Transkript

1 hkm Jeodezi, Jeoinformasyon ve Arazi Yönetimi Dergisi 2007/2 Sayý 97 Jeodezik Aðlarda Uyuþumsuz Ölçülerin Klasik Yaklaþým ve Robust Yöntemlerle Belirlenmesi Þerif HEKÝMOÐLU 1, R. Cüneyt ERENOÐLU 2 Özet Günümüzde uyuþumsuz ölçülerin belirlenmesinde iki temel yaklaþým vardýr: Klasik uyuþumsuz ölçü testleri ve robust kestirim yöntemleri. Bilindiði gibi En Küçük Kareler Yöntemi (EKKY), uyuþumsuz ölçülerin bozucu etkilerini uyuþumlu ölçüler üzerine yayar. Bu nedenle uyuþumsuz EKKY ile kestirilen tüm bilinmeyenler ve standart sapmalarý bozar. Ayný þekilde temeli EKKY ye dayanan BAARDA ve POPE klasik uyuþumsuz ölçü test sonuçlarýný da olumsuz etkiler. Bunlar yerine uyuþumsuz ölçülerden etkilenmeyen robust yöntemlerin kullanýlmasý önerilmektedir. Bu çalýþmada, klasik test yöntemleri ve robust yöntemlerin jeodezik aðlardaki uyuþumsuz ölçüleri belirlemedeki baþarýlarý incelenmiþtir. Bu amaçla jeodezik temel aðlar yapay olarak oluþturulmuþtur. Bu aðlardaki ölçüleri elde etmek için hatasýz ölçülere, yapay olarak üretilmiþ normal daðýlmýþ rasgele ölçü hatalarý eklenmiþtir. Daha sonra hatasýz ölçülere kaba hatalar eklenerek uyuþumsuz ölçüler üretilmiþtir. Hangi ölçünün uyuþumsuz olacaðý da rasgele belirlenmiþtir. Çeþitli yöntemlerin sonuçlarýný birbiriyle karþýlaþtýrmak için ortalama baþarý oraný kullanýlmýþtýr. Ortalama baþarý oranlarýnýn kaba hatanýn genliðine, sayýsýna, ölçülerin redundans paylarýna, ölçü sayýsýna ve bilinmeyen sayýsýna baðlý olarak deðiþtiði görülmüþtür. Bu aðlarda robust yöntemler kullanýlarak yapýlan uyuþumsuz ölçü belirlemede özellikle küçük uyuþumsuz ölçüler için daha baþarýlý sonuçlar alýnmýþtýr. Anahtar Sözcükler Robust Ýstatistik, Uyuþumsuz Ölçüler, Jeodezik Aðlar, Güvenirlik, Ortalama Baþarý Oraný, Kaba Hatalar, BAARDA Testi Abstract Detecting Outliers Using Conventional Approach and Robust Methods in Geodetic Networks Today there are two basic approaches to detect outliers: Outlier detection tests and robust estimation methods. As it is well known, the least squares estimation (LSE) spreads the disturbing effects of bad observations on to the good observations. Therefore, this method is sensitive to outliers. Since the BAARDA s and POPE s Tests based on the LSE, are inadequate to detect outliers, robust methods should be preferred instead. This study investigates how successful the conventional outlier tests and robust methods are to detect outliers in geodetic networks. Basic geodetic networks are simulated for this purpose. In order to obtain ordinary observations in this network, random errors are artificially added to the observations without errors. Then, the observations are produced by contaminating with outliers on the basis that the selection of which observation is contaminated with outlier is carried out randomly. Mean success rate (MSR) is used to compare the results obtained from the methods. It is observed that the MSRs change depending on the magnitude and number of the outliers, the redundancy numbers of the observations, the number of observations and unknowns. It is found that better results are achievable in detection of outliers with especially small magnitude using robust methods in these networks. Key Words Robust Statistics, Outliers, Geodetic Networks, Reliability, Mean Success Rate, Gross Error, the BAARDA s Test 1. Giriþ Günümüzde yeryuvarýnýn dinamiðini daha iyi anlamak, yerkabuðu hareketlerini (plaka hareketleri, yerkabuðundaki deformasyonlar vb.) belirlemek için kalitesi yüksek jeodezik aðlara gereksinim duyulmaktadýr. Yüksek kalitede að denildiðinde ölçü aletlerinin kalibre edildiði, ölçü inceliklerinin (precision) yüksek olduðu, ölçü kümesindeki uyuþumsuz ölçülerin yüksek güvenilirlikte belirlenebildiði bir að anlaþýlmaktadýr. Bu çalýþmada yalnýzca uyuþumsuz ölçülerin yüksek güvenilirlikle nasýl belirlenebileceði üzerinde durulacaktýr. Elde olmayan nedenlerle ölçü kümesi kirletilmiþ olabilir. Ölçme sýrasýnda yanlýþ okuma, bilgisayar ortamýna aktarýrken kopyalama hatalarý, nokta numarasýnýn hatalý girilmesi, bazý ölçüler için indirgemelerin unutulmasý vb. kaba hatalar yanýnda, ölçü kümesinin özelliklerine uymayan uyuþumsuz ölçülerle de karþýlaþýlabilir. Bir uyuþumsuz ölçünün meydana gelmesi olasýlýðý sýfýr olsa bile, yüksek kalite için uyuþumsuz ölçü testleri uygulanmalýdýr. Bilindiði gibi rasgele ölçü hatalarý normal daðýlmýþ ise bilinmeyenler ve bunlarýn standart sapmalarý En Küçük Kareler Yöntemi (EKKY) kullanýlarak, olasýlýðý en yüksek ve en optimal biçimde kestirilir. Ancak ölçü kümesinde tek bir uyuþumsuz ölçü olsa bile EKKY ile kestirilen tüm bilinmeyenler ve standart sapmalarý bozulmaktadýr. EKKY bu uyuþumsuz ölçünün bozucu etkisini tüm geri kalan iyi ölçülerin düzeltmeleri üzerine yaymaktadýr. Tek bir uyuþumsuz ölçü bile EKKY den elde edilen tüm kestirim deðerlerini anlamsýz kýlmaya yetmektedir. EKKY uyuþumsuz ölçülere karþý çok duyarlýdýr (HUBER 1981, HAMPEL vd. 1986). Kestirim sonuçlarýnýn güvenilir olmasý için uyuþumsuz ölçülerin 1 Prof. Dr., 2 Arþ. Gör., YTÜ Ýnþaat Fakültesi, Jeodezi Anabilim Dalý, Beþiktaþ/Ýstanbul -3-

2 Hekimoðlu Þ., Erenoðlu R.C., Jeodezik Aðlarda Uyuþumsuz Ölçülerin Klasik Yaklaþým ve Robust Yöntemlerle Belirlenmesi hkm 2007/2 Sayý 97 saptanmasý ve ölçü kümesinde etkisiz hale getirilmesi gerekmektedir. Uyuþumsuz ölçülerin belirlenmesi amacýyla EKKY ye dayalý olarak geliþtirilen klasik uyuþumsuz ölçü testleri (Data Snooping, Tau testi ve t-testi) yýllardan beri kullanýlmaktadýr (AKSOY 1984; BAARDA 1968; POPE 1976; DEMÝREL 1987; AYAN 1992). Ancak bu yöntemlerle, ayný anda tek uyuþumsuz ölçü belirlenebilmektedir. Uyuþumsuz ölçü atýlarak geriye kalan ölçülere yeniden uyuþumsuz ölçü testi uygulanýr. Bu yineleme iþlemine, uyuþumsuz ölçü kalmayýncaya kadar devam edilir. Sonuçta kaba hatalý ölçü sayýsý kadar bir iterasyon gerekmektedir (GAO vd. 1992). Ancak ölçü kümesinin birden fazla kaba hata içerdiði durumlarda, bu testler baþarýlý olamamaktadýr (KRARUP vd. 1983; HEKÝMOÐLU 1997). Genel olarak klasik uyuþumsuz ölçü testleri kullanýlarak az sayýda kaba hata güvenilir olarak belirlenebilmektedir (KOCH 1996). Klasik uyuþumsuz ölçü test yöntemleri ile ancak bir uyuþumsuz ölçü güvenilir olarak belirlenebilir (HEKÝMOÐLU 1995). HUBER 1964 yýlýnda yayýnlanan makalesiyle robust istatistik yaklaþýmýný ortaya koymuþtur. En büyük olasýlýk kestiriminden (Maximum Likelihood Estimation) yola çýkarak robust M-kestirimini ileri sürmüþtür. Robust kestirimin en büyük katkýsý, uyuþumsuz ölçülerin kestirilenler üzerindeki etkisini yerelleþtirmesi, dolayýsýyla bilinmeyenler üzerindeki olumsuz etkilerin azaltýlmasý hatta yok edilmesidir. Bu yöntem varsayýlan daðýlýmdan sapmalara yani uyuþumsuz ölçülere karþý duyarsýzdýr. M-kestirim kullanýlarak, bilinmeyenlerin yinelemeli ve yeniden aðýrlýklandýrmalý çözümünde, önsel P aðýrlýk matrisinin uyuþumsuz ölçülere ait olan deðerleri yineleme aþamasýnda giderek küçülür, hatta sýfýra yakýnsar. Bu özellik uyuþumsuz ölçülerin tanýnmasýný saðlar. Robust kestirim yöntemleri jeodezi de son 25 yýldan beri özellikle uyuþumsuz ölçüleri belirlemede kullanýlmaktadýr (FUCHS 1982; KRARUP vd. 1983; KAMPMANN 1989; XU 1989; GAO vd. 1992; YAÞAYAN 1992; HARVEY 1993; BENNING 1995; YOUCAI 1995; KOCH 1996). Bir kestirim veya test yönteminin global genel güvenirliðini ölçmek için kýrýlma noktasý kavramý geliþtirilmiþtir. Bir kestirim yönteminin kýrýlma noktasý diðerinden büyükse bu yöntem daha güvenilirdir denmektedir. Aritmetik ortalamanýn kýrýlma noktasý sýfýr, medyanýn ki 0.5 biçimindedir. EKKY nin kýrýlma noktasý sýfýrdýr ve buna dayalý olan test yöntemlerinin de kýrýlma noktasý sýfýrdýr. Ýþte bu nedenle tek bir uyuþumsuz ölçü EKKY den elde edilen sonuçlarý anlamsýz hale getirmeye yeter. Buna karþýn regresyon analizi için yüksek kýrýlma noktalý bazý yöntemler geliþtirilmiþtir (LMS, SST, LTS). (ROUSSEEUW ve LEROY 1987). Fakat bu yöntemlerde, bilinmeyen sayýsý artýnca hesaplamalarýn zorlaþtýðý ve regresyon analizinde y-yönündeki (ölçülerin) uyuþumsuz ölçülerin belirlenmesinde baþarýlý olmadýðý görülmüþtür. Kýrýlma noktasý kavramý, kestiricinin büyük kaba hatalý ölçüleri belirleme yeteneði hakkýnda genel bir fikir vermektedir. Küçük genlikli kaba hatalarýn belirlemede bu kavram kestiricinin yeteneðini yeterince ölçememektedir. Ýþte bu nedenle kestiricilerin ve test yöntemlerinin küçük kaba hatalý ölçüleri belirleme yeteneðini ölçmek için ortalama baþarý oraný kavramý ortaya atýlmýþtýr (HEKÝMOÐLU ve KOCH 1999). Bu kavram özellikle jeodezik aðlarda da baþarýyla uygulanmýþtýr (BERBER ve HEKÝMOÐLU 2001; HEKÝMOÐLU ve ERENOÐLU 2007). Bu çalýþmada ikinci bölümde uyuþumsuz ölçü kavramýna deðinilmektedir. Üçüncü bölümde kullanýlan jeodezik aðlarýn doðrusal modellerinden söz edilmektedir. Daha sonra uyuþumsuz ölçülerin belirlenmesinde klasik yaklaþým ve robust kestirim yöntemleri anlatýlacaktýr. Ortalama baþarý oraný kavramýna deðinildikten sonra sözü edilen bu yöntemler jeodezik aðlara uygulanmýþtýr. Son bölümde ise elde edilen sonuçlar ve yorumlara yer verilecektir. 2. Uyuþumsuz Ölçü Kavramý Merkezsel limit teoremine göre, normal daðýlmýþ bir örnek kümeden çýkan ölçülerin daðýlýmý, ölçü sayýsý arttýkça normal daðýlýma yaklaþmaktadýr. Ýstatistiksel olarak normal daðýlýmdan sapmalar incelenebilir. Sonuçta kestirilen daðýlýmýn parametreleri için bulunan sýnýr deðerler güven aralýklarýdýr (Þekil 1). Sýnýr deðerleri aþan ölçüler, kaba hatalý ölçüler olarak düþünülerek ölçü kümesinden atýlýr, mümkünse ölçme iþlemi yinelenir. HUBER (1964) uyuþumsuz ölçüleri ayrý bir kümeden çýkmýþ ölçü grubu olarak görmektedir: biçiminde yazýlabilir (KUBIK ve WANG 1991). Burada m normal daðýlýmýn ortalama deðeri, s 2 ise varyansýdýr. (2) eþitliðinden anlaþýlacaðý gibi, uyuþumsuz ölçülerin farklý bir daðýlýmdan geldiði düþünülür. Robust istatistikte N(m,s 2 ), ayný normal daðýlýmdan gelen tüm ölçülere iyi (uyuþumlu) ölçüler adý verilir. Uyuþumsuz ölçülerin (-, m-z 1-a/2) ve (m+z 1-a/2, + ) aralýðýnda olduðu varsayýlmaktadýr. Eþitliklerde geçen z 1-a/2, normlandýrýlmýþ normal daðýlým fraktil deðeri, a ise yanýlma olasýlýðýdýr. Bu çalýþmada, z 1-a/2 deðeri 3 alýnmýþtýr. Þekil 1: Rasgele gözlem hatalarý ve kaba hatalar (1) (2) Burada F(x), ölçü kümesinin daðýlým fonksiyonu H(x), uyuþumsuz ölçülerin daðýlým fonksiyonu, F o (x), uyuþumlu ölçülerin daðýlým fonksiyonu, e ise bozulma derecesidir. Örneðin olmak üzere ayrý ayrý normal daðýlýmlý ise, -4-

3 hkm 2007/2 Sayý 97 Hekimoðlu Þ., Erenoðlu R.C., Jeodezik Aðlarda Uyuþumsuz Ölçülerin Klasik Yaklaþým ve Robust Yöntemlerle Belirlenmesi Jeodezide ölçüler deterministik ve stokastik kesimden oluþur: Burada l i ölçüyü, l di ölçünün deterministik kesimini ve l si ölçünün stokastik kesimini belirtmektedir. Stokastik kesime rasgele gözlem hatasý adý da verilmektedir. Uyuþumsuz ölçü þöyle tanýmlanmaktadýr: Burada uyuþumsuz ölçüyü ve dl i ise ilgili ölçüdeki uyuþumsuzluða neden olan kaba hatayý belirtir. Þekil 1 de görüldüðü gibi bu hatalar, rasgele gözlem hatalarý bölgesi dýþýnda kalan her deðeri alabilir. Sözgelimi - <dl i<-s d veya s d <dl i< olabilir. Burada s d sýnýr deðeri göstermektedir ve bu çalýþmada 3s olarak alýnmýþtýr. Büyük kaba hatalar ölçü uzayýnda olabileceði gibi tasarým uzayýnda da (koordinat uzayýnda) olabilir. Örneðin basit doðrusal regresyonda büyük kaba hatalar y-yönünde olabildiði gibi x-yönünde de olabilir. x-yönündeki kaba hatalý ölçülere kaldýraç noktalarý denir. Tek bir kaldýraç noktasý bile EKKY ile kestirilen tüm büyüklükleri anlamsýz kýlar, yani EKKY kýrýlýr. Kaba hatalar, rasgele kaba hatalar ve ortak etkilenmiþ kaba hatalar olarak iki ana gruba ayrýlýrlar (HEKÝMOÐLU 1997). Ölçülerdeki kaba hatalar geliþigüzel ortaya çýkýyorsa bunlara rasgele kaba hatalar denir. Kaba hatalarýn iþaretleri ve genlikleri rasgele deðiþebilir. Ortak etkilenmiþ kaba hatalarýn genlikleri rasgele deðiþmesine karþýn ayný iþaretli (hepsi artý veya hepsi eksi) olur. Ölçme süresince ayný hata kaynaðýndan doðan hatalar ortak etkilenmiþ hatalardýr. Ayrýca büyük kaba hatalý ölçülere etkileyici ölçüler adý verilir (CHATTERJEE ve HADI 1988). Jeodezik Aðlar Ýçin Doðrusal Modeller Jeodezik aðlarda uyuþumsuz ölçüleri belirlemek için önce ölçüler serbest að olarak dengelenir. Dolaylý ölçüler dengelemesi ilkesine (Gauss-Markoff Modeli ne) göre kurulan düzeltme denklemleri aþaðýdaki gibidir (WOLF 1979; ÖZTÜRK ve ÞERBETÇÝ 1992; KOCH 1999): (5) (6) (7) (8) Burada geçen l, n 1 boyutlu ölçü vektörü; A, n u boyutlu katsayýlar matrisi; ^x, u 1 boyutlu kestirilen bilinmeyenler vektörü ; e, n 1 boyutlu rasgele hata vektörü; s 2 0, birim aðýrlýklý ölçünün varyansý; v, n 1 boyutlu düzeltmeler vektörü; C ýý, n n boyutlu ölçülerin kovaryans matrisi; P, n n boyutlu ölçülerin aðýrlýk matrisi; n, ölçü sayýsý ve u, bilinmeyen sayýsýdýr. Uyuþumsuz ölçü analizi sürecinin her aþamasýnda að serbest dengelenmektedir. (3) (4) 4. Uyuþumsuz Ölçü Testleri Jeodezide uyuþumsuz ölçüleri belirlemek için, eðer önsel varyans biliniyorsa BAARDA testi (1968), bilinmiyorsa POPE testi (1976) uygulanýr (KOCH 1999). Örnek kümedeki bir ölçüsü uyuþumsuz olsun. Bu ölçüdeki kaba hata dl i için H 0 hipotezi ve H 1 seçenek hipotezi aþaðýdaki gibi kurulur: (9) (10) Eðer önsel varyans biliniyorsa ve ölçüler arasýnda korelasyon yoksa v i düzeltmesi standartlaþtýrýlýr: (11) Burada (Q vv) düzeltmelerin Q vv aðýrlýk katsayýlarý matrislerinin i. köþegen elemanýdýr. Eðer b i > z 1-a/2 ise, ölçüsü uyuþumsuz ölçü olarak deðerlendirilir. Burada, z 1-a/2 normal daðýlýmýn çizelge deðeridir ve a için seçilir. Bu durumda z 1-a/2=3.29 olur. Bilindiði gibi bu yönteme BAARDA yöntemi denir. Eðer örnek kümede birden fazla uyuþumsuz ölçü varsa, bu yöntem yinelemeli olarak uygulanýr. Uyuþumsuz ölçü testleri genellikle bir uygulamada tek bir uyuþumsuz (standartlaþtýrýlmýþ düzeltmesi en büyük olan) ölçüyü belirlemeye yatkýndýr. Ölçü kümesi bir uyuþumsuz ölçü içeriyorsa bu ölçüdeki (l i) kaba hatanýn r i katý v i düzeltmesine yansýr ve bu uyuþumsuz ölçü kolayca belirlenir. Ancak örnek kümede ikinci bir uyuþumsuz ölçü varsa (l i) bu ölçüdeki kaba hatanýn h ij katý birinci uyuþumsuz ölçüdeki (-r idl i) kaba hatayý da etkiler. Yani: (12) olur. Bu eþitlikteki üçüncü terimi yaklaþýk olarak sýfýr kabul edelim. Eðer h ij (-) iþaretli ise ikinci terim birinci terime eklenip v i yi büyütecektir. Aksine h ij (+) iþaretli ise v i küçülecektir (Gizleme etkisi). Dolayýsýyla l i uyuþumsuz ölçüyü belirlemek olanaksýz hale gelecektir. Ayrýca dl i ve dl j terimlerinin bu karþýlýklý etkileþimi sonucunda iyi bir ölçünün düzeltmesi (mutlak deðerce) büyüyebilir ve bu ölçü sanki uyuþumsuz ölçüymüþ gibi belirlenebilir (Batma etkisi). Ýþte bu nedenlerle klasik uyuþumsuz ölçüler testi ile örnek kümedeki birden çok sayýdaki uyuþumsuz ölçüyü belirlemek zorlaþmaktadýr (HEKÝMOÐLU 2005). Uyuþumsuz ölçü belirlenir ve ölçü kümesinden çýkartýlýr. Eðer ölçü atmak aðda þekil bozukluðuna yol açacaksa, yalnýzca ilgili ölçünün aðýrlýðý küçültülerek iþlemler sürdürülür. Daha sonra EKKY geriye kalan ölçülere yeniden uygulanýr. Yeniden uyuþumsuz ölçü testi yapýlýr ve bu iþlem böyle sürer. Uyuþumsuz ölçüler, test yöntemleri ile belirlendikten sonra atýlýp ölçüler bunlardan arýndýrýlýr ve daha sonra bu ayýklanmýþ ölçülere EKKY yeniden uygulanýr. Ölçüler tek bir uyuþumsuz ölçü içerseler bile, EKKY ile kestirilen tüm deðerler bu -5-

4 Hekimoðlu Þ., Erenoðlu R.C., Jeodezik Aðlarda Uyuþumsuz Ölçülerin Klasik Yaklaþým ve Robust Yöntemlerle Belirlenmesi hkm 2007/2 Sayý 97 uyuþumsuz ölçü tarafýndan bozulmuþlardýr. Bu bozulmuþ hatta kaymýþ (bias) deðerlerle doðru bir test yapýlamayacaðý açýktýr. Ayrýca EKKY uyuþumsuz ölçünün etkisini diðer uyuþumlu ölçüler üzerine yaymakta yani bozucu etkiyi diðer iyi ölçülere daðýtmaktadýr. Bu nedenle uyuþumsuz ölçü testleri, uyuþumsuz ölçü belirlemede beklenildiði kadar keskin, ayýrýcý ve yeterli deðildir (GAO vd. 1992). Hatta test sonucunda, uyuþumlu bir ölçü uyuþumsuz çýkabilmektedir (HEKÝMOÐLU ve KOCH 2001). 5. En Küçük Karelerin Yayma Etkisi EKKY yardýmýyla kestirilen bilinmeyenler ve standart sapmalarý, ölçüler normal daðýlýmlý ise en doðru ve en optimal biçimde elde edilirler. Aksi halde ölçü kümesi tek bir uyuþumsuz ölçü içerse bile kestirilen büyüklükler bundan olumsuz etkilenirler. Örneðin ölçülen bir kenara iliþkin deðerler þöyle verilsin: {120.15, , , m}. Bunlarýn aritmetik ortalamasý m olur. Eðer sonuncu ölçü kaldýrýlýp yerine m konursa ortalama deðer saparak m ye çýkar. Bir kaba hata kaynaðý nedeniyle oluþan bu sonuç öncekiyle karþýlaþtýrýldýðýnda ne kadar anlamsýz olduðu açýkça görülmektedir. Halbuki bu iki farklý durumun medyanlarý (ortanca deðerleri) alýnýrsa sýrasýyla m ve m deðerleri bulunur. Aritmetik ortalama yani EKKY uyuþumsuz ölçülere karþý oldukça duyarlýdýr. Buna karþýlýk medyan yöntemi uyuþumsuz ölçülere karþý duyarsýzdýr yani robusttur. Medyan kestiricisi bilinen en yüksek kýrýlma noktasýna sahiptir (%50). EKKY, kaba hatalarý tüm iyi ölçülerin düzeltmeleri üzerine yayar. Bu durum þöyle açýklanabilir: EKKY ile elde edilen düzeltmeler vektörü aþaðýdaki gibi yazýlabilir: (13) (masking) ve batma (swamping) etkileri ortaya çýkmaktadýr (HEKÝMOÐLU 2005). 6. Robust Kestirim Ýlkesi ve Yinelemeli Yeniden Aðýrlýklandýrmalý EKK Algoritmasý HUBER in öncülüðünü ettiði (HUBER 1964) ve HAMPEL ve ANDREWS gibi birçok araþtýrýcýnýn katkýlarýyla (ANDREWS 1974, HAMPEL 1986), günümüzde de geliþen robust istatistik, bilinmeyen parametreleri ve standart sapmalarýný uyuþumsuz ölçülerden etkilenmeden belirlemeyi amaçlamaktadýr. Robust kestirimin yararý, uyuþumsuz ölçülerin kestirilen bilinmeyenler üzerindeki etkisini azaltmasý hatta yok etmesidir (GAO vd. 1992). Robust kestirim uyuþumsuz ölçülerin etkilerini sýnýrlandýrýr. Model varsayýmlarýndan küçük sapmalara karþý duyarlý deðildir. Uyuþumsuz ölçüler tüm düzeltmeleri bozmaz, yalnýzca ilgili düzeltmeleri büyütür (CASPARY ve BORUTTA 1987). Robust M-Kestiriminde önemli bir özellik, yinelemeli yeniden aðýrlýklandýrmalý EKKY ne göre bilinmeyenlerin çözümü sýrasýnda, baþlangýçta verilen a priori (önsel) P aðýrlýk matrisinin yineleme aþamasýnda uyuþumsuz ölçülere ait olan yalancý aðýrlýklarýnýn küçülmesi hatta hýzla sýfýra yakýnsamasýdýr. Bu özellik uyuþumsuz ölçülerin tanýnmasýný, saptanmasýný saðlar. HUBER (1964), bir daðýlýmýn konum parametresi için Maksimum Likelihood Kestiricisini genelleþtiren M- kestiricisini aþaðýdaki gibi ortaya atmýþtýr. (15) Burada r(v i) herhangi bir konveks fonksiyon olabilir. Buna kayýp fonksiyonu da denir. r(v i) nin v i ye göre türevi (16) Burada I birim matristir. H matrisi ise: eþitliði ile tanýmlýdýr. (14) olarak gösterilen fonksiyona etki fonksiyonu denir. v i lerin bilinmeyenlerin bir fonksiyonu olduðu göz önüne alýnarak M nin bilinmeyenlere göre türevi alýnýr ve sýfýra eþitlenirse, (17) EKKY nin yayýlma etkisini açýkça ortaya koyabilmek için (12) eþitliði incelenmelidir. Burada r i, l i ölçüsünün redundans payý, h ij ise H matrisinin bir elemanýdýr. Bu eþitlik incelendiðinde þu sonuçlar çýkarýlabilir: - l i ölçüsündeki bir kaba hata (dl i), r i deðerine baðlý olarak ancak eþitlik (12) teki ikinci terim sýfýrsa v i düzeltmesine yansýmaktadýr. Genel olarak 0<r i<1 olduðundan, ikinci terim sýfýr olsa bile, v i düzeltmesi dl i kaba hatasýndan daima daha küçüktür ( v i < dl i ). Bununla birlikte jeodezide ikinci terim genellikle göz ardý edilir (DEMÝREL 1987). - Bir l j ölçüsündeki kaba hata tüm ölçülerin düzeltmelerini h ij çarpaný kadar etkiler. Bunun sonucunda gizleme veya ve matris gösterimi ile, (18) (19) yazýlýr. Bu denklem genellikle doðrusal deðildir, ancak düzeltmeler normal daðýlýmda ise doðrusal olur ve bu durumda yöntem EKKY ile özdeþleþir (CASPARY ve BORUTTA 1987). (19) eþitliðindeki toplam terimleri ile çarpýlýp bölünür ve -6-

5 hkm 2007/2 Sayý 97 Hekimoðlu Þ., Erenoðlu R.C., Jeodezik Aðlarda Uyuþumsuz Ölçülerin Klasik Yaklaþým ve Robust Yöntemlerle Belirlenmesi (20) dönüþümü yapýlýrsa, EKKY nin normal denklemlerine benzer olan dayanýr. c katsayýsý genellikle 1.5 seçilen sabit bir sayýdýr ve gerçek hata modellerine göre deðiþtirilebilir (JORGENSEN vd. 1984, SOMOGI 1988). ANDREWS (1974) doðrusal regresyon problemlerinin çözümü için aþaðýda verilen sinüs kestirimini geliþtirmiþtir: (21) eþitliði elde edilir. Buradan (22) yazýlabilir. Bu denklemden ^x; W(v) aðýrlýk fonksiyonu, henüz v i ler bilinmediðinden doðrudan çözülemez. Ancak gerçel deðerli bir fonksiyon seçilip yinelemeli yeniden aðýrlýklandýrmalý EKKY ile (23) (24) (25) kolayca çözülebilir. Yukarýdaki eþitliklerde geçen (k) ifadesi yinelemeli dengelemedeki k. iterasyonu göstermektedir. Burada P önsel aðýrlýk matrisi, k iterasyon sayýsý, W=W(v) ise seçilen aðýrlýk fonksiyonudur. Baþlangýçta k=1 W(v (0) )=I için ve dolayýsýyla W (1) =P alýnýr. Özetle, önce EKKY ile ölçüler serbest dengelenerek düzeltmeler bulunur ve sonra W yeni aðýrlýk matrisi belirlenip, yeniden serbest dengeleme yapýlýr. Bu yinelemeli ardýþýk çözüm sonuçlarý (x ^ (k) ) arasýndaki farklar belirli bir sayýdan küçük oluncaya kadar sürdürülür. Bu yinelemeli çözümde W yeni aðýrlýk matrisleri her aþamada yeniden belirlenir. Uyuþumlu ölçülerin düzeltmeleri uyuþumsuz ölçülere göre daha küçük olduðu için, bunlarýn aðýrlýklarý (W (k) ), x bilinmeyenleri (25) ve (26) eþitliklerinden yinelemeli EKKY ile çözümü süresince neredeyse hiç deðiþmemesine karþýn, uyuþumsuz ölçülerin yeni aðýrlýklarý (W (k) ) giderek küçülmekte ve hatta sýfýra yaklaþmaktadýr. Bu robust kestirimin en önemli özelliklerinden birisidir. Böylece kuþkulanýlan uyuþumsuz ölçüleri saptamak ve tanýmak olanaklý olmaktadýr (HEKÝMOÐLU 1994). Robust kestirim adý altýnda yetmiþ dolayýnda fonksiyon olduðundan söz edilmektedir (YAÞAYAN 1992). Ancak belli bir bölümü jeodezik amaçlar için uygulanabilmektedir. Bu bölümde sadece en çok kullanýlan aðýrlýk fonksiyonlarý üzerinde durulacaktýr. HUBER (1964) in robust kestiricisinin aðýrlýk fonksiyonu (W(v i)) þöyle verilir: (26) HUBER kestiricisi, ortada normal yani Gauss çan eðrisi ve kenarlarda Laplace eðrisi olan bir yoðunluk fonksiyonuna (27) Burada c deðeri için çeþitli araþtýrmalara dayanarak 2.1 deðerinin alýnmasý önerilmiþtir. Danimarka yöntemi aþaðýdaki gibi ifade edilir: (28) Burada c sabiti için 1.5, 2 ve 2.5 deðerleri seçilir. Yöntem KRAUP tarafýndan 1973 yýlýnda sunulmuþtur (KRARUP vd. 1980). Uyuþumsuz ölçülerin etkisini azaltmak için HAMPEL (1974) 4 bölgeli bir aðýrlýk fonksiyonu ileri sürmüþtür: (29) Burada a, b ve c sabitlerinin seçimi için HAMPEL 2, 4 ve 8 deðerlerini ileri sürmüþtür. Deneylerimize göre jeodezik aðlarda bu deðerlerin sýrasýyla 1.5, 3 ve 6 olarak belirlenmesi daha uygundur. Bu noktaya kadar yinelemeli ve yeniden aðýrlýklandýrmalý robust M-kestirim yöntemleri anlatýlmýþtýr. Bunlarýn dýþýnda bazý robust kestiriciler mevcuttur. Örneðin L 1-norm yöntemi EDGEWORTH (1987) tarafýndan bir robust kestirici olarak ortaya konmuþtur. Huber bu yöntemi, yinelemeli ve yeniden aðýrlýklandýrmalý M-kestirim için bilinmeyenlerin ilk baþlangýç deðerlerinin bulunmasýnda da kullanmýþtýr. L 1-norm yönteminin en önemli özelliði, bazý þartlarda klasik EKK dengelemesinin yerini alacak olan yöntem deðil, ek bir robust yöntem olmasýdýr (HARVEY 1993). Yakýn geleceðe kadar uygulamalý bilimlerde L 1-norm un kullanýlmamasýnýn sebebi etkin bir algoritmanýn ve ilgili istatistiksel kuramlarýn yeterince geliþtirilememiþ olmasýydý li yýllarda simpleks yönteminin ve daha sonra BARRADOLE ve ROBERTS (1974) de verilen düzenlenmiþ simpleks yönteminin geliþtirilmesi ile bilgisayar ortamýnda çalýþýlabilen bir algoritma bulunmuþtur. Son 20 yýldýr jeodezi biliminde uygulanan L 1-norm genellikle iki ana amaca yönelik kullanýlmaktadýr: Kestirim ve uyuþumsuz ölçü saptama (AYHAN vd. 1987). L 1-norm yöntemine ait kestirim fonksiyonu, -7-

6 Hekimoðlu Þ., Erenoðlu R.C., Jeodezik Aðlarda Uyuþumsuz Ölçülerin Klasik Yaklaþým ve Robust Yöntemlerle Belirlenmesi hkm 2007/2 Sayý 97 eþitliði ile gösterilmektedir. (30) 7. Ortalama Baþarý Oraný Kavramý Jeodezik bir kontrol aðýnda uyuþumlu ölçüler vektörü l olsun. Bu örnek kümeden rasgele olarak belirlenen m tane ölçü uyuþumsuz ölçülerle yer deðiþtirilirse l kirletilmiþ ölçü kümesi elde edilir. Kirletilmiþ l ölçü vektörüne T robust kestiricisi uygulanarak uyuþumsuz ölçüler belirlenir. Bunun sonucunda elde edilen kirletilmiþ düzeltmeler vektörü v olsun. Eðer kirletilmiþ ölçülerden her birisinin v i düzeltmesi 3s i deðerinden büyükse, T robust kestiricisi baþarýlý olarak kabul edilir: (31) Uyuþumsuz ölçü için uyuþumsuzluk miktar aralýðý aþaðýdaki gibi tanýmlanabilir: Bir uyuþumsuz ölçünün genliði þöyle verilir: (32) (33) Burada geçen int ifadesi genlik (interval) anlamýndadýr. k ve l ifadeleri ise uyuþumsuz ölçünün genlik sýnýrlarýnýn belirtilmesi amacýyla kullanýlmýþtýr. Söz gelimi k=3 ve l=6 alýnýrsa ilgili uyuþumsuz ölçü 3s-6s arasýndadýr. l ölçü kümesindeki iyi ölçülerden rasgele seçilen bazýlarýnýn yerine geliþigüzel deðerler almýþ uyuþumsuz (kirletilmiþ) ölçüler yerleþtirilerek birçok kirletilmiþ ölçü kümeleri elde edilebilir. l kirletilmiþ örnek kümelerinden her biri m tane uyuþumsuz ölçü içersin. Bir T robust kestiricisi veya uyuþumsuz ölçü testi ancak kirletilmiþ örnek kümedeki uyuþumsuz ölçülerin tümünü belirlediðinde baþarýlý olarak kabul edilecektir. Bu kirletilmiþ örnek kümelere uygulanan T kestiricisinin kýsmi güvenirliði ortalama baþarý oraný yardýmýyla tanýmlanýr. Ortalama baþarý oraný; baþarýlý deney sayýsýnýn toplam deney sayýsýna oranýyla elde edilir. Böylelikle ortalama baþarý oraný kaba hatanýn türüne ve genliðine baðlý olarak aþaðýdaki gibi tanýmlanýr: (34) Burada q kestiricinin baþarýlý olduðu örnek küme sayýsý, i kaba hatanýn türünü, j rasgele hata vektörünü ve t kirletilmiþ örnek küme sayýsýnýn toplamýný ifade etmektedir. Burada uyuþumsuz ölçülerin örnek küme içindeki konumlarý ve genlikleri rasgele belirlenir. Kirletilmemiþ bir örnek kümedeki ölçüler rasgele hatalarý (rasgele hata vektörünü) içerir. Bu rasgele hatalar vektörünün yerine farklý bir rasgele hatalar vektörü getirilerek kolaylýkla yeni bir iyi örnek küme elde edilebilir. Böylece birbirinden farklý çok sayýda iyi örnek küme bulunur. Bunlardan her biri de ayrý ayrý kirletilmek suretiyle uyuþumsuz ölçü içeren çok sayýda kirletilmiþ örnek kümeler l oluþturulabilir. Bu yüzden bir kestiricinin güvenilirliði tüm örnek kümeler için aþaðýdaki gibi genelleþtirilebilir. Böylece bir rasgele hata vektörü ile elde edilen bir örnek kümeden bir tane g i j kýsmi ortalama baþarý oraný elde edilebilir. Çok sayýda rasgele hata vektörüne göre elde edilen örnek kümelerin her biri için g i j elde edilen kýsmi ortalama baþarý oranlarýnýn ortalamasý alýnarak bir kestiricinin ortalama baþarý oraný bulunur : (35) Burada p, l örnek küme sayýsýný göstermektedir. Bu ortalama baþarý oraný her bir kaba hata türü için ayrý ayrý bulunur. Bu g i ort (i=1,2, ) büyüklüklerinin en küçük deðerine ise bir kestiricinin güvenirliði denir (HEKÝMOÐLU ve KOCH 1999). BAARDA nýn klasik yaklaþýmýnýn kullanýlmasý halinde de ayný kavramlar geçerlidir. Sadece (31) eþitliði aþaðýdaki gibi uygulanýr: (36) 8. Uygulamalar Uyuþumlu Ölçüler BAARDA nýn klasik yaklaþýmý ve robust yöntemler kullanýlarak jeodezik aðlarda yapýlan uyuþumsuz ölçü analizinin güvenilirliðini araþtýrmak amacýyla Þekil 2 deki nivelman aðý ve Þekil 3 de görülen nirengi aðý bilgisayar ortamýnda yapay olarak oluþturulmuþtur. Söz konusu jeodezik aðlarda sabit noktalarýn konum bilgileri kullanýlarak hatasýz ölçüler bulunmuþtur. MATLAB versiyon 6.5 te yer alan normal daðýlmýþ rasgele sayý üreteci yardýmýyla ölçülerdeki rasgele hatalar elde edilmiþtir. Bu amaçla, doðrultu aðlarý için = ± 3 cc ; kenar aðlarý için = ± (5mm+5ppm) ve nivelman aðlarý için deðerleri kullanýlmýþtýr. Sözü edilen doðrultu aðý ve kenar aðý Þekil 3 te verilen ayný sabit noktalarda birleþtirilerek doðrultukenar aðý elde edilmiþtir. Uyuþumlu ölçüleri yapay olarak üretmek için; hatasýz doðrultu ölçüleri o 1i, hatasýz kenar ölçüleri o 2j ve hatasýz yükseklik farký ölçülerine Dh k, türetilen normal daðýlmýþ rasgele hatalar (e o1i, e o2j ve e Dhk ) eklenmiþtir: (37) (38) (39) Uyuþumsuzluk miktarlarý (dl i) rasgele veya ortak etkilenmiþ yapýda olabilirler. -8-

7 hkm 2007/2 Sayý 97 Hekimoðlu Þ., Erenoðlu R.C., Jeodezik Aðlarda Uyuþumsuz Ölçülerin Klasik Yaklaþým ve Robust Yöntemlerle Belirlenmesi (45) (46) Birden çok sayýdaki (m=2, m=3 vb.) kaba hatalar ise kaba hata aralýðý verilen bölgeler için yukarýda anlatýlan yaklaþým yardýmýyla kolayca üretilebilir (HEKÝMOÐLU ve ERENOÐLU 2005) Ortak Etkilenmiþ Uyuþumsuz Ölçüler Þekil 2: Kullanýlan nivelman aðý dl i büyüklüðündeki ortak etkilenmiþ kaba hatalar, int(s) kaba hata bölgesi aralýklarý için düzgün daðýlým kullanýlarak rasgele kaba hatalarda olduðu gibi elde edilirler. Ancak kaba hatalarýn tümü eksi yada artý iþaretli olmalýdýr. Diðer bir ifadeyle iþaret fonksiyonu göz ardý edilmelidir. Buna göre öncelikle Dh i biçiminde 100 farklý l iyi ölçü örnek kümesi oluþturulmuþtur. Her bir örnek küme ayrý ayrý 100 kez kirletilmiþtir. Yani her bir örnek kümeden 100 farklý kirletilmiþ örnek küme üretilmiþtir. Hangi ölçünün kirletileceði rasgele belirlenmiþtir. Bunun sonucunda birbirinden farklý tane l kirletilmiþ ölçü kümesi elde edilmiþtir. 9. Sayýsal Sonuçlar Þekil 3: Kullanýlan yatay kontrol aðý 8.2 Uyuþumsuz Ölçüler Uyuþumsuz ölçüler, buradaki örneklerde hatasýz ölçülere uyuþumsuzluk miktarlarý eklenerek elde edileceklerdir Rasgele Uyuþumsuz Ölçüler Düzgün daðýlým kullanýlarak elde edilen dl i büyüklüðündeki tek bir rasgele kaba hata (m=1) için kaba hata bölgesinin aralýðý int(s) olsun. (40) (41) (42) (43) (44) Burada t 1 ve t 2 düzgün daðýlýmlýdýr. D ise int(s) aralýðýnýn uzunluðudur. Küçük genlikli kaba hatalar 3s-6s aralýðýnda, büyük genlikliler ise 6s-12s aralýðýnda alýnmýþtýr. sign ifadesi iþaret fonksiyonudur. Büyük genlikli kaba hatalarda (43) ve (44) eþitlikleri aþaðýdaki gibi deðiþir: Bu çalýþmada, uyuþumsuz ölçü içeren örnek kümelere robust yöntemlerden Huber in M-kestiricisi, Andrews in M-kestiricisi, Hampel ýn M-kestiricisi, Danimarka ve L 1-norm yöntemleri ile BAARDA nýn Data Snooping yöntemi uygulanarak uyuþumsuz ölçü incelemesi yapýlmýþtýr. Hampel yöntemi dýþýndaki tüm robust yöntemlerde c=1.5s alýnmýþtýr. Burada geçen s deðeri önsel standart sapmayý gösterir. Hampel yönteminde ise a, b ve c sabitleri sýrasýyla 1.5, 3 ve 6 biçiminde seçilmiþtir. Tüm uygulamalarda jeodezik aðlar tüm iz minimum yöntemine göre serbest dengelenmiþtir. Sonuçlar tablolar halinde verilmiþtir. Öncelikle ölçü kümesinin hiçbir uyuþumsuz ölçü içermediði durumda kullanýlan kestiricilerin nasýl davrandýklarý ortaya çýkarýlmak istenmiþtir. Bu amaçla uyuþumlu ölçülerden oluþan 100 farklý örnek kümeye bu yöntemler uygulanmýþ ve ortalama baþarý oranlarý hesaplanmýþtýr. Bu deðerler tablolarda kaba hata sayýsýnýn 0 satýrýnda verilmiþtir. Sonuçlardan da görülebileceði gibi ölçü kümesinde uyuþumsuz ölçü olmamasýna karþýn, robust yöntemler uyuþumsuz ölçü belirlemektedir. Bu durum robust yöntemler açýsýndan bir risk ortaya çýkarmaktadýr. Daha sonra rasgele ve ortak etkilenmiþ kaba hatalarla kirletilen ölçü kümelerinde, kestiriciler yardýmýyla kaba hata araþtýrmasý yapýlmýþtýr. Örnek kümelere ayrý ayrý 1 ve 2 uyuþumsuz ölçü verilmiþtir. Ortak etkilenmiþ kaba hatalar birden fazla uyuþumsuz ölçü olmasý halinde söz konusudur. Tabloda hiç kaba hata olmamasý hali ve ayrýca rasgele türde tek kaba hataya iliþkin sonuçlar verilmiþtir. Rasgele türdeki kaba hatalara iliþkin ortalama baþarý oranlarý, ortak etkilenmiþ türe göre daha büyüktür. Uyuþumsuz ölçü sayýsý arttýkça ortalama baþarý oranlarý azalmaktadýr. Buna karþýn kaba hatalarýn genliði arttýkça yöntemlerin güvenirliði artmaktadýr. -9-

8 Hekimoðlu Þ., Erenoðlu R.C., Jeodezik Aðlarda Uyuþumsuz Ölçülerin Klasik Yaklaþým ve Robust Yöntemlerle Belirlenmesi hkm 2007/2 Sayý 97 Tablolardaki kýsýtlamalar nedeniyle sadece 0 ve 1 kaba hata analiz sonuçlarý sunulmuþtur. Ölçülerin fazla ölçü paylarýnýn (redundans paylarýnýn) kestiriciler üzerindeki etkilerini belirlemek amacýyla adet kirletilmiþ örnek kümede sadece fazla ölçü paylarý küçük olan ölçülere (mesela r i< 0.4) kaba hatalar eklenmiþtir. Bu durumda bulunan sonuçlarda, kaba hatalarýn hatasýz ölçülere rasgele verildiði genel duruma göre ortalama baþarý oranlarýnda büyük azalma olduðu görülmüþtür. Buradan ölçülerin redundans paylarýnýn uyuþumsuz ölçüleri belirlemede ne kadar etkin olduðu görülmektedir. 9.1 Nivelman Aðý Kullanýlan nivelman aðýnda ölçü sayýsý n=15, bilinmeyen sayýsý u=8 ve serbestlik derecesi f= 8 dir. Robust yöntemler ve BAARDA nýn yöntemine iliþkin baþarý oranlarý Tablo 1 in (A) sütununda verilmektedir. Bundan sonraki bölümlerde sonuçlar tablolarda harflendirilen sütunlarla sunulacaktýr. Örneðin Tablo 1 (A) biçiminde. Kaba hatalarýn genlikleri arttýkça Andrews yöntemi dýþýndaki tüm kestiricilerin ortalama baþarý oranlarý artmýþtýr. Ancak kaba hata sayýsý arttýkça ortalama baþarý oranlarýnýn azaldýðý görülmüþtür. Nivelman aðlarýnda serbestlik derecesindeki deðiþimin robust yöntemlerin baþarýlarýna olan etkilerini ortaya çýkarabilmek amacýyla mevcut nivelman aðýna 4 yeni yükseklik farký ölçüsü eklenerek yeni bir að oluþturuldu. Ölçü sayýsý n=19 ve bilinmeyen sayýsý u=8 dir.bu yeni aðda bilinmeyen sayýsý (u=8) ayný kalmýþ, ancak ölçü sayýsý (n=19) arttýrýlmýþtýr. Böylece serbestlik derecesi 8 den 12 ye çýkarýlmýþtýr. Bu aða iliþkin Tablo 1 (B) de görülen ortalama baþarý oranlarý, Tablo 1 (A) da verilmiþ ortalama baþarý oranlarý ile karþýlaþtýrýlýrsa, serbestlik derecesi arttýrýldýðýnda yöntemlerin güvenirliklerinin beklenildiði gibi arttýðý sonucuna varýlmýþtýr. Tablo 1: Nivelman aðýna iliþkin ortalama baþarý oranlarý Diðer bir uygulama olarak, ilk nivelman aðýndan serbestlik derecesini deðiþtirmeden bir nokta atýlarak baþka bir nivelman aðý oluþturulmuþtur. Ölçü sayýsý n=14 ve serbestlik derecesi f=8 olduðu yeni aðda bilinmeyen sayýsý 8 den 7 ye düþürülmüþtür. Kestiricilerin Tablo 1 (C) de verilen ortalama baþarý oranlarý Tablo 1 (A) da verilenlerle karþýlaþtýrýldýðýnda, bilinmeyen sayýsýndaki azalmanýn ortalama baþarý oranlarýný belirgin þekilde arttýrdýðý görülmektedir. Bu incelemeye göre nivelman aðlarýnda en baþarýlý kestiriciler Danimarka, Hampel ve L 1-norm yöntemleridir. Robust yöntemler genel olarak BAARDA nýn Data Snooping testinden daha baþarýlýdýr. BAARDA testinin özellikle 36 arasýndaki uyuþumsuz ölçüleri belirlemede çok yetersiz kaldýðý görülmüþtür. Buna karþýn robust yöntemler ölçü kümesinde uyuþumsuz ölçü olmadýðý durumda iyi ölçülerden bazýlarýný uyuþumsuz ölçüymüþ gibi belirlemektedir. 9.2 Doðrultu Aðý Þekil 3 teki doðrultu aðýnda ölçü sayýsý (n) 26, bilinmeyen sayýsý (u) 18 ve serbestlik derecesi (f) 12 dir. Bilindiði gibi yöneltme bilinmeyenlerinin bulunmasýnda genellikle aritmetik ortalama kullanýlmaktadýr. Özellikle BAARDA yönteminde; doðrultu ölçerlerin kurulduðu her noktada farklý doðrultu deðerlerinden bulunan deðerin aritmetik ortalamasý alýnarak, ilgili sabit noktadaki yöneltme bilinmeyeni kestirilir. Ancak robust yöntemler kullanýlarak yapýlan uyuþumsuz ölçü incelemesinde yöneltme bilinmeyenlerinin yaklaþýk deðerlerini hesaplarken aritmetik ortalama kullanýlmasý durumunda oldukça baþarýsýz sonuçlar ortaya çýkmaktadýr. WICKI, 1999 yýlýnda bu sakýncanýn giderilmesi için aritmetik ortalamanýn yerine medyan kestiricisinin kullanýlmasýný önermiþtir. Bu durumda robust yöntemler baþarýlý olmaktadýrlar. Bu nedenle robust yöntemler uygulanmadan önce yöneltme bilinmeyenlerinin yaklaþýk deðeri medyan kestiricisi kullanýlarak bulunmalýdýr. Uyuþumsuz ölçülerle kirletilmiþ doðrultu aðýnda robust yöntemler ve BAARDA testi kullanýlarak bulunan ortalama baþarý oranlarý Tablo 2 (A) da verilmektedir. Doðrultu aðlarýnda bilinmeyen sayýsýndaki deðiþimin uyuþumsuz ölçü analizine etkisini ortaya çýkarmak amacýyla serbestlik derecesi deðiþtirilmeksizin Þekil 3 te verilen doðrultu aðýna iki yeni nokta daha eklenerek bilinmeyen sayýsý (u) 18 den 24 e çýkarýlmýþtýr. Bu yeni aða iliþkin ortalama baþarý oranlarý Tablo 2 (B) de verilmektedir. Görüldüðü gibi bilinmeyen sayýsýnýn artmasý durumunda bu yöntemlerin uyuþumsuz ölçüleri belirlemedeki baþarý oranlarý azalmaktadýr. Ayrýca serbestlik derecesinin uyuþumsuz ölçülerin belirlenmesine olan etkisini araþtýrmak amacýyla Þekil 3 teki doðrultu aðýndaki bazý ölçüler dikkate alýnmayarak serbestlik derecesi 12 den 6 ya düþürülmüþtür.tablo 2 (C) de verilen bu yeni doðrultu aðýna ait ortalama baþarý oranlarý Tablo 2 (A) ile karþýlaþtýrýldýðýnda, doðrultu aðlarýnda serbestlik derecelerinin azalmasý halinde yöntemlerin baþarýlarýnýn düþtüðü açýkça görülmektedir. -10-

9 hkm 2007/2 Sayý 97 Hekimoðlu Þ., Erenoðlu R.C., Jeodezik Aðlarda Uyuþumsuz Ölçülerin Klasik Yaklaþým ve Robust Yöntemlerle Belirlenmesi Doðrultu aðlarýnda Danimarka, Hampel, Huber ve L 1- norm yöntemleri uyuþumsuz ölçülerin ortaya çýkarýlmasýnda en baþarýlý yöntemlerdir. Özellikle örnek kümenin çok sayýda kaba hata ile kirletilmesi halinde robust yöntemler BAARDA testine göre oldukça etkindir. Ancak doðrultu aðlarý uyuþumsuz ölçü içermiyorsa, robust yöntemler bazý durumlarda iyi ölçüleri uyuþumsuz ölçüymüþ gibi belirlemektedir. Tablo 3: Kenar aðýna iliþkin ortalama baþarý oranlarý Tablo 2: Doðrultu aðýna iliþkin ortalama baþarý oranlarý 9.4 Doðrultu-Kenar Aðý 9.3 Kenar Aðý BAARDA testinin ve robust yöntemlerin kenar aðlarýndaki uyuþumsuz ölçülerin belirlenmesindeki baþarýlarýný ortaya koymak amacýyla Þekil 3 teki 6 noktalý bir kenar aðý oluþturulmuþtur. Bu aðda ölçü sayýsý n=12, bilinmeyen sayýsý u=12 ve serbestlik derecesi (f) 3 tür. Kenarlarýn herhangi bir ölçü için standart sapmasý s s= ± (5mm+5ppm) olan bir elektronik aletle ölçüldüðü öngörülmüþtür. Kullanýlan yöntemlerin ortalama baþarý oranlarý Tablo 3 (A) da görülmektedir. Kenar aðýna iki kenar ölçüsü eklenmek suretiyle serbestlik derecesi 3 ten 5 e çýkarýlmýþtýr. Tablo 3 (B) de verilen bu yeni aða iliþkin sonuçlar Tablo 3 (A) ile karþýlaþtýrýldýðýnda, ortalama baþarý oranlarýnýn arttýðý görülmektedir. Böylece serbestlik derecesindeki artýþýn yöntemlerin baþarý oranlarýna olumlu yansýdýðý sonucuna varýlýr. Bunun dýþýnda, yapay olarak üretilen ilk kenar aðýndan serbestlik derecesi korunarak bir nokta dýþlanmýþ ve yeni bir kenar aðý elde edilmiþtir. Tablo 3 (C) de verilen sonuçlar Tablo 3 (A) ile karþýlaþtýrýlýrsa, bilinmeyen sayýsý azaldýðýnda bu yöntemlerin ortalama baþarý oranlarýnýn arttýðý görülmüþtür. Kenar aðlarýndaki kaba hatalarýn belirlenmesinde Danimarka ve L 1-norm en baþarýlý yöntemlerdir. Bunun yaný sýra, 612 büyüklüðündeki bir kaba hata olmasý durumu dýþýndaki durumlarda robust kestiriciler BAARDA yönteminden daha baþarýlýdýrlar. Ölçülerin uyuþumsuz ölçü içermediði durumlarda robust yöntemler, iyi bir ölçüyü uyuþumsuzmuþ gibi belirleyebilmektedir. Önceki bölümlerde kullanýlan doðrultu aðý ve kenar aðý birleþtirilerek Þekil 3 te verilen doðrultu-kenar aðý elde edilmiþtir. Bu aðý ölçü sayýsý n=38, bilinmeyen sayýsý u=18 ve serbestlik derecesi f= 23 tür. Robust yöntemlerle uyuþumsuz ölçü analizinden önce yöneltme bilinmeyenleri bölüm 9.2 de anlatýldýðý gibi medyan kestiricisi kullanýlarak kestirilmiþtir. Doðrultu-kenar aðýna iliþkin bu yöntemlerin ortalama baþarý oranlarý Tablo 4 (A) da verilmiþtir. Tablo 4: Doðrultu- Kenar aðýna iliþkin ortalama baþarý oranlarý -11-

10 Hekimoðlu Þ., Erenoðlu R.C., Jeodezik Aðlarda Uyuþumsuz Ölçülerin Klasik Yaklaþým ve Robust Yöntemlerle Belirlenmesi hkm 2007/2 Sayý 97 Daha önceki uygulamalarda serbestlik derecesinin uyuþumsuz ölçü analizinde oldukça etkin olduðu görülmüþtü. Bu etkiyi doðrultu-kenar aðlarýnda da ortaya koyabilmek amacýyla ölçü sayýsý 38 den 30 a düþürülerek serbestlik derecesi azaltýlmýþtýr. Aðdaki nokta sayýsýnýn deðiþmediði bu yeni duruma iliþkin ortalama baþarý oranlarý Tablo 4 (B) dedir. Tablo 4 incelendiðinde, að planýndan çýkarýlan ölçülerin serbestlik derecesinde bir azalmaya neden olduðu ve bunun sonucunda bu yöntemlerin baþarý oranlarýnýn Tablo 4 (A) daki ortalama baþarý oranlarýna göre azaldýðý görülmüþtür. Jeodezik aðlarda bilinmeyen sayýlarý diðer bir ifadeyle aðdaki nokta sayýlarý uyuþumsuz ölçülerin belirlenmesinde önemli bir rol oynamaktadýr. Bu amaçla, türetilen ilk doðrultu-kenar aðýna iki yeni nokta eklenerek bilinmeyen sayýsý 18 den 24 e çýkartýlmalýdýr. Serbestlik derecesinin ayný kalmasý için ölçü sayýsý da 38 den 44 e çýkarýlmýþtýr.tablo 4 (C) de verilen son doðrultu aðýna iliþkin ortalama baþarý oranlarý incelenip Tablo 4 (A) dakilerle karþýlaþtýrýldýðýnda, bilinmeyen sayýsýndaki artýþ durumunda bu yöntemlerin baþarýlarýnýn azaldýklarý görülmektedir. Elde edilen sonuçlara göre Danimarka, Hampel, Huber ve L 1-norm yöntemleri doðrultu-kenar aðlarýnda oldukça baþarýlýdýrlar. Ölçü kümesi uyuþumsuz ölçü içermiyorsa bu robust yöntemler iyi bir ölçüyü sanki uyuþumsuzmuþ gibi belirleyebilmektedir. Buna karþýn BAARDA yöntemi bunu daha az sayýda belirleyebilmektedir. Doðrultu-kenar aðlarýnda tüm durumlarda robust yöntemler BAARDA testinden daha baþarýlýdýr. 9.5 GPS Aðý Bu bölümde GPS taþýyýcý faz ölçülerinin deðerlendirilmesiyle elde edilen baz vektörleri aslýnda noktalar arasýndaki koordinat bileþenlerinin farklarý biçimindedirler. GPS tekniðiyle bulunan bu büyüklükler üç boyutlu bir referans dik koordinat sisteminde belirlenmektedirler. Robust yöntemleri kullanarak GPS aðlarýnda uyuþumsuz ölçü analizi gerçekleþtirebilmek için, Uluslararasý GPS Servisi (IGS) noktalarýna dayalý bir GPS aðý oluþturulmuþtur (Þekil 4). Bu amaçla 6 IGS noktasý seçilerek 24 saatlik veri dosyalarý SOPAC (Scripps Orbit and Permanent Array Center) servisi veri tabanýndan alýnmýþtýr. Toplam 36 baz bileþeninden oluþan GPS aðýnda bilinmeyen sayýsý 18, serbestlik derecesi 18, en uzun baz vektörü yaklaþýk 1023 km, en kýsa baz vektörü ise 595 km civarýndadýr. GPS verileri BERNESE v. 4.2 akademik yazýlýmý ile uzun bazlar ve uzun oturum süreleri için önerilen strateji kullanýlarak deðerlendirilmiþtir. Sonuçta elde edilen baz vektörleri (ÄX, ÄY, ÄZ) hatasýz ölçüler olarak kabul edilmiþtir. Ýyi baz bileþenlerini elde etmek için hatasýz baz bileþenlerine normal daðýlmýþ rasgele sayýlar eklemiþtir. Daha sonra örnek küme içinden rasgele olarak seçilen baz bileþenlerindeki rasgele hata kaldýrýlarak yerine kaba hata eklenmiþtir. Bu þekilde, uyuþumsuz ölçü içeren birbirinden farklý tane farklý GPS aðý elde edilmiþtir. Hesaplamalar MATLAB teknik programlama yazýlýmýnda gerçekleþtirilmiþtir. Baz bileþenlerine iliþkin kovaryans matrisi serbest að dengelemesinde dikkate alýnmamýþtýr. Þekil 4: Kullanýlan GPS aðý BAARDA testi ve robust yöntemler kullanýlarak kirletilmiþ GPS aðýnda uyuþumsuz ölçü analizi yapýlmýþtýr ve elde edilen ortalama baþarý oranlarý Tablo 5 (A) da görüldüðü gibidir. Önceki sayýsal uygulamalarda serbestlik derecesinin uyuþumsuz ölçü analizinde çok önemli olduðu görülmüþtü. Ayný etkiyi GPS aðlarýnda da ortaya koyabilmek için Þekil 4 te görülen aða yeni bir baz ölçüsü eklenerek ölçü sayýsý 39 a çýkarýlmýþ ve dolayýsýyla aðýn serbestlik derecesi 21 e çýkmýþtýr. Bu yeni GPS aðýndan elde edilen ve Tablo 5 (B) de verilen ortalama baþarý oranlarý incelenerek, bir önceki aðýn Tablo 5 (A) da verilen sonuçlarýyla karþýlaþtýrýldýðýnda serbestlik derecesi arttýkça yöntemlerin ortalama baþarý oranlarýnýn yükseldiði açýkça görülmektedir. Tablo 5: GPS aðýna iliþkin ortalama baþarý oranlarý Ayrýca bilinmeyen sayýsýndaki deðiþimin bu yöntemlerin ortalama baþarý oranlarýna olan etkisini araþtýrmak amacýyla Þekil 4 teki GPS aðýndan LAMA noktasý atýlmýþtýr. Ancak bu noktayla baðlantýlý olan bazýn iptal olmasý nedeniyle serbestlik derecesinde bir azalma ortaya çýkacaktýr. Bunun ortalama baþarý oranlarýna olan etkisini görmek için aða yeni baz -12-

11 hkm 2007/2 Sayý 97 Hekimoðlu Þ., Erenoðlu R.C., Jeodezik Aðlarda Uyuþumsuz Ölçülerin Klasik Yaklaþým ve Robust Yöntemlerle Belirlenmesi eklenmiþ ve serbestlik derecesi korunmuþtur. Oluþturulan son GPS aðýna iliþkin ortalama baþarý oranlarý Tablo 5 (C) deki gibidir. Bu sonuçlar Tablo 5 (A) daki ortalama baþarý oranlarýyla karþýlaþtýrýldýðýnda, bilinmeyen sayýsý azalýnca yöntemlerin ortalama baþarý oranlarýnýn arttýðý görülmektedir. Tablo 5 incelendiðinde, kaba hatanýn genliði büyüdükçe Andrews yöntemi dýþýndakilerin ortalama baþarý oranlarý yükselmektedir. Bunun yanýnda, uyuþumsuz ölçü sayýsý arttýkça kullanýlan kestiricilerin ortalama baþarý oranlarý azalmaktadýr. Kýsýtlý yer olmasý nedeniyle ikili uyuþumsuz ölçüye iliþkin sonuçlar verilememiþtir. Sonuçlar ve Öneriler Bu çalýþmada, jeodezik aðlarda uyuþumsuz ölçülerin belirlenmesi amacýyla kullanýlan BAARDA yaklaþýmýnýn ve robust yöntemlerin güvenirlikleri, ortalama baþarý oraný kavramýyla ölçülmüþtür. Yapýlan araþtýrmalara göre, bu yöntemlerin ortalama baþarý oranlarý; ölçülerin redundans paylarýna, bilinmeyen sayýsýna, serbestlik derecesine, kaba hatanýn türüne, sayýsýna ve genliðine göre deðiþim göstermektedir. Jeodezik aðlarda bilinmeyen sayýsýnýn artmasý halinde ortalama baþarý oranlarý azalmakta, serbestlik derecesinin artmasý durumunda ise ortalama baþarý oranlarý artmaktadýr. Kaba hatanýn türüne göre inceleme yapýldýðýnda ise ortak etkilenmiþ türdeki uyuþumsuz ölçülere iliþkin ortalama baþarý oranlarýnýn, rasgele türe göre daha küçük olduklarý görülmüþtür. Aðlarda birden fazla uyuþumsuz ölçü olmasý durumunda robust yöntemler daha baþarýlýdýr. Özetlenecek olursa, çok sayýda örnek kümeye dayanan uygulama sonuçlarýna göre en baþarýlý robust yöntemler þöyle sýralanabilir: Doðrultu aðlarýnda Danimarka, Hampel, Huber ve L 1-norm yöntemleri; kenar aðlarýnda Danimarka ve L 1- norm yöntemleri; Doðrultu-kenar aðlarýnda Danimarka, Hampel, Huber ve L 1-norm yöntemleri; Nivelman aðlarýnda Danimarka, Hampel ve L 1-norm yöntemleri; GPS aðlarýnda Danimarka, Hampel ve L 1-norm yöntemleri. Özellikle kenar aðlarýnda serbestlik derecelerinin oldukça düþük olmasý sebebiyle, elde edilen ortalama baþarý oranlarý da oldukça küçüktür. Ayrýca doðrultu ve doðrultu-kenar aðlarýnda yöneltme bilinmeyenlerinin yaklaþýk deðerlerinin kestirilmesinde medyan kullanýlmalýdýr. Gerçekleþtirilen uygulamalara göre, jeodezik aðlarda uyuþumsuz ölçülerin belirlenmesinde robust yöntemler kullanýlmalýdýr. Bununla birlikte, örnek kümede uyuþumsuz ölçü olmamasýna karþýn robust kestiricilerin bazý durumlarda iyi bir ölçüyü uyuþumsuzmuþ gibi belirleyebildiðine de dikkat edilmelidir. Kaynaklar AKSOY A.: Uyuþumsuz ölçüler testi, Harita Dergisi, Sayý 93, 1984, s , Ankara. ANDREWS D.: A robust method for multiple linear regression, Technometrics, Vol. 16, 1974, s AWANGE J. L., ADUOL F. W. O.: An evaluation of some robust estimation techniques in the estimation of geodetic parameters, Survey Review, Vol. 35, Sayý 273, 1999, s AYAN T.: Uyuþumsuz ölçüler testi, Harita ve Kadastro Mühendisliði. Dergisi, Sayý 72, 1992, s AYHAN M. E., AKSOY Z. N.: Robust kestirim ve kaba hatalý ölçülerin belirlenmesi, Harita Dergisi, Sayý 106, 1992, s.22 39, Ankara. BAARDA W.: A testing procedure for use in geodetic networks, Publication on Geodesy, New series 2, Sayý 5, Netherlands Geodetic Commission, 1968, Delft. BARRADOLE I., ROBERTS F. D. K.: Solution of an over determined system of equations in l 1 norm, Comm ACM, Sayý: 17, 1974, s BENNING W.: Vergleich dreier lp-schaetzer zur fehlersuche in hybriden lagenetzen, Z Vermessungswesen, Sayý 12, 1995, s BERBER M., HEKÝMOÐLU Þ.: What is the reliability of robust estimators in networks?, Proceedings. 1 st International Symposium on Robust Statistics and Fuzzy Techniques in Geodesy and GIS March , ETH, Zurich, s CASPARY W., BORUTTA H.: Robust estimation in deformation models, Survey Review, Vol. 29, Sayý 223, 1987, s CHATTERJEE S., HADI A. S.: Sensitivity analysis in linear regression, John Wiley and Sons Inc., ISBN: , New York, N.Y., 336 pages, FUCHS H.: Contribution to the adjustment by minimizing the sum of absolute residuals, Manuscr Geod, Vol. 7, 1982, s DEMÝREL H.: Nirengi aðlarýnýn dengelenmesi ve sonuçlarýn test edilmesi, Harita Dergisi, Sayý 98, 1987, s. 1 18, Ankara. DEMÝREL H.: Dengeleme hesabý, YTÜ Ýnþaat Fakültesi, ISBN: , Ýstanbul, 244 sayfa, EDGEWORTH F. Y.: A new method of reducing observations relating to several quantities, Philosophical Magazine (Fifth Series), Vol: 24, 1987, s GAO Y., KRAKINWSKY E. J., CZOMPO J.: Robust testing procedure for detection of multiple blunders, J Surv Engrg, ASCE, Vol. 118, Sayý 1, 1992, s HAMPEL F.: The influence curve and its role in robust estimation, J. Am. Statist. Assoc., Vol. 69, 1974, s HAMPEL F., RONCHETTI E., ROUSSEEUW P., STAHEL W.: Robust statistics: the approach based on influence functions, John Wiley and Sons Inc., ISBN: , New York, N.Y., 536 pages, HARVEY P. R.: Survey network adjustments by the l 1 method, Aust J Geod Photogram Surv, Vol. 59, 1993, s HEKÝMOÐLU Þ., AYAN T. AKTAÞ A. O.: Birden fazla uyuþumsuz ölçünün robust kestirim yöntemleriyle belirlenmesi, Prof. Dr. Wolf Jeodezi Sempozyumu, Ýstanbul, HEKÝMOÐLU Þ.: The finite sample breakdown points of the conventional iterative outlier detection procedures, J. Surv Engrg, ASCE, Vol. 123, Sayý 1, 1997, HEKÝMOÐLU Þ., KOCH K. R.: How can reliability of the robust methods be measured?, Proceedings, In: Altan MO, Gründig L (eds), Third Turkish-German Joint Geodetic Days, Istanbul, 1-4 June, 1, , HEKÝMOÐLU Þ., KOCH K. R.: How can reliability of tests for outliers be measured?, Allg. Vermessungs-Nachr, Vol. 107, Sayý 7, 2000, s HEKÝMOÐLU Þ., BERBER M.: Reliability of robust methods in heteroscedastic linear models, Proceedings, IAG 2001, Scientific Assembly, Budapest, Abstract book: 53, HEKÝMOÐLU Þ., BERBER M.: Effectiveness of robust methods in heterogeneous linear models, Journal of Geodesy, Vol. 76, Sayý 11-12, 2003, s HEKÝMOÐLU Þ.: Do robust methods identify outliers more reliably than conventional tests for outliers?, Z Vermessungswesen, Vol. 05/03, 2005, s

12 Hekimoðlu Þ., Erenoðlu R.C., Jeodezik Aðlarda Uyuþumsuz Ölçülerin Klasik Yaklaþým ve Robust Yöntemlerle Belirlenmesi hkm 2007/2 Sayý 97 HEKÝMOÐLU Þ.: Kaba hatalarýn belirlenmesindeki sorunlar, Harita Dergisi, Sayý 05/03, 2005, s HEKÝMOÐLU Þ., ERENOÐLU R. C.: Nivelman Aðlarýnda Robust Yöntemlerle Kaba Hata Analizi ve Sonuçlarýn Klasik Yöntemle Karþýlaþtýrýlmasý, 2. Ulusal Mühendislik Ölçmeleri Sempozyumu, Ýstanbul Teknik Üniversitesi, Ýstanbul, Kasým 2005, s HEKÝMOÐLU Þ., ERENOÐLU R. C.: Effect of heteroscedasticity and heterogeneousness on outlier detection for geodetic networks, Journal of Geodesy, Vol. 81, Sayý 2, 2007, s HUBER P. J.: Robust estimation of a location parameter, Ann. Math. Statist., Vol. 36, 1964, s HUBER P. J.: Robust statistical procedures, Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN: , 56 pages, Pittsburgh, Philadelphia, HUBER P. J.: Robust statistics, John Wiley and Sons, Inc., ISBN: , New York, N.Y., 320 pages, JORGENSEN P. C., POUL F., KUBIK K., WILLY, W.: Ah, Robust Estimation!, XV Congress of the International Society for the Photogrammetry and Remote Sensing, Rio de Janerio, KAMPMANN G.: Zur ausgleichung freier netze mit der l1 norm-methode, Allg. Vermessungs-Nachr, Vol. 96, 1989, s KOCH K. R.: Robuste parameterschaetzung, Allg. Vermessungs-Nachr, Vol. 103, 1996, s KOCH K. R.: Parameter estimation and hypothesis testing in linear models, 2nd Ed., Springer-Verlag, ISBN: , Berlin Heidelberg, New York, N.Y., 333 pages, KRARUP T., JUHL J., KUBIK K.: Götterdaemmerung over least squares adjustment, Procedings, 14 th Congress of Int. Soc. Photogr., Hamburg, KUBIK K., WANG Y.: Comparison of different principle for outlier detection, Australian Journal of Geodesy, Photogrammetry and Surveying, Vol. 54, 1991, s MARCHALL J.: L 1 norm pre-analysis measures for geodetic networks, Journal of Geodesy, Vol. 76, 2002, s ÖZTÜRK E., ÞERBETÇÝ M.: Dengeleme hesabý, Cilt III, KTÜ Yayýnlarý, Trabzon, ROUSSEEUW P. J., LEROY A. M.: Robust regression and outlier detection, John Wiley and Sons, Inc., ISBN: , New York, N.Y, 352 pages, POPE A. J.: The statistics of residuals and the outlier detection of outliers, NOAA, Technical Report, NOS 65, NGS 1, Rockville, MD, WICKI F.: Robuste schätzverfahren für die parameterschätzung in geodätischen netzen, Institut für Geodäsie und Photogrammetrie an der ETH, Zürich, Mitt. Nr. 67, WILCOX R. R.: Introduction to robust estimation and hypothesis testing, Academic Press, ISBN: , New York, N.Y, 608 pages, WOLF H.: Ausgleichungsrechnung I - Aufgaben und beispiele zur praktischen Anwendung, Dümmlers Verlag, Bonn, YAÞAYAN A.: Robust kestirim kavramý, ilkesi ve uygulamalarý üzerine irdelemeler, Harita ve Kadastro Mühendisliði Dergisi, Sayý 72, 1992, s YOUCAI H.: On the design of estimators with high breakdown points for outlier identification in triangulation networks, Bull. Geo., Vol. 69, 1995, s XU P. L.: Statistical criteria for robust methods, ITC Journal, Vol 1, 1989, s