Ders Notları. Prof.Dr.Recep ASLANER. Malatya
|
|
- Gonca Ayşe Tunç
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 DİNAMİK GEOMETRİ ÖĞRETİMİ Ders Notları Prof.Dr.Recep ASLANER İnönü Üniversitesi Eğitim Fakültesi Malatya 2016
2
3 İÇİNDEKİLER Bölüm 1. GEOMETRİK YER ve İNVERSİYON KAVRAMLARI v 1. Locus: Geometrik Yer Kavramı ve Öğretimi v 2. İnversiyon Eğrisi ve Koniklerin İnersyion Eğrileri xii 2.1. Çemberin İnversion Eğrileri xiii 2.2. Elipsin İnversion Eğrileri xv 2.3. Hiperbolün İnversion Eğrisi xvi 2.4. Parabolün İnversion Eğrileri xvii Index xix iii
4
5 BÖLÜM 1 GEOMETRİK YER ve İNVERSİYON KAVRAMLARI 1. Locus: Geometrik Yer Kavramı ve Öğretimi Tanım 1.1. Verilen bir veya birkaç şartı şartı sağlayan (bu şartlar cebirsel veya geometrik olabilir) noktaların, doğruların veya çemberlerin kümesine geometrik yer adı verilir. Bu tanıma göre, aşağıda verilen iki önerme doğrudur: 1. Geometrik yere ait olan her nokta verilen şartları sağlar, 2. Verilen şartları sağlayan her nokta geometrik yere aittir. Örnek 1.1. Sabit bir M noktasından r br uzaklıkta bulunan noktaların kümesi ( geometrik yeri) * doğru üzerinde iki nokta, r * düzlemde Ç(M,r) çember ve * uzayda K(M, r) küre yüzeyidir. Y M A X Çember için, B AM = BM = r br olduğundan A,B Ç(M,r) XM < r ve YM > r olduğundan X,Y / Ç(M,r) dir. Bu örnekten görüldüğü üzere geometrik yer göreceli bir kavramdır. Cabri programında yörüngesini bildiğimiz hareketli bir A noktası alınır ve bu noktaya bağımlı olup verilen şartları sağlayan bir nokta Q noktası (veya noktalar kümesi) bulunur. Burada A noktasının yörüngesi ya bir doğru(sınırlı ise doğru parçası) ya da bir çember (veya çember yayı) olarak alınabilir. A noktası kendi yörüngesinde hareket ederken bu noktaya bağımlı olup verilen şartları sağlayan v
6 R.Aslaner Q noktasının hareketi izlenir. Bunun için Cabri programında Q noktasına iz, A noktasına animasyon verilerek oluşum dinamik olarak görülür veya locus seçeneği açılarak önce Q noktası sonra A noktasına tıklanarak geometrik yer bulunmuş olur. Örnek 1.2. Düzlemde verilen bir noktadan eşit uzaklıktaki doğruların geometrik yeri nedir? Burada bir noktanın bir doğruya (veya doğrunun noktaya) uzaklığı ile en kısa uzaklık, yani verilen noktadan geçen ve verilen doğruya dik olan doğrunun asıl doğru ile kesişim noktası arasındaki uzaklık kast edilir. M d H A t İki nokta arasındaki uzaklık sabit tutulur, noktalardan birisi hareket ettirilirse bir çember elde edilir. Buna göre yukarıdaki örnekte verilen ifade Bir çembere teğet olan doğruların geometrik yeri nedir? ifadesine dönüşür. Cabri programında * M merkezli bir çember çizerek üzerinde bir A nokta alalım. * m = AM doğrusunu ve A noktasından bu doğruya dik olan doğruyu çizelim. Bu doğru çembere teğet olan t doğrusudur. * t dğrusuna iz ve A nokasına animasyon verelim. Ne görüyorsunuz? Örnek 1.3. Düzlemde verilen iki noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesi (geometrik yeri) C bu noktaların oluşturduğu doğru parçasının orta dikmesi olan doğrudur. * Düzlemde verilen üç noktaya eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri nedir? A D d B vi
7 R.Aslaner Örnek 1.4. Düzlemde verilen bir d doğrusundan sabit (h br) uzaklıktaki noktaların kümesi verilen doğrunun farklı taraflarında bulunan paralel iki doğrudur. h h d Örnek 1.5. Bir ÂBC açısının kenarlarına eşit uzaklıktaki noktaların kümesi bu açının açıortayı olan ışındır. Buna göre, Bir açının açıotayı üzerinde alınan her nokta kenarlara eşit uzaklıktadır. önermesi elde edilir. B C A d Örnek 1.6. Düzlemde verilen iki noktaya uzaklıkları toplamı sabit olan noktaların geometrik yeri nedir? Çözüm: Düzlemde verilen iki nokta [FF ] bir doğru parçası belirtir ve her doğru parçasının bir orta noktası vardır. B P [FF ] nın orta noktası O ve OF = c diyelim. a > c bir sabit sayı olmak üzere PF + PF = 2a F F eşitliğini sağlayan P noktalarının kümesi O mekezli, yarı eksen uzunlukları a ve b = a 2 c 2 olan bir elipsdir. Klasik anlamda elde edilen elipsin geometrik şeklinin yukarıdaki şekil olduğu, düzlemi temsilen bir tahta üzerine iki çivi çakıp, uzunluğunun yarısı bu çiviler arasındaki uzaklıktan biraz daha büyük olan bir ip parçası alınır, iki ucu birleştirilir ve uygun bir materyal (kalem veya tepeşir) ile ip gerdirilip hareket ettirilerek gösterilebilir. Ancak teknoloji çağını yaşadığımız bu günlerde tahtaya çivi çakarak ip bağlayarak ders anlatmak uygun düşmez. Bunun için bu işlemi bilgisayar ortamında oluşturulması gerekir. Peki nasıl? Bu işlemi farklı şekillerde oluşturabiliriz: vii A
8 R.Aslaner 1.Yol: Cabri programını açarak, * Sabit iki nokta F, F ve keyfi bir P noktası alınır. * PF + PF = s hesaplanır. * Ekranın bir köşesinde AB = s br olacak şekilde bir [AB] doğru parçası çizerek üzerinde bir nokta P noktası alınır. * P A = a ve P B = b olmak üzere a ve b sayıları P noktasına bağımlı olarak değişir ancak a+b = s sabittir. *PergelseçeneyinikullanarakÇ(F,a)veÇ(F,b)çemberleriniçizipkesişim noktaları bulunur. * Bu noktaların P noktasına göre geometrik yerine bakıldığında elde edilen eğrinin P noktasından geçen elips olduğu görülür. * Ayrıca çemberlerin kesişim noktalerına iz, P noktasına animasyon verilirse bu eğrinin oluşumu dinamik olarak görülmüş olur. 2.Yol: Cabri programını açarak, * Sabit iki nokta F, F ve keyfi bir P noktası alınır. * P merkezli F noktasından geçen çember çizilir. (F noktasının alınmasının nedeni P ye daha yakın olmasıdır.) * FP doğrusu ile çemberin kesişim noktaları bulunur. * Bu noktalardan F noktasına uzak olan noktaya K diyelim. Böylece keyfi olarak aldığımız P noktası FK doğrusu ile [F K] doğru parçasının orta dikme doğrusunun kesişim noktası olur. Yani keyfi olarak aldığımız P noktasının yeri sabit olarak verilen F ve F noktalarına bağımlı olarak bulunmuş olur. Ayrıca istenilen uzaklık PF + PF = FK olur. * F merkezli K noktasından geçen çemberi çizilerek üzerinde bir A noktası alalım. A noktası K ile aynı özelliğe sahiptir. O halde yukarıda tespit edilen kuralda K yerine A noktası alınır ve elde edilen noktaya Q dersek Q ile P noktalarıda aynı kümeye ait iki nokta olur. * AF doğrusu ile [AF ] doğru parçasının orta dikme doğrusunun kesişim nokatası Q bulunur. viii
9 R.Aslaner * Q noktanın A noktasına göre geometrik yerine bakılırsa elde edilen eğrinin P noktasından geçen elips olduğu görülür. * Ayrıca Q noktasına iz, A noktasına animasyon verilirse bu eğrinin oluşumu dinamik olarak görülür. Böylece öğrencilerde ezberlemek yerine anlamlı öğrenme gerçekleşmiş olur. Ödev 1: Düzlemde verilen üç noktaya uzaklıkları toplamı sabit olan noktaların geometrik yeri nedir? araştırınız. Örnek 1.7. M merkezli bir çember ve bu çemberin iç bölgesinde bir N noktası alınız. N noktasından geçen ve çembere teğet olan çemberlerin merkez noktalarının geometrik yeri nedir? Ayrıca verilen şartı sağlayan çemberelerin geometrik yeri de bakılabilir. Örnek 1.8. Düzlemde verilen iki noktaya uzaklıkları farkı sabit olan noktaların geometrik yeri verilen noktaları odak kabul eden bir hiperboldür. Elipse benzer düşünceyle Cabri programını açarak, * Sabit iki nokta F, F ve keyfi bir P noktası alınır. * P merkezli F noktasından geçen çember çizilir. * FP doğrusu ile çemberin kesişim noktaları bulunur. * Bu noktalardan F noktasına yakın olan noktaya K dersek, PF PF = FK olur. * F merkezli K noktasından geçen çemberi çizilerek üzerinde bir A noktası alalım. * AF doğrusu ile [AF ] doğru parçasının orta dikme doğrusunun kesişim nokatası Q bulunursa QF QF = AF = FK olur. * Q noktanın A noktasına göre geometrik yerine bakılırsa elde edilen eğrinin P noktasından geçen bir hiperbol olduğu görülür. * Ayrıca Q iz, A noktasına animasyon verilirse bu eğrinin oluşumu dinamik olarak görülür. ix
10 R.Aslaner Ödev 2: Düzlemde verilen iki noktaya uzaklıkları çarpımı sabit olan noktaların geometrik yeri nedir? araştırınız. Örnek 1.9. Düzlemde verilen bir [AB] doğru parçasını sabit bir α açısıyla gören noktaların geometrik yeri nedir? Çözüm: Bir [AB] ve bir 0 < απ açısı veilmiş olsun. Verilen [AB] doğru parçasının orta dikme doğrusu üzerinde m( ˆ AMB) = 2α olacak şekilde alınan M noktasını merkez ve MA = r uzaklığını X yarıçap kabul eden çember yayının, AXB parçası üzerindeki her noktada oluşan çevre M açının ölçüsü, [AB] doğru parçasını gören yayın ölçüsüne yani α eşittir. A B Ayrıca bu yayın AB doğrusuna göre simetriği olan yay üzerindeki her noktanın A ve B noktaları ile oluşturduğu açının ölçüsü de α dır. O halde düzlemde verilen bir [AB] doğru parçasını sabit bir α açısıyla gören noktaların geometrik yeri, bu doğru parçasını ortak kiriş kabul eden bir çift çember yıyıdır. Eğer α = 90 o ise bir çember yayı elde edilir ve verilen doğru parçası bu çemberin bir çapı olur. Böylece Çapı gören çevre açı bir dik açıdır sonucu elde edilir. Eğer α bir geniş açı ise, Bu durumda, verilen [AB] nı α açısıyla gören noktaların geometrik yeri bu iki çemberde ÂB yaylarını oluşturan noktalar kümesidir olup A ve B noktaları bu geometrik yere ait değildir. Neden? Bu problemi Cabri programında çözmek için; * Ekranın üst köşesinde bir [KL] doğru parçası ve bu doğru parçasının orta dikme doğrusu üzerinde başka bir doğru parçası alarak üzerinde bir X noktası seçip bir KXL yayı tanımlayalım. * Yay üzerinde bir A noktası alarak m( ˆ KAL) = α bir açı tanımlayalım. * Bir [MN] doğru parçası alalarak bu doğru parçasını α açısıyla gören noktaları bulalım. Bunun için, x
11 R.Aslaner * M noktasından [AK] ya N noktasından [AL] ye paralel çizilen doğruların kesişim noktası Q 1 için m( ˆ MQ 1 N) = α dır. * M noktasından [AL] ye N noktasından [AK] ya paralel çizilen doğruların kesişim noktası Q 2 için m( ˆ MQ 2 N) = α dır. * Elde edilen Q 1 ve Q 2 noktalarının A noktasına göre geometrik yerinin verilen [MN] doğru parçasını kiriş kabul eden iki çember yayının birleşim kümesi olduğu görülür. * X noktasına animasyon vererek α açısındaki değişime bağlı olarak elde edilen GY deki değişimi görebilirsiniz. PROBLEMLER 1. Düzlemde uzunluğu 6 cm olan bir doğru parçasının uç noktalarına uzaklıkları toplamı 10 cm olan noktaların geometrik yeri nedir? 2. Uzunluğu2 cmolan bir[ab]doğruparçasını30 o likaçı ilegören noktaların geometrik yerini bulunuz. 3. Düzlemde sabit bir nokta ve bu noktadan geçmeyen bir doğru verildiğinde, verilen nokta ve doğruya eşit uzaklıkta olan noktaların geometrik nedir? xi
12 R.Aslaner 2. İnversiyon Eğrisi ve Koniklerin İnersyion Eğrileri Düzlemde bir noktanın bir çembere göre inversi tanımındaki P noktası özel olarak bir α eğrisi üzerinde bir nokta alınırsa P noktası bu eğri üzerinde hareket ederken bu noktanın inversi olan P noktasıda bir eğri gösterir. Bu eğriye P noktasının yörüngesi olan α eğrisinin inversyion eğrisi adı verilir. Teorem 2.1. Düzlemde bir doğrunun, merkezi bu doğru üzerinde olmayan bir çembere göre inversiyon eğrisi çemberin merkez noktasından geçen bir çemberdir. * Eğer doğru çemberi kesmiyor ise inversiyon eğrisi çemberin iç bölgesinde bir çember, * Doğru çembere teğet ise invesiyon eğrisi değme noktasında her ikisine teğet olan bir çember, * Doğru çemberi kesiyorsa inversiyon eğrisi kesişim noktalarından geçen bir çember gösterir. * Eğer doğru çemberin merkezinden geçen bir doğru (çap doğrusu) ise inversiyon eğrisi kendisidir. Bu teoremin doğru olduğunu germek için Cabri programında * A noktasından geçen bir doğru ve merkezi bu doğru üzerinde olmayan bir çember çiziniz, * doğru üzeinde bir P noktası alınız ve bu noktanın çembere göre inversi olan P noktasını bulunuz, * invers noktasının P noktasına göre GY ne bakınız, Ne görüyorsunu? doğru (veya çember) hareket ettirilerek yukarıda verilen önermelerin doğru olduğunu dinamik olarak görebilirsiniz. Doğru ve çemberi başlangıç nesneleri, GY sonuç nesnesi alarak bir doğrunun bir çembere göre inversiyon eğrisini veren bir makro tanımlanabilir. Bu çalımayı Uyg.1 Doğrunun İnversiyon Eğrisi olarak kayıt ediniz. Şimdi kıca konik olarak isimlendirdiğimiz çember, elips, hiperbol ve parabol eğrilerinin bu eğrilerle ilintili olan çamberlere göre inversyion eğrilerini araştıralım: xii
13 R.Aslaner 2.1. Çemberin İnversion Eğrileri. Teorem 2.2. İki çemberin birbirine göre inversiyonu yine bir çemberdir. Cabri programını açarak ekranda * M 1 noktasından geçen bir doğru çizerek üzerinde bir M 2 noktası alınız, * M 1 ve M 2 merkezli ayrık iki çember çiziniz. * M 1 merkezli çember üzerinde bir P noktası alınız. *PnoktasınınM 2 merkezli çemberegöreinversi olanp noktasını bulunuz. *P noktasınınpnoktasınagöregeometrikyerinebakınız. Negörüyorsunuz? M 2 merkezli çemberin iç bölgesinde yeni bir çember göreceksiniz. * M 1 noktasından tutarak çemberi M 2 noktasına doğru yaklaştırınız. İnversiyon çemberinin hareketini inceleyiniz. Çemberlerin dıştan teğet olması, kesişmesi, içden teğet olması, M 2 noktasından geçmesi ve merkez noktalarının çakışık olması durumlarını gözleyiniz. İnvesiyon çemberinin yukarıda bahsedilen durumlara karşılık gelen konumlarını yazınız. Mesela, M 1 merkezli çember M 2 noktasından geçiyorsa inversiyon eğrisi bir doğrudur. gibi Çemberleri başlangıç nesneleri ve inversiyon eğrisi olan çemberi GY ri sonuç nesnesi alarak bir çemberin başka bir çembere göre inversiyon eğrisini veren bir macro tanımlanabilir. Bu çalımayı Uyg.2 Çemberin İnversiyon Eğrisi olarak kayıt ediniz. Bir arbelos içerisine çizilen Pappus Zincirini oluşturan çemberler başka bir çembere göre inverisiyon eğrileridir. Diğer bir ifadeyle Pappus Zincirini çembere göre inversyon eğrilerini kullanarak oluşturabiliriz. Bunun için, * Bir ABC arbelosu oluşturunuz. * C merkezli bir çember çiziniz. *[AC] ve[bc] çaplı çemberlerin C merkezli çembere göre inversiyon eğrilerine bakınız. Bu çemberler C noktasından geçen iki çember olduğundan inversiyon eğrileri bir birine paralel ve [AC] ye dik olan iki doğrudur. xiii
14 R.Aslaner * Bu doğruların AC ile kesişim noktalarının orta noktası M olmak üzere M merkezli doğrulara teğet olan çemberi çiziniz. * Bu çemberin C merekezli çembere göre inversyon eğrisi[ab] çaplı çemberdir. * M noktasından AC ye dik olan doğrunyu çizip çember ile kesişim noktalarını alınız. * M noktasının doğrunun çemberi kestiği noktaya göre simetriği olan nokta M 1 olmak üzere M 1 merkezli doğrulara teğet olan çemberi çiziniz. * Bu çemberin C merekezli çembere göre inversyon eğrisi Pappsu çemberdir. * M 1 noktasının doğrunun çemberi kestiği noktaya göre simetriği olan nokta M 2 olmak üzere M 2 merkezli doğrulara teğet olan çemberi çiziniz. * Bu çemberin C merekezli çembere göre inversyon eğrisi zinci oluşturan ilk çemberdir. Böyle devam edilerek zincir oluşur. Aynı işlemi A ve B merkezli çembereler çizek farklı zincirler oluşturabilkirsiniz. xiv
15 R.Aslaner 2.2. Elipsin İnversion Eğrileri. Tanım 2.1. Düzlemde verilen iki noktaya uzaklıklarının toplamı sabit olan noktaların kümesine elips denir. Bunagöre F vef aynı düzlemdesabit iki nokta ve FF = 2colmak üzereelipsin cebirsel ifadesi (2.1) PF + PF = 2a a > c F P F eşitliğini sağlayan P noktalarının kümesi olup geometrik şekli yandaki gibidir. [FF ] doğru parçasının orta noktasını başlangıç noktası ve FF doğrusu asal eksen alınarak oluşturulan Oxy dik koordinat sistemi için O merkezli a yarıçaplı çembere elipsin dış teğet çemberi, F O F b yarıçaplı çembere elipsin iç teğet çemberi adı verilir. Elipsin bu çemberlere göre inversiyon eğrisini araştıralım. Bunun için, * daha önce oluşturduğumuz odak noktaları ve geçtiği bir noktası verilen elipsi çiz macrosunu açarak bir elips çizelim. * Odak noktalarından geçen ve odaklarının orta dikme doğrusunu çizelim. * Elipsin bu dorularla kesişim noktaları bularak teğet çemberleri çizelim. Elipsin iç teğet çemberine göre (veya dış teğet) inversiyon eğrini bulmak için, * Elips üzerinde bir P noktası alarak bu noktanın iç teğet çembere göre invesi olan P noktasını bulalım, * P noktasının P noktasına göre GY ne bakalım veya * P noktasına iz, p noktasına animasyon vererek bu eğrinin oluşumunu görebiliriz. Odak noktaları y ekseni üzerinde olan Cassini eğrileri olduğu görülür. Ayrıca elipsin Ç(O, c) çemberine göre inversiyon eğrisi nedir? araştırınız. Bu çalımayı Uyg.3 Elipsin inversiyon eğrileri olarak kayıt ediniz. xv
16 R.Aslaner 2.3. Hiperbolün İnversion Eğrisi. Tanım 2.2. Düzlemde verilen iki noktaya uzaklıklarının farkı sabit olan noktaların kümesine Hiperbol denir. Buna göre F ve F aynı düzlemde sabit iki nokta ve FF = 2c olmak üzere hiperbolün cebirsel ifadesi (2.2) PF PF = 2a a < c eşitliğini sağlayan P noktalarının kümesi olup geometrik şekli yandaki gibidir. O [FF ] doğru parçasının orta noktası başlangıç noktası ve FF doğrusu asal eksen alınarak oluşturulan Oxy dik koordinat sistemi için O merkezli a yarıçaplı çembere hiperbolün teğet çemberi adı verilir. Hiperbolün teğet çemberine göre inversiyon eğrisini araştıralım. Bunun için, * daha önce oluşturduğumuz odak noktaları ve geçtiği bir noktası verilen hiperbolü çiz macrosunu açarak bir hiperbol çizelim. * Odak noktalarından geçen ve odaklarının orta dikme doğrusunu çizelim. * Hiperbolün asal eksenle kesişim noktalarını bularak teğet çemberi çizelim. Hiperbolün bu çembere göre inversiyon eğrini bulmak için, * Hiperbol üzerinde bir P noktası alarak bu noktanın çembere göre invesi olan P noktasını bulalım, * P noktasının P noktasına göre GY ne bakalım veya * P noktasına iz, P noktasına animasyaon vererek bu eğrinin oluşumunu görebiliriz. Yine bir Cassini eğrisi olan ve Bernoulli Lemniskatı olarak bilinen sonsuz eğrisi olduğu görülür. Ayrıca hiperbolün * Ç(O,c), * Ç(F,c a) ve * Ç(T,c a) çemberlerine göre inversiyon eğrilerini araştırınız. Bu çalımayı Uyg.4 Hipebolün İnversiyon Eğrileri olarak kayıt ediniz. xvi
17 R.Aslaner 2.4. Parabolün İnversion Eğrileri. Tanım 2.3. Düzlemde verilen bir nokta ve bu noktadan geçmeyen bir doğruya eşit uzaklıkta olan noktaların kümesine parabol denir. Buna göre F odak noktası ve d doğrultman doğrusu olmak üzere parabolün cebirsel ifadesi d H P (2.3) PF = PH, H d eşitliğini sağlayan P noktalarının kümesi olup geometrik şekli yandaki gibidir. Parabolün aşağıda verilen çemberlere göre, T * Odak merkezli tepe noktasından geçen çembere göre, * Odak merkezli doğrultman doğrusuna teğet olan çembere göre, * Orijin merkezli odak noktasından geçen çembere göre * M( c, 0) merkezli tepe noktasından geçen çembere göre inversiyon eğrilerini araştırınız: Bu çalımayı Uyg 5 Parabolün İnversiyon Eğrileri olarak kayıt ediniz. xvii
18
19 Index İnversiyon Eğrisi, xii Bernoulli Lemniskatı, xvi Cassinni Eğrileri, xv Elips, vii, xv Geometrik Yer:(Locus), v Hiperbol, ix, xvi Parabol, xvii xix
MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI
MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI SORU 1. Köşeleri (1,4) (3,0) (7,2) noktaları olan ABC üçgeninin bir ikizkenar dik üçgen (İpucu:, ve vektörlerinden yararlanın) SORU 2. Bir ABC üçgeninin
Detaylı= e DIŞ MERKEZLİK HAZİNE-1 HAZİNE-2
HAZİNE-1 HAZİNE-2 Bir eksen üzerinde verilen noktadan geçen ve eksen ile belirli açı yaparak dönen doğrunun oluşturduğu yüzeye konik yüzey denir. Konik yüzeyin değişik düzlemler ile arakesit kümeleri çember,
DetaylıKUTUPSAL KOORDİNATLAR
KUTUPSAL KOORDİNATLAR Geometride, bir noktanın konumunu belirtmek için değişik yöntemler uygulanır. Örnek olarak çok kullanılan Kartezyen (Dik ) Koordinat sistemini anımsatarak çalışmamıza başlayalım.
Detaylı4. y=-2 doğrusundan 5 birim uzaklıkta. 5. O(0,0) başlangıç noktasından 3 birim. 6. A(1,2) ve B(5,8) noktalarından eşit. 7. x=-2 doğrusundan ve A(2,0)
GEOMETRİK YER HAZİNE-1 Analitik düzlemde, verilen bir ortak özelliği sağlayan P(x,y) noktalarının apsis ve ordinatı arasındaki bağıntıya Geometrik yer denklemi denir. Geometrik yer üzerindeki noktalar
DetaylıİÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25
İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70
Detaylıf fonksiyonuna bir üç değişkenli fonksiyon adı verilir. Daha çok değişkenli fonksiyonlar benzer şekilde tanımlanır.
Çok Değişkenli Fonksiyonlar Tanım 1. D düzlemin bir bölgesi, f de D nin her bir (x, y) noktasına bir f(x, y) reel sayısı karşılık getiren bir fonksiyon ise f fonksiyonuna bir iki değişkenli fonksiyon adı
Detaylıa 2 = b 2 +c 2 a 2 +b 2 =c 2
1.1. ELİPS 1.2. HİPERBOL 1.3. ORTAK özellikler =-a 2 /c =a 2 /c K =-a 2 /c B(b,0) K =a 2 /c Asal Eksen Uzunluğu: AA =2a Yedek Eksen Uzunluğu: BB =2b p A'(-a,0) F'(-c,0) p p Odak Uzaklığı: FF =2c Dış Merkezlik:
Detaylı4. y=-2 doğrusundan 5 birim uzaklıkta. 5. O(0,0) başlangıç noktasından 3 birim. 6. A(1,2) ve B(5,8) noktalarından eşit. 7. x=-2 doğrusundan ve A(2,0)
GEOMETRİK YER HAZİNE-1 Analitik düzlemde, verilen bir ortak özelliği sağlayan P(x,y) noktalarının apsis ve ordinatı arasındaki bağıntıya Geometrik yer denklemi denir. 4. y=-2 doğrusundan 5 birim uzaklıkta
DetaylıPARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu
PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği
DetaylıÜç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi
Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.
DetaylıParametrik doğru denklemleri 1
Parametrik doğru denklemleri 1 A noktasından geçen, doğrultman (doğrultu) vektörü w olan d doğrusunun, k parametresine göre parametrik denklemi: AP k w P A k w P A k w P A k W (P değişken nokta) A w P
Detaylı1. O(0,0) merkezli, 3 birim yarıçaplı. 2. x 2 +y 2 =16 denklemi ile verilen. 3. O(0,0) merkezli ve A(3,4)
HAZİNE-1 Düzlemde sabit M(a,b) noktasından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri, M merkezli R yarıçaplı çemberdir. HAZİNE-2 O(0,0) merkezli, R yarıçaplı çemberin denklemi; x 2 +y 2 =R 2 dir.
DetaylıİÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07
UZY GEMETRİ İÇİNDEKİLER Safa No Test No UZY KSİYMLRI... 001-00... 01-0 UZYD DGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 0-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-01... 0-07 PRİZMLR... 015-0... 08-1 KÜP... 05-00... 1-15 SİLİNDİR...
DetaylıTEKNİK RESİM. Ders Notları: Doç. Dr. Mehmet Çevik Celal Bayar Üniversitesi. Geometrik Çizimler-2
TEKNİK RESİM 4 2014 Ders Notları: Doç. Dr. Mehmet Çevik Celal Bayar Üniversitesi Geometrik Çizimler-2 2/21 Geometrik Çizimler - 2 Bir doğru ile bir noktayı teğet yayla birleştirmek Bir nokta ile doğru
Detaylı2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz.
ANALİZ 1.) a) sgn. sgn( 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini b) f ( ) 3 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var
Detaylı11. SINIF. No Konular Kazanım Sayısı GEOMETRİ TRİGONOMETRİ Yönlü Açılar Trigonometrik Fonksiyonlar
11. SINIF No Konular Kazanım Sayısı GEOMETRİ Ders Saati Ağırlık (%) 11.1. TRİGONOMETRİ 7 56 26 11.1.1. Yönlü Açılar 2 10 5 11.1.2. Trigonometrik Fonksiyonlar 5 46 21 11.2. ANALİTİK GEOMETRİ 4 24 11 11.2.1.
Detaylı( ) ( ) ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. Cevap D. Cevap C. noktası y ekseni üzerinde ise, a + 4 = 0 A 0, 5 = 1+
ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. a+ = b 4. a = b 0+ a b a b = b a+ b = 0. A ( a + 4, a) noktası y ekseni üzerinde ise, ( + ) a + 4 = 0 A 0, 5 a = 4 B b, b 0 noktası x ekseni
DetaylıTEKNİK RESİM. Ders Notları: Mehmet Çevik Dokuz Eylül Üniversitesi. Geometrik Çizimler-1
TEKNİK RESİM 2010 Ders Notları: Mehmet Çevik Dokuz Eylül Üniversitesi Geometrik Çizimler-1 2/32 Geometrik Çizimler - 1 Geometrik Çizimler-1 T-cetveli ve Gönye kullanımı Bir doğrunun orta noktasını bulma
DetaylıUzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi
Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse
DetaylıT.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi
T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 GEOMETRİ TESTİ 19 HAZİRAN 2016 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının
Detaylı- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a
İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri
DetaylıPROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma
PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir oktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma PROJEİ AMACI: Bu projede herhangi bir koniğin üzerindeki veya dışındaki bir noktadan
DetaylıTeknik Resim TEKNİK BİLİMLER MESLEK YÜKSEKOKULU. 3. Geometrik Çizimler. Yrd. Doç. Dr. Garip GENÇ
TEKNİK BİLİMLER MESLEK YÜKSEKOKULU Teknik Resim Genel Bilgi Teknik resimde bir şekli çizmek için çizim takımlarından faydalanılır. Çizilecek şekil üzerinde eşit bölüntüler, paralel doğrular, teğet birleşmeler,
Detaylı[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;
. Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş
Detaylı4. BÖLÜM GEOMETRİK ÇİZİMLER
4. ÖLÜM GEOMETRİK ÇİZİMLER MHN 113 Teknik Resim ve Tasarı Geometri 2 4. GEOMETRİK ÇİZİMLER 4.1. ir doğruyu istenilen sayıda eşit parçalara bölmek 1. - doğrusunun bir ucundan herhangi bir açıda yardımcı
DetaylıA A A A A A A A A A A
LYS 1 GMTRİ TSTİ 1. u testte sırasıyla Geometri (1 ) nalitik Geometri (3 30) ile ilgili 30 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Geometri Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. bir üçgen =
DetaylıTÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU f :R R, =f ( fonksionuna düzlemde A karşılık gelen f( +h eğri anda ki =f( P gibi olsun. f( Eğrinin P(,f( noktasındaki teğetlerini +h araştıralım. Bunun için P(,f( noktasının sağıda
DetaylıÖSYM. 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz AYT/Matematik
MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. 2. a bir gerçel sayı olmak üzere, karmaşık sayılarda eşitliği veriliyor.
DetaylıEĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU
08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. TRİGONOMETRİ 7 6 6.. Yönlü
DetaylıÜN TE I. KON KLER N ANAL T K NCELENMES
ÜN TE I. KON KLER N ANAL T K NCELENMES 1. G R fi. EL PS I. Tan mlar II. Elipsin eksenleri ve özel noktalar a. Asal eksen b. Yedek eksen c. Merkezil elips d. Elipsin köfleleri e. Elipsin odak noktalar f.
DetaylıEĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU
08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. TRİGONOMETRİ 8 6 6.. Yönlü Açılar
DetaylıÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV
- 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını
DetaylıBu doküman Kâtip Çelebi tarafından 1632 de yazılan ve İbrahim Müteferrika nın eklemeleri ile Matbaa-ı Amire de basılan Kitabı-ı Cihannüma nın
Detaylı
PARABOL. Merkezil parabol. 2px. 2py F 0, 2 F,0. Şekil I. Şekil II. p Odağı F 2. Odağı F 0, Doğrultmanı x. Doğrultmanı y
ARABL Tanım: Düzlemde verilen sabit bir noktası ile bir d doğrusuna uzaklıkları eşit olan noktaların geometrik erine arabol denir. Sabit noktaa arabolün odağı; doğrua ise doğrultmanı denir. Merkezil arabol
DetaylıUZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM
UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM. ir küpün ayrıtlarını taşıyan doğrular kaç farklı doğrultu oluşturur? ) ) ) D) 7 E) 8. ir düzgün altıgenin en uzun köşegeni ile aynı doğrultuda kaç farklı kenar vardır?. şağıdaki
DetaylıAYT 2018 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ. ai i İçler dışlar çarpımı yapalım. 1 ai i a i 1 ai ai i. 1 ai ai 1 ai ai 0 2ai a 0 olmalıdır.
AYT 08 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ ai i İçler dışlar çarpımı yapalım. ai ai i ai ai aii ai ai ai ai 0 ai a 0 olmalıdır. Cevap : E 8 in asal çarpanları ve 3 tür. 8.3 3 40 ın asal çarpanları ve 5 tir. 40.5 İkisinde
Detaylı25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır?
. f: R { 4} R, > ise ( ) 4 f =, ise 6 8. ( ) f = 6 + m + 4 eğrisinin dönüm noktasının ordinatı olduğuna göre, m kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) E) fonksiyonu aşağıdaki değerlerinin hangisinde süreksizdir? ) ) )
DetaylıLYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L
T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L 1 Denklemler 1.1 Doğru deklemleri İki noktası bilinen ya da bir noktası ile eğimi bilinen doğruların denklemlerini yazabiliriz.
DetaylıCebirsel Fonksiyonlar
Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş
DetaylıMAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ
1 MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ En büyük veya en küçük olması istenen değer (uzunluk, alan, hacim, vb.) tek değişkene bağlı bir fonksiyon olacak şekilde düzenlenir. Bu fonksiyonun türevinden ekstremum noktasının
DetaylıH. Turgay Kaptanoğlu. Ç. Dışmerkezlilik ve Doğrultmanlar Dışmerkezlilik kavramı, inceledimiz dört
KONİNİN KESİTLERİ (II) H. Turgay Kaptanoğlu Ç. Dışmerkezlilik ve Doğrultmanlar Dışmerkezlilik kavramı, inceledimiz dört eğriyi aynı bakış açısı etrafında toplamamızı sağlayacak. Dışmerkezlilik hakkında
DetaylıGeometrik şekillerin çizimi
Geometrik şekillerin çizimi ir doğruya dışındaki P noktasından P geçen paralel doğru çizmek 1. P noktası merkez kabul edilir. yayı kadar açılan pergelle doğrusu kesiştirilerek noktası elde edilir. 3. Pergel
DetaylıH. Turgay Kaptanoğlu. Bu yazüda çember, elips, parabol ve hiperbolden. çemberin denklemi olan
KONİNİN KESİTLERİ (I) H. Turgay Kaptanoğlu Bu yazüda çember, elips, parabol ve hiperbolden söz edeceğiz. Bu düzlem eğrilerinin denklemlerini elde ettikten sonra birkaç değişik konuyu açacağüz. Bunlar,
Detaylıolmak üzere C noktasının A noktasına uzaklığı ile AB nin orta dikmesine olan uzaklığının oranının α değerinden bağımsız olduğunu gösteriniz.
GOMTRİ 05/0/0. bir üçgen m() =, m() = 90 +, = 5 br, = 7 br, olduğuna göre = x kaç br dir? 5 m 9 0 m 9 0 5 90+ 7 x Çözüm: den ye çıkılan dikmenin doğrusunu kestiği nokta olsun. bir dik üçgen ve bir ikizkenar
Detaylı7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR
7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR KONULAR 1. DOĞRUDA AÇILAR 2. Açı 3. Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler 4. Açı Ölçü Birimleri 5. Ölçülerine Göre Açılar 6. Açıortay 7. Tümler Açı 8. Bütünler Açı 9. Ters
Detaylı1. TEMEL ÇİZİMLER. Pergel Yardımıyla Dik Doğru Çizmek. 1. Doğru üzerindeki P noktası merkez olmak üzere çizilen yaylarla D ve G noktaları işaretlenir.
1. TEMEL ÇİZİMLER Pergel Yardımıyla ik oğru Çizmek 1. oğru üzerindeki P noktası merkez olmak üzere çizilen yaylarla ve G noktaları işaretlenir. 2. ve G merkez olmak üzere doğru dışında kesişecek şekilde
Detaylı1996 ÖYS. 2 nin 2 fazlası kız. 1. Bir sınıftaki örencilerin 5. örencidir. Sınıfta 22 erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır?
996 ÖYS. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin saısı kaçtır? 8 C) 6 D) E) 6. Saatteki hızı V olan bir hareketti A ve B arasındaki olu
DetaylıDERSİN ADI: MATEMATİK II MAT II (12) KUTUPSAL KOORDİNATLAR VE UYGULAMALARI 1. KUTUPSAL KOORDİNATLAR 2. EĞRİ ÇİZİMLERİ
DERSİN ADI: MATEMATİK II MAT II (1) ÜNİTE: KUTUPSAL KOORDİNATLAR VE UYGULAMALARI 1. KUTUPSAL KOORDİNATLAR. EĞRİ ÇİZİMLERİ GEREKLİ ÖN BİLGİLER 1. Trigonometrik fonksiyonlar. İntegral formülleri KONU ANLATIMI
DetaylıKoninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr
apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan
Detaylı1. Analitik düzlemde P(-4,3) noktasının eksenlerden ve O başlangıç noktasından uzaklığı kaç birimdir?
HAZİNE- HAZİNE-2 O başlangıç noktasında dik kesişen iki sayı ekseninin oluşturduğu sisteme koordinat sistemi denir. Bir noktanın x-eksenindeki dik izdüşümüne karşılık gelen x sayısına noktanın apsis i
DetaylıÖrnek: Eş doğru parçalarının uzunlukları eşittir. Örnek:
ĐFL GEOMETRĐK KAVRAMLAR VE ÇALIŞMA SORULARI (Eylül-011) Terim, Geometrik Terim, Tanımsız Terim, Önerme, Aksiyom (Postülat), Teorem (Hipotez ve Hüküm), Đspat: Bir bilim dalında özel anlamı olana kelimelere
Detaylı11. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ
2012 11. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni 1. ÜNİTE: DÖRTGENLER DÖRTGEN VE TEMEL ELEMANLARI Herhangi üçü doğrusal olmayan A, B, C ve D noktaları verilsin. [AB], [BC], [CD] ve [DA]
DetaylıBir Doğrunun Orta Noktasından Dikme Çıkmak:
Bir Doğrunun Orta Noktasından Dikme Çıkmak: Herhangi bir AB doğrusunun orta noktasından dikme çıkmak için pergel AB uzunluğunun yarısından daha fazla açılır. AB doğrusunun üstünden başlayıp altına kadar
Detaylıd) x - y = 0 e) 5x -3y = 0 f) 4x -2y = 0 g) 2x +5y = 0
Koordinat sistemi Orijinden geçen doğrular Aşağıda koordinat sisteminde orijinden geçen doğruyu inceleyelim. Tanım: Orijinden geçen doğrular eksenlere dokunmaz. Orijin bir nokta olduğu için sonsuz doğru
DetaylıDik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.
ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da
DetaylıÇEMBER KARMA / TEST-1
ÇMR RM / S-... Verilenlere göre, m( ) ) ) 0 ) ) 0 ) Verilenlere göre, m(g ) ) ) ) 6 ) 0 ) 60 0 0 G 0 ) ) ) ) ) 8 L 0 [] [] = {} m( ) = 0 m() = 0 ve üçgenlerinin çevrel çemberi m( ) = 0 m() = 0 m() = üçgen
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Bibliography 9 Index 13 CONTENTS 5 0.1 Doğru, Düzlem, Uzay Bu derste sık sık doğru, düzlem ve
DetaylıÇEMBERDE AÇILAR. 5. O merkez. 9. AB çap, AE = ED = DC. 6. O merkez. 10. AB çap, DC//AB. 2. O merkez. 7. AB çap. 11. O merkez 3. O merkez 8.
ÇMR ÇILR. merkez. çap, = =. 0 0. merkez 0. çap, //. merkez 0 0. çap K. merkez. merkez 0 0 T 0 0. =. çap 00 0. P teğet, = 0 P . merkez. merkez, =. = = 0 0 0. çap, =. merkezli çeyrek çember. merkez, = 0.
DetaylıÖ.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ
Ö.Y.S. 996 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) Çözüm Toplam öğrenci
DetaylıTEMEL BAZI KAVRAMLAR. Uzay: İçinde yaşadığımız sonsuz boşluktur. Uzay, bir noktalar kümesidir. Uzay, bütün varlıkları içine alır.
1 TEMEL ZI KVRMLR Nokta: Kalemin kâğıda, tebeşirin tahtaya bıraktığı ize nokta denir. Nokta boyutsuzdur. Yani; noktanın eni, boyu ve yüksekliği yoktur. ütün geometrik şekiller noktalardan oluşur. Noktalar
DetaylıÖrnek...1 : mx+3y+12=0 ve 2x 5y+3=0 doğruları para - lelse m kaçtır?
İKİ DOĞRUNUN BİRBİRİNE GÖRE DURUMU DURUM 1 PARALEL DOĞRULAR ve doğruları paralel doğrular ise eğimleri eşittir. Yani / / m 1 =m 2 Ayr ıca : a 1 x+b 1 y+c 1 =0 =0} / / a 1 a 2 = b 1 c 1 c 2 Örnek...1 :
DetaylıMAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 3
1.3. Kompleks Düzlemin Topolojisi Tanım 1. D ε (z 0 ) = {z C : z z 0 < ε} kümesine z 0 ın bir ε komşuluğu denir. Tanım 2. Bir A C kümesi verilsin. z 0 ın sadece A nın elemanlarından oluşan bir komşuluğu
DetaylıÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER
HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI
DetaylıLİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULLARDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA. (YGS ve LYS na) HAZIRLIK İÇİN. Örnek çözümlü. Deneme sınavlı GEOMETRİ-2.
LİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULLARDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA (YGS ve LYS na) HAZIRLIK İÇİN Konu anlatımlı Örnek çözümlü Test çözümlü Test sorulu Deneme sınavlı GEOMETRİ-2 Hazırlayan Erol GEDİKLİ Matematik
Detaylı1.5. Doğrularla İlgili Geometrik Çizimler
1.5. Doğrularla İlgili Geometrik Çizimler Teknik resimde bir şekli çizmek için çizim takımlarından faydalanılır. Çizilecek şeklin üzerinde eşit bölüntüler, paralel doğrular, teğet birleşmeler, çemberlerin
Detaylı12-B. Polinomlar - 1 TEST. olduğuna göre P(x - 2, y + 4) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? olduğuna göre A B kaçtır? A) 78 B) 73 C) 62 D 58 E) 33
-B TEST Polinomlar -. Py _, i= y- y + 5y- olduğuna göre P( -, y + ) polinomunun katsayılar toplamı. - 6 = A - 5 + - + B - olduğuna göre A B 78 B) 7 6 D 58 E) B) D) - E) -. -a- b = _ + -5i_ -ci eşitliğine
DetaylıAlıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.
Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)
DetaylıJeodezi
1 Jeodezi 5 2 Jeodezik Eğri Elipsoid Üstünde Düşey Kesitler Elipsoid yüzünde P 1 noktasındaki normalle P 2 noktasından geçen düşey düzlem, P 2 deki yüzey normalini içermez ve aynı şekilde P 2 de yüzey
DetaylıXII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı
XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı A 1. Köşeleri, yarıçapı 1 olan çemberin üstünde yer alan düzgün bir n-genin çevre uzunluğunun alanına oranı 4 3 ise, n kaçtır? 3 a) 3 b) 4 c) 5 d)
Detaylı6 II. DERECEDEN FONKSÝYONLAR 2(Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MATEMATÝK. y f(x) f(x)
6 II. DERECEDEN FNKSÝYNLR (Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MTEMTÝK 1. f(). f() 6 8 T Yukarıda grafiği verilen = f() parabolünün denklemi nedir?( = 6) Yukarıda grafiği verilen
DetaylıMATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.
MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı
DetaylıBASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM
BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Geometri Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 45 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde yer
DetaylıESKİŞEHİR FATİH FEN LİSESİ GEOMETRİ OLİMPİYAT NOTLARI. Çemberler 1
SKİŞHİR FTİH FN LİSSİ GTRİ LİİYT NTLRI Çemberler 1 erleyen sman KİZ FFL atematik Öğretmeni Yazım hataları mevcut olup. Tashihi yapılmamıştır. ÇR GİRİŞ roblem. merkezli çemberin kirişi üzerinde bir noktası
Detaylı7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56
, 006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@ahoo.com.tr Türev TEST I 7. f() = sin cos fonksionunun. f()= sin( + )cos( ) için f'() nin eşiti nedir? A) B) C) 0 D) E) için erel minimum değeri nedir? A) B)
Detaylı1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77
UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir
Detaylı12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?
. SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)
Detaylı2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir?
MC www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir3@ahoo.com.tr. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler- TEST I A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1. 1/ = 0 denkleminin köklerinin toplamı aşağıdakilerden
Detaylı7 Mayıs 2006 Pazar,
TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 14. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2006 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 7 Mayıs 2006 Pazar, 13.00-15.30
DetaylıDOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ
Koordinatlar DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Bilindiği gibi, düzlemdeki her bir noktaya bir (a,b) sıralı ikilisi, her bir (a,b) sıralı ikilisine bir nokta karşılık gelir. Eğer bir A noktasına karşılık gelen
Detaylı9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme
DetaylıLYS 2016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ
LYS 016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ Dikdörtgenin içinde köşegeni çizerek alanı iki eşit parçaya ayırabiliriz. 7 / 36 BED üçgeni ile DEC üçgeninin alanlarının oranı, tabanları arasındaki orana eşittir. Buna göre;
DetaylıTaşkın, Çetin, Abdullayeva
BÖLÜM Taşkın, Çetin, Abdullaeva FONKSİYONLAR.. FONKSİYON KAVRAMI Tanım : A ve B boş olmaan iki küme a A ve b B olmak üzere ( ab, ) sıralı eleman çiftine sıralı ikili denir. ( ab, ) sıralı ikilisinde a
DetaylıDenklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,
Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli
DetaylıLys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2
1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.
Detaylı2014 LYS GEOMETRİ 3. A. parabolü ile. x 1 y a 9 çemberinin üç noktada kesişmesi için a kaç olmalıdır?
014 LYS GOMTRİ 1. y 1 1 y a 9 çemberinin üç noktada kesişmesi için a kaç olmalıdır? parabolü ile. O merkezli çeyrek çemberde O deltoid olduğuna göre, taralı alan kaç birim karedir? O. d:y a b doğrusu -ekseni
DetaylıANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın,
DetaylıİNS1101 MÜHENDİSLİK ÇİZİMİ. Bingöl Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 2018
İNS1101 MÜHENDİSLİK ÇİZİMİ Bingöl Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 2018 TEKNİK RESİM Teknik resim, teknik elemanların üretim yapabilmeleri için anlatmak istedikleri teknik özelliklerin biçim ve
DetaylıA A A A A A A A A A A
LYS 1 GOMTRİ TSTİ 1. u testte sırasıyla Geometri (1 ) nalitik Geometri (3 30) ile ilgili 30 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Geometri Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. [ [ [ [] []
DetaylıÜç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi
Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.
DetaylıHarita Projeksiyonları
Harita Projeksiyonları Bölüm Prof.Dr. İ. Öztuğ BİLDİRİCİ Amaç ve Kapsam Harita projeksiyonlarının amacı, yeryüzü için tanımlanmış bir referans yüzeyi üzerinde belli bir koordinat sistemine göre tanımlı
Detaylı1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.
DetaylıLeyla Yıldırım Bölüm BÖLÜM 2
BÖLÜM 2 PERİYODİK HAREKETLERİN ÜSTÜSTE GELMESİ Birçok fiziksel durum, aynı sistemde iki veya daha fazla harmonik titreşimin aynı anda uygulanmasını gerektirir. Burada aşağıdaki temel kabule bağlı olarak
DetaylıPARABOL Test -1. y x 2x m 1 parabolü x eksenini kesmiyorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
PROL est -. m parabolü eksenini kesmiorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?. f a b c (, ) ) (, ) (, ) (, ) ( 6, ). m parabolü eksenini iki farklı noktada kesmektedir. una göre,
DetaylıÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT
ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT ÜÇGNLRİN ŞLİĞİ Üçgende çılar. azanım : ir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 80, dış açılarının ölçüleri toplamının 0 olduğunu gösterir. İki Üçgenin şliği. azanım
Detaylı14 Nisan 2012 Cumartesi,
TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 17. ULUSAL İLKÖĞRETİM MATEMATİK OLİMPİYATI - 2012 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 14 Nisan 2012 Cumartesi,
Detaylı13. 2x y + z = 3 E) 1. (Cevap B) 14. Dikdörtgen biçimindeki bir tarlanın boyu 10 metre, eni 5 metre. Çözüm Yayınları
Doğrusal Denklem Sistemlerinin Çözümleri BÖLÜM 04 Test 0. y = y = 6 denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) {(, 4)} B) {(, )} C) {(, 4)} D) {( 4, )} E) {(, )}./ y = / y = 6 5 = 5 = = için y
DetaylıÇemberde Açılar ve Yaylar
Çemberde Açılar ve Yaylar 13.12.2012 Akdeniz Üniversitesi/Antalya Bilgisayar-1 Dersi Projesi İçindekiler KONU HAKKINDA GENEL BİLGİ... 3 ÇEMBERLE İLGİLİ TEMEL KAVRAMLAR... 4 ÇEMBERDE YAYLAR... 5 ÇEMBERDE
Detaylı