5-3 x ve s için kontrol Şemaları

Transkript

1 Resim şu anda görüntülenemiyor x s için kontrol Şemaları x R kontrol şemalarının yaygın bir şekilde kullanılmasına rağmen, bazen R aralığının dolaylı şekilde kullanımı yerine doğrudan sürecin standart sapmasının kestiriminin kullanılması istenir. Bu x s kontrol şemalarına rehberlik eder, burada s örneğin standart sapmasıdır. Aşağıdakilerden birinin geçerli olması durumunda, genellikle x s şemaları benzerleri olan x R şemalarına tercih edilir. 1. n örnek büyüklüğü orta derecede büyük ise n>10 ya 12 (Orta büyüklükten daha büyük örnekler için aralık metodu için kestirilen σ istatistiki etkinliğini yitirir) 2. Örnek büyüklüğü n değişken olduğunda x s şemalarının Yapılandırılması Çalışma Şekli İlk olarak, S 2 σ 2 nin yansız kestiricisidir. İkinci olarak, S σ nın yansız bir kestiricisi değildir; σ nın yansız kestiricisidir. S, c 4 σ nın yansız kestiricisidir; burada c 4 bir sabit olup, dür. S in standart sapması dir. 5-3 x s için kontrol Şemaları devam Bu bölümde x s kontrol şemalarının yapılandırılması çalışma şekilleri üzerinde durulacaktır. Aynı zamanda değişken örnek büyüklüğü ile nasıl başa çıkılacağı s şemasına seçenek tartışılacaktır. Eğer σ için herhangi bir standart rilmemişse, geçmiş rilerin analizi ile tahmin edilmek zorundadır. Her n örnek büyüklüğü için m adet ilk örnek mevcut olsun s i de i. Örneğin standart sapması olsun. m standart sapmalarının ortalaması: olur. istatistiği σ nın yansız kestiricisidir. Ayrıca s in standart sapması dir. Dolayısıyla, s şeması parametreleri s in standart sapması = B 6 σ Eğer σ = c 4 σ rilmişse = B 5 σ Bazı yazarlar s şemalarını σ şeması olarak rmektedirler! olmalıdır x s şemalarının Yapılandırılması Çalışma Şekli R aralığının dolaylı şekilde kullanımı yerine doğrudan sürecin standart sapmasının kestiriminin kullanılması istenildiğinde; n örnek büyüklüğü orta derecede büyük ise n>10 ya 12 Örnek büyüklüğü n değişken olduğunda Sabitleri genellikle şöyle ifade ediyoruz Sırasıyla, s şeması parametrelerini şöyle yazabiliyoruz 1

2 σ nın yansız kestiricisi σ nın kestirimi için kullanıldığı zaman, x şemasına ilişkin Kontrol sınırlarını şöyle tanımlıyoruz: A 3 sabiti olsun, x şeması parametreleri aşağıdaki gibi olur Örnek sayısı (a) Örnek sayısı (b) Şekil 5-17 Örnek 5-3 için x s kontrol şemaları (a) s temel alınarak oluşturulan x şeması (b) s kontrol şeması Örnek 5-3 Tablo 5-3 Otomobil Motoru Piston Yüzüğü için İç Çap Ölçüleri (mm) Örnek No Gözlemler σ nın tahmini Sürecin standart sapması σ nın yansız kestiriminin s/c 4 olduğu gerçeğinden hareketle kestrilebilir. Dolayısıyla, (Bu tahmin aralık metodu ile saptanan σ ya çok benzerdir). Tablo 5-3 te rilen piston yüzüğü iç çapı ölçülerini kullanarak x s şemalarının nasıl yapılandırıldığını inceleyeceğiz. Ortalamaların ortalaması ortalamanın standart sapmaları sırasıyla; x s Kontrol Şemaları Değişken Örnek Büyüklüğü şeması için parametreler: = MÇ = = s şeması için parametreler: Unutulmamalıdır ki burada örnek standart sapması şöyle tanımlanmaktadır: = MÇ = = 2

3 Örnek 5-4 Tablo 5-3 Otomobil Motoru Piston Yüzüğü için İç Çap Ölçüleri (mm) Örnek No Gözlemler s şeması için kontrol sınırları MÇ= Burada n 1 =5 için A 3, B 3 B 4 ün değerlerini kullandık. İkinci örnek İçin n 2 =3 ün sabit değerleri kullanılmalıdır. Tüm bu 25 örnek için Kontrol sınırı hesaplamaları Tablo5-5 de özetlenmiştir. Kontrol şemaları Şekil 5-18 de görülmektedir. Örnek 5-3 piston yüzüğü iç çapı ölçülerini kullanarak modifiye edilmiş, Tablo 5-4 te rilen rileri göz önüne alınız. Örnek büyüklüğü n=3 den n=5 e değişiklik göstermektedir. x s şemalarının nasıl yapılandırıldığını yukarıda rilmiş olup, bu prosedür kullanılabilir. Ağırlıklı ortalamaların ortalaması ağırlıklı ortalamanın standart sapmaları eşitlik ile aşağıdaki gibi hesaplanır: Örnek Sayısı Örnek Sayısı Şekil 5-18 değişken örnek büyüklüğünde piston yüzüğü risi için x s kontrol şemaları. Örnek 5-4 σ nın kestirimi: burada Dolayısıyla, x şemasının merkez çizgisi x= s şemasının merkez çizgisi de s= dür. Kontrol sınırları artık kolaylıkla hesaplanabiliyor. Bu durumu örneklemek için ilk örneği düşünün. x şeması için kontrol sınırları: MÇ= 3

4 5-3.3 s 2 Kontrol Şeması Çoğu kalite mühendisi süreç değişkenliğini izlemek için ya R ya da s şemalarını kullanırlar. Orta boyuttaki örnek büyüklükleri için R yerine s şemaları tercih edilir. Bazı uygulamacılar s 2 örnek varyansını doğrudan kontrol şemaları üzerinde kullanmaktadırlar. s 2 kontrol şeması parametreleri: Örnek 5-5 Tablo 5-6 İlk Uçak Boyasının Viskozitesi Viskozite Kayan Aralık Parti No Merkez Çizgisi= 5-4. BİREYSEL ÖLÇÜMLER İÇİN SHEWHART KONTROL ŞEMASI Birçok durumda süreç takibi için örnek büyüklüğü n=1 olarak seçilir; bu durumda örnek bir bireysel birim içerir. Bu durumlara bazı örnekler şöyledir: 1. Otomasyon muayene ölçüm teknolojisi kullanılır imal edilen her birim analiz edilir, dolayısıyla burada rasyonel alt gruplar yoktur. 2. Üretim hızı çok yavaştır analizden önce (n>1 olmuyorsa) toplanacak kadar örnek büyüklüğüne sistem izin rmiyorsa uygun değildir. Gözlemler arasında çok uzun aralıklar varsa rasyonel alt gruplar için probleme neden olur. 3. Birçok kimyasal süreçte olduğu gibi; analiz ya lab. hataları yüzünden süreç üzerinde tekrarlanan ölçümler farklılık gösterir. 4. Çoklu ölçümler aynı ürün üzerinden alınır, yarı iletken levha üretiminde birkaç farklı noktadan oksit kalınlığı ölçümü alınması gibi. 5. Süreç tesislerinde, örneğin kağıt yapımında, eğer amaç rulo boyunca kaplama kalınlığının kontrolü ise, rulo üzerindeki kaplama kalınlığı gibi bazı parametrelerin ölçümünde çok küçük farklılıklar oldukça küçük bir standart sapma oluşur. X MR şemalar örnek büyüklüğü (n=1) için kullanışlıdır. Uçak ilk boyasının viskozitesi önemli bir kalite karakteristiğidir. Ürün partiler halinde üretilmektedir, her partinin üretilmesi birkaç saati almaktadır. Üretim hızı birden fazla büyüklükte rasyonel alt gruba izin rmek için çok yavaştır. Bireysel gözlemler için kontrol şemasının oluşturulmasında örnek ortalaması x= olan 20 viskozite değeri iki gözlem için kayan aralık ortalaması MR=0.573 olarak kullanılır. Kayan aralık şemasının oluşturulmasında n=2 için D 3 =0 D 4 =3.267 olarak kullanılır. Dolayısıyla; kayan aralık şemasının merkez çizgisi MR=0.5726, 0 D 4 MR= (3.267)0.5726=1.871 olur. Şekil 5-19(b) deki kontrol şeması (Minitab) görülmektedir. 4 örnek kontrol dışındadır. MR Şeması Örnek: eğer m=25, n=3, ise m-n+1=23 Bireysel kontrol şemaları için birçok uygulamada süreç değişkenliğinin kestirimi için iki başarılı gözlemin kayan aralığını kullanırız. Kayan aralık (MR) şöyle tanımlanır: Bireysel ölçümlerinin kontrol şemaları için parametreler: Merkez Çizgisi= Gözlemler MR Eğer kayan aralık olarak n=2 gözlem kullanılırsa, d 2 =1.128 olur. Tablo 5-6 daki riler için: Merkez Çizgisi= 4

5 5-4. Bireysel Ölçümler için Shewhart Kontrol Şeması Tablo 5-7 İlk Uçak Boyasının Viskozitesi, partiler Viskozite Kayan Aralık Parti No Şemaların Yorumlanması X şemaları şemalarına benzer şekilde yorumlanabilir. MR şemaları ya R şemaları gibi yorumlanamayabilir. MR şemaları biri diğeri ile ilişkili rilerden oluştuğu için, şemada yer alan örnekleri incelemek bir anlam ifade etmez. MR şemaları süreç değişkenliği hakkında gerçekten kullanışlı bilgiler sağlamayabilir. X şemalarının yorumlanması daha fazla vurgulanmalıdır. a 21. partinin kayan aralığı 21 ila 20. partiler arasında okunan viskozitedir; şu şekilde hesaplanmıştır, Bireysel kontrol şemalarının yorumlanması basit yorumlanmasına benzer. kontrol şemalarının Bireysel değer Ort.= Alt grup Kayan Aralık R= Şekil 5-19 Viskozite için kontrol şemaları (a) bireysel gözlemler (b) kayan aralık As Şekilden seen in this de figure görüldüğü an upward gibi, shift 28. in mean partide viscosity bireysel has occurred birimleri around takip eden batch kontrol 25, since dışı there sinyal s an için obvious şemada shift süreç in process düzey lel örüntüsündeki pattern on the chart aşikar for yer individuals değiştirmeden followed dolayı, by an out 25. of parti control civarında signal at batch ortalama number viskositede 28. yukarı doğru bir yer değişikliği oluşmuştur. Faz II Şemaların Operasyonu Yorumlanması Ortalama Koşum Uzunluğu (ARL) Bireysel değer Alt grup Ort.= Crowder (1987), showed 3-sigma that sınırlı ARL 0 of birleşik combined bireyseller individuals kayan and moving-range aralık şemasının chart ARL with 0 ı, conntional genellikle standart 3-sigma Shewhart limits is generally kontrol şemasının much less ARL than 0 dan ARL 0 (= (=370) of standard den çok Shewhart küçük olduğunu control chart göstermiştir. Aralığın Boyutu Kayan Aralık R= Şekil 5-20 Viskozite için gözden geçirilmiş kayan aralık bireysel gözlemler kontrol şemaları Bireysel şemaların yeteneği küçük aralıklarda çok zayıftır Rather 3-sigma than limitlerini narrowing daraltmak the 3-sigma limits, yerine, correct küçük approach yer to detecting small değiştirmeleri, shifts is a cumulati-sum yakalamak için, or exponentially doğru yaklaşım weighted olarak, movingarage control chart (Bölüm 8) birikimli-toplam ya üssel ağırlıklı kayan ortalamalar kontrol şeması kullanılmalıdır (Bölüm 8) 5

6 Ortalama Çalışma Uzunluğu (ARL) Eğer bireyseller için şemalarda 3σ sınırları kullanılıyor kayan aralık üst kontrol sınırı aşağıdaki gibi hesaplanıyorsa, genelde sonuçlar ARL de kontrol altında Shewhart a yakın saptanır. ÖRNEK 5-6 Tablo5-8 Örnek 5-6 için Direnç Verileri Örnek, i Direnç Şekil 5.13 ya Şekil 5.15 deki OC eğrileri inceleyerek bireysel kontrol One can şemalarının get a ry yetkinliği good hakkında idea about çok iyi görüş the ability sahibi of olunabilir. 3-sigma sınırlı bireysel kontrol şeması için aşağıdakiler individuals hesaplanabilir: control Yer değiş.büyüklüğü chart to detect βprocess ARL1 shifts by looking at OC curs 1σ in Fig or the ARL curs in 2 σ Fig For an individuals 3 σ control 0.5 chart with 2.003σ limits, we can compute the following:???? Normalite Borrer, Montgomery, Runger (1999) kontrol altındaki ARL nin normal dışı rilerden çok etkilendiğini bulmuşlardır. Birikimli Yüzde Birikimli Yüzde Yüzde Şekil 5-23 Direnç Direnç için Normal olasılık grafiği Ln İç (direnç) Şekil 5-24 İç Ln(dir (direnç) in için Normal normal enç) olasılık grafiği Viskozite Şekil 5-22 Örnek 5-5, Tablo 5-6 da ki ilk boya viskozite rilerine ait Normal olasılık grafiği Normalite (devam) Normal dışı riler için bir yaklaşım, mevcut dağılımın yüzdelik bölücü değerlerini temel alan bireysel kontrol şemaları için kontrol sınırlarının belirlenmesidir. En az 100, tercihen 200 gözlem gerektirir Eğer büyük bir örneklem söz konusu ise ya rilere bir olasılık dağılımı giydirilmişse, bu yüzdelik bölücü değerler bir histogramdan sağlanabilir. Bir diğer yaklaşım ise orijinal değişkeni yaklaşık olarak normal dağılmış yeni bir değişkene dönüştürerek, yeni değişkene kontrol şemasının uygulanmasıdır. Şekil5-25 İç Ln(direnç) için (Örnek 5-6) kayan aralık bireysel kontrol şemaları 6

7 ÖRNEK 5-11 Rasyonel Alt Grupların Seçiminde Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar Şekil 5-26a bir jet uçağı motorunda ki gaz türbininde kullanılan bir döküm parça görülmektedir. Tipik olarak uzay endüstrisinde gaz türbini motorları eksenel güç ünitelerinde bulunan bu parçanın üretiminde hem döküm hem de işleme süreçleri kullanılmaktadır. Bu parça için kanat yüksekliği kritik bir kalite özelliğidir. Şekil 5.28 Minitab tarafından oluşturulan üç kontrol şemasını göstermektedir. Görüldüğü gibi, bireysel şema kontrol durumunu sergilerken, x-bar şeması şekil 5.27 de kontrol dışı durumdadır. Gerçekte ortalama rüzgar kanat yükseklikleri ile ilgili kayan-aralık şeması parçalar arası yükseklikteki değişkenliğin çok makul kestirimini temin eder. S şeması, bir dökümdeki rüzgar kanadı yüksekliğinde oluşacak değişkenliğini ölçmek için düşünülebilir. Arzumuz, bu değişkenliğin olabildiğince küçük olması, böylece aynı döküm üzerindeki bütün rüzgar kanatlarının yüksekliklerinin hemen hemen aynı değerde olmasıdır. Kanat açıklığı Kanat yüksekliği Şekil 5-26 Bir uçak döküm parçası Her döküm parçada rasgele seçilen 5 kanat için kanat yükseklikleri rileri toplanmıştır. İlk olarak, firma süreci iyileştirmek kontrol etmek için bu rilerin x s kontrol şemalarını oluşturmuştur. Bu durumda x şeması için rilerin çoğu s şeması için ise bir kısmı için kontrol dışı durum oluşmuştur. Şekil 5-27 de tipik x s şemaları 20 ri için görülmektedir. A Kontrol more careful şeması analysis ile ilgili daha of the dikkatli control-charting analiz, temel procedure sorunun realed rasyonel that altgrup the chief olarak problem bir parça was the üzerinde use of yapılan the fi beş measurements ölçüm x-bar on a şemasında single part kontrol as a rational dışı koşulların subgroup, and the düzeltme out-of-control eylemi için conditions gerçekçi on bir the temel x chart oluşturmadığını did not provide göstermiştir. a valid basis for correcti action. Örnek Ortalaması Ort = Alt grup Örnek Std. Sapması Şekil 5-27 Şekil 5-26 daki uçak kesitinin kanat yüksekliği için x s kontrol şemaları (Minitab) Bildiğiniz gibi, x-bar şeması örnek arası değişkenliğinin örnek-içi değişkenliğinle tutarlı olup olmadığı konusuyla ilgilidir. Bu örnek olayda tutarlı değildir. Çünkü rüzgar kanatları cila kalıp montajı ile beraber şekil alır: bir spesifik dökümde rüzgar kanatlarının yüksekliklerin çok benzer şekilde oluşmaları muhtemeldir dökümler arasındaki ortalama rüzgar kanadı yüksekliklerinde büyük değişkenlik olacaktır. Bu durum, rüzgar kanadındaki değişkenliği ölçmek için genellikle kullanılan yolda s şeması kullanılarak çözülür. Bununla beraber, standart sapmanın çok küçük olmasından dolayı x-bar ın kontrolü için gerçekçi bir temel temin etmez, kuruluşun kalite mühendisi, her bir dökümdeki ortalama rüzgar yüksekliğini bireysel ölçümler olarak ele almaya ortalama rüzgar kanadı yüksekliğini kontrol etmek içinde bireysel ile kayan-aralık kontrol şemasını kullanmaya karar rdi Öğrenme Amaçları 1. Değişkenler için Shewart kontrol şemalarının istatistiksel temelini anlamak 2. Değişkenler için kontrol şemalarının nasıl tasarlanacağını bilmek 3. x R kontrol şemalarının nasıl kullanıldığı oluşturulduğunu bilmek 4. Kontrol şemalarından elde edilen bilgilerle süreç yeteneğinin nasıl tahmin edileceğini bilmek 5. x R kontrol şemaları üzerindeki örneklerin nasıl yorumlanacağını bilmek 6. x s ya s 2 kontrol şemalarının nasıl kullanıldığı oluşturulduğunu bilmek 7. Bireysel ölçümler için kontrol şemalarının nasıl kullanıldığı oluşturulduğunu bilmek 8. Bireysel kontrol şemalarının normalite varsayımının önemini anlamak bu varsayımın nasıl kontrol edilmesi gerektiğini bilmek 9. Değişken kontrol şemaları için rasyonel alt grup kavramını anlamak 10. Değişken kontrol şemaları için ortalama çalışma uzunluğunu belirlemek 7