ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ FUZZY METRİK UZAYLARDA ORTAK SABİT NOKTA TEOREMLERİ ÜZERİNE.

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ FUZZY METRİK UZAYLARDA ORTAK SABİT NOKTA TEOREMLERİ ÜZERİNE Müzeyyen SANGURLU MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2011 Her hakkı saklıdır

2 ÖZET Yüksek Lisans Tezi FUZZY METR IK UZAYLARDA ORTAK SAB IT NOKTA TEOREMLER I ÜZER INE Müzeyyen SANGURLU Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal Dan şman: Doç. Dr. Erdal GÜNER Bu tez dört bölümden oluşmaktad r. Ilk bölüm giriş k sm na ayr lm şt r. Ikinci bölümde, baz temel kavramlara yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, fuzzy metrik uzay n tan m, bu uzaylar için örnekler ve fuzzy metrik uzaylar n baz özellikleri verilmiştir. Son bölümde, baz fonksiyonlar n tan mlar verilmiş ve bu fonksiyonlar n aralar ndaki ilişkiler incelenmiştir. Sonra bu fonksiyonlar için ortak sabit nokta teoremleri verilmiş ve baz sonuçlar elde edilmiştir. Haziran 2011, 57 sayfa Anahtar Kelimeler : Fuzzy metrik uzay, sabit nokta, sabit nokta teoremi, ba¼gdaşabilirlik, yar ba¼gdaşabilirlik, R-zay f komutati ik i

3 ABSTRACT Master Thesis ON THEOREMS OF COMMON FIXED POINTS IN FUZZY METRIC SPACES Müzeyyen SANGURLU Ankara University Graduate School of Natural And Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Erdal GÜNER This thesis consists of four chapters. The rst chapter is devoted to the introduction. In the second chapter, some basic concepts have been recalled. In the third chapter, de nition of fuzzy metric spaces, examples for fuzzy metric spaces and some properties of fuzzy metric spaces have been given. In the nal chapter, de nitions of some functions have been given and relations between these functions have been considired. Then, theorems of common xed point for these functions have been given and some results have been introduced. June 2011, 57 pages Key Words: Fuzzy metric space, xed point, theorem of xed point, compatiblity, semi compatiblity, R-weakly comutativity ii

4 TEŞEKKÜR Bu çal şma konusunu bana veren, araşt rmalar m n her aşamas nda engin bilgilerini benden hiçbir zaman esirgemeyen ve matematiksel düşünme yetene¼gimi geliştirmeme yard mc olan dan şman hocam Say n Doç. Dr. Erdal GÜNER (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü) e yüksek lisans e¼gitimim süresince bana destek olan arkadaşlar m Emre TAŞ, Tu¼gba YURDAKAD IM, Nuray EVC IN e ve hayat m boyunca yan mda oldu¼gu gibi çal şmalar m süresince de fedakarl klar göstererek beni destekleyen aileme sonsuz teşekkür ederim. Müzeyyen SANGURLU Ankara, Haziran 2011 iii

5 IÇ INDEK ILER ÖZET... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR... iii S IMGELER D IZ IN I... v 1. G IR IŞ TEMEL KAVRAMLAR FUZZY METR IK UZAYLAR FUZZY METR IK UZAYLARDA BAZI FONKS IYONLAR IÇ IN SAB IT NOKTA TEOREMLER I Fuzzy Metrik Uzaylarda -Tipi Ba¼gdaşabilir Fonksiyonlar Için Sabit Nokta Teoremleri Fuzzy Metrik Uzaylarda -Tipi Ba¼gdaşabilir Fonksiyonlar Için Sabit Nokta Teoremleri Fuzzy Metrik Uzaylarda Yar Ba¼gdaşabilir Fonksiyonlar Için Sabit Nokta Teoremleri Fuzzy Metrik Uzaylarda R- Zay f Komutatif Fonksiyonlar Için Sabit Nokta Teoremleri KAYNAKLAR ÖZGEÇM IŞ iv

6 S IMGELER D IZ IN I I x d (X; d) M (X; M; ) B(x; r; t) B[x; r; t] ^ _ A ^ B A _ B A c A X dan I = [0; 1] ya tan mlanan fonksiyonlar n kümesi Üçgen norm Metrik Metrik Uzay Fuzzy metrik Fuzzy metrik uzay Fuzzy metrik uzaydaki aç k yuvar Fuzzy metrik uzaydaki kapal yuvar Fuzzy kümelerde kesişim Fuzzy kümelerde birleşim A ve B kümelerinin in mumu A ve B kümelerinin supremumu A kümesinin tümleyeni A fuzzy kümesinin üyelik fonksiyonu v

7 1. G IR IŞ Boştan farkl bir küme üzerinde metrik ve iki nokta aras ndaki uzakl k kavram n n nas l tan mlanaca¼g matemati¼gin temel problemlerinden biri olmuştur y l nda Frechet, boştan farkl bir küme üzerindeki metrik yap s üzerinde çal şm ş, kümenin farkl iki eleman aras ndaki uzakl ¼g n pozitif bir reel say olmas gerekti¼gini göstermiştir. Ancak bu süreçte küme tan m yetersiz kalm şt r. Örne¼gin küme tan m na göre k rm z renkteki cisimlerin kümesi oluşturulabilir fakat renk anlay ş kişiden kişiye de¼gişti¼ginden bu kümenin elemanlar tek türlü tan mlanamamaktad r. E¼ger k rm z renklerin tonlar na [0; 1] aral ¼g ndaki say lar karş l k getirilirse, bu küme herkesin kabul edece¼gi ve daha kullan şl halde tan mlanabilir. Zadeh (1965), fuzzy küme tan m n yaparak bilimin bir çok dal nda önemli uygulamalar n bulmuş ve kendisi bir Elektrik-Elektronik Mühendisi oldu¼gu halde böyle bir çal şma yapmakla fuzzy küme kavram n n teknoloji ile gerçekte ne kadar yak ndan ilgili oldu¼gunu göstermiştir. Matemati¼gin birçok dal nda da fuzzy kümeler kavram n kullanarak çok önemli baz sonuçlar elde etmiştir. Böylece fuzzy küme üzerinde de metrik yap s n oluşturmak, fuzzy matemati¼ginin temel problemlerinden biri olmuştur. Bu alandaki ilk çal şmay Kramosil ve Michalek (1975) sonra Erceg (1979) ve Deng (1982) yapm şt r. Fang (1992), Kaleva ve Seikkala (1984), Edelstein (1962) ve Istratescu (1961) n n daha önceden üzerinde çal şt ¼g sabit nokta teoremlerini fuzzy için ispatlam şlard r. Sessa (1982) zay f komutati ik kavram n, Junck (1986) ise ba¼gdaşabilirlik kavram n vermiştir. Daha sonra Junck (1993) metrik uzaylarda -tipi ba¼gdaşabilir dönüşümler konusunu ele alm ş, Cho (1997) ise bu konuyu fuzzy metrik uzaylara genişletmiştir. Pathak (1998) metrik uzaylarda -tipi ba¼gdaşabilirlik konusunu ele alm ş, Cho (1998) ise bu konuyu fuzzy metrik uzaylara taş m şt r. Cho, Sharma ve Sahu (1995) yar ba¼gdaşabilirlik konusu ile ilgili çal şmalar yapm şt r. Vasuki (1999) fuzzy metrik uzaylalarda R-zay f komutatif fonksiyonlar n ortak sabit nokta teoremlerini ele alm şt r. Kütükçü, Türko¼glu ve Y ld z (2006) ise fuzzy metrik uzaylar üzerinde -tipi ba¼gdaşabilir fonksiyonlar n ortak sabit nokta teoremlerini incelemişlerdir. 1

8 2. TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde daha sonraki bölümler için temel oluşturan kavramlar verilecektir. Tan m 2.1 : [0; 1] [0; 1]! [0; 1] bir ikili işlem olsun. E¼ger işlemi 8a; b; c; d 2 [0; 1] için (1) a b = b a (2) a (b c) = (a b) c (3) sürekli (4) a 1 = a (5) a c ve b d iken a b c d şartlar n sa¼gl yorsa a surekli t norm denir (Schweizer ve Sklar 1960). Örnek 2.1 8a; b 2 [0; 1] için ab =minfa; bg, ab =maksf0; a+b şeklinde tan mlanan işlemler sürekli t-normdur. 1g ve ab = a:b Tan m 2.2 X 6=?, I = [0; 1] olmak üzere X kümesinden I ya tan mlanan fonksiyonlar n kümesini I x ile gösterelim. I x in her bir eleman na X in bir fuzzy kümesi denir. X in bir fuzzy alt kümesi, A : X! I üyelik fonksiyonu ile karakterize edilen A = f(x; A (x)) : x 2 Xg X I kümesine denir. A (x), A fuzzy kümesinin üyelik derecesi olarak yorumlanabilir. Örnek 2.2 8x 2 X için X = f(x; 1); x 2 Xg,? = f(x; 0); x 2 Xg kümeleri birer fuzzy kümesidir. Ayr ca her küme fuzzy kümesi olup tersi do¼gru de¼gildir. Not 2.1 X de harhangi iki küme A ve B olsun. (1) A B () A (x) B (x) (2) A = B () A (x) = B (x) (3) A _ B = C () C (x) =maksf A (x); B (x)g (4) A ^ B = D =) D (x) =minf A (x); B (x) (5) A c () c A (x) = 1 A(x) 2

9 (6) A B = A ^ B c () A B (x) =minf A (x); B c(x)g Not 2.2 A \ A c =?; A [ A c = X olmak zorunda de¼gildir. Örnek 2.3 X = fa; b; cg; A = f(a; 0:3); (b; 0:6); (c; 0:5)g; B = f(a; 0:2); (b; 0:7); (c; 0:4)g olsun. A [ B = A _ B = maksf A (x); B (x)g = f(a; 0:3); (b; 0:7); (c; 0:5)g A \ B = A ^ B = minf A (x); B (x) = f(a; 0:2); (b; 0:6); (c; 0:4)g elde edilir. A c = fa; 0:7); (b; 0:4); (c; 0:5)g olup A \ A c = f(a; 0:3); (b; 0:4); (c; 0:5)g 6=? A [ A c = f(a; 0:7); (b; 0:6); (c; 0:5)g 6= X oldu¼gu görülür. Tan m 2.3 X boş olmayan bir küme ve f : X! X herhangi bir dönüşüm olsun. E¼ger f(x 0 ) = x 0 olacak şekilde bir x 0 2 X varsa, bu x 0 noktas na f nin bir sabit noktas d r denir. Yani f(x 0 ) = x 0 fonksiyon denkleminin çözümü, f nin bir sabit noktas d r. Baz dönüşümlerin sabit noktas olmad ¼g halde, baz lar n n birden fazla sabit noktas olabilir. Örnek 2.4 f : R! R; f(x) = x 2 fonksiyonunun 0 ve 1 olmak üzere iki sabit noktas vard r. Örnek 2.5 X 6=? olmak üzere I : X! X birim fonksiyonu için tüm noktalar birer sabit noktad r. Örnek 2.6 f : R! R; f(x) = 0 fonksiyonun sabit noktas sadece 0 d r. 3

10 Teorem 2.1 f : X! X sürekli bir fonksiyon ve X kümesinde sabit nokta özelli¼gi sa¼glans n. E¼ger h : X! Y bir homeomor zm ise Y kümesinde de sabit nokta özelli¼gi sa¼glan r. Ispat: f : X! X sürekli fonksiyon olsun. X sabit nokta özelli¼gini sa¼glad ¼g ndan f(x 0 ) = x 0 şart n sa¼glayan en az bir x 0 2 X say s vard r. h : X! Y bir homeomor zm oldu¼gundan g = h f h 1 fonksiyonu süreklidir. h(x 0 ) = y 0 2 Y eşitli¼ginden x 0 = h 1 (y 0 ) ifadesi yaz labilir. g(y 0 ) = (h f h 1 ) (y0 ) = (h(f(h 1 (y 0 ))) = h(f(x 0 )) = h(x 0 ) = y 0 elde edilir. Bu durumda g(y 0 ) = y 0 oldu¼gundan Y kümesinde de sabit nokta özelli¼ginin sa¼gland ¼g görülür. 4

11 3. FUZZY METR IK UZAYLARIN BAZI ÖZELL IKLER I Bu bölümde fuzzy metrik uzaylar tan mlanarak bu uzaylar n baz özellikleri verilecektir. Tan m 3.1 X boş olmayan herhangi bir küme, işlemi sürekli bir t-norm ve M de X 2 (0; 1) üzerinde bir fuzzy küme olsun. E¼ger M, 8 x; y; z 2 X ve t; s > 0 için (F-1) M(x; y; t) > 0; (F-2) M(x; y; t) = 1, x = y; (F-3) M(x; y; t) = M(y; x; t); (F-4) M(x; y; t) M(y; z; s) M(x; z; t + s); (F-5) M(x; y; ) : (0; 1)! [0; 1] sürekli koşullar n sa¼gl yorsa M ye X üzerinde bir fuzzy metrik ve (X; M; ) üçlüsüne de fuzzy metrik uzay denir. Burada M(x; y; t) nin anlam, t ye göre x ve y aras ndaki yak nl ¼g n derecesi olarak yorumlanabilir (George ve Veeramani 1994). Örnek 3.1 X = R olsun ve a b = a:b olsun. 8 x; y; z 2 X ve t 2 (0; 1) için, M(x; y; t) = exp( jx yj t (X; M; ) bir fuzzy metrik uzayd r (George ve Veeramani 1994). Gerçekten (F-1) jx yj 0 =) jx yj t 0 ) şeklinde tan mlanan =) jx yj t 0 =) exp( jx t yj ) > 0 (F-2) M(x; y; t) = 1 () exp( jx t yj ) = 1 () jx yj t = 0 () jx yj = 0 () x = y 5

12 jx yj jy (F-3) M(x; y; t) = exp( g = exp( t (F-4) jx zj jx yj + jy zj oldu¼gundan t xj g = M(y; x; t) jx zj ( t + s )jx yj + ( t + s )jy zj t s jx zj jx yj jy zj + t + s t s e jx e jx zj t+s e yj t+s e jx yj jy zj t :e s jx yj t :e jy zj s M(x; z; t + s) M(x; y; t) M(y; z; s) elde edilir. (F-5) t 0 > 0 olsun. lim t!t 0 M(x; y; t) = lim t!t0 e jx yj t = e jx yj t 0 = M(x; y; t 0 ) bulunur. Teorem 3.1 (X; d) bir metrik uzay ve a b = a:b olsun. 8k; m; n 2 R + için M d (x; y; t) = kt n kt n + md(x; y) olarak tan mlanan fonksiyon bir fuzzy metriktir (George ve Veeramani 1994). Sonuç 3.1 Teorem 3.1 de k = m = n = 1 al n rsa M d (x; y; t) = t t + d(x; y) elde edilir. M d ye d taraf ndan indirgenen standart fuzzy metrik denir. 6

13 Ispat: (F-1) M d (x; y; t) > 0 (F-2) M d (x; y; t) = 1 () t t + d(x; y) = 1 () d(x; y) = 0 () x = y t (F-3) M d (x; y; t) = t + d(x; y) = t t + d(y; x) = M d(y; x; t) (F-4) d(x; z) d(x; y) + d(y; z) oldu¼gundan d(x; z) t + s t d(x; y) + t + s d(y; z) s d(x; z) t + s d(x; y) t + d(y; z) s d(x; z) t + s sd(x; y) + td(y; z) st t + s + d(x; z) t + s st + sd(x; y) + td(y; z) st t + s + d(x; z) t + s st + sd(x; y) + td(y; z) + d(x; y)d(y; z) st t + s + d(x; z) t + s [t + d(x; y)][s + d(y; z)] st t + s t + s + d(x; z) t t + d(x; y) s s + d(y; z) M(x; y; t + s) M(x; y; t) M(y; z; s) elde edilir. 7

14 (F-5) t 0 0 olsun. t limm d (x; y; t) = lim t!t 0 t!t0 t + d(x; y) = t 0 t 0 + d(x; y) = M(x; y; t 0) elde edilir. Teorem x; y 2 X için M(x; y; ) azalmayan bir fonksiyondur (Grabiec 1988). Ispat: 0 < t < s olsun. Kabul edelim ki M(x; y; t) > M(x; y; s) olsun. O halde M(x; y; t) M(y; y; s t) M(x; y; s) < M(x; y; t) yaz labilir. Di¼ger taraftan oldu¼gundan M(y; y; s t) = 1 M(x; y; t) < M(x; y; t) bulunur ve böylece bir çelişki elde edilir. Yani M(x; y; t) M(x; y; s) eşitsizli¼ginin sa¼glanmas gerekir. Bu durumda M(x; y; ) azalmayan bir fonksiyondur. Not 3.1 (i) (X; M; ) bir fuzzy metrik uzay olsun. 8x; y 2 X, t > 0 ve 0 < r < 1 için M(x; y; kt) > 1 r koşulu sa¼glan yorsa 0 < t 0 < t ve M(x; y; t 0 ) > 1 r olacak şekilde bir t 0 say s vard r. (ii) r 1 ; r 2 ; r 3 ; r 4 ; r 5 2 (0; 1) olmak üzere r 1 > r 2 için r 1 r 3 > r 2 kosulunu sa¼glayan bir r 3 ve herhangi bir r 4 için r 5 r 5 r 4 olacak biçimde bir r 5 bulunabilir (George ve Veeramani 1994). 8

15 Tan m 3.2 (X; M; ) bir fuzzy metrik uzay olsun. x 2 X; 0 < r < 1 ve t > 0 olmak üzere B(x; r; t) = fy 2 X : M(x; y; t) > 1 rg kümesine (X; M; ) fuzzy metrik uzay nda x merkezli r yar çapl aç k yuvar, B[x; r; t] = fy 2 X : M(x; y; t) 1 rg kümesine de (X; M; ) fuzzy metrik uzay nda x merkezli r yar çapl kapal yuvar denir. Tan m 3.3 (X; M; ) bir fuzzy metrik uzay ve A X olsun. E¼ger 8 x 2 A için B(x; r; t) A olacak biçimde t > 0 ve 0 < r < 1 varsa A ya (X; M; ) fuzzy metrik uzay nda bir aç k küme denir. Teorem 3.3 Fuzzy metrik uzaylarda her aç k yuvar aç k bir kümedir. Ispat : 8x 2 X; 0 < r < 1 ve t > 0 olmak üzere herhangi bir B(x; r; t) aç k yuvar göz önüne alal m. E¼ger y 2 B(x; r; t) ise M(x; y; t) > 1 r olaca¼g ndan 0 < t 0 < t ve M(x; y; t 0 ) > 1 r olacak biçimde bir t 0 say s vard r. r 0 = M(x; y; t 0 ) olsun. r 0 > 1 r oldu¼gundan r 0 > 1 s > 1 r olacak biçimde bir 0 < s < 1 bulunabilir. Not 2.1(ii) den r 0 r 1 > 1 s olacak şekilde bir r 1 2 (0; 1) vard r. B(y; 1 r 1 ; t t 0 ) aç k yuvar n alal m. Bu durumda B(y; 1 r 1 ; t t 0 ) B(x; r; t) dir. Gerçekten herhangi bir z 2 B(y; 1 r 1 ; t t 0 ) için M(y; z; t t 0 ) > 1 (1 r 1 ) = r 1 bulunur. Fuzzy metrik uzay n (F-4) şart ndan M(x; z; t) M(x; y; t 0 ) M(y; z; t t 0 ) 9

16 yaz labilir ve dolay s yla M(x; z; t) r 0 r 1 1 s > 1 r elde edilir. Buradan z 2 B(x; r; t) bulunur. Bu da B(x; r; t) aç k yuvar n n aç k küme oldu¼gunu gösterir. Teorem 3.4 Fuzzy metrik uzaylarda her kapal yuvar kapal bir kümedir. Ispat: B[x; r; t] = B[x; r; t] oldu¼gunu gösterelim. (i) B[x; r; t] B[x:r; t] dir. Yani bir kümenin tüm de¼gme noktalar n n kümesine o kümenin kapan ş denir ve bir küme daima de¼gme noktalar n n kümesinin alt kümesi oldu¼gundan B[x; r; t] B[x:r; t] daima sa¼glan r. (ii) B[x; r; t] B[x; r; t] oldu¼gu gösterilmelidir. y 2 B[x; r; t] olsun. X 1:say{labilir oldu¼gundan y n! y olacak şekilde fy n g B[x; r; t] dizisi vard r. fy n g B[x; r; t] =) 8n 2 N için M(x; y n ; t) 1 dir. Ayr ca y n! y oldu¼gundan her 2 (0; 1) için M(y; y n ; t)! 1 dir. Buna göre r M(x; y; t + ) M(x; y n ; t) M(y n ; y; ) eşitsizli¼ginde limit al n rsa M(x; y; t + ) lim n!1 M(x; y n ; t) lim n!1 M(y n ; y; ) (1 r) 1 = 1 r elde edilir. n 2 N için = 1 n al n rsa M(x; y; t + 1 n ) 1 r 10

17 eşitsizli¼gi elde edilir. Bu eşitsizlikte limit al n rsa lim M(x; y; t + 1 ) 1 r =) M(x; y; t) 1 r =) y 2 B[x:r; t] n!1 n elde edilir. Böylece B[x; r; t] B[x; r; t] oldu¼gu gösterilmiş olur. Teorem 3.5 Her fuzzy metrik uzay bir Hausdor uzay d r. Ispat: (X; M; ) bir fuzzy metrik uzay ve x; y 2 X; x 6= y olsun. x 6= y =) 0 < M(x; y; t) < 1 dir. r = M(x; y; t) denilirse her bir r 0 2 (r; 1) için r 1 r 1 r 0 olacak şekilde r 1 2 (0; 1) bulunur. Şimdi B(x; 1 r 1 ; t ) ve B(y; 1 2 r 1; t ) 2 aç k yuvarlar n alal m. Kabul edelim ki, B(x; 1 r 1 ; t 2 ) \ B(y; 1 r 1; t 2 ) 6=? olsun. O halde 9z 2 B(x; 1 r 1 ; t 2 ) \ B(y; 1 r 1; t 2 ) =) M(x; z; t 2 ) > 1 (1 r 1) = r 1 ve M(y; z; t 2 ) > 1 (1 r 1) = r 1 yaz labilir. Buradan r = M(x; y; t) M(x; z; t 2 ) M(y; z; t 2 ) > r 1 r 1 r 0 > r bulunur. Yani r > r elde edilir ki bu da bir çelişkidir. O halde B(x; 1 r 1 ; t 2 ) \ B(y; 1 r 1; t 2 ) =? olup (X; M; ) bir Hausdor uzay d r. 11

18 Teorem 3.6 (X; d) bir metrik uzay ve X üzerinde tan ml bir fuzzy metrik t M(x; y; t) = t + d(x; y) olsun. Bu durumda d taraf ndan elde edilen ( d) topolojisi ile M taraf ndan elde edilen ( M ) topolojisi ayn d r. Ispat: d = M oldu¼gunu gösterelim: (i) d M oldu¼gunu görmek için 8x 2 X, 8r > 0 için 9r 0 2 (0; 1) 3 B M (x; r 0 ; t) B d (x; r) oldu¼gunu gösterelim: r 0 = r t + r olsun. y 2 B M (x; r 0 ; t) =) M(x; y; t) > 1 r 0 =) M(x; y; t) > 1 r t + r =) M(x; y; t) > t t + r =) t t + d(x; y) > t t + r =) t + d(x; y) < t + r =) d(x; y) < r =) y 2 B d (x; r) elde edilir. O halde B M (x; r 0 ; t) B d (x; r) dir. (ii) M d oldu¼gunu göstermek için 8x 2 X, 8r 0 2 (0; 1) için 9r > 0 3 B d (x; r) B M (x; r 0 ; t) oldu¼gunu gösterelim: r = y 2 B d (x; r) tr0 1 r 0 olsun =) d(x; y) < tr0 1 r 0 =) d(x; y) < r0 t 1 r 0 =) d(x; y) 1 + < 1 + r0 t 1 r 0 =) t + d(x; y) < 10 t 1 r 0 =) t t + d(x; y) > 1 r0 =) M(x; y; t) = 1 r 0 =) y 2 B M (x; r 0 ; t) 12

19 elde edilir. O halde B d (x; r) B M (x; r 0 ; t) dir. Tan m 3.4 (X; M; ) bir fuzzy metrik uzay ve X de bir fx n g dizisi olsun. E¼ger 8t > 0 için lim n!1 M(x n ; x; t) = 1 ise fx n g dizisi bir x 2 X noktas na yak nsar denir (Grabiec 1988). Teorem 3.7 (X; M; ) bir fuzzy metrik uzay ve M fuzzy metrik taraf ndan indirgenen bir topoloji olsun. O zaman X deki bir fx n g dizisinin bir x 2 X e yak nsamas için gerekli ve yeterli kosul n! 1 iken M(x n ; x; t)! 1 olmas d r. Ispat: ( =) :) Sabit bir t > 0 ve x n! x olsun. O zaman her bir 0 < r < 1 için 9n 0 2 N vard r 3 8n n 0 için x n 2 B(x; r; t) dir. Buradan M(x n; x; t) > 1 r ve 1 M(x n ; x; t) < r olur. Böylece n! 1 için M(x n ; x; t)! 1 bulunur. ( (= :) Her bir t > 0 için n! 1 iken M(x n ; x; t)! 1 olsun. O zaman verilen her 0 < r < 1 için 9n 0 2 N vard r 3 8n n 0 için 1 M(x n ; x; t) < r dir ve buradan M(x n ; x; t) > 1 r olur. Bu da x 2 B(x n ; r; t) oldu¼gunu gösterir. O halde x n! x dir. Tan m 3.5 fx n g, (X; M; ) fuzzy metrik uzay nda bir dizi olsun. E¼ger her 0 < < 1, t > 0 için 9n 0 2 N 3 8n; m n 0 için M(x n ; x m ; t) > 1 oluyorsa fx n g dizisine fuzzy metrik uzayda bir Cauchy dizisi denir. E¼ger bir fuzzy metrik uzay ndaki her Cauchy dizisi uzaydaki bir noktaya yak nsar ise bu fuzzy metrik uzaya tam fuzzy metrik uzay denir (Grabiec 1988). Fuzzy metrik uzayda bir Cauchy dizisi aşa¼g daki şekilde de tan mlanabilir: Tan m 3.6 (X; M; ) bir fuzzy metrik uzay ve X de bir fx n g dizisi olsun. E¼ger 8t > 0 ve her bir p > 0 için lim n!1 M(x n+p ; x n ; t) = 1 ise fx n g bir Cauchy dizisidir denir (Grabiec 1988). 13

20 Teorem 3.8 Standart (X; M d ; ) fuzzy metrik uzay n n tam olmas için gerekli ve yeterli kosul (X; d) metrik uzay n n tam olmas d r. Ispat: ( =) :) (X; M d ; ) standart fuzzy metrik uzay tam ve fx n g X de bir Cauchy dizisi olsun. O zaman 8 > 0 için 9n 0 2 N 3 8n; m n 0 için d(x n ; x m ) < dur. Standart fuzzy metrik tan m ndan 8n; m n 0 ve 8t > 0 için M d (x n ; x m ; t) = t t + d(x n ; x m ) > oldu¼gundan 0 < r < 1 koşulunu sa¼glayan her r için = t t + rt 1 r al n rsa M d (x n ; x m ; t) > 1 r elde edilir. Yani fx n g dizisi (X; M d ; ) standart fuzzy metrik uzay nda Cauchy dizisi olur. (X; M d ; ) fuzzy metrik uzay tam oldu¼gundan fx n g Cauchy dizisi X de bir x noktas na yak nsar. O halde yaz labilir. Buradan M d (x n ; x; t) = t t + d(x n ; x) = 1 lim M t d(x n ; x; t) = lim n!1 n!1 t + d(x n ; x) = 1 () lim d(x n; x) = 0 n!1 bulunur. Bu ise (X; d) metrik uzay nda n! 1 iken x n! x oldu¼gunu gösterir. O halde (X; d) metrik uzay tamd r. ( (= :) (X; d) metrik uzay tam olsun. (X; M d ; ) standart fuzzy metrik uzay nda bir fx n g X Cauchy dizisi al ns n. O zaman 8 0 < r < 1; t > 0 için 9n 0 2 N vard r 3 8n; m n 0 için M d (x n ; x m ; t) > 1 r dir. 14

21 Standart metrik tan m ndan M d (x n ; x m ; t) = t t + d(x n ; x m ) > 1 =) d(x n ; x m ) < rt 1 r r yaz labilir. = rt 1 r al n rsa, 8 > 0 ve 8n; m n 0 için d(x n ; x m ) < bulunur. Yani fx n g dizisi (X; d) metrik uzay nda Cauchy dizisidir. X tam oldu¼gundan fx n g dizisi X de bir x noktas na yak nsar ve lim n!1 d(x n ; x) = 0 elde edilir. Buradan lim M t d(x n ; x; t) = lim n!1 n!1 t + d(x n ; x) = t t = 1 elde edilir. Yani fx n g dizisi (X; M d ; ) uzay nda x noktas na yak nsar ve dolay s yla (X; M d ; ) standart fuzzy metrik uzay tamd r. Not 3.2 (X; M; ) bir fuzzy metrik uzay olmak üzere 8 x; y 2 X için (F-6) lim n!1 M(x; y; t) = 1 oluyorsa (X; M; ) fuzzy metrik uzay na (F-6) şart n sa¼gl yor denir. Lemma 3.1 (X; M; ); bir fuzzy metrik uzay öyle ki 8 x; y 2 X için t! 1 iken M(x; y; t)! 1 olsun. 8 x; y 2 X ve 8t > 0 için M(x; y; kt) M(x; y; t) ise x = y dir (Mishra 1994). Ispat: E¼ger 8t > 0 ve baz k 2 (0; 1) sabiti için M(x; y; kt) M(x; y; t) ise 8 x; y 2 X ve 8s > 0 için M(x; y; s) M(x; y; s k ) M(x; y; s s ) ::: M(x; y; k2 k ) n yaz labilir. n! 1 için limit al n rsa M(x; y; s) = 1 bulunur. Bu ise x = y demektir. 15

22 Lemma 3.2 (X; M; ); (F-6) şart n sa¼glayan bir fuzzy metrik uzay ve fx n g; X de bir dizi olsun. 8 t > 0 ve n = 1; 2; ::: için M(x n+2 ; x n+1 ; kt) M(x n+1 ; x n ; t) olacak şekilde k 2 (0; 1) sabiti varsa fx n g; X de bir Cauchy dizisidir (Mishra 1994 ve Cho 1997). 16

23 4. FUZZY METR IK UZAYLARDA BAZI FONKS IYONLAR IÇ IN SAB IT NOKTA TEOREMLER I Bu bölümde fuzzy metrik uzaylarda ()-tipi ba¼gdaşabilir, ()-tipi ba¼gdaşabilir, yar ba¼gdaşabilir ve R-zay f komutatif fonksiyonlar tan mlanarak bu fonksiyonlar n sabit nokta teoremleri ele al nacakt r. 4.1 Fuzzy Metrik Uzaylarda () Tipi Ba¼gdaşabilir Fonksiyonlar Için Sabit Nokta Teoremleri Bu k s mda ()-tipi ba¼gdaşabilir fonksiyonun tan m yap larak bu fonksiyonlarla ilgili baz karakterizasyonlar verilecektir. Tan m (X; M; ) tam bir fuzzy metrik uzay ve A; B : X! X iki fonksiyon olsun. Herhangi bir z 2 X için lim Ax n = lim Bx n = z olacak şekilde X de bir n!1 n!1 fx n g dizisi var ve t > 0 için lim M(ABx n; BAx n ; t) = 1 n!1 oluyorsa A ve B ba¼gdaşabilirdir denir (Mishra 1994). Tan m (X; M; ) tam bir fuzzy metrik uzay ve A; B : X! X iki fonksiyon olsun. Herhangi bir z 2 X için lim Ax n = lim Bx n = z olacak şekilde X de bir n!1 n!1 fx n g dizisi var ve t > 0 için lim M(ABx n; BBx n ; t) = 1 ve lim M(BAx n ; AAx n ; t) = 1 n!1 n!1 oluyorsa A ve B; () tipi ba¼gdaşabilirdir denir (Cho 1997). 17

24 Önerme (X; M; ); 8t 2 [0; 1] için t t t ile verilen tam bir fuzzy metrik uzay ve A; B : X! X sürekli iki fonksiyon olsun. A ve B ba¼gdaşabilir () A ve B; () tipi ba¼gdaşabilir (Cho 1997). Önerme (X; M; ); 8t 2 [0; 1] için t t t ile verilen tam bir fuzzy metrik uzay ve A; B : X! X iki fonksiyon olsun. A ve B () tipi ba¼gdaşabilir ve herhangi bir z 2 X için Az = Bz =) ABz = BBz = AAz dir (Cho 1997). Önerme (X; M; ); 8t 2 [0; 1] için t t t ile verilen tam bir fuzzy metrik uzay ve A; B : X! X iki fonksiyon olsun. A ve B ba¼gdaşabilir ve herhangi bir z 2 X için lim Ax n = lim Bx n = z olacak şekilde X de bir fx n g dizisi varsa n!1 n!1 (1) E¼ger A z de sürekli ise lim BAx n = Az n!1 (2) E¼ger A ve B z de sürekli ise ABz = BAz ve Az = Bz koşullar sa¼glan r (Cho 1997). Teorem (X; M; ); (F-6) şartn sa¼glayan ve 8 t 2 [0; 1] için t t t ile verilen tam bir fuzzy metrik uzay olsun. A; B; S; T; P; Q : X! X fonksiyonlar olmak üzere (1) P (X) AB(X); Q(X) ST (X); (2) AB = BA; ST = T S; P B = BP; QS = SQ; QT = T Q; (3) A; B; S ve T sürekli, (4) (P; AB) ve (Q; ST ) ikilileri ()-tipi ba¼gdaşabilir, (5) 8x; y 2 X; 2 (0; 2) ve t > 0 için M(P x; Qy; kt) M(ABx; P x; t) M(ST y; Qy; t) M(ST y; P x; t) M(ABx; Qy; (2 )t) M(ABx; ST y; t) olacak şekilde k 2 (0; 1) varsa bu durumda A; B; S; T; P, Q nun X de ortak tek bir sabit noktas vard r (Sharma 2002). 18

25 Ispat: Teorem 4.1.1(1) den P (X) AB(X) oldu¼gundan P x 0 = ABx 1 olacak şekilde x 1 2 X ve Q(X) ST (X) oldu¼gundan Qx 1 = ST x 2 olacak şekilde x 2 2 X vard r. Bu şekilde devam ederek bir fy n g dizisi y 2n = P x 2n = ABx 2n+1; n = 0; 1; 2; ::: y 2n+1 = Qx 2n+1 = ST x 2n+2; n = 0; 1; 2; ::: şeklinde oluşturulabilir. Teorem 4.1.1(5) den 8 t > 0 ve = 1 q; q 2 (0; 1) için M(y 2n+1 ; y 2n+2 ; kt) = M(P x 2n+1 ; Qx 2n+2 ; kt) M(ABx 2n+1 ; P x 2n+1 ; t) M(ST x 2n+2 ; Qx 2n+2 ; t) M(ST x 2n+2 ; P x 2n+1 ; t) M(ABx 2n+1 ; Qx 2n+2 ; (2 )t) M(ABx 2n+1 ; ST x 2n+2 ; t) = M(y 2n ; y 2n+1 ; t) M(y 2n+1 ; y 2n+2 ; t) M(y 2n+1 ; y 2n+1 ; (1 q)t) M(y 2n ; y 2n+2 ; (1 + q)t) M(y 2n ; y 2n+1 ; t) M(y 2n ; y 2n+1 ; t) M(y 2n+1 ; y 2n+2 ; t) 1 M(y 2n ; y 2n+1 ; t) M(y 2n+1 ; y 2n+2 ; qt) M(y 2n ; y 2n+1 ; t) M(y 2n ; y 2n+1 ; t) M(y 2n+1 ; y 2n+2 ; t) M(y 2n ; y 2n+1 ; qt) oldu¼gundan M(y 2n+1 ; y 2n+2 ; kt) M(y 2n ; y 2n+1 ; t) M(y 2n+1 ; y 2n+2 ; t) M(y 2n ; y 2n+1 ; qt) (4.1.1) elde edilir. 19

26 sürekli t norm ve M(x; y; ) sürekli oldu¼gundan (4.1.1) de q! 1 için limit al n rsa M(y 2n+1 ; y 2n+2 ; kt) M(y 2n ; y 2n+1 ; t) M(y 2n+1 ; y 2n+2 ; t) (4.1.2) elde edilir. Benzer şekilde M(y 2n+2 ; y 2n+3 ; kt) M(y 2n+1 ; y 2n+2 ; t) M(y 2n+2 ; y 2n+3 ; t) (4.1.3) bulunur. (4.1.2) ve (4.1.3) den M(y n+1 ; y n+2 ; kt) M(y n ; y n+1 ; t) M(y n+1 ; y n+2 ; t); n = 1; 2; 3; ::: eşitsizli¼gi elde edilir. Pozitif n ve p say lar için M(y n+1 ; y n+2 ; kt) M(y n ; y n+1 ; t) M(y n+1 ; y n+2 ; yaz labilir. O halde p! 1 için M(y n+1 ; y n+2 ; t k p ) t k p )! 1 olaca¼g ndan M(y n+1 ; y n+2 ; kt) M(y n ; y n+1 ; t) bulunur. Lemma 3.2 den fy n g bir Cauchy dizisidir. X uzay tam oldu¼gundan fy n g bir z 2 X noktas na yak nsar. O halde n! 1 iken P x 2n ; Qx 2n+1 ; ST x 2n+1! z elde edilir. A ve B sürekli fonksiyonlar ve (P; AB) ikilisi ()-tipi ba¼gdaşabilir oldu¼gundan Önerme 4.1.3(1) den n! 1 iken P (AB)x 2n+1! ABz ve (AB) 2 x 2n+1! ABz elde edilir. 20

27 Benzer şekilde S ve T sürekli fonksiyonlar ve (Q; ST ) ikilisi ()-tipi ba¼gdaşabilir oldu¼gundan Önerme 4.1.3(1) den n! 1 iken O(ST )x 2n+2! ST ve(st ) 2 x 2n+2! ST z elde edilir. Teorem 4.1.1(5) de x = (AB)x 2n+1, y = x 2n+2 ve = 1 al n rsa M(P (AB)x 2n+1 ; Qx 2n+2 ; kt) M((AB) 2 x 2n+1 ; P (AB)x 2n+1 ; t) M(ST x 2n+2 ; Qx 2n+2 ; t) M(ST x 2n+2 ; P (AB)x 2n+1 ; t) M((AB) 2 x 2n+1 ; Qx 2n+2 ; t) M((AB) 2 x 2n+1 ; ST x 2n+2 ; t) eşitsizli¼gi elde edilir. n! 1 için limit al n rsa M(ABz; z; kt) 1 1 M(z; ABz; t) M(ABz; z; t) M(ABz; z; t) M(ABz; z; t) bulunur. Lemma 3.1 den ABz = z oldu¼gu görülür. Teorem (5) de x = P x 2n, y = x 2n+1 ve = 1 al n rsa M(P (P x 2n ); Qx 2n+1 ; kt) M(AB(P x 2n ); P (P x 2n ); t) M(ST x 2n+1 ; Qx 2n+1 ; t) M(ST x 2n+1 ; P (P x 2n ); t) M(AB(P (P x 2n ); Qx 2n+1 ; t) M(AB(P x 2n ); ST x 2n+1 ; t) eşitsizli¼gi elde edilir. n! 1 için limit al n rsa M(P z; z; kt) M(z; P z; t) M(z; z; t) M(z; P z; t) M(z; z; t) M(z; z; t) = M(z; P z; t) 1 M(z; P z; t) 1 1 M(P z; z; t) 21

28 eşitsizli¼gi elde edilir. Lemma 3.1 den P z = z dir. O halde ABz = z = P z elde edilir. Şimdi Bz = z oldu¼gunu gösterelim. Teorem 4.1.1(5) de x = Bz, y = x 2n+1 ve = 1 al n rsa ve Teorem 4.1.1(2) den M(P (Bz); Qx 2n+1 ; kt) M(AB(Bz); P (Bz); t) M(ST x 2n+1 ; Qx 2n+1 ; t) M(ST x 2n+1 ; P (Bz); t) M(AB(Bz); Qx 2n+1 ; t) M(AB(Bz); ST x 2n+1 ; t) elde edilir. n! 1 için limit al n rsa M(Bz; z; kt) M(Bz; Bz; t) M(z; z; t) M(z; Bz; t) M(Bz; z; t) M(Bz; z; t) = 1 1 M(z; Bz; t) M(Bz; z; t) M(Bz; z; t) M(Bz; z; t) bulunur. O halde Lemma 3.1 den Bz = z yaz labilir. ABz = z oldu¼gundan Az = z elde edilir. Teorem 4.1.1(5) de x = z, y = ST x 2n+2 ve = 1 al n rsa M(P z; Q(ST )x 2n+2 ; kt) M(ABz; P z; t) M((ST ) 2 x 2n+2 ; Q(ST )x 2n+2 ; t) M((ST ) 2 x 2n+2 ; P z; t) M(ABz; Q(ST )x 2n+2 ; t) M(ABz; (ST ) 2 x 2n+2 ; t) eşitsizli¼gi elde edilir. n! 1 için limit al n rsa M(z; ST z; kt) M(z; z; t) M(ST z; ST z; t) M(ST z; z; t) M(z; ST z; t) M(z; ST z; t) = 1 1 M(ST z; z; t) M(z; ST z; t) M(z; ST z; t) M(z; ST z; t) elde edilir ve Lemma 3.1 den ST z = z oldu¼gu görülür. 22

29 Teorem 4.1.1(5) de x = z, y = Qx 2n+1 ve = 1 a l n rsa ve Teorem (2) den M(P z; Q(Qx 2n+1 ); kt) M(ABz; P z; t) M(ST (Qx 2n+1 ); Q(Qx 2n+1 ); t) M(ST (Qx 2n+1 ); P z; t) M(ABz; Q(Qx 2n+1 ); t) M(ABz; ST (Qx 2n+1 ); t) elde edilir. n! 1 için limit al n rsa M(z; Qz; kt) M(z; z; t) M(z; Qz; t) M(z; z; t) M(z; Qz; t) M(z; z; t) = 1 M(z; Qz; t) 1 M(z; Qz; t) 1 M(z; Qz; t) bulunur. Lemma 3.1 den Qz = z elde edilir ve dolay s yla ST z = z = Qz oldu¼gu görülür. Teorem 4.1.1(5) de x = z, y = T z ve = 1 al n rsa ve Teorem 4.1.1(2) den M(P z; Q(T z); kt) M(ABz; P z; t) M(ST (T z); Q(T z); t) M(ST (T z); P z; t) M(ABz; Q(T z); t) M(ABz; ST (T z); t) = M(z; z; t) M(T z; T z; t) M(T z; z; t) M(z; T z; t) M(z; T z; t) = 1 1 M(T z; z; t) M(z; T z; t) M(z; T z; t) M(T z; z; t) bulunur. Lemma 3.1 den T z = z elde edilir. ST z = z oldu¼gundan Sz = z dir. Bütün bu sonuçlar birleştirilirse Az = Bz = Sz = T z = P z = Qz = z oldu¼gu ve dolay s yla z noktas n n A; B; S; T; P; Q nun ortak sabit noktas oldu¼gu görülür. 23

30 Kabul edelim ki A; B; S; T; P; Q nun baska bir ortak sabit noktas w (w 6= z) olsun. Teorem 4.1.1(5) de = 1 al n rsa M(P z; Qw; kt) M(ABz; P z; t) M(ST w; Qw; t) M(ST w; P z; ) M(ABz; Qw; t) M(ABz; ST w; t) elde edilir. Dolay s yla M(z; w; kt) M(z; z; t) M(w; w; t) M(w; z; t) M(z; w; t) M(z; w; t) = 1 1 M(w; z; t) M(z; w; t) M(z; w; t) = M(z; w; t) bulunur ve Lemma 3.1 den z = w oldu¼gu görülür. Bu da teoremin ispat n tamamlar. Teorem de B = T = I x al n rsa aşa¼g daki sonuç elde edilir: Sonuç (X; M; ); (F-6) şartn sa¼glayan ve 8t 2 [0; 1] için t t t ile verilen tam bir fuzzy metrik uzay olsun. A; S; P; Q : X! X fonksiyonlar olmak üzere (1) P (X) A(X); Q(X) S(X); (2) (P; A) ve (Q; S) ikilileri ()-tipi ba¼gdaşabilir, (3) A ve S ve sürekli, (4) 8x; y 2 X; 2 (0; 2) ve t > 0 için M(P x; Qy; kt) M(Ax; P x; t) M(Sy; Qy; t) M(Sy; P x; t) M(Ax; Qy; (2 )t) M(Ax; Sy; t) olacak şekilde k 2 (0; 1) varsa bu durumda A; S; P ve Q nun X de ortak tek bir sabit noktas vard r. 24

31 Teorem de A = B = S = T = I x al n rsa aşa¼g daki sonuç elde edilir: Sonuç (X; M; ); (F-6) şartn sa¼glayan ve 8t 2 [0; 1] için tt t ile verilen tam bir fuzzy metrik uzay olsun. P, Q : X! X iki fonksiyon olmak üzere 8x; y 2 X; 2 (0; 2) ve t > 0 için M(P x; Qy; kt) M(x; P x; t) M(y; Qy; t) M(y; P x; t) M(x; Qy; (2 )t) M(x; y; t) olacak şekilde k 2 (0; 1) varsa bu durumda P, Q nun X de ortak tek bir sabit noktas vard r. Teorem de P = Q; A = S; ve B = T = I x al n rsa aşa¼g daki sonuç elde edilir: Sonuç (X; M; ); (F-6) şartn sa¼glayan ve 8t 2 [0; 1] için t t t ile verilen tam bir fuzzy metrik uzay olsun. P ve S; X de ()-tipi ba¼gdaşabilir fonksiyonlar olmak üzere P (X) S(X) olsun. E¼ger S sürekli ise 8x; y 2 X; 2 (0; 2) ve t > 0 için M(P x; P y; kt) M(Sx; P x; t) M(Sy; P y; t) M(Sy; P x; t) M(Sx; P y; (2 )t) M(Sx; Sy; t) olacak şekilde k 2 (0; 1) varsa bu durumda P ve S nin X de ortak tek bir sabit noktas vard r. Örnek X = [0; 1] ve a b = a b olsun. d(x; y) = jx yj şeklinde tan mlanan d metri¼gi taraf ndan üretilen standart fuzzy metrik, 8x; y 2 X; t 2 [0; 1] t için M(x; y; t) = ; M(x; y; 0) = 0 olarak tan mlans n. Aç kça görülür ki t + jx yj (X; M; ) bir fuzzy metrik uzayd r. 8x 2 X için A; B; S; T; P ve Q fonksiyonlar Ax = x; Bx = x 2 ; Sx = x 5 ; T x = x 3 ; P x = x 6 ve Qx = 0 olarak tan mlans n. 25

32 O halde P (X) = [0; 1 6 ] [0; 1 2 ] = AB(X) ve Q(X) = f0g [0; 1 ] = ST (X) 5 elde edilir ki Teorem 4.1.1(1) in sa¼gland ¼g görülür. E¼ger k = 1 2 ; t = 1, = 1 al n rsa Teorem 4.1.1(5) de sa¼glan r. Teorem 4.1.1(2) nin ve Teorem 4.1.1(3) ün de sa¼gland ¼g aç kt r. Herhangi bir 0 2 X için lim P x n = lim ABx n = 0 ve lim x n = 0 n!1 n!1 n!1 olacak şekilde X de bir (x n ) dizisi vard r ve lim M(P (AB)x n; (AB) 2 x n ; t) = 1 ve lim M(AB(P )x n ; P 2 x n ; t) = 1 n!1 n!1 sa¼glan r. Dolay s yla (P; AB) ikilisi ()-tipi ba¼gdaşabilirdir. Benzer şekilde (Q; ST ) ikilisi de ()-tipi ba¼gdaşabilirdir. Böylece Teorem 4.1.1(4) de sa¼gland ¼g ndan A; B; S; T; P, Q nun X de ortak tek bir sabit noktas vard r. 4.2 Fuzzy Metrik Uzaylarda () Tipi Ba¼gdaşabilir Fonkiyonlar Için Sabit Nokta Teoremleri Bu k s mda ()-tipi ba¼gdaşabilir fonksiyonun tan m yap larak bu fonksiyonlarla ilgili baz karakterizasyonlar verilecektir. Tan m (X; M; ) bir fuzzy metrik uzay ve A; B : X! X iki fonksiyon olsun. Herhangi bir z 2 X için lim Ax n = lim Bx n = z olacak şekilde X de bir fx n g dizisi n!1 n!1 var ve t > 0 için lim M(AAx n; BBx n ; t) = 1 n!1 oluyorsa A ve B, () tipi ba¼gdaşabilirdir denir (Cho 1998). Önerme (X; M; ) bir fuzzy metrik uzay ve A; B : X! X sürekli iki fonksiyon olsun. A ve B ba¼gdaşabilir () A ve B; () tipi ba¼gdaşabilir (Kütükçü vd. 2006). 26

33 Önerme (X; M; ) bir fuzzy metrik uzay ve A; B : X! X iki fonksiyon olsun. E¼ger A ve B ba¼gdaşabilir ve baz z 2 X için Az = Bz ise ABz = BBz = BAz = AAz dir (Kütükçü vd. 2006). Önerme (X; M; ) bir fuzzy metrik uzay ve A; B : X! X () tipi ba¼gdaşabilir fonksiyonlar olsun. Herhangi bir z 2 X için lim Ax n = lim Bx n = z olacak n!1 n!1 şekilde X de bir fx n g dizisi olsun. O halde aşa¼g daki şartlar sa¼glan r: (1) E¼ger A z de sürekli ise lim BBx n = Az; n!1 (2) E¼ger B z de sürekli ise lim AAx n = Bz; n!1 (3) E¼ger A ve B z de sürekli ise ABz = BAz ve Az = Bz dir (Kütükçü vd. 2006). Örnek X = R ve a b = a b olsun. d(x; y) = jx yj şeklinde tan mlanan d metri¼gi taraf ndan üretilen standart fuzzy metrik 8x; y 2 X; t 2 [0; 1] için t M(x; y; t) = ; M(x; y; 0) = 0 olarak tan mlans n. Aç kça görülür ki t + jx yj sürekli t-normu ile verilen (X; M; ) bir fuzzy metrik uzayd r. A; B : X! X fonksiyonlar ve 8 < 1 ; x 6= 0 Ax = x 3 : 1 ; x = 1 8 < 1 ; x 6= 0 Bx = x 2 : 2 ; x = 1 olarak verilsin. O halde A ve B fonksiyonlar n n ikisi de x = 0 noktas nda sürekli de¼gildir. X deki fx n g dizisinin genel terimi x n = n olsun. O halde lim Ax n = lim Bx n = 0 n!1 n!1 oldu¼gu aç kt r. Di¼ger taraftan lim M(AAx n; BBx n ; t) = 0 ve lim M(ABx n ; BAx n ; t) = 1 n!1 n!1 oldu¼gundan A ve B ba¼gdaşabilir olup () tipi ba¼gdaşabilir de¼gildir. 27

34 Teorem (X; M; ) tam bir fuzzy metrik uzay ve P; S; T, Q : X! X fonksiyonlar olmak üzere (1) P T (X) [ QS(X) ST (X); (2) 8x; y 2 X, t > 0 ve p + q a = 1 koşulunu sa¼glayan 0 < p; q < 1; 0 a < 1 için M 2 (P x; Qy; kt) [M(Sx; P x; kt)m(t y; Qy; kt)] M 2 (T y; Qy; kt) +am(t y; Qy; kt)m(sx; Qy; 2kt) [pm(sx; P x; t) + qm(sx; T y; t)]m(sx; Qy; 2kt) olacak şekilde k 2 (0; 1) sabiti var, (3) S ve T sürekli ve ST = T S; (4) (P; S) ve (Q; T ) ikilileri () tipi ba¼gdaşabilir ise P; S; T, Q nun X içinde ortak tek bir sabit noktas vard r (Kütükçü vd. 2006). Ispat: x 0 ; X in herhangi bir noktas olsun. Teorem 4.2.1(1) den X de bir fx n g dizisi aşa¼g daki gibi inşa edilebilir: P T x 2n = ST x 2n+1 ; QSx 2n+1 = ST x 2n+2 ; n = 0; 1; 2; (4.2.1) Şimdi T x 2n = x; Sx 2n+1 = y olsun. 0 < k < 1 ve 8 t > 0 için, Teorem 4.2.1(2) den M 2 (P T x 2n ; QSx 2n+1 ; kt) [M(ST x 2n ; P T x 2n ; kt)m(t Sx 2n+1 ; QSx 2n+1 ; kt)] M 2 (T Sx 2n+1 ; QSx 2n+1 ; kt) +am(t Sx 2n+1 ; QSx 2n+1 ; kt)m(st x 2n ; QSx 2n+1 ; 2kt) [pm(st x 2n ; P T x 2n ; t) + qm(st x 2n ; T Sx 2n+1 ; t)]m(st x 2n ; QSx 2n+1 ; 2kt) 28

35 elde edilir. (4.2.1) den M 2 (ST x 2n+1 ; ST x 2n+2 ; kt) [M(ST x 2n ; ST x 2n+1 ; kt)m(t Sx 2n+1 ; ST x 2n+2 ; kt)] M 2 (T Sx 2n+1 ; ST x 2n+2 ; kt) +am(t Sx 2n+1 ; ST x 2n+2 ; kt)m(st x 2n ; ST x 2n+2 ; 2kt) [pm(st x 2n ; ST x 2n+1 ; t) + qm(st x 2n ; T Sx 2n+1 ; t)]m(st x 2n ; ST x 2n+2 ; 2kt) bulunur. z n = ST x n olsun. O halde M 2 (z 2n+1 ; z 2n+2 ; kt) [M(z 2n ; z 2n+1 ; kt)m(z 2n+1 ; z 2n+2 ; kt)] M 2 (z 2n+1 ; z 2n+2 ; kt) + am(z 2n+1 ; z 2n+2 ; kt)m(z 2n ; z 2n+2 ; 2kt) [pm(z 2n ; z 2n+1 ; t) + qm(z 2n ; z 2n+1 ; t)]m(z 2n ; z 2n+2 ; 2kt) yaz labilir. Dolay s yla M 2 (z 2n+1 ; z 2n+2 ; kt) [M(z 2n ; z 2n+1 ; kt)m(z 2n+1 ; z 2n+2 ; kt)] +am(z 2n+1 ; z 2n+2 ; 2kt)M(z 2n ; z 2n+2 ; 2kt) [p + q]m(z 2n ; z 2n+1 ; t)m(z 2n ; z 2n+2 ; 2kt) elde edilir ve buradan M(z 2n+1 ; z 2n+2 ; kt)[m(z 2n ; z 2n+1 ; kt) M(z 2n+1 ; z 2n+2 ; kt)] +am(z 2n+1 ; z 2n+2 ; kt)m(z 2n ; z 2n+2 ; 2kt) [p + q]m(z 2n ; z 2n+1 ; t)m(z 2n ; z 2n+2 ; 2kt) bulunur. Daha sonra M(z 2n+1 ; z 2n+2 ; kt)m(z 2n ; z 2n+2 ; kt) +am(z 2n+1 ; z 2n+2 ; kt)m(z 2n ; z 2n+2 ; 2kt) [p + q]m(z 2n ; z 2n+1 ; t)m(z 2n ; z 2n+2 ; 2kt) 29

36 eşitsizli¼gi elde edilir. Buradan (1 + a)m(z 2n+1 ; z 2n+2 ; kt)m(z 2n ; z 2n+2 ; 2kt) [p + q]m(z 2n ; z 2n+1 ; t)m(z 2n ; z 2n+2 ; 2kt) yaz labilir ve M(z 2n+1 ; z 2n+2 ; kt) M(z 2n ; z 2n+1 ; t) eşitsizli¼gi bulunur. Benzer şekilde, 0 < k < 1 ve 8 t > 0 için M(z 2n+2 ; z 2n+3 ; kt) M(z 2n+1 ; z 2n+2 ; t) elde edilir. Genel olarak, 0 < k < 1, 8t > 0; ve m = 1; 2; ::: için M(z m+1 ; z m+2 ; kt) M(z m ; z m+1 ; t) yaz labilir. Dolay s yla Lemma 3.2 den fz n g X de bir Cauchy dizisidir ve (X; M; ) uzay tam oldu¼gundan X de bir z noktas na yak nsar. fp T x 2n g ve fqsx 2n+1 g; fz n g dizisinin altdizileri oldu¼gundan n! 1 iken P T x 2n! z ve QSx 2n+1! z dir. y n = T x n ve w n = Sx n ; n = 1; 2; ::: olsun. O halde n! 1 için P y 2n! z; Sy 2n! z; T w 2n+1! z ve Qw 2n+1! z dir ve M(P P y 2n ; SSy 2n ; t)! 1 ve M(QQw 2n+1 ; T T w 2n+1 ; t)! 1 elde edilir. T nin süreklili¼ginden ve Önerme den n! 1 iken T Qw 2n+1! T z ve QQw 2n+1! T z 30

37 elde edilir. Teorem 4.2.1(2) de x = y 2n ve y = Qw 2n+1 al n rsa M 2 (P y 2n ; QQw 2n+1 ; kt) [M(Sy 2n ; P y 2n ; kt)m(t Qw 2n+1 ; QQw 2n+1 ; kt)] M 2 (T Qw 2n+1; QQw 2n+1 ; kt) +am(t Qw 2n+1; QQw 2n+1 ; kt)m(sy 2n ; QQw 2n+1 ; 2kt) [pm(sy 2n; P y 2n ; t) + qm(sy 2n ; T Qw 2n+1; t)]m(sy 2n ; QQw 2n+1 ; 2kt) elde edilir. Buradan M 2 (z; T z; kt) [M(z; z; kt)m(t z; T z; kt)] M 2 (T z; T z; kt) +am(t z ; T z; kt)m(z; T z; 2kt) [pm(z ; z; t) + qm(z; T z; t)]m(z; T z; 2kt) bulunur. Fuzzy metrik uzay n (F-2) şart kullan l rsa M 2 (z; T z; kt) am(z; T z; 2kt) [p + qm(z; T z; t)]m(z; T z; 2kt) elde edilir. O halde M 2 (z; T z; kt) + am(z; T z; 2kt) [p + qm(z; T z; t)]m(z; T z; 2kt) yaz labilir ve 8x; y 2 X ve t > 0 için, M(x; y; ) azalmayan oldu¼gundan M(z; T z; 2kt)M(z; T z; t) + am(z; T z; 2kt) [p + qm(z; T z; t)]m(z; T z; 2kt) M(z; T z; t) + a p + qm(z; T z; t) M(z; T z; t) p a 1 q = 1 eşitsizli¼gi elde edilir. Fuzzy metrik tan m ndan M(z; T z; t) > 1 olamayaca¼g ndan M(z; T z; t) = 1 dir. Bu ise z = T z demektir. Benzer şekilde z = Sz yaz labilir. 31

38 Teorem 4.2.1(2) de x = y 2n ve y = z al n rsa M 2 (P y 2n ; Qz; kt) [M(Sy 2n ; P y 2n ; kt)m(t z; Qz; kt)] M 2 (T z ; Qz; kt) +am(t z ; Qz; kt)m(sy 2n ; Qz; 2kt) [pm(sy 2n; P y 2n ; t) + qm(sy 2n ; T z ; t)]m(sy 2n ; Qz; 2kt) elde edilir ve dolay s yla M 2 (z; Qz; kt) [M(z; z; kt)m(z; Qz; kt)] M 2 (z ; Qz; kt) +am(z ; Qz; kt)m(z; Qz; 2kt) [pm(z ; z; t) + qm(z; z ; t)]m(z; Qz; 2kt) bulunur. Buradan M 2 (z; Qz; kt) M(z; Qz; kt) M 2 (z ; Qz; kt) +am(z ; Qz; kt)m(z; Qz; 2kt) [p + q]m(z; Qz; 2kt) yaz labilir. Bu ise M(z; Qz; kt)[m(z; Qz; kt) 1] +am(z ; Qz; kt)m(z; Qz; 2kt) [p + q]m(z; Qz; 2kt) demektir. 8x; y 2 X için, M(x; y; ) azalmayan oldu¼gundan M(z; Qz; 2kt)M(z; Qz; kt) + am(z ; Qz; kt)m(z; Qz; 2kt) [p + q]m(z; Qz; 2kt) 32

39 yaz labilir. 0 < k < 1 ve 8t > 0 için M(z; Qz; kt) + am(z ; Qz; kt) p + q M(z; Qz; kt) p + q 1 + a = 1 elde edilir. Bu ise z = Qz demektir. Benzer olarak z = P z elde edilir ve dolay s yla z noktas P; S; Q, T nin ortak tek sabit noktas d r. Kabul edelim ki P; S; Q, T nin başka bir ortak sabit noktas v (v 6= z) olsun. Teorem 4.2.1(2) den M 2 (P z; Qv; kt) [M(Sz; P z; kt)m(t v; Qv; kt)] M 2 (T v ; Qv; kt) +am(t v ; Qv; kt)m(sz; Qv; 2kt) [pm(sz ; P z; t) + qm(sz; T v ; t)]m(sz; Qv; 2kt) yaz labilir. Buradan M 2 (z; v; kt) [M(z; z; kt)m(v; v; kt)] M 2 (v ; v; kt) +am(v ; v; kt)m(z; v; 2kt) [pm(z ; z; t) + qm(z; v ; t)]m(z; v; 2kt) elde edilir. Gerekli işlemler yap l rsa M 2 (z; v; kt) + am(z; v; 2kt) [p + qm(z; v ; t)]m(z; v; 2kt) bulunur. 8x; y 2 X için, M(x; y; ) azalmayan oldu¼gundan M(z; v; t)m(z; v; 2kt) + am(z; v; 2kt) [p + qm(z; v ; t)]m(z; v; 2kt) yaz labilir. 8 t > 0 için M(z; v; t) p a 1 q = 1 elde edilir. Bu ise z = v demektir. O halde P; S; Q, T tek bir ortak noktaya sahiptir. 33

40 E¼ger Teorem de a = 0 al n rsa aşa¼g daki sonuç elde edilir: Sonuç (X; M; ) tam bir fuzzy metrik uzay ve P; S; T, Q : X! X fonksiyonlar olsun. Teorem in (1), (3) ve (4) şartlar ayn kalmak üzere 8x; y 2 X, t > 0 ve p + q = 1 koşulunu sa¼glayan 0 < p; q < 1 için M 2 (P x; Qy; kt) [M(Sx; P x; kt)m(t y; Qy; kt)] M 2 (T y; Qy; kt) [pm(sx; P x; t) + qm(sx; T y; t)]m(sx; Qy; 2kt) olacak şekilde k 2 (0; 1) sabiti varsa bu durumda P; S; T, Q nun X de ortak tek bir sabit noktas vard r. E¼ger Teorem de S = T al n rsa aşa¼g daki sonuç elde edilir: Sonuç (X; M; ) tam bir fuzzy metrik uzay ve P; S; Q : X! X fonksiyonlar olmak üzere (1) P (X) [ Q(X) S(X); (2) 8x; y 2 X, t > 0 ve p + q a = 1 koşulunu sa¼glayan 0 < p; q < 1; 0 a < 1 için M 2 (P x; Qy; kt) [M(Sx; P x; kt)m(sy; Qy; kt)] M 2 (Sy; Qy; kt) +am(sy; Qy; kt)m(sx; Qy; 2kt) [pm(sx; P x; t) + qm(sx; Sy; t)]m(sx; Qy; 2kt) olacak şekilde k 2 (0; 1) sabiti var, (3) S sürekli; (4) (P; S) ve (Q; S) ikilileri () tipi ba¼gdaşabilir ise P; S, Q nun X de ortak tek bir sabit noktas vard r. 34

41 E¼ger Teorem de S = T ve P = Q al n rsa aşa¼g daki sonuç elde edilir: Sonuç (X; M; ) tam bir fuzzy metrik uzay ve P, S : X! X iki fonksiyon olmak üzere (1) P (X) S(X); (2) 8x; y 2 X ve t > 0; 0 < p; q < 1; 0 a < 1 öyle ki p + q a = 1 için M 2 (P x; P y; kt) [M(Sx; P x; kt)m(sy; P y; kt)] M 2 (Sy; P y; kt) +am(sy; P y; kt)m(sx; P y; 2kt) [pm(sx; P x; t) + qm(sx; Sy; t)]m(sx; P y; 2kt) olacak şekilde k 2 (0; 1) sabiti var, (3) S sürekli; (4) (P; S) ikilisi () tipi ba¼gdaşabilir ise P ve S nin X içinde ortak tek bir sabit noktas vard r. E¼ger Teorem de S = T = I x al n rsa aşa¼g daki sonuç elde edilir: Sonuç (X; M; ) tam bir fuzzy metrik uzay ve P, Q : X! X iki fonksiyon olsun. 8x; y 2 X ve t > 0; 0 < p; q < 1; 0 a < 1 öyle ki p + q a = 1 için M 2 (P x; Qy; kt) [M(x; P x; kt)m(y; Qy; kt)] M 2 (y; Qy; kt) +am(y; Qy; kt)m(x; Qy; 2kt) [pm(x; P x; t) + qm(x; y; t)]m(x; Qy; 2kt) olacak şekilde k 2 (0; 1) sabiti varsa bu durumda P ve Q nun X de ortak tek bir sabit noktas vard r. Örnek X = 1 n : n 2 N [ f0g olmak üzere X üzerinde d(x; y) = jx yj şeklinde tan mlanan d metri¼gi verilsin. 8x; y 2 X; t 2 [0; 1] için M(x; y; t) = M(x; y; 0) = 0 şeklinde tan mlans n. t t + jx yj ; 35

42 Aç kça görülür ki a b = a b şeklinde tan mlanan sürekli t-normu ile (X; M; ) bir fuzzy metrik uzayd r. P; S; Q; T : X! X fonksiyonlar, 8x 2 X için P x = x 4 ; Sx = x ; T x = x; Qx = 0 2 olarak verisin. O halde P T (X) [ QS(X) = 1 1 4n : n 2 N [ f0g 2n : n 2 N [ f0g = ST (X) elde edilir ve Teorem 4.2.1(1) sa¼glan r. k = 1, t = 1 al n rsa ST = T S ve S, 2 T fonksiyonlar sürekli oldu¼gundan Teorem 4.2.1(2) ve Teorem 4.2.1(3) sa¼glan r. Herhangi bir 0 2 X için lim P x n = lim Sx n = 0 olacak şekilde X de (x n ) = 1 n!1 n!1 n dizisi vard r ve t > 0 için oldu¼gundan (P; S) ikilisi () lim M(P P x n; SSx n ; t) = 1 n!1 tipi ba¼gdaşabilirdir. Benzer şekilde (Q; T ) ikilisi de () tipi ba¼gdaşabilirdir. O halde Teorem 4.2.1(4) de sa¼glan r ve dolay s yla P; S; Q, T nin ortak tek bir sabit noktaya sahiptir. 4.3 Fuzzy Metrik Uzaylarda Yar Ba¼gdaşabilir Fonksiyonlar Için Sabit Nokta Teoremleri Bu k s mda yar ba¼gdaşabilir fonksiyonun tan m yap larak bu fonksiyonlarla ilgili baz karakterizasyonlar verilecektir. Tan m (X; M; ) tam bir fuzzy metrik uzay ve A, S : X! X iki fonksiyon olsun. E¼ger herhangi bir z 2 X için n! 1 iken Ax n ; Sx n! z olacak şekilde X de bir fx n g dizisi var ve 8 t > 0 için M(ASx n ; Sz; t)! 1 36

43 oluyorsa A ve S, yar ba¼gdaşabilirdir denir (Cho vd. 1995). (A; S) ikilisi yar ba¼gdaşabilir olsun. Ay = Sy olmas şart yla (x n ) = y ve x = Ay = Sy al n rsa ASy = SAy oldu¼gu görülür. Teorem (X; M; ) tam bir fuzzy metrik uzay ve 8a; b 2 X için a b = min(a; b) olsun. S; T, A : X! X fonksiyonlar olsun. S ve T fonksiyonlar sürekli olmak üzere (1) A(X) S(X) \ T (X); (2) (A; S) ve (A; T ) ikilileri yar ba¼gdaşabilir; (3) 8x; y 2 X ve t > 0 için r : [0; 1]! [0; 1] sürekli fonksiyon olmak üzere M(Ax; Ay; t) r minfm(sx; T y; t); M(Sx; Ax; t); M(Sx; Ay; t); M(T y; Ay; t)g (4) Herbir 0 < t < 1 için r(t) > t ve t = 1 için r(t) = 1 ise A; S, T nin X de tek bir ortak sabit noktas vard r (Chauan vd. 2010). Ispat: x 0 2 X herhangi bir sabit nokta olsun. A(X) S(X) oldu¼gundan Ax 0 = Sx 1 olacak şekilde x 1 2 X, yine A(X) T (X) oldu¼gundan Ax 1 = T x 2 olacak şekilde x 2 2 X noktas vard r. Bu şekilde devam edilirse X de bir fy n g dizisi y 2n = Sx 2n+1 = Ax 2n ve y 2n+1 = T x 2n+2 = Ax 2n+1 ; n 2 N [ f0g şeklinde inşa edilebilir. M n = M(Ax n ; Ax n+1 ; t) olsun. O halde M 2n = M(Ax 2n+1 ; Ax 2n ; t) dir. Teorem 4.3.1(3) de x = x 2n+1 ve y = x 2n al n rsa M 2n r minfm(sx 2n+1 ; T x 2n ; t); M(Sx 2n+1 ; Ax 2n+1 ; t); M(Sx 2n+1 ; Ax 2n ; t) ; M(T x 2n ; Ax 2n; t)g = r minfm(ax 2n ; Ax 2n 1 ; t); M(Ax 2n ; Ax 2n+1 ; t); M(Ax 2n ; Ax 2n ; t) ; M(Ax 2n 1 ; Ax 2n; t)g = r minfm 2n 1 ; M 2n ; 1; M 2n 1 g (4.3.1) 37

44 elde edilir. M 2n 1 > M 2n olsun. r nin tan m ndan ve (4.3.1) den M 2n r(m 2n ) > M 2n olur ve böylece bir çelişki elde edilir. Bu yüzden M 2n M 2n 1 (4.3.2) dir. (4.3.1) ve (4.3.2) den M 2n r(m 2n 1 ) > M 2n 1 (4.3.3) elde edilir. O halde fm 2n g dizisi 0 n < 1 için [0; 1] aral ¼g ndaki pozitif say lar n artan bir dizisidir ve bu yüzden bir L 1 limitine yak nsar. Iddia ediyoruz ki L = 1 olsun. E¼ger L < 1 ise (4.3.3) de n! 1 için limit al n rsa L r(l) > L elde edilir ki bu bir çelişkidir. O halde L = 1 dir. Herhangi bir pozitif p için M(Ax n ; Ax n+p ; t) M(Ax n ; Ax n+1 ; t p ) M(Ax n+1; Ax n+2 ; t p ) ::: M(Ax n+p 1; Ax n+p ; t p ) M(Ax n ; Ax n+1 ; t p ) ::: M(Ax n; Ax n+1 ; t p ) elde edilir ve t > 0 için lim n!1 M(Ax n ; Ax n+1 ; t)! 1 oldu¼gundan lim M(Ax n; Ax n+p ; t) 1 1 :::1 = 1 n!1 elde edilir. Yani fax n g dizisi X de bir Cauchy dizisidir. X uzay tam oldu¼gundan fax n g dizisi bir z 2 X noktas na yak nsar. fsx 2n+1 g ve ft x 2n+2 g, fax n g dizisinin altdizileri oldu¼gundan ayn noktaya yak nsarlar. S fonksiyonu sürekli oldu¼gundan SAx n! Sz ve SSx n! Sz elde edilir. 38

45 Ayn zamanda (A; S) yar ba¼gdaşabilir oldu¼gundan ASx n! Sz dir. Teorem 4.3.1(3) de x = Sx n ; y = x n al n rsa M(ASx n ; Ax n ; t) r minfm(ssx n ; T x n ; t); M(SSx n ; ASx n ; t); M(SSx n ; Ax n ; t) ; M(T x n ; Ax n ; t)g elde edilir. n! 1 için limit aln rsa M(Sz; z; t) r minfm(sz; z; t); M(Sz; Sz; t); M(Sz; z; t); M(z; z; t)g rm(sz; z; t) > M(Sz; z; t) eşitsizli¼gi elde edilir. O halde Sz = z dir. Teorem 4.3.1(3) de x = z; y = x n al n rsa Az = z elde edilir. Buradan Sz = z = Az bulunur. T sürekli oldu¼gundan T T x n! T z ve T Ax n! T z olur. Ayn zamanda (A; T ) yar ba¼gdaşabilir oldu¼gundan AT x n! T z dir. Teorem 4.3.1(3) de x = x n ; y = T x n al n rsa M(Ax n ; AT x n ; t) r minfm(sx n ; T T x n ; t); M(Sx n ; Ax n ; t); M(Sx n ; AT x n ; t) ; M(T T x n ; AT x n ; t)g bulunur. n! 1 için limit aln rsa M(z; T z; t) r minfm(z; T z; t); M(z; z; t); M(z; T z; t); M(T z; T z; t)g rm(z; T z; t) > M(z; T z; t) elde edilir. O halde T z = z dir. Böylece Az = Sz = T z = z oldu¼gu görülür. Dolay s yla z noktas A; S ve T nin tek ortak sabit noktas d r. Kabul edelim ki A; S ve T nin başka bir ortak noktas u (u 6= z) olsun. O halde Au = Su = T u = u olur. 39

46 Teorem 4.3.1(3) de x = z; y = u al n rsa M(Az; Au; t) r minfm(sz; T u; t); M(Sz; Az; t); M(Sz; Au; t); M(T u; Au; t)g elde edilir. n! 1 için limit al n rsa M(z; u; t) r minfm(z; u; t); M(z; z; t); M(z; u; t); M(u; u; t)g rm(z; u; t) > M(z; u; t) elde edilir ki bu bir çelişkidir. O halde z = u dur. Dolay s yla A; S ve T nin ortak sabit noktas tek olup z dir. E¼ger Teorem de S = T al n rsa aşa¼g daki sonuç elde edilir: Sonuç (X; M; ) tam bir fuzzy metrik uzay ve 8a; b 2 X için ab = min(a; b) olsun. S, A : X! X iki fonksiyon ve S sürekli olmak üzere (1) A(X) S(X); (2) (A; S) ikilisi yar ba¼gdaşabilir, (3) 8x; y 2 X ve t > 0 için r : [0; 1]! [0; 1] sürekli fonksiyon olmak üzere M(Ax; Sy; t) r minfm(sx; Sy; t); M(Sx; Ax; t); M(Sx; Ay; t); M(Sy; Ay; t)g (4) Her bir 0 < t < 1 için r(t) > t ve t = 1 için r(t) = 1 ise A ve S nin X de tek bir ortak sabit noktas vard r. Teorem 4.3.2: (X; M; ) tam bir fuzzy metrik uzay ve 8a; b 2 X için a b = min(a; b) olsun. S; T; A, B : X! X fonksiyonlar ve S, T sürekli olmak üzere (1) A(X) [ B(X) S(X) \ T (X); (2) (A; T ) ve (B; S) ikilileri yar ba¼gdaşabilir, 40

47 (3) 8x; y 2 X ve t > 0 için ve a; b; c 0 öyle ki q < (a + b + c) < 1 olmak üzere am(t x; Sy; t) + bm(t x; Ax; t) + cm(sy; By; t) + maxfm(ax; Sy; t); M(By; T x; t)g qm(ax; By; t) ise A; B; S, T nin X de tek bir ortak sabit noktas vard r (Chauan vd. 2010). Ispat: x 0 2 X herhangi bir sabit nokta olsun. A(X) S(X) oldu¼gundan Ax 0 = Sx 1 olacak şekilde x 1 2 X, yine A(X) T (X) oldu¼gundan Ax 1 = T x 2 olacak şekilde x 2 2 X noktas vard r. Bu şekilde devam edilirse X de bir fy n g dizisi y 2n = Sx 2n+1 = Ax 2n ve y 2n+1 = T x 2n+2 = Bx 2n+1 ; n 2 N [ f0g şeklinde oluşturulabilir. 8n için M n = M(y n ; y n+1 ; t) < 1 olsun. Teorem 4.3.1(3) de x = x 2n ve y = x 2n+1 al n rsa am(t x 2n ; Sx 2n+1 ; t) + bm(t x 2n ; Ax 2n ; t) + cm(sx 2n+1 ; Bx 2n+1 ; t) + maxfm(ax 2n ; Sx 2n+1 ; t); M(Bx 2n+1 ; T x 2n ; t)g qm(ax 2n ; Bx 2n+1 ; t) elde edilir. Buradan am(y 2n 1 ; y 2n ; t) + bm(y 2n ; y 2n 1 ; t) + cm(y 2n+1 ; y 2n ; t) + maxfm(y 2n ; y 2n ; t); M(y 2n+1 ; y 2n 1 ; t)g qm(y 2n ; y 2n+1 ; t) bulunur. 41

48 Daha sonra (a + b)m 2n 1 + cm 2n + 1 qm 2n elde edilir. Böylece eşitsizli¼gi yaz labilir. p = (q c)m 2n (a + b)m 2n > (a + b)m 2n 1 (a + b) (q c) > 1 için M 2n pm 2n 1 > M 2n 1 (4.3.4) elde edilir. Sonuç olarak fm 2n g dizisi 0 n < 1 için [0; 1] aral ¼g ndaki pozitif say lar n artan bir dizisidir ve bu yüzden bir L 1 limitine yak nsar. Iddia ediyoruz ki L = 1 olsun. E¼ger L < 1 ise (4.3.4) de n! 1 için limit al n rsa L r(l) > L elde edilir ki bu bir çelişkidir. O halde L = 1 dir. Herhangi bir pozitif p için M(y n ; y n+p ; t) M(y n ; y n+1 ; t p ) M(y n+1; y n+2 ; t p ) ::: M(y n+p 1; y n+p ; t p ) M(y n ; y n+1 ; t p ) ::: M(y n; y n+1 ; t p ) eşitsizli¼gi yaz labilir. t > 0 için lim n!1 M(y n ; y n+1 ; t)! 1 oldu¼gundan lim M(y n; y n+p ; t) 1 1 :::1 = 1 n!1 elde edilir. Yani fy n g dizisi X de bir Cauchy dizisidir. X uzay tam oldu¼gundan fy n g dizisi bir z 2 X noktas na yak nsar. Teorem 4.3.1(3) deki eşitsizlik kullan larak a + b q c > 1 için X de bir Cauchy dizisi elde edilir. Dolay s yla fax 2ng; fbx 2n+1 g; fsx 2n+1 g ve ft x 2n+2 g altdizileri de Cauchy dizisi olup ayn z noktas na yak nsar. T sürekli oldu¼gundan T Ax n! T z ve T T x n! T z dir. Ayn zamanda (A; T ) ikilisi yar ba¼gdaşabilir oldu¼gundan AT x n! T z dir. 42

49 Teorem 4.3.1(3) de x = T x n ; y = x n al n rsa am(t T x n ; Sx n ; t) + bm(t x n ; AT x n ; t) + cm(sx n ; Bx n ; t) + maxfm(at x n ; Sx n ; t); M(Bx n ; T T x n ; t)g qm(at x n ; Bx n ; t) elde edilir. n! 1 için limit al n rsa am(t z; z; t) + bm(z; T z; t) + cm(z; z; t) + maxfm(t z; z; t); M(z; T z; t)g qm(t z; z; t) eşitsizli¼gi elde edilir ve buradan am(t z; z; t) + bm(z; T z; t) + c + M(T z; z; t) qm(t z; z; t) c (q a b 1)M(T z; z; t) M(T z; z; t) c q a b 1 > 1 yaz labilir. M(T z; z; t) > 1 olamayaca¼g ndan T z = z dir. Teorem 4.3.1(3) de x = z; y = x n al n rsa am(t z; Sx n ; t) + bm(t z; Az; t) + cm(sx n ; Bx n ; t) + maxfm(az; Sx n ; t); M(Bx n ; T z; t)g qm(az; Bx n ; t) 43