Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri: Enterpolasyon ve Kollokasyon
|
|
- Coskun Durmaz
- 5 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Jeodezide Yöntemleri: ve Lisansüstü Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Aydın ÜSTÜN Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü e-posta: Konya, 2007 A. Üstün yöntemleri 1 / 28
2 Bir soruyu ya da sorunu ele alış biçimi (TDK sözlüğü). Fonksiyon ya da sayısal analizde; nitelikleri daha az bilinen bir fonksiyona, nitelikleri daha iyi bilinen öğelerle (veya örneklemlerle) yaklaşma eylemi. Bir fonksiyona, verilmiş bir kümeden, herhangi bir anlamda yakın olan bir veya birden fazla fonksiyonun bulunması problemi. Belirli bir öğe yerine kullanılabilecek kadar yakın ancak tam olmayan gösterim biçimi. Burada yakınlık ve tam olmayan kavramları hata, doğruluk ve duyarlık ile ilişkilidir. ı ilgilendiren konular: Sayısal analiz, matematiksel fonksiyonlar, geometrik şekiller ve fiziksel yasalar. Örnek: yeryuvarının şekline küre veya elipsoitle yaklaşmak (geometrik problem); yeryuvarının gravite alanına normal gravite alanı ile yaklaşmak (fiziksel problem) A. Üstün yöntemleri 2 / 28
3 teorisi Matematikte; yaklaşım teorisi belirli bir fonksiyona daha basit fonksiyonlarla en iyi biçimde nasıl yaklaşılabilir? ve bu yolla ortaya çıkan hatalar nicelik olarak nasıl sınıflandırılabilir? konularıyla ilgilidir. Uygulamalı (mühendislik) bilimlerde yaklaşım problemi sayısal analiz problemine dönüşür. Gözlenen bir gerçek duruma polinomlarla (kuvvet, trigonometrik veya oransal olabilir) yaklaşılmaya çalışılır. Problemin çözümü sayısal değerlere uygulanan basit aritmetik işlemlerle (çarpma, toplama vb.) aranır. Burada en iyi yaklaşımı belirleyen en önemli iki faktör yaklaşım için kullanılacak fonksiyonun derecesi (terim sayısı) ve/veya bu fonksiyonun tanım aralığıdır. fonksiyonun geçerli olduğu tanım aralığı daraldıkça daha iyi yaklaşım sağlanır. A. Üstün yöntemleri 3 / 28
4 En iyi yaklaşım a x b aralığındaki f(x) fonksiyonuna, daha basit φ k (x) fonksiyonlarının doğrusal kombinasyonu olan φ(x) = nx a k φ k (x) (1.1) k=0 ile yaklaşılsın. Örneğin φ k (x) = x k olarak alınırsa yaklaşım fonksiyonu, biçiminde bir polinom halini alacaktır. φ(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n (1.2) En iyi yaklaşımdan söz edildiğinde, fonksiyonun tanımlı olduğu aralık boyunca uygun bir biçimde tanımlanan enterpolasyon hatasının en küçük olması anlaşılır.genel enterpolasyon hatasının matematiksel tanımı hata normu, ile tanımlabilir. Buna göre en iyi yaklaşım, hata normu olandır. f φ (1.3) f φ = minimum (1.4) A. Üstün yöntemleri 4 / 28
5 En iyi yaklaşım (1.4), yaklaşım polinomunun bilinmeyen katsayılarının a 0, a 1, a 2,..., a n çözümünü sağlayacak koşul niteliğindedir. Hata normunun tanımı için tercih edilebilecek en uygun iki seçim ve g = max g(x) (Chebyshev normu) (1.5) a x b g = 8 < : Z b a 9 = [g(x) 2 ]dx ; A. Üstün yöntemleri 5 / 28 1/2 (L 2 normu) (1.6) dur. Bu durumda en iyi yaklaşım; en büyük enterpolasyon hatasının en küçükleştirildiği Chebyshev yaklaşımı, max f(x) φ(x) = minimum (1.7) a x b ve yaklaşma hatalrının karelerinin toplamının en küçükleştirildiği en küçük kareler yaklaşımı, Z b olarak tanımlanmış olur. a [f(x) φ(x)] 2 dx = minimum (1.8)
6 Weierstrass ve Chebyshev teoremleri Verilmiş bir fonksiyonun bir polinom veya bir trigonometrik seri ile ifade edilmesi için Weierstrass tarafından ispatlanmış iki teorem kullanır: Weierstrass Teoremi 1: Bir f(x) fonksiyonu a x b aralığında sürekli ise bu aralıkta doğruluk derecesi herhangi istenen dereceden φ(x) polinomu ile gösterilebilir. Weierstrass Teoremi 2: 2π periyotlu ve sürekli herhangi bir f(x) fonksiyonu, φ(x) = a 0 + nx a k cos(kx) + b k sin(kx) (1.9) k=1 biçiminde sonlu bir trigonometrik seri ile gösterilebilir. Weierstrass teoremlerine göre verilen a x b aralığında x in herhangi bir değeri için ε = f(x) φ(x) olacak biçimde bir polinom ya da trigonometrik seri bulmak olanaklıdır. Chebyshev Teoremi: polinomu, φ(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n (1.10) olsun. a k katsayıları (??) ile ifade edildiği biçimiyle en büyük hatanın en küçükleştirilmesiyle bulunabilir. A. Üstün yöntemleri 6 / 28
7 Var olan ayrık veri dizilerinden yeni veri türetme tekniğidir. geniş anlamda, mevcut verilere fonksiyon (eğri ya da yüzey) uydurma işlemi olarak tanımlanır. g(x) = x x x x x x 6 x f(x) f(2.5) =? A. Üstün yöntemleri 7 / 28
8 Gözlem anı ( , UTC: 10 h 15 m 22 s ) koordinatları? Güneşin görünen koordinatları (Ocak 2006) Gün Rektesensiyon Deklinasyon h m s 0 CT PZ PT SA CA PE CU CT PZ PT SA CA PE CU CT PZ PT A. Üstün yöntemleri 8 / 28
9 yöntemleri g(x) enterpolasyon fonksiyonunun oluşturulma biçimine bağlı olarak yöntemler aşağıdaki biçimde sınıflandırılabilir: Doğrusal enterpolasyon Polinom enterpolasyonu Lagrange enterpolasyon polinomu Newton (bölünmüş farklar) enterpolasyon polinomu Gregory-Newton (ileri farklar) Aitken enterpolasyon polinomu Bessel, Everett, Stirling (merkezi farklar) enterpolasyon polinomu ve diğerleri Spline enterpolasyon Kuadratik spline enterpolasyonu Kübik spline enterpolasyon Trigonometrik enterpolasyon A. Üstün yöntemleri 9 / 28
10 Doğrusal enterpolasyon f(x) g(x) f(x) gerçek fonksiyon g(x) doğrusal enterpolasyon x Doğrusal ent. Hatası g(x) = y i + y i+1 y i x i+1 x i (x x i ) (1.11) f = f(x) g(x) < h2 8 f (x) (1.12) A. Üstün yöntemleri 10 / 28
11 polinomu y = f(x) fonksiyonunun bağımsız değişkeni x in x 0, x 1, x 2,..., x n ardışışık değerlerine karşılık, fonksiyonun alacağı değerler y 0, y 1, y 2,..., y n olsun. (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ) noktalarından geçen n. dereceden bir polinom, g(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n (1.13) ile tanımlanabilir. g(x) fonksiyonuna f(x) in yaklaşığı, bir başka deyişle enterpolasyon polinomu denir. Bu polinomun katsayıları a 0, a 1, a 2,..., a n, a 0 + a 1 x 0 + a 2 x a n x n 0 = g(x 0 ) = y 0 a 0 + a 1 x 1 + a 2 x a n x n 1 = g(x 1 ) = y 1.. (1.14) a 0 + a 1 x n + a 2 x 2 n + + a n x n n = g(x n ) = y n denklem sisteminin çözümünden elde edilir. (1.13) matris biçiminde de gösterilebilir: Xa = y (1.15) Burada X katsayılar (Vandermonde) matrisine, a bilinmeyen parametreler vektörüne, y ise yalın ölçüler vektörüne karşılık gelir. A. Üstün yöntemleri 11 / 28
12 Lagrange enterpolasyon polinomu (1.14) in çözümü, matris biçimiyle, a = X 1 y (1.16) ile gerçekleştirilir. g(x) polinomunun bilinmeyen katsayıları a = [a 0 a 1 a 2... a n ] T başka yollarla da belirlenebilir. Bunlardan biri Lagrange enterpolasyon polinomudur: g(x) = n y i L i (x) = y 0 L 0 (x) + y 1 L 1 (x) + y 2 L 2 (x) + + y n L n (x) i=0 Burada L i (x) Lagrange baz fonksiyonlarıdır: (1.17) L i (x) = n j=0,j i x x j x i x j = (x x 0)...(x x j 1 )(x x j+1 )...(x x n ) (x i x 0 )...(x i x j 1 )(x i x j+1 )...(x i x n ) (1.18) A. Üstün yöntemleri 12 / 28
13 Newton enterpolasyon polinomu Bazı kaynaklarda bölünmüş farklar enterpolasyonu olarak geçer. polinomu, g(x) = g 0 + n g i N i (x) = g 0 + g 1 N 1 (x) + + g n N n (x) (1.19) i=1 biçiminde ifade edilir. Burada, N i (x) = i (x x j 1 ) = (x x 0 )(x x 1 )...(x x j 1 ) (1.20) j=1 Newton baz fonksiyonudur. g 0, g 1, g 2,..., g n katsayıları, g 0 = y 0, g 1 = [x 1 x 0 ] = y 1 y 0 x 1 x 0 g 2 = [x 2 x 1 x 0 ] = [x 2x 1 ] [x 1 x 0 ] x 2 x 0 g n = [x n...x 2 x 1 x 0 ] = [x n...x 3 x 2 x 1 ] [x n 1...x 2 x 1 x 0 ] x n x 0 (1.21) bölünmüş farklar ile gösterilirse; (1.18) daha açık biçimde yazılabilir: A. Üstün yöntemleri 13 / 28
14 Newton enterpolasyon polinomu (çizelge) g(x) =y 0 + [x 1 x 0 ](x x 0 ) + [x 2 x 1 x 0 ](x x 0 )(x x 1 ) [x n... x 2 x 1 x 0 ](x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 ) (1.22) (1.21) deki bölünmüş farklar bir çizelge üzerinde kolayca hesaplanabilir: x 0 y 0 (x 1 x 0 ) [x 1 x 0 ] (x 2 x 0 ) x 1 y 1 [x 2 x 1 x 0 ] (x 3 x 0 ) (x 2 x 1 ) [x 2 x 1 ] [x 3 x 2 x 1 x 0 ] (x 4 x 0 ) (x 3 x 1 ) x 2 y 2 [x 3 x 2 x 1 ] [x 4 x 3 x 2 x 1 x 0 ] (x 4 x 1 ) (x 3 x 2 ) [x 3 x 2 ] [x 4 x 3 x 2 x 1 ] (x 4 x 2 ) x 3 y 3 [x 4 x 3 x 2 ] (x 4 x 3 ) [x 4 x 3 ] x 4 y 4 g(x) =g 0 + g 1 (x x 0 ) + g 2 (x x 0 )(x x 1 ) g n (x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 ) A. Üstün yöntemleri 14 / 28
15 Eşit aralıklı veriler için enterpolasyon polinomu Ardışık x i değerlerinin arasındaki farklar eşitse, ileri farklar çizelgesi yardımıyla, Newton enterpolasyon polinomu daha basit bir şekil alır: x 0 y 0 h 1 0 2h x 1 y h h h 2h x 2 y h h h x 3 y h 1 3 x 4 y 4 g(x) =y (x x 0 ) 1! h + n 0 n! (x x 0 )(x x 1 ) 2! h (x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 ) h n (1.23) A. Üstün yöntemleri 15 / 28
16 Gregory-Newton enterpolasyon polinomu (1.22), t = x x 0 h g(x 0 + t h) = y 0 + t yardımcı büyüklüğü ile daha da basitleştirilebilir: ( ) t ( ) t ( ) t n 0 (1.24) n (1.23) ya Gregory-Newton (ileri fark) enterpolasyon polinomu denir. Polinomda geçen binom katsayıları, açık olarak yazılış biçimiyle aşağıdaki gibidir: ( ) t n = t(t 1)(t 2)...(t n + 1) n! (1.25) Gregory-Newton enterpolasyon polinomundan hareketle Gauss, Stirling, Bessel vb. enterpolasyon polinomları da türetilebilir. da ters işlem, fonksiyonun verilen değerine karşılık bağımsız x değişkeninin değerinin hesaplanmasıdır. Çözüm için x değerleri yerine y yi, y değerleri yerine x i göz önüne almak yeterli olacaktır. A. Üstün yöntemleri 16 / 28
17 Fonksiyonel model y = f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x Eğri (1.26) z = f(x, y) = a 0 + a 1 x + a 2 y + a 3 x 2 + a 4 xy + a 5 y Yüzey (1.27) Yukarıdaki eşitliklerde geçen f fonksiyonuna enterpolasyon polinomu denir. Polinomun katsayıları, ölçü olarak verilen y veya z değerlerinin dengelenmesiyle kestirilebilir. Örneğin n sayıdaki yüzey noktası için A katsayılar matrisi, x bilinmeyen katsayılar ve l ölçü vektörü, A = x 1 y 1 x 2 1 x 1 y 1 y x 2 y 2 x 2 2 x 2 y 2 y x 3 y 3 x 2 3 x 3 y 3 y x n y n x 2 n x n y n yn 2... A. Üstün yöntemleri 17 / x = a 0 a 1 a l = 6 4 (1.28) biçiminde yazılabilir. Buradan en küçük kareler yöntemine göre; P ölçülerin ağırlık matrisi olmak üzere bilinmeyenler, matris çözümünden elde edilebilir. z 1 z 2 z 3. x = (A T PA) 1 (A T Pl) (1.29) z n 3 7 5
18 Prediksiyon x bilinmeyen katsayılar vektörünün belirlenmesiyle, yüzey denklemi oluşturulmuş olur. Ölçülerin trend yüzeyinden sapmaları (düzezeltmeler) ve herhangi bir ölçüye ilişkin standart sapma, v = Ax l, m 0 = r vt Pv n u (1.30) ile verilir. Burada n u fazla ölçü sayısını gösterir. Yüzey denklemi sayesinde, z değeri bulunmayan p sayıda nokta için prediksiyon işlemi uygulanabilir. Bunun için öncelikle predikte edilecek noktaların katsayılar matrisi, 2 1 x 1 y 1 x 2 1 x 1 y 1 y x 2 y 2 x 2 2 x 2 y 2 y A p = 6 4 oluşturulursa prediksiyon sonuçları, matris çarpımından bulunur. 1 x 3 y 3 x 2 3 x 3 y 3 y x p y p x 2 p x p y p y 2 p... A. Üstün yöntemleri 18 / (1.31) l p = A p x (1.32)
19 için kullanılan fonksiyonel model, ölçüleri çoğu kez yeterli incelikte temsil etmez. Böyle durumlarda, basit bir fonksiyonel model ile birlikte ölçülerin bu modelden sapmalarını ifade eden stokastik model (=kollokasyon) öngörülmelidir. probleminde, bir i noktası için düzeltme denklemi: l i + v i = trend + s i, (i = 1,2,3,..., n) (1.33) s i v i Trend l i ölçü v i ölçü hatası ( n i ) n i noise=gürültü s i sinyal f(x) trend (Ax) f(x) l i (ölçü) Sinyal A. Üstün yöntemleri 19 / 28
20 problemi Gürültü Bir dengeleme işleminin sonucu olarak elde edilen ölçü hatalarını sinyal ve gürültü olmak üzere iki bileşene v = s + n (1.34) ayırarak, ölçülerden sadece korelasyonsuz hataları (n=noise) süzmek Fonksiyonel modeldeki bilinmeyen parametreleri (a 0, a 1,... katsayılarını) belirlemek Ölçü yapılmamış (predikte edilecek) noktalarda enterpolasyon işlemini gerçekleştirmek Ölçüler ve kestirilen büyüklüklere ilişkin ortalama hataları belirlemek A. Üstün yöntemleri 20 / 28
21 Kovaryans fonksiyonu Ölçü (dayanak) noktalarındaki (s) ve enterpolasyon noktalarındaki (s p ) sinyalleri elde edebilmek için sinyaller arasındaki korelasyonu tanımlayan kovaryans fonksiyonu bilinmelidir. Böyle bir fonksiyon, önceden bilinen bir ölçünün ortalama hatası m n (sadece raslantısal hataların sonucu), sinyallere ilişkin ortalama hata m s değerleriyle tanımlanabilir. Sinyaller arasındaki korelasyon fonksiyonu genellikle deneysel yollardan belirlenir ve bu fonksiyon genellikle bir parametreye bağımlıdır: örneğin jeodezik uygulamalarda çoğunlukla noktalar arasındaki uzaklığa (q). Kovaryans fonksiyonuna göre, iki noktadaki sinyal değerleri arasındaki korelasyon uzaklık arttıkça azalır ve belli bir uzaklıktan (q 0 ) sonra sıfıra çok yakın bir değer alır. C(q) C z (q) Bazı kovaryans fonksiyonları: C s (0) C = C (q/q 0 ) 2 Hirvonen Kovaryans C = C 0 e a2 q 2 Gauss fonksiyonu C = C 0 q q 0 Lauer q A. Üstün yöntemleri 21 / 28
22 Korelasyon matrisleri probleminin çözümü öncesinde, tekrarlı ölçülerle elde edilebilen C n (0) = m 2 n ve bir ön dengeleme ile belirlenebilen C z (0) = m 2 0 varyans değerinden yola çıkılarak sinyallere ilişkin varyans, C s (0) = C z (0) C n (0) (1.35) eşitliğiyle belirlenebilir. Uygun görülen bir kovaryans fonksiyonu yardımıyla da kollokasyon için gereken kovaryans matrisi, C i,k = C(q i,k ) den, 2 3 C 11 C C 1n C ss = 6 C 12 C C 2n (1.36) C 1n C 2n... C nn bulunur. Benzer şekilde predikte edilecek noktalar arasındaki öz korelasyon C sp s p ve dayanak noktaları ile enterpolasyonu yapılacak noktalar arasındaki çapraz korelasyon matrisleri C sp s oluşturulmalıdır. Eşit doğrulukta ve ortalama hataları m n olan kovaryans matrisi C nn = m 2 ne (E: birim matris) ile gösterilirse ölçülerin korelasyon matrisi, olur. C ll = C ss + C nn (1.37) A. Üstün yöntemleri 22 / 28
23 probleminin çözümü modeli: Bilinmeyen parametreler: l = Ax + s + n (1.38) x = (A T C 1 ll A) 1 A T C 1 ll l (1.39) Sinyaller: Gürültüler: noktalarındaki sinyaller: : Birim ağırlıklı ölçünün karesel ortalama hatası: s l m 0 = T C 1 ll (l Ax) n u s = C ss C 1 ll (l Ax) (1.40) n = C nn C 1 ll (l Ax) (1.41) s p = C sp sc 1 ll (l Ax) (1.42) l p = A p x + s p (1.43) (1.44) A. Üstün yöntemleri 23 / 28
24 Sayısal uygulama Aşağıda koordinatları verilen dört noktanın ağırlık anomalisi değerleri g biliniyor olsun. Bu nokta kümesi ile tanımlanan bir yüzey fonksiyonu, g = a 0 + a 1 x + a 2 y yardımıyla bir P noktasının ağırlık anomalisi değeri istensin. Nokta no X Y g x y l P P P P P ? 40 0? x = X X 0, X 0 = 460 y = Y Y 0, Y 0 = 300 l = g g 0, g 0 = 4.00 Bir ön çalışma ile sinyallere ilişkin varyans değeri C s (0) = m 2 s = 0.01 mgal 2 ve kritik uzaklık değeri q 0 = 200 m ve ayrıca tekrarlı ölçülerden bir ölçünün karesel ortalama hatası m n = 0.03 mgal belirlenmiş olsun. A. Üstün yöntemleri 24 / 28
25 Çözüm sonuçları Noktaları arasındaki uzaklıklar (q i,k ): Nokta P 1 P 2 P 3 P 4 P P P P P P 0 Uzaklık değerlerine göre dayanak noktalarının C s (0) değerine bölünmüş kovaryans matrisleri (sinyaller ve ölçüler için): C ss = ,C nn = Korelasyonlu ölçülerin ağırlık matrisi: C 1 ll = (C ss + C nn ) 1 = A. Üstün yöntemleri 25 / 28
26 Çözüm sonuçları (devamı) Trend fonksiyonuna göre A katsayılar matrisi, ve küçültülmüş ölçüler vektörü: A = , l = A T C 1 ll A = (A T C 1 ll A) 1 = , A T C 1 ll l = x = , l Ax = , s = , n = A. Üstün yöntemleri 26 / 28
27 Çözüm sonuçları (devamı) C sp s = ˆ , s p = A p = ˆ , l p = 0.82 mgal sonucu: g = g = 3.12 mgal Birim ağırlıklı ölçünün standart sapması: s l m 0 = T C 1 ll (l Ax) = n u r = ±0.36 mgal A. Üstün yöntemleri 27 / 28
28 Demirel, H., (1983),, HKM Dergisi, (45 47): Wolf, H., (1978), Kollokation und Ausgleichngsrechnunung, İDMMA Dergisi, (4): A. Üstün yöntemleri 28 / 28
DENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI
DENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI Dengeleme Hesabı Adımları, En Küçük Kareler İlkesine Giriş, Korelasyon Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA Yrd. Doç. Dr. Emine TANIR KAYIKÇI Karadeniz Teknik Üniversitesi, Harita
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan
DetaylıHatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5
Ders Kodu: 0010070021 Kredi: 3 / ECTS: 5 Yrd. Doç. Dr. Serkan DOĞANALP Necmettin Erbakan Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü Konya 07.01.2015 1 Giriş 2 Giriş Matematiksel istatistiğin konusu yığın
DetaylıBÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES)
BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) Lagrange ve Neville yöntemlerinin bazı olumsuz yanları vardır: İşlem sayısı çok fazladır (bazı başka yöntemlere kıyasla) Data setinde bir nokta ilavesi veya çıkartılması
DetaylıDENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI
DENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI Ağırlıkları Eşit Dolaysız (Direkt) Ölçüler Dengelemesi Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA Yrd. Doç. Dr. Emine TANIR KAYIKÇI Karadeniz Teknik Üniversitesi, Harita Mühendisliği Bölümü
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 7- SAYISAL TÜREV Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ İntegral işlemi gibi türev işlemi de mühendislikte çok fazla kullanılan bir işlemdir. Basit olarak bir fonksiyonun bir noktadaki
DetaylıJeodezide Yaklaşım Yöntemleri: Enterpolasyon ve Kollokasyon
Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri: Enterpolasyon ve Kollokasyon Lisansüstü Ders Notları Aydın ÜSTÜN Selçuk Üniversitesi Harita Mühendisliği e-posta: austun@selcuk.edu.tr Konya, 2013 A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması
DetaylıTürev Uygulamaları. 9.1 Ortalama Değer teoremi
1 2 Bölüm 9 Türev Uygulamaları 9.1 Ortalama Değer teoremi Türevin çok farklı uygulamaları vardır. Bunlar arasında çok önemli olan bazılarını ele alacağız. Ortalama Değer Teoremi ni daha önce görmüştük.
Detaylı8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar
8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye
DetaylıİÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37
İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1 İstatistik 1 Yığın ve Örnek; Tümevarımcı ve Betimleyici İstatistik 1 Değişkenler: Kesikli ve Sürekli 1 Verilerin Yuvarlanması Bilimsel Gösterim Anlamlı Rakamlar
DetaylıYrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr Doğrusal Ara Değer Hesabı Lagrance Polinom İnterpolasyonu
DetaylıEŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER
EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının
DetaylıKübik Spline lar/cubic Splines
Kübik spline lar önceki metodların aksine bütün data noktalarına tek bir fonksiyon/eğri uydurmaz. Bunun yerine her çift nokta için ayrı ayrı üçüncü dereceden polinomlar uydurur. x i noktasından geçen soldaki
DetaylıHOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
Detaylı7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)
7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile
DetaylıVEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu
DetaylıElemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata
Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata Prof. Dr. Erhan Coşkun Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi Matematik Bölümü Kasım, 2018 e 5 Kasım, 2018 1 / 48 Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata
Detaylıx e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.
TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki
Detaylı2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?
017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin
DetaylıYrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr Regresyon o EnKüçük Kareler Yöntemi Doğru Uydurma
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.
DetaylıMatris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli
Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β
Detaylı7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;
İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit
Detaylı11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 İNTERPOLASYON Deney sonuçları veya benzer çalışmalar için
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık KORELASYON ve REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Bir değişkenin değerinin diğer değişkendeki veya değişkenlerdeki değişimlere bağlı olarak nasıl etkilendiğinin istatistiksel
DetaylıDers 9: Bézout teoremi
Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak
DetaylıMATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.
MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu
DetaylıSÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI
SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Sürekli verilerin göstermiş olduğu dağılışa sürekli olasılık dağılışı denir. Sürekli olasılık dağılışlarının fonksiyonlarına yoğunluk fonksiyonu denilmekte ve bu dağılışlarla
DetaylıKaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.
Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini
DetaylıMAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI
.. MAK MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Polinom MATLAB p=[8 ] d=[ - ] h=[ -] c=[ - ] POLİNOMUN DEĞERİ >> polyval(p, >> fx=[ -..9 -. -.9.88]; >> polyval(fx,9) ans =. >> x=-.:.:.; >> y=polyval(fx,;
Detaylı3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI
ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 İSTATİSTİK ve SAYISAL BİLGİ 11 1.1 İstatistik ve Önemi 12 1.2 İstatistikte Temel Kavramlar 14 1.3 İstatistiğin Amacı 15 1.4 Veri Türleri 15 1.5 Veri Ölçüm Düzeyleri 16 1.6
DetaylıYrd. Doç. Dr. Kurtuluş Sedar GÖRMÜŞ
Yrd. Doç. Dr. Kurtuluş Sedar GÖRMÜŞ Giriş ve Amaç Hata Teorisi, Hata Türleri Ölçü ve Hata Hata Türleri Doğruluk Ölçütleri Kovaryans ve Korelasyon Hata Yayılma Kuralı Ölçülerin Dengelenmesi Dolaysız Ölçüler
DetaylıKADASTRO HARİTALARININ SAYISALLAŞTIRILMASINDA KALİTE KONTROL ANALİZİ
KADASTRO HARİTALARININ SAYISALLAŞTIRILMASINDA KALİTE KONTROL ANALİZİ Yasemin ŞİŞMAN, Ülkü KIRICI Sunum Akış Şeması 1. GİRİŞ 2. MATERYAL VE METHOD 3. AFİN KOORDİNAT DÖNÜŞÜMÜ 4. KALİTE KONTROL 5. İRDELEME
Detaylıbiçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces
TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)
Detaylıİç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN
İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.
DetaylıNÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu
Detaylıii) S 2LW 2WH 2LW 2WH S 2WH 2LW S 3( x 1) 5( x 2) 5 3x 3 5x x Maliye Bölümü EKON 103 Matematik I / Mart 2018 Proje 2 CEVAPLAR C.1) C.
C.1) x1 x 1 4 4( x1) x 6 4x 4 x 6 x 46 x Maliye Bölümü EKON 10 Matematik I / Mart 018 Proje CEVAPLAR C.) i) S LW WH LW WH S LW WH S W W W S L H W ii) S LW WH WH LW S WH LW S W W W S H L W C.) ( x1) 5(
DetaylıÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun
DetaylıMATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI
MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin
Detaylı13. Olasılık Dağılımlar
13. Olasılık Dağılımlar Mühendislik alanında karşılaşılan fiziksel yada fiziksel olmayan rasgele değişken büyüklüklerin olasılık dağılımları için model alınabilecek çok sayıda sürekli ve kesikli fonksiyon
DetaylıDENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI
DENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI Ağırlık ve Ters Ağırlık (Kofaktör) Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA Yrd. Doç. Dr. Emine TANIR KAYIKÇI Karadeniz Teknik Üniversitesi, Harita Mühendisliği Bölümü Trabzon, 016 AĞIRLIK
DetaylıOLASILIK ve KURAMSAL DAĞILIMLAR
OLASILIK ve KURAMSAL DAĞILIMLAR Kuramsal Dağılımlar İstatistiksel çözümlemelerde; değişkenlerimizin dağılma özellikleri, çözümleme yönteminin seçimi ve sonuçlarının yorumlanmasında önemlidir. Dağılma özelliklerine
DetaylıMustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü
* Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü SAYILAR Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, N={0,1,2,3,,n, } Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Q={p/q: p,q Z ve q 0} İrrasyonel Sayılar, I= {p/q
DetaylıSÜREKLİLİK. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları
SÜREKLİLİK Bu bölümde süreklilik kavramı, süreksizlik, sürekli fonksiyonların özellikleri ile buna ilişkin teoremler örnekler ve grafiklerle açıklanmaktadır. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları Tanım
DetaylıJEOİD ve JEOİD BELİRLEME
JEOİD ve JEOİD BELİRLEME İÇİNDEKİLER GİRİŞ JEODEZİDE YÜKSEKLİK SİSTEMLERİ Jeopotansiyel Yükseklikler (C) Dinamik Yükseklikler (H D ) Normal Yükseklik (H N ) Elipsoidal Yükseklik Ortometrik Yükseklik Atmosferik
DetaylıYÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Quadratic Programming Bir karesel programlama modeli aşağıdaki gibi tanımlanır. Amaç fonksiyonu: Maks.(veya Min.) z
DetaylıLYS MATEMATİK DENEME - 1
LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte
DetaylıÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER
ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler
DetaylıÖrnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız.
Örnek Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. i. ii. X 1 2 3 4 1 2 3 4 Y 2 3 4 5 4 3 2 1 Örnek Aşağıdaki veri
DetaylıLineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar
Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)
DetaylıKPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1
SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
DetaylıRegresyon ve İnterpolasyon. Rıdvan YAKUT
Regresyon ve İnterpolasyon Rıdvan YAKUT Eğri Uydurma Yöntemleri Regresyon En Küçük Kareler Yöntemi Doğru Uydurma Polinom Uydurma Üstel Fonksiyonlara Eğri Uydurma İnterpolasyon Lagrange İnterpolasyonu (Polinomal
Detaylı2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım
2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI 2.1. Tanım Regresyon analizi, bir değişkenin başka bir veya daha fazla değişkene olan bağımlılığını inceler. Amaç, bağımlı değişkenin kitle ortalamasını, açıklayıcı
DetaylıLineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler
Lineer Cebir Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Bölüm 1 - Lineer Eşitlikler 1.1. Lineer Eşitliklerin Tanımı x 1, x 2,..., x
DetaylıÖrnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer
DetaylıÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ
ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ TEMEL KAVRAMLAR PARAMETRE: Populasyonun sayısal açıklayıcı bir ölçüsüdür ve anakütledeki tüm elemanlar dikkate alınarak hesaplanabilir. Ana kütledeki
DetaylıÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV
- 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını
Detaylı28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31
SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.
DetaylıJEODEZİK VERİLERİN İSTATİSTİK ANALİZİ. Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA
JEODEZİK VERİLERİN İSTATİSTİK ANALİZİ Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA Karadeniz Teknik Üniversitesi, Harita Mühendisliği Bölümü Trabzon, 2018 DOĞRULUK ve DUYARLIK (Hassasiyet) DOĞRULUK ve DUYARLIK Doğruluk,
DetaylıPERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR
2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve
Detaylırasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
3.6. Bazı Sürekli Dağılımlar 3.6.1 Normal Dağılım Normal dağılım hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılımdır. Normal dağılımın istatistikte önemli bir yerinin olmasının
Detaylı0.1 Zarf Teoremi (Envelope Teorem)
Ankara Üniversitesi, Siyasal Bilgiler Fakültesi Prof. Dr. Hasan Şahin 0.1 Zarf Teoremi (Envelope Teorem) Bu kısımda zarf teoremini ve iktisatta nasıl kullanıldığını ele alacağız. bu bölüm Chiang 13.5 üzerine
DetaylıŞimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak
10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.
DetaylıYÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Hessien Matris-Quadratik Form Mutlak ve Bölgesel Maksimum-Minimum Noktalar Giriş Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için
DetaylıİÇİNDEKİLER. Ön Söz Saymanın Temel Kuralları Permütasyon (Sıralama) Kombinasyon (Gruplama) Binom Açılımı...
İÇİNDEKİLER Ön Söz... Saymanın Temel Kuralları... Permütasyon (Sıralama)... 8 Kombinasyon (Gruplama)... 6 Binom Açılımı... Olasılık... 9 İstatistik... 8... Dağılımlar... 5 Genel Tarama Sınavı... 6 RASTGELE
DetaylıÖrnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi
DetaylıJEODEZİK AĞLARIN OPTİMİZASYONU
JEODEZİK AĞLARIN OPTİMİZASYONU Jeodezik Ağların Tasarımı 10.HAFTA Dr.Emine Tanır Kayıkçı,2017 OPTİMİZASYON Herhangi bir yatırımın gerçekleştirilmesi sırasında elde bulunan, araç, hammadde, para, işgücü
DetaylıBir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.
ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıKUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu
KUADRATİK FORMLAR KUADRATİK FORM Tanım: Kuadratik Form Bir q(x,x,,x n ) fonksiyonu q x : n şeklinde tanımlı ve x i x j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur.
DetaylıŞekilde görülen integralin hesaplanmasında, fonksiyonun her verilen bir noktası için kümülatif alan hesabı yapılır.
NÜMERİK İNTEGRASYON Şekilde görülen integralin hesaplanmasında, onksiyonun her verilen bir noktası için kümülati alan hesabı yapılır. Nümerik integrasyonda, integralin analitik değerine, çeşitli yöntemlerle
Detaylı1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
DetaylıTanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN
Tanımlayıcı İstatistikler Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 Tanımlayıcı İstatistikler Yer Gösteren Ölçüler Yaygınlık Ölçüleri Merkezi Eğilim Ölçüleri Konum Ölçüleri 2 3 Aritmetik Ortalama Aritmetik ortalama,
DetaylıDOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ. Durağan ARIMA Modelleri: Otoregresiv Modeller AR(p) Süreci
DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ Durağan ARIMA Modelleri: Otoregresiv Modeller AR(p) Süreci Tek Değişkenli Zaman Serisi Modelleri Ekonomik verilerin analizi ile ekonomik değişkenlerin gelecekte alabilecekleri
DetaylıEĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ
EKİM 07-08 EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 0. SINIF MATEMATİK DERSİ 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. 0... Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini
DetaylıBu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz.
Bölüm 3 Gruplar Bu bölümde ilk olarak bir küme üzerinde tanımlı işlem kavramını ele alıp işlemlerin bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Daha sonra kümeler ve üzerinde tanımlı işlemlerden oluşan cebirsel
DetaylıYAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK
YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki
Detaylıx 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)
ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme
DetaylıÖzdeğer ve Özvektörler
Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin
Detaylıİki Boyutlu Eliptik Tipi Diferansiyel Sınır Değer Problemleri İçin MathCAD Kullanılımı
İki Boyutlu Eliptik Tipi Diferansiyel Sınır Değer Problemleri İçin MathCAD Kullanılımı Vahid Ferecov Rafet Akdeniz Namık Kemal Üniversitesi, Çorlu Mühendislik Fakültesi Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği
DetaylıSunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.
Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf
Detaylıfonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı
10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.
DetaylıAkışkan Kinematiği 1
Akışkan Kinematiği 1 Akışkan Kinematiği Kinematik, akışkan hareketini matematiksel olarak tanımlarken harekete sebep olan kuvvetleri ve momentleri gözönüne almadan; Yerdeğiştirmeler Hızlar ve İvmeler cinsinden
DetaylıYrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü
Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 Araştırma sonuçlarının açıklanmasında frekans tablosu
Detaylı3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1
3. TAHMİN 3.1. En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 En Küçük Kareler (EKK) yöntemi, regresyon çözümlemesinde en yaygın olarak kullanılan, daha sonra ele alınacak bazı varsayımlar altında çok aranan istatistiki
DetaylıARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav
DetaylıYrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin
DetaylıYÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik (Eşitlik Kısıtlı Türevli Yöntem) Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde
DetaylıMesleki Terminoloji. Sayısal Analiz DERSİ VEREN: ARŞ. GRV. DR. GÖKSEL BİRİCİK MEHMET EMRE ÖNDER DOĞAÇ CEM İŞOĞLU
Mesleki Terminoloji DERSİ VEREN: ARŞ. GRV. DR. GÖKSEL BİRİCİK Sayısal Analiz MEHMET EMRE ÖNDER - 12011061 DOĞAÇ CEM İŞOĞLU - 11011074 Sayısal Analiz Nedir? Sayısal analiz, yada diğer adıyla numerik analiz,
Detaylı4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ
4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x a x a x b 11 1 12 2 1n n 1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n
DetaylıGPS ağlarının dengelenmesinden önce ağın iç güvenirliğini artırmak ve hataları elimine etmek için aşağıda sıralanan analizler yapılır.
13. GPS AĞLARININ DENGELENMESİ 13.1 GPS ÖLÇMELERİ GPS ( Global Positioning System ) alıcıları kullanılarak yer istasyonu ile uydu arasındaki uzunluklar ölçülür ve noktaların konumları belirlenir. GPS ile
DetaylıKAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının
DetaylıAyrık Fourier Dönüşümü
Ayrık Fourier Dönüşümü Tanım: 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu bir dizi x[n] nin AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT), ayrık zaman Fourier dönüşümü (DTFT) X(e jω ) nın0 ω < 2π aralığında ω k = 2πk/N, k =
Detaylıİşaret ve Sistemler. Ders 11: Laplace Dönüşümleri
İşaret ve Sistemler Ders 11: Laplace Dönüşümleri Laplace Dönüşüm Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) yada L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s: İşaret ve Sistemler
DetaylıSAYISAL ÇÖZÜMLEME Yrd. Doç. Dr. Adnan SONDAŞ Sayısal Çözümleme
SAYISAL ÇÖZÜMLEME Yrd. Doç. Dr. Adnan SONDAŞ asondas@kocaeli.edu.tr 0262-303 22 58 1 SAYISAL ÇÖZÜMLEME 1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ 2 AMAÇ Mühendislik problemlerinin çözüm aşamasında kullanılan sayısal
Detaylı