ASİMETRİK VE SİMETRİK MARJİNAL DAGILIMLARDA ÇOK

Transkript

1 ASİMETRİK VE SİMETRİK MARJİNAL DAGILIMLARDA ÇOK DEGİşKENLİ NORMALLİK A. Mete Çlngrtürk Marmara Ünverstes Dlek Altaş d] eka] Marmara Ünverstes ÖZET Pek çok sosyal problemn çözümünde kullanılan statstksel analzlern uygulanablmes, ver setnn çok değşkenl normal dağıluna uygunluğu varsayımımn geçerl olmasına bağlıdır. Çok değşkenl normal dağılmı, dğer dağıhmlarla lgl aynntllı blgye sahp olunmaması ve matematksel yaklaşımlann mümkün olmaması nedenyle uygulaması en kolayolan br dağılımdır. Aynca normal dağlmı, anakütledek dağıhmlann asmtotk yaplsll1a uygun olması ve çok değşkenl statstklern örneklem dağılımlannm merkez lmt teoremnden dolayı normallk göstermes nedenyle en çok terch edlen dağılımdır. Gerçek dünyadak pek çok problemn ncelenmesnde normal dağlım varsayımlarının kullanılması oldukça tutarlı br yaklaşım olup, bu dağılım, çok değşkenl statstksel analzlern uygulanmasında özel br öneme sahptr. Çok değşkenl normallğn sınanmasında farkh yöntemler gelştrlmş olmakla brlkte, Marda 'nın (1970) çoklu asmetr ve basıldık ölçülerne göre ler sürdüğü test statstğ, halen en sık kullanılan ve güçlü yöntemdr. Sosyal blmlerde yaptlan araştırmalarda anketler brncl kaynak olarak kullanılmakta ve kşlern duygu, düşünce, davramş ve alglamalan slkltkla lkert ölçeğnde ölçülmektedr. Lkert ölçeğnn kullambnasııun neden, elde edlen verlern arahkh ölçek varsayılablmes ve dolaylslyla nce! ver analz yöntemlernn kullanılmasına mkan sağlamasıdır. Çahşmanııı amacı, çok değşkenl normal dağılmıın sınanablmes çn uygun br örnek hacmn belrlemektr. Bu nedenle bnom ve normal dağıhma uygun balfmısız değşkenler türetlerek oluşturulan ver setlernefarkh örnek hacmler çn (n=30,65,,...,220) Marda test uygulanmıştır. Elde edlen test statstkler ve kuyruk olasılıkları karşlaştrllarak yorumlanmıştır.

2 Sosyal blmlerde ölçmeye ve araştırmalara konu olan ve bu nedenle geregınce ölçülmes gereken değşkenlerden br olan tutum, belrl nesne, durum, kurum, kavram veya dğer nsanlara karşı olumlu veya olumsuz tepkde bulunma eğlmdr (Tezbaşaran, 1997). Tutumların ölçülmesnde kullamlan en öneml yaklaşım, söz konusu tutuma lşkn br ölçeğn hazırlanarak uygulanmasıdır. Br tutum ölçeğ ölçülmek stenen tutum konusu le lgl br dz fadey çermekte ve kullanılan ölçekle lgl sürekllk, tek boyutluluk ve doğrusallık gb bazı temel özellklern sağlanması gerekmektedr (Tezbaşaran,1997). Tek boyutlu ölçekiemeden başlayarak çok boyutlu ölçeklemeye kadar çeştl yöntemler gelştrlmş olup, bu teknklerden daha ekonomk olması nedenyle en yaygın olarak kullanılanı Lkert'n (1932) modeldr. Lkert bu çalışmasında, ölçülmek stenen tutumla lşkl çok sayıda olumlu ve olumsuz fadenn çok sayıda cevaplayıcıya uygulandığını, fadelern 3,5 veya 7 seçenekl olduğunu ve her br fadenn oransalolarak anlamlılığının statstksel analzlerle yapılableceğn belrtmştr (Bographcal Dctonary of Management). Lkert ölçeğnden elde edlen puanlar sıralama ölçeğ tpndedr. Bu nedenle bu puanları kullanarak breyler arasındak tutum farklılıklarını ortaya çıkarmak zor olduğundan, sıralama yoluyla elde edlen sıralama ölçeğ tpndek puanlar, aralıklı ölçek tpnde blg veren puanlara dönüştürüleblr (Clason, Domıody, 1994). Çok değşkenl normallk varsayımı pek çok statstksel analzlern yapılablmes çn gerekl en öneml varsayımlardan bıdr. Çoklu normallğn sağlanmasını gerektren yöntemler kısaca sıralanmışlardır. Lkert'n ölçek tanımında, madde puanları sürekl değşken olduğundan madde puanları le ölçek puanları arasındak korelasyon, Pearson Korelasyon katsayısı le hesaplanmalıdır (Tezbaşaran, 1997). Pearson korelasyon katsayısı k boyutlu normal dağılım varsayımı gerektrr. Lkert ölçek tpnde üst gruptak cevaplayıcıların madde puanları le alt gruptak cevaplayıcıların madde puanları ortalaması arasındak farkın anlamlılığı t test le sınanır. Çok değşkenl hpotez testlernde, örneklemler parametreler normal dağılımlı br anakütleden çeklmştr (Tatlıdl, 2002). Normal dağılıma sahp olmayan br örnekte örnek hacmnn Hotellng T 2 statstğ üzerndek etks ncelenmş, bu statstğn asmetrlğe duyarlı olduğu belrlenmştr (Marda, 1970; Srvastava, Mudholkar,2001). Homoskedaste çn kullamlan standart LR(benzerlk oranı) test statstğ norınallkten sapmalardan çok etkjenmektedr (Hawkns, 1981). Faktör analznde, normallk varsayımı faktörlern anlamlılığının sınanmasında kullanılan statstksel testler çn gerekldr (Har, Anderson, Tatham, Black, 1998). Kümeleme analznde verlern normal dağılımlı olması varsayımı olmakla brlkte normallk varsayımı prenspte kalmakta, sadece uzaklık değerlernn normallğ yeterl görülmektedr (Tatlıdl, 2002). Dskrmnant analznde ver matrsnn normal dağılımlı olması varsayımlardan brdr (Har, Anderson, Tatham, Black, 1998). Kanonk korelasyon analzııde, her br kanonk fonksyonun anlamlılığının test çn çok değşkenl nomıallk varsayımının sağlanması gerekldr (Har, Anderson, Tatlıam, Black, 1998).

3 2. ÇOK DEGşKENLİ NORMAL DAGILJM SINAMALARı Çok değşkenl eğklk ve basıklık ölçüler, t-statstğnn sapmasızlığının ncelendğ bazı çalışmalar le gelşmştr. Pearson'un temellerne sahp tek değşkenl asmetr ve basıklık ölçülernden yola çıkarak, Marda (1970) çok değşkenl normallğ tanımlamış ve çok değşkenl asmetr ve basıklık ölçülernn asmtotk dağılımlarına dayanan br çoklu normal dağılım uygunluk test gelştrmştr. Hawkns (198 I), Malkovch ve Aff tarafından 1973'de tanımlanan Vj *=(Xj-XD'S;-I(Xj-X ) ömeklem dağılım fonksyonunun Hotellng T 2 fonksyonuna kamesnn bnomal dönüştümünün (O, 1) aralığmda düzgün dağıldığını göstemıştr. Bu şeklde elde edlen örnek dağılım fonksyonu le Anderson-Darlng test statstğnn değşen varyans ve çoklu normallk üzerne yeterl blgler sağlayacağı ler sürülmüştür. Marda'nın (1974) önerdğ test kullanılarak 3 farklı dağılırnal sahp 5 ve 10 değşkenl gözleme kadar sahp örnekler üzernde sonuçlarını ncelemştr. Bu yöntemn avantajı, standart paket programlar yardımıyla çoklu normallğn test edlebleceğdr. Machado (1983), Malkovch ve Aff tarafından önerlen çok değşkenl normallğe dayalı k test statstğnn, 4 değşkene ve 50 gözleme kadar verler çn smulasyon le dağılım özellklern ncelemş ve 25'n üzerndek örnek hacmler çn yaklaşımların yernde olduğunu belrtmştr. Csörgö (1986) çalışmasında, MUI'ota ve Takeuch tarafından gelştrlen tek değşkenl normallk testn, deneysel değşkenlern t dönüşümlernn çok değşkenl karakterstk fonksyonun asmtotk davranışları le çok boyut çn gelştrerek, çok değşkenl normal dağılıma uygunluk test önermştr. Testn smulasyon le üst lmtlernn bulunması dışında k ve dört değşkenl verlere 2 uygulayarak Marda ve Rncon-Gallardo testler le aynı sonuçlara ulaşmışlardır. Cox ve Wermuth (1994) bağımlılık yapısı olan değşkenlerde doğrusal bağımlılığın analznde kullanılan standart regresy'on analzlernde elde edlen katsayı testlernn sıralı statstklernn beklenen değerlern, normal dağılımın sıralı statstklernn beklenen değerler le karşılaştırarak, doğrusallıktan sapmaları belrlemşlerdr. Sayısal verler üzernde yaptıkları uygulama yanında sıralı ölçek değşkenlerde kutupsal ön kodlamanın doğrusallaştınlableceğn göstermşlerdr. Çalışmalarında değşkenlern medyana göre k kutuplu değşkene dönüştürülmes le de doğrusal bağımlılığın kontenjans tablolarında yer alan frekanslar kullanılarak (MacFadden, 1955) belrlenebleceğn göstermşlerdr. Huffer ve Park (2002), benzer br çalışma 3 le çoklu noımal dağılıma uygunluğun test edlebleceğne şaret etmşlerdr. Değşkenlern brbrnden bağımsız aynı boyuta sahp transformasyonundan sonra, her br değşkenn eşt gözleml alt gruplara ayrılarak ortak dağılıma at frekansların çok boyutlu kontenjans tablosunda toplanması sağlanmıştır. K-kare test statstğnde Kullanılan dağılımlar: standart nmmal dağılım, U+O,1U 3 U-NeO, 1) ve 0-1 aralığmda sürekl düzgün dağılım. 2 Yule ve Kandal'ın 1950'de kullandığı 780 gözleml skonto oranı ve reservlern tasarrufa oram verler; Fsher tarafmdan 1936'da analz edlen 50 gözleml "rs setasa" at dört değşkenl ver set. 3 Uygulamada 1986 Jont Statstcal Meetng esnasında ortaya konulan 5 değşken 3848 gözlemden oluşan gzl yapı çeren yapay veı set kullanılmıştır.

4 beklenen değerlern hesabında referans olarak bell br yapı serglemeyecek olan çok boyutlu normal dağılım seçldğnden sıfır hpoteznn redd normal dağılımdan sapmayı sergleyecektr. Heı1Ze ve Wagner (1997), örnek hacmnden bağımsız, tutarlı çok boyutlu asmetr ve basıklık ölçüler ler sürn1üşlerdr. Gutjahr, Henze ve Folkers (1999), Marda'nın örnek çok değşkenl asmetr ve basıklık ölçülernn lmt dağılımının normal dağılım altında belrlendğn, bu nedenle Monte Carlo smulasyonları le elptk smetrk dağılımlarda hatalı kararlara yol açtığını göstermşlerdr. Baxter (1999), çalışmasmdaçoklu normal dağılım uygunluk testlern dört başlıkta toplayarak bunların brkaçının denenmesnn uygun olacağını belrtmştr. Berlant, Mason ve Vyncker (1999), benzer br çalışma yaparak testler gruplandınnış, ve Hawkns çalışmasını gelştrerek yen br test önermştr. Her k çalışmada farklı testler ver setlerne uygulanarak sonuçları karşılaştırılmıştır. Hüs1er, Lu ve Sngh (2002), örnek hacm le Olalamaya göre maksmum Eucld uzaklığının, çok değşkenl normal dağılım ve büyüme oranı fonksyonu lşksnden yola çıkarak çoklu normal dağılım kuyruk olasılığını tahmn etmşler ve normal dağılımdan sapmanın belrlenmesnde kullanılacak grafk yöntem önermşlerdr. Çalışmalarında k ve on boyutlu nonnal dağılmış ver set le k boyutlu üstel dağılmış ver set kullanarak grafksel aracı tanıtmışlardır. ülve (2003), Hawkns le çalışmalarını gelştrerek uzaklıklara dayalı sapmasız br test önermştr. Klar (2002) se çalışmasında Marda'nın çok değşkenl sapmasız asmetr ve basıklık ölçülerne referans olarak "dağılım bağımsız" br yaklaşım gelştrmştr. Bütün bu çalışmalar bazı ortak noktalarda benzerlk göstermektedrler. İlk olarak çoklu norınal dağılıma uygunlukların testnde temel yaklaşımlar olduğu görülmüştür. Bunlar, smetr ve basıklık ölçülerne dayanan testler, çoklu normal dağılımın özellklerne dayalı kutupsal veya kategorze adlmş grup frekanslarına dayanan testler, en çok benzerlk fonksyonuna dayanan testler, uzaklık ölçülerne dayanan yaklaşımlar ve bunların karına yöntemlernden yola çıkan teknkler olmaktadırlar. Br dğer ortak nokta; yazarların, statstklern asmtotk veya lmit dağılımlarına farklı yaklaşmaları, veya bu konuda daha az varsayım gerektren, daha etkn ve sapmasız test statstğnn gelştrme çabalarıdır. Yöntemlerde ortak olan noktalardan dğer değşkenler arasındak lşk yapısının elde edlecek sonuçlar üzerndek ortak yaklaşımdır. Bu nedenle orjnal ver setler genelde transformasyonlara tab tutulmakta veya önceden temel bleşenler le lşk yapısının yok edlmes önerlmektedr. Bütün farklılık ve benzerlklere rağmen bütün bu çalışmalarda Marda'nın çalışmasına atıf yapılmakta, ve çok değşkenl asmetr ve basıklık ölçülernn sapmasız tahmncs olarak kabul edlmektedr. Çalışmanın bu kısmında Marda 'nın önerdğ çok değşkenl asmetr ve basıklık ölçüler matrs cebr le tanıtılacaktır. Kullanılan notasyonda ver setnn p adet değşken ve n adet gözlemden oluştuğu kabul edlmştr. Kullanılan karakterlern heps matrs veya vektörlere attr. Öncelkle "örnekl,em ortalama vektörü",

5 x=l- tx r =l-x'l n r=1 n şeklnde belrlenr. Kovaryans matrsnn hesaplanması çn öncelkle "merkezleştrme matrs" H=I-l-ll' n S =_I_X'HX u n-i olarak belrlenr. Bu durumda tek değşkenl ölçüler olarak sıklıkça kullanılan ortalamaya göre momentlern, çok değşkenl ver setlernde benzer olarak kullanılmasını sağlayan "nvarant fonksyonlar" matrs olarak aşağıdak şeklde belrlenr: Marda, çok değşkenl asmetr ve basıklık ölçülernn örnek tahmnelern aşağıdak şeklde tanımlamıştır. Elde edlen bu momentler affıne transformasyonlar altında değşmezdrler (Marda, Kent, Bbby, 1989). Dğer br fade le ölçek ve orjnn değştrlmes katsayıların büyüklüğünü etklememektedr. Çok değşkenl normal dağılımın parametreler ~ı.p=o ve ~2.p=p(p+2) olduğundan Marda (1970), çok değşkenl smetr ve basıklık ölçüıernn örnek statstklernn, anakütle dağılımı çoklu nonnal dağılım kabul edldğnde, n-too ken

6 asmtotk dağılımlarının, sırasıyla v=[p(p+ 1)(P+2)/6] serbestlk derecesne sahp K-kare dağılımına ve b 2,p'nn z transformasyonunun standart normal dağılıma uygun olacağını belrlemştr: 1 2 -nb] 6 ~ X,p v b2,p - p(p+2) _ N(O 1) ~8p(p + 2)/n ' Büyük örnekler çn kabul edlen bu lmt dağılımlar kullanılarak çok değşkenl normal dağılıma uygunluğun belrtldğ Ho sıfır hpoteznn test mümkün olmaktadır. Bu çalışmada, bu statstklere lşkn dağılımlar kuııanılarak yeterl örnek hacmnn belrlenmesne çalışılmaktadır. Çalışmanın amacı, çok değşkenl normal dağılımın sınanablmes 5'l sevyede ölçülen tutum ölçekler çn çok değşkenl asmetr ve basıkhk ölçülernn kararlı olduğu sevyede uygun örnek hacmn belrlemektr. Bu nedenle bnom ve normal dağılımlı 12 değşkenl 220 gözleml verler (p=12; n=220) türetlmştr. Ver setler çndek her br değşken dğerlernden bağımsız üretldğ çn maıjnal dağılımlar blnmekte, ancak ortak dağılım sınanmak stenmektedr. Brnc ve knc ver gurupları, Bnom dağılımına uygun olarak sırasıyla 0.20 ve 0.50 parametreler le tek değşkenl sağa asmetrk ve smetrk tesadüf sayılardan oluşmaktadır. Üçüncü ver kümes se ortalaması 2 ve varyansı 2/3 olan normal dağılıma uygun N(2, 0.67) olarak türetlmştr. Türetlen ver kümelernde değşkenlern aldıkları değerler 0-4 arasında değerler alacak şeklde ayarlanmıştır. Bunun sebeb 5'l ölçek sorulannın genelde -2-2, 0-4 veya 1-5 aralığında tam sayılar olarak kodlanması ve analzlern bu subjektf kodlamalara göre yapılmasıdır. Marda'nın önerdğ çok değşkenl asmetr ve basıklık ölçülernn hesabında oıjnal verler merkezleştrldkler çn kodlamanın başlangıç değerler test sonuçlarına etk etmeyecektr. Dğer taraftan ver kümelerndek değşkenlern rassal üretlmes, bu yöntemn eleştrlmes ve alternatfler oluşturulmasına sebep olan, değşkenler arası lşk yapısının oluşmamasını sağlamaktadır. Her üç ver kümesnde farklı örnek hacmler çn (n=30,65,,...,220) Marda çok değşkenl asmetr ve basıklık ölçüler hesaplanmıştır. Bu statstklern önerlen lmt dağılıma göre test statstkler ve kuyruk olasılıkları hesaplanmıştır. Elde edlen test statstkler ve kuyruk olasılıkları karşılaştırılmıştır. Çoklu asmetı ve basıklık statstklerne ve test statstklerne at grafklerde asmetr ve basıklık ölçülern temsl eden eksenler logartınk ölçekle düzenlenerek, elde edlen çok büyük ve küçük değerlern aynı grafk üzernde özetlenmes sağlanmıştır, Bütün ver kümeler çn K-kare dağılımına uyan asmetı' ölçüler v=364 serbestlk derecesnde %5 anlam düzeynde 409 krtk değerne sahptr. Normal dağılan basıklık ölçüsünün krtk değer se z=1.645 olarak belrlenmştr.

7 Bnom ve nonnal dağılıma uygun türetlmş ver kümelernden elde edlen sonuçlar aşağıda sunulmaktadır ~ '\.. '- ~ ~ b1,12 --b2,12 le+l1 le+l0 le+09 le+ob le+07 IE ~...:,......~,~ ~ ~ :--... """ FbG2L ~--b2,12

8 1&11 1&10 1&09 1&08 1&07 1& Fb1.12l ~--b2,12 1, Şekl 3 Normal marjnal dağılımlı ver set Brnc ver kümesnden elde edlen sonuçlar, dğerlernden farklı görülmektedr. Bunun sebeb küçük hacml örneklerde daha küçük değerlern çıkmasıdır. Ver kümelernden farklı ömek hacmlernde elde edlen test statstklernn karşılaştırılmaları da mümkündür &11 1&10 1&09 1& &07 1&06 0! ı :--k-a-re Şekl 4 Asmetrk bnom (p=o,2) maıjnal dağılımlı ver set 200'den sonrak gözlem hacmler çn basıklık katsayısı negatf değerler almış, logartmk eksene sahp grafk üzernde gösterlememştr. Smetrk bnom dağılmış knc

9 ver kümesnde ve nolmal dağılıma uygun türetlmş üçüncü ver kümesnde test statstkler aşağıda göılmektedrler , O 0 I~:-kare n ,1 0,01 0,001 I~~-karel Şekl 6 Normal marjnal dağılımlı ver set Her üç ver kümesnde basıklık nonnal dağılıına yaklaşırken, brnc ver kümesnn sağa asmetrk kaldığı ve krtk değern altma düşmedğ gözlerunştr. Ancak sonuçların

10 daha detaylı anlaşılması çn örnek statstkler ve test statstklernden zyade,lmt dağılıma göre kuynık olasılıklannm ncelenmes gerekr. ; -\1: ~ ~, j 0'g3 0, 0,2 - - 'p1 --p2 Şekl 7 Asmetrk bnom (p=o,2) marjnal dağılımlı ver set Asmetrk bnom dağılmış ver kümesnde asmetr katsayısına lşkn kuyruk olasılığı lil0000'n altma hç nmemş, dolayısıyla normal dağılıma benzerlğ temsl eden sıfır hpotez hç kabul edlmemştr, Basıklık katsayısı se örnck hacmnn 200'e yakm değerler çn çoklu normal dağılım özellğne yakın değerler almaktadır. Ancak artan örnek hacm le bu durumdan tekrar uzaklaşmaktadır.

11 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 ı -r 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3ḡ- P1. 0,25 2 0,2-- P 0,15 0,1 no, Şekl 8 Smetrk bnom (p=o,5) marjnal dağılımlı ver set Her k katsayının kuyruk olasılığı 200'ün üzerne çıkıldığında %5' aşmakta, fakat basıklık, artan ömek hacm le normallkten uzaklaşmaktadır., 0'1- - ' P1 1 1_-p2, Şekl 9 Nomıal marjnal dağılımlı ver set Normal dağılıma uygun türetlmş ver kümesnde de test statstklernn anlamlılıkları smetr çn 21 Tnc ve basıklık çn 2l0'ncu gözlemden sonra %5 'n üzerne çıkmıştır.

12 Elde edlen sonuçlar, smetrlk ve basıklığın örnek hacmne çok duyarlı olduğunu göstermektedr. Sonuçların lgnç br yanı örnek hacmnn artması le çoklu normallğe yaklaşımın yavaşlaması ve hatta çoklu normallkten uzaldaşma durumudur. Ancak bu çalışma, dğer pek çok çalışmaya göre daha yüksek br gözlem sayısı ve daha fazla değşken le yapılması le farklılık göstermektedr. Özeııkle anketler le elde edlen tutum, algılama ve davranışları belrlemeye yönelk Lkert ölçeğ tarzındak sorulardan elde edlen değşkenlern, çok değşkenl analzler le değerlendrlmes esnasında çoklu normal dağıluna duyarlı yöntem ve statstklern hesaplanması çn pratk olarak en az 200 gözleme ulaşılması gerektğ görülmektedr. Çalışma tek değşkenl norınallğn kontrol edlmesnn, çoklu normallğ sağlamadığını da ortaya koymaktadır. Çalışmanın dğer br faydası katsayıların hesap tabloları (MS Excel) yardımıyla elde edlmş olmasıdır. Kullanılan algortma aynı örnek veıs çersnde farklı gözlem sayılarına göre örnek statstklernn hesaplanmasına mkan sağlamaktadır. Çalışma, smetr ve basıklık örnek statstklernn, örneklernn 220'nn üzerne çıkması, değşkenlern arasında statstksel bağlılık olması durumunda nasıl davranacaklarını ortaya koymamaktadır. İncelenmes gereken dğer br konu se ver kümesnn boyutuna bağlı olarak örnek statstklernn davranış şekldr. Baxter, MJ. (1999). On the multvarate normalty of data arsng from lead sotope felds. Journal of Archaeologcal Scence, 26, Berlant, 1., Mason, D.M., & Vyncker, C. (1999). Goodness-of-fıt analyss for multvarate norınalty based on generalzed quantles. Computatonal Statstcs & Data Analyss, 30, Clason, Dens L.; Dormody, Thomas 1.; Analyzng data measured by ındvdual 1kert-type ıtems, Journal of Agrcu1tural Educaton, Vol:35, Number:4,1994 Cox, D.R., & Wermuth, N. (I 994). Test of lnearty, multvarate normalty and adequacy oflnear scores. Appled Statstcs, 43, Csorgo, S. (1986). Testng for normalty n arbtrary dmenson. Anııals of Statstcs, 14, Gutjahr, S., Henze, N., & Folkers, M. (1999). Shortcomngs of generalzed affne nvarant skewness measures, Journal ofmultvarate Analyss, LL, Har,1.F., Anderson, R.E., Tatham, R., Black, C.W. (1998). Multvarate Data Analyss, Ffth Edton, Prentce-Hall, New-Jersey.

13 Hawkns, D.M. (1981). A new test for multvarate normalty and homoseedastety. Teehnometrcs, 23, Henze, N. (1997). Extreme smoothng and testng for multvarate norma1ty. Statstcs & Probab1ty Letters, 35, Henze, N., & Wagner, T. (1997). A new approach to the BHEP tests for multvarate normalty. Journal ofmultvarate Analyss, 62, Huffer, F.W., & Park, C. (2002). The lmtng dstrbuton of a test for multvarate stmcture. Journal of Statstca1 Plannng and Inference, ın, 4] 7-43]. Hüsler, l, Lu, R.Y., & Sngh, K (2002). A formula for the tal probablty of a multvarate norınal dstrbuton and ts applcatons. Journal of Multvarate Analyss, 82, Klar, B. (2002). A treatment of multvarate Journal of Multvarate Analyss, 83,14]-165. skewness, kurtoss and related statstcs. Lang, l, L, R., Fang, H., & Fang K- T. (2000). Testng multnormalty based on low-dmensonal projecton. Journal of Statstcal Plannng and Inference, 86, ı. Lkert, R.(1932). A Teehnque For The Measurement of Atttudes, Arehves of Psyeholob'Y, New-York. Machado, S.G. (1983). Two statstcs for testng for multvarate normalty. Bometrka, 70, Marda, K.Y., Kent, lt., & Bbby, lm. (1989). Multvarate Analyss. (7th. pr.). San Dego: Academe Press, Ine. Marda, KY. (1970). Measures of multvarate skewness and kurtoss wth applcatons. Bometrka, 57, Ülve, D.J. (2003). A resstant estmator of multvarate locaton and dsperson. Computatonal Statstes and Data Analyss, Artele n Press. Tatlıdl, H. (2002). Uygulamalı Çok Değşkenl İstatstksel Analz, Zıraat Matb., Ankara. Tezbaşaran, A.A. (1997). Lkeıt Tp Ölçek Gelştrme Kılavuzu,Türk Pskologlar Derneğ Yayınları, Ankara.