki değerlerinin 8

20 4. YÖNTEMLERİN ANLATILMASI EYUP GÖKMEN FİLİNTE 9 hesaplanması gerekir. Bu amaca yönelik çeşitli yöntemler geliştirilmiştir. Sonraki bölümlerde bu yöntemlerden merkezi fark yaklaşımı, menba fark yaklaşımı, hybrid fark yaklaşımı ve kuvvet kuralı yaklaşımı incelenecektir Merkezi Fark Yaklaşımı Düzenli bir alan için değerleri merkezi fark yaklaşımı ile aşağıdaki şekilde hesaplanabilir. ( ) 2 P E e + = (4.9a) ( ) 2 P W + = (4.9b) (4.9) ifadeleri (4.3) denkleminde yazılırsa ( ) ( ) ( ) ( ) W P P E e P W E P e D D F F = (4.10) (4.10) ifadesi düğüm noktalarındaki değerleri ile yeniden düzenlenirse E e e W P e e F D F D F D F D + + = ( ) E e e W P e e e F D F D F F F D F D + + = (4.11) W ve E değişkenlerinin katsayılarını a W ve a E olarak tanımlanırsa ayrıklaştırılmış konveksiyon-difüzyon denklemi için merkezi fark katsayıları aşağıdaki gibi olur.

21 4. YÖNTEMLERİN ANLATILMASI EYUP GÖKMEN FİLİNTE a = a + a (4.12) P P W W E E Tablo 4.1 Merkezi fark yaklaşımı katsayıları a W a E a P F D + 2 F De 2 e a W + a E + ( Fe F) Bir boyutlu konveksiyon-difüzyon problemlerini çözebilmek için tüm noktalarda (4.12) denkleminin formunda ayrıklaştırılmış denklemler yazılabilir. Oluşacak cebrik denklemlerin çözümü ile özelliğinin dağılımı bulunabilir Menba Fark Yaklaşımı Bu yaklaşımla eleman üzerindeki değeri kendinden bir önceki düğüm noktasındaki değere eşit olmaktadır. Şekil 4.2 Hız pozitif iken menba fark yaklaşımı Akım yönü pozitif yönde olduğunda, u >0, u e >0 (F >0, F e >0), bunlara bağlı olarak; = W ve e P = (4.13) 10

22 4. YÖNTEMLERİN ANLATILMASI EYUP GÖKMEN FİLİNTE (4.13) denklemindeki ifade (4.7) denkleminde yerine yazılırsa F e P W e ( ) D ( ) F = D (4.14) E P P W (4.14) denklemi yeniden düzenlenirse ( D + De + Fe ) P = ( D + F ) W + DeE [( D F ) + De + ( Fe F )] P = ( D + F ) W + DeE + (4.15) Şekil 4.3 Hız negatif iken menba fark yaklaşımı Akım yönü negatif olduğu zaman, u <0, u e <0 (F <0, F e <0), menba yaklaşımına göre = ve e = E (4.16) P Bu değerlere göre (4.7) denklemi aşağıdaki gibi olur. 11

23 4. YÖNTEMLERİN ANLATILMASI EYUP GÖKMEN FİLİNTE F e E P e ( ) D ( ) F = D (4.17) E P P W [ D ( D e F e ) + ( F e F W )] P = D W + ( D e F e ) E + (4.18) (4.15) ve (4.18) denklemleri genel formda yazılabilir. a P P = a W W + a E E (4.19) a P = a W + a E + ( Fe F) Tablo 4.2 Hız yönlerine göre menba fark yaklaşımı katsayıları a W a E F >0, F e >0 D + F D e F <0, F e <0 D D F e e Menba fark yaklaşımında her iki yönde komşu faktörleri bulmak üzere aşağıdaki ifade verilebilir. Tablo 4.3 Menba fark yaklaşımı katsayıları genel formu a W a E D + max( F,0) D + max ( 0, ) e F e 4.4. Hybrid Fark Yaklaşımı Spaldingin in (1972) geliştirdiği hybrid fark yaklaşımı merkezi ve menba fark yaklaşımlarının kombinasyonu esasına dayanmaktadır. Merkezi fark yaklaşımı küçük Peclet sayıları ( Pe <2 ) için daha yakın çözümler sunarken büyük Peclet sayıları ( Pe>2 ) için menba fark yaklaşımı çözüme yakınsamaktadır. Hybrid fark yaklaşımı her kontrol hacmi yüzeyinde net akımı hesaplayabilmek için yerel Peclet sayılarını 12

24 4. YÖNTEMLERİN ANLATILMASI EYUP GÖKMEN FİLİNTE temel alan parça formüller kullanır. Kontrol hacmi yüzeyindeki Peclet sayısı hesaplanabilir. Örnek olarak, herhangi bir kontrol hacminin batı yüzeyindeki Peclet sayısı Pe F D ( ρu) = = (4.20) Γ δx WP Kontrol hacminin her bir birim alanına düşen net akım için hybrid fark denklemi aşağıdaki gibidir. q Pe W Pe = F P 2 < Pe < 2 q = F A Pe 2 W q = F A Pe 2 (4.21) P Buradan da görüldüğü gibi konveksiyon ve difüzyon terimleri için düşük Peclet sayılarında merkezi fark yaklaşımı çözümü sağlamaktadır. Ama Pe >2 durumunda menba fark yaklaşımı durumundaki değer difüzyonda sıfır olmaktadır. Genel ayrıklaştırılmış denklem formu; a P P = a W W + a E E (4.22) a P = a W + a E + ( Fe F) Bazı yeniden düzenlemelerden sonra düzenli bir boyutlu konveksiyondifüzyon akımı için hybrid fark yaklaşımı katsayıları Tablo 4.4 deki gibi yazılabilir. 13

25 4. YÖNTEMLERİN ANLATILMASI EYUP GÖKMEN FİLİNTE Tablo 4.4 Hybrid fark yaklaşımı katsayıları genel formu a W a E F Fe maxf, D +, 0 max 2 F e, De, Kuvvet Kuralı Yaklaşımı Bu yaklaşıma göre Peclet sayısı 10 u aşarsa difüzyon ifadesi sıfır alınmaktadır. 0 <Pe< 10 ise akışkan bir polinom ile ifade edilmektedir. Örnek olarak kontrol hacminin batı yüzeyi için q F [ β ( )] = 10 < Pe < 10 (4.23a) W P W β = 5 ( 1 0.1Pe ) Pe q = Pe > 10 (4.23b) F W Bir boyutlu konveksiyon-difüzyon problemi için kuvvet kuralının kullanılması ile elde edilen katsayılar aşağıda verilmiştir. Merkezi katsayı: a P = a W + a E + ( Fe F) ve Tablo 4.5 Kuvvet kuralı yaklaşımı katsayıları genel formu a W a E 5 [ ( 1 0.1Pe ) ] max[ F,0] e max 0, ( 1 0.1Pee ) D max 0, + 5 [ ] max[ Fe,0] D + 14

26 5. UYGULAMA 5.1. Değişkenler Bu bölümde, konveksiyon-difüzyon problemlerindeki genel bir özelliğinin değişimi sonlu hacim yöntemi ile incelenecek; merkezi fark yaklaşımı, menba fark yaklaşımı, hybrid fark yaklaşımı ve kuvvet kuralı yaklaşımı ile akışkanın 2 farklı hız ile 5, 10 ve 20 eşit kontrol hacmi kullanılarak nin x e göre dağılımı bulunacaktır. Elde edilen sonuçlar analitik çözüm sonuçlarına göre karşılaştırılacak ve yöntemlerin kontrolü yapılacaktır. Olayı idare eden denklem aşağıdaki gibidir. d dx d d ρ = dx dx (4.1) ( u) Γ Sınır şartları: = 1 ve = 0 0 x= 0 L x= L İki farklı hız ve üç farklı kontrol hacmi kullanarak merkezi fark yaklaşımı, menba fark yaklaşımı, hybrid fark yaklaşımı ve kuvvet kuralı yaklaşımı için sonuçlar bulunacaktır. Durum 1 : u = 0.1 m/s ve 5 eşit kontrol hacmi aralığı Durum 2 : u = 2.5 m/s ve 5 eşit kontrol hacmi aralığı Durum 3 : u = 0.1 m/s ve 10 eşit kontrol hacmi aralığı Durum 4 : u = 2.5 m/s ve 10 eşit kontrol hacmi aralığı Durum 5 : u = 0.1 m/s ve 20 eşit kontrol hacmi aralığı Durum 6 : u = 2.5 m/s ve 20 eşit kontrol hacmi aralığı 15

27 Kullanılacak parametreler: L = 1 m, ρ =1.0 kg/m 3, Γ =0.1 kg/m/s. Analitik çözüm için: 0 L 0 ρux exp 1 Γ = ρul exp 1 Γ (5.1) u = 0.1 m/s için exp( x) ( x) = exp(25 x) u = 2.5 m/s için ( x) = * Merkezi Fark Yaklaşımına Göre Çözümler Durum 1 : u = 0.1 m/s ve 5 eşit kontrol hacmi aralığı Şekil 5.1 Ayrıklaştırma için ızgara şekli Çözüm metodu için kullanılacak ızgara Şekil 5.1 de gösterilmiştir. Sınırlar A ve B olarak isimlendirilmiş ve A ve B noktaları arasında 5 eşit kontrol hacmine ayrılmıştır. 16

28 F = ρ u, D = Γ, F δx e = F =F, D e = D = D (4.9) denklemi ve Tablo 4.1 deki katsayılar iç düğüm noktaları yani 2, 3 ve 4 noktaları için uygulanabilir. Fakat sınırdaki 1 ve 5 numaralı düğüm noktaları için sınır şartlarının dikkate alınması gerekir. Buna göre 1 numaralı düğüm noktası için: = = 1 A F e 2 ( + ) F = D ( ) D ( ) P E A A e E P A P A (5.2) 5 numaralı düğüm noktası için: = = 0 e B F B F ( + ) = D ( ) D ( ) B P W B B P P W (5.3) 2 Ayrıca sınır düğüm noktaları için F ve D değerleri yeniden düzenlenirse; D = D = 2 Γ δ x = D, F = F F A B 2 A B = (4.10) ile (4.11) denkleminde yerine konursa ayrıklaştırılmış denklem; a = a + a + S (5.4) P P W W E E u Merkezi katsayılar aşağıdaki gibi olur. ( e ) a = a + a + F F S P W E P 17

29 Tablo 5.1 Merkezi fark yaklaşımı için katsayılar tablosu Nokta a W a E S p S u 1 0 F 2 D ( 2 D + F ) ( 2 D + F ) A 2, 3, 4 D + F 2 D F F 2 D + 0 ( 2 D F ) ( 2 D F ) B u = 0.1 m/s ve δ x =1/5 = 0.2 m için F = ρ u = 0.1,D = değerleri bulunur. Bu değerler Tablo 5.1 de yerine yazılırsa; Γ = 0.1/0.2 = 0.5 δx Tablo 5.2 Durum 1 için merkezi fark yaklaşımı merkezi katsayı değerleri Nokta a W a E S u S p a P = a W + a E - S p A B Yukarıdaki denklem seti formunda yazılırsa; A = 1 ve B = 0 değerleri kullanılarak matris =

30 Oluşan matrisin çözülmesi ile merkezi fark yaklaşımı için aşağıdaki değerleri bulunur = Analitik sonuçların bulunması için kullanılacak denklem; exp( x) ( x) = Elde edilen değerler aşağıdaki tabloda görüldüğü gibi özetlenebilir. Tablo 5.3 Durum 1 için merkezi fark yaklaşımı ve analitik sonuçlar Analitik Sonlu hacim yöntem Hata Nokta Mesafe yöntemi sonucu sonucu Fark yüzdesi Yukarıdaki tabloya göre elde edilen sonuçlar kullanılarak ortalama hata yüzdesi bulunabilir. Ortalama hata yüzdesi elde edilen hata yüzdelerinin mutlak değerlerinin ortalamasıdır. Durum 1 için ortalama hata yüzdesi 1.62 olmaktadır. Durum 2 : u = 2.5 m/s ve 5 eşit kontrol hacmi aralığı u = 2.5 m/s ve δ x =1/5 = 0.2 m için F = ρ u = 2.5,D = değerleri bulunabilir. Bu değerler Tablo 5.1 de yerine yazılır. Γ = 0.1/0.2 = 0.5 δx 19

31 Tablo 5.4 Durum 2 için merkezi fark yaklaşımı katsayı değerleri Nokta a W a E S u S p a P = a W + a E - S p A B Yukarıdaki denklem seti formunda yazılırsa; A = 1 ve B = 0 değerleri kullanılarak matris = Oluşan matrisin çözülmesi ile merkezi fark yaklaşımı için aşağıdaki değerleri bulunur = Analitik sonuçların bulunması için kullanılacak denklem; 1 exp(25 x) ( x) = *10 Bulunan bu değerleri Tablo 5.5 de gösterildiği gibi düzenlenebilir. 20

32 Tablo 5.5 Durum 2 için merkezi fark yaklaşımı ve analitik sonuçlar Sonlu hacim Analitik Nokta Mesafe yöntemi sonucu yöntem sonucu Fark Hata yüzdesi Yukarıdaki tabloya göre ortalama hata yüzdesi olmaktadır. Elde edilen bu sonuçlar aşağıdaki grafikte daha iyi gözlemlenebilir. Şekil 5.2 Durum 1 ve Durum 2 için merkezi fark yaklaşımı ile elde edilen sonuçların grafiksel gösterimi 21

33 Şekil 5.2 de de görüldüğü gibi durum 1 için merkezi fark yaklaşımı metodu ile analitik yöntem sonuçları arasında yakın sonuçlar elde edilmiştir, ama durum 2 için sonuçlar analitik çözüme yakınsamamıştır. Durum 3 : u = 0.1 m/s ve 10 eşit kontrol hacmi aralığı Bu bölümde kontrol hacmi aralığının daha da küçük olarak seçilmesi ile elde edilecek sonuçların nasıl değiştiği incelenecektir. u = 0.1 m/s ve δ x =1/10 = 0.1 m için F = ρ u = 0.1,D = değerleri bulunabilir. Bu değerler Tablo 5.1 de yerine yazılırsa; Γ = 0.1/0.1 = 1 δx Tablo 5.6 Durum 3 için merkezi fark yaklaşımı katsayı değerleri Nokta a W a E S u S p a P = a W + a E - S p A B Yukarıdaki denklem seti formunda yazılabilir. A = 1 ve B = 0 değerleri kullanılarak matris 22

34 = Oluşan matris çözülürse 10 eşit parça kontrol hacmi üzerinde merkezi fark yaklaşımı için aşağıdaki değerleri bulunur =

35 Matrisin çözümü ile elde edilen sonuçlar tablo haline getirilirse; Tablo 5.7 Durum 3 için merkezi fark yaklaşımı ve analitik sonuçlar Sonlu hacim Analitik Nokta Mesafe yöntemi sonucu yöntem sonucu Fark Hata yüzdesi Yukarıdaki tabloya göre ortalama hata yüzdesi 0.50 çıkmaktadır. Durum 4 : u = 2.5 m/s ve 10 eşit kontrol hacmi aralığı Bu bölümde 10 eşit kontrol hacmi üzerinde hızın daha büyük olarak seçilmesi halinde çıkacak sonuçlar incelenecektir ve bu sonuçlar durum 3 durumundaki sonuçlarla karşılaştırılacaktır. u = 2.5 m/s ve δ x =1/10 = 0.1 m için F = ρ u = 2.5,D = Γ = 0.1/0.1 = 1 δx değerleri bulunabilir. Bu değerleri Tablo 5.1 de yerine yazılırsa, Tablo 5.8 deki gibi düzenlenebilir. 24

36 Tablo 5.8 Durum 4 için merkezi fark yaklaşımı katsayı değerleri Nokta a W a E S u S p a P = a W + a E - S p A B Yukarıdaki denklem seti formunda yazılırsa; A = 1 ve B = 0 değerleri kullanılarak matris =

37 Oluşan matris çözülürse 10 eşit parça kontrol hacmi üzerinde merkezi fark yaklaşımı için aşağıdaki değerleri bulunur = Çıkan sonuçlar tablo haline getirilirse; Tablo 5.9 Durum 4 için merkezi fark yaklaşımı ve analitik sonuçlar Sonlu hacim Analitik Nokta Mesafe yöntemi sonucu yöntem sonucu Fark Hata yüzdesi incelenebilir. Yukarıdaki tabloya göre ortalama hata yüzdesi 7.62 çıkmaktadır. Durum 3 ve durum 4 için elde edilen bu sonuçlar Şekil 5.3 deki grafikte 26

38 Şekil 5.3 Durum 3 ve Durum 4 için merkezi fark yaklaşımı ile elde edilen sonuçların grafiksel gösterimi Şekil 5.3 de hız 0.1 m/s iken analitik çözüm sonuçları ile sonlu hacim sonuçlarının yakın sonuçlar verdiğini fakat hız 2.5 m/s iken sonuçların aralıkların çoğunluğunda birbirine yaklaştığını ancak aralığımızın sonuna doğru uzaklaştığı görülebilir. Sonraki bölümde aynı hız değerleri ile sonlu hacim aralığını daha da küçülterek çıkacak sonuçlar incelenecektir. Durum 5 : u = 0.1 m/s ve 20 eşit kontrol hacmi aralığı 20 eşit kontrol hacmi aralığına göre sonuçların nasıl değiştiği incelenebilir. u = 0.1 m/s ve δ x =1/20 = 0.05 m için F = ρ u = 0.1, D = değerleri bulunabilir. Bu değerler Tablo 5.1 de yerine yazılır. Γ = 0.1/0.05 = 2 δx 27

39 Tablo 5.10 Durum 5 için merkezi fark yaklaşımı katsayı değerleri Nokta a W a E S u S p a P = a W + a E - S p A B Yukarıdaki denklem seti gibi matris formunda yazılabilir. A = 1 ve B = 0 değerleri kullanılarak Ek-2 deki 28

40 Oluşan matris çözülürse 20 eşit parça kontrol hacmi üzerinde merkezi fark yaklaşımı için aşağıdaki değerleri bulunur =

41 Matrisin çözümü ile elde edilen sonuçlar tablo haline getirilirse; Tablo 5.11 Durum 5 için merkezi fark yaklaşımı ve analitik sonuçlar Sonlu hacim Analitik Nokta Mesafe yöntemi sonucu yöntem sonucu Fark Hata yüzdesi Yukarıdaki tabloya göre ortalama hata yüzdesi 0.14 olmaktadır. Durum 6 : u = 2.5 m/s ve 20 eşit kontrol hacmi aralığı u = 2.5 m/s ve δ x =1/20 = 0.05 m için F = ρ u = 2.5, D = Γ = 0.1/0.05 = 2 δx değerleri bulunabilir. Bu değerler Tablo 5.1 de yerine yazılırsa, Tablo 5.12 deki gibi düzenlenebilir. 30

42 Tablo 5.12 Durum 6 için merkezi fark yaklaşımı katsayı değerleri Nokta a W a E S u S p a P = a W + a E - S p A B Yukarıdaki denklem seti gibi matris formunda yazılabilir. A = 1 ve B = 0 değerleri kullanılarak Ek-3 deki 31

43 = Oluşan matris çözülürse 20 eşit parça kontrol hacmi üzerinde merkezi fark yaklaşımı için yukarıdaki değerleri bulunur. 32

44 Matrisin çözümü ile elde edilen sonuçlar tablo haline getirilirse; Tablo 5.13 Durum 6 için merkezi fark yaklaşımı ve analitik sonuçlar Sonlu hacim Analitik Nokta Mesafe yöntemi sonucu yöntem sonucu Fark Hata yüzdesi yansıtılabilir. Yukarıdaki tabloya göre ortalama hata yüzdesi 2.30 olmaktadır. Durum 5 ve durum 6 için elde edilen sonuçlar Şekil 5.4 deki gibi grafiğe 33

45 Şekil 5.4 Durum 5 ve Durum 6 için merkezi fark yaklaşımı ile elde edilen sonuçların grafiksel gösterimi Şekil 5.4 de görüldüğü gibi 20 eşit parçalı sonlu hacim üzerinde yapılan çözümler daha doğru sonuçlar vermektedir. Tüm bu durumlarda farklı değişkenlerin kullanılması ile sonlu hacim aralığının arttırılması sonlu hacim yöntemi ile bulunan değerleri analitik yöntem ile elde edilen değerlere bizi daha çok yaklaştırmaktadır. Durum 2 için yüksek oranda çıkan hata payı durum 4 ve durum 6 durumlarında F/D oranımızın gittikçe düşürülmesi ile merkezi fark yaklaşımı ile çıkan sonuçları doğruya daha çok yaklaştırmaktadır. Yani yüksek F/D oranı merkezi fark çözümlerini büyük ölçüde etkilemektedir. Nümerik sonuçların gerçekçi çözüme daha çok yaklaşması için 3 temel özelliğe sahip olması gerekir. Konservatif olması: Bir kontrol hacminin doğu yüzeyinden çıkan akım diğer kontrol hacminin batı yüzeyinden giren akıma eşit olmalıdır. 34

46 Sınırlı olması: Çözüm için aranan değerleri çözüm bölgesinin sınırlarındaki sınır değerlerinin arasında olmalıdır. Sınırlı olması için gerekli olan başka bir durumda bütün ayrıklaştırılmış denklem katsayılarının aynı işarete sahip olması ki bu genellikle pozitif olması koşuludur. Bu koşul ile fiziksel olarak bir noktada değişkenindeki artış komşu noktalarında değişkenindeki artışı sağlar. Eğer ayrıklaştırılmış yaklaşımda sınırlılık durumu sağlanmazsa sonuçların çözüme yakınsamama ihtimali vardır. Bu ihtimali durum 2 için açıkça görmekteyiz. Negatif katsayılara sahip durum 2 de, pozitif katsayılara sahip diğer durumlara göre çözüm sonuçları analitik sonuçlardan uzaklaşmıştır (Şekil 5.2). Hareket durumu: Roache (1976), akışkanın hareket özelliğini, Şekil 2.1 de görüldüğü gibi, bir P noktasında sabit bir kuvvetini dikkate alarak göstermeye çalışmıştır. Konveksiyon ve difüzyon ifadelerinin birbirine göre relatif ölçüsü olmak üzere boyutsuz Peclet sayısı tanımlanmıştır: Pe = F D ρu = Γ / δx Burada δx, karakteristik uzunluktur. Şekil 2.1 de farklı Peclet sayıları (Pe) için sabitine bağlı genel konturlar gösterilmiştir. Şimdi Peclet sayısındaki iki durum için P noktasındaki ve E noktasındaki etkileri incelenebilir. - Pe = 0 ise konveksiyon yoktur ve saf difüzyon vardır. - Pe ise difüzyon yoktur ve saf konveksiyon vardır. Saf difüzyon ( Pe = 0 ) durumunda Şekil 2.1 deki dağılımının konturları P noktasını merkez olarak alan tam bir daire şeklinde oluşmaktadır. Çünkü difüzyon işlemi dağılımını tüm yönlere eşit olarak yayma eğilimindedir. Peclet sayısı büyüdükçe konturların şekli daireden elipse doğru ve akım yönünde bir değişim göstermektedir. 35

47 Saf konveksiyon ( Pe ) durumunda Şekil 2.1 deki eliptik konturlar tamamen akım yönüne doğru uzamaktadır. değeri E noktasında sadece menba durumundan etkilenir ve difüzyon olmadığı için a E = a P olur. Burada önemli olan Peclet sayısının büyüklüğü ile akışkanın yönünün arasındaki ilişkidir ve buda hareket durumu özelliğini önemli kılmaktadır. Fe Merkezi fark yaklaşımına göre a E = De dır. Sınırlı olma şartındaki a 2 değerlerinin pozitif olması kuralı a E katsayısına uygulanırsa; Fe Fe De D e ( ) 2 P e e olmalıdır. Peclet sayısı akışkanın özellikleri ( Γ ve ρ ) akım durumuna ( u ) ve ağdaki değerlere ( δ x ) bağlıdır. Stabil ve doğru bir çözüm için merkezi fark yaklaşımına göre Pe < 2 olmalı idi. Fakat genel amaçlı akım hesaplamaları için bu yaklaşım uygun değildir. Bu nedenle yeni yaklaşımlara ihtiyaç vardır Menba Fark Yaklaşımına Göre Çözümler İç düğüm noktalarına yazılan ayrıklaştırma denklemi ve ilgili katsayılar (4.19) ifadesi ve Tablo 4.3 deki katsayılar ile verilmiştir. F e = F = F = ρ u, D e = D = D = Γ δx Şekil 5.1 deki ızgara menba fark yaklaşımı içinde kullanılabilir. 1 noktasında e P A A e ( ) D ( ) F F = D (5.5) E P A P A 36

48 5 noktasında B P W B ( ) D ( ) F F = D (5.6) B P P W Sınır şartlarında D A = D B = ve bu ifadeler ayrıklaştırılmış denklemlerde yerine yazılırsa; 2 Γ = 2D ve F δx A = F B = F değerleri bulunabilir a P P = a W W + a E E + S u (5.7) a P = a W + a E + ( Fe F) -S p Tablo 5.14 Menba fark yaklaşımı için katsayılar tablosu. Nokta a W a E S p S u 1 0 D -(2D+F) (2D+F) A 2, 3, 4 D+F D D+F 0-2D 2D B Durum 1 : u = 0.1 m/s ve 5 eşit kontrol hacmi aralığı u = 0.1 m/s ve δ x =1/5 = 0.2 m için F = ρ u = 0.1,D = değerleri bulunabilir. Bu değerler Tablo 5.14 de yerine yazılır. Γ = 0.1/0.2 = 0.5 δx 37

49 Tablo 5.15 Durum 1 için menba fark yaklaşımı katsayı değerleri Nokta a W a E S u S p a P = a W + a E - S p A B Yukarıdaki denklem seti formunda yazılırsa; A = 1 ve B = 0 değerleri kullanılarak matris = Oluşan matrisin çözülmesi ile menba fark yaklaşımı için aşağıdaki değerleri bulunur = Analitik sonuçların bulunması için kullanılacak denklem; exp( x) ( x) =

50 Elde edilen değerler aşağıdaki tabloda görüldüğü gibi özetlenebilir. Tablo 5.16 Durum 1 için menba fark yaklaşımı ve analitik sonuçlar Sonlu hacim Analitik Nokta Mesafe yöntemi sonucu yöntem sonucu Fark Hata yüzdesi Menba fark yaklaşımı çözümüne göre durum 1 için ortalama hata yüzdesi 1.05 olmaktadır. Durum 2 : u = 2.5 m/s ve 5 eşit kontrol hacmi aralığı u = 2.5 m/s ve δ x =1/5 = 0.2 m için F = ρ u = 2.5,D = değerleri bulunabilir. Bu değerleri Tablo 5.14 de yerine yazılırsa; Γ = 0.1/0.2 = 0.5 δx Tablo 5.17 Durum 2 için menba fark yaklaşımı katsayı değerleri Nokta a W a E S u S p a P = a W + a E - S p A B Tablo 5.17 deki denklem seti formunda yazılabilir. A = 1 ve B = 0 değerleri kullanılarak matris 39

51 = Oluşan matrisin çözülmesi ile menba fark yaklaşımı için aşağıdaki değerleri bulunur = Analitik sonuçların bulunması için kullanılacak denklem; 1 exp(25 x) ( x) = *10 Bulunan bu değerleri tablo halinde gösterecek olursak; Tablo 5.18 Durum 2 için menba fark yaklaşımı ve analitik sonuçlar Sonlu hacim Analitik Nokta Mesafe yöntemi sonucu yöntem sonucu Fark Hata yüzdesi bulunur. Menba fark yaklaşımı çözümüne göre durum 2 için ortalama hata yüzdesi 40

52 Durum 1 ve durum 2 için elde edilen bu sonuçlar aşağıdaki grafikte incelenecek olursa; Şekil 5.5 Durum 1 ve Durum 2 için menba fark yaklaşımı ile elde edilen sonuçların grafiksel gösterimi Yukarıdaki şekilde de görüldüğü gibi 5 eşit parçalı kontrol hacmi için menba fark yaklaşımı merkezi fark yaklaşımına göre daha yakın sonuçlar vermektedir. Fakat sınırdaki B noktasına yakın analitik değerden uzaklaşma görülmektedir. Bu durum diğer kontrol hacmi aralıkları içinde kontrol edilecektir. 41

53 Durum 3 : u = 0.1 m/s ve 10 eşit kontrol hacmi aralığı Kontrol hacmi aralığının daha da küçük olarak seçilmesi ile elde edilecek sonuçlar bulunabilir. u = 0.1 m/s ve δ x =1/10 = 0.1 m için F = ρ u = 0.1, D = değerleri bulunabilir. Bu değerleri Tablo 5.14 de yerine yazılırsa; Γ = 0.1/0.1 = 1 δx Tablo 5.19 Durum 3 için menba fark yaklaşımı katsayı değerleri Nokta a W a E S u S p a P = a W + a E - S p A B Yukarıdaki denklem seti formunda yazılabilir. A = 1 ve B = 0 değerleri kullanılarak matris 42

54 = Oluşan matrisin çözülürse 10 eşit parça kontrol hacmi üzerinde menba fark yaklaşımı için aşağıdaki değerleri bulunur =

55 Elde edilen sonuçlar tablo haline getirilirse; Tablo 5.20 Durum 3 için menba fark yaklaşımı ve analitik sonuçlar Sonlu hacim Analitik Nokta Mesafe yöntemi sonucu yöntem sonucu Fark Hata yüzdesi bulunur. Menba fark yaklaşımı çözümüne göre durum 3 için ortalama hata yüzdesi Durum 4 : u = 2.5 m/s ve 10 eşit kontrol hacmi aralığı u = 2.5 m/s ve δ x =1/10 = 0.1 m için F = ρ u = 2.5,D = Γ = 0.1/0.1 = 1 δx değerleri bulunabilir. Bu değerleri Tablo 5.14 de yerine yazıp Tablo 5.21 deki gibi düzenlenebilir. 44

56 Tablo 5.21 Durum 4 için menba fark yaklaşımı katsayı değerleri Nokta a W a E S u S p a P = a W + a E - S p A B Yukarıdaki denklem seti formunda yazılırsa; A = 1 ve B = 0 değerleri kullanılarak matris =

57 Oluşan matris çözülürse 10 eşit parça kontrol hacmi üzerinde menba fark yaklaşımı için aşağıdaki değerleri bulunur = , Çıkan sonuçlar tablo haline getirilirse; Tablo 5.22 Durum 4 için menba fark yaklaşımı ve analitik sonuçlar Sonlu hacim Analitik Nokta Mesafe yöntemi sonucu yöntem sonucu Fark Hata yüzdesi bulunur. Menba fark yaklaşımı çözümüne göre durum 4 için ortalama hata yüzdesi 46

58 Durum 3 ve durum 4 için elde edilen bu sonuçlar aşağıdaki grafikte incelenecek olursa; Şekil 5.6 Durum 3 ve Durum 4 için menba fark yaklaşımı ile elde edilen sonuçların grafiksel gösterimi Durum 1 ve durum 2 için hata yüzdeleri daha düşük olmasına rağmen durum 4 için B noktasına doğru analitik sonuca yeterince yaklaşamadığı Şekil 5.6 de görülmektedir. 47

59 Durum 5 : u = 0.1 m/s ve 20 eşit kontrol hacmi aralığı 20 eşit kontrol hacmi aralığına göre sonuçların nasıl değiştiği incelenebilir. u = 0.1 m/s ve δ x =1/20 = 0.05 m için F = ρ u = 0.1, D = değerleri bulunabilir. Bu değerleri Tablo 5.14 de yerine yazılırsa; Γ = 0.1/0.05 = 2 δx Tablo 5.23 Durum 5 için menba fark yaklaşımı katsayı değerleri Nokta a W a E S u S p a P = a W + a E - S p A B Yukarıdaki denklem seti gibi matris formunda yazılabilir. A = 1 ve B = 0 değerleri kullanılarak Ek-4 deki 48