Dokuz Eylül Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü

Transkript

1 Dokuz Eylül Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü END 3618 Kalite Planlama & Kontrol Bölüm 3: İstatistiksel Proses Kontrol Metotları & Felsefesi Yrd. Doç. Dr. Kemal SUBULAN

2 İstatistiksel Proses Kontrol Uygulaması Örneği Çeşitli sektörler için yan sanayi ürünü olarak, Kauçuk ürünler üreten bir işletmede uluslararası kalite standartlarına uygun olarak üretilmek istenen kauçuk borulardan bir ay içerisinde alınan 5 birimlik 29 adet örnekleme ait dış çap ölçümleri (Kalite karakteristiği) verilmiştir. a) Dış çap ölçüm değerlerine ilişkin çetele frekans diyagramını oluşturunuz (Veri setinin 7 sınıf aralığı olacağını varsayınız). b) Kalite karakteristiği ölçüm değerlerine ait dağılıma ilişkin histogramı çizip, yorumlayınız.

3 Kauçuk boruların üretim süreci incelendiğinde, uygun olmayan boruların reddedilme nedenlerinin 4 ana başlık altında sıralandığı görülmüştür. Alınan 145 adet verinin dış çap ölçüm değerlerinin ve arasında değiştiği gözlemlenmiştir. Veri setinin ortalaması ve standart sapması olarak belirlenmiştir. Veri setinin dağılımının yaklaşık olarak normal dağılıma (Çan eğrisi) uyduğu görülmektedir.

4 Merkezi Eğilim Ölçüleri: Aritmetik Ortalama, Mod (Tepe) & Medyan (Ortanca)

5

6 Değişim (Değişkenlik) Ölçüleri: Değişim Aralığı (Açıklık), Mutlak Sapma, Standart Sapma & Değişim Katsayısı

7 Değişim Katsayısı Standart sapma, ortalamanın yüzdesi olarak tanımlandığında, değişim katsayısı adını alır. Standart sapma değeri, ölçü birimine bağlıdır. Bu nedenle, iki ayrı ölçü birimleri ile ölçülmüş iki farklı dağılıma ilişkin değişkenlik karşılaştırılmak istendiğinde, değişim katsayısının kullanılması uygundur. İki bağımsız dağılıma ilişkin değişim katsayıları karşılaştırıldığında, hangisinin değişim katsayısı daha küçük ise, o dağılımın daha az değişkenlik gösterdiği, daha homojen olduğu sonucuna varılır. V = (4.176/6.6)*100= %63.27

8 İstatistiksel Proses Kontrol Uygulaması Örneği İşletmede üretilen kauçuk boruların hatalarına ilişkin veriler (Bir ay içerisinde ortaya çıkan hata türleri ve sayıları aşağıda verilmiştir. Bu hata sebeplerinin önceliklendirilmesi için uygun Pareto diyagramını çiziniz. Sonuç olarak, Pareto prensibine göre; yüzey hatası, yanık hamur hatası ve uç kesim hatası tüm hataların %85 ini kapsamaktadır. Dolayısıyla, öncelikle bu hataların giderilmesi için düzeltici önlemler alınmalıdır. Bu hatalara ilişkin problemler öncelikle çözüldüğünde, tüm hataların %85 inin çözüleceği söylenebilir.

9 Temel İstatistiksel Olasılık Dağılımları Kalite Kontrol Uygulamaları (Binom Dağılımı) Bir fabrikada üretim yapan makinalardan birinin ürettiği ürünlerin %4 ü kusurlu olarak üretilmiş bulunmaktadır. Bu ürünlerden rastgele 50 si seçilmiştir. Bu durumda, hiç kusurlu ürün seçilmemiş olma olasılığı nedir? n! P X = x = x! n x!. px. q n x 50! P X = 0 =. (0.04) 0. (1 0.04) 50 = (0.96) 50 = ! 50 0! Negatif Binom (Pascal) Dağılımı Bir imalat hattında kusurlu parça oranı 0.6 olarak bilinmektedir. Üretimde 5. parça imal edildiğinde, 3. kusurlu parçanın ortaya çıkma olasılığı nedir? x = 5 ve k = 3 P 5 = = =

10 Temel İstatistiksel Olasılık Dağılımları Kalite Kontrol Uygulamaları (Poisson Dağılımı) Kamyon yedek parçası (Ön çamurluk) imal eden bir fabrikanın günlük üretimi 1000 adettir. Üretimde kusurlu parça oranı % 1 olarak bilinmektedir. Her saat başında üretim hattından rasgele alınan 100 adet ön çamurluk muayene edilerek "sağlam / bozuk" şeklinde sınıflandırılmaktadır. Muayene sonucunda 2 den fazla bozuk bulunduğunda imalat durdurulmaktadır. Herhangi bir zamanda imalatın durdurulma olasılığını hesaplayınız. Örneklem ölçümü (n=100) çok büyük ve olasılık değeri çok küçük (p=0.01) olduğunda, n. p = λ = = 1 sabit kabul edilebileceğinden, Binom dağılımı, yine kesikli bir dağılım olan Poisson dağılımına dönüşür. Böylece, alınan örneklemde x hatalı parça olması olasılığı: P X = x = e np np x x! P X > 2 = 1 P X 2 = 1 e ! + e ! + e ! P X > 2 = = = 0. 08

11 Temel İstatistiksel Olasılık Dağılımları Kalite Kontrol Uygulamaları (Hipergeometrik Dağılım) İçinde 10 kusursuz ve 4 kusurlu ürün bulunan bir yığından, rastgele 5 ürün alınmıştır. Alınan örneklemde 3 ünün kusursuz çıkma olasılığı nedir? N = 14; A = 10; n = 5 ve x = 3 tür P 3 = =

12 Rassal & Kaynağı Belirlenebilen Değişkenlik Nedenlerinin Ortalama & Standart Sapma Üzerindeki Etkileri t1 anına kadar rassal değişkenliklerin etkisi altındaki süreç, kontrol altındadır (Değişkenlik alt ve üst spesifikasyon limitleri dahilinde süreç olağan bir biçimde devam ediyor). t1 anında proses ortalaması arttıran, t2 anında standart sapmayı arttıran, t3 anında ise proses ortalamasını azaltıp, standart sapmasını arttırarak sürecin kontrol dışına çıkmasına neden olan kaynağı tespit edilebilir özel değişkenlik nedenleri meydana gelmiştir (Makine arızalanması, takım kırılması, imalat yönteminin eksik veya yanlış uygulanması, operatör hatası veya hatalı & kusurlu hammadde kullanımı). Genel ve özel nedenlerin etkisi altındaki bir süreçten alınan gözlem değerlerinin ortalaması ve standart sapmasının zamana bağlı değişimi

13 Kontrol Altındaki & Kontrol Dışındaki Süreçlere Ait Kalite Karakteristiği Değerlerindeki Değişim Kararlı (Stabil) Süreç Rassal değişkenliklerin (genel nedenler: kaynağı belirlenemeyen etkileri az olan) etkisi altındaki süreç kontrol altındadır. Kontrol Dışı Süreç Zaman zaman ortaya çıkan, Kaynağı belirlenebilen Etkisi büyük olan Özel nedenlerin etkisi altındaki süreç

14 İstatistiksel Proses Kontrolün Planlanması İstatistiksel proses kontrolün en önemli amacı, süreçteki değişimin özel nedenlerini ortadan kaldıracak düzeltici önlemler ve müdahaleler ile süreci kontrol altına almaktır. Müdahaleye örnek olarak, operatör eğitimi, cihaz yenilenmesi, sıcaklık/basınç ayar değiştirilmesi verilebilir. Sürecin kontrol altında olmaması, doğal olmayan, ortadan kaldırılabilir nedenlerin bulunması anlamına gelmektedir. Bunlar, ürünlerin kalite karakteristiği değerlerinin toleransların dışına çıkmasına neden olan kaynağı belirlenebilir doğal olmayan (özel) nedenlerdir. Bir sürecin istatistiksel olarak kontrol altında olması, değişkenliğinin kaynağının sadece genel nedenlere dayandığı anlamına gelmektedir. Bir başka deyişle, doğal olmayan, ortadan kaldırılabilir nedenlerin (süreç değişkenliğinde etkisi büyük) bulunması ve giderilmesidir. Kontrol altındaki bir proseste, değişimin özel sebepleri izlendiğinden ve ortadan kaldırıldığından sürekli olarak kendi doğal toleransları içinde ürünler üretir. Kontrol limitleri (Doğal toleranslar) Rasgelelikten kaynaklı değişkenlikler, normal dağılımda, bu sınırlar arasında bulunmaktadır

15 Deneysel Normal Dağılım Kuralı Sürekli değer alan bir rasgele değişkene ait ölçüm değerlerinin genellikle normal dağılıma uyduğu bilinir. Ölçülebilen (sayısal olarak ifade edilebilen) kalite karakteristiği değerlerinin normal dağılıma uyduğu varsayılmaktadır. Deneysel normal dağılım kuralına göre, simetrik normal dağılım özelliği gösteren değişken değerlerinin (Kalite karakteristiği gözlem değerleri), belirli sınırlar (kontrol limitleri) arasında kalma olasılıkları aşağıdaki gibidir. Kalite karakteristiği gözlem değerlerinin; ±2σ lık alanda bulunması olasılığı %95,45 ±3σ lık alanda bulunması olasılığı %99,73 Normal dağılıma sahip bir sürece ait çıktılardan seçilen herhangi bir birimin ±3σ lık alanın dışında kalması olasılığı ( )= dir.

16

17 Örnek Soru - 1 Bir fabrikada üretilen cıvataların çapları 2 cm ortalama (µ) ve 0.1 cm standart sapma (σ) ile normal dağılıma uyduğu bilinmektedir. Bu cıvataların çapı 1.8 cm ile 2.15 cm dışına düşerse (Müşteri spesifikasyon limitleri olarak belirlenmiş), kusurlu olarak sayılmaktadır. Bu verilere göre, üretimin kusurlu (bozuk) oranını hesaplayınız. Standart normal dağılıma dönüştürme

18 Örnek Soru - 2 Bir firma cam kavanozlar için teneke kapak imal etmektedir. Üretilen teneke kapaklar için belirlenen kritik kalite karakteristiği, kapakların çap ölçümleridir. Firma tarafından, sürecin kontrol altında olduğu bir dönemde alınan örneklemler doğrultusunda, çap ölçümlerinin ortalaması 10 cm ve standart sapması 0.01 cm olan normal dağılıma uyduğu tespit edilmiştir. Firmanın gelecekteki üretiminden elde edilecek kapakların çap ölçümlerinin cm ile cm arasında olma olasılığını hesaplayınız (Gözlem değerlerinin ilgili aralıkta olanlarının oranı).

19 Kontrol Kartları ve Hipotez Testleri Kontrol kartları, süreçte meydana gelen değişimlerin doğal ve doğal olmayan nedenlerden oluştuğunu ayırt etmeye yarar. Süreç kontrol altında değilse, sürece müdahale edip; değişkenliğin nedenleri araştırılmalı ve bu değişkenlik nedenlerini ortadan kaldıracak düzeltici önlemler alınmalıdır. Kontrol kartları ve hipotez testleri arasında yakın bir ilişki vardır. Kontrol kartları, sürecin kontrol altında olduğu hipotezini test etmek için kullanılan araçlardır. Tip I hata: süreç kontrol altında olmasına rağmen, sürecin kontrol dışında olduğu hipotezine karar verilmesi. Tip II hata: süreç kontrol dışında olmasına rağmen, sürecin kontrol altında olduğu hipotezinin kabul edilmesi.

20 I & II. Tip Hatalar Ho hipotezi, prosesin kontrol altında olduğu, H1 prosesin kontrol dışı olduğudur. Kontrol altında olan bir prosesi ayarlama I. Tip Hata ve kontrol dışında olan bir prosese düzeltici müdahalede bulunmama ise II. Tip Hatadır. Süreç kontrol altında olsa bile, ±3σ kontrol limitleri kullanıldığında, herhangi bir gözlem değerinin kontrol limitleri dışına düşme olasılığı %0.27 dir ve bu I. tip hata yapma olasılığını (α) gösterir de yaklaşık 27 kez hata yapılması durumu. Bu hata, kontrol altında olan bir sürecin kontrol altında değilmiş gibi değerlendirilip, sürece müdahale edilmesine yol açmaktadır.

21 I. ve II. Tip Hata Arasındaki İlişki I. ve II. Tip hatalar, birbirleri ile ilişkili olup, birindeki azalma diğerinde artışa neden olmaktadır. Örneğin, ±3σ kontrol limitleri yerine ±2σ kontrol limitlerinin kullanılması durumunda, I. Tip hata yapma olasılığı %0.27 den %4.55 e çıkacak, ancak bu durumda da II. Tip hata yapma olasılığı azalacaktır. Örneklem büyüklüğünün arttırılması, Tip-II hatanın ortaya çıkma olasılığını azaltır ve kontrol kartının kontrol dışı durumu tespit etme yeteneğini arttırır. Bir üretim sürecinde ortalamanın (µ) 25, standart sapmanın (σ) 1 olduğu varsayılsın. Süreç kontrolünde ölçümü n = 4 (örneklem büyüklüğü) olan örnekler alındığında, Kontrol limitleri: 25 ± 3/2 olacaktır. Bu durumda, I. Tip hata olasılığı %0.27 dir. Ortalaması 27 olan bir gözlemin kontrol sınırları içine düşmesi olasılığı (II. Tip hata yapma olasılığı) ise %15.87 dir. ±2σ kontrol limitleri (Uyarı/İkaz limitleri) ile çalışıldığında, I. Tip hata yapma olasılığı %4.55 e çıkacak, buna karşılık ortalaması 27 olan gözlem değerinin kontrol sınırları içine düşme olasılığı %15.87 den %2.28 e düşecektir.

22 Kontrol limitleri dışında olan bir gözlem değerine ilişkin Z standart değişkeni ±3σ kontrol limitleri ile çalışıldığı durum Kontrol limitleri dışında olan gözlem değerinin, limitler dışına düşmesi olasılığı (%84.13) Kontrol limitleri içine düşmesi olasılığı (II. Tip hata yapma olasılığı) ise = %15.87 dir. Uyarı/ikaz limitleri ile çalışıldığında ise, II. Tip hata yapma olasılığı = %2.28

23 Merkezi Limit Teoremi Merkezi limit teoremine göre, örneklem boyutu büyüdükçe, ortalamaya ait örneklem dağılımı, popülasyon (kitle) hangi dağılıma sahip olursa olsun, normal dağılıma yaklaşacaktır. Ortalamaların dağılımı, örneklem boyutu arttıkça standart normal dağılıma yaklaşır.

24 Hipotez Testleri ve Kontrol Grafikleri Arasındaki İlişki Örneği Motor piston halkalarının imalatında kritik kalite özelliği halkanın iç çapıdır. Proses ortalaması 74 mm ve standart sapması 0.01 mm dir. Saat başı rastgele 5 halka örnek alınmakta ve örneğin ortalama çapı X hesaplanmaktadır. Tüm noktalar kontrol sınırları içerisine düştüğünden, grafiğe göre proses kontrol altındadır. n=5 örnek alındığında örnek ortalamalarının standart sapması: Her bir ret bölgesinin alanı dir. Böylece, gözlem değerlerinin %99.73 ü H0 hipotezinin kabul edildiği kabul bölgesine düşer.

25 Kontrol Kartı Örneği (±3σ Kontrol Limitleri) Her saat başında süreçten 5 rasgele örnek alınarak, kritik kalite karakteristiği değeri ölçülmüş ve gözlem değerlerinin ortalaması alınarak, kontrol kartına işlenmiştir. Proses ortalaması 1.5 micron ve prosesin standart sapması ise 0.15 micron olarak hesaplanmıştır. Tüm gözlem değerleri, kontrol limitleri içerisinde yer aldığından, süreç kontrol altındadır. Örneklem ortalamasının standart sapmasının hesaplanması:

26 Kontrol limitlerine ait genişlik, alınan örneklem büyüklüğüne (n) ve seçilen sigma (σ) değerine göre değişecektir. Bu örnek doğrultusunda, kontrol limitlerinin seçimi, standart sapması bilinen (σ = 0.15) bir prosesin örneklem ortalamasına ilişkin bir hipotez testine karşılık gelmektedir. Kontrol kartları, bu hipotezi, zamana bağlı olarak farklı gözlem değerleri ile sürekli (tekrarlı bir biçimde) olarak test etmektedir. Örnek ortalaması, proses ortalamasına (Populasyon ortalamasına) eşit mi?

27 Shewhart Kontrol Kartları Modeli Merkez çizgi Kontrol limitlerinin merkez çizgiden uzaklığı, standart sapma cinsinden ifade edilir. Kontrol kartlarının kullanılmasının en önemli amacı, süreç iyileştirmedir. İstatistiksel olarak kontrol altında olmayan sürece ait değişkenlik ölçülerek, bu değişkenliğe sebep olan doğal olmayan sorunlar (özel nedenler) ve kök nedenleri tespit edilir. Düzeltici faaliyetler (Yönetimsel, operatör bazında veya mühendislik aksiyonu) uygulanarak, sorunun ortadan kaldırıldığı doğrulanır ve ölçme işlemlerine devam edilir.

28 Neden Kontrol Grafiği Kullanılır? Zaman içerisinde proses çıktısındaki varyasyonu göstermek ve kontrol altına almak, Proses değişikliği olduğunda bunu tanımlamak, Varyasyondaki rasgele etkileri özel etkilerden ayırmak, Varyasyon sebeplerini atamada yardımcı olmak, Devam eden esasa göre proses problemlerini tanımlamak, Operatöre ne zaman harekete geçmeyeceğini ve sistemi çalışmaya bırakacağını söylemek, Ürünün üretilmesine katkıda bulunan prosesleri kontrol etmek, Proses varyasyonunu azaltmak ve hatalı ürün üretilmesini engellemek, Kaybı azaltmak ve israfı önlemek.

29 Kontrol Dışı Faaliyet/Aksiyon Planı Kontrol kartlarının kullanımında bir diğer önemli husus, kontrol dışı faaliyet planının hazırlanmasıdır. Düzeltici önlemlerin alındığı bu faaliyet planı hazırlanırken, kontrol noktaları belirlenir ve kontrol dışı durumların çözümünde uygulanacak faaliyetler belirlenir. Kontrol dışı faaliyet planı olmadan kontrol kartlarının süreç iyileştirmeye katkısı olamaz. Süreç performansını etkileyen 2 farklı kontrol edilebilir faktörün (Sıcaklık & zaman) yer aldığı prosese ait hazırlanan kontrol dışı faaliyet planı yandaki şekilde görülmektedir. Kalite karakteristiğine ilişkin merkezi eğilim, X (ortalama) kontrol kartı, süreç değişkenliği ise R (aralık) kontrol kartı ile izlenmektedir. R (aralık) kontrol kartında kontrol dışı bir durum söz konusu ise, operatörler süreç mühendisliği departmanı ile iletişime geçmeli; X (ortalama) kontrol kartında, kontrol dışı bir gözlem ile karşılaşıldığında ise operatörler proses parametrelerinin (sıcaklık ve zaman) ideal değerlerini belirlemelidir.

30 Değişkenler ve Nitelikler için Kontrol Kartları Kontrol kartları aynı zamanda, proses parametrelerinin değerlerinin (ortalama, standart sapma, hata oranı, kusur sayısı vs.) tahmin edilmesinde de kullanılmaktadır. Tahmin edilen proses parametre değerleri ile süreç yeterlilik analizleri gerçekleştirilmektedir. Süreç yeterlilik analizleri birçok yönetimsel problemin (Ürün yaşam döngüsünün belirlenmesi, üret veya satın al kararları, müşteri ve tedarikçilerle ürün kalitesi ile ilgili anlaşma/sözleşmelerin yapılması) çözümünde kullanılmaktadır. Ölçülebilen özellikler (Değişkenler) için Kontrol Kartları: Sayısal olarak ölçülebilir ve sürekli bir ölçek üzerinde rakamsal olarak ifade edilebilir kalite özellikleridir (Ağırlık, pil ömrü, kumaş mukavemeti, Rockwell sertliği vs.) Kalite özelliğini tanımlamada, merkezi eğilim ölçülerinden aritmetik ortalama, değişim ölçülerinden standart sapma ve açıklık (aralık) kullanılır. Ölçülemeyen özellikler (Nitelikler) için Kontrol Kartları: Sayısal olarak ölçülemeyen ancak kusurlu/kusursuz olarak sınıflandırılabilen özelliklerdir (Renk, eksik parça, çatlak, dokuma hataları, gözle muayene edilebilen karakteristikler) ve ölçülemeyen ancak sayılabilen özellikler (zaman ve maliyet tasarrufu amacıyla ölçülmeyen özellikler: birim uzunluktaki iplik hataları, dokuma hataları gibi). Kusurlu oranı veya kusurlu sayısı dikkate alınarak oluşturulur.

31 Kontrol kartlarının tasarımı; örneklem büyüklüğü, kontrol limitleri ve örneklem alma sıklığının (aralık) belirlenmesi konularını içerir. Ölçülebilen Veri Tipi Ölçülemeyen Evet n<10 Hayır Kusur kusur-kusurlu sayısı Kusurlu X-ort. ve R grafikleri X-ort. ve S grafikleri Evet eşit sayıda örnek Hayır Evet eşit sayıda örnek Hayır c grafiği u grafiği p grafiği np grafiği sp grafiği X ve R & X ve S kontrol kartları birlikte kullanılır. Bunun sebebi, X ortalama ve hedef değere göre farklılıkları incelerken (merkezi eğilimin ölçülmesi), R ve S ise sürecin değişkenliğini (örneklem değişim aralığı) inceler. Örneklemler hem istenilen ortalamayı hem de değişkenliği sağladığında süreç kontrol altındadır.

32 Değişkenler İçin Kontrol Grafikleri X-ortalama grafiği Süreçte işlem gören ya da çıkan parçaların merkezi eğilimlerini inceler. Açıklık (R) grafiği Kitlenin dağılışında zaman içinde bir değişiklik olup olmadığını belirler. Standart sapma (S) grafiği Kitlenin zaman içindeki dağılışını inceleyen bir başka grafik türüdür. Uygulamada X-ort. grafiği S veya R grafiği ile birlikte kullanılır. x n x i x i 1 i X i 1 n n 1 Dağılımdaki her bir gözlem değerinin ortalamaya olan uzaklığını gösteren bir ölçüdür n 2

33 Nicel & Nitel Kontrol Grafikleri Değişkenler için kontrol grafikleri Nitelikler için kontrol grafikleri Birikimli toplam (CUSUM) kontrol grafiği Üstel ağırlıklı hareketli ortalama (EWMA) Algoritmik (Tabular) CUSUM Hareketli ortalama (MA) Klasik Kontrol Grafiklerine Alternatif Kontrol Şemaları

34 Örnek ortalamaları aynı, fakat II. örneğin değişkenliği daha yüksek. Sadece X kontrol kartı kullanıldığında, süreç değişkenliğinde meydana gelebilecek kontrol dışı bir durumun varlığı (kusurlu mallar) anlaşılamaz. Her iki örneğinde standart sapmaları veya değişim aralıkları eşittir. Ancak sonraki örneğin ortalaması değişmiştir. Sadece R veya S kullanıldığında ise proses ortalamasında meydana gelen bir kayma sonucu sürecin kontrol dışına çıkması (kusurlu mallar) durumu gözden kaçabilmektedir.

35 Ölçülemeyen kalite özellikleri için veri toplamak kolay ve ucuz olduğundan nitelikler için kontrol kartları, örneklem hacminin oldukça fazla alınmasını gerektirir. Nitelikler için kontrol kartları, sadece uygun veya uygun olmayan durumları belirlerler. Ölçülebilen kalite özellikleri için kontrol kartları, hem değişimin yönünü hem de büyüklüğünü ortaya koyarlar. Ölçüm değerleri, verilerin tamamını içerir ve sürecin görünümü az sayıdaki örneklemden (n = 5) elde edilebilir. Kontrol kartları hazırlanırken ilk olarak, süreç için kritik kalite özelliğinin seçimi ve bu özelliğe uygun kontrol kartının seçilmesi gereklidir. Ölçülebilen kalite karakteristikleri için kullanılan X ve R & X ve S kontrol kartlarında, örneklem sayısı veya alt grup sayısı (rasyonel alt gruplar), k 25 olmalıdır. Niteliklere (Belirtilere) göre kontrol kartlarından, np ve c hatalı veya hata sayısı ile ilgilenirken; p ve u kontrol kartları hatalı oranı veya birim başına hatalı sayısını dikkate almaktadır. np ve c kontrol kartları, sabit örneklem hacmi için kullanılırken; p ve u kontrol kartları hem sabit hem de değişken örneklem hacimleri için kullanılabilmektedir.

36 Kontrol Kartı Seçimi

37 Kontrol Kartı Uygulaması Öncesinde Hazırlıklar 1. Kontrol edilecek kritik kalite karakteristiğinin seçilmesi (Standartlar, şartnameler veya anlaşma/sözleşmede belirtilmiş olabilir). 2. Süreç kontrol yönteminin incelenmesi (Süreçteki düzensizliklerin nerede ve nasıl oluştuklarının incelenmesi. Makineden, hammadde ve ürün bileşenlerinden, personelden vs. kaynaklanabileceğinin belirlenmesi). 3. Ölçüm aletlerindeki hatalar ve eksikliklerinin süreç düzensizlikleri üzerindeki etkisinin minimize edilmesi gerekmektedir. 4. En uygun kontrol kartının seçilmesi (Ölçülebilen veya ölçülemeyen kalite karakteristikleri. Nitelikler için kontrol kartı kullanılacaksa, birbirini izleyen örneklem ölçümleri farklı ise hatalı sayısından ziyade, hatalı oranının kullanılması uygun olacaktır). 5. Örneklem büyüklüğü, alt rasyonel grup sayısı ve örneklem alma zaman aralıklarının belirlenmesi (Aralıksız olarak birbiri ardından gelen gözlem değerlerinden oluşan alt grup ölçümü n, sayısı ise k olan örneklemler alınmalıdır). Alt grup ölçümü değişkenler için 2-12 arasında, nitelikler için ise arasında olmalıdır. Alt gruptaki örneklem sayısı en az olmalıdır.

38 Süreç Değişkenliğinin Türleri Shewhart kontrol kartları, süreç verisinin stationary & uncorrelated değişkenliğine sahip olduğu durumlarda kullanıma uygundur.

39 Süreç Değişkenliğinin Türleri Stationary & uncorrelated (Veri sabit bir ortalama etrafında stabil şekilde & tahmin edilebilir düzeyde değişkenlik göstermiş. Birbirini takip eden gözlem değerleri birbirinden bağımsız hareket etmekte) Stationary & autocorrelated (Birbirini takip eden gözlem değerleri birbirine bağlı olarak hareket etmekte; ortalamanın üzerindeki bir gözlem değerini yine ortalamanın üzerindeki bir gözlem değeri takip ediyor) Nonstationary (Veriler stabil veya sabit bir ortalama etrafında değişkenlik göstermiyor)

40 Kontrol Kartlarında Veri Dağılışının (Pattern) Analizi Kontrol kartları üzerinde rastgele olmayan (sistematik değişimler) veri dağılışlarının analiz edilmesi. 25 noktanın 19 u merkez çizginin altında, 4. örneklem ortalaması değerini takip eden 5 nokta artış eğiliminde (run up), 18. örneklem ortalamasını izleyen noktalar sürekli olarak azalma eğiliminde (run down), aynı tipte hareket eden gözlemlerin sırası (run). Birbirini izleyen 8 noktanın merkez çizginin aynı tarafında (alt/üst) oluşu. Tekrarlı/döngüsel veri dağılışı (Cyclic pattern) - Operatör yorgunluğu, - Hammadde farklılıkları, - Sıcaklık, basınç artışları kaynaklı olabilir.

41 Tekrarlı veri dağılışları arındırılmadan önceki değişkenlik Tekrarlı veri dağılışları arındırıldıktan sonraki değişkenlik Örüntü Tanıma/Algılama (Pattern Recognition): Kontrol kartları üzerinde rassal olmayan sistematik değişimlerin algılanıp, bunların sebepleri araştırılıp giderilmesi gereklidir. Bu sayede, değişkenlik minimize edilebilir. Kontrol altındaki süreçlerde kontrol sınırlarının dışında hiçbir nokta yoktur. Çizginin altındaki ve üstündeki nokta sayısı birbirine eşittir. İşaretlenen noktalar merkez çizginin altında ve üstünde rassal olarak yer almaktadır. Merkez çizginin herhangi bir tarafında ardı ardına 5 ya da daha çok nokta yoktur. Kontrol sınırlarına doğru ardı ardına 6 ya da daha çok nokta yükselme yada azalma eğilimi göstermemektedir. Kontrol sınırlarının yakınında yalnızca birkaç nokta vardır. Noktalar düz çizgi oluşturmamaktadır.

42 Kontrol Kartlarında Arzu Edilmeyen Veri Dağılışları (Örüntüler)

43 Sistematik Hata Eğilimleri a) Periyodik dalgalanma ÜKS MÇ AKS b) Proses ortalamasından kayma ÜKS MÇ AKS c) İki farklı anakütle ÜKS MÇ AKS

44 Western Electric Örüntü Tanımlamada Bölge Kuralları 1. Kontrol limitleri dışında kalan bir veya daha fazla noktanın olması, 2. Birbirini takip eden üç noktanın ikisinin ±2σ uyarı/ikaz limitleri dışında kalması (±2σ uyarı/ikaz limitleri ve ±3σ kontrol limitleri arasında), 3. Birbirini izleyen beş noktanın dördünün ±1σ limitleri dışında olması, 4. Birbirini izleyen 8 noktanın merkez çizginin tek bir tarafında (alt veya üstü) seyretmesi, 5. Birbirini izleyen 6 noktanın sürekli artış veya azalış eğiliminde olması, Son dört nokta, B bölgesi ve ötesinde seyretmiş (Bu durumda, 3. kural ihlal edildiği için süreç kontrol altında değildir.

45 Kontrol Kartları Hassaslaştırma Kuralları 6. Birbirini izleyen 15 noktanın C bölgesinde yer alması (Merkez çizginin altı ve üstünde olabilir), 7. Birbirini izleyen 14 noktadaki azalış veya artış olması. 8. C bölgesi dışında merkez çizginin farklı tarafında olan 8 ardışık nokta, 9. Verinin pek rastlanmayan ve rasgele olmayan düzenli bir dağılış (pattern) izlemesi. 10. Bir veya daha fazla noktanın uyarı ikaz limitleri ve kontrol limitlerine yakın olması. Bir veya daha fazla noktanın kontrol limitleri dışına çıkması durumunda, buna sebep olan özel değişkenlik nedenleri derhal araştırılmalı ve sürece müdahale edip, düzeltici önlemler ile giderilmelidir. Birbirini izleyen bir veya iki noktanın uyarı/ikaz limitlerini aşması durumunda ise, sürece müdahale edilmeden evvel öncelikli olarak örnek alma sıklığı arttırılmalıdır. Böylece, eğer süreç gerçekten kontrol dışında ise, bunun çok daha hızlı bir şekilde fark edilmesi sağlanmış olur.

46 Kontrol kartlarının duyarlılığını arttırmak amacıyla, bu hassaslaştırma kuralları karar vericiler tarafından eş zamanlı olarak uygulanabilir. Bu durumda, birden fazla kuralın uygulanması sonucu, ve bu kuralların birbirinden bağımsız olduğu varsayımı altında, I. Tip hata yapma (Yanlış alarm) olasılığı aşağıdaki gibi hesaplanabilir: k, farklı karar kuralları, α i, i kriterindeki I. Tip hata yapma olasılığı, α, genel (toplam) I. Tip hata yapma olasılığı. Birden fazla hassaslaştırma kuralının eş zamanlı olarak kullanılması durumunda, yanlış alarm verme oranı da artacaktır. Bu kurallar, kontrol kartlarındaki küçük değişimlerin/sapmaların hızlı bir şekilde yakalanma ihtimalini arttırmaktadır. Fakat, sürecin kontrol altında olduğu durumdaki ARL değerinde azalma meydana gelmektedir (Klasik Shewhart kontrol kartlarındaki 370 gözlem değeri, Western Electric bölge kurallarının uygulanması sonucu e düşmüştür). Bu durum, yanlış alarm sıklığının artması anlamına gelmektedir.

47 Kontrol Altında Olmayan Bir Süreç için Sorulması Gereken Sorular Kullanılan cihazların ölçme doğruluğunda farklılıklar var mı? Farklı operatörlerin kullandığı yöntemlerde farklılıklar var mı? Süreç çevre koşullarından (sıcaklık, nem) etkileniyor mu? Çevrede önemli bir değişiklik yapılmış mı? Süreç alet aşınmasından etkileniyor mu? Özel değişimin olduğu sırada eğitimsiz bir işçi mi vardı? Hammadde kaynağında değişiklik oldu mu? Süreç operatörün yorgunluğundan mı etkilendi? Bakım prosedürlerinde bir değişiklik oldu mu? Örnekler farklı makineler, vardiyalar ya da operatörlerden mi alındı?

48 Kontrol Kartlarının Temel Faydaları 1. Süreci kontrol dışına iten nedenlerin araştırılmasını sağlar. 2. Bir süreç ya da tezgahın beklenen performansa ulaşıp ulaşmadığının kontrol edilmesini sağlar. 3. Aynı işi gören tezgah, süreç veya kalite kontrol sorumlularının performanslarının karşılaştırılmasında kullanılır. 4. Bozuk parçaların gözden kaçma olasılığını azaltır. Böylece, hatalı hammadde sonucu oluşan hatalı ürün üretilmeden fark edilir. 5. Hurda ve yeniden işlemeleri azaltarak; üretim kapasitesinin artmasını dolayısıyla da üretkenliğin artmasına katkıda bulunurlar. 6. Herkesin işini ilk seferde doğru yapması gerektiği felsefesine uyumlu olarak hataların önceden önlenmesini sağlarlar (Kusurlu sayısı ve kusurlu oranını minimize etmek).

49 Kontrol Kartlarının Temel Faydaları 7. Gereksiz proses ayarlarının yapılmasını önler. Bir başka deyişle, bozulmadıysa, tamir etme felsefesine göre çalışırlar. Proses üzerindeki gereksiz ayarların yapılması, proses performansını olumsuz etkilemektedir. 8. Kontrol kartları üzerindeki gözlem değerlerinin dağılımı, deneyimli operatör ve mühendisler için tanı ve teşhise ait bilgiler sunar. Böylece, süreç üzerinde iyileşme sağlayacak bir değişimin uygulanmasına katkıda bulunur. 9. Süreç yeterliliği hakkında bilgi verir. Kritik proses parametre değerlerinin tahmin edilmesi ve zamana bağlı dengesi (Stabilitesi & kararlılığı) hakkında bilgi sunar.

50 Kontrol Limitlerinin Belirlenmesi Kontrol limitlerinin, merkez çizgiden çok uzakta belirlenmesi (geniş olması), tip-i hata riskini azaltırken; tip-ii hata riskini arttırmaktadır. Süreç kontrol altında olduğunda, kalite karakteristiği ile ilgili bir gözlem değerinin kontrol limitleri dışına düşmesi olasılığı tip-i hata yapma olasılığıdır ve %0.27 dir. ±3σ kontrol limitleri uygulandığında, tip-i hata yapma olasılığı %0.27 dir. Bu, de yaklaşık 27 kez hata yapılması durumunu ortaya koyar. Eğer tip-i hata olasılığı %0.1 olarak belirlenmişse, bu durumda ±3.09σ kontrol limitleri ile çalışmak gereklidir (Standart normal dağılım tablosundan). Gözlem değerlerinin; ±2σ lık alanda bulunması olasılığı %95,45; ±3σ lık alanda bulunması olasılığı %99,73 tür. Seçilen herhangi bir birimin ±3σ lık alanın dışında kalması olasılığı (1-0,9973)=0,0027 dir.

51 ±2σ lık kontrol limitleri, uyarı/ikaz limitleri olarak ta adlandırılmaktadır. Eğer bir veya daha fazla gözlem değeri, uyarı limitleri ile ±3σ lık kontrol limitleri arasında yer alıyorsa, sürecin olağan şekilde devam edip etmediği konusunda daha fazla bilgi toplamak için örneklem sayısı veya örnek alma sıklığı arttırılır. ±2σ lık uyarı limitleri, kontrol kartlarının duyarlılığını arttırmasına rağmen, süreç hakkında elde edilecek yanlış alarmların riskini de arttırabilmektedir. Örneklem Büyüklüğü & Aralığının Belirlenmesi ARL (Average Run Length), kontrol kartlarının performansının değerlendirilmesinde kullanılır ve kontrol dışı bir durum gözlenmeden önce elde edilen örneklem sayısına (Koşu Uzunluğu) denir. ±3σ lık kontrol limitleri ile çalışıldığında, bir gözlem değerinin kontrol limitleri dışında bulunması olasılığı olduğuna göre; ortalama her 370 örnekte bir, sürecin kontrol dışı olmasına ilişkin sinyal/yanlış alarm oluşacaktır. Gözlem değerinin kontrol limitleri dışında bulunması olasılığı

52 Average Run Length (ARL) Eleştirilen Yönleri Shewhart kontrol kartları için ARL, geometrik dağılım özelliğine sahiptir. Bu nedenle, ARL nin standart sapması oldukça yüksektir. Tek bir parametresi (p) olan geometrik dağılımda, standart sapma (±3σ lık kontrol limitleri ile çalışıldığında) ortalamaya neredeyse eşittir. Dolayısıyla, p = için geometrik dağılımın 10 ve 50 nci yüzdelikleri (percentile), sırasıyla 38 ve 256 dır. Bu da, zamanın yaklaşık %10 unda kontrol altındaki çalışma süresinde olan örneklem sayısının 38 e eşit veya daha az olduğu; zamanının yaklaşık %50 sinde ise 256 ya eşit veya daha az olduğunu göstermektedir. Bu durum, dağılımın ilgili olasılık değerinde (p = ) sağa çarpık olmasından (Asimetrik) kaynaklanmaktadır. Average Time to Signal (ATS) Her saat başında örneklem alındığı varsayılırsa (Sabit zaman aralıklarında), ortalama 370 saatte bir, süreç için yanlış alarm verilmiş olacaktır.

53 Average Run Length (ARL) ARL, sürecin istatiksel olarak kontrol dışında olduğuna dair bir gözlem değerinin çıkmasına kadar süreçten elde edilen ortalama gözlem sayısının belirlenmesinde kullanılır. Süreç ortalamasının hedef değerde olduğu durumdur (in-control ARL) ve ARL 0 olarak ifade edilir. Süreç ortalamasının sapma gösterdiği durumdur (out-of-control ARL) ve ARL 1 olarak ifade edilir. Süreç ortalaması hedef değere yakın ise (kontrol altındaki bir süreç), kontrol grafiğinin verdiği alarm yanlıştır ve beklenen ARL değeri büyük olur. Eğer süreç ortalaması sapma gösterirse kontrol grafiğinin verdiği alarm doğrudur ve beklenen ARL değeri küçük olur. ±3σ kontrol limitleri ile çalışıldığında, süreç kontrol altında olsa da, her 370 örnekte, ortalama olarak kontrol dışı bir sinyal üretilecektir.

54 Her saat başında 5 örneklem alınmakta ve proses ortalaması micron olduğunda süreç kontrol dışına çıkmaktadır. Bu durumda, eğer proses ortalaması micron ise, gözlem değerlerinin kontrol limitleri içerisinde kalma olasılığı yaklaşık 0.35 tir. Bu nedenle, proses ortalamasındaki değişimi yakalamak için süreçten ortalama 2.86 örneklem almak gerekir. Her saatte bir örnek alındığı varsayılırsa, proses ortalamasındaki değişimi ortaya çıkarmak için geçen süre 2.86 saat olacaktır. Kontrol dışı durumu ortaya çıkarmak için geçen bu süreyi daha da kısaltmak için, örnek alma sıklığını arttırmak gereklidir. Örneğin, her yarım saatte bir örneklem alınırsa, proses ortalamasındaki değişimden 1.43 saat geçtikten sonra bu değişim tespit edilebilecektir. Bir diğer yol ise örneklem büyüklüğünü arttırmaktır. n = 10 örneklem alındığında, kontrol limitleri arasında kalma olasılığı 0.1, dolayısıyla p = 0.9 olacaktır. Örneklem sayısı arttırılarak, proses ortalamasındaki değişim gerçekleştikten daha kısa bir süre sonra tespit edilebilecektir.

55 Örneklem büyüklüğünün artması, proses ortalamasındaki değişimin çok daha hızlı (Kısa zaman içerisinde doğru alarm alınarak) tespit edilmesini sağlar. Hangi tasarımın daha iyi olduğuna karar vermek için çeşitli faktörler dikkate alınmalı: örneklem almanın maliyeti, prosesin kontrol dışı olduğu durumda devam etmesi halinde işletme için kayıplar, üretim oranı/hacmi ve farklı tipteki proses değişimlerinin meydana gelme olasılıkları vs.

56 Rasyonel Alt Gruplar Oluşturmak (Numune İçindeki Bireylerin Seçimi) Bazı durumlarda örneklemler, kitleden ya da partiden doğrudan doğruya değil de, seçilen bir takım alt gruplardan çekilir. Bu durumda alt gruplar ya rastgele olarak ya da üretimin hızı ile belirli aralıklarla çekilir. Örneğin farklı makinelerde kısa bir zaman periyodunda üretilen aynı tip ürünler ele alındığında, her makineden gelen ürün alt grubu bir rasyonel alt grup oluşturur. Alt gruplar oluşturulurken veya örneklem alınırken farklı alt gruplar arasındaki değişimlerin büyük; aynı alt grup içerisindeki farkların ise küçük olması (homojen) istenmektedir. Snapshot yaklaşımında (Aynı-Zaman yöntemi), numune elemanları aynı anda veya çok dar bir zamanda alındığı için değerler birbirine çok yakın olacak, değişimler hemen hemen rasgele nedenlere dayanacak ve dolayısıyla rasyonel alt grup oluşturma ilkesini daha iyi yerine getirecektir (Proses ortalamasındaki değişkenliği ölçmede oldukça hassastır). Alt gruplar arası farklılıklar ancak kontrol grafiği yardımıyla ortaya çıkarılabilir.

57 Rasyonel Alt Grup Oluşturma Yaklaşımları Snapshot yaklaşımı: üretim sürecinden ardışık örneklem almak (eş zamanlı üretilen ardışık örnekler). Kontrol kartlarının temel amacı proses ortalamasındaki değişkenliği tespit etmek olduğunda kullanılır. Bir örneklem içerisinde, kaynağı belirlenebilen nedenlerden oluşan değişkenliği minimize etmek ve farklı örneklemler arasındaki değişkenliği maksimize etmeye çalışan bir yaklaşımdır. Ayrıca, değişkenler için kontrol kartlarında sürecin standart sapmasının doğru tahmin edilmesi için bu yaklaşım uygundur.

58 Rasyonel Alt Grup Oluşturma Yaklaşımları Rastgele örneklem yaklaşımı (Süre-Zaman yöntemi): Her bir alt grup, örneklem aralığı boyunca alınan tüm süreç çıktılarının rasgele bir örneğidir. Bu yaklaşım, en son alınan örneklemden beri üretilen tüm ürünlerin kabul edilme/ret edilme kararlarının verilmesinde kullanılır. Eğer alınan örneklemler arasında süreç kontrol dışına çıkıp, tekrar kontrol altında girerse snapshot yaklaşımı bunu etkin bir biçimde tespit edemeyeceği için bu yaklaşımın kullanılması önerilmiştir. Ancak bu yaklaşımda, aynı örneklem içerisindeki değişim aralığı (açıklık) fazla olduğu durumda (farklı zamanlarda üretilmiş ürünler/üretim süreleri arasında fazla zaman geçmesi), daha geniş kontrol limitleri oluşup sürecin sanki kontrol altındaymış gibi görünmesine sebep olabilmektedir.

59 Kontrol Kartı Uygulama Aşamaları I. Aşama: Geçmişe yönelik proses verilerinin toplanması ve kontrol limitlerinin bilinmediği durumda bunların hesaplanması amacını taşır (Verinin alındığı dönemde, süreç kontrol altında mıydı?, Geçmiş veriyle hesapladığımız bu kontrol limitleri, gelecek üretim için güvenilir mi?). I. aşamada amaç, kontrol altında olmayan sürecin fark edilip, kontrol altına alınmasını sağlamaktır. I. aşama, proses parametrelerindeki önemli derecedeki farklılıkların tespiti ve bunların giderilmesini içerir. Ölçüm hataları, veri giriş hataları ve veri aktarım hatalarının tespit edilmesi sağlanır. I. aşamada, sürecin kontrol dışında olduğu varsayımı altında, alınan alt örneklem grubuna ait istatistik değerleri ile kontrol limitleri hesaplanır, (Geçmiş veriden türetilmiş olan kontrol limitleri) ile karşılaştırılır. Kontrol limitleri dışında herhangi bir nokta varsa, sürece müdahale edilerek düzeltici önlemler alınır ve kontrol dışı durumlar giderilir.

60 Kontrol Kartı Uygulamalarının Aşamaları Daha sonra, kontrol limitleri dışında olduğunu gösteren bu noktalar veriden çıkarılıp/temizlenip, yeniden kontrol limitleri hesaplanır. Yeni veri toplanarak, revize edilmiş olan kontrol limitleri ile karşılaştırılır ve kontrol dışı aksiyon planları güncellenir. I. aşamada, süreç ile ilgili yanlış alarm alınmasından ziyade, özel değişkenlik nedenlerinin yakalanılması olasılığı ile ilgilenildiğinden, kontrol kartının performans ölçümünde ARL kullanımı tercih edilmez. Bu sayede, süreç stabil hale getirilerek, II. aşamada kullanılacak kontrol altındaki sürece ait performans verisi elde edilmiş olur. II. Aşama: Kontrol altına alınmış stabil haldeki sürecin izlenmesi amacını taşır. Bir başka deyişle, süreçten art arda alınan örneklem istatistiklerinin önceden belirlenen kontrol limitlerine göre karşılaştırılması sağlanır ve düşük/orta seviyedeki süreç değişimleri ile ilgilenilir. Bu aşamada, kontrol kartlarının performansının değerlendirilmesinde, ARL kullanılabilmektedir. II. aşamada, klasik Shewhart kontrol kartlarının yerine CUSUM ve EWMA kontrol kartlarının kullanımı uygundur.

61 Özet 1. Kontrol edilecek kalite karakteristiklerinin belirlenmesi (Her bir kritik kalite karakteristiği için ayrı kontrol grafiği oluşturulur). 2. Kalite karakteristiğine uygun kontrol kartının seçimi (Değişkenler ve nitelikler için kontrol kartları), 3. Uygun bir örnekleme yöntemi ile rasyonel alt gruplar oluşturulur ve örnekler seçilerek, ölçüm değerleri kaydedilir. 4. Merkez çizgi (Hedef değer) belirlenir, alt ve üst kontrol limitleri hesaplanır. 5. Kontrol limitleri dışındaki örnekler belirlenir, kusurlu olma sebepleri araştırılarak, sürece müdahale edilip, düzeltici faaliyetler uygulanır. 6. Kontrol dışı gözlem değerleri gözlem değerleri içerisinden temizlenerek, yeniden kontrol limitlerinin değerleri hesaplanır.

62 X-ort. ve R Kontrol Grafikleri Üretimden alınan örneklerin hacimleri 10 dan küçük olduğunda (n<10) X-ort. grafiği ile birlikte R grafiğinin kullanılması tercih edilir. Üretimin doğru bir görünüşünü elde edebilmek için genellikle 4 veya 5 birimden oluşan alt grup örneklem olarak seçilir. Seçilen örneklemler, homojen kitleden alınmalıdır. Homojenlik ile kastedilen, parçaların mümkün olduğunca birbirine benzer olmasıdır. Yani aynı makineden, aynı operatörden alınmış parçalar veya bir aletin bozulana kadar ya da bakıma alınana kadar ürettiği materyal miktarı homojen kitledir. Örneklem büyüklüğü arttıkça, kontrol sınırları merkez çizgiye yaklaşır. Bu da kontrol grafiklerini daha hassas yapar. Bir başka deyişle, süreç ortalamasındaki veya süreç değişkenliğindeki küçük bir değişim görülebilir. X-ort. ve R grafiklerinde kontrol sınırları standartların belli olması ve olmaması durumlarına göre ayrı ayrı belirlenir.

63 Standartların Belli Olması Durumu Bu durumda kalite karakteristiğine ait anakütle (popülasyon), ortalaması µ ve standart sapması σ bilinen normal dağılım göstermektedir. Standartların belli olması durumunda, geçmişteki üretimin kontrol dışında oluşmasının etkileri araştırılıp, giderilmiş ve gelecekteki üretimin kontrolü amacıyla oluşturulan kontrol kartlarıdır. ÜKL = ±3 olarak alınır AKL = ÜKL = AKL =

64 Anakütle Ortalaması İçin Güven Aralığı

65 w, rastgele değişkenine göreceli etkinlik denir. Alt grup (örnek) büyüklüğünün belirlenmesi (Tipik olarak 4 veya 5 olabilir. Aynı alt gruptaki tüm ölçümlerin aynı proses koşullarında alınmış olması gerekmektedir. R grafiğinde alt sınır sıfırdan küçük çıkarsa alt sınır kullanılmaz.

66 Örnek Bir üretim prosesinde çeşitli zaman aralıklarında şansa bağlı olarak 5 er birimlik 20 örnek alınmış ve kontrol edilecek olan kalite özelliği için bu örneklere ait ölçüm değerlerinin yandaki gibi olduğu tespit edilmiştir. Ölçülen kalite özelliğinin anakütle ortalaması 178 ve standart sapması 3 olarak bilindiğine göre X-R grafiğini çizerek yorumlayınız.

67

68 İlk 5 örnek alt kontrol sınırının altındadır. 6. örnekten itibaren üretim kontrol altına girmiştir. Üretime müdahale edilip ilk 5 örneğin kontrol sınırları dışına çıkma sebepleri belirlenmeli ve tedbir alınmalıdır. 1, 3 ve 7 nolu örnekler ÜKL nin dışına çıkmıştır. Bu üç örnek içerisinde aşırı değişkenlik olduğu anlaşılmaktadır.

69 Yıllar boyunca hep sayılara inandım ve de nedenleri getiren denklemlere ve mantığa.. Bu şekilde geçen bir yaşamdan sonra, mantık aslında nedir? diye soruyorum.. Nedenlerine kim karar verir? Yaşamım matematik, fizik, metafizik & halüsinasyonlar arasında gidip geldi.. Ve akademik kariyerim en önemli buluşunu yaptım.. Hayatımın da en önemli buluşu bu.. Mantıklı sebepler ancak ve ancak gerçek sevginin gizem dolu denklemlerinde bulunabilir. John Forbes Nash, Jr. Nobel ödülü konuşmasından (1994)

70 Kaynakça Douglas C. Montgomery (2009). Introduction to Statistical Quality Control, John Wiley & Sons, Inc. Şanslı Şenol (2012). İstatistiksel Kalite Kontrol, Nobel Akademik Yayıncılık. Demir Aslan (2003). Proses Kontrol ve Toplam Kalite, DEU Mühendislik Fakültesi Basım Ünitesi. Tayfun Özdemir (2000). İstatistiksel Kalite Kontrol, A.Ü.F.F. Döner Sermaye İşletmesi Yayınları, 62. Sermin Elevli. Kalite Kontrol Ders Notları. TÜİK, İstatistiksel Kalite Kontrol Sorularla Resmi İstatistikler Dizisi 11. Özlem İpekligil Doğan. İstatistiksel Kalite Kontrol, Ders Notları. Mehmet Çakmakçı, Kalite Planlama ve Kontrol, Ders notları ( The Boing Company, 1998, Advanced Quality System, D1-9000, USA.