BAŞLANGIÇTA SERBEST YÜZEYİNDE SİNÜZOİDAL DALGA FORMUNA SAHİP BİR TANKTA ÇALKANTI PROBLEMİNİN SINIR ELEMAN YÖNTEMİYLE ÇÖZÜMÜ

Transkript

1 Yapım Matbaacılı Ltd., İstabul, 999 Editörler : A. İ. ALDOĞAN Y. ÜNAN E BAYRAKTARKATAL GEMİ İNŞAATI VE DENİZ TEKNOLOJİİ TEKNİK KONGREİ 99 BİLDİRİ KİTABI BAŞLANGIÇTA ERBET YÜZEYİNDE İNÜZOİDAL DALGA FORMUNA AHİP BİR TANKTA ÇALKANTI PROBLEMİNİN INIR ELEMAN YÖNTEMİYLE ÇÖZÜMÜ Abdi KÜKNER, Kerim Kamil TAPKAN ÖZET Bu çalışmada, sıır elema ötemi (EY) ullaılara viso olmaa, sııştırılama, irrotasoel aış abulleri ile lieer serbest üe şartları ugulaara ii boutlu bir taı başlagıçta siüoidal ormlu serbest üeii ve belirli iç otalarda potasiel, basıç değerleri ile hı vetörlerii amala değişimi problemi çöülmete, ii ve üç boutlu eş-potasiel, eş-basıç ve hı alaı graileri ardımıla çeşitli taa ormlarıı arşılaştırmalı aalileri apılmatadır. EY ötemi ile eterli saıda serbest üe elemaı seçilmesi, ama adımı ve baı atörleri ugu alıması halide amala ço a distorsioa uğraa çöümler elde edilebilmete ve EY i bu tür ama bağlı serbest üe problemleride etiliği gösterilmetedir. Belirtile grailer eşit ama adımlarıdai potasiel ve basıç değişimlerii gösterme ve iç otalardai hı değerlerii vetöriasou ile aış doğrultularıı taii amacıla ullaılmatadır. ouç ısmıda ise çalatıı ta ormu ve sıvı hareetleri üeridei etileri değerledirilmetedir. Pro. Dr. İ.T.Ü. Gemi İşaatı ve Dei Bilimleri Faültesi, Dei Teolojisi Bölümü, Aaağa-8066, İstabul, Türie Lisas öğrecisi, Gemi İşaatı ve Dei Bilimleri Faültesi, Dei Teolojisi Bölümü, Aaağa-8066, İstabul, Türie 98

2 INIR ELEMAN YÖNTEMİ NEDİR? ıır elema ötemi çeşitli mühedisli, bilim ve matemati problemlerii çöülmeside ullaıla ümeri bir teitir. Edüstride sıır elema ötemi ısaltılmış şelile EY olara adladırılır. Mühedisl hesaplarıda agı olara ullaıla solu arlar ve solu elemalar ötemlerii serbest üe problemlerii çöümüde ala etili olamaması alterati bir ötem araışıa gidilmesie sebep olmuştur. Yuarıda adı geçe diğer ötemleri öellile domai tipi ötemler olması ve çöüm bölgesii içii ve sıırlarıı birlite disretie edilmesii geretirmesi edeile ümeri çöümü eti olara apılamaaca ço büü delem sistemleri ortaa çımatadır. Bu ötemleri programlaması ve veri girişi işlemleri de ola olmaıp souçları hassasieti de sıır elema ötemleri adar ii değildir. olu elemalar ötemie alterati olara geliştirilmiş ola bu ötem -sıır elema ötemi (EY)- itegral delemler ötemide türetilmiştir (Mihli, 957) (Cruse, 969) (Jawso ve mm, 977). ıır elema ötemi, lasi sıır itegrali ötemleri ile solu elemalar avramlarıı bileşimi olara taımlaabilir. EY ötemii gelişimi basılmış ola itaplarda (Brebbia, 978) (Brebbia et al, 98) (Washiu, 974) ve oula ilgili oeras aılarıda (Liu ve Ligget, 98) detalı olara er almatadır. Arıca ie oula ilgili bilgiler ve reeraslar içi Boudar Elemets Resources Networ (BENET) adlı iteret siteside ( ) ararlaılabilir. Kııda ua alalardai mühedisli ativitelerii artması dolaısıla, dei dalgalarıı asıma ve aılımları haıda detalı bir bilgi sistemi oluşturulması, sodaj gemileri ve batı petrol depolama taları gibi dei apılarıı güveli dia edilebilmesi içi gereli bir hal almıştır. Lieer teori bağlamıda, basit geometriler (öreği Wehause & Laitoe, 960) içi baı aaliti çöümler mevcuttur. Kapsamlı bilgisaar ullaımı geretire saısal çöümler, armaşı geometrie sahip gerçeçi problemleri çöümüde öemli rol oamatadırlar. Mei i (978) solu elemalar ve itegral delemleri ötemleri ile ilgili geiş bir icelemesi bulumatadır. o amalarda, dei dalgaları ousuda çeşitli türde problemleri çöülmesi içi sıır elema ötemleri araştırılmıştır. Bu çalışmada sıır elema ötemi, boutlu didörtge esitli bir tata bulua sıvıı belirli ama adımlarıdai hareetlerii iceleme içi geliştirilmiştir. ıır elema ötemi ullaılara söü geçe ta ormuda serbest üe hareetleri ve sıvı içidei basıç ve potasiel dağılımları icelemetedir. INIR ELEMAN YÖNTEMİNİN KULLANIM ALANLARI Dalga teoriside sıır elema ötemii başarıla ugulaabildiği başlıca ii tip problem mevcuttur. Bularda e geel olaı, biricisi, üe dalgalarıı bir cisim ile ola etileşimii icelediği asıma ve aılma problemleridir (Au, 98) (Brebbia et al, 98). İicisi ise serbest üe oluşumlarıı temel delemlerde türetilmesi ile 99

3 ilgili problemlerdir. Öellile bu problemler lieer olmaa öelliğe sahipse sıır elema ötemi ço ugu bir ümeri çöüm olara ortaa çımatadır. EY i diğer ugulama alaları şöle sıralaabilir : Gerilme Aalileri Gerilmei oğulaştığı bölgeleri taii Bağ aalii Yorulma ırılması gelişimi Eletri Alaı imülasoları Koroo Baı eletroima türleri Austi ıır elema ötemii ullaa baı bilgisar programlarıı apısal gerilme aalii çıtıları reli oturlar şelide görsel açıda ço adalı olabilmetedir. Güümüde gemi işaatı ve açı dei ostrüsioları üeride de EY presibi ile çalışa bilgisaar programları ullaılara ie ü ve gerilme aalii apılmatadır. ÇALKANTI PROBLEMİ NEDİR? Kısme dolu, sıvı ü taşıa talar, hareet sıvı üü doğal reasıa alaştığıda gemi hareetlerie tepi gösterirler. Buu soucuda ta duvarlarıda ve tavaıda diami basıç oluştura şiddetli çalatılar, dolaısıla dalgalar medaa gelir. Ta geometrisie, döme merei, hareeti reası ve geliği ve e öemlisi ta içerisidei sıvı üseliğie bağlı olara çeşitli dalga ormları gelişebilir. Bular, dura dalgalar, hareetli dalgalar vea bu iisii ombiasoları ile hidroli uu arasıda değişebilir. o adı geçe tip dalgalar ta bouca hareet ede ademeli dalgalardır ve ta duvarlarıa geellile üse basıçlarla eti ederler. Deesel gölemlerde alaşıldığı adarıla bir hidroli uu, hareet doğrultusuda, sıvıı üseliğii ta bouda alaşı 0% a olması durumda oluşmatadırlar. Bir başa ü tepisi şeli de sıvıı düşe ese etraıda dödüğü girdap hareetidir. Bu ararsı durum, üresel ve silidiri talarda bası olara ve a mitarda da primati talarda görülür. Çalatı basıçları, öellile gemi hareetlerii doğal reasları, sıvı üü doğal reasıa aı olduğu ama taa apısal arar verebilece derecede üse değerlere erişebilirler. Bu edele, dia aşamasıda çalatı tepilerii tai edilmesi gerelidir. Aca şu da uutulmamalıdır i çalatıı ço saıda parametre etilemete ve arıca olaı lieer olmaa öelliği problemi çöümüü bir hali or ılmatadır. Talardai çalatı davraışıı etilee parametreleri armaşılığı ve çeşitliliği gö öüde buludurulduğuda, alışılmışı dışıda boutları ve iç apısı bulua taları aali metodu ugulamalarıda ve hasar raporlarıı 95% doluluta bile ta 00

4 tavaıda büü basıçlar oluşabileceğii gösterdiği üse dolulutai LNG talarıda belirsilileri olması şaşırtıcı değildir. Birço LNG gemi dialarıı gelişmesile, LNG taşııcılarıı tasarımcıları taraıda çeşitli öemli üleme durumları gö öüe alımıştır. Yüleme durumlarıı oluşturduğu souçlarda e öemlileride birisi de argo taıda bulua LNG i çalatı oluşturmasıdır. Bu çalatıı olışturduğu üler, ta ve deste apısı diaıda diate değer etilere sahiptir. Bir LNG gemiside buluabilece bir ta hatasıa öel diat gösterilmesi gereir. Buu sebepleri; temel apıı olaca ırılma risi (düşü sıcalı şou), armaşı ta apısıı üse tamir malietleri, gemii sevris dışı alması dolaısıla oluşaca ararlar, potasiel patlaıcı durumudai argo olara sıralaabilir. Buula birlite, ısme dolu LNG talarıda, çalatı oluşma risi edeile baı ölemlere geresiim duulmatadır. Geçmişte, üresel ve silidiri oteerlerde çalatı oluşumu aaliti ve deesel olma üere ua ugulamalarıda icelemiştir. Büü olasılıla çalatı ülemesii doğası ve öcede estirimi bu ta çeşitleride, prismati talara orala daha ii alaşılabilmetedir. Aca büü gelili çalatıı öcede estirimi içi aaliti teiler hala tam olara geliştirilememiştir ve böle üler ta deste apılarıı ve taı iç bileşelerii diaı içi so derece öem ar etmetedirler. INIR ELEMAN YÖNTEMİNE GÖRE ÇALKANTI PROBLEMİNİN MODELLENMEİ Bu çalışmada üeri açı, içi su dolu, arlı taba ve duvar ormlarıa sahip, üseliği H ve geişliği L ola ii boutlu bir ta ele alımatadır. H=L olara seçilmiştir. İcelemelerdei temel amaç serbest üei başlagıç aıdai bilie ormu ullaılara ta içerisidei potasiel hareeti çöümüde amala değişimlerii belirlemesidir. Taı içidei aışa viso olmaa, sııştırılama ve irrotasoel abul edilmete ve ata esei sai su üeide (=0), ataa di esei de aışada dışarıa ölemiş ola bir - artee oordiat sistemi olara gö öüe alımatadır. Bua göre sıır değer problemii delemleri aşağıdai gibi iade edilebilir : Aışa içide: = = 0 () erbest üede: ζ t = ζ () t = B gζ 0 Pa ρ (3)

5 abit sıırlarda: = u(, t) Burada = ζ (, t) serbest üei geliğii; B, Beroulli sabitii iade etmetedir. ise ormal vetör olup, aışada dışarıa doğru poiti olaca şeilde seçilmiştir. (3) umaralı delemde atmoseri basıç sıır alıırsa Pa terimi sııra eşit olacatır. Katı sıırlar hareetsi ise U hıı da sıır olacatır. erbest üe problemleride viso olmaa, sııştırılama ve rotasoel olmaa aış abulleri apılması halide ortaa çıa potasiel teorie daalı problemde o-lieerli sadece serbest üe sıır şartlarıda aalamatadır. Küçü gelili dalgalar durumuda () ve (3) delemlerile iade edile serbest su üei şartlarıdai üse mertebede terimleri ihmal edilmesile ve de B=0 alıma suretile uarıda verile şartlar sai su üeide (=0) ugulaması durumuda : (4) = 0 da ζ = t t = gζ (5) bağıtıları elde edilir. Problemi EY ile saısal ötemle ormüle edilmesii içere temel teori bilgiler Jawso ve mm (977) i itabıda er almatadır. Hı potasielii alaşı çöümü φ, gerçe çöüm de φ olara abul edildiğide Laplace delemi, = R şelide iade edilir. Burada R alaı iade etmetedir. Geel işlem olu R alaıı D çöüm alaı üeride miimie etme ve ortalama olara sıırlaabilme, burada da alaşı çöümü, gerçe çöüme mümü olduğuca alaştırmatadır. Buu içi de alaı ugu olara seçilece bir w ağırlı osiou ile ormalie edelim. Yai ; (R,w) = 0 (7) apma gereir. Arıca (6) delemii ullaara, (7) bağıtısı; D çöüm alaıı iade etme üere, (6) 0

6 ( ) w dd = 0 D (8) şelide buluur. Bu deleme Gree i iici bağıtısı ugulaır ve düeleirse, w w dd = w d d D (9) bağıtısı elde edilir. Burada, D çöüm alaıı sıırıı iade etmetedir. w ağırlı osiou erie, tam çöümü vere aşağıdai iade ullaılırsa, (9) delemi, = * = L Π r * * q d q d (0) () şelii alır. Burada r, aa otası ile ala vea değişe otası arasıdai mesaedir. () bağıtısı çöüm alaı içerisidei her ota içi geçerlidir. Aca bir sıır çöüm ötemi olara omüle edilebilmesi içi sıır üerie taşımalıdır. Bu işlem apıldığıda çöüm ala sıırı üeride geçerli ola, * = * q d q d () bağıtısı elde edilir. Bu iade Gree i sıır ormülü vea sıır itegrali olara bilimetedir. İi boutlu bir çöüm alaı sıırı saıda sıır elemaı ile iade edilir, her sıır elemaı üeride potasiel ve potasieli ormal türevi değerlerii sabit ve elema orta otasıda bir çöüm otasıdai değere eşit olacaları abul edilirse verile bir i otası içi () delemi disretie edilmiş ormda, aşağıdai şeilde aılabilir. i = * i q j d = j j jq * i d = j j (3) 03

7 Burada i otası ile üeride etegraso apıla j elemaı arasıdai ilişii iade ede itegraller : olara taımlaırsa (3) delemi, i = * G = d H ij ij j Hˆ j q * d = ij j j= j= G ij q j (4) (5) şelide iade edilir. H ij Hˆ = H ˆ ij ij i jie i = jie (6) abulü ile (5) delemi, H = ij j j= j= G ij q j (7) ormuu alır. saıda ota içi bütü delemler matris ormuda iade edilirse, [ H ]{ } = [ G]{} q (8) şelii alır. Bu delemdei bilimee saısı seçile çöüm otası saısıa () eşit olacatır. H ve G are matrisleri ( ) boutudadırlar. i=j olduğuda Hij ve Gij itegralleri Gauss Quadrature itegraso ötemi (Chapra ve Caale, 985) ile hesaplaabilirler. Hij ve Gij itegralleri ise sabit elemalar ullaılması halide olaca aaliti olara hesaplaırlar (Baal, 989). ama adımı ile ou taip ede ama adımı arasıda solu arlar ormülasou ullaıldığıda lieerleştirilmiş serbest üe şartları, ζ = ζ t 0 3 ( t ) (9) 04

8 05 ( ) 3 0 ζ t b a t g t g = [ ] [ ] = G G H H!! s H G ah t g! (0) şelide iade edilirler. Burada a ve b ağırlı atörleri olup hassasiet ve stabilite aalii apılara optimie edilirler. Bu çalışmada almo et al (980) taraıda ullaıla a = 0.7 ve b = 0.83 değerleri seçilmiştir. Nümeri söüm ve büüme etisii olmaması içi ab= olması gerelidir. ici ama adımı içi idisi serbest üe, s idisi ise sabit üedei çöüm otalarıı iade etme üere (8) delemi, () şelie döüştürülebilir. Her ama adımıda bilie φ ve φ değerleri delemi bir taraıda toplaaca şeilde düeleme apılırsa çöülüce cebri iade aşağıdai ormda elde edilmiş olacatır. (3) Zamaa bağlı çöüm, verile başlagıç değerlerie göre bu delem sistemii çöümü ile elde edilecetir. Ta cidarlarıda ormal hıı sıır olması şartı ullaılara ama adımıda ta cidarlarıdai φ, serbest üede ise içi çöüm apılmış olacatır. erbest üei her ama adımıdai oumu (9) delemi ardımıla buluabilmetedir. Bütü sıır çöüm otalarıdai φ ve φ bilimee değerleri herhagi bir ama adımıda çöüldüğüde o ama adımıda () bağıtısı ardımıla çöüm alaı içerisidei her otadai potasiel değerlerii hesaplaması mümü olacatır. [ ] ( ) ( ) = a t g t gζ G H!

9 Problemi çöümüde serbest üe sıır şartları lieerleştirilere sai su üei dülemide uguladığıda ve ta cidarları hareetsi olduğuda sabit t ama adımı seçilmesi halide atsaılar matrisii sadece bir e hesaplaması eterli olmatadır. Bu halde her ama adımıda sadece ormal türev vetörüü eide oluşturulması, matris-vetör çarpımıı apılması ve sağ taraı oluşturulara sistemi çöülmesi geremetedir. INIR ELEMAN YÖNTEMİNE GÖRE AYIAL OLARAK ÇALKANTI PROBLEMİNİN ÇÖZÜMÜ VE UYGULAMALARI Çöüm alaı L bouda, H üseliğide ii boutlu bir ta (Şeil ) olara alımış ve H=L olara abul edilmiştir. Bütü parametreler L boutua göre boutsulaştırılmıştır. erbest Yue Ta Tabaı Şeil. İi boutlu ta ormu ve siüsoidal serbest üei ıır elemaları ötemi, sıır disretiasolarıa ço hassastır. Öellile serbest üe problemleride bu daha ala öem aaır. Bu problemi bir işisel bilgisaar ullaılara çöülmesi amaçladığıda problemi boutları mümü olduğuca üçü tutulmasıa öe gösterilmiştir. Değişi disretiaso geometrileri deedite sora serbest üede 5 adet sabit üe elemaı alımış, ala tüm sıırlardai elemalarla elema saısı 50 e tamamlamıştır. Potasieli ve ou ormal türevii her sıır elemaı üeridei değerii sabit ve o elema ortasıdai otasal çöüm değerie eşit olduğu varsaılmıştır. Zama boutuda ise solu arlar disretiasou ullaılmıştır. Başlagıçta serbest üei şeil de görüldüğü gibi siüsoidal ormda olduğu, aışaı tamame hareetsi olduğu abulü apılmıştır. t=0 aıdai başlagıç değerleri ile başlaa hesaplama sabit t ama adımları ile ama boutuda ilerlemete, her ama adımıda serbest üei ormu hesaplamata, sıırdai çöüm otalarıı tümüde bilimee potasiel ve potasieli ormal türevi değerleri hesaplamata, bu değerler bir sorai ama adımıda başlagıç değeri olara ullaılmatadır. İtegraller dört otalı bir Gauss Quadrature ormülü ile çöülmetedir. 06

10 Her ama adımıda oluşa lieer delem sistemi ümeri olara atsaılar matrisii LU atoriasou ve iterati geliştirme ile çöülmetedir. t=0.5 olara seçilmis, ümeri hesaplama boutsu t=5 değerie erişicee adar ilerletilmiştir. Bu aşamada çöüm alaı içeriside seçile otalarda potasiel hesaplamata ve eşit potasiel eğrileri belirleere çiimi apılmatadır. Bulua potasiellerde ise ta içeriside ve cidarlarda oluşa basıç hesaplaara ie graileri oluşturulmuştur. Bu maalede apıla çalışmada seçile adet ta ormu icelemetedir. Bu ta ormları : Didörtge esitli dügü taba ve duvarlara sahip ta ormu Bir üçge tabada oluşa taba ormu olara arlı amalardai serbest üe ormuu değişimleri, eş potasiel eğrileri, eş basıç eğrileri ve ta ormlarıı çiimlerile arşılaştırmaa tabi tutulmuştur. Kapsamlı arşılaştırmalarda elde edile veriler, souç ısmıda arıtılı olara alatılımış ve apıla saısal itegrasolar soucuda çalatı problemi haıda elde edile bilgi ve değerledirmeler detalarıla suulmuştur. İcelee ta ormları içi, t=.5, t=.5, t=3.45 ve t=4.5 ama adımlarıda serbest üe oumları, eş basıç ve eş potasiel eğrileri arşılaştırılmıştır. NUMARALI TANK FORMU Bu ta ormu didörtge esitli olup başlagıç aıda serbest üei siüsoidal dalga olara abul edilmiştir. Grailerde, ta geişliğii ;, ta üseliğii ve ise basıç potasiel değerlerii göstere eseler olara seçilmiştir. Şeil. umaralı ta ormu 07

11 Şeil 3. t=.5 ama adımıda eş potasiel ve 3 boutlu potasiel gösterimi Şeil 4. t=.5 ama adımıda eş potasiel ve 3 boutlu potasiel gösterimi Şeil 5. t=3.5 ama adımıda eş potasiel ve 3 boutlu potasiel gösterimi Şeil 6. t=4.5 ama adımıda eş potasiel ve 3 boutlu potasiel gösterimi 08

12 Şeil 7. t=.5 ama adımıda eş basıç ve 3 boutlu basıç gösterimi Şeil 8. t=.5 ama adımıda eş basıç ve 3 boutlu basıç gösterimi Şeil 9. t=3.5 ama adımıda eş basıç ve 3 boutlu basıç gösterimi Şeil 0. t=4.5 ama adımıda eş basıç ve 3 boutlu basıç gösterimi NUMARALI TANK FORMU Bu bölümde didörtge esitli ve üçge tabalı ta ormu icelemete ve başlagıç aıda serbest üei siüsoidal dalga olara abul edilmetedir. Üçge tabaı masimum üseliği 0.5H tır. Grailerde, ta geişliğii ;, ta üseliğii ve ise basıç potasiel değerlerii göstere eseler olara seçilmiştir. 09

13 Şeil. umaralı ta ormu Şeil. t=.5 ama adımıda eş potasiel ve 3 boutlu potasiel gösterimi Şeil 3. t=.5 ama adımıda eş potasiel ve 3 boutlu potasiel gösterimi Şeil 4. t=3.5 ama adımıda eş potasiel ve 3 boutlu potasiel gösterimi 0

14 Şeil 5. t=4.5 ama adımıda eş potasiel ve 3 boutlu potasiel gösterimi Şeil 6. t=.5 ama adımıda eş basıç ve 3 boutlu basıç gösterimi Şeil 7. t=.5 ama adımıda eş basıç ve 3 boutlu basıç gösterimi Şeil 8. t=3.5 ama adımıda eş basıç ve 3 boutlu basıç gösterimi Şeil 9. t=4.5 ama adımıda eş basıç ve 3 boutlu basıç gösterimi

15 ONUÇ umaralı ta ormuda eş potasiel eğrileride hareetle herhagi bir çalatı hareeti gölememetedir. öü geçe ormu dügü earlı ve ditörtge esitli bir apıa sahip olması edeile t=t.5 ama adımıa adar taı herhagi bir esimide aım hatlarıda opma vea girdaplaşmaı medaa gelmediği alaşılmatadır. Buula birlite ama adımlarıdai eş potasiel eğrilerii pe ala arlılı göstermemesi gö öüde buludurulara buda sorai ama adımlarıda da herhagi bir çalatı hareetii oluşmaacağı esitirimii apma alış olmaacatır. Yie bu ta ormua ait basıç değerleri de ortalama olması geree sevielerde seretmetedir. Basıcı her ama adımıda mertebesii oruması da tata herhagi bir e basıç oluşmadığı ai bir çalatı hareetii oluşmadığı alamıa gelmetedir. umaralı ta ormua gelidiğide ise, eş potasiel eğrilerie abaca bir gö gedirildiğide dahi umaralı ormu eğrileride e adar arlı olduğu alaşılabilir. Bu ar öallile t=4.5 ama adımıda iice edii göstermete ve çalatıı oluşumu bu ama adımıda açıça görülebilmetedir. Bu ormda öellile üçge tabaı üseliği çalatıı oluşması açısıda bir sebep olara düşüülebilir. t=.5, t=.5 ve t=3.5 ama adımlarıda gölemlee aımdai boulmalar t=4.5 aıda bir girdap hareeti oluşturmuştur. Arıca taı ii earı ve tabaı civarıdai aım hatlarıdai arışmalar da çalatıı gelişere ilerleeceği ileimii vermetedir. Tüm bu açılamalar gö öüe alıdığıda ta ormuu, sıvıı hareeti ve davraışları ile doğruda ilgili olduğu ve öellile tehlieli ü taşıa gemilerde ta ostrüsio plalarıı, çalatı icelemesi apıldıta sora diatle haırlaması geretiği alaşılmatadır. KAYNAKLAR [] Tapa, K.K., Talardai Çalatı Problemii ıır Elema Yötemile Çöülmesi, Lisas Tei, İ.T.Ü., İstabul, 999 [] Faltise, O., Olse, H.A., Abramso, H.N., Bass, R.L., Liquid losh I LNG Taers, Teth mposium o Naval Hdrodamics, Bosto, 974 [] Baal, M.A., Noliear Damic Pressure Evaluatio Alog Progressive Proiles, Dotora Tei, İ.T.Ü., İstabul, 989 [4] Brebbia, C.A., The Boudar Elemet Method or Egieers, Petech Press, Lodo, 978 [5] Brebbia, C.A., Telles, J., Wrobel, L., Boudar Elemets Fudemetals ad Applicatios i Egieerig, priger Verlag, Berli, 98 [6] Cruse, T.A., 4 Numerical olutios i Three Dimesioal Elastostatics, It. J. olid truct., 5, s , 969 [7] Faltise, O.M., A No-Liear Theor o loshig i Rectagular Tas, Joural o hip Research, vol.8, No.4, s. 4-4, 974 [8] Faltisei O.M., A Numerical No-Liear Method o loshig i Tas With Two Dimesioal Flow, Jour. O hip Research. Vol., No.3, s. 93 0, 978 [9] Jawso, M.A., mm, G.T., Itegral Equatio Methods i Potetial Theor ad Elastostatics, Academic Press, 977

16 [0] Mielis, N.E., Miller, J.K., Talor, K.V., loshig i Partiall Filled Liquid Tas ad its Eects o hip Motios : Numerical imulatios ad Eperimetial Vertiicatio, The Roal Istitutio o Naval Architects, 984 [] Ligget, J.A., Locatio o Free urace i Porous Media, Joural o Hdrodamics Divisio, ACE, vol.03, s , Nisa 977 [] Liu, P., Ligget, J.A., Applicatios o Boudar Elemets Method to Problems o Water Waves, Developmets i Boudar Elemets Method-, Applied ciece, Lodo, 98 [3] Mihlis,.G., Itegral Equatios, Pergamo Press, Oord, 957 [4] almo, J.R., Liu, P., Ligget, J.A., Itegral Equatio Method or Liear Waves, Hdraulics Divisio Joural, vol.06, ACE, s , 980 [5] haw, R.P., Boudar Itegral Elemet Methods Applied to Water Waves, Applied Mechaics Co., Resellaer Poltechic Istitute, 975 [6] Washiu, K., Variatioal Methods, M.I.T. Press, Massachusetts, 974 [7] Küer, A., Baal, M.A., Wave loshig i Corrugated Bottom Tas With Two Dimesioal Flow, Ocea Egieerig Joural, 6, pp 703-7, 999 3