GERİLME VE ŞEKİL DEĞİŞTİRME ANALİZİ

Transkript

1 II. 1 BÖLÜM II GERİLME VE ŞEKİL DEĞİŞTİRME ANALİZİ 17- Basit çekme ve basınç kvvetlerinin etkisinde kalan bir çbkta, çbk kesitine ait doğrltnn değişmesile kesitte ortaa çıkan gerilmelerin değişimi. Braa kadar incelediğimiz bölümlerde, çbk eksenine dik olan kesitlerde ortaa çıkan gerilmeleri inceledik. Eğer çbk eksenine dik olmaan ve şekildeki gibi ab ile gösterilen kesitlerdeki gerilmeler dikkate alınırsa, çbk eksenine paralel olan F kvveti, kesite dik ve paralel olmak üzere iki bileşene arılabilir. Kesite dik bileşen normal kvvet, kesite paralel bileşen kesme a da kama bileşenidir. Kesite dik olan bileşenin ortaa çıkarttığı gerilmee normal gerilme, kesite paralel olarak ortaa çıkan gerilmee kama a da kesme gerilmesi bileşeni denir. Normal gerilme, Şekil II- 1 F.cos( α) F.cos( α) n = = A A ab cos( α) F = cos ( α ) = cos ( α ) = + cos α A ( ) (7) olarak elde edilir. Brada n çbğn eksenine dik olan kesitte ortaa çıkan gerilmedir. Kesite paralel gerilme ani kama a da kesme gerilmesi,

2 II. F.sin( α) F.sin( α) F n = = = sin( α)cos( α ) = sin( α) A A ab A cos( α) n = sin( α) (8) B denklde kama gerilmesinin işaretinin negatif olması, α açısının eki olmasından kanaklanmaktadır. Ykarıdaki denkllerden görülür ki, maksimm normal gerilme α = 0 için ortaa çıkar π ki, b drnda = n dir. Maksimm kama gerilmesi ise α = için medana gelir ki 4 brmda n = olr. Bazı malzelerde kama mkaveti, çekme mkavetinden küçüktür. Yani, malze kama gerilmeleri önünden daha çabk akar. B drmda çekme gerilmelerinin doğrlts ile 45 0 açı apan istikamette blnan düzllerde ani, maksimm kama gerilmelerinin blndğ düzllerde Lüders-Hartman çizgileri adı verilen akma çizgileri görülür. Düşük karbonl çeliklerde b drm görülür. Gerilmeler tarafından medana getirilen şekil değişikliklerini daha açık görebilmek için ab düzline paralel ve ona akın başka bir a1b 1 düzlini alarak çbktan ince bir parça çıkartalım. B parça üzerindeki n, normal doğrltda çbk parçasını zatmaa çalışırken, kama gerilmesi n ise b çbk parçasının biçimini değiştirmee çalışır. Şekil II- Şekil II- 3 Çekme gerilmesinin ortaa çıkardığı normal gerilme ve kama gerilmesinin önleri Şekil II-3 te görülmektedir. Çekme kvveti pozitif kabl edildiğine göre b gerilmenin ortaa çıkardığı normal gerilme ve kama gerilmesinin önleri de pozitif kabl edilir. B öntlerden biridir. Biz brada, çbk içinde arılan çbk parçasını, saat istikametinin tersine döndürecek şekilde bir çift olştran kama kvvetlerini Şekil II-

3 II. 3 pozitif, aksini negatif kabl edeceğiz. Pozitif olan normal kvvet a da normal gerilme saat istikametinin tersine döndürüldüğünde b kvvet a da gerilmenin istikameti ile kama gerilmenin istikameti anı önü gösteriorsa b kama kvveti a da gerilmesi de pozitiftir. Aksi negatiftir. Brada kabl edilen bir başka kral da, dış normali kartezen eksenleri ile anı önde olan üzelerdeki gerilmelerin önleri, kartezen eksenlerin önleri ile anı ise b gerilmeler pozitif kabl edilir. Dış normali kartezen eksenlerin önleri ile zıt olan üzelerdeki gerilmelerin önleri kartezen eksenlerin önleri ile zıt ise, b önlere sahip gerilmeler de pozitiftir. B değerlendirmeler üzelerdeki gerilmeler tek başlarına alındığında geçerlidir. Aksi takdirde, ani b gerilmeler birlikte değerlendirilirse bir öndeki gerilmelerin işareti diğerine göre terstir. Biz brada b önti kabl edeceğiz. 18- Gerilme çberi. (7) ve (8) nmaralı denkllerden, n n + = (9) Elde edilir. B denkl, merkezinin koordinatları, 0 ve arı çapı R = olan çberin denklidir. B denkle ait çber Şekil II-5 de görülmektedir. Şimdi b grafiği ormlaalım. α = 0 hali çbk eksenine dik olan kesite tekabül eder. B kesitteki gerilmeler, = ve n = 0 dır. B çber üzerindeki A noktasına tekabül eder. Şimdi ab kesitini saat istikametinin tersine α açısı kadar döndürelim. B işl ab üzeinin normalini saat istikametinin tersine α açısı kadar döndürmek dektir ki, b üzedeki normal ve kama gerilmesi çber üzerinde B noktası ile tsil edilir. Yüze normalinin saat istikametinin tersine α açısı kadar dönmesi, çber üzerinde ters önde α kadar dönmee tekabül eder. Şekil II- 3

4 II. 4 Şekil II- 4 Şekil II-1 deki probli çber üzerinde tsil eden nokta B dır. Çünkü B noktasının koordinatları, n1 = + cos( α ) (30) ve n = sin( α ) (31) dır. C noktasının koordinatları ise, n = cos ( α ) (3) ve n = sin( α ) (33) olr. C noktası şekil üzerinde dış normali n olan üzee tekabül eder.

5 II İki eksenli genel gerilme hali. Bir sürekli ortam içindeki gerilmeler, sürekli ortam içindeki noktalara bağlıdır. B noktalar sürekli değiştikçe, gerilmelerin değerleri de sürekli olarak değişir. Ancak, herhangi bir noktadaki gerilmeleri hesap etmek istersek, o noktaı tsil eden.. δ botlarında çok küçük bir elanı sürekli ortam içinden izole edip, atılan kısmın kalan kısım üzerindeki etkisini b elan üzerinde işaretleerek denge denkllerini azmak drmnda olrz. İzole ettiğimiz elanın botları çok küçük Şekil II- 5 oldğndan, noktadan noktaa sürekli değişen gerilme değerlerini elan sınırları bonca sabit kabl edip denge denkllerini azmamız gerekir. Atılan kısmın kalan elana ait üzeler üzerindeki etkileri, üzelere dik olmak zornda değildir. B üzden b etkilerin üzelere dik olan normal ve üzelere paralel olan kama bileşenlerini dikkate alarak denge denkllerini azmamız gerekir. R = 0 + ( + ) = 0 R = 0 + ( + ) = 0 Elanın bir köşesine göre toplam moment sıfırdır. = 0 = = ( ) 0 Bradan çıkarılacak sonç anı köşede blşan kama gerilmelerinin şiddeti eşittir şeklindedir. Sürekli bir ortam içindeki herhangi bir nokta civarında bir düzl üzerinde ortaa çıkan gerilmelerin, b noktadan geçen düzl nokta etrafında döndürüldükçe nasıl değiştiğini bilmek isteebiliriz. B amaçla göz önüne alınan prizmatik elan söz kons düzlle kesilerek iki parçaa arılır ve düzl üzerinde ortaa çıkan gerilmeler işaretlenir ve prizmanın denge denklleri azılır. B düzl üzerinde ortaa çıkan gerilme düzle dik olmak zornda değildir. B amaçla b gerilmenin kartezen eksenlerine paralel a da düzle dik ve paralel olmak üzere iki bileşeni arı arı dikkate alınır.

6 II. 6 Şekil II- 6 Şekil II- 7 R = 0 + = s L + = s L L R = 0 + = s L + = s L L ( ) sin ( ) cos θ + θ = s ( ) cos ( ) sin θ + θ = s s = s i + s j üze normal birim vektörü, oldğna göre, ( ) sin ( ) n = cos θ i + θ j = s. n ( ) ( ) ( ) = θ + θ + θ (34) cos sin sin + = + cos θ + sin θ ( ) ( ) (35) elde edilir. eksenine dik olan v ekseni üzerindeki normal gerilmeler ise, + π π v = + cos θ + + sin θ + (36) azılarak elde edilir.

7 II. 7 Bna göre, + v = cos θ sin θ ( ) ( ) (37) blnr. B denkllerden, + = + = sabit v oldğ görülür ki, b birinci gerilme invarantıdır. Yani normal gerilmelerin toplamı seçilen eksenlerden bağımsız olp sabittir. Yüzee paralel ve v doğrlts ve önünde olan birim vektör n 1 i azarsak, azdığımızda, ( ) cos( ) n = sin θ i + θ j 1 = s. n v 1 v = sin θ + cos θ ( ) ( ) (38) blnr. = ( θ) ve ( ) = θ grafikleri ktpsal koordinatlarda çizilirse aşağıdaki v v grafik elde edilir. Eğer ve eksenlerine dik düzller üzerindeki gerilmeler asal gerilmeler ise, R = 0 1 = s L 1 = s L R = 0 = s L = s L cos sin ( ) s θ = ( ) s θ = 1 ( ) ( ) s s cos θ + sin θ = + = 1 1 (39)

8 II. 8 şeklinde ellips denkli elde edilir. B denkle Lame denkli, ellipse de Lame ellipsi denir. Şekil II- 8 Ancak b denkllerin verdiği grafikler kllanışsızdır. B grafiklerin erine önce Cllman ve sonra Mohr tarafından alternatif grafik teklif edilmiştir. Şimdi ve v için bldğmz denkllerin her iki tarafın karesini alarak taraf tarafa toplaalım. + + v = + (40) + Elde edilen b denkl merkezi,, 0 çber denklidir. ve arıçapı + olan bir

9 II. 9 Şekil II- 9 Şimdi b denklleri ormlaalım. > > 0 olsn. ın tesir ettiği üzee tesir eden kama gerilmesinin önü de pozitif olsn. B gerilme drm şekildeki R arıçaplı çber üzerinde A noktasına tekabül eder. Şimdi A noktasının θ kadar sağ tarafında olan B noktasının koordinatlarını hesaplaalım blnr ki, b + B = + R cos( α θ) + B = + R cos ( ).cos ( ) sin ( ).sin ( ) α θ + α θ + B = + R cos α.cos θ + sin α.sin θ ( ) ( ) R ( ) ( ) + B = +.cos θ +.sin θ ( ) ( )

10 II = + cos θ + sin θ denkli ile mkaese edilirse, = B ( ) ( ) olarak elde edilir. Bradan çıkan sonç şdr. Eğer prizmatik elanda eksenler saatin aksi önünde θ kadar bir açı değişimi, aparsa, Mohr Çberi üzerinde b hareket saat önünde θ kadarlık bir dönüşe tekabül eder. Ancak kama gerilmesi ve çekme gerilmesi için pozitif olarak kabl edilen önler Mohr çberi üzerindeki ilerle önüne tesir eder. B amaçla Mohr çberi çizilirken b önler grafik üzerinde işaretlenir. θ a bağlı olarak değişen ve v gerilmeleri için maksimm ve minimm değerler neredir ve b gerilmelerin ortaa çıktığı düzller hangileridir? B amaçla θ göre türevler alınıp sıfıra eşitlenirse, d d + = + cos( θ ) + sin ( θ ) = 0 dθ dθ d = sin ( θ ) + cos( θ ) = 0 dθ ( ) tan θ = ( ) (41) ( θ) ( ) ( ) tan sin ( θ ) = = 1+ tan θ 1+ ( ) 1 1 cos( θ ) = = 1+ tan ( θ) 1+ ( ) elde edilir. Acaba b doğrlt hangi gerilme türüne tekabül eder? Yani b doğrlt maksimm a da minimm gerilmelerden hangisini gösterir?

11 II. 11 d cos sin = θ θ dθ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 = ( ) ( ) ( ) ( ) = + 1+ ( ) 1+ ( ) ( ) (4) Köşeli parantezin içi pozitifse ikinci türev negatif olr ve hesaplanan doğrlt maksimm gerilme doğrltsn verir. Köşeli parantezin içi negatifse ikinci türev pozitif olr ve hesaplanan doğrlt minimm gerilme doğrltsn verir. Köşeli parantezin içinin dir. ( ) < 0 ise ikinci türev pozitiftir, ( ) > 0 işaretini tain eden ise ( ) ise ikinci türev negatiftir. B düzle tekabül eden gerilmelerden maksimm ve minimm, + maks = min = + (43) şeklinde elde edilir. Elde edilen b denkllerden, = = = sabit maks min v v blnr ki, bna ikinci gerilme invarantı denir. Maksimm kama gerilmelerinin blndğ düzller için, dv d = sin ( θ ) + cos( θ ) = 0 dθ dθ d v = cos( θ) sin ( θ ) = 0 dθ

12 II. 1 blnr. ( ) ( ) tan ( ) θ = = (44) tan θ1 tan θ = 1 oldğndan maksimm normal gerilme düzlleri ile maksimm kama gerilmesi düzlleri arasında 45 0 lik açı oldğ ortaa çıkar. Maksimm kama gerilmesi, maks min maks = = + B düzllerdeki normal gerilmeler, (45) + = (46) olarak hesaplanır. Mesela = 60 N/cm, = 0 N/cm ve = 30 N/cm, 0 θ = 55 için, ın tesir ettiği düzldeki kama gerilmesi = + cos sin 55 = N / cm 0 0 ( ) ( ) cos v = ( ) 0sin ( ) = N / cm v v = sin cos 55 v = N/cm 0 0 ( ) ( )

13 II. 13 Asal gerilmeler, Şekil II maks = = = 70 N/cm ( ) 0 + min = = + 0 = 0 N/cm ( ) tan θ = = 0 ( 60 30) 4 3 θ = θ = > oldğndan b maksimm gerilme doğrltsna tekabül eder. Maksimm kama gerilmeleri,

14 II. 14 maks,min = = + 0 = 0 N/cm Şekil II- 11 ÖRNEK: =, 1 65 N/mm hesaplaınız. = 15 N/mm ve 0 θ = 30 için normal ve kama gerilmelerini

15 II. 15 Şekil II- 1 Şekil II- 13 ( ) sin ( ) ( ) ( ) = cos θ + θ 1 = 1 cos θ + 1 cos θ cos θ = ( ) 1 blnr. Şimdi Mohr çberi üzerinde önceden bildiğimizi farz ettiğimiz işaretleerek cos ( ) θ ı hesaplaalım HA cos cos 30 BA ( θ ) = = = ( ) 0 1 blnr. B önli bir sonçtr. Bna göre, cos ( ) ( ) cos 30 θ = = = = = 5.5 N/mm 4 ( ) 0 ( ) = R sin 30 v R = = 5 N/mm 3 v = 5 = 1.65 N/mm anı zamanda şekilde görüldüğü gibi 1 noktasından çizilen teğet kiriş açı ile de blnabilir.

16 II. 16 ÖRNEK: = 50 N/cm = 30 N/cm = 30 N/cm ın etki ettiği düzldeki gerilme oldğna göre v gerilmelerini elde ediniz. + = + cos( θ ) + sin ( θ) = + cos 30 30sin ( ) ( ) 1 3 = = 19.0 N/cm 0 θ = 30 için ve + v = cos θ sin θ ( ) ( ) 1 3 v = = N/cm v = sin ( θ ) + cos( θ) v = sin 30 30cos 30 ( ) ( ) v = 30 = 3.66 N/cm + maks = maks = = 71.6 N/cm + min = min = + 30 = 8.38 N/cm Asal düzl, *30 tan θ = = = 3 ( ) 1 0 θ 1 = ( ) ( 50 30) Y

17 maks,min II { sin ( 45 ) ( ) } cos maks,min = ± = 31.6 N / cm N/cm N/cm maks min min = = = maks min maks = = = B düzllerdeki normal gerilmeler, olarak blnr = = = 40 N/cm Şekil II- 14

18 II. 18 Şekil II- 15 Eksenler döndürüldükçe gerilme hallerinin nasıl değiştiği şekilde görülmektedir. ÖRNEK Bir elana etki eden gerilmeler şekilde görülmektedir. a- OB üzeindeki kama gerilmesini, b- Asal gerilmeleri, c- Asal doğrltları d- Kama gerilmesinin maksimm ve minimm değerlerini e- Kama gerilmesinin maksimm oldğ üzeleri blnz.

19 II = + cos( θ ) + sin ( ) θ = + cos( 45 ) 0sin ( 45 ) = 0 = 80 N/mm = cos( θ ) + sin ( ) θ 50 ( 80) sin 0 0 = ( 45 ) 0cos ( 45 ) = = 65 N/mm Asal gerilmeler, + maks = ( 80) maks = = 53 N/mm maks

20 II. 0 + min = ( 80) min = + 0 min = 83 N/mm 53 ( 83) maks = = 68 N/mm maks Şekil II İki dik doğrltda çekme ve basınç hali. Şekil II- 17

21 II. 1 = pd t (47) πd p 4 pd = = π Dt 4t (48) Şimdi O düzline dik pq kesitindeki gerilmeleri hesaplaalım. pq kesitinde tarafından medana getirilen normal gerilme, + n = + cos θ = ( θ ) sin ( ) olr. ÖRNEK: Şekildeki kazanda iç çap m, t = 1.5 cm ve iç basınç p = 8 bar oldğna göre ve i 0 0 hesaplaınız. Cidardan küçük bir düzl elan izole ederek θ = 30 ve θ = 10 için normal ve kama gerilmelerini hesaplaınız. Maksimm kama gerilmesini hesaplaınız ve bnları Mohr çberi üzerinde gösteriniz. πd p 5 4 pd 8 10 = = = = N/m π Dt 4t pd 8 10 = = = N/m t n = + cos θ ( ) 7 7

22 II. + n = + cos θ ( ) cos 30 = + 6 = N/m = ( θ ) sin 6 0 ( ) = sin φ = sin 30 = N/m + n = + cos θ ( ) ( ) ( ) cos 10 = + 6 = N/m ( ) sin ( ) = cos φ + φ n ( ) ( ) 0 ( ) = cos sin 10 = N/m = sin φ = sin 10 = N/m ( ) ( ) 6 Evvelki bahiste anlatıldığı gibi, çekme a da basıncın görüldüğü birbirine dik olan doğrltlar üzerindeki a da gerilmelerinden birisi maksimm gerilme diğeri de minimm gerilmee tekabül etmektedir. Mohr çberi üzerindeki A noktası 0 noktası θ = 60 e tekabül eder. 0 θ = 30 e, B

23 II Basit çekme halinde şekil değişimi analizi: Şekil II- 18 Deneler göstermiştir ki eksenel zama daima enlesine büzülme ile birlikte ortaa çıkmaktadır ve ine deneler göstermiştir ki, belirli tür malzeler için elastik limit içinde birim anal büzülme oranı sabittir ve Poisson oranı adını alır. B oran imalat çeliği için birim eksenel zama 0.3 tür. a = a a 1 1 b b = b 1 1 = ν (49) Çbktaki bo artışı 1+, çbk eksenine dik bir doğrltdaki daralma 1 ν, diğer doğrltdaki daralma 1 ν oldğna göre, kesit daralması ( 1 ν) olr. Hacim değişimi ise ( 1+ )( 1 ν ) olr. çok küçük oldğndan kvvetleri ihmal edilirse, b hacim değişimi ( 1+ ν ) olr.

24 II. 4 - Birbirine dik iki doğrltda çekme ve basınç için şekil değiştirme hali: Eğer, E E E E = ν = + ν E E E E = ν = ν + = = ise = = + ν E ( 1 ) (50) ve, E = 1 ν ( + ν ) E = ( ν + ) 1 ν (51) elde edilir. ÖRNEK: Yandaki şekilde kenar znlğ 10 cm olan bir beton küp şekildeki düzenek kllanılarak birbirine dik iki doğrlt bonca N lk kvvetlerle sıkıştırılmaktadır. Betonn Poisson oranı 0. ve elastisite modülü MPa oldğna göre b kvvetlerin tesirile betonn hacminde medana gelebilecek azalmaı hesaplaınız. Beton sıkıştıran kvvet P dir Basıncın üzee homojen dağıldığını kabl ederek kvvetlerin glandıkları doğrltdaki birim şekil değiştirme, = = ν = ν = = E E ( 1 ) ( 1 ) ( 1 0.) B doğrlta dik doğrltdaki birim şekil değiştirme,

25 II z = ν ν = = E E B bloğn birim hacmindeki azalma, + + = = z olarak hesaplanır. 3- Basit kama hali. Şekil II- 19 Her iki doğrltda tesir eden eşit şiddette iki normal gerilmei dikkate alalım. B gerilmelerden doğrltsnda olanı çekme diğer doğrltda olanı da basınç olarak etki etsin. B eksenler üzerindeki normal gerilmelerin şiddetleri eşit ise, b gerilme hali basit kama haline tekabül eder. Şekil II- 0

26 II. 6 B gerilme halini tsil eden Mohr gerilme çberi şekil II- görülmektedir. Mohr çberinden anlaşılmaktadır ki ekseni ile 45 0 açı apan düzl üzerindeki kama gerilmelerinin şiddeti çekme a da basınç gerilmelerine eşittir. B düzller üzerinde normal gerilmeler blnmadığından b gerilme hali basit kama gerilme haline eş değerdir. B gerilme haline basit kama hali denir. Basit kama halinde Mohr çberi incelenecek olrsa = oldğ görülür. Şekilde görüldüğü gibi kama gerilmeleri cismin hacminde bir değişiklik medana getirmez. Cismi üzerinde alınan dik doğrltlar arasındaki açılar değişir. B değişim, γ = G ile tanımlanır. Brada G kama modülü adını alır. γ ise açı değişimidir. π γ 1 tan = γ 1 γ 1+ 1 = 1+ γ = = = + ν G E G = ( 1 ) E ( 1+ ν ) (5) Hen belirtelim ki, cidarlarında niform gerilmeler hasıl eden basit kama halini tasavvr etmek kola olmaabilir. Uçlarına momentler tesir ettirilerek brlmaa çalışılan silindirik bir borda medana gelen deformasonların hasıl ettiği drm b hale ar. Şekil II- 1

27 II Basit kama halinde şekil değiştirme işi. di = F d ( δ ) A di = d ( δ ) A: Kvvetin tesir ettiği alan. di = A d ( γ) d di = A d d G di = d ( ) V G Şekil II- γ I = V = V G (53) 5- Basit kama halinde işletme gerilmeleri. Basit kama haline marz kalan malzelerde, kama gerilmesi ile açı değişimi arasındaki münasebet denelerle elde edilebilir. B ilişkinin grafiği şekil II-6 da görülmektedir. B diagram, çekme deneine ait diagrama benzektedir. Deneler göstermiştir ki, kama haline tekabül eden akma gerilmesi, çekme haline tekabül eden akma gerilmesinin %55 ila %60 ına karşı gelmektedir. Kama gerilmesinin etkisi altında çalışan taşııcı elanlarda kama akma gerilmesi niet katsaısı dediğimiz belirli bir katsaıa bölünerek kama niet gerilmesi elde edilir. Biz, basit kama halinde hesaplar aparken kama gerilmelerini kesit içinde homojen dağıldığını kabl ederiz. Benzer bir glama şekilde görülmektedir. B problde P kvvetini taşıan kesit, Şekil II- 3

28 II. 8 Şekil II- 4 Şekil II- 5 πd 4 olp kesitte ortaa çıkan kama gerilmesi, P = πd şeklinde hesaplanır. 6- Cıvata hesabı: Şekil II- 6

29 II. 9 Cıvata şaftına glanan kvvet tesirile zorlanan bağlantı için kontrol, 1- Şaftın kontrolü. P = πd Cıvata başının ezilmee karşı kontrolü. ( D D1 ) P = p π 4 3- Cıvata başının kesilmee karşı kontrolü şeklinde apılır. oldğndan, P = π D h = p = D = D 1 D1 D h = = elde edilir. 4- Perçin hesabı: Şekil II- 7

30 II. 30 Perçin boları: Makine ile imal edilen perçinlerde: d:perçin arıçapı 4 L = t + d 3 El ile imal edilen perçinlerde: 7 L = t + d 4 t: Eklenecek levhaların toplam kalınlıkları Müsaade edilen perçin aralıkları: KENAR MESAFELERİ En az En çok Kvvet doğrltsnda d Kvvete dik doğrltda 1.5d Her iki doğrltda 3d vea minimm 6t ARA MESAFELER En az d En çok 1.5d MALZEMELERİN MUKAVEMET ÖZELLİKLERİ MALZEMELER dan/cm dan/cm L dan/cm St St Perçinlerin simetrik olarak tertip edilebilmesi için perçin saıları çift seçilir. Perçin çapları: d = 14,17, 0, 6 mm seçilir. t Eklenecek levhaların kalınlıkları ise: t < 1 mm d = t + 10 mm t t > 1 mm d = + 16 mm

31 II. 31 a da, Levha kalınlığı t min 4-6 mm 5-8 mm 7-11 mm mm mm Perçin çapı 14 mm 17 mm 0 mm 3 mm 6 mm a- Tek tesirli perçinler: Perçin saısı n: 1 Kesilmee göre kontrol Q kesme πd = 4 P P n = 1 Q = π kesme d 4 alınarak, = (54) P 4P n = = π 1 Qkesme d Ezilmee göre kontrol Q = d t ezilme min L Bir perçinin taşıacağı ük: Q Şekil II- 8 Q = d t ezilme min L

32 II. 3 L : Ezilme niet gerilmesi: alınabilir. Alınırsa, = ( 1.6 ) L = Q n L = d t ezilme min = P P Q = d t ezilme Üniform mkavet açısından ezilme mkaveti, kesilme mkavetine eşit olmalıdır. kllanılırsa, Q ezilme min = Q kesme πd = d tmin 4 8 tmin π = d.6t d P 4P 4P 4 P P n = = = = = n (.6t ) 1 Qkesme πd π.6 t min π min tmin P P P 1 P P = = = = = 0.19 (55) Qezilme d tmin.6tmin tmin 5. tmin tmin.6tmin d olması drmnda n1 > n oldğndan tek tesirli perçinler botlandırılırken kesmee göre kontrol apılmalıdır. b- Çift tesirli perçinler: Şekil II- 9

33 II Kesilmee göre kontrol πd Qkesme = 4 P P n = 1 Q = π kesme d 4 alınarak, = P P n = = π 1 Qkesme d. Ezilmee göre kontrol Q = d t ezilme min L Bir perçinin taşıacağı ük: Q Q = d t ezilme min L L : Ezilme niet gerilmesi: alınabilir. Alınırsa, = ( 1.6 ) L = Q n L = d t ezilme min = P P Q = d t ezilme min Üniform mkavet açısından ezilme mkaveti, kesilme mkavetine eşit olmalıdır.

34 II. 34 Q ezilme min = Q kesme πd = d tmin 4 4 tmin π = d 1.33t = d glamada, tmin = d alınır. t = d kllanılırsa, P P P P P n = = = = = 0.16 n ( t ) 1 Qkesme πd π t min π min tmin P P P 1 P P = = = = = 0.5 (56) Qezilme d tmin tmin tmin 4 tmin tmin n > n1 oldğndan tek tesirli perçinler botlandırılırken ezilmee göre kontrol apılmalıdır. 3. Levhaların ırtılmaa göre kontrol Şekil II- 30 Perçine gelmesi gereken kvvet, t = d t t = d t = d L

35 II. 35 Uglamada, 3d < < 5d olarak alınır. t = d t t = d t = d L 4. Perçinlerin baklava dilimi a da zigzag tertibi. Çerçeveler, köprüler ve kirişlerde oldğ gibi plakaların genişliğinin önceden bilindiği drmlarda b tertip tercih edilir. B bağlantı şekli bütün çözülme modlarında eş değer mkavete sahiptir. Kenarlardan olan zaklıklarım aarlanması bağlantı mkavetinde önsiz derecede azalma a da artmaa sebep olabilir. Eğer levha genişliği bilinior ise bağlantının ük taşıma kapasitesi, 1-ırtılma ( ) P = b d t olr. B denklde b, levha genişliği, d perçin deliği çapı, t levha kalınlığı ve levhanın çekme niet mkavetidir. Perçin çapı için Unwin bağıntısı kllanılabilir. B bağıntı, şeklindedir. d = 6 t B bağlantı en dışta blnan bir tek perçin deliği ile zaıflatılmış sıradan levhanın ırtılmaması, daha sonra ikinci sırada blnan ve iki tane perçin deliği ile zaıflatılmış sıranın ırtılmaması şartı dikkate alınarak botlandırılır. İçteki sıradan levhanın ırtılması için en dışta blnan perçinin kesilmesi a da levhanın ezilmesi gerekir. Bna göre - sırasında, a da, ve 3-3 sırasında, a da, medana gelebilir. d P = ( b d ) t + π 4 -ırtılma ırtılma kesilme ( ) P = b d t + d t -ırtılma ırtılma ezilme d P = ( b 3d ) t + 3π 4 -ırtılma ırtılma kesilme ( ) P = b 3d t + 3d t -ırtılma ırtılma ezilme

36 II Perçin tertibi: a- Perçin çapı seçilir. b- n: perçin saısı hesaplanır. c- Perçin tertibi apılır. ÖRNEK: = 1400 dan/cm = 1400 dan/cm = 800 dan/cm L Levhanın botlarını hesaplaınız ve gerekli tertibi apınız. Levha kalınlığı olarak 6 mm seçelim, Perçin çapı: 14 mm Bağlantı tek tesirli oldğndan, Q = πd = 156 dan 4 Q = d δ min L = = 35 dan Levha genişliği:4 mm. Kontrol: Genişlik eterlidir. ÖRNEK: 3500 n = = 1.6 perçin 156 ( 60 14) 6 14 = 3864 dan 3500 dan Şekilde görülen kafes kirişin diagonal doğrltdaki elanı dan lk çekme kvvetine marzdr. B diagonal köşe diri L şeklindeki iki profil bir araa getirilerek, şeklinde tertip edilecektir ve simetri düzli kafes düzlidir. Kafesin düğüm noktaları köşe dirleri çift taraflı olarak perçinlenmesile elde edilecektir. Düğüm noktasındaki saç 1 mm kalınlığındadır dan lk kvveti taşıacak profil alanını hesap ediniz ve

37 II. 37 gerekli perçini tertip ediniz. = 1400 dan/cm, = 1400 dan/cm, L = 800 dan/cm Bağlantı çift tesirlidir. Köşe dir alanı: A = = 9.9 cm 1400 A Bir tek köşe diri alanı: = cm Profil tablolarından = 5.54 cm Seçilen profil : L A = 5.54 = 11.08cm L PROFİLLERİ- TS 908, DIN 108- A G r 1 = t :Kesit alanı. :Uznlğa bağlı ağırlık r = 0.5 t L a b t r 1 r A G U mm mm mm mm mm cm dan/m m/m

38 II. 38 Seçilen perçin çapı : φ 17 Perçin deliği ezilme alanı: = 1.70 cm Profil toplam kesit alanı : cm Perçin kesiti : Kesit mkaveti kontrolü: Kesmee göre kontrol: = dan/cm <1400 dan/cm πd π1.7 Q = = 1400 = 6355 dan 4 4 Ezilme kontrol: Q = dδmin = = 4760 dan ÖRNEK: n = =.73 3perçin 4760 L Şekilde görülen 10 mm kalınlığındaki iki levha, 8 mm kalınlığındaki ek levhalar ile birleştirilerek perçinler çift tesirli çalışacak şekilde eklenecektir. B levhalar P = 1500 dan lk bir çekme kvveti nakletmektedir. Malzelerde = = 100 dan/cm ve L = 400 dan/cm oldğna göre, b birleşim için gerekli perçin saısını hesap ediniz ve perçin tertibini apınız. Öncelikle perçin çapı seçilir. Verilen tablolardan Bir tek perçinin taşıacağı ük, makaslamaa göre, ezilmee göre, blnr. πd π1.7 Q = = 100 = 5448 dan 4 4 Q = dδmin L = = 4080 dan Gerekli perçin saısı :5.7 6 adet d = 17 mm seçilir.

39 II. 39 L = 4.5cm perçin 1. tertip Levha genişliği hesabı: Levha mkaveti dikkate alınarak, ( b 1.7) = 1500 b = 1.3 cm b = 1.3 cm için perçin aralıkları e + 0.5e + 0.5e = 13 e = mm olması gerekir. Perçin çapları dikkate alınarak, ( ) b = d = 6d = 10. cm olması gerekir. B genişlik dış kvveti taşıma açısından nietli değildir. B mesafe fazla geniş olp levhalar arsına s sızıp paslanma ihtimali mevcttr..tertip: Levha genişliği hesabı:

40 II. 40 Levha mkaveti dikkate alınarak, ( b 3 1.7) = 1500 b = cm b = cm için perçin aralıkları olması gerekir. e + e + 0.5e + 0.5e = e = mm Perçin çapları dikkate alınarak, ( ) b = d = 9d = 15.3 cm olması gerekir. B genişlik dış kvveti taşıma açısından nietli değildir. B mesafe fazla geniş olp levhalar arsına s sızıp paslanma ihtimali mevcttr. 3.tertip: Levha genişliği hesabı, Levha mkaveti dikkate alınarak, ( b 6 1.7) = 1500 b = 8.1 cm b = 8.1 cm için perçin aralıkları e + e + e + e + e + 0.5e + 0.5e = 81.

41 II. 41 e = mm olması gerekir. Perçin çapları dikkate alınarak, ( ) b = d = 18d = 30.6 cm olması gerekir. B genişlik dış kvveti taşıma açısından nietlidir. b = 30.6 cm için ve perçin aralıkları e + e + e + e + e + 0.5e + 0.5e = 30.6 e = 51 mm olması gerekir. B mesafe gn mesafedir. 4.tertip: B drmda en zaıf kesit bir perçin deliği ile zaıflatılmış 1 kesitidir. Bna göre levhaa verilmesi gereken b genişliği, ( b d ) tmin = 1500 kesitine 1 kesitindeki perçinin ezilme mkaveti ardım eder. kesitinin mkaveti, ( ) ( ) b d t + d t = b t min min L min = dan = 350 dan olarak blnr. Benzer düşüncelerle 3 kesitinin mkavetinin de kesitinin mkavetinden büük oldğ anlaşılır.

42 II. 4 3 kesitindeki mkavetin bağlantının taşıması gereken kvvetten büük oldğ anlaşılır. B bağlantı şeklinde perçin delikleri arasındaki mesafenin 3d, çlarla percin merkezleri arasındaki mesafenin de.5d olması gerektiği bilinmelidir. B son tertip en gn tertiptir. Bnn sebebi ise, perçin deliklerinde verim kavramı ile ifade edilir. Perçin deliklerinde verim η, perçin delikleri ile zaıflatılmış levhanın mkaveti η = anı genişlikteki levhanın perçin delikleri ile zaıflatılmamış kesitteki mkavet şeklinde tarif edilir. Bağlantı mkaveti ne kadar üksek ise verim o kadar üksek olr. Bir sırada iki perçin olması halinde verim: Bir sırada üç perçin olması halinde verim: Bir sırada altı perçin olması halinde verim: En son tertip ( b d ) t ( b d ) η = = = = 0.84 b t b 13 ( b d ) t ( b d ) η = = = = b t b 30 ( b d ) t ( b d ) η = = = = b t b 80 ( b d ) t ( b d ) η = = = = b t b 119 ÖRNEK: Şekilde görülen iki sıra ve tek tesirli perçinli birleşimde her iki sıra peçin aralığı 80 mm dir. Perçin delikleri çapı 5 mm ve her bir hesap elanına düşen ük N oldğna göre Birleşimde her bir perçin bağlantısı için çekme, kesme ve ezilme gerilmelerini hesaplaınız. Bir hesap elanı izole edilirse,

43 II. 43 B hesap elanında bir tam ve iki arım perçin deliği görülmektedir. Perçinlerin eşit şiddette kvvet taşıdığı kablünden hareket ederek, ÖRNEK: P = = = N/mm d 5 π π 4 4 = P L 15 N/mm ( t d ) = ( 16 5) = = P N/mm t ( b d ) = 16( 80 5) = Bir bhar kazanının bona ekinde iki sıra perçin tek tesirli olarak glanmıştır. Kazan çapı 16 mm, kazan et çapı 0 mm, hesap elanı genişliği 75 mm, parçin çapı 19 mm dir. Kazanda müsaade edilecek iç basınç değerini hesaplaınız. Malzelerin akma gerilmeleri çekme için 3860 dan/cm, kama için 3090 N/cm, ezilme için 6670 dan/cm dir. Emniet katsaısı 5 alınacaktır. Bir hesap elanında iki perçin oldğndan kamaa göre bir hesap elanının alabileceği ük,

44 II. 44 Q kesme d = π = π = dan ezilmee göre bir hesap elanının alabileceği ük, Q ezilme 6670 = ( t d L ) = 1.9 = dan 5 B bağlantıda ezilme, kesilmee göre daha mkavimdir. Levhada ortaa çıkan çekme gerilmesine göre taşınabilecek ük (1-1 kesitinde), 3860 Q ( ) ( ) çekme = t b d = = dan 5 Levhada ortaa çıkan çekme gerilmesine göre taşınabilecek ük (- sırasının ırtılmanın olabilmesi için 1-1 sırasının tahrip olması gerekir.), d Q ( ) çekme = b d t + π = ( ).0 + π = dan Bna göre bir hesap elanında taşınabilecek ük dan dr. B çevresel kvvet, =33.63 dan/cm 7.5 teğetsel gerilmee tekabül eder. B teğetsel gerilme de kazan içindeki, baınca tekabül eder. t p = = = = R dan/cm 4.33 bar ÖRNEK 1.5 mm kalınlığındaki iki levha çift tesirli perçin bağlantısı ile 500 kn lk bir kvveti taşıacaktır. Tek bir perçin deliği ile zaıflatılan sırada levhaı ırtılma açısından kontrol ederek levha genişliğini hesaplaınız. Bağlantıı tamamen dizan ederek, çizimle bağlantıı gösteriniz. Maksimm gerilmeler, Perçin delikleri: Çekme gerilmesi : 600 MPa Perçin için kesme gerilmesi : 490 MPa Ezilme gerilmesi : 90 MPa Emniet katsaısı : 4.5

45 II. 45 Perçin şaftı: 13.5 mm den 5.5 mm çapa kadar mm adımla, 7 mm den 4 mm çapa kadar 3 mm adımla. Perçin deliği çapından 1.5 mm den daha küçük olmak üzere 4 mm çapa kadar mm adımla, Perçin deliği çapından mm den daha küçük olmak üzere 5 mm den 39 mm çapa kadar 3 mm adımla Müsaade edilebilir gerilmeler: 600 -çekme = = MPa kesme = = MPa ezilme = = MPa 4.5 Unwin formülüne göre perçin deliği çapı: Standart perçin çapı: d = 6 t = = 1.13 mm d = 1.5 mm alınır. d = 0 mm alınır. Kesmee göre bir perçinin taşıacağı kvvet Bağlantı çift tesirli-: Q kesme d 0 = π = π 109 = 6841 N 4 4 Ezilmee göre bir perçinin taşıacağı kvvet: Qezilme = d t -ezilme = = N B bağlantıda kesilme, ezilmee göre daha mkavimdir. Levha genişliği: Perçin saısı: Zigzag tertip için Perçin tertibi: ( ) ( b ) P = b d t = b = mm b = 35 mm alınır. P n = = = 9.78 perçin Q min n = 10 perçin seçilir.

46 II. 46 Perçinler 1. sırada 1 perçin,. sırada perçin, 3. sırada 3 perçin ve 4. sırada 4 perçin olarak düzenlenecektir. 4. sıradaki perçin kvvete dik doğrltda kenardan 1.5d = 3.5 mm kadar içerden olacaktır. Kvvet istikametinde ise kenardan.5d = mm içerde olmalıdır. 4. sırada perçinler arası aralıklar ise, = mm 3 Olmalıdır. Sıralar arasında perçin merkezleri arası mesafe 3d = 64.5 mm olacaktır. Ek levha kalınlığı: t ek levha = = 7.5 mm 8 mm Kontrol: Kesmee göre: 10 adet perçinin bağlantı çift tesirli oldğndan kesilmee göre taşıacağı kvvet: Ezilmee göre: P P Yırtılmaa göre: kesme ezilme d 1 = 10 π = 10 π = N = 754 kn 4 4 ( t d ) ( ) = 10 = = N = 537 kn -ezilme Yırtılma açısından en zaıf kesit olan 1-1. sırasının ırtılması. P ( ) ( ) ırtılma = t b d = = N = 507 kn -. sırasının ırtılması ve 1-1 sırasındaki 1 perçinin ezilmesi. ( ) 1( ) P = t b d + t d ırtılma -ezilme = 1.5 ( 35 1) ( ) = N = 560 kn 3-3. sırasının ırtılması ve 1-1 ve - sırasındaki 3 perçinin ezilmesi.

47 II. 47 ( 3 ) 3( ) P = t b d + t d ırtılma -ezilme = 1.5 ( ) ( ) = N = 598 kn 4-4. sırasının ırtılması ve 1-1, - ve 3-3 sırasındaki 6 perçinin ezilmesi. ( 4 ) 6( ) P = t b d + t d ırtılma -ezilme = 1.5 ( ) ( ) = N = 74 kn Perçin deliği ile zaıflatılmamış levhanın ırtılmaa göre mkaveti: Pırtılma = t b = = N = 54 kn Bağlantının verimi: t ( b d ) b d 35 1 η = = = = %93.5 t b b 35 ÖRNEK Şekilde görülen bağlantıda ek levhaların genişlikleri farklıdır. Perçin aralığı iç sırada 75 mm, dış sırada 150 mm dir. Ana levha 1 mm kalınlığında ek levhalar 8 mm kalınlığındadır. Emniet gerilmeleri çekme için 1400 dan/cm, kama için 1050 dan/cm ve ezilme için 800 dan/cm dir. B hesap elanının nietle taşıabileceği ükü ve bağlantı verimini hesaplaınız. Şekil - a Şekil - b Şekil - c Her bir hesap elanında bir adet tek tesirli ve iki adet çift tesirli perçin vardır. Dolaısıla 5 kesme üzei mevcttr. Bir hesap elanına gelen kvvetin b üzelere niform dağıldığını kabl edersek her bir üzee gelen ük P / 5 tir. Bir hesap elanına gelen toplam ük kesmee göre,

48 II. 48 P kesme 1.9 = 5 π 1050 = dan 4 Perçinlerin kesmee göre dirençleri eşit oldğna göre - sırasındaki bir perçin toplam kvvetin 1/ 5 ini, 1-1 sırasındaki bir perçin ise / 5 ini taşıacaktır. Ezilme göz önüne alınırsa, kritik sıra 1-1 sırası olp ezilme ana levhada medana gelecektir. Çünkü ana levhanın kalınlığı ek levhaların toplam kalınlığından incedir. 1-1 sırasındaki bir perçine gelen kvvet P / 5 dir. Brada levhadaki kvvetin 4 P / 5 oldğna dikkat etmek gerekecektir. Bna göre birleşimin ezilmee göre toplam taşıması gereken kvvet, P = P = dan Şekil - d Şekil - d Şekil - e - sırasındaki ana levhanın ırtılması kontrolü: P = P - ırtılması = 1.( ) 1400 = 008 dan 1-1 sırasındaki ana levhanın ırtılması kontrolü: P 1-1 ırtılması = 1. ( ) 1400 = dan P P = P = 350 dan Geniş ek levhasında 1-1 kesitindeki ırtılma kontrolü: P 1-1 ırtılması = 0.8 ( ) 1400 = 1544 dan

49 II. 49 P P + = P = dan B birleşimin nietle taşıabileceği ük dan dr. Bir hesap elanı perçin delikleri ile zaıflatılmasadı: = 500 dan ük taşıacaktı. Bna göre birleşimin verimi: olr η = = % Perçin gövdelerindeki gerilmelerin eşit olma şartı. Her bir perçin gövdesine eşit büüklükte kama gerilmesi gelmesini tin için statiğin denge denklleri azılır. Kvvetlerin toplamının sıfır olma şartından, Şekil II- 31 A = P 1 i Kefi bir noktaa göre toplam momentlerin sıfır olma şartından A1 i i = Pe

50 II. 50 A A A e = = = 1 i i 1 i 1 A1 i A1 A1 (57) olr ki b ifade kesit ağırlık merkezini ifade eder. 6- Kvvetin perçin deliklerinin ağırlık merkezinden geçmesi hali. Şekil II- 3 Kvvetin perçin deliklerin ağırlık merkezinden geçmesi halinde, perçin gövdelerinde ortaa çıkan kesme gerilmeleri her perçinde eşit değildir. B drmda, kvvet perçin deliklerinin ağırlık merkezine nakledilir. Yani, perçin deliklerinin ağırlık merkezine, verilen kvvet sistine eşdeğer bir kvvet sisti erleştirilir. Perçin deliklerinin ağırlık merkezindeki eş değer kvvet sisti P kvveti ile b merkeze konacak ep şiddetinde bir momenttir. B takdirde her bir perçin şaftında ortaa çıkan kama gerilmesi, bir tek kvvetin doğrdğ kama gerilmesi P ile momentin doğrdğ kama gerilmesi M nin vektörel toplamına eşittir. = + Şekil incelendiğinde 1 nmaralı perçinin en tehlikeli konmda oldğ görülebilir. P Bağlantı plakasının perçin deliklerinin ağırlık merkezi etrafında herhangi bir dönme hareketinde herhangi bir perçinde medana gelecek deformason şekildeki gibi olacaktır. M

51 II. 51 Şekil II- 33 Şekil II- 34 Şekilde değiştirme bağıntıları, r i i θ = δ G θg i = ri = kri δ İ İ i A r = ka r = M M k = r A i M i i i rθ = γ δ i i i = r i ri Ai (58) Bradaki, ri Ai ifadesi perçin deliklerinin ağırlık merkezinden geçen ve bağlantı plakasına dik olan eksene göre atalet momentlerinin toplamıdır. ÖRNEK: Şekilde görülen bağlantı d = 0 mm olan perçinlerle teşkil edilmiştir. Levha kalınlığı t = 1 mm dir. Perçinler tek tesirlidir. = 1400 dan/cm oldğna göre b bağlantının düşe doğrltda taşıması gereken maksimm kvvet nedir?

52 II. 5 0 A = πd = π = 100 π mm = π cm 4 4 P P = 4 π 6P 6P k = = π π ( ) 6P 30P M = kri = 5 = 100π 100π P 30P 1 = π 100π 30P 1 = π = = P + P P 0.6 = 0.5 P 4π 100π 100π π 1400 = 0.5 P π P = 846 dan

53 II Kanak bağlantıları. 4mm < a < 0.7t min ρ : Kanak niet gerilmesi. Şekil II- 35 P ρ = 0.65 = al ÖRNEK: Şekildeki levha dan lk kvveti taşımak üzere 10 mm kalınlığında levhaa kanaklanmıştır. Levhanın kesit ölçülerini tain ediniz. Bindirme paını hesap ediniz. = 1400 dan/cm Levha kesiti gndr A = = cm 1400 = = 910 dan/cm ρ al = = cm 910 a = 4 mm L = cm Bindirme paı = = cm 90 cm alınır

54 II. 54 Bir kanaklı parçaa gelen kvvet simetri düzli içinde ani bağlanan saç parçanın düzli içinde ve profil kesitlerinin ağırlık merkezine tekabül eden eksen içinde olmalıdır. Kanak dikişlerinde ortaa çıkması beklenen gerilmeler profilin her iki tarafında eşit olması gerektiği düşüncesinden hareketle, al + al = P 1 ρ ρ Şekil II- 36 ( ) al e + e = Pe L L 1 ρ 1 Pe 1 = a ρ e1 + e ( ) Pe 1 = a ρ e1 + e ( ) L L e = e 1 1 (59) blnr. B dektir ki, glanan kvvet glanan profilin kesitinin ağırlık merkezinden geçmesi gerekir. B üzden b şekilde bir bağlantı, gn değildir. B şekilde bir bağlantı için kllanılması gereken profil kesiti aşağıdaki gibi olmalıdır.

55 II. 55 Şekil II- 37 ÖRNEK: Şekilde görülen 10 mm kalınlığındaki levhaa P = 18900N kvvet glanacaktır. Köşe dirinin kesitini ve kanak znlklarını tain ediniz. Köşe diri için kesit alanı: cm A = = 1400 Bir köşe dirine düşen alan, Tablolardan, 13.5 A = = 6.75 cm e 1 = 4.31 cm e = 1.69 cm

56 II. 56 L profil seçilir. L PROFİLLERİ- TS 908, DIN 108- A G r 1 = t :Kesit alanı. :Uznlğa bağlı ağırlık r = 0.5 t L a b t r 1 r A G U mm mm mm mm mm cm dan/m m/m L L e = = e = P L1 + L = = = cm a ρ Bağlantı çift taraflı oldğnda bir taraf düşen toplam kanak bo blnr. L1 + L = =6 cm L 1 = 7.3 cm L = cm

57 II Düzl deformason hali: v = + ν E E v v = ν + E E v γ v = G Şekil II- 38 E = 1 ν E = 1 ν ( + ν ) v ( ν + ) v v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = θ + θ + θ cos sin sin = θ + θ θ v sin cos sin ( ) ( ) ( ) cos θ + sin θ + sin θ = E sin ( θ ) + cos ( θ) sin ( θ) ν E ν ν ( 1+ ν) = cos ( θ ) + sin ( θ ) + sin θ E E E ( )

58 II. 58 γ = cos ( θ ) + sin ( θ ) + sin ( θ) + γ = + cos θ + sin θ ( ) ( ) + π γ π v = + cos sin θ + + θ + + γ v = cos ( θ) sin ( θ) (60) (61) v = sin ( θ ) + cos( θ) E v = θ + γ θ 1 ( ) ( ) sin ( ) G cos ( ) + ν ( ) sin ( ) cos ( ) γ = θ + γ θ v (6) 9- Asal zamalar ve doğrltları: + γ maks = + + (63) + γ min = + (64) Maksimm ve minimm şekil değişimi doğrltları üzerinde açı değişimi olmaz. d γ = sin ( θ ) + cos( θ ) = 0 dθ γ tan ( θ ) = (65) 30- Düzl şekil değişimi invarantları: ma + min = + γ ma. min =. =. 4 4 γv v (66)

59 II Eksen takımının bir nokta etrafında döndürülmesile şekil değiştirme bileşenleri arasındaki ilişki Mohr çberi-: ÖRNEK: ( ) ( ) 1+ cos θ 1 cos θ γ = + + sin θ + γ = + cos( θ ) + sin ( θ) γ Y γ v = sin θ + cos θ ( ) ( ) Y γ γ Y ( ) + + = + 4 (67) Herhangi bir cisimde, herhangi bir noktada = , = ve γ = oldğna göre 0 θ = 30 için döndürülmüş eksenlerde, hesaplaıp mohr çberi üzerinde drm açıklaınız. v ve γv nü = + cos 30 + sin 30 4 = ( ) ( ) v = cos 30 sin 30 4 = v 0 0 ( ) ( ) ( ) sin ( ) cos( ) ( ) sin ( 30 0 ) cos( 30 0 ) γ = θ + γ θ v γ = + v γ = Mohr çberinin arı çapı, v radan γ R = + = + = Mohr çberinin merkezinin koordinatı, =

60 II. 60 ( ,0) dır 3- Şekil değiştirme rozeti: + maks = + R = = min = R = = Şekil II- 39 Şekil II- 40 γ a = cos α + sin α + sin α ( ) ( ) ( ) γ b = cos β + sin β + sin β ( ) ( ) ( ) γ c = cos γ + sin γ + sin γ ( ) ( ) ( ) γ = + + ( ) ( ) ( ) a cos 0 sin 0 sin 0 = a π π γ π b = cos + sin + sin γ b = + + π π γ π c = cos + sin + sin = + c

61 II. 61 γ = b a c