DİFERANSİYEL DENKLEMLER ve UYGULAMALARI

Transkript

1 Ercie Üiveritei Mühedilik Fakültei Makia Mühediliği Bölümü DİFERANSİYEL DENKLEMLER ve UYGULAMALARI (DERS NOTLARI) Doç.Dr. Sebahatti ÜNALAN Kaeri, Elül

2 BÖLÜM I. GİRİŞ. ROBLEM ve DİFERANSİYEL ÇÖZÜM Mühedilik bir problemi çözümüe öelik araştırma apa bir heaplama bilimidir. Bir heaplama işlemi ie, değişik metodlar eticeide geliştirilmiş ola bağıtı-deklem-eşitlik imi verile, değişik fokioları kullaılmaıla mümküdür. Yai deklemiz bir problem çözümüde bahedilemez. Doğru-Yalış, Az-çok, Büük-Küçük gibi matıkal orumlar acak bir deklemi vereceği aıal ouca göre vea eğriel karekteretiğie göre apılabilir. Bu bağıtılar vea deklemler, deeel olarak bulumaı halide AMİRİK, ümerik metodlarla bulumaı halide NÜMERİK ve teorik tekiklerle elde edilmei halide ie ANALİTİK bağıtılar imii alırlar. Bir bağıtıı çözüm aralığı ve haaieti, ıırlı ve hataız olabileceği gibi, (-, ) aralığı ve belirli bir hata olabilir. Buu edei, bir deklemi üretimi ürecide bazı ö şartları kabul edilmei ve deklem üretimii imkaız kıla bazı parametreler ihmal edilmeidir. Dolaııla hem deklemleri kullaabilmek ve çözebilmek, hemde bu deklemlerde elde edilecek ouçları doğruluğu hakkıda orum apmak belirli bir bilgi birikimii gerektirecektir. Bu edele, heaplama işlemide kullaıla deklemleri aıl ve hagi şartlarda buluduğu çok öemli olacaktır. Başka bir ifadele, deklemleri aıl üretilildiğii ve çözüm metodlarıı e olduğuu bilimei mühediler içi vazgeçilmez bir aşamadır. Bu deri amacı, bahedile deklemlerde TEORİK ve NÜMERİK çözümleri ugulaabileceği temel apıı oluşturulabilmei içi gerekli ola matematikel ve temel fiziki tekikleri vermektir. İlave olarak, çözüm modeli olarakta iimledirilebilecek temel apıı ürüü ola deklemleri aıl çözüleceği oruuda cevaplaacaktır. Çözüm tekikleri ve çözümü ugulaacağı temel apı, tam olarak doğru olabileceğı gibi belirli bir hata paıı başta kabul ederek aklaşık eticeler de verebililecektir. Öemli ola bu hataı problem üzeride etkiii mühedilik açııda ihmal edilebilir eviede olmaıdır. Bu edele bir mühedi kei çözümleri aıda aklaşık çözümlerle de ilgilee kişidir. Çözüme ulaşma oluda, elerde vazgeçileceğii ve bu vazgeçile parametreleri ouç üzerideki etkii tahmi edebile matematik ve fizik adamıdır. Mühedi başka bir ifade ile matemetikel ve fizikel olarak doğru olabile bir çözümü mutlaka bulmak içi zorulu olarak kabul edile bir hataı, çözüm oraıda ouç üzerie etkiii aıtabilecek kadar, ilgili problemi gereği ola fizikel ve matematikel bilgie ahip ola kişi demektir. Diğer bir bakış açııla, mühedi problemi e kola, mümkü ola e doğru şekilde çözüp, bulua eticeleri geçerliliğiide tai edebile kişidir. Böle bir kabiliet ie acak matematiel ve fizikel bilgileri olarak tam olarak bilimeile ve buları harmalamaıla mümkü olabilir. Souçta, probleme ve problemi fiziğie ola hakimiet, pratik mühedilikte oluşabilecek arızaları vea üretim hatalarıı medaa geliş ebeplerii kola bir şekilde belirlemeie ve e kıa zamada arızaı giderilmeie de ardımcı olacaktır. Örek-: İlk hızı m/ ola maddeel okta, a şeklide zamaa bağlı ivme ile i(.5 t) hareketie devam etmektedir. Hareketi zamaa bağlı hızıı vere deklemi buluuz. Deklemdeki t i birimi aiedir.

3 dv Çözüm : a, ie hız dv a ivmei zama üzeride itegraouda V t buluabilir. dv itegrali i(.5 t) hareketi zamaa bağlı hız deklemii verecektir. Bu itegrali çözümü ile - araıdaki herhagi bir t zamaı içi geçerli VV(t) şeklide bir deklemi verecektir. Acak verile itegral çözülemee bir itegraldir. Dolaııla VV(t) şeklide bir bağıtı üretilemeecektir. Buda hareketi hızıı heaplaamamaı maaıadır. Bu aşamada tam bir çözüm erie aklaşık bir çözüm düşüülebilir. Bu aklaşık çözümü biricii aalitik olarak çözülemee itegrali aıal (ümerik) olarak çözülmeidir. İkicii ie, itegrali çözümüzlüğüe ede ola fokioel apıı belirli bir hata ile giderilmee çalışılmaıdır. İtegraldeki i(.5t) erie, küçük.5t değerleri içi.5t azılabilir. Bölece itegral çözülebilir hale döüşür. Bu aklaşımı doğruluğu, adaki şekilde gözleebilir. Zama-t i ile aie değerleri araıda i(.5t) ve.5t araıda büük bir uum vardır. İtegral eğri altıda kala alaı heabı maaıada geleceği içi - aie aralığıda her iki eğri altıdaki alada heme heme aı olacaktır. Acak, aiede büük zama değerleride aradaki fark büümektedir. Bölece - araıda kullaılmak üzere hareketi hızıı taımlaa bir deklem üretilebilir. V t dv i(.5 t) V(t) t / (t< ) t ie.5t i (.5 t).5 t t Çözülemee itegral ümerik ötemlerle çok haa bir şekilde çözülebilir. Nümerik çözüm ve V(t) t / deklemile değişik zamalar içi heaplaa hız değerleri mukaee edildiği zama de oraki hız değerlerii çok farklı olduğu görülecektir. Yadaki tabloda MATHAD ile apıla ümerik itegrao ve V(t)t / deklemi ile heaplaa hız değerleri görülmektedir. İfade edildiği gibi de ora hız değerleri araıda fark medaa gelmektedir. aie içi V(t)t / deklemide hız heaplaır- a % lik [( )*/5.5] bir hata apılmış olur. Değişik zamalar içi ümerik ve aalitik hız değerleri [m/] Zama Nüm.He. V(t)t / t [] Örek-: Aı kütlee ahip bir paraşütü ve bir çelik bilaı H kadar ükeklikte erbet bırakılmaı halide medaa gele hareketleri hız ve ol deklemlerii buluuz. Çözüm : Çelik bilaa ve paraşüte etkie kuvvetler Ağırlık (W) ve Hava Direç (F R ) kuvvetleridir. Hava direci cimi üze alaıla (A) akıda ilişkilidir. Büük üzelere büük direç kuvvetleri, küçük üzelere küçük direç kuvvetleri etkiecektir. Geel olarak akışka direç kuvvetleri akışka vea ciim hızıla.derecede (V ) oratılıdır. Bu durumda paraşüt ve çelik bila içi II.Newto Kauu ( Fma) ugulaıra ivme (a) şu şekilde buluur.

4 Fma, W-F R ma, Wmg ve F R AV ie AV a g m So ifadee göre ivme hızı fokioudur. Hareket üreice hız değişeceği içi ivme değişecektir. İvmede hıza ve hızda ola itegrao ile geçilebilir. a dv A m g V ie g dv A V m So itegrali alıabilmei değerii aıal değerie bağlıdır. aıı ciim geometriie, akışka ciie ve akış ciie göre.5 ile araıda değer alabilir. Bu durumda itegral alma işlemi geel maada mümkü olamadığı içi çözümüzlük var deilebilir. Çözüm içi çözümüzlüğe ebep ola direç kuvvet ihmal edilmei düşüülebilir. Çok küçük üze alaıa ahip çelik bila içi F R alıabilir. Bu durumda ivme erçekimi ivmeie eşit olup abit olacaktır. Yei durumda zamaa bağlı hız ve ol deklemleri dv a g ie Vgt ve gt olacaktır. Lie evieide fizik bilgii olarak verile bu deklemler adece direç kuvvetii aklaşık ıfır olduğu vea hareket ivmeii abit olduğu durumlarda kullaılabilir. Bir paraşüt hareketii aalizide kullaılamaz. Yukarıdaki öreklerde görüldüğü gibi problem çözümüde amaç e doğru ve e kola çözümü ugulamaktır. Tercih edile bir deklem vaıtaıla aalitik çözüm aramaktır. Sora ümerik ve gerekire deeel çözümler takip edilecektir. Geel olarak bir mühedilik problemii çözümü içi gerekli ola bir deklemi elde edilmei içi başlagıcıda oua kadar gelişe geel olalar Tablo-I deki akış şemaı ile açıklaabilir. Deeel ve ümerik çözümleri aşamaları Tablo- de açıktır. Bu çözüm metodları içi gerekli alt apı ve tekikler Ölçme Tekiği ve Nümerik Aaliz derlerile verilir. Aalitik vea teorik aalizi içere çözüm metodu ve aşamaları Diferaiel Deklemler Derii müfredatıı kapamaktadır. Bu deri kapamıı daha ii alaşılmaı bakımıda, aalitik çözüm içi bu tabloda görüe aşamalar daha detalı olarak alt bölümlerde icelemiştir:. Mühedilik roblemi: Makia mühediliğii ilgi alaı ola Eerji, Termodiamik, İmalat-Korükio, Makia Diamiği ve Mekaik aabilim dallarıı ilgiledire Diza, Üretim ve Kotrol heaplamalarıı tamamıdır. Hata taii, aar işlemleri, üretim oraı kotrol gibi tüm üreçler bir problemi kapamı dahilidedir. Bir problem bu aabilim dallarıda adece biri ile alakalı olabileceği, birde fazla alaıda kapaabilir. Bir problemi hem ümerik hem deeel vea hem teorik hemde deeel çözümü apılabilir. Dee reel ortamı temil edeceğide, eticeleri daha ağlıklı olacaktır. Acak deeel çalışma pahalı ve haa bir işlemdir. Bu edele literatürde teorii doğruluğu deeel çalışma ile doğruladıkta ora deeel çalışma tercih edilmez. Daha ekoomik ve kola ola aalitik ve ümerik çözümler ile etice araır.

5 Tablo - I : Bir Çözüm Deklemi Bulumaı içi Gerekli Aşamalar Mühedilik roblemi Dee Setii Hazırlamaı Deeel Çalışma ve Model Fizikel Büüklükleri Taımlamaı Teorik Çalışma Ugu Koordiat Sitemii Seçilmei Deeel Ölçümler ÖLÇME TEKNİĞİ Sıır ve Başlagıç Şartlarıı Belirlemei Diferaiel Deklemi Teşkil Edilmei Souçları Yorumu ve Hata Aalizi İSTATİSTİK METODLAR NÜMERİK ANALİZ Nümerik Çözüm Diferaiel Deklemi Çözümü Aalitik Çözüm Deeel Ölçümleri AMİRİK DENKLEME Döüştürülmei Tüm Souçları Fiziki Olarak Yorumlamaı. Teorik ve Deeel Neticeleri Mukaeei Örek: F [N] luk bir bama kuvveti zorlaa A keitli L uzuluğudaki makia elemaıı 5 o ve o ıcaklık ortamlarıda çalışmaı halide heaplamalarda dikkate alıacak kriterler eler olabilir. F L L F F L L < L Şekil değişmiş haller Flambaj hali 5 o (a) o (b) Değerledirme : Bu makia elemaıı F kuvvetii emietli bir şekilde taşımaı içi gerekli keit ve uzuluk değeri Makie Elemaları, Malzeme, Iı traferi ve Mukavemet bilgileri dahilide heaplamalıdır. Bu açıda kullaıla malzemei emietli gerilme değerleri F i ebep olduğu baıcı ve L uzuluğuu maruz kaldığı burkulmaı (flambaj) karşılaacak eviede olmalıdır. Baıç ve burkulma teiride malzeme bir şekil değişimie maruz kalacaktır. Bu şekil değişimii 5

6 çalışıla ortam ve malzeme ıcaklığı ile akı bir ilgii vardır. a şıkkıda malzeme oda ıcaklığıdadır. Bu edele atomik apıda bir değişim gözlemez. Böle bir halde ıcaklık oucu mukavemette bir azalma vea platik-elatik şekil değişimii tehlikeide bahedilemez. Mukavemet heaplamaları içi L, A ve F ile malzemei emiet ıırıı belirlee gerilme değeri eterlidir. Bu edele adece mukavemet problemi olarak ele alıabilir. Oaki b şıkkıda malzeme ükek ıcaklıktadır. Bu edele atomik (kritalik) apı değişim göterebilir. a şıkkıa göre şekil değiştirme (elatik vea platik deformao) kabilieti daha fazladır. Bu edele ükek ıcaklık ortamıda çalışmak itemee eticeler doğuracaktır. Bu açıda b şıkkıda malzeme ek bir itemle oğutulmalıdır. Dolaııla mukavemet heaplarıa ilave olarak ıı traferi heaplamaları ve malzemei mikrokobik aalizide apılmalıdır. Örek olarak, mikrokopik apı YMK apıda HMK apıa kaabilir. Bu değişim malzemei ertlik, elektrik iletkeliği, ıı iletme kabilieti, daaımı gibi tüm özelliklerii değişmeie ede olabilir. Hatta oğutmaı temi etmek içi elema apııda medaa gelecek diza değişimleri, mukavemet aalizide tekrar dikkate alımalıdır. Soğutma içi elema içeriide oğtucu akışka kaalları açılmalıdır. Bu keitte ve diğer boutlarda değişime ede olacaktır. Dolaııla koular birbiride bağımız olmaıp, birbirlerile etkileşim halidedirler.. Fizikel Büüklükler: İlgili probleme etkii ola birimli ( temel birim: m; metre, o ; atigrad derece, ; aie ve kg; kilogram) vea birimiz bütü büüklüklerdir. Diğer bir ifade ile buluacak çözüm deklemide ve çözüm aşamaıda karşımıza çıkacak Sabit ve Değişkelerdir. Bu büüklükleri belirlemei ilgili problemi fiziğie hakim olmakla mümküdür. Bir probleme etkie fizikel büüklükleri ii belirlemei çözümü ıhhatii de direkt etkiliecektir. Yalış bir belirleme haaplaa ve gerçekte medaa gele değerler araıda bir farkı medaa gelmeie ede olacaktır. İi bir fiziki bilgi aı zamada pratikte medaa gelebilecek problemleri giderilmeiede ardımcı olacaktır. Fizikel büüklükler tepit edilirke probleme ola etkiide başlagıçta belirleebilmelidir. Bölece, kola çözüm açııda hagi fizikel parametreleri ihmal edilebileceği tai edilebilir. Çükü, fizikel büüklük aııı artmaı, problemi daha komple olmaıa ve aalitik çözümü daha zor olmaıa ede olacaktır. Hiç çözüm bulamamak erie, kabul edilebilir bir çözümü üretilmei mühedilik formaouu bir oucudur. Tablo II : Temel Fizikel Büüklükler, Sembolleri ve Birimleri Değişkeler Sembol Birim Değişkeler Sembol Birim Zama T S Atalet mometi I mm, kgmm Yol, m. İş, Eerji W,E Joule Hız V,u m/ Özgül ıı p, v j/kg.h. o İvme a, g m/ Iı iletim kataıı K,λ kw/m. Kuvvet F, N Iı taşıım kataıı H,α kw/m. Güç,W Kw,BG Gerilme σ,τ dan/cm Sıcaklık T o, o K Kiematik vizkoite ν m / Iı Q,q Kcal, Joule Diamik vizkoite µ Kg/m.. Sürtüme Kataıı µ Boutuz Baıç,p N/m, Bar Birim uzama ε Boutuz Ya Kataıı k N/m Yoguluk ρ kg/m Momet M Nm Çökme miktarı δ Mm Kütle m Kg, g Makia mühediliği açııda öemli büüklükler, buları birimleri ve embolleri Tablo II verilmiştir. Fizikel büüklükleri problemi hiç bir afhaıda değişiklik götermee kımıa abit büüklükler imi verilir. Geelde, abitleri problem çözümüde bir zorlaştırıcı ve kolalaştırıcı bir etkii oktur. roblem çözümüde aıl etkili ola değişke fizikel büüklükler dir. E bait problem içi değişke aıı e az iki tae olmaı gerekirke, üt ıırı oktur. Fizikel 6

7 büüklükleri değişebilir kımı kedi araıda BAĞIMLI DEĞİŞKEN ve BAĞIMSIZ DEĞİŞKEN şeklide iki alt gruba arılır. Bu aırma işlemi problemi çözümüde etkilidir. Kola çözümü vere bir grublama tercih edilmelidir. Bağımız değişke geelde kefi değer alabile değişkedir. Bağımlı değişke ie bağımız değişkee karşı değer alabile bir değişkedir. ()f() fokioel göterimide bağımlı, ie bağımız değişkedir [Örek: ()i]. Eğer () şeklide [Örek: ()i] bir düzeleme apılıra, bağımlı bağımız değişkeler olacaktır. Öceki örekte verile hareket problemide, V hız bağımlı değişke olarak, t zama ie bağımız değişke olarak iimledirilir. Geelde, hagi zama da hız e olur? şeklideki oru orulmaı edeile VV(t) şeklide göterim gerekir. Eğer V ike t? oruuu cevabı öemli ie tt(v) şeklide bağımlı ve bağımız değişkeleri erdeğiştirmei de mümküdür. Örek: Atmoferde hızla hareket ede roketi uç kımıdaki ıcaklık değerii doğru olarak heaplamaı içi gerekli fizikel büüklükler e olmalıdır? Et kalılığı Hareket öü Roket içideki cihazlar Hava akım çizgileri Açıklama: Roketi atmofer içeriideki hareti eaıda hava taeciklerii akım çizgileri roketi uç kımıda dolaı şekilde göterile apıa ahip olur. Hava taecikleri roket ucuu çarparak hareket doğrultuua dik doğrultuda dağılırlar. Bu edele uç tarafta ürtüme medaa gelir. Bu ürtüme de aşırı ıımaa ede olur. Medaa gele ııma roket ucuu geometrii, roket hızı gibi değerlere büük orada bağlı olacaktır. Aerodiamik apıa ahip bir uç geometrii ile düzlem üzee (küt geometri) ahip bir uç geometrii aı etkie ede olmaacaktır. Hatta havaı ıcaklığı emi, gece güdüz gibi bir çok faktörle medaa gelecek ııma değerii etkileecektir. Medaa gelecek ıı uç taraftaki ıcaklığı ükelmei ile eticeleir. Sıcaklık ükelmei malzemei ergime ıırıı aşara itemee, roket hareketii boza etkileşimler medaa gelir. Burada amaç roket ucudaki ıcaklık değerii rokete ve roket içideki cihazlara zarar vermeecek bir eviede olmaıdır. Çükü, roketi hedefie varmada bozucu teiri altıa girmei roketi imal edilme düşüceie akırıdır. Sıcaklığı düşürülmei içi bir oğutma itemi düşüülebilir. Gerek ergime ve gereke oğutma problemleri içi roket ucudaki ıcaklık dağılımı bilimelidir. İtemee bir olaı medaa gelmemei içi roket ucudaki malzeme ciii ve et kalılığıı itee şartları ağlaacak derecede olmaı gerekir. Sıcaklık değerii heaplaabilmei içi deeel vea teorik çalışma ouda bir bağıtıı bulumaı gerekir. Elde edilecek bu bağıtı bulumaı gerekli vea kurulacak dee etide ölçülecek fizikel büüklüklere şular olmalıdır: Fizikel büüklükler : - Sıcaklık, T Değişke parametre - Roketi hızı, V Değişke parametre - malzeme ve malzemei ıı iletim kataıı, k Sabit parametre - roket ucuu geometrik apıı,a Sabit parametre - hava oğulugu, ρ Değişke parametre - hareket doğrultuu, Değişke parametre - ürtüme oucu medaa gele ıı, Q Değişke parametre - erçekimi ivmei,g Sabit parametre Bu büüklüklerde uç geometrii, malzeme ve erçekimi roketi hareketi üreice abit kalırke, diğerleri değişir. Çükü, malzeme apııı değişmei başlagıçta apıla heaplamalarıda 7

8 etkileecektir. Bu edele malzeme özellikleri hareket üreice abit kalmalıdır. Değişke büüklüklerde ıcaklık bağımlı, diğerleri bağımız değişke olarak iimledirilebilir. Çükü, TT(ρ,,Q,V) şeklide bir bağıtı araştırılıor. Bölece kefi ve bağımız ρ,, Q ve V değerlerie karşılık T i bağlı olarak hagi değerleri alacağı heaplaabilir.. Deeel Çalışma Oldukca karışık ve aalitik çözümü mümkü olmaa bazı problemlerde pratik heaplamalar içi kullaıla bir takım bağıtılar-deklemler deeel çalışmalar eticeide buluur. Bulara deeel olarak bulumaları ebebile AMİRİK BAĞINTI imi verilir. Böle bir bağıtıı bulumaı içi dee apa kişii ölçüm cihazlarıı kullaım kapaitei ve hata apma büüklüğü hakkıda uzma olmaı gerekir. Dee eti, oucu mümkü olduğuca doğru olmaı içi gerçek problemi küçük bir maketi olmalıdır. Aı zamada deeel ölçümler oucu bulumuş datalar ii bir itatikel bilgi ile değerledirilmelidir. Deeel çalışmalarla bulua bu bağıtıları kullaılabilme aralığı aalitik deklemlere göre oldukça ıırlıdır. Acak gerçek bir ugulamada (dee bir evi ugulama ahaı olarak alıabilir) bulumaı edeile eticeleri aalitik deklemlere göre daha ağlıklı olacaktır. Yiede her hal içi çok aıda apılmaı gereke deeleri getirdiği ükek maliet edeile teorik aalizi mümkü olmadığı vea büük orada hatalı olduğu hallerde deeel öteme başvurulur. Çükü, herhagi bir problemi deeel olarak aalizi çok kapamlı dee etii ve çok aıda dee apılmaıı gerekli kılar. Bir çok mühedilik problemii var olduğu düşüülüre ouza gide aıda dee eti ile acak tüm mühedilik problemleri çözüme kavuşturulabilir. Hiç üpheiz ki, ouza gide aıdaki dee eti ie o kadar büük aıda peroel ve maddi deteği gerekli kılacaktır. Yai, deeel çalışma acak, teorik aalizi ii eticeler vermediği, çözümüzlüğü olduğu durumlarda kullaılmalıdır. Güümüzde, mühedilik problemlerii çoğu teorik ve deeel eticeleri birlikte değerledirildiği özelliktedirler. Öreği, oğuluk, ıı iletim kataıı (katıları ıı trafer etme kabilietii göterir), ıı taşıım kataıı (akışkaları ıı trafer etme eteeğii göterir), vikozite (akışkaları ıvılık kabilietii göterir), erçekimi ivmei gibi fizikel büüklükler acak deeel olarak tebit edilebilirler. Buula birlikte, oğuluğu ve ıı iletim kabilieti deeel olarak belirlemiş bir metal plaka içeriideki ıcaklık dağılımı oldukca ii bir haaietle teorik olarak heaplaabilir. Verile bir deklemi ampirik olduğu, değişkeleri öüde ve üt olarak bulua abitleri çok küüratlı olmaıda alaşılabilir. İlgili kitaplarada, deklemi ampirik olup olmadığı belirtilir. Aı zamada ampirik deklemi ağlıklı kullaılma aralığı da belirtilmiştir. Deklemlerde bulua değişkeleri birimlerii e olmaı gerektiği de açıklamıştır. Örek: Aşağıda verile deklemleri aalitik ve ampirik olmaı durumua göre değerlediriiz. a) V(t)V o -at, (t)v o t-.5at : V o ilk hızıla başlamış bir hareketi zamaa bağlı hız ve ol deklemleridir. Bu deklemler ivmei abit olduğu ve hareketi avaşlaa bir karaktere ahip olduğuu götermektedir. Bu deklemler ile heaplama bağımız değişke ola zamaı < t < aralığı içideki tüm değerleri içi geçerlidir. Verile deklemler II.Newto Kauu ve itegraola buluduğu içi ANALİTİK DENKLEM lerdir. Dikkat edilire, deklemlerde abitler çok küüratli değildir ve V(hız), (ol), a(ivme) ve t(zama) değişkeleri içi bir birim mecburieti verilmemiştir. Sadece değişkeleri birimleri birbirlerile uumlu olmalıdırlar. Yol ve zama km (kilometre) ve h (aat) olarak verilmişe hız ve ivme km/h vea km/h ; cm ve (aie) verilmiş ie cm/ vea cm/ olacaktır. Bu deklemler, abit olmaıda dolaı, g erçekimi etkiide gelişe hareketler içide kullaılabilir. Bu durumda ag olacaktır. Bölece deeel olarak belirleebile erçekimi ivmei teorik bir aalizle birleştirilerek deklem üretimide kullaılabildiğie dikkat edilmelidir. 8

9 H b) o : Bu bağıtı atmoferi değişik ükeklikleride (H) ölçüle baıç To () değerlerii ümerik ve itatitik metodlarla deklem halie döüştürülmeide belirlemiş olup, havaı atmoferik baıcııı deklemel ifadeidir. Daha öce çeşitli ölçüm cihazlarıla baıç değerleri ölçülmüştür. Daha ora Nümerik Tekikler kullaılarak, ölçüm değerleri formülize edilmişlerdir. o ve T o deiz evieideki baıç ve ıcaklıklardır. Deklemdeki abitler çok küüratlıdır ve değişkeler H ve, ıraıla m ve Atm. birimleride olmak zorudadırlar. Başka birimlerde, (örek olarak mm ve N/m ), H ve i bu deklemde kullaılmaı alış etice verecektir. Bu deklem ile ağlıklı bir heaplama içi makimum H ükekliği m olabilir. Daha ükeklerde alış etice verecektir. Yai deklemi kullaımıa bir ıır getirilmiştir. Dolaııla bu bir AMİRİK DENKLEM dir. Bu deklemde ile metre araıdaki herhagi ükeklik azılarak, o irtifa evieideki baıç heaplaabilir..5 Teorik Çalışma ve Diferaiel Çözüm Teorik çalışma deeel çalışmaa göre ucuz olmaı edeile tercih edilir. Geelde bir teorii eticei deeel bir çalışmala doğrulamaa çalışılır. Bu doğrulama işlemi bir problemi birkaç ahaı içi içra edildikte ora ileri ürüle teorii doğru eticeler verdiği kaaatie ulaşılır. Teorik çalışmada problemi eri üzeride etkili ola fizikel büüklükler tebit edildikte ora, bu değişkeleri problemi geçerliliği üreice oadığı rol de tepit edilmelidir. Bu işlemde amaç fizikel büüklükleri abit ve değişke şeklide iki gruba aırmaktır. Değişke fizikel büüklükleri arta aıı teorik aalizi apılabilirliğii azaltır. Geel olarak, belirlemiş fizikel büüklükler araıda direkt olarak bir deklem türetmek pek mümkü değildir. Çükü direkt bir deklem azmak içi matike ve fizikel olarak gerekçe buluamaz. Dolaııla, bu gerekçeleri üretilebileceği ei ortamlar düşüülmelidir. Bu edele, çözülemee mühedilik problemleride geellikle üperpozio ilkei ugulaır. Bu preibe göre çözülemee bir problem çözülebilir daha küçük parçalara arılır. Arıla bu parçalar teker teker birbirleride arı olarak çözüme tabii tutulurlar. Daha ora ouçta elde edile çözümler belirli fizik kaidelerie göre toplaır. Bu şekilde aıl problem içi lazım ola geel çözüm elde edilmiş olur. arçalama işlemi maka vea tetere ile gerçekleştirile bir olgu olmaıp, çözüm gaei ile üretilmiş, haali-aal olarak düşüüle, aa probleme göre çok daha küçük ola problemciklerdir. Bahedile parçalama işlemii aıı arttıkca, düşüülecek parametre aııda azaldığı içi, elde edile eticei daha ağlıklı olmaıda özkouudur. Daha büük problemleri ve apıları daha küçük problemler vea apılar şeklide düşümei temel matığı, çözülebilirlik şartıa ulaşılabilmeidir. Souç olarak büük itemleri belirli aıda alt itemlere bölüerek, büük problemi N aıda küçük probleme arılmaı eatır. Şaet, çözülemee problemi ouza (N ) gide aıda parçalama ile çözümü araıra, elde edile her bir parçaa DİFERANSİYEL ELEMAN imi verilir. Başka bir ifade ile e küçük fizikel apıa diferaiel elema demek de mümküdür. Acak, e küçük olmakla birlikte hiçbir zama ıfır değere ahip değildir. Sıfıra e akı ve e küçük şeklideki bir orum daha doğrudur. Diferaiel elema, matematiel olarak, zama (t) içi (zamaı diferaiel elemaı vea diferaieli ); lim N O t t N şeklide bir örekle tarifleebilir. arçalama işlemi diğer bir taımla türetmedir. Bir fizikel büüklüğü e küçük parçaı, ou matematiel olarak türevi (igilizcede diferaiel) dir. Bu diferaiel elema duruma göre Diferaiel Aralık, Diferaiel Yüze vea Diferaiel Hacim iimleriide alabilir. Özellikle, termodiamikte ve akışkalar mekaiğide Kotrol Hacmi olarakda iimledirilir. Çözülemee problemde, parçalama işlemi bağımız değişkeler olarak belirlee fizikel büüklükler ea alıarak gerçekleştirilir. Geel olarak, çözüle problem bir geometrik problem ie, diferaiel elema ea problemi bir miik miatürü şeklide olur. Ea 9

10 problem bir prizma ie diferaiel elemada miik bir prizma, bir küre ie diferaiel elema küçük bir bir küre parçaı, ea problem bir ilidir ie diferaiel elema da küçük bir ilidir parçaı şeklidedir. Diferaiel elema ile aa problem üzeride etkili ola fizikel büüklükler araıda belirli fiziki kaidelere göre geliştirilmiş bağıtılara ie DİFERANSİYEL DENKLEM imi verilir. Geelliklede, deklem teşkil edilirke bağımız değişkei diferaiel boutuda, bağımlı değişkei aıl değiştiği araştırılır. Matıkal olarak e küçük apı içeriide bağımlı değişkei bağımız değişkee göre değişimi acak lieer olabilirler. Yai diferaiel boutta parobolik, iuziodal ve logaritmik eğriler vea değişimler medaa gelmez. Bu tür eğriler vea değişimler aıl problem boutuda medaa gelir. Bir problemde bağımlı değişkei bağımız değişkee göre değişimi herhegi bir eğridir. Bu eğrii bilie foiolar (iü, coiü, log, ta, ep vea porabolik) ciide açık ifadeii azılabilmei problemi çözülmüş olduğuu göterir. Mühedilik problemleride bağımlı değişkei bağımız değişkee göre değişimi başlagıçta bilimez. Dolaııla bir çözümüzlük mevcuttur. Acak, çözülemee bu problemi e küçük parçaı ola diferaiel elema içeriide tüm değişimler lieerdir. Başka bir bakış açııla, lieer bir değişim akalamak içi, item ouza gide aıda parçalara arılarak üperpoze edilir. Çükü, e bait eğri-e bait deklem-e bait değişim lieer (ab) bir deklemdir. Lieer deklemde daha bait ifade ie abitlerdir. Dolaııla çözülemee aa problemler üperpoze edilirke geel çözüm grubuu oluştura herhagi bir eğri çok aıda doğrulara bölümektedir. Souç olarak, e küçük parçalara aırarak medaa getirile çözüm tekiğie ie DİFERANSİYEL ÇÖZÜM deir. Bir diferaiel deklem, bildiğimiz klaik deklemlerde farklıdır. Direkt heaplamalar içi kullaılamazlar. Bu edele a ümerik olarak ada aalitik olarak tekrar çözülmelidirler. Daha öce verilmiş ola İtegraller e bait diferaiel deklemlerdir. d itegralide.5 içi e olmalıdır? oruu cevaplaamaz. Acak, bu itegrali çözümü ola.5 de,.5(.5) şeklide heaplama apılmaı mümküdür. Çükü,.5 ie d? oruu hiç bir zama etice bulamaz. Bilie d e küçük ama, ıfır olmaa bir büüklüktür. İtegralleri çözümüde karşılaşıla değişke döüşümleri, kımi itegrao, arım açı formülleri vb çözüm şekilleri gibi, diferaiel deklemleri çözümleride de çeşitli tekikler vardır. Diferaiel deklemleride, alıabile vea alıamaa itegrallerde olduğu gibi, aalitik olarak çözülebile ve çözülemee tipleri mevcuttur. Diferaiel çözümü alaşılabilmei içi aşağıdaki kiematik problemii üzeride durulmaıda büük fada vardır. Örek : İki değişik harekette olu zamaa göre değişimleri aşağıdaki şekilde verilmiştir. Bua göre hareketleri taımlamak içi gerekli ola bağıtıları taımlaıız. Hagi aralıklarda çözüm ağlıklıdır. Buluacak bu bağıtı bezer hagi problemlerde S(ol) kullaılabilir. gibi orulara cevapları mutlaka bilimei gereklidir. Eğriel Değişim (II.Hareket) S S θ Lieer Değişim (I.hareket) t t t(zama) Açıklama : Dikkat edilire bir heaplama içi mutlaka gerekli ola bir deklem vea bağıtı iteior. Alıda oruda Şekli azı ifadei edir oruua cevap iteior. Bu edele Bu bağıtı aıl olmalıdır? Naıl elde edilir? Bu şekle göre I. Harekette ol zamaa göre lieer olarak artmaktadır. Lieer bir değimi eğimi (θ) tüm t değerleri içi aıdır. Herhagi bir t aıdaki θ değeri buluura bu tüm t ler içi kullaılabilir. Şekilde S S tgθ azılabilir. Bu deklemdeki t t tgθ ol/zama kavramıa ugu olarak m/ birimie ahip olmalıdır. Dolaııla I. Hareket içi ve t böle bir kavramla birbirie bağlamakta ve bir dekleme döüşmektedir. Souç olarak I. Hareketi tam olarak taımlaabilmei içi ve t e

11 ilave olarak m/ birimie ahip ei bir fizikel büüklük gereklidir. Bu büüklüğe literatürde HIZ imi verilmiş ve V harfi ile imgeelleşmiştir. Neticede I. Hareketi deklemi, V bağımlı ve t bağımız S S S değişkeler olmak üzere Vt () t t t şeklideki olup tüm zamalar içi hareketi hızıı verir. Bu deklem eğimi abit olduğu, ai, olu zamaa göre düzgü değiştiği tüm hareketler içi geçerlidir. II. Harekette olduğu gibi ol zamaa göre düzgü değişmiora kullaılamaz. II. Harekette ie olu zamaa göre değişimi herhagi bir eğridir. Eğrii eğimi zamala değişmektedir. Dolaııla I. Hareketteki aklaşımla hızı bulmak mümkü değildir. Çükü, herhagi bir a içi bulumuş ola eğim diğer zama dilimleri içi alış olacaktır. Bu eğrii bilie fokioları çarpımı, toplamı vea bölümü şeklide direkt azmak, matıkal bir tabaı olmadığı içi alış olacaktır. Öreği, II. Hareket içi Vit lt vea V 5t -e t gibi bir taımlamalar doğru olmaacaktır. Çükü, Niçi böle bir fokio? oruu her eferide cevap bulamaacaktır. Bölece, II. Hareket içi bu oktada bir çözümüzlük mevcuttur. Çözmek içide hareket daha kıa üreli hareketciklere bölümelidir. VV(t) vea S S(t) şeklide bir bağlatı aradığı içi t bağımız değişke olarak tercih edilmelidir. Çükü, kiematik problemlerde herhagi bir adaki hız ve ol merak edilir. Çözüm içi II. Hareket ve 8 parçaa arılıra, aşağıdaki S-t grafikleri elde edilir. S(ol) ε Lieer değişim kabulu t t t t t(zama) I.hareketi parçaa bölümei S(ol) ε t t t t(zama) I.hareketi 8 parçaa bölümei I.hareketi çözümüde ve t araıda lieer bir değişim içi çözümü olabileceği oucu ortaa çıkmıştır. Bu edele, II.hareket çözüm gaeile daha küçük parçalara arılırke, zamaa göre değişimleri lieer olmaı preibi gözetilmelidir. II.hareket t lik zamaa ahip eşit hareketciğe bölüdüğü zama her hareketcik içeriide -t değişimii biraz daha bait olduğu görülecektir. Bu edele her dilim içerideki değişim lieer olarak kabul edilire, gerçek eğri ve lieer eğri araıda bir ε kadar Hata farkı medaa gelecektir. Bu hata kabul edilire her bir hareketcik içi I.harekette elde edile hız bağıtıı ugulaabilir. Bölece küçük hareket içi tae deklem ve hız değeri buluacaktır. Fakat, bu çözüm küçükte ola hatalı olacaktır. Bu hataı azaltmak içi çözüm düşüüle küçük hareket aııı artırılmaıdır. Bu amaçla dilim aıı bölüm aııı 8 olura, her bir hareketi zamaı t t / olacaktır. Buula birlikte lieer değişim ve gerçek değişim araıdaki farkta ε de arı arıa azalarak ε e düşecektir. I.hareket ugulamaıda elde edilecek hız ve deklem aııda 8 e çıkacaktır. Bu deklemler birbirie bağlı olup birii eticei bir oraki hareketciği iput bilgii olacaktır. Dolaııla hareketcik içi bilimeeli, 8 parçacık içi 8 bilimeeli deklem itemi ortaa çıkacaktır. Netice olarak, bölüm vea dilim aııı artmaı halide medaa gele hata azalacaktır. Yai gerçek ve lieer değişimler birbirie aklaşacaktır. Bu aklaşımda hareketle parçalama aıı arttıkca, gerçek değişimler çözüm içi olmaı arzu edile lieer değişimler birbirlerie aklaşacaktır şeklide geel ouç elde edilir. Buula 8

12 birlikte ele daha fazla bilimeeli deklem itemi elde edilmektedir. Bu deklem itemii çözümü arı bir zorluk olarak düşüülmelidir. Yiede, hata ıfır değildir. E az hata içi dilim aıı olabildiğice artırılmalıdır. Acak medaa gelecek çok bilimeeli deklem itemii çözümü bu artırıma egel olacaktır. Eğer parçalama aıı ouza gide miktarda büük alııra hata değeride ıfıra ve hareketciği zamaı gidecektir. Hareketciği medaa geldiği bu e kıa zama aralığı DİFERANSİYEL ELEMAN olacaktır. Souzluk matematikel ve fizikel olarak orumlaamaa bir büüklüktür., N, m/ vea o gibi ifadeler ölçüm aletlerii ve ia hafalaıı öteide bir olgudur. Bu edele herhagi bir ifadei ouz kabul etmek mümkü değildir. Acak, ouz vea taımız olmada öceki, taımlı ola o değere matematikte bildiğimiz LİMİT ile ulaşılabilir. Bu açıda II.hareket içi herhegi bir zama dilimide hız ifadei matematikel aklaşımla şu şekilde azılabilir:, parçalama aıı t S ds lim V t ε Bu proele bulua deklem DİFERANSİYEL DENKLEM olacaktır. Bu dekleme ulaşmak içi ugulaa ouz küçük parçalara aırma matığı ve üreci DİFERANSİYEL ÇÖZÜM olarak bilimektedir. İşlemlerdeki t ve S olu küçük zama ve ol, ve ds ie ouz küçük zama ve ol olarak iimledirilir. Yolu (S) diferaieli ds, zamaı (t) diferaieli, hızı (V) diferaieli dv ve ıcaklığı (T) diferaieli dt olacaktır. Bu o ifadede hızı, olu zamaa göre birici türevi olduğu oucu çıkarılabilir. Dolaııla, II.hareketi S S(t) fokiou belirleip zamaa göre türetilire hız bulumuş olur. Bulua bu deklem tüm hareketler içi geçerlidir. Yolu zamaa göre değişimi e olura olu bu deklemle cevap almak mümküdür. Acak, Çok bilimeeli deklem itemi aıl çözülecek? ve ukarıdaki ifadede S aıl çekilecel? oruları cevaplamalıdır. E az hata ile çözüm içi item e küçük parçaıa arılır; bua türev vea diferaiel, elde edile deklem itemi bir toplama işlemi gerektirir ki buada itegrao imi verilir. Başka bir ifadele birbirii teri ola, türev ve itegrao, çözüm içi bir itemi ouz küçük parçalara arılmaı ve buları tekrar toplamaı olarak tarifleebilir. Daha öce bahedile ve aıl problem üzeride etkili ola fizikel büüklükleri değişke olaları diferaiel deklemleri bağımlı ve bağımız değişkelerii medaa getirirler. Bu değişkeleri aılarıa göre diferaiel elema üzeride elde edilecek diferaiel deklemi iimledirilmei apılabilir. Bağımız değişke aıı ve bağımlı değişke aıı birer tae ie diferaiel deklem ADİ DİFERANSİYEL DENKLEM imii alır. Bağımız değişke aıı birde fazla ie KİSMİ DİFERANSİYEL DENKLEM, bağımlı değişke aıı birde fazla ie DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMİ imii alır. Hem bağımlı hemde bağımız değişke aıı birde fazla ie KİSMİ DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMİ özkouu olacaktır. Diferaiel deklem itemlerii çözümü içi bağımlı değişke aııca diferaiel deklem elde bulumalıdır. Adi diferaiel deklemler d, operatörü ile, kımi diferaiel deklemler operatörü ile göterilirler. Diferaiel deklemler aı zamada bağımlı ve bağımız değişkeleri diferaiellik dereceie (türev mertebeie) göre Mertebe olarak, bağımlı değişkei vea türevlerii e büük kuvvet dereceie görede Derece olarakta ııfladırılabilir. Çözüm aşamaıda bağımlı değişke ve türevleri eşitliği ol tarafıda, bağımız değişke ve abitler ie eşitliği diğer tarafıda toplaırlar. Bu işlem oucu, eğer eşitliği ağ tarafı ıfır ie Homeje, ıfır değile Homoje Olmaa (o-homoje) diferaiel deklem olarakta iimledirilir. Bu kavramlar diferaiel deklemi çözümüü de belirlemektedir. Bu taımlamalara ilave olarak, çözüm tekiğii ve diferaiel deklemi ilk bula bilim adamlarıı iimlerile aıla diferaiel deklemlerde mevcuttur.

13 Örek : Aşağıdaki diferaiel deklemleri iimlediriiz. ) d i : bağımlı, bağımız değişke..mertebe,.derece (lieer) o-homoje d ) d i : bağımlı, bağımız değişke..mertebe,.derece (lieer) o-homoje d ) d i : bağımlı, bağımız.. Mertebe,.derece (o-lieer) o-homoje d ) 5) d d i : bağımlı, bağımız değişke.. Mertebe,.derece o-homoje d : bağımlı, bağımız değişke.. mertebe,.derece homoje d 6) q k dt : Fourier Dif. Deklemi ; Iı traferide kullaılır.. mertebe.derece dr T T 7) : T bağımlı değişke, ve bağımız değişkeler. Kımi dif.deklem 8) 9) d dr : ve r bağımlı, t bağımız değişkeler. Adi dif.dek.itemi dr lt u v :u ve v bağımlı, ve bağımız değişkeler. Kımi dif.dek. itemi u v.5. Bazı Diferaiel Ugulamaları Diferaiel aklaşım deklem üretimii aıda varola bazı deklemleri çözümüde de kullaılır. Açık formu bilimee birde fazla bağımız değişkee bağlı bir bağıtıı diferaieli alıabilir ve bu diferaiel form miimum-makimum heabı vea başka çözüm amacıla kullaılabilir. Bir zz(,) foiouu. ve. türevleri şu şekildedir. z z dz d d d d z z d z z dd d d Özellikle etramum (miimum vea makimum) oktaları belirlemei oktaıda çok fadalıdır. Bir etramum oktada bağımlı değişkei diferaieli ıfırdır. Fakat bağımız değişke bu oktalarda keilikle ıfır değildir. Bölece ukaridaki örek içi z, d ve d azılabilecektir. Bu oktada bazı örekler şu şekilde verilebilir.

14 roblem-: Bir akış ortamıda akışka taeciklerii hızıı vere hız profilii vea hız alaıı belirleiiz. Taecikleri ivmei içi bir bağıtı türetiiz. z V Çözüm içi gerekli koordiat itemi karteze (::z) olarak eçilire akışka taeciklerii hızı, ve z e göre değişecektir. Hız bir vektörel büüklük olup her eke üzeride de izdüşümü medaa gelebilir. Yukarıdaki şekilde görüleceği üzere eçile oriji oktaıda uzaklaştıkca farklı hız değerlerie ulaşılacaktır. Akış kaalıı boutları, dolaıla akış keiti değiştiği içi kütlei koruumua göre hızda değişmelidir. Aı zamada her oktadaki hız değeri zamalada değişebilir. Bu durumda hız,,z ve t i fokiou olacaktır. V hızıı, ve z üzerideki izdüşümleri U, V ve W olarak göterilire hız içi şu işlemler apılabilir. V V V V V Ui Vj Wk, VV(,,z,t) ie dv d d dz azılabilir. z t Bulua diferaiel ifade e bölüerek ivme bağıtıı buluabilir. dv V d V d V dz V a ie z t V V V V a U V W z t So ifadedeki ilk üç terim kouma bağlı kovektif ivme, o terim ie zamaa bağlı ivme olarak biliir. Dolaııla hız abit olada akışkalar içi ivme ıfır olmaabilir. roblem-: 5 o lık ortam ıcaklığıda o lık ıcaklığa ahip m lük bir ıcak ıvıı aklamak üzere iki farklı geometrie ahip depo düşüülmektedir.. geometri R arıçapıda ve H ükekliğideki bir ilidirik apı,. geometri ie KLM boutlarıda prizmatik apıdır. Sıcak ıvıı oğumaıı e az düzede olabilmei içi düşüüle geometrileri boutları e olmalıdır. E az ıı kabı içi hagi geometri ugudur. R K H M L Açıklama: Iı ükek ıcaklık ortamıda düşük ıcaklık ortamıa akar. Iı akış doğrultuları şekilde oklarla göterilmiştir. Medaa gele ıı traferi Q.A.(T iç -T dış ).A.(-5) deklemile baitce heaplaabilir. Burada depo malzemeii ve ortamı bir abit değeridir. A ie ııı trafer olduğu üzedir. Bu durumda ııı e az miktarda kabı içi adece A üzei ile

15 oaabilir. Q ve A doğru oratılı olacağı içi, e az ıı traferi içi A değeride e küçük olmalıdır. m lük hacmi vere e küçük A üzei aramalıdır. Silidirik apı içi çözüm: π π πr πr A ı e küçük değerii bulmak içi türevi ıfır olmalıdır. A ı R e göre değişimi şekilde verilmiştir. Bu şekle göre R i 5 m civarlarıda A üze alaıı miumum bir değeri vardır. da A πr πr R dr R HAİM R H H ve A R πrh πr πr.6 Ar () r R π / 5.9m H. 88m, / πr π π A mi πr π (5.9) m R 5.9 rizmatik apı içi çözüm: HAİM KLM K ve A ( KL KM LM ) ( LM ) LM M L Öcekide farklı olarak burada A hem L hemde M i fokiou olarak elde edilebildi. Silidir içi adece R i fokiou olarak değişiordu. AA(M,L) ie diferaieli şu şekildedir. A A A A da dl dm ie dl ve dm,, olmalıdır. L M L M A ı e küçük değerii bulmak içi türevi (da) ıfır olmalıdır. Buu içide A ı L ve M e göre kımi türevleri ıfır olmalıdır. A ( LM ) M L A ie ( M ) M L L L A ( L) L, L L ie L m M M M / L [ ] M/ m ve K/(.) m dir. A mi (...)6 m m lük hacim ilidir apı ile daha düşük üze alaı ile ağlamaktadır. Silidiri üze alaı (55.58 m ), prizmaı üze alaıda (6 m ) daha küçüktür. Silidir apıı tercih edilmeile ıı kaçağıda %7.7 ([ ]/6) daha taarruf edilebilir. 5

16 roblem-: 5 m uzuluğudaki bir tel ile bir aha çevreleecektir. Dikdötge şeklide olmaı itee ahaı, alaıı makimum a b olmaı içi kear uzulukları e olmalıdır.? Çevreab5 m, a5-b AlaAa.b b(5-b) 5b-b da/db ie 5-b ie b5 m ve a5 m buluur.5. Seriler Aalitik vea teorik çözümleri üretilmeide e çok kullaıla ötemlerde biride eri açılımlardır. Değişik eri ifadeler olmakla birlikte e temel eri kuvvet erii olarak biliir. Bu erii bir o oktaı civarıda göterimi şu şekildedir: ( ) o ( ) ( ) o o ( ) o ( ) o... ( ) o Bu ifade. Derece bir poliomu göterir. Herhagi bir trigiometrik vea logaritmik fokiou kedii çarpımı vea toplamı bu açılım ile göterilebilir. Çözüm üreci içeriide fokiou kedii işlemi devamıı mümkü kılmaz ie eri açılımıla devam edilir. Bu erideki o çözüm ahaıı alt ve üt oktaları araıı vea çözüm civarıı tarif eder. Örek olmaı açııda bir itegrali alt ve üt ıırıı ortalamaı, bir araıla kök değerii aklaşık değeri vea bir türevi oktaı olabilir. Bu erileri o açılımı Maclauri ve o açılımı ie Talor erii olarak bilimektedir. ( ) () ' () ' '() ' ''(). ( IV ).. ( V ) ( ) ()! ( ) ( o ) '( o )( o ) ''( o ) ( o ) '' '( o ) ( o).... ( ) ( o ) ( o )! Bu açılımlar ardımıla çözümüzlüğe ebep ola bir türevleebilir bir fokio poliom halie döüştürülerek çözümüzlük aşılmaa çalışılır. roblem: Şekilde görüle taralı alada Z vektörü düzlemel değişim götermektedir. Koordiat itemii (:) eçerek diferaiel elemaı oluşturuuz. Seriler ardımıla d.d lik diferaiel elamaı ıırları araıda bir bağıtı geliştiriiz. d d d d Z Z Z Z Diferaiel Elema Diferaiel üze d d Z?? 6

17 Çözüm içi taralı ala diferaiel üzelere bölümüştür. Souza gide aıda ola diferaiel üzelerde bir taei ele alıarak itee bağıtı kurulabilir. Bu elemaı koordiatları ( : ) ve ( d: d) olacaktır. Buradaki,, ve değişke oldukları içi eçile bir elema tüm diferaiel elemaları temil edecektir. Diferaiel elemaı bir üzeideki ( : ) vea girişideki değerler Z ve Z ie karşılık üzelerdeki ( d: d) vea çıkıştaki değeri edir? Bu oru diferaiel elema üzeride deklem üretimide, özellikle ürekli ortamlar içi (ıı akışı vea akışka akışıı oluşturduğu ortam katı ciimler gibi belirli bir ııra ahip olmadığı içi ürekli ortam olarak iimledirilir) öemlidir. Naıl bir eğri değişimi ile iki ıır birbirie bağlamaktadır. Bir üzedeki Z ve Z değerleri hagi fokioel değişimle diğer üzelere ulaşmaktadır. Bu oru eri açılım ile cevaplaabilir. Sadece diferaiel elema içi değil, tüm itemler içi bir değişimi eri ile ifade etmek mümküdür. Çükü tüm fokiolar erie açılabilir. Diferaiel elema üzeride ve olduğu içi Talor Serii bu amaçla kullaılabilir. Daha öce verile eride erie Z azarak ve öüdeki değişimler Talor Serii belirlemiş olur. Acak Z hem hemde ile değiştiğide türevler kımi türev olacaktır. Bu durumda Z i ve e göre ve daki Talor açılımları şu şekilde olacaktır: Z( o) Z( o) ( o) Z( o) ( o) Z( o) ( o ) o o.! Z ( ) Z ( ) ( )... Z( o) Z( o) ( o) Z( o) ( o) Z( o) ( o ) o o.! Z( ) Z( ) ( )... Daha öce diferaiel elemaı ouz küçük olduğu ve içeriideki tüm değişimleri lieer olduğu ölemişti. Dolaııla ukarıdaki ifadede, Z ve e göre lieer olarak artacağı vea azalacağı içi, Zab ve Zcd ie.türev abit olacaktır. Daha ükek mertebede türevler bu durumda ıfır olacaktır. Bölece ukarıdaki açılımlar şu şekle döüşürler, Z ( o) Z( o ) Z( ) Z( o) ( o), Z( ) Z( o) ( o) Bu ifadeler diferaiel elema içeriide Z i ve e göre değişimii götermektedir. ( : ) daki Z değerleri biliior kabul edilire, ( d: d) daki Z değerleri bu deklemler ardımıla belirleebilir. Bu amaçla, ukarıdaki deklemde d ve d azılmalıdır: Z ( o) Z( o) Z( o d) Z( o) ( o do), Z( o d) Z( o) ( o do) Bulua o ifadelerde gerekli oketmeler apılarak ve eide düzeleire Z ( o) Z( o d) Z( o) d, Z( o) Z( o d) Z( o) d buluur Bulua ouçlar mühedilikte kullaıla değişik fizikel büüklükler içi gemelleştirilebilir. Örek olarak diferaiel elemaı bir üzeideki gerilme σ ie d kadar ve d kadar oraki değerleri şöledir. σ ( ) σ ( ) σ( d) σ( ) d σ( d) σ( ) d Bir hava akımıda akış ıcaklığıa ve baıcıa bağlı olarak hava oguluğu çok değişecektir. (:) düzlemide hava oğuluğu heabı apılmak iteire ukarıdakie bezer işlemler apılır. Direkt bir deklem azmak mümkü olduğu içi, akış ortamı bir deklemi azılabileceği 7

18 diferaiel elemalara bölüür. Elemaı bir üzeideki belirli kabul edilerek diğer üzeideki oguluklar azılabilir. Yoğuluk (ρ) içi bu değerler; ρ( ) ρ( ) ρ( d) ρ( ) d ρ( d) ρ( ) d Diferaiel elema üzeride çeşitli fizikel kaular, kütlei koruumu, eerjii koruumu, II.Newto Yaaı vb kullaılarak ukarıdaki eşitlikler ile bir diferaiel deklem buluur. Bu diferaiel deklemi çözümüde heaplamalarda kullaılabilecek aalitik bağıtılar buluur..6 Başlagıç ve Sıır Şartları İtegralleri e bait diferaiel deklem oldukları oktaıda hareketle başlagıç ve ıır şartlarıı tarifi ve gereği itegrao işlemide verilebilir. Bilidiği gibi belirli itegrao (ıırlı itegrao) ve beliriz itegrao (ıırız itegrao) şeklide iki itegral alma ötemi mevcuttur. Diferaiel deklemleri çözümü daha ziade beliriz itegral çözüm matığı ile çözülürler. Dolaııla, diferaiel deklemleri çözümü eaıda da beliriz itegral çözümüde karşımıza çıka itegral abitlerie bezee diferaiel deklem abitleri karşımıza çıkar. Yai, itegrao işlemi vea diferaiel deklem çözümü oraıda elde edilecek çözüm deklemi bu abitleriide içerecektir. bir abit olup reel, tamaı, egatif, pozitif vea comple aıal karşılığı belirli olmaa büüklüktür. Souç olarak ümerik karşılığı belli olmaa li deklem ile direkt olarak aıal bir heaplama apılamaz. Örek olarak; d? ( de dolaı tam belli değil) Beliriz itegral ile adece bir abiti karşımıza çıkmaktadır. Diferaiel deklem çözümleride bu abitleri aıı daha fazla olabilir. Bu abitleri aıı diferaiel deklemi mertebeie göre değişir.. mertebe içi tae abiti,. mertebe içi tae abiti,. mertebe içi tae abiti buluur. Eğer bağımız değişke aıı bide fazla ie bu aılar bağımız değişke adedi ile çarpılmalıdır.. Mertebe, bağımız değişke aıı ola bir kımi diferaiel deklemi abiti aıı tür. İşte bu abitlerii aıal karşılıklarıı bulumaıı ağlaa hallere BAŞLANGIÇ ve SINIR ŞARTLARI imi verilir. Görülebileceği gibi çözüm içi belirli olmaı gereke şart aııı abiti aııa eşit olmaı gerekir. Bu şartlar aı zamada diferaiel deklemi çözümü oraıda bulua aalitik ifadei ağlamaı gereke değerlerdir. Bir oktada çözüm deklemii fiziki olarak doğru olup olmadığı hakkıda karar vermemizi ağlaa e temel büüklüklerdir. Eğer bu şartlar erie gelmeze rahatlıkla çözümü alışlığıda bahedebiliriz. Diğer tarafta, diferaiel deklemim çözümü mutlaka bir koordiat itemie (karteze koordiatlar, ilidirik koordiatlar vea küreel koordiatlar ) göre apılmak zorudadır. Her koordiat itemi mutlaka bir oriji oktaıa ahiptir. Başlagıç ve ıır artları tarifleirke bu oriji oktaı ve koordiat itemii tipi dikkate alımalıdır. Eğer proplem geometrii üzerideki oriji oktaı er değiştirire, başlagıç ve ıır şartlarıı değeride değişecektir. Bu şartlar, özellikle kımi diferaiel deklemleri çözümüde çok etkilidirler. Çözüm fokiou buluabilmeie rağme, başlagıç ve ıır şartları şartlar ağlaamadığı içi çözümüzlük mümkü olabilmektedir. Souç olarak başlagıç ve ıır şartlarıı bilimei vea problem üzeride çıkarılabilmei gerekir. Diferaiel deklemi bağımız değişkei zama ie bulumaı gereke şart BAŞLANGIÇ ŞARTI, bağımız değişke geometri vea bout ie bulumaı gereke şart SINIR ŞARTI olarak iimledirilir. Literatürde, kullaılacak şartları durumlarıa göre problemler SINIR DEĞER ROLEMİ vea BAŞLANGIÇ DEĞER ROBLEMİ olarak da iimledirilebilir. Bir problem adece ıır vea adece başlagıç şartı gerektirebileceği gibi her ikiiide birde iteebilir. Bu şartlar problemi apııda elde edilir. İi tebit edilmeleri çözümü ağlığı üzeride müpet öde etkili olacaktır. Bu şartları alaşılmaı içi, makie mühediliği eğitimi ürecide mutlaka 8

19 görülecek e temel kouları ihtiva ede, aşağıdaki ugulama problemlerii ii aaliz edilmeide fada vardır. Bu problemlerde ilk öce diferaiel deklemi medaa getirilmei araştırılacak daha ora başlagıç ve ıır şartları buluacaktır. E o olarakta, elde edile diferaiel deklemleri çözümüle bulumaı gereke eğriler araştırılacaktır. Bulua diferaiel deklemleri belirlee ıır vea başlagıç şartları vaıtaıla çözümleri ileriki bölümlerde verilecektir. ROBLEM-: L kalılığıdaki levha vea duvarı iki üzeideki ıcaklıklar T ve T dir. Bu ıcaklık değerleri T >T şeklide birbiride farklı olarak verilmiş ie levha-duvar içeriide geçe ıı miktarıı ve levha-duvar içeriideki ıcaklık dağılımıı problem üzeride etkili ola fizikel büüklüklere bağlı olarak buluuz. Başlagıç ve ıır şartlarıı belirleiiz. Doğru olmaı mümkü olabilecek vea beklee çözümler eler olabilir? T q Iı akış Doğrultuu T T a b Duvar vea Levha T T c L L Duvar içeride ıcaklık değişimi Beklee ıcaklık eğrileri roblemi etkilee Sıır Şartları Fizikel büüklükler: oriji oktaı olda oriji oktaı ağda. Trafer ola ıı mıktarı ; q. ıe TT ıe TT. Sıcaklık ; T. L ie TT L ie TT. Malzeme (oğuluk, ıı iletim eteeği ). Kalılık ; L 5. Zama ; t TT -T 6. Yüze alaı ; A Bir duvar vea levha ile iki arı ıcaklığa ahip iki arı ortam oluşturulmuştur. Termodiamik kaulara göre iki ortam araıda ıı traferii olabilmei içi ortamlar araıdaki ıcaklık farkıı ıfırda farklı olmaı gerekir ( TT -T ). Iı ükek ıcaklık ortamıda düşük ıcaklık ortamıa akar. Böle bir durumda iki ortam araıdaki levha vea duvar üzeride bir miktar ıı geçecektir. Bölece duvarı bir üzei T, diğer üzei T ıcaklığıa ahip olacaktır. Duvarı vea levhaı iç bölgeideki ıcaklıklarda bu iki değeri araıda olacaktır. Iıı ükek ıcaklıkta düşük ıcaklığa akmaı gerektiği içi, duvarı iç oktalarıdaki ıcaklık değerleri T ve T de büük vea küçük olamaz. Bölece duvar içeriideki ıcaklık değişimi T() eğrii vea deklemi şekildeki a, b ve c eğrileride biri olacaktır. Doğru bir çözüm içi, çözüm fokiouu bu eğrilerde birii vermei gerekir. Aki halde, şekilde görüle keik çizgilerle verilmiş eğrileri taımlaa, miimum vea makimum oktalara ahip çözümler fizike alış olacaktır. Çükü, duvar vea levha içideki ıcaklık ükelire bir ıı üreticii, düşere bir ıı aborberi olmalıdır. Böle bir bilgi olmadığı içi doru ıcaklık dağılımları a,b ve c eğrileride biri olacaktır Her mühedilik problemii çözümüde mutlaka bir refera item olarak bir eke takımı (Karteze koordiat itemi, Silidirik vea küreel koordiatlarda birii) eçilmeli ve problem geometriii bir eride eke takımıı oriji oktaı olarak tercih edilmelidir. Çükü, bulumaı 9

20 gerekli başlagıç ve ıır şartları acak orijii belirli ola bir item içi belirleebilir. Aı zamada buluacak çözümü formuda eke takımıı tipide ve oriji oktaıı eride etkileecektir. Seçile eke takımıı her ekeie (her doğrultuua) fizikel büüklüklerde bir taei atamalıdır. Bu işlem apılırke mutlaka fizikel büüklükleri DEĞİŞKEN ola tipi ele alımalıdır. Yukarıdaki fizikel büüklükleri, ve 5 olu elemaları değişke olurke diğerleri abittirler. Kalılık abit değer gibi görülebilir. Acak duvar vea levha içeriide her okta içi bir ıcaklık değeri özkouudur. Yai ıcaklık duvar içeriideki oktada oktaa değişmektedir. Duvar içerii koordiat itemii boutu ile temil edildiğide T e göre değişecektir. Bölece çözüm düzlemi düşe doğrultu T ve ata ıı akış doğrultuu olacaktır. Bölece boutludeğişkeli (T ve ) çözüm araacaktır. Eğer öü q doğrultuua göre o açılı eçiledi T ve q hem hemde e dik doğrultuda ( doğrultuu) değişim götereceğide boutlu (T, ve ) bir problem medaa gelecekti. Malzeme, üze alaı ve trafer ola ıı abittir. Çükü, cözüm üreice vea çözüm alaıda değişmezler. Buula beraber ıcaklık kalılığı her oktaıda farklı değerler aldığı içi değişkedir. Başka bir ifade ile ıcaklık (T) kalılığa (L,) bağlı olarak değişmektedir. Eke takımı olarak, problem geometrii bir düzlem apı arzettiği içi, düzlemel karteze koordiatlar eçilmiş ve eke doğrultularıda T ve olarak alımıştır. Eke takımıı oriji oktaı olarak levhaı ol tarafı tercih edilmiştir. Bu şartlar altıda gerekli ola ıır şartları çıkarılmıştır. Eke takımı ve oriji oktaıı eri değiştirilmiş ola ıır şartlarııda değişeceği açıkca görülebilir. 5 olu fizikel büüklük ola zama da bir değişkedir. Acak, mühediliği pratik ugulamalarıda zamaa göre bir değişme itemez. Çükü, zama problemi çözümüü zorlaştırmaıı aıda, problem parametrelerii zamaa göre değişimi itemee ve beklemee bazı olumuzlukları beraberide getirir. Bu tür zamaa bağlı olarak değişmee problemler DAİMİ (tead) vea SÜREKLİ REJİM olarak iimledirilir. Zama bağlı olarak değişe problemlere DAİMİ OLMAYAN (utead) problem imi verilir. Şaet T ve zamaa bağlı olarak değişmiş oladı ekeleri biri zama boutuu temil ederke, ıır şartlarıa ilavete birde başlagıç artı gerekecekti. Bu problemi çözümüde amaç fizikel büüklükler araıda qq(t,,malzeme,a,t) () şeklide bir deklem geliştirmektir. Direkt böle bir bağıtıı azılmaı şu aşamada mümkü değildir. Acak bir deklemi vea bağıtıı geliştirilmeie ardımcı olabilecek, fizikel büüklükler araıda şu orumlar çıkarılabilir: - Levhaı vea duvarı kalılığı arttıkca q miktarı azalmalıdır. Yai q ile L ter oratılıdır. Fakat bu oratıı derecei biliemez. ( q / L m ; m: oratı derecei) - Termodiamiği. aaıa göre ıı ükek ıcaklık ortamıda düşük ıcaklık ortamıa akar. Başka bir ifade ile iki ortam araıda ıı traferii olmaı içi aralarıda bir ıcaklık farkıı ( TT -T ) olmaı gerekir. Bu ıcaklık farkı ıfır ie ıı traferi olmaz. Dolaıı ile ıcaklık farkı büüdükce trafer ola ıı miktarııda artmaı gerekir. Yai trafer ola ıı miktarı ıcaklık farkı ile doğru oratılıdır. ( q T ; :oratıı derecei) - Levha vea duvar malzemeii ıı iletme kabilieti ii ie daha çok ıı, kötü ie daha az ıı iletilmelidir. Yai malzemei ıı iletme kabilieti ıı ükü ile doğru oratılıdır. Malzemei ıı iletme kabilieti malzemee ait bir abit olup, deeel çalışmalarla düzelemiş tablolarda malzeme tipie göre eçilir. Bu değer literatürde ISI İLETİM KATSAYISI olarak bilimektedir. - A ıı akış doğrultuua dik üze alaı olup trafer ola ıı ile doğru oratılıdır. Yukarıdaki orumları ilk ikii birleştirilerek şu şekide bir deklem elde edilir.

21 T q m () L Bu oratı bir kataı ile ( k ) eşitliğe döüştürülebilir. q k T m () L So ifadedeki k bir oratı abiti olup ukarıdaki. orumu temil edebilir. Çükü, hem malzeme ıı iletme eteeği hemde oratı kataıı abittirler. Bulua o deklem daha ilerie götürülemez. Dolaıı ile m ve bilimediği içi aıal heaplamada apılamaz. Çükü, ıcaklığı levha içeriide kalılığa bağlı olarak e şekilde değiştiği bilimemektedir. Bu değişim m ve i değerlerie göre şekil alacaktır. Sıcaklığı levha içeriideki değişimi a, b ve c eğrileride hagiidir. Souç olarak, bu aşamada bir tıkama medaa gelmiştir. Eğer, duvar vea levha içeriideki ıcaklık dağılımıı bilidiği bir apı buluura çözüm ilerie götürülebilir. Süperpozio preibi gereği çözülemee bir bütü çözülebilir daha bait ve kotrol edilebilir küçük parçalara arılır. Bölüe her parça içeriide değişimler biraz daha baitleşir. Bu parçalama aıı artıkca her parça içeriideki değişimler lieer hale aklaşacaktır. Şaet bölüm işlemi ouza gide aıda apılacak olura item e küçük parçaıa arılmış olur. Bu e küçük apıa DİFERANSİYEL ELEMAN imi verilir. Bu diferaiel elema geelde problem geometriii çok küçültülmüş bir miatürü olur ve geelde diferaiel elema ile aa problemi geometrii birbirie bezerler. Çözüm içi buda ora fizikel büüklükler ile diferaiel elema araıda ukarıdaki matıkla bağıtı elde edilmee çalışılır. Bu elema çok küçük olduğu içi içeriide ıcaklığı kalılığa göre değişimide LİNEER olacaktır. Sıcaklığı duvar vea levha içeriideki değişimi a, b ve c eğrileride hagii olura olu, bu eğrileri diferaiel elema üzerideki izdüşümleri mutlaka bir doğru olacaktır. Diğer bir ifade ile a,b ve c eğrileri diferaiel elemalar vaıtaıla ouza gide aıda lieer doğrua arılmıştır. Souz gide aıdaki doğrucuklar aaa gelerek herhagi bir eğrii oluşturmaktadırlar. Dolaııla diferaiel elema içide m olacaktır. Duvarı e ice d kalılığıdaki dilimlere arıldığı düşüülüre, buları bir ' ' taei aşağıdaki gibi olacaktır: Bu icecik duvarı üze ıcaklıkları T T olacaktır. Bu ıcaklıklar T ve T i araıda olacaktır. Souç olarak, d ouz küçük levha kalılığı olduğu içi, bu ' ' kalılığı iki kearı araıdaki ıcaklık farkıda ouz küçük (dt T - T ) olacaktır. Matematik ifadele, i ouz küçük parçalama aıı ie L lim d lim T dt i i i T T Lieer değişimler dt Lieer değişim T d Diferaiel Elema ve içeriideki ıcaklık dağılımı d d Diferaiel elema ve üt taraftaki açıklamalar olu ifadee taşıarak ei halila deklem şu şekilde azılabilir. dt q k () d

22 So deklemi birim aalizi apıldığı zama birim alada birim zamada trafer ola ııı vereceği görülecektir. Bu edele herhagi bir A üzeide t kadar zamada trafer ola ııı bulumaı içi olu deklem A ve t ile çarpılmalıdır. Seçile eke takımıa göre T i e göre çizdiği eğri egatif eğimlidir. Bu edele olu deklemle heaplaacak ıı da egatif olacaktır. Oaki ıı (q) mutlak değerdir. Bu edele medaa gelecek terliği giderilmei içi olu ifade aı zamada (-) ile de çarpılmalıdır. Eke takımıı oriji oktaıı erii levhaı ağ tarafıı eçilmei halide egatif eğimde kaaklaa olumuzlukları olmaacağı açıktır. dt q Atk (5) d Bulua bu ifade içideki d operatörleride dolaı bir diferaiel deklem olarak iimledirilir. Iı traferide bu bağıtı FOURIER DENKLEMİ olarak bilimektedir. Deklemde T bağımlı ie bağımız değişke olarak ele alımıştır. Bir tae bağımız değişke olduğu içi ADİ DİFERANSİYEL DENKLEM olarak da iimledirilir. 5 olu deklem herhagi bir heaplama içi ugu değildir. Çükü, içeriide diferaiel operatör ola d bulumaktadır. Levha kalılığıı temil ede d ve ıcaklık farkıı temil edee dt i ümerik değerleri bilimektedir. Gerçek bir heaplama içi d operatörlerii okedilmei gerekir. Buda 5 olu diferaiel deklemi çözümü demektir. Bu d operatörleri ea problemi ouza gide aıda parçalamaıda elde edilmiştir. Yai ea itemi diferaieli-türevi alımıştır. Dolaıla 5 olu deklem adece diferaiel elema içi geçerlidir. Toplam çözümü bulumaı içi her bir parça tek tek çözülerek, elde edile çözümleri toplamaı gerekir. Souz aıda parça içi bu işlemi apılamaacağı aşikardır. Fakat, matematikel olarak item parçalaarak türevi alımış ie, tekrar itegre ederek toplaabilir. Yai, parçaları herbiride bulua çözümleri toplamaı demek itegral alma işlemi ile eş alamlıdır. Dolaııla 5 olu diferaiel deklemi ea problem içi geçerli olabilmei içi itegre edilmei vea diferaiel deklem çözümüü ugulamaı gerekir. Çözüm oraıda olu deklem apııda heaplamalar içi ugu bir fokioel bağıtı buluur. Bu fokioel bağıtı şekildeki a, b ve c eğrileride birii vere bir ifade olmalıdır. Aki takdirde bulua çözüm fiziki olarak doğru olmaz. Aı problem T ıcaklığıda u taşıa boruu T ıcaklığıdaki bir ortam içi aaliz edilmiş oladı, q ııı T >T şatıla boru içeriide dışarıa doğru akacaktı. Bölece düzlemel duvarda eğriel borua geçilecektir. Duvar vea levha içi öerile fizikel değişkeler bu problem içide geçerli olacaktır. Fakat değişke ve abitler oktaıda bir değişim olacaktır. Yei durumda ıı traferi üzei boru içide dışıa doğru değişmektedir. Bölece levhada abit kabul edile A üzei boru içi r i fokiou olacaktır. Düzlemel apılar karteze koordiatlarda kolalıkla ifade edilebilir. Silidirik bir apı olmaı edeile böle bir problemde refera item olarak SİLİNDİRİK KOORDİNAT (r,θ,z) itemi eçilecek ve boru ekeide oriji oktaı olarak alımaı gerekecektir. Yukarıdaki bezer aaliz burada apılabilir. Şimdi öemli ola boru et kalılığı içeriide ıcaklığı değişimii e olduğu? oruu olacaktır. Bu durumda q ııı r doğrultuuda akacaktır. Eğer levha içi ortaa atıla aalizler boru içide apılıra ıı değeri T q k olarak buluacaktır. Yie ve m içi aıal değer buluumaacağı içi bu m ( r r) deklem kullaılamıacaktır. Bu değerleri belirli olduğu apıa ulaşmak içi r doğrultuu (radal doğrultu) ouza gide aıda dilimlere arılacaktır. Bölece elde edilecek dr et kalılığıa ahip içiçe ouza gide aıdaki diferaiel elemalar içeriide değişimler lieer olacağıda m olacaktır. r r lim dr lim T dt ie i i i dt q k dr

23 r T T r T T q ıı akışı doğrultuu Buluacak Deklem TT(r) ' T T T T T ' T dr T Diferaiel Elema Eğer boru çevrei boru etrafıdaki ıcaklıklar birbirie eşit olmadığı kabul edilire ıcaklıklar birbirleride farklı olacağı içi ıı traferi hem r hemde θ öüde olacak ve ıcaklık dağılımıda hem r hemde θ öüde değişecektir. Bu edele diferaiel elema içi hem r hemde θ öüde dilimler düşüülmelidir. Böle bir durumda diferaiel elema dr et kalılığıdaki ve dθ açııı göre ilidir parçaı olacaktır. r T q ıı akışı doğrultuu dr T T 5 T T r T T T Buluacak Deklem TT(r, θ) T T T T T 5 dθ Diferaiel Elema T Dikkat edilire problemi aıl geometrii ile diferaiel elamaı araıda bir bezerlik mevcuttur. Buu aıda problem geometrii ile eçile koordiat itemi uumludur. Düzlemel vea plaka apılar karteze koordiatlarda, borular, alar ilidirik koordiatlarda kubbe gibi apılar küreel koordiatlarda aaliz edilmelidir. Bu koordiat itemlerii farkı karteze koordiatlarda değişim birbirie dik üç dogrultu (,,z doğrultuları) vaıtaıla ifade edilmektedir. Silidirik koordiatlarda iki doğrultu (r ve z doğrultuları) ve bir açı (θ açıı) ile ifade edilmektedir. Küreel koordiatlarda ie aı değişim bir r doğrultuu ve iki açı (θ ve ϕ açıları) ile ifade edilmektedir. Doğru bir koordiat tercihi öemlidir. Yalış tercih değişke aııı artırabilir. Arta değişke aıı problem çözümüü zorlaştırır. roblem : İçeriide birim zamada ve birim hacimde q * [kj/m ] kadarlık ıı üretile ve cevrei farklı ıcaklıklara ahip HLM ebatlarıdaki prizmatik hacim içeriideki ıcaklık dağılımıı heaplaabileceği diferaiel deklemi tei ediiz. rizmatik apıı tüm oktalarıdaki ıcaklık değeri başlagıçta T o değerie ahiptir. Başlagıç ve ıır şartlarıı belirleiiz. rizmatik apı içeriideki ıcaklık dağılımıı vere deklemi karekteritiğii tahmi ediiz. rizmatik hacim içeriide kimaal, çekirdek reakioları vea elektriki rezita gibi ötemler vaıtaıla q * kadarlık abit bir ıı üretimi mevcuttur. Aı zamada apıı üzeideki ıcaklıkları birbiride farklı olmaı edeile ıcaklık farkıda dolaı da bir ıı akışı özkouudur. İçerde üretile ıı, içeriie u doldurula havuzda uu evieii ükelmei gibi iç taraftaki ıcaklığı ükelmeie ede olacaktır. Şaet malzemei ıı iletme eteeği ii ie bu ükelme ipete az, kötü ie daha fazla olacaktır. Neticede problem- deki apıda farklı bir bekleti medaa gelecektir. rizmaı iç taraflarıdaki beklee ıcaklık ükelmei muhtemele üze ıcaklıklarıı da üzerie çıkacaktır. Bu durumda iç bölgelerde dış üzelere doğru bir ıı akışı özkouu olacaktır. Zamala uu havuzda evieii ükelmei gibi prizmatik apı içeriidede ıcaklık ükelecek ve apıı ıcaklık ükelmeide dolaı iç

24 eerjii de artacaktır. Dolaııla iç ve dış taraf araıdaki ıcaklık farkıda değişecektir. Sıcaklık farkı değişire trafer ola ıı miktarıda değişecektir. roblem prizmatik apıda dolaı karteze koordiatlarda çözülecektir. roblemi fizikel büüklükleri şulardır:. Sıcaklık, T : Kouma(,,z ) ve zamaa (t) bağlı olarak değişir.. Iı q : İç ve dış ıcaklık farkıı değişmeide dolaı değişkedir.. Malzeme : Yoğuluk, ıı iletim kabilieti ve mikrokobik apı ile şekli abit olmalıdır.. Boutlar : Yapı içeriie ıcaklık değiştiği içi değişkedir. 5. Zama,t : Değişkedir. 6. Üretile ıı miktarı, q * : Geellikle abittir. 7. İç eerji, u : Belirli ıcaklıktaki malzemei ahip olduğu eerjidir. rizmatik apıı ıcaklığı kouma ve zama göre değişebileceği içi değişkedir. L T T 6 Iı akış Doğrultuu T H T T T T T T 5 T 6 M z T 5 T Fizikel büüklükleri 5 taei değişkedir. Bu değişkeleri bir taei Bağımlı değişke olarak alıırke diğerleri bağımız değişke olarak eçilmelidir. İtee olmaı edeile T bağımlı diğerleri bağımız değişke olarak tai edilir. Bağımız değişke aıı birde fazla olduğu içi buluacak ola diferaiel deklem de KİSMİ DİF. DENKLEM olacaktır. Neticede buluacak fokio şu formda olmalıdır: T T ( t,,,z,q,malzeme,q * ) () Bu problemde apıı prizmatik olmaı (ilidirik vea küreel bir apıa ahip olmamaı edeile) edeile çözüm içi karteze koordiatlar eçilmiştir. Eke takımıı oriji oktaı ie ol alt köşee tebit edilmiştir. Oriji oktaıı eri başka erde eçilebilirdi. Fakat, oriji oktaıı özellikli bir okta olmaı gerekir. Hacim merkezi, ağırlık merkezi, başlagıç oktaı, imetri ekei, miumum vea makimum değere ahip oktalar oriji olmaı açııda fadalı oktalardır. Orijii erii ii belirlemei çözüm rahat olmaııda ağlaacaktır. Kötü bir oriji oktaı gereğide çözümüzlüğe kadar gidebilir. Bu durumda çözüm içi gerekli ola ıır ve başlagıç şartları eçile eke takımıa göre şu şekildedir: Sıır şartları: Başlagıç şartı :. T(,,z,t) T. T(,H,z,t) T 5. T(,,z,t) T. t T(,,z,) T o. T(L,,z,t) T. T(,,,t) T 6 6. T(,,M,t) T 5 Şu aşamada () olu deklemi açık fokio olarak azılmaı mümkü değildir. Çükü fizikel büüklükleri birbirlerie göre, prizmatik apı içeriide aıl bir değişim göterdiği ve fokioel apıı belirli değildir. Bu edele bu değişimi belli olduğu daha küçük bir fiziki apı ele alımalıdır. Daha küçük bir apı içi büük prizmatik apı daha küçük prizmalara arılmalıdır. Bu küçük prizma apıları aıı olu değerde bir aı ie acak ümerik çözüm apılabilir. Eğer bölüe aı ouza gide bir değerde ie, elde edile e küçük apı diferaiel elema olur. Bu

25 diferaiel elema bir hacim apıı götermeide dolaı DİFERANSİYEL HAİM imii alır. Diferaiel hacim içide ıcaklığı, ve z ölerie göre değişimi lieedir. Herhagi bir diferaiel elemaa komşu diferaiel elemalarda geçe ıı, diferaiel elema içeriide üretile ıı ve bu diferaiel elemada komşu diferaiel elemalara geçe ıı araıda eerjii koruumuu götere Termodiamiği. Kauua göre bir dege olmalıdır. Büük prizmatik apıı H, L ve M boutları, ıcaklığı değiştiği ölerde, ouza gide aıda dilimlere arılarak d, d ve dz lik boutlara ahip ouz küçük aal hacimlere bölüür. Bu diferaiel hacim içeriide tüm değişimler lieerdir. İlave olarak bir üzeideki değerie bağlı olarak diğer üzeideki değer eri açılımlarla belirleebilir. Diferaiel elama üzerideki ıı üretimi ve traferi araıda eerjii koruumu preibie (termodiamiği.kauu) göre aşağıdaki ifade azılabilir: Gire ıı miktarı - Çıka ıı miktarı Üretile ıı miktarı İç eerji değişimi () İç eerji toplam kütle içi U, birim kütle içi u ile göterilir. İç eerji maddei ıcaklığıda dolaı ahip olduğu eerjidir. Sabit hacimdeki özgül ııa ( v ) bağlı olarak şu şekilde deklemize edilmiştir. u v T [ KJ/kg], U m v dt [ KJ] ie du v dt ve du m v dt m:kütle [kg], V:hacim [m ] ve ρ : oguluk [kg/m ] ie mv. ρ dir. Diferaiel elema ouz küçük olduğu içi kütlei ve hacmide ouz küçük olacaktır. Bu durumda elemaı diferaiel kütlei, hacmi ve iç eerjii şu şekilde olacaktır; dvd d dz ie dmρ d d dz ve du ρ d d dz v dt Daha öce bahedildiği gibi havuzda zamala uu birikmei gibi, içideki q * kadarlık ıı üretimide dolaı zamala diferaiel elema içeriideki ıcaklıkta ükelecektir. Sıcaklığı ükelmei ile de elema içeriideki iç eerjide değişecektir. Zamaa göre ıcaklığı aıl değiştiği bilimediği içi zama boutuda ouz küçük aralıklarıa arılır. Bu aralığıda ıcaklık lieer değişerek dt kadar artar. Bu durumda birim zamada diferaiel elema içide medaa gele iç eerji değişimi ρ v dddz T olacaktır. T birde fazla bağımız değişkee t bağlı olduğu içi kımı diferaiel ( ) kullaılmıştır. Diğer tarafta [] deklemideki iç ıı üretimide açıklamalıdır. Diferaiel hacim içeriideki toplam ıı üretimi dq * q * [kj/m ].dv q * [kj/m ].d d dz olacaktır. E küçük hacim içeriide üretile ııda e küçük olacaktır (hacim dv ie Q da dq olur). [] deklemide açıklamaa ifadeler diferaiel elemaı üzeleride medaa gele ıı traferleridir. rizmaı bütü üzeleri farklı ıcaklıkta olup, ıcaklık farkıda dolaı farklı ölerde farklı ıılar akacaktır. Seçile koordiat itemie ugu olarak, ve z doğrultuuda birim üzede aka ıılar q, q ve q z ile embolize edilmiştir. Bu değerler abit olmaıp (,,z) bağlı olarak değişecektir. Çükü, prizmaı merkezi bölgeide üretile ıı zorlukla üzee ulaşırke, üzee akı bölgelerde üretile ıılar ie daha kola üzee ulaşacaktır. Dolaııla merkezde üzelere doğru birim üzede geçe ıılar artarak değişecektir. Merkezi erlerde ıcaklık daha ükek, kearlarda daha düşük olacağıda (Iıtıcı matığıa) ıı iç bölgelerde dış bölgelere akacaktır. Souç olarak örek olarak alıa diferaiel elemaı birkaç üzeide ıı girişi olurke, diğer üzeleride ıı çıkışı olacaktır. Giriştedeki birim üzedeki ııl ükü q, q ve q z ie, d, d ve dz kadar ora e kadar ıı çıkacağıı heaplamaı Bölüm.5. deki eriler kavramı ve örek problemideki bilgilerde fadalaarak belirleebilir. Heaplamalarda diferaiel üzei üze alaı dikkate alımalıdır. Daha öce verile q, q ve q z üzelerle çarpılmalıdır. Aşağıdaki şekilde görüleceği üzere öüde diferaiel elema üzei d.dz, öüdeki d.dz ve z öüdeki ie d.d dir. Daha öce verile HLM ebatlarıdaki prizma, ve z öüde ouz küçük dilimlere arılarak ouza gide aıda d.d.dz 5

26 ebatlarıda elema elde edilir. Bularda bir taei eçilerek aşağıdaki şekli verile apı üzeride işlemler apılabilir. q q d ddz dz q z q z dz dd z q d dz d q q d ddz d Diferaie Elema Diferaiel Hacim : dv d d dz q z dd q ddz Bulua değerler [] ifadeide azılarak aşağıdaki diferaiel form elde edilir. q q z q dzd q ddz q z dd - q d ddz - q z dz dd z - q q * dddz ρ v dddz T t Gerekli paretezler açılarak adeleştirmeler apılıra şu ifade elde edilir: q d ddz () q qz q dzdq ddzq z dd- qddz dddz - qzdd dzdd z - q qddz dddz q * dddz ρ v dddz T t q dddz z qz dzdd q dddz q* dddz ρ v dddz T t Bulua o dekleme roblem de bulua fourier deklemi de dikkate alıarak düzeleire ve tüm ifade d d dz ile bölüüre deklem e o halie getirilmiş olur. q k T q k T q T k kabit q k T q k T q T k kabit () q z k T q k T z z z z z q z z T k z kabit 6

27 Yukarıdaki ifadeler erie taşııp bütü ifadeler diferaiel hacime bölüüp gerekli adeleştirmeler apılarak şu ifade elde edilir. * T T T q z k ρ k v T t (5) 5 olu deklem ıı traferide Iı İletimii Temel Diferaiel Deklemi olarak biliir. Bu deklem matematikel bir iimledirme ile.mertebe.derece o-homoje kımi diferaiel deklemdir. Beklee ıcaklık dağılım eğrii ileri bölümlerde diferaiel deklemleri çözümü aşamaıda verilecektir. Buula birlikte merkezi bölgelerdeki ıcaklığı kearlarıdam daha ükek olmaı gerektiği öleebilir. roblem : İki direk araıda aılı bulua, birim uzuluk ağırlığı w o [N/m] ola L[m] uzuluğudaki kabloda erçekimi etkiile medaa gele çökmei vere diferaiel deklemi belirleiiz ve ıır şartlarıı tepit ediiz. g kablo U() L direk U(): çizgiie göre kabloda erçekimide dolaı medaa gele çökme miktarıı e göre değişimi g: erçekimi ivmei Bu tür problemler gerek ama köprü heabıda ve gereke kabloları aıldığı iki direk araıdaki meafei arazie ugu olarak heabıda öemlidir. U çökme miktarı belirli bir değeri geçemez. Bu değerde kablolara ata öde verile germe kuvvetile (T o ) ağlaır. Bu germe kuvveti ie kablou koparmaa çalışacağıda kablou kopma mukavemeti ile ıırlamıştır. Dolaııla bütü bu etkileri ii bir kombiao içeriide çözülmei gerekir. Çözüm içi kullaılacak eke takımı olarak, medaa gelecek çökmei heme heme bir parabolik eğri olmaı beklediğide ve bir parabolu e rahat taımlaabilmei (a bc) edeile karteze koordiatlar eçilmiş olup, eke takımıı oriji oktaıı eri ie ol taraftaki direği tepe oktaı alımıştır. Bu durumda fizikel büüklükler ve ıır şartları şu şekilde olur. Fizikel değişkeler : Sıır şartları:. Kablo ağırlığı (abit). ie U. Çökme miktarı (değişke). L ie U. Germe kuvveti (abit). XL/ du ie U U ma ( ) d. Direkleraraı meafe (değişke) Bu problemde de direkt olarak U u vere bağıtı buluamaz. Çükü U u e ve diğer etkelere göre aıl bir değişim göterdiği bilimememektedir. Buu edei değişimi karekteri ve mertebeii bilimemeidir. Burada apılacak işlem ie bu belirizliği giderileceği daha küçük model ve elema düşümektir. Bu elema ouz küçük alııra değişim daha iabetli olarak doğru bir şekilde buluacaktır. Çükü ouz küçük apılarda değişimler lieerdir. Seçile elemaı büük olmaı bu lieer değişim aklaşımıı geçeriz kılar. L meafei ouza gide aıda dilimlere arıldığı varaılarak, e küçük uzuluğa ahip kablo elde edilir. Bu uzuluk d miktarıa tekabül edecek ve d uzuluğudaki çökme miktarıda du kadar olacatır. Yai ouz küçük 7

28 uzulukta medaa gele çökme de ouz küçük olacaktır. Elde edile diferaiel elema ve üzeride etkili ola kuvvetler şekil olarak aşağıda görülmektedir: T α dw d β T d ve du ie α β du α β dα ( vea dβ ) Öceki problemlerde farklı olarak göre keme üzeleride ei fiziki parametreler (T ve T keit alma kuvvetleri) belirtilmiştir. Heabı düşüüle bu problemdeki kabloda herhagi bir hareket düşüülmediği içi tatik dege şartları (ΣF, ΣF ) ugulaabilir. Bu diferaiel elemaı tatik degei T ve T ile ağlaacaktır. Rüzgarda medaa gelecek küçük alıım hareketleri ie heapları baitliği açııda ihmal edilebilir. Statik dege şartları diferaiel elemaa da ugulaabilir. Diferaiel elema aıl kabloda keilerek çıkarılmış gibi düşüüleceğide keile üzeleri temil ede T gerilme kuvvetleri heaba katılmalıdır. Bu gerilme kuvvetleri germe kuvvetii ve kablo ağırlığıı vektörel toplamıda medaa gelir. Dolaııla kablo doğrultuu bouca değeri değişir. ΣF T coβ-t coα ie T coβ T coα T o () Bu deklemi başka bir ifadei kablou herhagi bir oktaıdaki eğimi (α) coiüü ile o oktadaki T kuvvetii çarpımı, başka oktaıdaki eğimi coiüü ve T i çapımıa eşittir. Direk tepe oktalarıda germe kuvveti T o ata olduğu içi herhagi bir oktadaki eğim ile T i çarpımı T o a eşit olacaktır. ΣF T iβ - T iα dw () dw w o d ( diferaiel elemaı ağırlığı) () olu ifade T o değerie bölüerek ve olu ifadedeki değerler kullaılarak şu işlemler apılabilir: Burada w o (N/m) kablou birim uzuluğuu ağırlığıdır. T i β T iα T T o o T o dw T T i β T iα dw ie T co β T coα o w d tg tg T o β α olarak buluur. o d ie α β ie β - α dβ (vea dα) ie tgβ - tgα gβ gα Bu işlemde β açıı α da ouz küçük miktarda büük olmalıdır. α d α β olduğua dikkat du edilmelidir. Diferaiel elemada tgα ve ukarıdaki aalizler birleştirilerek aşağıdaki d ifade buluur: g d du wd o d du wo du α d T d d T d o o w T o o 8

29 Bulua o ifade. mertebe.derece adi diferaiel deklemdir. Sadece ağırlık gibi homeje aılı ükleri olduğu problemler içi ugulaabilir. Bu diferaiel deklemi çözümüde UU() şeklide bağıtı buluur. Bu bağıtıda herhagi bir kablo ve L meafei içi ma çökme buluabilir. roblem : Su içeriide tamame batmış ve durmakta ike deizaltı abit motor kuvvetile harekete başlamıştır. Hareket eaıda, araca hızıla oratılı olarak, u tarafıda V şiddetide bir direç kuvveti tepki vermektedir. Aracı hızıı ve almış olduğu olu heaplaacağı ifadei buluuz. Bu problemde hareketli bir item aaliz edilecektir. Bu durumda kullaılacak bağıtı, hareketli itemleri degeii temil ede Newto u.kauudur. Deizaltıa iki tae kuvvet etkimektedir. motor kuvveti hareketi ağlarke, V u direç kuvveti ie harekete egel olmaktadır. Deizaltı katı bir apıa ahip olmaı edeile aklaşık olarak bütü oktalarıı hız ve ivmeleri birbirie eşittir. Bu durumda deizaltıı maddeel okta evieie idirgeebiliriz. Maddeel okta kiematik bir kavram olup diferaiel elema gibi çok küçük apıı ifade etmektedir. Çözüm içi refera item olarak, deizaltı örügeii bir doğru olmaı gerektiğide karteze koordiatlar eçilirke, oriji oktaı olarakta hareketi başlagıç oktaı tercih edilmelidir. Bu problemde öcekilerde farklı olarak adece aracı takip ettiği örüge ouz küçük dilimlere arılır. Her dilim içeriide olu zamaa göre değişimi lieerdir ve hız her ouz küçük zama aralığı (diferaiel aralık vea zama) içeriide abit bir değere ahiptir (V d/). Fizikel büüklükler: Başlagıç şartı. kütle, m : abit. t ike V. Hız, V : değişke (deizaltı başlagıçta duruor). İvme, a : değişke. kuvveti : abit 5. V kuvveti: değişke 6. zama, t :değişke g (m/ ) V (m/) (N) V (N) : hareket doğrultuu ΣF m.a ie - V m.a, a dv ie m dv V olarak diferaiel deklem buluur. V bağımlı değişke, t ie bağımız değişkedir. Dikkat edilire değişke aıı de fazla olmaıa rağme diferaiel deklem kimi apıda çıkmamıştır. Bu deklem.derece.mertebe homeje olmaa adi diferaiel deklemdir. roblem 5 : Akışkaları hareketide kütlei korumuu temil ede üreklilik deklemii buluuz. Açılama: Bütü akışka akış problemleride akışka içeriide hız gradaıı bilimei gerekir. Hız gradaı hız profili vea hız dağılımı olarak da biliir. Hız profili vea gradaı akış bölgeide okta okta hızı aıl değiştiğii ifade eder. Eğer akış bolgei - düzlemide ie hız gradaıda ve i fokiou olacaktır. Gerek akışkaı katı cidarlar ile ve gereke akışka 9

30 taeciklerii birbirlerile ürtümeleri oucu medaa gele eerji kaıplarıı heaplaabilmei içi hız gradaıı bilimei gerekir. Hızı düşük ve akış çizgilerii düzgü olduğu lamier akış ve hızı ükek akış çizgilerii gelişigüzel eğriler ve girdaplar olduğu türbülalı akışta, heaplamada kullaıla bağıtılar ve elde edile ouçlar birbiride farklıdır. Her iki haldede hız gradaı birbiride çok farklıdır. Bu durumda bir keitte geçe akışkaı başka bir keitte geçerke, bir doğrultua göre gerek aka miktarı dağılımıı ve gereke hızı değişimii e olduğuu bilimei gerekir. Bu iteile değerleri heaplaa bağıtılarda biride SÜREKLİLİK DENKLEMİ'dir. Süreklilik deklemi kütlei koruumu prebie daaır. Yai bir keitte geçe akışka miktarı başka bir keitte geçe akışka miktarıa eşittir. Bu deklem buluurke akışka ortamıda akış doğrultuua göre vea boutlu diferaiel elema alıır. Bu diferaiel elema içeriie gire çıka akışka miktarları birbirie eşittir. Girişte tek doğrultuda bir akış olabilirke çıkışta doğrultu düzlemel ai iki boutlu olabilir. Böle bir durumdada doğrultua göre miktarları ve hız şiddetlerii aıl dağıldığıı bulmak mühedilik açııda öemlidir. İki boutlu bir akış ortamıda aşağıdaki diferaiel hacim cıkarılabilir. Akışka mekaiği vea Termodiamik problemleri diferaiel ötemle çözümüde kullaıla diferamiel elema geellikle KONTROL HAMİ vea YÜZEYİ olarak iimledirilir. Fizikel büüklükler:. Akışka oguluğu, ρ : Gazlar içi kouma ve baıca bağlı olarak değişirke, ıvılarda akışkalar ıkıştırılamaz olduğu içi abit kalır.. Akışka hızı, u (ata ödeki hız),v (düşe öde ki hız), : değişkedir.. Akış miktarı, debi, Q : kütlei koruumua göre abittir. Akış doğrultuua göre değişir.. Akış keiti : akış doğrultuua göre baze değişir baze abit kalır. 5. Zama, t : değişke Debi ve diğer büüklükler araıda şu şekilde ifade azılabilir. Kaal Duvarı d d v V u Kaal Duvarı Hız dağılımı Q ρ A V Q ρ A u Q ρ A v () V hızıı ekei üzerideki izdüşümü u, ekei üzerideki izdüşümü v olarak alıdı. Burada afa düzlemie dik derilik l birim olduğu kabul edilerek, da l.d da l.d () u ve v ie ve doğrultularıdaki toplam akışka hızıı izdüşümleridir. Yukarıdaki şekilde verile d d lik elema içeriide hızı değişimi lierdir. Daha Bölüm.5. de verile bilgiler ışığıda elamaı içie gire çıka akışka miktarları araıda bir deklem türetilebilir. Diferaiel elemaa vea kotrol üzeie öüde Q, öüde ie Q kadarlık debiler girere çıkışta bu değerler ouz küçük miktarda artar vea azalır. Gerekli işlemler ve şekil aşağıda verilmiştir.

31 Q Q d d Q d d Q Q d d d Q d Diferaiel elema ve elema üzerideki akış miktarları Kütlei koruumu preibie kotrol hacmie göre gire ve çıka akışka miktarları birbirie eşit olmalıdır. Q Q Qd - Q d d Q d - Q d d () olu deklemleri gerekli kımı türevleri alııp olu ifadee taşııra ve olu ifadede gerekli düzelemeler apılıra şu ifade buluur: ( u) ( ρv) ρ u v vea u ρ v ρ ρ ρ () Bulua bu ifade akışkalar mekaiğide SÜREKLİLİK DENKLEMİ olarak biliir. Akış problemlerii çözümüde kullaıla aa deklemde biridir. Bu deklem bu halile ıkıştırılabilir akışkaları (gazlar) değişke keitli ortamda akmaı geçerlidir. Şaet akışka ıkıştırılamaa bir ıvı ie oğuluk değişmeeceğide türevleri ıfır olacaktır. Bu durumda şu ifade buluur: u v (5) Bulua deklemde u ve v bağımlı, ve ie bağımız değişkelerdir. Böle bağımlı değişkei birde fazla olduğu diferaiel deklemler DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ olarak biliir ve çözüm içi bağımlı değişke aııca diferaiel deklem olmalıdır. Mühedilikte akış problemleri geellikle zamaa bağlı olmaa daimi hallerde düşüüldüğü içi zama dikkate alımamıştır..7 özümleri Fiziki Yorumu Diferaiel deklemleri çözülmei oucu bulua ifadeleri matematikel olarak doğru olmaıı aıda ilgili probleme ugu bir değişimide bize vermei gerekir. E başıda çözüm belirlemiş ola başlagıç ve ıır şartlarıı ağlamalıdır. Beklee eğri gerçekleşmiora ve şartlar ağlamıora cözüm alış olacaktır. Bu tür orumlar daha öce çözülmüş problemleri diferaiel deklemlerii çözümü eaıda apılacaktır.

32 BÖLÜM II ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER VE ÇÖZÜMLERİ Öceki bölümlerde itegralleri e bait diferaiel deklem olduğu ifade edilmişti. Bu edele diferaiel deklemeleri çözümüde de itegrao proei kullaılacaktır. Özellikle.mertebe diferaiel deklemlerde çözüm içi ilk öce İNTEGRASYON düşüülmelidir. İtegrao içi fokioel apıı ugu olmaa.mertebe diferaiel deklemler ie İNTEGRE EDİLEBİLİR ARÇALARA AYRILARAK çözümü gerçekleştirilmektedir. Bu amaçla özellikle bağımız değişkee bağlı fokio bloğu ve abitler çözümü ilk aşamaıda düşüülmeebilir. İlk öce diferaiel deklemi tümüü değil, öemli bir kımıı çözümü buluur. Daha ora dikkate alımaa kımı GENEL ÇÖZÜME etkii aıtılır. Geel çözüm, birbiride arı olarak bulua çözümleri toplamaıda bulua çözümdür. Örek olarak, homoje olmaa bir diferaiel deklemi geel çözümü homoje ve homoje olmaa çözümleri toplamaıda buluur. İtegre edilebilir parçalara aırmak mümkü olmaza, özel DEĞİŞKEN DÖNÜŞÜMLERİ ile çözüm araabilir. Yei değişkeler ile itegerao çözüm uguladıkta ora eki değişkelere tekrar döülür..mertebe diferaiel deklemler içi kullaıla o ötem ie TAM DİFERANSİYEL aklaşımdır. Bu ötemle çözümde değişke aıı ora iptal edilmek üzere de e çıkarılır.. mertebe diferaiel deklemler içi deklemi lieer vea o-lieer olmaı çözüm üzeride çok etkili olmamaıa karşı, ükek mertebeli diferaiel deklemlerde adece lieer diferaiel deklemleri aalitik çözümü mümküdür. Yükek mertebeli diferaiel deklemler içi ilk öce HOMOJEN ÇÖZÜM ü bulumaı ilk aşama olmaktadır. Homoje çözüm; homoje vea parçalama ile homoje hale döüştürüle diferaiel deklemi çözümüe verile iimdir. Homoje çözüm buludukta ora HOMOJEN OLMAYAN ÇÖZÜM bulumalıdır. Bu çözüm ÖZEL ÇÖZÜM olarak da iimledirilir. Bazı durumlarda herhagi bir matematikel işlem apılmakızı tahmie ve tecrübee daaarak, homoje çözüme bezetilerek vea diferaiel deklemi homoje olmaa kımıa bezetilerek diferaiel deklemi özel çözümü öerilir. Bu durumda öerile çözüm fokiou eterli aıda türevi ve kedii diferaiel dekleme taşıarak deklemi ağlamaı araştırılır. Sağlama işlemi diferaiel deklemde hiçbir ifadei kalmamaı maaıadır. Eğer öerile çözüm deklemi ağlıora ileriki aşamaa geçilir. Sağlama işlemi gerçekleşmemiş ie ei bir öeri apılarak tekrar ağlamaı kotrol edilir. Böle bulua çözüm ÖZEL ÇÖZÜM olarak iimledirilir. Yükek mertebeli deklemlerde de değişke döüşümleri kullaılabilir.. mertebe deklemlerde hem bağımlı hemde bağımız değişke döüştürülebilirke, ükek mertebeli deklemlerde geellikle bağımız değişke döüştürülür. Yükek mertebeli deklemlerde kullaıla bir diğer ötem KUVVET SERİLERİ ile çözümdür. Özellikle, bağımlı değişkei ve türevlerii öüde bağımız değişkee bağlı fokioları çarpım halide olduğu değişke kataılı deklemleri çözümü eri ile apılır. Serii bir çözüm olduğu kabul edilerek, deklemi ağlaaca şekilde eri abitleri düzeleir. Bu bölümde tek bağımız değişkee bağlı, o-homeje adi diferaiel deklemleri çözüm matığı verilecektir.

33 . Değişkelerie Arılabile Diferaiel Deklemler E geel halde bağımlı ve bağımız değişkelerie arılabile. mertebede bir diferaiel deklem bağımlı, ie bağımız değişke olmak üzere şu şekilde verilebilir: d f() () d Burada f() bağımız değişkee bağlı bilie bir fokiodur. Bu tip deklemleri çözümleri kere üzeride itegrao ile gerçekleştirilebilir. Sadece. mertebe diferaiel deklemler içi f foiou hem bağımlı değişke ve hemde bağımız değişkeleri fokiou, ff(,), olabilir. Buula birlikte, bu özelliğe ahip deklemleri çözümü içi gerekli şart f(,) foiou, f(,)g().h() şeklide iki arı fokioa bölüebilmeidir. Yai, deklemde varola değişkeler taraf tarafa arılabilmelidir. Örek olarak, f(,)l() şeklide ie adece i ve adece i fokioları elde edilemeeceği içi bu metodla çözüm elde edilemez. Diğer tarafta f(,)e ie f(,)e e olarak arılabildiği içi çözüm mümküdür..mertebe bir diferaiel deklem içi bu şekildeki aırım apılarak ve kez itegral alıarak çözüm gerçekleştirilmiş olacaktır. Bu durumda çözüm oraıda. Mertebe bir dif. deklemi,,,, gibi tae itegral abiti bulumalıdır.. mertebe değişkelerie arılabile diferaiel deklemi geel formu ve çözüm formatı şu şekildedir; d d f (, ) g( ). h( ) g( ) d () d h( ) d roblem : 9 diferaiel deklemii çözüüz. d Çözüm: Deklemdeki ve ifadeleri taraf tarafa arılabilir. Elde edile ifade iki bait itegrali alıabilir bir deklem olacaktır. 9 9 d d 8 9 abiti başlagıç vea ıır şartı ile buluacaktır. Sağlama: Bulua çözümü doğru olup olmadığı, çözüm fokiouu eide türevii alımaıla, belirleebilir. Çözümü ağlamaı şekilde tet edilebilir. Birici tete göre mutlaka tekrar diferaiel deklemi vermelidir. ' Çözüm ie. türevi, ', ', 9' 6 Verile deklem elde edildiği içi çözüm doğrudur. İkici tete görede bulua çözüm ve türevi diferaiel deklemde erie azılır. Tüm ifadeler birbirii okediora bulua vea öerile çözüm doğru demektir. 8 6 ie dif deklemde 9 9 erie azılıra

34 d 6 9 ie 9 d d roblem : 5 e - diferaiel deklemii çözüüz. d Çözüm: Bu tür diferaiel deklemleri çözümüde tütevi itegraou içi şu bezerlik uutulmamalıdır. İtegral ve türev birbirii teridir.birii etkiii diğeri okeder, d d d d d t da A d d d d d d Bua göre örek diferaiel deklemi çözümü, d d d d d 5 5e d 5e d e d d d d d d d d e d d d 5 d 5 d 5 e d e d Bezer şekilde bir kez daha itegrali alıarak çözüm aşağıdaki şekilde buluur. 5 Çözüm : e 8 Buradaki ler abitler olup başlagıç vea ıır şartları ardımıla buluur. roblem : d d ( ) diferaiel deklemii çözüüz. Çözüm: Deklemdeki ve ifadeleri taraf tarafa arılabilir. Elde edile ifade iki bait itegrali alıabilir bir deklem olacaktır. Çözüm içi değişke döüşümü de gerekecektir. d d u v d du d dv du dv du dv l( u) l( v) u v u v l u l v l o l( ), l u l v u v. o Not: Çözüm oraıda tüm fokioları logaritma fokiou vea iu foiou olmaı halide itegral vea diferaiel deklem abiti de ( ) aı fokiolar ciide (l, Si, ) azılabilir. Bu değişkeler ve abitleri araıda adeleştirme işlemleri açııda fadalı olacaktır. Böle bir döüşüm matıkal olarak da alış değildir. değeri abite buu logaritmaı vea iu değeride abit olacaktır. Gerekli ter döüşümlerle çözüm şu şekilde buluacaktır: - (-) Sağlama : Bulua çözüm doğrumu? oruu çözümü kedii ve türevi verile deklemde erie azılarak kotrol edilebilir. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

35 d d, ( ) roblem : d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) diferaiel deklemii çözüüz. Çözüm: d d arctg tg() ie çözüm doğru. roblem 5: d 5 diferaiel deklemii () şartı ile çözüüz. d Çözüm: 5 5 d ie [ ()] Çözüm deklemide erie erie azılarak belirleir. -- ie - buluur. Bölece geel çözüm, 5 roblem 6: d diferaiel deklemii () şartı ile çözüüz. d Çözüm: d d ie [ ()] Çözüm deklemide erie erie azılarak belirleir. ie buluur. Bölece geel çözüm, 8 roblem 7: k d Çözüm: d kd ie lk, l, lkl ie e k ie [ ()] k Çözüm deklemide erie erie azılarak belirleir. e ie buluur. Bölece geel çözüm, k e Ugulama : Yüze ıcaklıkları T ve T ola L kalılığıdaki duvarda geçe ııı heaplaıız. Duvar içeriideki ıcaklık dağılımıı belirleip çiziiz. T Duvar vea Levha q Iı akış Doğrultuu T T T T a b c Duvar içeride ıcaklık değişimi Beklee ıcaklık eğrileri L L 5

36 dt q k deklemile heaplamalıdır. Değişkeler ola T ve eşitliği her iki tarafıa d arılabilir. qd kdt q d -k dt ie çözüm q -kt şeklide bulur. Sıır şartları iki tae buluur. : ie T T, q. -k T ie k T buluur.bu durumda duvar içeriideki ıcaklık dağılımıı vere ifade şu şekildedir. q q -kt k T ie T( ) T k Bu deklem şekildeki b eğriie ugu bir lieer değişimi ifade ettiği içi beklee bir çözüm bulumuştur. Bu ifadede. ıır şartı erie koularak trafer ola ıı buluur. ql k : L ie TT ie T T duvarda trafer ola ıı miktarı q ( T T ) dir. k L Iı akış Doğrultuu T() T b Duvar içeride heaplaa ıcaklık dağılımı T L Ugulama : Yukarıdaki problemde duvar içeriide kimaal olla q kadarlık bir ıı üretimi öz kouu olura ıcaklık dağılımı ve q değerleri e olur? Makimum ıcaklığı buluuz. q q Duvar T vea Levha T L q Iı akış Doğrultuu Duvar içeriide ıı üretimi mevcut ie diferaiel deklem şu şekilde olacaktır: T T T q''' ρ z k k v T t 6 Acak bu deklem kımi olup çözümü zordur. Bu edele değişke aıı tae olucaa kadar bazı kabuller apılmalıdır. Bizim içi duvarı doğrultuudaki ıı tarferi öemlidir. Diğer ve z ölerideki ıı akıı öemli değildir. Yapılardaki ugulama açııda öüdeki ıı içeri vea dışarı akarka, ve z öüdeki boutu daha büük olmaı edeile ıı akıı duvar içeriide kalacaktır. Bu edeke ve z öüde duvar uzuluklarıı ouz olduğu kabul edilebilir. Bu durumda da ıı ve z öüdeki meafeler çok uzu olduğu içi e kıa ö ola öüde akabilecektir. Dolaııla ıcaklık değişimide adece öüde olacaktır. Herhagi bir öde ıı akışı oka, o öe göre ıcaklık değişmez

37 ve abit kalır. Bir abiti türevi ie ıfırdır. İlave olarak problem daimi (tead) olarak düşüülüre ıcaklık zamala da değişmeecektir: - öüde ıı akışı ok, ıcaklık bu öde değimior ie - z öüde ıı akışı ok, ıcaklık bu öde değimior ie T - daimi problem, ıcaklık zamala değişmior ie t T T z T T z Bu aklaşımlar ile değişke aıı de (T,,,z,) e (T,) düşecektir. değişke araıdaki diferaiel değişim adi formda olacaktır. Diferaiel deklemi ei hali şu şekildedir: dt q''' (Bir tae bağımız değişke var. Adi dif. deklem) d k d dt q d dt q dt q d d d ''' k d ''' ''' k d k q''' q dt d T k ''' k Çözüm içi gerekli ıır şartları: TT T - q./k. T L TT T - q L /k.l T (T - T )/L q L/k T T T q ql k L k T Duvar içeriide ıcaklık dağılımıı vere deklem Sıcaklık duvar içeriide parabolik olarak değişmektedir. Bu edele duvar içeriide bir oktada ıcaklık makimum vea miimumdur. Fiziki orum olarak duvar içeriide ıı üretimi olmaıda dolaı duvar içide bir erde ıcaklık makimumdur. Daha öce diferaiel deklem çıkarılmaıda bahediliği gibi bu beklee bir durumdur. Maimum ıcaklık ve eri şu şekilde tebit edilir. dt q T T ql k T d k L k T L ie krt ql krt makimum ıcaklığı erii belirler. T <T olduğu zama makimum okta ağ tarafa akı, T >T olduğu zama ie ol tarafa akı olacaktır. Makimum ıcaklık içi ıcaklık dağılımıı vere deklemde krt azılmalıdır. Sıcaklık dağılımıı kullaarak fourier deklemi ardımıla üzelerde trafer ola ıılar heaplaabilir. T >T içi duvar içideki ıcaklık dağılımı ve üzede medaa gele q () ve q (L) ıı akışları şu şekildedir: dt T T q L q k q k d L k ıı değerie bağlı olarak değişior. T T ql T q k L k T q L q q L k L k 7 ( )

38 T() T ma T > T içi ıcaklık dağımı, maimum ıcaklık değeri ve eri q T q T krt L L/ Ugulama : AralarıdaL meafe bulua direklere aıla birim uzuluk ağırlığı w o [N/m] ola ahip kabloda erçekimide dolaı medaa gele arkmaı buluuz. Direkleri tepe evieie göre medaa gele maimum çökme miktarıı ve erii buluuz. w o [N/m] g kablo U du wo ie d T o d d du w d du o wo d T d T d du wo d T o w du T d U w o o T o o o o Sıır şartları ugulaarak itegral abitleri buluur. : U : L U (w /T )L L - w L/(T ) ie w U ( ) ( L) T makimum çökmei medaa geldiği oktaı bulmak içi bulua deklemi.türevi ıfıra eşitleir. du w L w L L wl ( L) L krt ie U ma L. d T T L/ 8T L/ L Medaa gele arkmaı e göre değişimi ve makimum çökme U ma U() 8

39 Ugulama : Yola() bağlı ivmei a ile verile hareket durmakta ike harekete başlaa bir araca aittir. Aracı hızıı ve oluu zamaa bağlı olarak buluuz. dv a şeklide bir deklem elde edilecektir. Bu diferaiel deklemde tae değişke (V, ve t) mevcuttur. değişkeli diferaiel deklem çözülemez. Çözüm içi değişke aıı e düşürülmelidir. Bu iki şekilde apılabilir: I- İlk ötemde bağımlı değişke (V) okedilebilir. V erie li ifadei azılır. Yolu zamaa göre. türevi hız ie d d d d d d V a [ V] ie diferaiel deklem olur. Böle.mertebe bir deklemi çözülebilmei içi ağ taraf bağımız değişkei (t) fokiou olmalıdır. Oaki elde edile deklemi ağ tarafı bağımlı değişkei () fokioudur. d İtegrao içi f () t olmalı II- Değişke aııı e idirgemei diğer olu bağımız değişkelerde birii okedilmeidir. Zicirleme türev kuralı ile bu amaç gerçekleştirilebilir. dv dv d d dv a V a V d d Bölece V ve t araıdaki ivmede V ve araıdaki ivme ifadeie geçilebilir. dv V V VdV d d V (Durmaktadır.) ie, V V. Ugulama-5: Şekilde görüle çelik köprü üzeride eretmekte ola bir araçta dolaı köprüde medaa gele çökmei (ehim) buluuz. Makimum değeri belirleiiz. Açıklama: Köprü üzeride geçe e ağır araç körüü tam ortaıda e büük çökmei medaa getirir. Bu edele tam orta okta içi buluacak çökme değeri içi ağlaacak emiet diğer oktalar içide kafi olacaktır. Araç ağırlığıda dolaı gövdei F kuvveti ile eğmee çalışacaktır. Heaplama içi meet reakioları heapladıkta ora oriji oktaıa kadar uzaklıktaki A oktaıa göre momet alıır. gövde g Köprü Aağı Köprü Aağı F F/ A L F Çökme eğrii Sehimi e göre değişimi Sehim vea çökme (u) diferaiel deklemi I atalet mometi ve E elatiite modulü ve momet (M) değerie e bağlı olarak şu şekildedir; 9

40 du EI M ( ) d burada momet öceki şekle göre A oktaıda ( ) F M dir. du F d du F du ie IE, d, d d d IE d F F du d u IE IE F d IE du F, d IE ie Çözümü tamamlamaı içi tae ıır şartı gerekir:. ie u, FL F FL. L/ ie du/d, ie u 6 IE IE 6IE Ugulama-6: Hareketiz dura ve aralarıda H kadar meafe bulua iki plaka araıda aka Q o debie ahip ıvıı hız profilii vere bağıtıı buluuz. Akış daimi (tead) dir. Kaala girerke Hız profili Kaala içeriide Hız profili H Açıklama: Sıvıları apışma özelliği vizkoluk özelliği olarak biliir. Gerçek ıvılar temata oldukları katı üzee apıştıklarıda hızları üze ile aı olur. Bu problemde plaka üzeler hareketiz olduğu içi palakaa bitişik taecik hızları ıfırdır. Bu uretle girişteki homeje hız profili (gradei) kaal içide parabolik olarak değişir. Çözüm: İki boutlu (,) akış içi akışı hareketii taımlaa Navier-Stoke deklemi ıkıştırılamaa ıvılar içi şu şekildedir. u u u v v v içi, ρg µ ρ ve ekei içi ρg µ t ρ t Bu deklemlerde u ve v ıraıla akışka taeciği hızıı ve ekelerideki izdüşümleridir. İlave olarak g erçekimi ivmeii, ρ akışka oğuluğuu, µ diamik vikozitei ve baıcı götermektedir. Akış adece öüdedir ve hız adece e göre u değişmektedir. Bu edele v ve olacaktır. Daimi akış zamaa göre değişim götermee akış içi zamaa göre türevlerde ıfır olacaktır. Gerie kala ifade şu şekildedir. u d u ρ g µ, ρ g µ, ρ g K d ie du K µ d Yukarıdaki deklemde tek bağımız değişke olduğu içi kımi diferaiede adi diferaiele geçilir. İtegral üzeride alıacak olup ile ilgili terimler bu edele K abiti ile kıaca göterilmiştir. d u d K abit µ K ie iki kez göre itegral alıarak u ( ) buluur. µ Sabitleri bulumaı içi ıır şartı gerekir. Koordiat itemii oriji oktaı iki plakaı tam ortaı eçilerek hareketiz plaka üzeideki ıvı taeciklerii hızı taımlaabilir. lakaları orijie uzaklığı eçile orijie göre H/ ve H/ olacaktır. Gerçek akışkalar katı

41 üzeie apışacağıda ve plakalar hareketiz olacağıda plaka üzeideki taecikleri hızı da ıfır olacaktır. K H µ K H H / µ. ıır şartı, H/ ie u, ( H / ). ıır şartı, -H/ ie u, ( ) So iki ıır şartı deklemii çözümümde ve abitler ve K erie azılarak şu şekilde buluur; ( H ) d u g 8 ρ µ d KH buluur. Bu durumda çözüm 8µ Bu hız profili bir parabolik bağıtı olup beklee çözümdür. Bağıtı öüde akışka hızıı aıl değiştiğii ifade etmektedir. Bu değişim HIZ ALANI olarakta iimledirilir. Bu hız bağıtııda hareketle debi ve vikoz kuvvetler heaplaabilir. Debi (hız*keit) preibie göre heaplaır. Keit akış doğrultuua dik olup, H.Derilik şeklide heaplaır. Acak H bouca u hızı değişmektedir. Bu edele her oktaı içi bir debide bahedilebilir. lakaa akı birim keitte geçe debi ve oriji oktaı civarıdaki birim keitte geçe debi aı olmaacaktır. Bu edele doğrultuu d lik ouz küçük diferaiel dilimlere arılır. Herhagi bir d.derilik keitide geçe debide ouz küçük olacaktır. Bu durumda H değeride geçe debi itegralle belirleir. Bu durumda diferaiel keitte geçe debi Derilik alıarak, ifadei itegraou ile buluabilir. Q o H / H / u( ) d d H 8µ d µ şeklide azılabilir. Qo debii bu H / H / Q o u( ) d ( ) H / ρg H d ρg H / So çözümde iteire Q o debiii vere kaal aralığı H belirleir. Örek roblemler : d d. d - () d. d - d. d (-) d. d/d / 5. e d ( e ) d 6. d/(( )) d 7. ta d i d 8. co d ta d 9. i i d co co d. (-). co co. ec. d t (t ) ec. ( l ) d (l ) d 5. d (a - ) / d 6. / 7. l l d d 8. e 9. a d ( - a ).5 d. d () e - d. (e ). dr b (co θ dr r i θ dθ )

42 . (- ).5 d - ( ).5 d 6. (). d e d 7. cc 6. dr/ - rt r() r 8..5i w, w:bt 7. () 9. co tg 8. () 9. d d () -. i (-)/ () e -. e - (). (). dr/-tr, r()8.. () cot (π/). d d (-). V(dV/)g, g:bt, V(t o )V o 5. iθ dr r coθ dθ, r(.5π)-.. () 9 6. L(dI/)RI, I()I o 5. () 7. ().5 co, (.5π) -. Tam Diferaiel Deklemler Öceki bölümde verile bağımlı ve bağımız değişkelerie aırma ötemi her diferaiel d deklem içi mümkü olmaabilir. f(, ) geel ifadeideki f(,)h().g() d şeklide aırmaı mümkü olmadığı hallerde,.mertebede diferaiel deklemler tam diferaiel aklaşımı ile çözülebilir. Eğer değişke aırma apılamaz ie itegral almak mümkü olmaacaktır. Örek olarak, d d d : üzeride itegral almak içi değişkei ciide erie azılmalıdır. Acak () şeklide bir bilgii bulumaı da verile itegrali çözümüe bağlı olduğuda klaik matıkla çözüm buluamaz. dv i t V dv i t V dv : zama (t) üzeride itegral almak içi hız (V) zama ciide erie azılmalıdır. Acak bu itegral çözümüe bağlı olup çözüm mümkü olmaz I- d ( ) II- ( ) Şaet verile örekler çözülmüş oladı, çözüm ifadeide -değişkei, -değişkei ve - itegral abiti buluacaktı. Bulua f(,,) deklemide çekilerek (,) () şeklide bir kapalı fokioel deklem buluabilir. Değişkelerie arılamaa, bağımlı ve bağımız değişkeleri fokiou ola M(,) ve N(,) foiolarıa bağlı olarak. mertebe bir diferaiel deklemi tadart formu şu şekilde göterilebilir; M(, ) d N(,) d () d Bu dekleme ukarıda verile I.örek uarlaıra d ( ) d ie d M(,)-() ve N(,) olacaktır. Aı şekilde II.örek içi, erie V ve erie t

43 azılarak M(t,V)Sitt, N(t,V) şeklide () formua döüştürülür. () deklem ile taımlamış ola kapalı fokioda itegral abiti geçici olarak değişke kabul edilire değişkeli apıda değişkeli bir apıa ulaşılır. Bu aklaşım Sabitleri Değişimi imi verilmekte olup başka diferaiel deklem çözümleride de kullaılmaktadır. değişkeli (,,) böle bir fokiou.diferaieli öceki bilgilere (Bölüm.5.) daaarak şu şekilde azılabilir: d d d () Burada i bir itegral abiti olduğu içi tam diferaielii ıfır olmaı özkouudur. Tam ve kımi diferaieller ve de daha fazla değişke içere fokiolar içi lullaıla kavramalardır. Diferaiel değişim olarak da algılaabilir. i e göre.türevi olarak bakılacağı gibi, i e göre değişimi olarakta düşüülebilir. () deklemie göre i değişimii bir kımı, diğer bir kımı da üzeridedir. Bular kımi diferaiel dir. Bu ikiii toplamı değişimii tamamıı verecek olup, bu toplamda tam diferaiel olacaktır. Tam diferaiel gibi bir abit içi keilikle ıfırdır. Acak ve ıfır olmaabilir. Biri diğerii okedebilir. Tam diferaiel bir fokio (değişke aıı gerçekte tae ola fokio) içi d olmalıdır. d d () şeklide azılabilir. Dikkat edilire () formudaki çözülecek diferaiel deklem ve çözüldüğü varaıla çözümü diferaielii ifade ede () deklemleri birbirie bezemektedir. Bu bezeşimde ; M(, ), N(, ) (5) azılabilir. () formuda verile bir diferaiel deklemi çözümüde buluacak () olu deklemi tam diferaiel şartıı ağlaarak () deklemii ağlaabilmei içi (5) olu deklemlerde tam diferaiellik şartları üretilmelidir. Başka bir ifade ile M(,) ve N(,) foiolarıa bağlı olarak () şartıı ağlaa e olmalıdır? oruuu cevabı verilmelidir. (5) olu deklemler tae olup hagiide değeri buluabilir. Biride bulua değeri, diğeride buluacak değerie eşit olacakmıdır? Çözüm üzeride her ikiide, hem M hemde N fokioları etkili olacağıda her ikiide kullaılmalıdır. Her ikiiide kullaılabilmei içim iki deklem birleştirilmelidir. Bu birleşme acak M i e göre kimi türevie, N ide e göre tekrar kımı türevleri alımaı ile mümkü olur. Çükü bu türevleme birbirie eşit iki diferaiel ifade elde edilir. Verile (5) deklemleri de ve e göre kımı olarak türetilire; M(, ) ie M (, ) ve (, ) N ie N(, ) (6)

44 olduğu görülecektir. Bu durumda tam diferaiel bir form içi () deklemideki M ve N fokiolarıa bağlı olarak; M (, ) N (, ) (7) şeklide tam diferaiellik şartı azılabilir. Bu ifade kıca M N olarak da göterilebilir. M M i e göre kımi türevi demketir. Teride düşüecek olurak diferaiel deklemdeki M'i ' e göre kımi türevii, N' i ' e göre kımi türevie eşit ie o deklem tam diferaiel deklemdir deilebilir. Bu durumda (7) olu deklem tam diferaiellik şartı olacaktır. Böle bir şart ağlaıra diferaiel deklemi çözümü şu şekilde geliştirilir. (5) deklemlerideki ifadelerde biri ele alıarak, a M(,) ada N(,), işleme başlaır. M(,) eçilerek M(, ) M (, ) o( ) M (8) buluur. M ve e bağlı bir fokiodur. Buu ' e göre kıme itegre edilmei halide medaa gele o itegral abitii e göre abit olurke, itegral işlemide dikkate alımaa değişkeie bağlı olabileceği ihtimali her zama düşüülmelidir. Bu edele o () şeklide azılım doğru olacaktır. Dolaııla bu aşamada çözümü bitmiş olduğuu ölemei imkaızdır. o () buluarak (8) de erie azılmalıdır. (8) ifadei 'e göre tekrar türetilecek olura çözümü tamamlamaıı ağlaacak o () ; d ( ) o Md d ifadeide buluacaktır. (5) ifadeie dikkate edilecek olura görülecektir. i N(,)'e eşit olduğu do( ) Md N(, ) d (9) Bu durumda (9) delemii itegraouda o () buluur. (9) deklemide o ı e göre türevide d operatörüü kullaıldığıa dikkat edilmelidir. Çükü, o adece bir değişkee bağlı olmak zorudadır. Bu itegrao oucu o içeriide ile ilgili bir ifadei olamıacağı açıktır. Eğer o içeriide buluura apıla işlemlerde alışlık var demektir. Bulua o () (8) delemideki erie azılarak çözüm tamamlaır. (8) çözümüü elde edilmeide M(,) erie N(,) tercih edilire çözüm şu şekilde ilerleecektir: N(, ) N (, ) o( ) N () Buradaki o () olduğua dikkat edilmelidir. Çükü, itegral üzeride alımış olup, buluacak o abitii e bağlı olmaı muhtemel olacaktır. o () değerii bulmak içide () deklemi e göre kımi türevi alıarak M değerie eşitlemei gerekir. Bulua o () içeriide keilikle değişkei bulumaz. Aki halde işlem hataı olup çözüm alış olur. o () () deklemideki erie azılarak çözüm tamamlaır. roblem-: ( ) d ( )d diferaiel deklemii çözüüz.

45 Diferaiel deklemde ki ( ) ve ( ) fokiolarıı adece ve adece de medaa gele fokiolara arılmaı mümkü değildir. Bu edele tam diferaiel çözüm kullaılmalıdır. ( ) d ( )d (verile diferaiel deklem) M(,) d N(,) d (tam diferaiel deklem) İki deklem birbirie bezetilerek M ve N fokioları tarifleir. Bulua M ve N i kımi türevleri alıarak tam diferaiel şartıı ağlaıp ağlamadığı kotrol edilir. [Not: Kımi türev bilie adi türev ile aır. Acak, e göre kımi türev alıırke abit, e göre kımi türev alıırke abit kabul edilir. Aı şekilde kımi itegraoda da üzeride ( ) itegraoda abit, üzeride itegraoda ( ) abit alıır. ) M(, ), N(, ) Tam dif. şartı M N (or M N ) M N tam diferaieldir. Çözüm içi diferaiel deklemde M ve N fokioları iput olarak alımıştır. Bu iputları her ikiide kullaılarak output çözüm buluacaktır. M ve N de biri ile (,) çözüm foiou diğeride ie o () vea o () fokioel itegral abiti buluacaktır. Her iki alteratif kullaılarak çözüm şu şekilde gerçekleir:.çözüm: M(,) ile (,) ve N(,) ile o ı bulumaı tercih edilire; ie o ( ) Çözümü tam olmaı içi o () bulumalıdır. Buu içi N(,) de fadalaılır. Bulua i e göre kımi türevi N fokioua eşittir. d o N(,) d do ie do d o( ) d Dif.deklemi çözümü şeklidedir. itegral abitidir..çözüm: N(,) ile (,) ve M(,) ile o ı bulumaı tercih edilire; N(, ) ie o ( ) Çözümü tam olmaı içi o () bulumalıdır. Buu içi M(,) de fadalaılır. Bulua i e göre kımi türevi M fokioua eşittir. d o M d (, ) ie do do d o( ) d Dif.deklemi çözümü şeklidedir. Sağlama: Bulua çözüm tekrar türetilerek doğru olup olmadığı belirleebilir. Çözümü e göre türevi, 5

46 ( ) d( ) d d d d d, o ifade d ile çarpılarak d ve d d d d d d d paretezie alııra ( )d( )d buluur. Bu verile diferaiel deklemi aıı olup çözüm doğrudur. roblem-: o d - ( - )d diferaiel deklemii çözüüz. Diferaiel deklemde ki fokioel apı adece ve adece de medaa gele fokiolara arılmaı mümkü değildir. Bu edele tam diferaiel çözüm kullaılmalıdır. M(,) d N(,) d o d - ( - )d (verile diferaiel deklem) (tam diferaiel deklem) İki deklem birbirie bezetilerek M ve N fokioları tarifleir. Daha tam diferaiel şart kotrol edilir. M(, ) - -, N(, ) o Tam dif. şartı M N M, N tam diferaieldir..çözüm: M(,) ile (,) ve N(,) ile o ı bulumaı tercih edilire; - - ie - - ( ) o Çözümü tam olmaı içi o () bulumalıdır. Buu içi N(,) de fadalaılır. Bulua i e göre kımi türevi N fokioua eşittir. d o N(,) co d, do co do co d o( ) i d Dif.deklemi çözümü i şeklidedir. itegral abitidir..çözüm: N(,) ile (,) ve M(,) ile o ı bulumaı tercih edilire; o ie o i o () Çözümü tam olmaı içi o () bulumalıdır. Buu içi M(,) de fadalaılır. Bulua i e göre kımi türevi M fokioua eşittir. d o d M (, ) - - do ie o abit d o abit buludu. Acak bir itegral abiti olarak kullaılabilir. Çözüm deklemide buluduğu içi o alımaabilir. Başka bir bir ifade bir deklemde aıal değeri 6

47 bilimee abitleri toplamı, farkı vea çarpımı, ie aıal değeri bilimee başka bir abitle kıaca tarifleebilir. Bu abit ie dif.deklemi çözümü i şeklidedir. roblem-: ( -)d ( - )d diferaiel deklemii çözüüz. M M(,) - N(,) - Tam diferaiel şartı M N tam diferaieldir. M(,) ile (,) ve N(,) ile o ı bulumaı tercih edilire; N - ie ( ) o - ( ) Çözümü tam olmaı içi o () bulumalıdır. Buu içi N(,) de fadalaılır. Bulua i e göre kımi türevi N fokioua eşittir. d o - N(,) - d Öceki problemdeki orumda çözüme aıtılmaabilir. d, o d ie o abittir. Dif.deklemi çözümü şeklidedir. itegral abitidir. roblem-: ( )d ( )d diferaiel deklemii çözüüz. M(,) N(,) Tam diferaiel şartı M N 6 6 tam diferaieldir. M N M(,) ile (,) ve N(,) ile o ı bulumaı tercih edilire; ( ) ie ( ) o Çözümü tam olmaı içi o () bulumalıdır. Buu içi N(,) de fadalaılır. Bulua i e göre kımi türevi N fokioua eşittir. d o N(,), d d o do d o( ) d Dif.deklemi çözümü şeklidedir. Tüm deklem taraf tarafa ile çarpılarak ve azılarak çözüm daha bait azılabilir. Çözümü o formu dir. ei itegral abitidir. 6 7

48 roblem-5: (i.coh)d - (co ih)d dif. deklemii () şartıla çözüüz. M M(, ) i coh N(, ) -( co ih) Tam diferaiel şartı M N i ih i ih tam diferaieldir. N M(,) tercih edilerek; M(, ) i coh ie i coh co coh o ( ) Çözümü tam olmaı içi () bulumalıdır. Buu içi N(,) de fadalaılır. d -co.ih o N(, ) - co ih d ( ) o ie o abit Dif.deklemi çözümü co coh dir. Verile şartlara göre ie olmalıdır. co.coh ie - buluur. Geel çözüm, co coh Ugulama: Bir akış ortamıda öüdeki hız ua( - ) ve öüdeki hız v-a ile verilmiştir. Bu akışı akım fokiouu (ψ) buluuz. Akım fokiou u ve v ile şu şekilde ifade edilir; u ψ a( ) a v ψ Bu veriler akım fokiouu tam diferaiel aklaşımla çözülebileceğii götermektedir. Akışkalarda tam diferaiellik kotrolu üreklilik deklemi vaıtaıla apılır. Daha öce verile (ıkıştırılamaa akışkalar içi) bu deklem ağlamaktadır. u v (üreklilik deklemi) a-a ie tam diftir. Çözüm: ψ a( ) ψ a( ) ψ a( ) ( ) d ψ a( ) a ie bt, ψ (, ) a( ) d Bu çözümde e değişik değerler verilerek akım cizgileri elde edilir. Not : Verile diferaiel deklem değişkelerie arılamıora, hem bağımlı hemde bağımız değişkeler özel fokiolar (co, l,,,...) ciide deklemde mevcuta çözümü tam diferaiel ötemle vea tam diferaiel hale getirme ötemi ile gerçekleştirilebilir. Bait cözüm içi vea daha ora görülecek metodlarla çözüm içi geel bir preip olarak bağımlı değişke a adece (lieer vea.derece diferaiel deklem) vea (.derece diferaiel deklem) şeklide deklemde mevcut olmaıa dikkat edilmelidir. 8

49 Örek roblemler:. ( ) ( ) d d. ( )d d. ( e )d ( e )d. ( l - )d - d 5. (e )d (e - )d 6. coh cohd ih ih d 7. ( - co)d - i d l(l ) l 8. ( ) d ( ) d l 9. ( /)d ( - /)d. (co()i())d co()d. d ( )d. ( - )d( - )d, (-). ( - )d ( )d ().(i co i)d (i -co)d 5. ((-)/ )d(( -)/ )d, ()6 6. (e e ) d (e )d, ()6 7. a) ( )d (A A)d b) (/ / )d ((A )/ ) d 8. e -θ dr r e -θ dθ 9. e (co d-i d). coπ coπd iπ iπ d, (/)/. d d, (). iwd wcow d, ()π/w. d d. ih d - coh d, ()π. Tam Diferaiel Hale Getirile Diferaiel Deklemler (İtegrao Faktörü) Öceki bölümde problem- olarak çözüle örekte [( -)d ( - )d ] tam diferaiel şart ağlamıştı: M N M(,) - N(,) - Tam diferaiel şartı M N tam diferaieldir. Eğer tüm deklem taraf tarafa ile bölüecek olura [( -)d ( - )d] elde edilir. Matematikel olarak bir ifade bir abit vea değişke taraf tarafa çarpılabilir vea bölüebilir. Yei halde tam diferaiel şart araıra; M N(,) - Tam diferaiel şartı M N 9 tam diferaiel değildir. M(,) - N Deklemi ile bölümei tam diferaiel şartıı bozmuştur. Ter matıkla bu ola değerledirilire, tam diferaiel şartıı ağlamamaıa rağme bir fokio ile çarpılıca tam diferaiellik ağlaabilir. Dolaııla, değişkelerie arılamaa, tam diferaiel deklem formua bezemeie rağme tam diferaiel şartı ağlamaa bazı deklemler λ(,) şeklideki bir fokio ile çarpılarak tam diferaiel hale getirilebilir. Bu fokioa itegral çarpaı vea itegrao faktörü imi de verilir. M(,)d N(,)d () 9

50 λ(,)m(,)d λ (,)N(,)d () () olu deklemi tam diferaiel şartı ; alııra, λ ( M) λ ( N) şeklide azılabilir. aratez içeriideki ifadeleri diferaieli λ M N M N λ λ λ ie M λ N λ N M λ () elde edilir. λ(,) fokiouu tebit edilmei içi olu deklemi çözülmei gerekir. Bu deklem tae değişkee (λ:bağımlı, ;:bağımız) bağlı kımi diferaiel olup çözümü bu aşamada mümkü değildir. Geellikle λ(,) şeklideki değişkeli değişim tecrübee bağlı olarak zz(,) şeklide bir değişke döüşümü ile λ(z) şeklide değişkeli adi diferaiel apıa idirgeir. Bu işlemlerde zircirleme türev kuralı kullaılır. Bu edele, N ve M fokiolarıı apııa göre λ fokiou aalitik olarak belirlemei belirli haller içi mümküdür. λ a adece i, a adece i ada hem hem de i fokiou olabilir. Hem ve hem de i fokiou olmaı kımi dif deklem çözümüe ede olduğuda öcede tahmi etmek oldukça zordur. Bu edele λ a adece, ada adece i fokiou olarak aramalıdır. Bu haller içi λ fokioları aşağıdaki gibi iki şekilde buluur: N M λ d λ. λλ() ie, d, dλ M N d λ or d N λ N N M λ d λ. λλ() ie, d, dλ N M d λ or d M λ M Yukarıdaki delemlerde çözüm içi ağ taraftaki itegraller içideki fokiolar gerekli adeleştirmelerde ora.deklemde adece e,.deklemde ie adece e bağlı olmalıdır. Aki takdirde λ() ve λ() itegral çarpaları doğru bir şekilde buluamaz. roblem-: ( e )d ( e - -)d diferaiel deklemii çözüüz. M N M e N e - - tam diferaiel şartı M N 8 e e 6 e türevler birbirie eşit olmadığıda tam diferaiel değildir. Bu edele tam diferaielaklaşım ile çözüm içi ilk öce tam diferaiel hale döüştürecek λ çarpaı bulumalıdır. λ ı hagi değişkee bağlı olduğu direkt bulmak zor olabilir. Acak, ıraıla tet ederek doğru ola buluabilir. Gerekli işlemler şu şekildedir: 8 6 e M-N [ e e ] [ 8 e 8 ]. λλ() ie λ λ M N N 8 e 8 e 5

51 λλ() ie adece i fokiou olmadığı içi, ai pa ve padada gerekli adeleştirmelerde ora hala değişkei buluduğu içi λλ() kabulu alıştır. Bu edele işlemler λλ() kabulu içi tekrarlamalıdır.. λλ() ie λ λ N M M [ 8 e 8 ] e [ e ] [ ] e dλ d λ ie l λ -l, λ ( ) λλ() kabulu ouçta adece e bağlı çukmaıda dolaı doğrudur. λ ı bulumaı diferaiel deklem çözümüde ara işlem iteliğide olduğu içi, itegraolar alıırke itegral abiti alımaı gerekmez. Bulua λ çarpaı ile aa diferaiel deklem taraf tarafa çarpılıra ; ( e )d ( e - -)d ilk dif deklem, e e ( ) d ( ) d (e ) d ( e ) d M e N e M N e ve e Bulua türevler birbirie eşit olduğu içi tam diferaiel şart ağlamıştır. Buda ora λ çarpaı ile çarpılmış M ve N fokioları kullaılarak öceki bölümde verile ötemle çözüm araır. M(,) e N(,) e M(,) ile (,) ve N(,) ile o ı bulumaı tercih edilire; e ie e e ( o ) Çözümü tam olmaı içi o () bulumalıdır. Buu içi N(,) de fadalaılır. Bulua i e göre kımi türevi N fokioua eşittir. do e N(,) e d, do ( ) o abit d çözüm tam dif. aklaşımı çözüm e şeklide elde edilir. roblem-: d d dif. deklemii çözüüz. 5

52 Not: Bu diferaiel deklem değişkelerie arılarakta çözülebilir. Bir diferaiel deklemi birde fazla ötemle çözümü mümküdür. Öemli okta hagi metodu daha kıa ve daha az işlem gerektireceğii öcede bilimeidir. Çok işlemi hata apma ihtimalii de beraberide getireceği uutulmamlıdır. Bu edele verile örek hem değişkelerie aırarak, hemde tam diferaiel aklaşımla çözülerek aradaki işlem aıı farkı ortaa koulacaktır. I- Değişkelerie aırarak çözüm: d d d d l l l II- Tam diferaiel hale getirerek çözüm: d d ie M(,) ve N(,) M N tam diferaiel değildir. Bu edele tam diferaiel apacak λ çarpaı bulumalıdır. M -N - - ie λλ() kabulu ile çözüm buluabilir. dλ λ M N d N ie adece i fokiou olduğu içi, ai pa ve padada gerekli adeleştirmelerde ora, itegralde adece değişkei buluduğu içi λλ() kabulu doğrudur. İşlemler apıldığıda itegral çarpaıı i de fokiou olduğu görülecektir. dλ λ d ie l l λ- λ() / -/ Bulua λ çarpaı ile aa diferaiel deklem çarpılarak ei formu buluur ; / d / d, M (, ) /, N (, ) / ie M N / / M N olduğuda deklem tam diferaiel hale gelmiştir. M(,) ile (,) ve N(,) ile o ı bulumaı tercih edilire; / / / ie ( ) o( ) Çözümü tam olmaı içi o () bulumalıdır. Buu içi N(,) de fadalaılır. Bulua i e göre kımi türevi N fokioua eşittir. / d o / do N(,), o ( ) abit d d / çözüm tam dif. aklaşımı çözüm şeklide elde edilir. Bu çözüm ile bölüerek ve her iki tarafıda üt değeri alıarak değişkelerie aırma ile elde edile form elde edilir. 5

53 , ile değişkelerie aırmada bulua araıda hiçbir fark oktur. Her ikiide itegral abiti olup, aralarıda işlemleri gelişmeide kaaklaa imgeel bir farklılık mevcuttur. roblem-: d d dif. deklemii çözüüz. M N M(,) ve N(,)- ie tam diferaiel değildir. Bu edele tam diferaiel apacak λ çarpaı bulumalıdır. M -N (-) dλ M N d λλ() ie d λ N ie adece i fokiou olduğu içi, ai pa ve padada gerekli adeleştirmelerde ora, itegralde adece değişkei buluduğu içi λλ() kabulu doğrudur. d λ d λ ie lλ (l), λ() - Bulua λ çarpaı ile ilk diferaiel deklem çarpılarak ei formu buluur ; ( ) d d d d M(,) -, N(,)- - ie M - ve N - olduğuda deklem tam diferaiel hale gelmiştir. M(, ) - ie d o ( ) Çözümü tam olmaı içi o () bulumalıdır. Buu içi N(,) de fadalaılır. d o - N(,)d do, o ( ) abit ie çözüm dir. d roblem-: i( ) d co( ) d dif. deklemii çözüüz. M(,)i, N(,)co M N co Bu edele tam diferaiel apacak λ çarpaı bulumalıdır. M N co co co λλ() ie co tam dif. değildir. dλ M N co d d d λ N co ie dλ d l λ l λ( ) λ Bulua λ çarpaı ile aa diferaiel deklem çarpılarak ei formu buluur ; ( ) d d i( ) co( ) ie i( ) d co( ) d 5

54 M (, ) i( ) N (, ) co( ) M N co( ) co( ) olduğuda deklem tam diferaiel hale gelmiştir. i M (, ) i( ) ie i d o ( ) Çözümü tam olmaı içi () bulumalıdır. Buu içi N(,) de fadalaılır. co d o do N(,) co( ), o ( ) abit d d ie i çözüm dir. alıarak daha bait forma ulaşılabilir. roblem-5: d ( ) d M (, ), N (, ) ie i dif. deklemii (.)-.5 şartıla çözüüz. M N 6 tam dif. değildir. Bu edele tam diferaiel apacak λ çarpaı bulumalıdır. M -N -6 - dλ M N λλ() ie d λ ie ağ taraf adece i fokiou olmadığı N içi λλ() kabulu alıştır. Bu edele itegral çarpaı değişkeie bağlı olarak bulumaa çalışılır. λλ() ie dλ ( M N) dλ d d d d λ M ie λ, l λ l λ( ) Bulua λ çarpaı ile aa diferaiel deklem çarpılarak ei formu buluur ; ( ( ) ) d d, d ( ) d M (, ) N (, ) ie M 6 N 6, M N tam diferaieldir M (, ) ie o ( ) Çözümü tam olmaı içi () bulumalıdır. Buu içi N(,) de fadalaılır. d o N(,) ie d d d o d d ) o o( Dif.deklemi çözümü dir. Verile şarta göre. ie -.5 dir. Bular erie azılarak abiti belirleir. ( ) ( ) ( ) ie çözüm.975 Örek roblemler:. dd. d d 5

55 . ( )d d. co d i d. d ()d 5. dd 6. d[ ( - )tg]d 5. ( - -)d (- - )d, λ 7. d (-)d 6. d [tg()]d, λco() 7. d [cot(-)-]d, λco(-) 8. (e - )dd 9. coπ dπ iπ d. ()d d. ( )d d. ()d-()d. adbd..homoje Diferaiel Deklemler: 8. ( )d d 9. d ( )d. ( )d - d. ( )d d. 5d e - d. (e )d ( e )d Değişkelerie arılamaa, tam diferaiel şartı ağlamaa ve tam diferaiel hale getirilemee.mertebede bazı deklemler ütel homejelik aklaşımıla çözülebilir. Bir diferaiel deklemde bağımlı ve bağımız değişkeleri erie (λ), (λ) azıldığıda f(λ,λ)λ f(,) elde edilebiliora deklemi. derecede ütel homoje olmaıda bahedilir. Burada λ ıfırda büük pozitif bir aıdır(λ.> ). (λ) ve (λ) ie f(λ,λ)λ f(,) homojelik şartı Bu şartı ağlamaı gerekli adeleştirmeler oraıda diferaiel deklemde hiç bir λ ı kalmamaıda alaşılabilir. Eğer deklem homoje ie bağımlı değişke ve eki bağımız olmak üzere U döüşümü apılarak çözüm araır. U eki bağımız değişkee bağlı ei bağımlı değişkedir. Başka bir ifade ile verile M(,)dN(,)d vea f(,) şekillerideki diferaiel deklemdeki fokioel apı matematikel işlemlerle M( )dn( )d ve f( ) halie döüştürülebilmelidir. Buda ora şu döüşümler apılır: ( ) U d du ie U( ) U d d olacaktır. Değişke döüşümü oraı diferaiel deklem apıı U du f( U) d olacaktır. Yai ve araıdaki bir deklemde U ve araıdaki değişkelerie arılabilir ei bir form elde edilecektir. İtegrao oraıda UU() şeklide çözüm fokiou buluur. Burada U erie / azılarak orijial değişkelere döülür. Aı aklaşım i bağımlı değişke olarak kabul edilmeile de ağlaabilir. f( ) ie d f( ) elde edilir. d U( ) ie ( ) d du du U U ie ei apı U f( U) dir. Bu d d d deklem çözülerek UU() formu elde edilir. U/ ile orijial değişkelere döülür. 55

56 roblem-: ( )d - d diferaiel deklemii çözüüz. M, λ λ M(λ) (λ) λ ( ) λ M; N, λ λ Nλ(λ) λ λ N ie deklem bu durumda. Derecede homojedir. ( )d d ie d d : bağımlı değişke : bağımız değişke d U ie U du ve U/ dir. Bu döüşümler aa dekleme taşıarak ve d d araıdaki apıda, U ve araıdaki apıa döülür. Elde edile ei apı mutlaka değişkelerie arılabilir diferaiel deklem olmalıdır. du U du U U U U U ie U d U d U U U U du d l( U ) U l l c -lcl ie l( U ) l l U Sağlama: Çözümü doğruluğu türetilmei oucu diferaiel deklemi vermeide alaşılır. Çözüm, ie 6 ', çözümde çekilerek türevli ifadee taşıır. c ie 6 ', 6 ', 6 ' d, d ile çarpılıp düzeleire ( ) d d buluur. Bu d durumda bulua çözüm doğrudur. roblem-: ( )d d diferaiel deklemii çözüüz. ( ) d d ie d d d du du U du U U U U U d d d U d U 56

57 U U U du UdU d U U U d U U l( ) l l roblem-: diferaiel deklemii () şartıla çözüüz. ( - ) d d ie d d, U ie U d d du d U du d U U ie du d U U U U U U U U du d U l l, U l l, e U U e e,,, e 98 e 98 Örek roblemler :. ( - )d d. d (-) d. ( ) d - d. ( ( ) / )/ 5. d ( ) d 6. ( - ) d d 7. ( - )/() 8. ( ) d d 9. ( ) d - ( ) d. -d [ () / ]d. d (d - d) l(/). ([] / [-] / )d ([-] / -[] / )d. - (). ( ) d d (-) 5. (d/d) () - 6. d - d ( ) / d () 7. ( e / ) d - e / d () 8. ( )d - d () 6 9. ( - 5)d ( - ) d (). d d - d (). ( () / )d/d - -/ / (). ( 95 ) d - (6 ) d () 6.. Homeje Hale Getirilebile Diferaiel Deklemler Homeje diferaiel deklemlere bezemeie rağme çözüm elde edilemee bazı.mertebe diferaiel deklemler değişke döüşümü ile homeje hale getirilebilir. E geel halde deklem.derecede homoje (λ) ola bu deklemler, 57

58 d ' d a b c e f g şeklide olup a, b, c, e, f ve g abitlerdir. Bu tür deklemleri çözülebilmei içi, vea başka bir ifade ile U() döüşümü ile çözülebilmei içi c ve g abit değerlerii okedilmei gerekir. Bölece deklem.derece homeje deklem halie gelmiş olur ve U / döüşümü ile çözülebilir. c ve g abitlerii ok edilmei içide Y A ve X B ie ddy ve ddx değişke döüşümleri apılmalıdır. Buradaki Y ve X ei, ve ie eki değişkeler, A ve B d dy kefi abitlerdir. Bu durumda ' olacaktır. Gerekli işlemler apılarak erie d dx taşııra d dy ' d dx ax ( B) by ( A) c ex ( B) fy ( B) g ax by ( ab ba c) ex fy ( eb fa g) elde edilir. aretez içeriideki ifadeler A ve B i kefi abitler olmaı edeile ıfır olacak şekilde düzeleebilir. Yai A ve B öle aarlaırkı, çözülecek diferaiel deklemde gele a,b,c,e,f ve g abitlerie bağlı olarak paretez içeriideki abit değerlerde medaa gelmiş ifadeler ıfır olur. Böle bir aklaşımla deklem ei halde Y' dy dx ax by ex fy (), abbac (), ebfa g () () ve () olu deklemler iki bilimeeli iki deklem olup çözümüde A ve B buluabilir. () olu diferaiel deklem ie U Y/X değişke döüşümü ile çözülebilir. ' d 5 roblem : diferaiel deklemii çözüüz. d 8 d dy AX ie ddx ve BY ie ddy ie Y d d ' dy A X ( B Y ) 5 X Y ( A B 5) dx ( A X ) ( Y B) 8 X Y (A B 8) aratez içeriideki kefi abitler A ve B paratez ıfır olacak şekilde şeçilebilir. Gerie kala ifade. derece homoje deklem olacaktır. BA5 - ile taraf tarafa çarpılarak -B-9A-5 B -A8 ile taraf tarafa çarpılarak B-A8 -A -7 ie A-7/ B -/ dy X Y Y ', YXU(X), UY/X ve Y UXU ie dx X Y dy X Y X XU Y ' U XU ' dx X Y X XU U U XU ' U U XU ' U U U U U U U U 58

59 ( U ) du U du U UdU U dx X arctgu l( U ), l X UY/X, Y/, X7/ ie arctg[ ] l( ) / 7 U 7 l( ) 7 7 / 7 ' d 5 roblem : diferaiel deklemii () şartıla çözüüz. d d dy AX ie ddx ve BY ie ddy ie Y d d ' dy A X ( B Y ) 5 X Y ( A B 5) dx ( A X ) ( Y B) X Y ( A B ) aratez içeriideki kefi abitler A ve B paratez ıfır olacak şekilde şeçilebilir. Gerie kala ifade. derece homoje deklem olacaktır. AB-5 ile taraf tarafa çarpılarak AB-5 A B- ile taraf tarafa çarpılarak A -B- A -8 ie A B dy X Y Y ', dx X Y YXU(X), UY/X ve Y UXU ie dy X Y X XU Y ' U XU ' dx X Y X XU U U XU ' U U XU ' U U U U U U U U U ( U ) du U U ( U ) du ( ) U dx X, UZ, dudz, UZ- ie U l X l Z l( U ) l, l [ X( U )], X ( U ) e Z U U UY/X, Y-, X- ie U ( )( ) e, ( )( ) e, ie ( )( ) e,.69.69( )( ) e Örek roblemler :. ( - )d ( - - 6)d. ( - - )d ( -)d. d/d ( - -)/( - ). d/d -( -5)/( -7) 5. d/d ( - 5)/( - -) 59

60 .5 I. Mertebede Lieer Diferaiel Deklemler bağımlı, bağımız değişkeler, () ve Q() bilie bağımız değişkee bağlı fokiolar olmak üzere diferaiel deklemi geel formu şu şekildedir. d d ( ) Q ( ) () Bağımlı değişkei kuvvetii birici derecede olmaı edeile lieer diferaiel deklem olarak iimledirilir. Bu tip deklemler öceki göterilmiş ola metodlarla çözülmei zor vea mümkü değildir. Mühedilikte çözülebilir daha bait parçalara arılarak özüm üretme matığı bu deklemi çözümü içi de kullaılır. Bu amaçla diferaiel deklem itegre edilebile değişkelerie arılabilir diferaiel deklemlere arılır. No-homoje ola bu diferaiel deklemi iki çözüm metodu vardır..5. Sabitleri Değişimi Metodu: Yukarıdaki deklemi ağ tarafıı ıfır olmaı halide deklemi homoje olmaıda bahedilir. Bu edele bu tip deklemlerde geel çözüm iki şekilde bulua, homoje ve homoje olmaa çözümleri toplamaıda elde edilir. Birici çözüm adece homoje kımıda buluurke ikici çözüm ie homoje olmaa kıımda buluur. Homoje çözüm: Q() deklem homoje olur. Bu durumda deklem değişkelerie arılabilir. Q() çözüme ulaşmak içi apıla geçici bir kabuldur. d d () () Değişkelerie arıla bu homeje deklem çözülerek; d - ()d l - ()d l H - e d () buluur. Bu şekilde bulua çözüm homoje çözüm ( H ) olup () diferaiel deklemii tam çözümüü vermemektedir. Bu çözüm geel çözümü bir arıı olup geel çözüme gide olda bir baamaktır. Sabitleri değişimi metodua göre daha öce apıla Q() kabulü, homoje çözüm eaıda adece i fokiou ola bir apıı ihmal edildiğii göterir. Bu edele, homeje çözümdeki abiti i foiou kabul edilerek apıla ihmal telafi edilebilir. Yai Q() i geel çözüm üzerideki etkii () kabulü ile bulumaa çalışılmaktadır. () fokiou, () olu aa diferaiel deklemi ağlaacak şekilde belirleir. Burada, homeje çözümde ( H ) hareketle bir geel çözüm () öerii medaa getirilmiştir. Bu öerile geel çözümü aa diferaiel deklemi ağlamaı çözümü tamamlamaı içi eterli olacaktır. Bu amaçla öerile çözümü kedii ve türevi aa diferaiel dekleme taşıır ve deklemi ağlaa () fokiou belirleir. ()e - d d d d d d e e d d d () olu dekleme taşıır. d d d d d e e ()e Q() d d 6

61 [ ] d d e d ( ) d e ( ) e d d d d : i itegralii türevi dir. e d dc d d d ( )( e ) ( ) e Q() d d d Q()(e d ) d Q() e d c şeklide () fokiou () ve Q() e bağlı olarak buluur. Bulua değer () deklemide erie taşıarak geel çözüm buluur. roblem-: () diferaiel deklemi çözüüz. ( ) -, Q() ( ) ie. mertebe lieer dif deklemdir.homoje Çözüm; d d d d d d l l( ) l H ( ) değişkelerie arılır. bu ifade adece homoje kımı çözümüdür. Homoje olmaa kıımıda çözüme dahil edilmei içi itegral abitii () olduğu kabul edilir. () ifadeii bulmak içi geel çözüm () homoje çözüme ( H ) bezetilir. d d H ( ) ( )( ) ie ( ) d d Aa dekleme taşıarak () ( d dc ) () ( ) ( ) d d Not: Homoje çözümde üretile geel çözüm ve türevi o-homoje lieer dekleme taşıdıkta ora gerekli adeleşmeler oucu, deklemde mutlaka adece ve olmalıdır. Mutlaka itegrao ile çözülebilir bir formda olmalıdır. Aki halde daha öce işlem hataı apılmış demektir. d ( ) d ( )d d ie çözüm ( ) ( ).5. u().v() kabulüle çözüm Diferaiel deklemde, u() ve v() bağımız değişkee bağlı kefi bağımlı değişkeler olmak üzere geel çözümü u().v() olduğu kabul edilir. Bu edelerde kabul edile apıı aa diferaiel deklemi ağlaacak şekilde u ve v bulumaa çalışılır. u ve v bağımız değişkee bağlı ei bağımlı değişkelerdir. 6

62 d du dv ' () Q() u().v() v u ie bulualar lieer dif d d d dekleme olu aa dekleme taşıır. v du dv u ()u.v Q( ) (5) d d Yukarıdaki deklemde u vea v i paretezi oluşturulura; v du d dv dv du u ().v d Q( ) or ().u u v Q( ) d d (6) elde edilir. (6) olu deklem iki bağımlı değişkee bağlı bir diferaiel deklem itemidir. Diferaiel deklem itemii çözümü içi bağımlı değişke aııca diferaiel deklem olmalıdır. Sadece bir diferaiel deklemi bulumaıda dolaı çözüm, şu aşamada mümkü değildir. Daha öce u ve v i kefi foiolar olmaıda bahedilmişti. Bölece, eldeki deklemi ikie bölebiliriz. (6) olu delemde köşeli paratez içeriideki ifadei ıfır olacak şekilde v() ve u() i eçildiğii kabul edilmei çözüm içi eterli olacaktır. Diğer bir ifade ile v() ve u() öle fokiolar olmalıdırki, paratez içerii ıfır apı. Bölece, ıfıra eşitlemiş köşeli paretez içeriideki ifade birici, gerie kalalar ie ikici diferaiel deklem olacaktır. Bölece çözümü itee diferaiel deklem itegre edilebilir diferaiel deklemlere bölümüş olur. dv d v du ().v (7) d Q( ) (8) Bu durumda (7) deklemii ağlaa v() fokiou buluarak (8) deklemie taşıır. Akabide u() buluur. Bulua u ve v fokioları u().v() deklemide ki erie azılarak geel çözüm buluur. Burada amaç, çözümü ipete zor ola diferaiel deklemi u ve v fokioları ardımıla daha kola çözülebilir iki tae değişkelerie arılabilir diferaiel deklemlere aırmaktır. roblem-: tg i diferaiel deklemii çözüüz. d d u'v v'u u.v.tg i tg i, u( ). v( ) uv ' vu ' ie d d u'v u(v' vtg) i aratez içeriideki ifade ıfır olacak şekilde v fokiou eçilir v vtg (.diferaiel deklem, çözümüde itegral abiti düşüülmez.) vu i (.diferaiel deklem, çözümüde itegral abiti düşüülür.) dv dv dv i - vtg - tgd - d lv lco v d v v co co du i i u v i u co i du d d co co ico i.co.i du d i d co u co geel çözüm v().u()co(-co ) roblem-: ' - e diferaiel deklemi her iki metodla çözüüz. ) Sabitleri değişimi metodu ile çözüm Homoje kımı çözümü; ( ) -, Q() e 6

63 d d d ' - -, l l d d d H e bu ifade adece homoje kımı çözümüdür. Homoje olmaa kıımıda çözüme dahil edilmei içi itegral abitii () olduğu kabul edilir. () ifadeii bulmak içi geel çözüm homoje çözüme bezetilir. d d H e ( ) e, e e Aa dekleme taşıarak d d e d d dc d e - e e e e e d d Geel Çözüm e (e ) d e, e d ) u.v kabulu ile çözüm d d e, u( ). v( ) u' v v' u ie d d u' v v' u u' v u(v' u.ve v) e aratez içeriideki ifade ıfır olacak şekilde v fokiou eçilir. v - v (.diferaiel deklem, çözümüde itegral abiti düşüülmez.) vu e (.diferaiel deklem, çözümüde itegral abiti düşüülür.) dv dv v d v ve d v l u' v i, du u' e e e du e d d, Geel çözüm u.v ie e (e ) u e roblem-: ' birlikte çözüüz. e - diferaiel deklemi her iki metodla ve ()- şartıla ) Sabitleri değişimi metodu ile çözüm d d ' - d d d - d l l H e bu ifade adece homoje kımı çözümüdür. Homoje olmaa kıımıda çözüme dahil edilmei içi itegral abitii () olduğu kabul edilir. () ifadeii bulmak içi geel çözüm homoje çözüme bezetilir. H d e ( ) e, d e - e d d - d d e - e e e, d d d d Geel Çözüm e ( ) 6

64 ) A().B() kabulu ile çözüm : (u ve v erie A ve B kefi fokioları tercih edilerek çözüm apıldı.) d d e, A( ). B( ) AB BA ie d d AB BA AB A(B. ABe B) e aratez içeriideki ifade ıfır olacak şekilde v fokiou eçilir. B B (.diferaiel deklem, çözümüde itegral abiti düşüülmez.) va e - (.diferaiel deklem, çözümüde itegral abiti düşüülür.) db db B d lb ve d B da AB e, Ae e da d, A d Geel çözüm A.B ie e ( ) ie -, e ( ), -, e ( ) Ugulama-: Su içeriide hareket ede deizaltıa, u tarafıda deizaltıı hızıla oratılı olarak V lik bir direç kuvveti etkimektedir. Deizaltı abit motor kuvvetile durmakta ike harekete başlatılmıştır. Deizaltıı zamaa bağlı hızıı buluuz. Hızı zamaa göre grafiğii çiziiz. Deizaltıı makimum hızı e olur? dv dv F ma., V m ie m V.mertebe lieer diferaiel deklemdir. V; bağımlı, t; bağımız değişkeler olmak üzere abitleri değişimi ile çözüm aşağıdaki şekilde apılır: Homoje kımı çözümü; kabul edilior. dv dv dv m V m V m v t m mlv t l lv t l VH e m Geel çözüm homoje olarak bulua çözüme bezetilerek buluur. Bezeşim içi (t) olmalıdır. t V () t e dv d t t m m m ie e e aa dif. dekleme taşıarak, m d t t t d t t t d t m m m m m m m m( e e ) e, m e e e, m e m d p t p t p t t p t m m m m m e d e e, v ( t) e ( e ) e m m Çözümü tam olmaı içi itegral abitii aıal değeri belirlemelidir. roblem zamaa bağlı bir Başlagıç Değer roblemidir. Bu müaebetle i aıal değeri içi bir başlagıç şartıa gerek vardır. Bu t aıda hızı ıfır (durmakta olduğu içi ) olmaıdır. t m 6

65 t t t m m m t v, e, v ( e ), t e, ( e ) Dolaııla deizaltıı ulaşabilceği makimum hız V ma / kadar olacaktır. Bu hızada zamaı ouz değeride ulaşacaktır. ratik olarak bu hıza çok aklaşacak ama hiçbir zama ulaşamaacaktır. Matemetikte bu tür değişim ASİMTOTİK değişim olarak biliir. V(t) V ma t Hızı zamaa göre değişimi Ugulama-: Şekildeki havuza ürekli olarak 5 m / lik bir debi ile u dolmakta ve havuzda m / debi ile tekrar boşalmaktadır. Aı zamada havuzda birike uu %5 i her aiede buharlaşmaktadır. Havuzdaki u miktarıı zamala değişimii buluuz. Başlagıçta havuz tamame boş durumdadır. Havuzda birikebilecek maimum u miktarı e olur? 5 kg/ buhar Havuz kg/ Açıklama: Havuzda birike u miktarı m :[kg] ile embolize edilecek olura, kütlei koruumua göre birike miktar şu şekilde ifade edilebilir. m dola miktar-boşala miktar-buharlaşa miktar Dola miktar-boşala miktar giriş ve çıkış debilerii zamala çarpılmaıda buluabilir. Bu verile debi değerlerie göre (5t-t)t olarak azılabilir. Buharlaşa miktar birike m miktarıı %5 i kadardır. Birike m değeri abit olmaıp ürekli olarak zamala değişmektedir. Bu değişimi aıl olduğu bu aşamada belirleemez. Buula birlikte, zama dilimide birike miktar belirleebilir. Diferaiel zama aralığıda değişimler lieer olacağı içi, zamaıda birike miktarda dm olacaktır. Bu durumda üreice dola miktar-boşala miktar (5-) olacaktır. Herhagi bir m değeri içi buharlaşa miktar.5m olacaktır. Bu bulgular ukarıdaki ifadee taşıarak şu ifade buluur. dm dm dm. 5m, tüm ifade bölüerek,.5m.5m So ifade bir diferaiel deklem olup, m bağımlı t ie bağımız değişkedir. Bu deklem.mertebe lieer diferaiel deklem olup, a abitleri değişimi ile ada mv.u döüşümüle çözülebilir. Sabitleri değişimi metodu ile çözüm: dm dm dm.5m.5m -.5m, dm.5t -.5 lm.5t l m H e m 65

66 bu ifade adece homoje kımı çözümüdür. Homoje olmaa kıımıda çözüme dahil edilmei içi itegral abitii (t) olduğu kabul edilir. (t) ifadeii bulmak içi geel çözüm homoje çözüme bezetilir. m dm d.5t.5t.5t -.5t H e m ( t) e, e -.5e taşıarak, e.5t d -.5e -.5t.5e -.5t ie d.5t.5t Geel Çözüm e ( e ).5t d e.5t.5t e e Aa dekleme u.v kabulu ile çözüm dm dm.5m, m u( t). v( t) u' vv' u ie u' v v' u.5uv u' v u(v'.5v) aratez içeriideki ifade ıfır olacak şekilde v fokiou eçilir. v.5v (.diferaiel deklem, çözümüde itegral abiti düşüülmez.) vu (.diferaiel deklem, çözümüde itegral abiti düşüülür.) dv dv.5t.5v v t ve v.5 l.5 u' v,.5t du.5t.5t.5t u' e e du e u e, Geel çözüm mu.v ie t m e ( e 5 t ). t ie m (başlagıçta hiç u ok), e ( e ), -, m e.5t (e.5t ) (- e -.5t ) Bu deklem aaliz edildiği zama, havuzda birikebilecek e fazla u miktarıı teorik olarak kg olduğu görülecektir. Çükü t, (-e -.5t ) ie (-e -.5t ). Acak, reel durumda zama ouz olamaacağı içide kg değerie çok aklaşılmaıa rağme ulaşılamaacaktır. Örek problemler:. - e.. e -. d ( - 8 ) d 5. e ( ) ( ) 9. d/d 5. ( ) d/ (/t ) /t. ( - ) ( ) -. d ( - )d. (t ) - d 5. dr/dθ r ta θ co θ 6. ( co - co )d - ( i )d 7. - () 8 8 e - () / 9. (). d/ - i t ()

67 . (/) / (). i co i (π/). ()d - ( )d () -5. / ().6.Mertebede Özel Diferaiel Deklemler.6. Beroulli Diferaiel Deklemi. derece bir diferaiel deklem olup e geel formu aşağıdaki şekildedir. Bu deklemde ifadei olmaza.mertebe lieer dif. deklem elde edilecektir. Çözümü belirli ola.mertebe lieer dif. dekleme ulaşmak içide ifadei okedilmelidir. () Q() () Bu deklemde Z şeklide bir döüşüm apılarak. mertebe lieer diferaiel deklem elde edilir. Z eki bağımız değişkee bağlı ei bağımlı değişkedir. Yei dif. deklem Z ve araıda olup çözümüde ZZ() şeklide bir ifade buluur. Orijial değişkelere dömek içi ter traformao işlemi apılmalıdır. Beroulli dif. deklemide.mertebe lieer dif. deklem geçiş işlemleri şu şekildedir: dz ' d ' dz Z ie ( ) () d d d () olu deklem deklem taraf tarafa değerie bölüürek, ' ( ) Q( ) ie dz ( ) Z Q( d ) buluur. Bu ei form Z ve araıda.mertebe lieer dif. deklemdir. () roblem- : diferaiel deklemii çözüüz. Bu deklemde bulumamış oladı.meretebe lieer dif. deklem ( - ) olacaktı. Bu edele ifadeii oketmei olu aramalıdır. Diğer tarafa böle olarak geçirilire d d, dz d ie d d Z dz d Z Gerekli düzelemeler apılarak Z ve araıdaki ei diferaiel deklem şu şekilde buluur. dz Z (. mertebe lieer diferaiel deklem olup çözümü bilimektedir) d dz Z dz d, l Z l l Z H ie geel çözüm (Z) d Z homoje çözüme bezetilirek buluur. dz d d d Z() ie, ( ) Z ( ) d d d d Ter döüşüm apılarak geel çözüm elde edilir: 67 ie Z

68 roblem- : ' diferaiel deklemii çözüüz. İki şekilde çözüm mümküdür: I- Verile deklem değişkelerie arılarak çözülebilir. ' ie ' A B d d d bait keirlerie arılarak itegrao alıır. İşlemlerle A- ve B buluur; d l l ( ) l d ( ) e ie e II- Bu deklem aı zamada. derece beroulli deklemidir. Şaet deklemde bulumamış oladı.meretebe lieer dif. deklem ( ) olacaktı. Bu edele ifadeii oketmei olu aramalıdır. Diğer tarafa böle olarak geçirilire d d, dz d dz ie Z d d d Z ei deklem değişkelerie arılabilir. Z dz dz Z d, l( Z) l Z e d Z e ie e, roblem- : ' diferaiel deklemii (.5).5 şartıla çözüüz. d dz d dz, Z ie Z d d d d Gerekli düzelemeler apılarak Z ve araıdaki ei diferaiel deklem şu şekilde buluur. dz Z (. mertebe lieer diferaiel deklem olup çözümü bilimektedir) d dz Z dz d, l Z l l Z H, Z() d Z dz Z d d Z'' ie,, ( ) d d d Z( ) ( ) buluur. Ter döüşüm apılarak geel çözüm şu şekilde elde edilir. Z ie, ie.5,.5.6. Riccati diferaiel deklemi E geel formu şu şekildedir. () Q() R() 68

69 Burada, Q ve R bağımız değişkee bağlı fokiolardır. Bu tür deklemlerde U /Z döüşümü apılarak.mertebe lieer diferaiel deklem elde edilir. U ve Z bağımız değişkee bağlı özel çözüm ve ei bağımlı değişkedir. Özel çözüm aa diferaiel deklemi ağlaa herhagi bir fokiodur. Fokioel apıı öcede problemi çöze şahı tarafıda belirlediğide bu imi almıştır. Diferaiel deklemi apııa göre tahmi edilerek aa dif. deklemi ağlamaı temi edilir. Özel çözümü aramaıı edei deklemdeki R() fokiouu oketmek içidir. Yai özel çözüm R() fokiouda hareketle buluabilir. Eğer R() fokiou elimie edilire deklem. derece beroulli diferaiel deklemie döüşür. /Z döüşümülede.mertebe lieer diferaiel deklem elde edilir. dz U ' U' Z Z döüşümleri aa dif.dekleme taşıır. d roblem-: ( ) diferaiel deklemii çözüüz. - - Çözüm içi diferaiel deklemi ilk öce özel çözümü (U) bulumalıdır. Bu işlem apılırke R() - ifadeii diğerleri tarafıda okedilmeie dikkat edilir. Başka bir ifade ile aralarıda ve - işareti bulua bağımlı ve bağımız değişkeler ile türevleride medaa gele terimleri birbirlerie eşitleerek okedilmei, ve bölece aa diferaiel deklemi ağlamaı temi edilmelidir. İfade iceleire acak ile ie ile okedilebilir. ie ile okedilebilir. Bu durumda itee işlemleri erie getirebilir. aa diferaiel deklemi ağladığı içi bir özel çözüm olabilir. Bir diferaiel deklemi birde fazla özel çözümü olabilir. Bu çözümlerde adece birii kullaılmaı eterlidir. U ie U dir. Bu durumda aa deklemde erie (e geel halde erie U) ve erie (e geel halde erie U ) azılıra deklem ağlaır. (-) - (-) - ie (deklem ağlaıor) dz U olacaktır. Bu değerler dekleme taşııp düzeleire. Z Z Z d mertebe diferaiel deklem elde edilir. Z' ( ) Z Z ( )( ) Z, paretezler açılarak, Z' buluur. Gerekli oketmeler apılarak, Z Z Z Z Z Z ' Z Z Z buluur. Z ile deklem çarpılıra dz Z buluur. So deklem d.mertebe lieer dif. Deklem ve değişkelerie arılabilir bir deklemdir. dz dz ( Z ) d ie, l( Z ) l, Z e Z d Z e Z ie Z Z e e 69

70 - diferaiel deklemii çözüüz. Deklemdeki paretez açıldığı zama Riccati deklemi olduğu görülecektir. 5 5 ( - ) - - Çözüm içi diferaiel deklemi ilk öce özel çözümü bulumalıdır. Bu işlem apılırke ukarıdaki deklemi ağlamaıı takip etmek gerekir. tet edilire aa diferaiel deklemi ağladığı görülecektir. Bir diferaiel deklemi birde fazla özel çözümü olabilir. Bu çözümlerde adece birii kullaılmaı eterlidir. roblem-: ( ) U ie U dir. Bu durumda aa deklemde erie (e geel halde erie U) ve erie (e geel halde erie U ) azılıra deklem ağlaır , deklem ağlaıor. Bölece U özel çözüm ie dz U olacaktır. Bu değerler dekleme taşııp düzeleire. Z Z Z d mertebe diferaiel deklem elde edilir. Z ( ) Z ' Z' Z ( ) ie, Z ' Z Z Z Z Z Z Z dz Z dz Z dz d (.mertebe lieer dif. deklem), d, d Z ( ) dz d l Z l l, ZH, Z ie olacaktır. Bulualar d dc d /.mertebe diferaiel dekleme taşıarak buluur; d 5 5 d d ( ) ie Z ( ), ( ) 5.6. Değişke döüşümleri ile çözülebile diferaiel deklemler Öceki bölümlerde alatıla.mertebe diferaiel deklem çözümleri tadart çözümlerdir. Deklemdeki bağımız değişkei fokioel apııda etkilemee çözümlerdir. Buula birlikte hepide ugulaa tekik itegre edilebilir parçalara aırma ve değişke döüşümü üzerie kuruludur. Değişke döüşümleri adece bular değildir. ek çok değişke döüşümü verilebilir. Fakat bu döüşümler diferaiel deklemdeki fokioel apıla çok ilgilidir. Fokioel apıı ugu ola deklemlerde adece bağımlı, adece bağımız ve hem bağımlı-hemde bağımız değişkeler ei bağımlı ve bağımız değişkelere döüştürülebilir. Bu oktada hareketle, öceki diferaiel deklem formatlarıa umaa ve değişke döüşümü içi ugu ola bazı diferaiel deklemler, değişke döüşümü ile çözülebilir. Değişkei döüştürme işlemii bir fadaıı olmaı içi, döüşüm oraıda;. Mümküe değişke aıı azalmalıdır: değişkede değişkee düşürmek çözümde büük ilerlemedir. Özellikle kımi diferaiel deklemleri bu ötemle adi diferaiel dekleme döüşmei mümküdür. Örek olarak, Z ie Z ve Z ile değişke e ier. Böle bir döüşümü mümkü olmaı içi fokioel apıı f(,) de f(), f(/), f(), f( /), gibi düzeleebilmei gerekir. 7

71 . Gerek bağımlı ve gereke bağımız değişkei kuvvet derecei azalmalıdır: Azala kuvvet derecei deklemi baitleştirir. Örek olarak, U ie ddu olur. Bölece.derecede.derecee (lieer) geçilir.. Diferaiel deklemi fokioel apıı baitleşmelidir: İtegrao proei büük orada fokioel apıı ile ilgilidir. Siü, tajat, epolaiel ve logaritmik fokiolar geelde itegral işlemide zorluk çıkarırlar. Buları daha fokiolar ciide taımlamaı çözümü rahatlatır. Örek olarak, ia ie codda olur. Fokioel döüşümü mümkü olmaı içi diferaiel deklemde hem fokio hemde ou türevi olmalıdır. Deklemde tg var ie kolalık içi ec de olmalıdır.. Değişke döüşümü oraıda diferaiel deklemde eki değişke kalmamalıdır: Yokedilmek itee değişke hala deklemde buluura değişke aıı artacağıda çözüm kolalaşmak erie daha da zorlaşacaktır. Örek olarak ( i)d ifadeide U döüşümü apılıra (Ui)d elde edilecektir. Bu durumda i içideki kabolmaacaktır. Si içideki erie U / azılacak olura fokioel apı daha da karışık hale gelecektir. Bu edele i değiştirilmei bir fada getirmez. roblem-: Daha öce Bölüm-. de (tam diferaiel deklemler) roblem- olarak çözüle diferaiel deklemi değişke döüşümü ile çözüüz. ( ) d ( ) d ( ) ( ) d d Bu deklem tam diferaiel aklaşımla çözülmüştü. Aı zamada.derece ütel homoje olduğu içi U döüşümüle de çözülebilir. Değişke döüşümü ile ei formlar elde edilebilirmi? Bu oruu cevaplamak içi deklemde bir vea daha fazla fokio ve oları türevlerii belirlemeliiz. Deklemdeki ifadeler ve paretezlerie alıabilir. Bu durumda refera fokiolar ve olurke, paretez dışıdaki d ve d lerde türevleri olacaktır. İşlemler oucu deklemi derecei de e düşecektir. da, A d da d ie ( AB) da ( A B) db db B d db, d Bulua o diferaiel deklem ilk halide daha baittir. Bu deklemde. derece homoje olup BUA döüşümü ile çözülebilir. Yei bir değişke döüşümü ile değişkelerie arılabile e bait form buluabilirmi? So deklemi apıı düzgü olup A ve B öüdeki kataılar uumludur. aretezleri birii ei bir değişkele taımlaıra daha bait haller elde edilebilir. ABZ da db dz A Z B, da dz db ( Z B )( dz db) ( [ Z B] ) Z ( dz db) ( Z B) B B db, 8 db paretezler açılıra, ZdZ ZdB ZdB 8BdB ZdZ 8BdB ( ) Z ZdZ 8 BdB B, Z A B pareztezler açılıp düzeleire daha öce bulua çözüm elde edilecektir. ( ) 6 9 8, 6 7

72 roblem-: çözüüz. ( ) ( ) - d d diferaiel deklemii değişke döüşümü ile Bu deklem apıı itibarile homoje hale getirilebile deklem tipie bezemektedir. Dolaııla XA ve YB döüşümleri ile çözülebilir gibi görümektedir. Acak gerekli değişiklikler ve işlemler apılıca görülecektir ki, A ve B abitleri buluamaacaktır. d ( ) ( ) ( ) d ( 6 ) dy ( ( ) ) Y B d dy 6 ( X A) ( Y B) d 6 d X A d dx, ( ) ( ) ( ) X A Y B X Y A B dx 6X Y 6AB dy X Y A B 6AB dx 6X Y A B 6AB deklemleride A ve B çekilemez. Çözümüzlük vardır. Bu edele diferaiel deklemi başka bir değişke döüşümü ile çözülmei gerekir. Bu amaçla hem hemde bir değişke ciide taımlaır. d ( ), U U U d 6 ( ) ( ) ( U ) ( U ) U U 5U du U U U U U U d So deklem itegre edilebilir. roblem-: ile çözüüz. i( i ) d co d diferaiel deklemii değişke döüşümü Bu deklem daha öce verile metodlarda adece tam diferaiel aklaşım ile çözülebilir. Bu ötem uzu ve beklide itegral çarpaı buluamaa bir ötemdir. Dolaııla ilk aşamada değişke döüşümü düşüülmelidir. Deklemde trigoometrik fokioları olmaı diferaiel deklem çözümü açııda zorluk medaa getirebilir. Bu edele ilk öce mümküe değişke döüşümü ile fokioel apı daha bait hale getirilmelidir. Hem iü hemde coiü deklemde olmaı, bu fokioları birbirlerii türevi olmaı büük bir fada ağlaabilir. Hagii ilk öce alımalıdır? Buu içi operatörlere bakılmalıdır. Si ve o e ağlı olduğuda d refera alıarak, co i türev olarak eçilmei gerekir. ( ) i H co d dh H H d dh elde edilir. aretez açılıp d ile bölüüre Beroulli deklemi elde edilir. H( H ) d dh HH dh, dh H d d H dh dz.derece Beroulli döüşümüe göre Z ile deklem çözülür. H H d d.mertebe Diferaiel Deklemler İçi Geel Tekrar roblemleri:. e e l/. l e. d ( e ) d. 5. ( - ) d ( - ) d 6. () 7

73 f() 8. ( e -/ ) d (-(/)) d cc d/d - l(ta ). -/ - (/) f() /. i ( i) d co d 5. coi. (9 ) 6. -e - i. ( - ) d ( - ) d 7. (e ). ( - ) - (-) - 8. (ih-). 6 e - 9. (-) 5. ( i - 5) d cot d ( ). (-) e 7. ( ta - co) ec d ta i d. coi. (-)/() 8. ( ta l ) d ta d. (-)/() 9. - k, k. i() 5. ( -) 6. ()( ). ta i i co 7. / 8.. ( - 5) 9. tgdec d. () / -. i (-) 5. -/(-) /, () 5. ( ) 5. d9d, () 5. d/-d, ()8 6. ( ) 5. -, () 7. ( ) 8. ( ) 9. ( ). ( ). - - f() 5. - (e co)-, (π)π e π π.7 Birici mertebee idirgee. mertebede diferaiel deklemler E geel halde. mertebe bir diferaiel deklem şu şekildedir: f(,,,) Bu tür deklemler baze değişke değişimi ile mertebei düşürülerek çözülebilir. Acak ukarıdaki formu ile mertebe düşürme işlemi bir ouç vermez. Bu açıda mertebe düşürme işlemi içi iki alt grub ele alıabilir: I) f(,,) : Diferaiel deklemi fokioel apııda bağımlı değişke keilikle görümeecektir.. ve. türevleri olabilir. Bu durumda U() değişke 7

74 döüşümü apılmalıdır. Türevli bir değişke türeviz bir değişkee döüştürülerek mertebe düşürülür: du du U( ), f(, U, ) d d Burada U ei bağımlı değişkedir. Mertebe düşürme işlemi ouda mertebe birdir. Bu diferaiel deklem bilie metodlarla çözümü apılır. Çözüm oraıda UU() formuda bir çözüm elde edilir. Bu çözüm d U( ) d U( ) d ditegralile () halie döüştürülür. İki aşamalı bir itegral ve.mertebe diferaiel deklem çözümüle. Mertebe bir diferaiel deklem çözülmüş olur. f(,,) II) : Fokioel apıda keilikle bağımız değişke olmamalıdır. Diferaiel deklemde ok ie U() döüşümü ile düşürülür. du du U( ), f(, U, ) d d Acak ei diferaiel deklemde tae değişke (,,U) vardır. Adi diferaiel deklemleri çözümü içi bu aı olmalıdır. Bu edele bir değişke okedilmelidir. Burada zizirleme türev kuralı kullaılarak değişkeii deklemde elimie edilmei ağlaır. Kıaca apıla işlem şu şekildedir: '' d ( ') d U du d du ' du U U du f(, U, U du ) d d d d d d d d Yei.mertebe dif.deklemi bağımlı değişkei U ve bağımız değişkei ie olup, çözümü oraıda UU() şeklide bir fokio buluur. Bu foio; d d itegrali ile () şeklide bir fokioa döüştürülür. U ( ) roblem : ' '' - diferaiel deklemii çözüüz. f(,,) formuda olduğu içi ukarıdaki I. Haldeki döüşüm ile mertebe düşürülür. U U U U' buluur. Bu deklem ie.mertebe lieer diferaiel deklem çözülebilir: (abitleri değişimi metodu kullaılarak) U du U U ' d du d U() d d du d du U U d ie d d lull ie U H d, d ( ) l.çözüm U ( l ) olarak buluur. U ter döüşümü apılarak ve kımı itegrao tekiği kullaılarak geel çözüm d U ( l ) d (l )d d d l d d 7

75 d d l l u du d dv v d d l l roblem : '' - (') diferaiel deklemii çözüüz. Çözüm : idirgeir. f(,,) formuda olduğu içi II. Haldeki döüşüm kullaılarak mertebe du du du du d du U( ) U U - (U) U U d d d d U d d l l lu U d l l e d UYGULAMA : Aşağıda şekildeki ilidir içeriide ağ abit kuvveti ile hareket ettirile pito tarafıda d çaplı memede ejekte edilmektedir. itou hareketii ve ağı memede çıkış hızıı zamaa bağlı olarak buluuz. U Silidir ito D d ağ V (N) L Çözüm : Silidir içeriideki ağ oğuluğua, d, D çaplarıa ve pito geometriie göre pito hareketie bir tepki gelecektir. Bu tepki pratikte vikoz kuvvet (F v ) olarak bilimektedir. Bu kuvvet ie hız ve vikoz öüm kataıı olarak bilie bir abiti ile çarpımıa eşit alıabilir. kataıı ie belitile değerlere bağlı olarak deeel metodlarla buluur. roblemi içeriide hareket ve kuvvet olduğu içi acak ewtou. Kauu ile çözüm buluabilir. F ma, (II.kau) öüdeki hareket içi, d d F ma ma F v V, a, V diferaiel deklem m d d d d dv formuda elde edilir. V ve döüşümü ile mertebe düşürülebilir. Elde edilecek ei deklem.mertebe lieer dif. Deklemdir: t dv dv dv m m V m V m ie V H c e V bulua homeje çözümde hareketle geel çözüm taımlaabilir. deklemdeki c(t) dif. deklemi ağlamaıda heaplaabilir. t m V c( t) e bu 75

76 t m t t dv dc m m V c ( t) e ie c ( t) e e buluur. Bular aa dekleme taşıarak, m t t t t dc m m dc t m m( c ( t) e e ). c ( t) e ie m ( ) m e buluur. m t m dc e itegrali çözülerek c ( t) e c buluur. m t d mc m m V ( t) ce d ( c e ) ie ( ) m t t e c t buluur. Bulua bu deklemler direkt heaplamalar içi ugu değildir. Nümerik heaplamalar içi c ve c abitlerii aıal karşılıkları bilimelidir. İtegral abitlerii bulumaı içide bağımız değişkei zama olmaıda dolaı iki tae başlagıç şartıa ihtiaç vardır.. t ie - m c / c ie c m c /. t ie V c - / c -m/ t m t V ( t) ( ce t m ) ( t) m t e t m m Memede çıkış hızı ie kütlei koruumua göre azılabilir. U memede çıkış hızı olu: πd Uπ D V ie U(D/d) V.8.. mertebede lieer diferaiel deklemler E geel halde. mertebede lieer dif. deklem şu formdadır : d d d d d a ( ) a ( ) a ( )... a ( ) a ( ) a ( ) f( ) d d d d d Bu tür deklemler ağ taraftaki f() ie homeje, f() ie homoje olmaa (ohomoje) diferaiel deklem olarak iimledirilir. diferaiel deklemi mertebeii götermektedir. a () kataıları e geel halde bağımız değişkee bağlı foioel apılardır. Bular abit ie deklem abit kataılı, bağımız değişkee bağlı ie değişke kataılı deklem olarak iimledirilir. Homoje olmaa bir deklemi geel çözümü (), homoje çözüm ( H ) ve homoje olmaa çözüme ( p ) e bağlı olarak şu şekilde buluur: H p Homoje olmaa çözüm geellikle özel çözüm olarakta iimledirilir. Buu edei homeje olmaa çözümü, homeje çözüme vea f() fokioua bezetilerek bulumaıdır. a, a,..,a - ve a fokiolarıı apıı çözüm tekiği üzeride öemli bir rol oar. Acak bu fokioları bazı özel durumları içi diferaiel deklemi çözümü elde edilebilir. Bu özel durumlar tae olup şu şekildedir: 76

77 a) a kataıları bağımız değişkee bağlı olmaıp abit aılar olabilir. Bu durumda çözüm OERATÖR ÇÖZÜM olarak iimledirilir. Bu tür diferaiel delemler ie abit kataılı diferaiel deklem olarak iimledirilir. ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) b) a A B, a A B a A B, a A B,..., a A B a şeklide ie ABe t değişke döüşümü ile abit kataılı ei bir form elde edilir. Bu fokiolardaki A ve B abit aılar olurke, t ei bağımız değişkedir. Yei diferaiel deklemi çözümüle (t) şeklide bir fokio elde edilir. Bu fokioda t erie l(ab) azılarak orijial değişkelere döülür. Kataıları bu şekilde değiştiği deklemlere Euler-auch diferaiel deklemi imi verilir. c) a kataıları birer poliom ie kuvvet erilerile çözüm elde edilir. Kuvvet erii bağımlı ve bağımız değişkeler araıda olup şu şekildedir. Burada amaç öerile çözüm formuu aa diferaiel deklemi ağlamaı preibie bağlı olarak kataılarıı belirlemektir. Geellikle ouz adet ola abitleri, birbirlerie bağlı olarak diferaiel deklemi mertebeie kadar idirgeir. Kala bu abitlerde ıır ve başlagıç şartlarıla buluur. Bu üç form içi çözüm tekikleri takip ede bölümlerde verilmiştir..8. Sabit kataılı lieer diferaiel deklemler Bağımlı değişke ve türevlerii öüdeki a () fokioları birer abit aılar koumudadır. Bu edele deklemi ağ tarafıda ıfırda farklı ie abit kataılı homoje olmaa.mertebe lieer diferaiel deklem olarak iimledirilir. Deklemi e geel haldeki formu şu şekildedir: d d d d d a a a... a a a f ( ) d d d d d Bu deklemde de geel çözüm () homoje ( H ) ve homoje olmaa ( ) çözümleri toplamaıda buluur. İlk öce homeje çözüm buluur. Daha ora ie f() fokiouu apııa göre özel çözüm araır. Yukarıda verile diferaiel deklem formu bazı kaaklarda şu şekilde de göterilebilir. d d D, d d D, d d D,..., d d d ie d D, D ( a D a D a D a D a D a ) f ( )... Bu deklemdeki D harfi operatör olarak iimledirilir. Bu formatla çözüm ie OERATÖR ÇÖZÜM olarak verilir..8.. HOMOJEN ÇÖZÜM : Diferaiel deklemi adece homeje kımıı çözümüde bulua çözümdür. Homeje diferaiel deklem ağ taraf f() alıarak buluur. Burada aa deklemi geel 77

78 çözümüe ulaşmak içi, homeje ve homeje olmaa kıımlar şeklide parçalama özkouudur. d d d d d a a a... a a a d d d d d Bu tip deklemlerde k gerçek vea komple bir abit olmak üzere e k bir çözüm olabilir. Buu edei epolaiel fokiou kere türetilmei halide fokioel apııı k değişmemeidir. e bir çözüm ie bu çözüm diferaiel deklemi ağlamalıdır. Bu amaçla fokiou kedii ve gerekli aıda türevleri dekleme taşıarak diferaiel deklemi ağlaacak şekilde k abitleri tai edilir. k değeri birde fazla olabileceği içi k birde fazla çözüm buluabilir. e ve türevleri homoje dekleme şu şekilde taşıır: d k k k k ( ) k e, ke, k e, k e,, k e d k k k k k k k ake ak e ak e... a ke a ke ae, e paretezie alııra ( ) k ak ak ak... a k a k a e k Öerile e çözümü homoje diferaiel deklemi ağlamaı içi o deklemi her iki tarafııda ıfır olmaı gerekir. Bu amaçla, o deklemde a paratez içerii ada e k ıfır k olmalıdır. e acak k - içi ıfır olacağı içi geel bir çözüm açııda ıfır olamaz. k İlave olarak, e fokiou değişkei içerdiğide değişkedir. Bir değişkei bir çok aıal değeri vardır. Bu değeri ıfıra eşit almakla bularda bir taei dikkate alımış olur. k Dolıla e matematik olarak ıfır olamaacağı içi paretez içeriideki abit aı bloğu ıfır olmalıdır. reib olarak bir değişke ıfır olamaz. Acak, ümerik karşılığı belirli olmaa bir abit vea abitler grubu ıfıra eşitleebilir. aretez içeriideki abit değerlerde medaa gelmiş ifadei ıfıra eşitlemeile tae k köke ahip. derece bir deklem elde edilebilir. Bu ei ifadee homoje dekleme bezemei dolaııle KAREKTERİSTİK DENKLEM adı verilir. Karakteritik deklem pratik olarak homoje diferaiel deklemde erie k azılarak ve türev mertebeleri ie ü olarak alıarak tei edilebilir. ak ak ak... a k a k a Daha öce taımlamış ola D operatörü ile k aı işlevi görmektedir. Dolaııla ütteki deklemde k erie D azılmaı bir hata medaa getirmeecektir. So deklemde a, a, a,,a kataıları diferaiel deklemde gelip değerleri değiştirilemez. Bu edele deklemi ıfır apacak şekilde k değerleri araır. Bu deklem. derecede bir poliom olup tae k kökü vardır. Süperpoizo preibie göre toplam çözüm parçalamış apıda elde edile çözümleri toplamaıda buluabilir. Dolaııla her k kökü içi epolaiel formda bir çözüm öerilebilir. Bu çözümler toplaarak homoje çözüm tariflemiş olur. Buula birlikte, buluacak kökler birbirie eşit, birbiride farklı vea bir kımı aal (imajier) aılar olabilir. Bu üç hal içi homoje çözüm formları şu şekildedir: k k a) k k k... k k ; kök değerleri birbirie eşit değile tae e, e, - k e,, e k çözümleri buluacaktır. Homoje çözüm elde edile bu çözümleri her birii bir itegral abitile çarpılmış hallerii toplamaıla buluur: e e e e H k k k k k... 78

79 Buradaki,,,, değerleri ıır ve başlagıç şartlarıa göre belirlee diferaiel deklem abitleridir. Bu tür çözümde diferaiel deklemi mertebeice diferaiel deklem abiti ve çözüm üretilebildiği içi bir zorluk oktur. b) k k k... k- kk ; Karekteritik deklemde bulua bütü kök değerleri birbirie eşit ie, buluacak çözümler birbirie eşit olacaktır. Bu durumda öceki aklaşıma göre.mertebe bir diferaiel deklemi homoje çözümü; ( ) e e e e... e... e e H k k k k k k k olacaktır. Saıal değeri bilimee abitleri toplamı ei bir abitle taımlaacağı içi homeje çözümde eterli çözüm ve itegral abiti üretilememiş olur. Yei çözümler ve dolaııla ei abitler lieer bağımız çözüm preibie göre üretilir. Lieer bağımız çözüm, bulua ilk çözümü bir lieer deklemle, (ab), çarpılmaı halide bile elde edile ei fokiou da diferaiel deklemi ağlamaıa verile termiolojidir. Yai, eldeki çözüm lieer deklemle çarpılarak ei çözümler üretilebilir. Bu çarpma işlemi ardışık olarak itee miktarda tekrarlaır. Bizim diferaiel deklemimiz tae çözüm gerektirdiği içi - kere lieer deklemle çarpmak eterlidir. Homoje çözümde itegral abiti olacağı içi lieer deklemdeki a ve b abitleri düşüülmeebilir. Bu edele (ab) erie alıarak lieer bağımız çözümler şu şekilde üretilir..çözüm: k e,.çözüm: k e,.çözüm: k e,.çözüm: k e,,.çözüm: e k Bu çözümler birer abiti ile çarpılıp elde edile ouçlar toplaarak homoje çözüm şu şekilde buluur: e e e e... e H H k k k k k (... ) e k c) Bulua kökler reel aı erie imagier(comple, aal) aı olarak buluuor ie homeje çözüm;.derece deklemleri (a bc) kökleri buluurke karşılaşıldığı gibi kökleri komple olmaı k α βi, k α βiformula ortaa çıkmaktadır. Burada α ve β reel aılar olup, i dir. Bölece.mertebe bir diferaiel deklemi homoje çözümü tae itegral abitile şu şekildedir: ( α β ) ( α β ) α β α β α β β H e e e e e e e e e i i i i i i Bu çözümde imajier bout fiziki olarak alamız olduğuda okedilmelidir. Mühedilikteki hiçbir büüklük aal değere ahip değildir. Örek olarak, bir kroometre ile belirleebilir, acak, i belirleemz. ve i mukaee dahi edilemez. Bu edele ukarıdaki homoje çözüm formu pratik açıda ugu değildir. Bu çözümdeki i aıı eri açılımlar ile deklemde düşürülebilir. Fokioları Maclauri Serii açılımıda çözümdeki epolaiel fokio içi şu şekilde verilmiştir; iβ iβ e co β ii β e co βii β 79

80 Bu eiştlileri ol tarafıda i fokiou içide ike, ağ tarafıda fokiou dışıa çıkmıştır. Bölece i abiti itegral abitlerii içide ok edilebilir. Sabitleri çarpımı, bölümü vea toplamı ei bir abit doğuracağı içi bu matematikel açıda alış değildir. Bu açılımlar ukarıdaki homoje çözümde erie azılarak reel olmaa kökler içide homoje çözüm şu şekilde öerilir: ( co β i β ) ( co β i β ) ( co β i β ) ( co β i β ) ( ) co β ( ) i β H e α i i H e α i i α H e i α ( ) i( ) e [ co β i β ] H imi, imi de ile tekrar değiştirilerek o form elde edilir..8.. ÖZEL ÇÖZÜM: [ co β i β ] α H e Sabit kataılı diferaiel deklemleri özel çözümü iki şekilde buluur. Özel çözüm a homoje çözüme, ada homeje olmaa kımı temil ede f() fokioua ve türevlerie bezetilir. Homoje çözüme bezetme tekiği abitleri değişimi metodu, f() ve türevlerie bezetme ie belirlememiş kataılar metodu olarak biliir. Özel çözüm homoje olmaa çözüm olarakta biliir Sabitleri Değişimi Metodu (Homoje Çözüme Bezetme): Diferaiel deklemi homoje çözümüe bezetilerek özel çözüm elde edilir. Bu amaçla homoje çözümdeki itegral abitleri bağımız değişkee bağlı fokiolar olarak kabul edilir. Bu ei fokiolar ie özel çözümü aa diferaiel deklemi ağlamaı gerektiği preibide hareketle belirleir. Sabit itegral abitlerii değişke-fokioel hale döüştürülmei edeile abitleri değişimi imii almıştır. Matematikel işlemleri çok ve zor olduğu bu ötem mümkü olura kullaılmamalıdır. Bu metod acak f() fokiouu karışık olduğu, f() ve türevlerii olu aıda fokio vermediği, dolaııla f() ve türevlerie göre özel çözüm öeriii apılamadığı hallerde kullaılmalıdır. Özel çözüm f() fokiou ve buu türevlerie bakılarak azılmaı halide f() i olu aıda türevi olura bu metod tercih edilmemelidir. Homoje çözümdeki itegral abitlerii birii vea tamamı fokioel hale getirilebilir. Örekler; i) ( ) e ( ) e H üç tae özel çözüm öerilir: ) ( ) iii) ( ) e e e ii e i) ( )i ( )co i co üç tae özel çözüm öerilir: ii) ( ) co H iii) ( )i Öerile bu formlarda bir taei tercih edilir. Bu öeri çözümler o-homoje diferaiel deklemi ağlamalıdır. Bu amaçla bu çözümlerii kedii ve gerekli aıda türevleri ohomoje dekleme taşıır. No-homoje diferaiel deklemi ağlaacak şekilde () ve () fokioları belirleir. Daha işlem gerektirmei edeile öerile çözümde ii ve iii halleri tercih edilmelidir. 8

81 .8... Belirlememiş Kataılar Metodu [ f() ve Türevlerie Bezetme]: Sabitleri değişimi metodua göre daha baittir. Acak bu metod ile o-homoje çözümüü buluabilmei içi f() fokiouu kedii ve türevleri olu aıda olmaı gerekir. Türevledikce ei bir fokio vere f() apıları içi abitleri değişimi ötemi kullaılmalıdır. Örek olarak, f()/, f()i/, f()tg, f() i.l gibi fokioları kere türetilmeide tae ei fokio oluşur. Dolaııla böle f() ler içi belirlememiş kataılar ötemi kullaılamaz. Şaet f(), f()e, f()i gibi fokiolar vara buları kere türetilmeide birkaç tae ei fokio oluşur. Bu ei fokiolar belirli olamaa A,B,, gibi abitlerle çarpılıp toplaarak özel çözüm formu belirleir. Belirli olmaa kataılar ile çarpımı edeile ötem belirli olmaa kataılar imii almıştır. Örekler: f(), f()e, f()i ve f(9co içi özel çözüm (ohomoje çözüm) deklemii belirleiiz; i) f( ) f ( ), f ( ), f ( ) tae fokio (,,abit) var A B ii) f ( ) e f ( ) e, f ( ) e, f ( ) 8e tae fokio (e ) var A e iii) f ( ) i f ( ) co, f ( ) i, f ( ) co tae fokio (i ve co) var AiBco iv) f( ) co f ( ) co i, f ( ) i co, ( iv) f ( ) co i f ( ) i co tae fokio (i, co, i ve co) var AiBcoiDco Öreklerde verile ve gerekli aıda türevi alıarak o-homoje diferaiel deklemde erlerie azılır. A, B,, D, gibi belirli olmaa kataılar o-homoje diferaiel deklemi ağlamaı preibie göre belirleir. Bu ötemi kullaılmaıda dikkat edilecek bir huuda öerile özel çözüm hiçbir zama diferaiel deklemi homoje çözümüe bezememelidir. Bu bezerlik fokiolar bazıda olup daha öce lieer bağımız çözüm olarak iimledirilmiştir. Eğer, homoje ( H ) ve o-homoje ( ) çözümler araıda bir bezerlik vara, öeriideki A,B,,D kataılarıı tamamı vea birkaçıı aıal değeri heaplaamaz, vea bu abitler bağımız değişkei fokiou olarak buluur. Keilikle öeriideki A, B,, kataıları abit ve ümerik bir değere ahip olmalıdır. Özel çözüm ve homeje çözümleri birbirie bezemei halide, doğru çözüm içi, öerile çözümlerii lieer bağımız çözümleri üretilir. Bu amaçla eldeki çözüm lieer deklemle () ile çarpılır. Bu çarpma işlemi gerektirdiği kadar ardışık olarak devam ettirilir. Dolaııla, bir çözümde birde fazla lieer bağımız çözüm üretilebilir. Aşağıda verile f() ve H homoje çözüm şekillerie göre p özel çözüm formlarıı belirleiiz. v f f f f - ) Hie ( ) i ( ) co, ( ) i, ( ) co tae fokio (i ve co) var AiBco, i Ai (iki çözüm aıdır.) AiBco 8

82 vi) e e ve f ( ) e f ( ) e, f ( ) e, f ( ) 8e - H tae fokio (e ) var A e, e Ae (iki çözüm aıdır. A abiti erie abitii gelmei matematik olarak oucu değiştirmez. Bu edele öerile A e çözümüü lieer bağımız çözümü alıır. Ae roblem : e '' ' e H diferaiel deklemii her iki metodla çözüüz. HOMOJEN ÇÖZÜM: '' ' ie karekteritik deklem k k olarak buluur. Bu deklemi ağlaa k ve k şeklide iki tae kök değeri vardır. Kökler birbirie eşit olmadığı içi homoje çözüm şu şekildedir: e e e e H k k ÖZEL ÇÖZÜM: I - Belirlememiş Kataılar Metodu: İlk olarak daha bait olmaı edeile bu metod düşüülmelidir. Bu amaçla deklemi ağ tarafıdaki f() fokioua bakılmalıdır. Diferaiel deklemde verile f() fokiou türevledikçe padada bulua e ifadeii üt değeri büüecektir. Bu ütel büüme özel çözümü f() fokiouu kere türetilmeile tae ei fokio ortaa çıkacağıı göterir. tae fokiou tae A, B,, D, gibi belirlememiş kataı ile çarpıp öeriii apılmaı matematik olarak mümkü değildir. aıı adece problemi alaşılabilmei açııda ortaa atılmış bir rakamdır. Belirlememiş kataılar ötemile çözüm içi f() fokiouu kere türevi düşüülmelidir. Bu kadar çok fokiou kataılarıı belirleebilmei içi türevii alııp, o-homoje diferaiel dekleme taşımaı mümkü değildir. Dolaııla bu diferaiel deklemi özel çözümü bu ötemle buluamaz. e df ( ) e ( e ) e e e e f ( ) e,, d e e d f ( ) d ( ) ( ) ( e e )( e ) e ( e e ), ( e ) Görüldüğü gibi f() türevi alıdıkca fokioel apı daha da karmaşık hale gelmektedir. II - Sabitleri Değişimi Metodu: Souçta özel çözüm abitleri değişimi metodu ile bulumalıdır. Bu amaçlada özel çözüm formu homoje çözüme bezetilmelidir. Özel çözüm formuu homeje çözümde farkı itegral abitlerii bağımız değişkee bağlı fokiolar olarak kabul edilmeidir. Sabitlerde birii vea ikii birde fokioel olarak alıabilir. Bu durumda üç farklı özel çözüm öerilebilir: i) ( ) e ( ) e, ii) ( ) e iii) e ( ) 8

83 Bularda herhagi biri tercih edilebilir. İşlem kolalığı bakımıda tek fokiolu (ii) vea (iii) öerileri tercih edilmei matıklıdır. (ii) tercihile çözümü gelişmei şu şekilde olacaktır: (ii) deklemideki () fokiouu belirlemei içi (ii) i kedii ve türevi (diferaiel deklem.mertebe olduğu içi) o-homoje dekleme taşıır. Bu taşıma işlemide homoje deklemdeki erie, erie ve erie azılır. ( ) e ( ) e ( ) e, ( ) e ( ) e ( ) e e '' ' e, ve ie e ( e ) ( e ) ( e ) ( ( e ) ( e ) ) ( e ) e e ( ) e ( ) e ie e e e Elde edile o difreraiel deklemide mertebei çözülmee çalışıla deklemle aıdır. İlk deklemde bağımlı değişke ike, o deklemde bağımlı değişke olmuştur. Aradaki fark o deklemi mertebei düşürülebilir olmaıdır. Mertebe düşürme içi deklemde a bağımlı, ada bağımız değişkei deklemde olmamaı gerekir. Dolaııla çözümü o aşamaıda, bir ilerlemede bahedebilmemiz içi gözükmemelidir. Sadece türevleri deklemde olmalıdır. Bu abitleri değişimi metoduda mutlaka olmaı gereke şarttır. Çözüm mertebe düşürmele devam edecektir. e U( ) U ( ) U U (.mertebe lieer dif. deklem) e Bulua deklem şekilde çözülebilir. Sabitleri değişimi kullaılıra; e du du U U U U, U d, lul UH e e d U U e U e ( ) U ( e ) e ( ). mertebe lieer diferaiel dekleme H e e d taşıarak, U U, ( ) e ( ) e e (değişkelerie e e e d d d e e d arılabilir) d ( ) l ( e ) e e e e ( ) U ( e ) e l e d U( ) e l( e ) d e l( e ) d (Kımi itegraola çözülür) d e d d e l ( e ) d l ( e ) u du e d dv e v, e e d d e d e l ( e ) e e l ( e ) e l ( e ) e e e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e l e l e, ( ) e e e l e l e 8

84 ( ( ) ( )) ( ) ( e e ve ( ) e e e l e l e H ( ) ( ) l l ) ( ) geel çözüm e e e e e e Aı çözüm (iii) deklemile apılıra çözüm şu şekilde medaa gelir; (iii) deklemideki () fokiouu belirlemei içi (iii) i kedii ve türevi (diferaiel deklem.mertebe olduğu içi) o-homoje dekleme taşıır. ( e ) e e, e e e e '' ' e, e e e e ( e e ) e e e e e ie (mertebei düşürülebilir) e e U( ) U ( ) U U (.mertebe lieer dif. deklem) e Bulua deklem şekilde çözülebilir. Sabitleri değişimi kullaılıra; du du U U U U, U d, lu l U H e e d U U e U e ( ) U ( e ) e ( ). mertebe lieer diferaiel dekleme H e d taşıarak, U U ( ) e ( ) e e ( ) e e e e d ed (değişkelerie arılabilir) d ( ) l ( e ) e ( ) U e ( ) e l e d U( ) e l( e ) d e l( e ) d (Kımi itegraola çözülür) d ed d e l ( e ) d l ( e ) u du e d dv e v, e ed d e d e l ( e ) e e l ( e ) e l ( e ) e e e e e d e l e e l e l e ( ) ( ) ( ) ( e ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ve l ( ) l ( ) ( ) ( ) l ( ) l ( ) e l e l e, ( ) e e e l e l e e l e e l e e e e e e e H geel çözüm e e e e e e 5 roblem : '' ' e diferaiel deklemiii çözüüz. ( ) H 8 ( )

85 HOMOJEN ÇÖZÜM: '' ' ie karekteritik deklem k k olarak buluur. Bu deklemi ağlaa k ve k şeklide iki tae kök değeri vardır. Kökler birbirie eşit olmadığı içi homoje çözüm şu şekildedir: e e e e H k k ÖZEL ÇÖZÜM: I - Belirlememiş Kataılar Metodu: Aa diferaiel deklemi ağıdaki f() fokiou geelleştirilebilir. Yai türevledikce ortaa adece bir tae fokio çıkar. Bu edele özel çözüm f() bezetilerek buluur. Aı zamada abitleri değişimi metodu ile de özel çözüm buluabilir. Fakat bu ötem çok uzu işlemler gerektirir. Bu durumda özel çözüm formu f() e bezetilerek şu şekilde öerilmelidir: 5 df ( ) 5 d f ( ) 5 f ( ) e, 5e, 5e ie bir fokio (e 5 ) medaa gelior. Bu d d 5 fokio A belirli olmaa kataıı ile çarpılarak özel çözüm öerilire, Ae, elde edilir. A abitii aıal değerii belirlemek içi türevleri alıarak o-homeje diferaiel dekleme taşıır: d 5 d 5 5Ae, 5 Ae ( erie, erie ve erie azılır) d d e e '' ' e 5e.5e e e ie A, e e II - Sabitleri Değişimi Metodu: Belirlemiş kataılar metodula çözülebile diferaiel deklemler abitleri değişimi metodulada çözülebilir. Sadece bir ötemle çözüm eterli ike, iki metodu işlem uzuluğuu ve zorluğuu mukaeei açııda aı problem abitleri değişimi ötemi ile de çözülecektr. Birici homeje çözüme özel çözüm bezetilerek öerilebilir: H e e ie ( ) d d d e, e e d d, e e e d d d d d () fokiouu bulmak içi ve bulua türevleri aa diferaiel dekleme taşımalıdır. '' ' ' e e e ( e e ) e '' ' 5 '' ' e e e e ' ie (mertebei düşürülebilir.) e 5 ( Z ' Z ) Z Z e (. mertebe lieer diferaiel deklem) dz Z' Z d, l Z l Z H e Z ( ) e Z Z ' ' ' ' e e e ie e e e e, e ( ) Elde edile dekleme dikkat edilire çözümlerde ei diferaiel deklem abitleri düşüülmemektedir. Özel çözüm bulmak içi apıla bu tür işlemlerde, özel çözüm itegral abiti içermeeceği içi, diferaiel deklem abitleri düşüülmemelidir. Sabitler homoje çözüm vaıtaıla çözüme aıtılır. '' ' 85

86 e e ' d e e Z ( ) e e ie d d d, 5 ( ) e e e e 5 e ie geel çözüm e e roblem : '' ' e diferaiel deklemiii çözüüz. ( ) H HOMOJEN ÇÖZÜM: '' ' ie karekteritik deklem k k olarak buluur. Bu deklemi ağlaa k ve k şeklide iki tae kök değeri vardır. Kökler birbirie eşit olmadığı içi homoje çözüm şu şekildedir: e e H ÖZEL ÇÖZÜM: I - Belirlememiş Kataılar Yötemi: Aa diferaiel deklemi ağıdaki f() fokiou ve türevleride tae fokio çıkacağı içi, özel çözüm f() bezetilerek buluabilir. Özel çözüm formu f() e bezetilerek şu şekilde öerilire: Ae Bu teklifi çözüm olabilmei içi mutlaka aa diferaiel deklemi ağlamaı gerekir. Acak formu homoje çözümdeki e ile aıdır. Hem hemde A aıal değeri belirli olmaa iki abitiir. A erie vea erie A harfii kullaımaı matematik bakışı değiştirmez. Bu halile geel çözüme azılıra; e e Ae A e e elde edilir. İki abiti toplamı ei abittir preibie göre özel çözüm ve homoje çözümü kımı toplaır. So ifade homoje çözümü aıır. Dolaııla geel çözümde özel çözümüü karşılaa bir fokio oktur. Homoje olmaa bir deklemi geel çözümü mutlaka homoje çözümde arı bir fokio olarak özel çözüm kapamalıdır. Yukarıda olduğu gibi özel çözümü homoje çözüm içeriide ok olmamaı içi H ve fokioel olarak birbiride farklı olmalıdır. Daha öce H ve i tamame vea kıme bezemei hali lieer bağımızlık olarak iimledirilmişti. Eğer H ve birbirie bezior ie öerile özel çözümü lieer bağımız çözümü alıır. Bu amaçla e fokiouu öüdeki poliomu derecei bir artırılmalır vea eldeki çözüm ile çarpılır. Ae ie lieer bağımız çözüm Ae A abitii bulmak içi işlemler şu şekildedir: d d Ae Ae, Ae Ae (, d d ( ) '' ' e Ae Ae Ae Ae e e ie A, ve ) 5 e e e e Dikkat edilire bulua özel çözümü homoje çözüm içeriide kabolma ihmali oktur. 86

87 II - Sabitleri Değişimi Metodu: Belirlemiş kataılar metodula çözülebile diferaiel deklemler abitleri değişimi metodulada çözülebilir. Özellikle özel çözümü lieer bağımız olmaı gerektiği durumlarda belirlememiş kataılar metodu ile çözümde hatalar oluşabilir. Lieer bağımız çözüm gerektire problemlerde abitleri değişimi kullaılmaı daha fadalı olabilir: H e e ie ( ) e, d d e e d, d d d d d d d e e e Özel çözüm homeje çözümü e kımıa bezetildi. Bu kabul diferaiel deklemi ağlaacak şekilde bulumaı gerekir. Bu amaçla ei özel çözümü kedii ve gerekli ola aıda türevleri aa diferaiel dekleme taşımalıdır. '' ' ' e e e ( e e ) e '' e ' '' ' e e ' ' '' ' ie (mertebei düşürülebilir.) Z( ) Z Z Z (. mertebe lieer diferaiel deklem, değişkelerie arılabilir.) dz Z ' Z d, l( Z ) Z e Z Elde edile dekleme dikkat edilire çözümlerde ei diferaiel deklem abitleri düşüülmemektedir. Özel çözüm bulmak içi apıla bu tür işlemlerde, özel çözüm itegral abiti içermeeceği içi, diferaiel deklem abitleri düşüülmemelidir. Sabitler homoje çözüm vaıtaıla çözüme aıtılır. ' d Z e d d e d e ( ) e e e e e geel çözüm e e e e ie ( ) ( ) e So deklemde görüle e geel çözümdeki e i içie dahi edilire geel çözüm e e e olarak buluur. roblem : ''''' e diferaiel deklemii çözüüz. HOMOJEN ÇÖZÜM: Homoje diferaiel deklem ''''' ie, karekteritik deklem kk olarak buluur. Deklemi ağlaa k ve k k şeklide üç tae kök değeri vardır. Kökleri iki taei birbirie eşit olduğu içi lieer bağımızlık vardır. Homoje çözümler de birbirii aıı olamaz. Köklerde k k içi bulua e homoje çözümüü lieer bağımız çözümü e dir. Bu durumda homoje çözüm şu şekildedir: e e ÖZEL ÇÖZÜM: H ( ) I - Belirlememiş Kataılar Yötemi ile Çözüm: Özel çözüm formu f() ve türevlerie bezetilerek şu şekilde öerilmelidir: f ( ) e f ( ) e e, f ( ) e e, f ( ) e 8e tae fokio (e, e ) medaa gelior ie ( ) A B e 87

88 Bu teklifi çözüm olabilmei içi mutlaka aa diferaiel deklemi ağlamaı gerekir. Acak f() formu homoje çözümü ( ) e ve özel çözümü ( A B) e birbirii aı olduğu içi lieer bağımızlık mevcuttur. Hiç bir zama özel ve homeje çözümler aı olamaz. Bu edele e fokiouu öüdeki poliomu derecei bir artırılmalıdır vea öerile ile çarpılmalıdır: ( ) i lieer bağımız çözümü ( ) A B e So halde de Homeje çözümü e A B e kımı ile özel çözümü Be kımı birbirie bezemektedir. Bu edele Be ile çarpılarak B e şeklide ei lieer bağımız çözüm bulumalıdır. Bu durumda da özel çözümü A e ve B e aı olacaktır. Bu edele özel çözümü bir kımıı da lieer bağımız çözümü alıarak A B e ( ) şeklide özel çözüm buluur. A ve B i aıal değerleri içi işlemler şu şekildedir; A B e ( ), (A A B B ) e, ' (A 8A A 6B B B ) e '' ( ) A A A B B B B e Bulua ve türevleri ''''' e de erie azılıra; ( A A 8A 6B 6B 6B 8B ) e (A 8A A 6B B B ) e ( B A ) e e buluur. Gerekli adeleştirmeler eticeide 6 B 8B 6A elde edilir. Eşitliği her iki tarafıdaki aı fokioları kataıları eşit olmalıdır; i kaaıı -8B ve abitler 6B6A da 8 ( ) A B buluur. Özel çözüm, 8 Geel çözüm ie özel ve homoje çözümleri toplamaıda buluur. e ( ) e ( ) e 8 II - Sabitleri Değişimi Metodu ile Çözüm: Homeje çözümü. i e özel çözüm bezetilerek, H e ( ) e ie ( ) d e d, e e, d d d d d d e e d d d e d d d, 6 8 e d d d d Özel çözüm homeje çözümü e - kımıa bezetildi. Bu kabul diferaiel deklemi ağlaacak şekilde bulumaı gerekir. Bu amaçla ei özel çözümü kedii ve gerekli ola aıda türevleri aa diferaiel dekleme taşımalıdır. 88

89 ''' '' ' '' ' ( 6 8 ) e ( ) e e e ''' '' ( ) e e ''' '' ' '' ''' ' ie (mertebei düşürülebilir.) Z( ) Z Z Z (. mertebe lieer diferaiel deklem) dz Z' Z d, l Z l Z H e Z ( ) e Z ' ' ' ' e e Z e e ie e e e, e ( ) 9 Elde edile dekleme dikkat edilire çözümlerde ei diferaiel deklem abitleri düşüülmemektedir. Özel çözüm bulmak içi apıla bu tür işlemlerde, özel çözüm itegral abiti içermeeceği içi, diferaiel deklem abitleri düşüülmemelidir. Sabitler homoje çözüm vaıtaıla çözüme aıtılır. Z ( ) e Z( ) 9 '' d d d Z ie d d d d d d d, d d d 9 d ( ) ( ) ie ( ) e ( ) e ie geel çözüm 8 8 e ( ) e ( ) e 8 roblem 5: co i diferaiel deklemii çözüüz. HOMOJEN ÇÖZÜM: ie karekteritik deklem kk olarak buluur. Bu deklemi ağlaa k ve k şeklide iki tae kök değeri vardır. Bu durumda homoje çözüm şu şekildedir: e e H ÖZEL ÇÖZÜM: Belirlememiş kataılar ötemi kullaılara buluabilir: f ( ) co i f ( ) co i, f ( ) i co f() ve türevleride bulua fokiolar: co, co, i, i ie (AB) co ( D) i (A D) co ( A B) i ( A B) co ( A D) i ve türevleri ohomoje diferaiel dekleme taşııra ve eşitliği heriki tarafıdaki aı fokioları kataıları birbirlerie eşitleire A, B, ve D buluabilir, ''' co i, ve ie 89

90 [ ] [ ] ( A B) co ( A D) i (A D) co ( A B) i (AB) co ( D) i co i ( BDA) co ( A D B) i( A)co i' i kataıı A A ( A) i co i co' i kataıı A ( ), A 5 co' i kataıı BDA B D BD 5 5 i' i kataıı 7 A D B D B D B o iki deklemi çözümüde B, D (AB) co ( D) i( ) co ( ) i e e ( ) co ( ) i roblem 6: diferaiel deklemii çözüüz. HOMOJEN ÇÖZÜM: ie karekteritik deklem k k olarak buluur. Bu deklemi ağlaa k ve k şeklide iki tae kök değeri vardır. Bu durumda homoje çözüm şu şekildedir: e e ÖZEL ÇÖZÜM: H I - Belirlememiş Kataılar Yötemi: f( ) f ( ), f ( ), f() ve türevleride bulua fokiolar: ve abit AB A, ohomoje deklemde erie azılıra A AB ie A, B ( ) Geel çözüm ie özel ve homoje çözümleri toplamaıda buluur. e e II - Sabitleri Değişimi Metodu: Belirlemiş kataılar metodula çözülebile diferaiel deklemler abitleri değişimi metodulada çözülebilir. H ie ( ) e, e e d d d e e e d d d d d e e d, d 9

91 Özel çözüm homeje çözümü e kımıa bezetildi. Bu kabul diferaiel deklemi ağlaacak şekilde bulumaı gerekir. Bu amaçla ei özel çözümü kedii ve gerekli ola aıda türevleri aa diferaiel dekleme taşımalıdır. d ' '' ' ( ) e ( ) e e, ( ) e '' ' ' '' ' ( ) e ie (mertebei düşürülebilir.) Z( Z ', ) Z Z e (. mertebe lieer diferaiel deklem) dz Z' Z d, l Z l Z H e Z ( ) e Z ' ' ' Z e e ie e e e e, ' e ( ) e ( ) ' d Z ( ) e Z( ) e ( ) Z ie d e ( ) d ( ) e, ( ) ( ) e e e ie geel çözüm e e roblem 7: ico diferaiel deklemii çözüüz. HOMOJEN ÇÖZÜM: ie karekteritik deklem k olarak buluur. Bu deklemi ağlaa k i ve k i şeklide iki tae aal kök değeri vardır. Bu durumda homoje çözüm şu şekildedir: α k α βi, k α βi ie H e [ co β i β ] α ve β H co i ÖZEL ÇÖZÜM: I - Belirlememiş Kataılar Yötemi: f ( ) ico f ( ) co i, f ( ) 9i co f() ve türevleride bulua fokiolar: co, i, co, i A cob i cod i Öerile özel çözümü homoje çözümle bezerliği kotrol edilerek lieer bağımızlığı varlığı araştırılır. co i ve co Di birbirii aııdır. Bu edele co Di i lieer bağımız çözümü alıır. Bu çözüm co Di A cob i cod i türevleri A ib co co id idco 9A co 9B i i cod co Di p, No-homoje diferaiel deklemde bulualar erie azılırak, ico 9A co 9B i i cod co Di A cob i cod i ico 8A co 8B i id co ico A, B,, D 8 9

92 Eşitliği iki tarafıdaki aı fokioları kataıı eşitleerek belirli olmaa kataılar buluur. Bu durumda, i i co i i i 8 8 II - Sabitleri Değişimi Metodu: Belirlemiş kataılar metodula çözülebile diferaiel deklemler abitleri değişimi metodulada çözülebilir. H co i ie ( )i d d, i co, d d d d d i co i d d d Özel çözüm homeje çözümü e - kımıa bezetildi. Bu kabul diferaiel deklemi ağlaacak şekilde bulumaı gerekir. Bu amaçla ei özel çözümü kedii ve gerekli ola aıda türevleri aa diferaiel dekleme taşımalıdır. ico d d i co i i ico, d d ' '' i co ico,ie (mertebei düşürülebilir.) Z( ) Z Z i Zco ico (. mertebe lieer diferaiel deklem) dz co d Z i Zco, l Z l ( i ) l Z i ( ) co ZH Z Z i i i i co i co i co i i i i co d ( i co ) i d i Bulua o itegrali alımaı çok uzu ürecektir. Aı tipte i bulumaı içi alıacaktır. Görüldüğü gibi abitleri değişimi uzu ve zor bir matematik üreç gerektşrmektedir. e roblem 8: diferaiel deklemii çözüüz. ( H ) HOMOJEN ÇÖZÜM: ( ), k k k, kökler eşit, k k, lieer bağımız çözüm buluur. e i lieer bağımız çözümü e dir. İtegral abiti ile çarpılıp toplaarak homoje çözüm azılır. e ÖZEL ÇÖZÜM: H ( ) I - Belirlememiş Kataılar Yötemi: No-homoje diferaiel deklemi ağıdaki f() fokiou ve türevli olu aıda fokio içermez. Çükü f() türevledikce padadaki ü üt değeri dahada artmaktadır. Bu edele abitleri değişimile özel çözüm buluur. ' II - Sabitleri Değişimi Metodu: 9

93 H ( ) ( ) d d e, e e e d, d d d d d d d e e e Özel çözüm homeje çözümü e - kımıa bezetildi. Bu kabul diferaiel deklemi ağlaacak şekilde bulumaı gerekir. Bu amaçla ei özel çözümü kedii ve gerekli ola aıda türevleri aa diferaiel dekleme taşımalıdır. '' ' ' e '' e ( ) e ( ) e e, e '', Bulua o ifade kez itegral alıarak d 6 6e d, ( ) e Eğer özel çözüm homoje çözümü diğer kımıa bezetilerek buluulua işlemler şu şekilde olur: H ( ) e ie ( ) d d e, e e e, d d d d d d e e e e e d d d d '' ' ' ' e ( ) e ( ) e e '' ' e ' '' ' e e ie (mertebei düşürülebilir.) Z( ) Z ' Z Z (. mertebe lieer diferaiel deklem) dz d ( ) Z' Z, l Z l l Z H Z Z ' ' ' Z ie ', ( ) Elde edile dekleme dikkat edilire çözümlerde ei diferaiel deklem abitleri düşüülmemektedir. Özel çözüm bulmak içi apıla bu tür işlemlerde, özel çözüm itegral abiti içermeeceği içi, diferaiel deklem abitleri düşüülmemelidir. Sabitler homoje çözüm vaıtaıla çözüme aıtılır. ( ) ' d 6 Z Z( ) Z ie d d d, 6 6e ( ) e e ie geel çözüm ( ) 6 e e roblem 9: 6 9 e deklemii () ve () şartlarıla birlikte çözüüz. HOMOJEN ÇÖZÜM: ( ) ( ) e 6 9, k 6k 9 k, k k, H ÖZEL ÇÖZÜM: Deklemi ağıdaki f() fokiou ve türevleri olu aıda fokio vereceğide Belirlememiş Kataılar Yötemi kullaılmalıdır. f( ) e f ( ) 6e, f ( ) 8e, f() ve türevleride bulua fokiolar: e 9

94 Ae Ae, 9Ae ohomoje deklemde erie azılıra 9Ae 8Ae 9Ae e A buluamaz. Nedei elde edilirke homoje çözümle mukaeei apılmadı. Lieer bağımız çözüm mutlaka kotrol edilmeli. Hiç bir zama özel ve homeje çözümler aı olamaz. Özel çözüm çözümü e kımı aı olduğu içi poliomu derecei bir artırılmalıdır. Ae ile homje Ae ei durumda da Ae ve e birbirie bezemektedir. Bu edele poliom derecei tekrar bir artırılır. A e, (A A ) e, (A A 9 A ) e dekleme taşıarak A A 9 ) e 6 A A ( ) e 9 ( A A e e Özel çözümü kedii ve türevleri aa diferaiel dekleme taşıarak düzeleire ve kataılar taraf tarafa eşitleerek A buluur. e ie geel çözüm ( ) e e ie ( ) e e ie ie, ( ) e e, ' e e e ( ) e e, e e, ( ) e e roblem : deklemii ()e ve ()e şartlarıla çözüüz. H HOMOJEN ÇÖZÜM:, k k k k k ( ) e H ( ) ÖZEL ÇÖZÜM: Aa diferaiel deklemi ağıdaki f() fokiou ve türevleri olu aıda değil. Bu edele Sabitleri Değişimi Metodu ile çözüm apılabilir: H ( ) e ( ) d e d e, d d d d d e d d d i kedii ve gerekli ola aıda türevleri aa diferaiel dekleme taşımalıdır. '' ' ' e '' e '' ( ) e ( ) e e, e, Bulua o ifade kez itegral alıarak d d l, e e Ö ( ) l e e l H ( )e ie geel çözüm ( ) ie e -, e (.) e e l ie (I) 9

95 ' l, e (.) l e ie (II) l e ie -e -, ( ) e I ve II olu deklemler çözülerek ve buluur. Geel çözüm ( ) d d roblem : deklemii çözüüz. d d H HOMOJEN ÇÖZÜM: d d, kk k ( k) k k, k i k i d d eşit reel ve imajier (aal kök) H ico ÖZEL ÇÖZÜM: Aa diferaiel deklemi ağıdaki f() fokiou bait olmaıa rağme, kedii ve türevleri olu aıda olmaıa rağme bu deklemi özel çözümü belirlemiş kataılar ötemi ile bulumaı dikkat gerektirir. Bağımlı değişke buludurmaa diferaiel deklemleri ilk öce mertebei düşürülür. Daha ora belirlememiş kataılar ötemi düşüülür. Yada üretimide e düşük türev refera alıır. Dolaııla çözüm belirlememiş kataılar metodu ile çözüm apılacak: ( ) ( ), ( ), ( ) f f f f A B Öerile i. ve. türevleri alııp erie azılıra 8A gibi bir çözümüzlük ortaa çıkacaktır. Bir abiti bir değişkei oketmei mümkü olmadığı içi öerile özel çözümü ohomoje deklemi ağlamadığı maaıa gelir. Buu edei bağılı değişke i kediii deklemde olmamaıdır. Özel çözüm öerilirke ol tarafta hep bağımlı değişke alı halde () olmaı edeile, ağ taraftaki fokiou bezeri ol tarafta da medaa getirilmektedir. Bölece aı fokiolar birbirii götürebilmektedir. Şimdiki problemde ie, f() fokiou acak. türevi ol tarafa aımaktadır. Dolaııla bir fokio ile. türevi aı olmaı ve birbirii götürmei her zama mümkü olmaz. Bu edele, belirlememiş kataılar ile çözüm öerilirke ol taraftaki e düşük diferaielli (türevli) bağımlı değişke dikkate alımalıdır. Normalde vara hiç türeviz alı hal dikkate alıır. E düşük türevli hal ve ağ taraftaki fokioa dekleir. Gerekli aıda itegrao ile öerilir. A B d 6, A B A o-homoje dekleme taşıarak d A ( A 6B ) A 8, B B, 8A A A ico Eğer aı diferaiel deklem mertebe düşürme ile çözülmek iteire; d d, d Z d d Z d Z Z, ZZ HZ d d d d d d dz Z k k i, k i ZH i co d 95

96 Özel çözüm belirlememiş kataılar ötemile buluur: f( ) f ( ), f ( ), f ( ) Z A B Z A B Z A A B deklemi A( ) ağlaa değerler ; B, A Z d d d Z i co Z d d d d d d i co d co i d d 6 d co i d 6 i i 8, i i d roblem : 6 d deklemii çözüüz. H HOMOJEN ÇÖZÜM: d 6 k 6 k k k, k, k i k i d, ( )( ) kök reel ve kök aa e e i co H Özel çözüm belirlememiş kataılarla buluur. f( ) f ( ), f ( ), f ( ) A B A B A A B deklemi 6( ) ağlaa değerler ; B, A 8 8 e e i co 8 Ugulama -: F Acowt m k Serbet durmakta ola a itemi üzerie m kütleli blok erbet olarak bırakılarak degee gelmei beklemiştir. Daha ora ie zamaa bağlı perodik F o cowt [N] kuvvetile m kütlei harekete zorlamıştır. m kütleii erdeğişimii zamaa bağlı ifadeii buluuz. Not: kütlei ağırlığıda dolaı ilk çökme oraı hareketiz kaldığı dege oktaı oriji oktaı olarak alımıştır. Düşe doğrultu olarak eçilmiştir 96

97 Çözüm : Sitem hareket ve kuvvetler içerdiği içi ewtou. kauu ile problem cözülebilir. Sitemde a kuvveti ve F kuvveti vardır. Ağırlığı daha öce degelediği içi düşüülmedi. F ma, (II.kau) öüdeki hareket içi, d d F ma ma F k, a, V diferaiel deklem d d k F m m m F k, k z m d F z o co m m şeklide diferaiel deklem buluur. Deklemde bağımlı, t ie bağımız değişkelerdir. m ve k abit olduğu içi abit kataılı homeje olmaa diferaiel deklemdir. Bu deklemi geel çözümü homoje ve homoje olmaa çözümleri toplamıda buluur. ( H ) d z HOMOJEN ÇÖZÜM: Homoje diferaiel deklem ie karekteritik deklem k z k zi, k zi şeklide kökler aal olarak buluur. Bua bağlı homeje çözüm şu şekildedir: i zt co zt H ÖZEL ÇÖZÜM: Aa diferaiel deklemi ağ tarafı düzgü fokio olduğu içi özel çözüm ağ tarafa bezetilerek buluabilir. Acak homeje ve özel çözümleri i ve co fokiolarıı içermei özel çözüm öeriii durumuu etkiliecektir. Deklemi ağ o tarafıdaki f () t cowt fokiouu kedii ve türevleri iki fokio (iwt, cowt) m verir. Bu durumda özel çözüm; Ai wt Bco wt olacaktır. Bu çözüm homoje çözüm ile karşılaştırıldığıda lieer bağımız hal olabilir. Bu durumda hal düşüülebilir.. Şaet wz ie lieer bağımız çözüm araacaktır. Bu amaçla öeri lieer değişim- t ile çarpılarak şu şekilde azılır: d Ati wt Btco wt Ai wt Awtco wt Bco wtbwti wt d Awco wt Aw t i wt Bwi wt Bw t co wt d d d d d F,, ve z o co wt ie m m co i i co i co o co wt ( ) Aw wt Aw t wt Bw wt Bw t wt z At wt Bt wt wt m o o o w z Awco wt Bwi wt co wt B, A t i wt m wm wm wz içi geel çözüm ; i zt co zt ti wt wm Bulua o deklem zamaa göre türetilerek iteire kütlei hızı da heaplaabilir: o 97

98 d o o V zco zt zi zt i wt tco wt wm m Tam bir heaplama içi itegral abitleri (, ) bulumalıdır. roblem zamaa bağlı olup başlagıç değer problemidir. Bu işlem içi iki tae başlagıç şartı gerekir. Hareketi başlagıçıda ol alımamıştır ve ilk hız ıfırdır. o t i z co z i w wm o o t V, zco z i w co w wm m Net çözümler : o o o ti wt ve V i co wm wt t wm m wt. Şaet w z ie çözüm daha bait olacaktır. Dolaıı ile homeje ve özel çözüm formları birbirie bezemeecektir. Böle bir halde ie form şu şekilde olacaktır: d d i co co i, i co A wt B wt Aw wt Bw wt Aw t Bw t d d d d d F,, ve z o co wt ie m m o Aw i wt Bw co wt z ( Ai wt B co wt) co wt m o o A( z w ) i wt B( z w ) co wt co wt A, B m m z w o co wt m z ( w ) ie geel çözüm ; ( ) o i zt co zt co wt m z Bulua o deklem zamaa göre türetilerek kütlei hızı da heaplaabilir: d w V zco ztzi zt o i wt m z w ( ) ( w ) Yie et bir heaplama içi itegral abitleri (, ) bulumalıdır. roblem zamaa bağlı olup başlagıç değer problemidir. Bu işlem içi iki tae başlagıç şartı gerekir. Hareketi başlagıçıda ol alımamıştır ve ilk hız ıfırdır. o o t i z co z co w m z w m z w ( ) ( ) w t V, zco z zi z o i w m z o o co zt co wt m z w m z w ( w ) d z o V i zt ( ) ( ) m( z w ) m( z w ) w o i wt 98 Ugulama-: Şekildeki m kütlei ürtümeli zemi üzeride zama bağlı F(t) kuvveti ile alıım hareketie tabii tutulmaktadır. Kütlei ağıa ve olua a ile vikoz elema bağlamıştır. Kütlei hareketii zama bağlı olarak buluuz.

99 V(m/) L F (N) m F(t) Çözüm : roblem bir kietik problemidir.. Newto kauu ile çözülmelidir. Vikoz k elema içeriide hidrolik elema bulua bir makia uzvuu temil etmektedir. Ya kuvveti gibi harekete ter direç medaa getirir. Bu kuvvet literatürde deeel olarak belirlemiş vikoz öüm kataıı () ile kütle hızıı çarpımıa eşittir. Bu durumda kütlee, a kuvveti, vikoz kuvvet, F(t) ve atalet kuvvetleri etkimektedir. Bu kuvvetler Newto u II. Yaaıda erie azılıp düzeleire diferaiel deklem ol ve zama araıda buluur. F ma, (II.kau) öüdeki hareket içi, d d F ma ma F( t) V k, a, V diferaiel deklem d d d d m F() t k m k F() t : Bağımlı, t: bağımız So deklem m, ve k abit olduğu içi abit kataılı homeje olmaa diferaiel deklemdir. Bu deklemi geel çözümü homoje ve homoje olmaa çözümleri toplamıda buluur. H HOMOJEN ÇÖZÜM: o d d o m k ie karekteritik deklem mk k k o olarak buluur..derece bir deklem olup kök değerleri m (kütle), (vikoz öüm kataıı) ve k o (a abiti) ı aıal değerlerie bağlı olarak üç farklı halde olur: mk k ko mko, k k m m kt >, k ve k kökleri reel aıdır, > mk e e kt. o H.., k k kökler eşit lieer bağımız çözüm buluur, m t m <, k ve k kökleri aal aıdır, < mko H e i t co t m m t m mko H ( t) e Özel çözüm bilie ötemlerle F(t) kuvvetii apııa göre belirleir. Ugulama- 99

100 F/ A F L/ L/ O M () L uzuluğudaki çubuk şekilde görüldüğü gibi ve F kuvvetlerii teiri altıdadır. Makimum ehimi (eğilme) vere kritik ükü buluuz. F d M ie d B F/ Çözüm : F M IE Sehimi ().türevi ile atelet mometi (I) ve elatiite modülüü (E) çarpımı eğilmee ede ola eğilme mometii (M) verir. M eğme mometi kuvvetler vaıtaıla heaplaabilir. Çubuk üzeride eğilmei A meetide B e değiştiği içi, M eğilme mometide A da B e değişecektir. Çubuk boutu ile göterilire hem () ve hemde MM() olacaktır. Çubuk üzerideki herhagi bir O oktaıdaki içi M; Bu deklem bağımlı ve bağımız değişkeler taraf tarafa arılıra şu şekilde düzeleir. d F IE d ie d F d F, m m d IE IE IE d I E So deklem homoje olmaa abit kataılı lieer diferaiel deklemdir. Homoje ve homoje olmaa çözümlere ahiptir HOMOJEN ÇÖZÜM: d m d ie k m k mi, k mi co m i m H ÖZEL ÇÖZÜM : Aa diferaiel deklemi ağ tarafı bait fokio olduğu içi özel çözüm buraa bezetilerek bulumalıdır. Sağ taraftaki fokio. derecede poliomdur: A B A,, F F F F m ( A B) A B IE m IE m IE F Geel çözüm: co m i m Bulua çözüm A ve B meetleri araıda geçerli olacaktır. Dolaııla problem geometrik ıırlar ile çözüm alaı daraltılmıştır. Matematik olarak bulua çözümdeki ve abitlerii aıal değerleri buluarak mühedilik çözüme ulaşılmalıdır. Bu amaçla bu ıır değer problemi içi tae ıır şartıa ihtiaç vardır: F Sıır şartları : ) co i

101 L d F F ) ma, i m m co m d L F F mco m L m com F F F i m i ml m co ml m m co Makimum çökme bulmak L/ azılararak buluabilir. ml ml F i( m) i( ) ta( ) F ml ie L F L ma mco( ) ml mco( ) m mak. çökme içi tg(ml/) büük olmalıdır. tg(ml/), co(ml/), m π /L olur. Ugulama : v Mo L Mo Toplam İce L uzuluğudaki çubuk ekeel üküü ve M o eğme mometii etkiidedir. Çubukta medaa gele makimum çökmei ve eğilme mometii heaplaıız. Çözüm : roblemi diferaiel deklemi şu şekilde elde edilebilir: d Öceki problemde M IE d azılabilir. Öceki ve bu problemi farkı ehime-eğilmee ede ola kuvvet erie bir kuvvet ve bir momet olarak değişmiş olmaıır. Şekle göre ve L ( ) Mo edeile de M o lık momet ile çubuk eğilmee zorlamaktadır. Bu durumda bu momet ıır şartı olarak kullaılmak durumudadır. Başka bir ifade ile M o etkiii dekleme aıtılmaı gerekir. Momet eğilmei. türevi olduğuda öceki deklem kere türetilerek okedilir. Bölece ehimi temil ede erie mometi temil ede.türev gelir. Aı zamada.mertebe ola deklem.mertebee çıkacaktır. Yei deklemde erie v azılarak diferaiel deklem şu şekilde buluur. m IE olmak üzere, d v m d d v d şeklidedir.. mertebede homoje lieer diferaiel deklemdir. Dolaııla geel çözüm homoje çözüme eşittir. Karekteritik deklem ie km k şeklide olup homoje çözüm şu şekildedir: k m k k m k k k, k mi, k mi geel çözüm, v com im bu çözüm türetilerek e bağlı momet buluabilir:

102 dv d v M m m im m com, com m im d d IE Bu problemde bir ıır değer problemi olup mühedilik çözümü içi tae ıır şartı gerekir. Bubları taei ehim, taeide momet olacaktır. Sıır şartları: ) v com im, ( ) v com im ( ) coml iml ) L v L( coml ) iml L ( coml ) iml v ( com ) im L Mo Mo ) M M o m com m im IE IEm Mo Mo M coml o ) L M M o coml m iml IE m IEm IE m iml ( coml ) Mo Mo ( ) ( ) coml coml iml iml IEm IE miml L L ( ) M o coml v (co m i m ), IEm i ml M ma ml co ml ml M o (co i ) i ml Örek roblemler , (), ()5. 7, ()-, ()., (), ()7 5. (D )co 6. (D )8-5e 7. (D )co 8. (D D)6e 9. (D -D). --6e. --5e. (D -)8e -. -coi. 775i 5. (D -D) 6. (D -)i 7. (D )co co 9. 5e e -. (D -)e -. e, (), (). 8e co. (), (). ( D ) e ec ta e co

103 . i e co 5. 6i( ) 8co( ) 6. ( D )( D ) co e co i 9. 7e 5. i co 5. 6co( ) 5. 5 e co e i 55. e 56. i co 57. 8e e i e 6. ( D ) 8 6e co() i() 6. ( ) 6 8 D e e 66. ( ) e i ( ) D e i e co co i ( ) co e co 75. 6i( ) 8co( ) 76. ( D ) e i ( ) e co 79. 7e 8. ( D ) ( D ) e 8. 6co( ) 8. ( D)( D ) e e ( ) 5 e D e 86. ( D ) 5 e 87. 8e 88. i ( D )( D ) i 9. 8e 9. 5 e co() i() 9. 5e e 96. ( D ) ( D ) D e e () e ( D ) e >.. i co. e e e. e co i co 6. e e e i co 8. e 7 co 9. e co e i. 6 8 e e. 6 9 e, ( ), (), e p e 6, ( ) 7, () 6.5, e. i, ( ), (), p co. e, e () () 5, p 5. e i, ( ), (), e i p p

104 e 6. () /, () /, e e p e l 7. ıv 5 co, (), () () () 8. 6e, ( ), (), (), 9. ıv 8, () /, () /, (), () 6,. co 5i, ( ), (), (),., ( ), (), (), /. e, ( ) 7, (), () 9,. ıv 9 ih, (), ()., (), () 7.9,., ( ), () 5. 5, ( ), () 6. 7, ( ), () , ( ), () 8. 5co t, ( ) 9, () t, ( ) 5, () 6. e, p e.,. i, p p i. e /, ( ), (), e. 5 e, p e p i, p i.6co 6., ( ) () 8 7. π, ( ), () 8., ( ) A, () 9. 8, ( ), () , ω B ( ), () t 8/ ( ), () 6 / 5 t ( ), (). t ( ), () k k ( ), () k π t () 6 / π, () i t ( ) () i t ( ) () t ( ), () t e ( ), () t 5 5.e ( ). (). ( ), () ( ), () 8 ( ), () ( ), () 6 ( ), () 7 5 e ec l > cot ec ec (l ) > e l > cc < < π / ta < < π / - e > e i e i.,.,.,., 5., 6., 7., 8., 9., 5., 5., 5., 5., 5., 55.,

105 e 7. i 7. e 5e co() i() 77. e 8e 78. 5ih() e 8. 5 e co() 8. 8 e 8. 5i() 85. 8e e i() 88. co() 89. e 9..6i 9. co ıv e 9. e e co 6i.8. Euler -auch diferaiel deklemi E geel halde deklem şu formdadır : d d d d d ( A B) ( A B) ( A B)... ( A B) a ( ) f ( d d d d d ) f() ie homoje olmaa diferaiel deklem olarak iimledirilir. Değişke kataılı bir deklemdir. Homoje olmaa bir deklemi geel çözümü () homoje ( H ) ve homoje olmaa çözüme ( ) bağlı olarak şu şekilde buluur. H Bu deklemi çözümü ABe t değişke döüşümü ile bulua abit kataılı form vaıtaıla elde edilir. t ei bağımız değişke olup ei diferaiel deklemi çözümüle (t) şeklide bir fokio elde edilir. Bu çözüm fokioda tl(ab) azılarak orijial değişkeler ile çözüm elde edilir. Bağımız değişkei t e aktarılmaı eaıda zicirleme türev kuralı kullaılarak okedilir. Aı zamada değişke kataı abit kataı halie döüşür. t d t t AB e ie A e, Ae, d ' d d d d Ae t d Ae t D D d, D d, D d '' d d d d ( ') d ( Ae t d ) d ( Ae t d Ae t d ) Ae t A e t ( D D) ''' d d d d ( '') d ( A e t ( D D)) d A e t ( D D D) 5

106 şeklide itediği kadar işleme devam edilir. Souçta ei diferaiel deklem abit kataılı diferaiel deklem olacaktır. Bu ie bilie metodlarla çözülür. roblem : 8 diferaiel deklemii çözüüz. Çözüm: Deklem homoje olduğu içi olacağıda geel çözüm homoje çözüme eşit olacaktır ( H ). Türev derecei ve i derecei uumlu gittiği içi euler deklemidir. AB e, A ve B e ie t t t d e, t e, d d d td t d d d ' e e D D, D D d d, d d d t d t d t d t t '' ( ') ( e ) ( e e ) e e ( D D ) d d d d d d t t ''' ( '') ( e ( D D)) e ( D D D ) d d d bu değişimler dekleme taşıarak; e D D D e D D e D t t t t t t e ( ) e ( ) e 8 D D D D D D ( ) ( ) 8 ( ) ( )( ) D 8 k 8 k k k k, k i, k i H ( i co ) e e t t, t t ( i l co l ) t e e e l l t l ( i l co l ) roblem : () () diferaiel deklemiii çözümüü buluuz Çözüm: t t d t AB e, A ve B e ie e, e t, d ' d d d d e t d e t D D d, D d '' d d d d ( ') d (e t D) d ( e t d e t d )e t e t ( D D) Bulua değerler deklemde erie azılarak 6

107 t t t t (e ) e ( D D) (e ) e D ( ) ( DD) D D 6 D k 6k k.9, k..9t.t t ( ) e e, e t l.9l( ).l( ) ( ) ( ) e e.9. roblem : 6 6 l diferaiel deklemii çözüüz. Çözüm: Değişke kataılı o-homoje diferaiel deklemdir. H t e ie d e e, t, t d d d td t d d d ' e e D D, D D d d, d d d t d t d t d t t '' ( ') ( e ) ( e e ) e e ( D D ) d d d d d d t t ''' ( '') ( e ( D D)) e ( D D D ) d d d bu değişimler dekleme taşıarak; e e ( D D D) e e ( D D) 6e e D 6 e le te t t t t t t t t t t ( D D D) ( D D) 6D 6 te, H homoje çözüm ( ) ( )( )( ) D 6D D 6 k 6k k 6 k k k k, k, k e e e H t t t t Özel çözüm f () t te ve türevlerie bezetilerek buluabilir: f () t te f () t e te, f () t 8e 6 te A Bt e ( ) t t t t t t A Bt e t t t ( ), ( B A Bt) e, (8B 6A 6 Bt) e ve t (8 6 6 ) e o-homoje diferaiel dekleme taşıarak B A Bt t t t t t ( 8B 6A 6Bt) e 6( 8B 6A 6Bt) e ( B A Bt) e 6 ( A Bt) e te, 8 B 6A 6Bt 8B 96A 96Bt B A Bt 6 A 6Bt t, 8 B 6A 6Bt 8B 96A 96Bt B A Bt 6 A 6Bt t, B6A 6Btt, 6B, B6A taraf tarafa eşleme apılark B ve A buluacaktır. 6 6 ( ) t t t t t e ie geel çözüm e e e ( t ) e 6 6 ter döüşüm apılarak t l azılıra orijial çözüm bulumuş olur. 7 t

108 l l l l ( l ) e e e e, 6 ( l ) 6 roblem : deklemii (), ().5 ve ().75 şartlarıla birlikte çözüüz. Çözüm: Deklem ormalde euler formuu ağlamıor. Buula birlikte deklem taraf tarafa ile çapılıra ugu form elde edilebilir.. bir çözüm olarak deklemi merbei düşürülebilir. ie vea ( ) Z, Z ve Z ie Z Z Z İlk hal tercih edilerek t d t e ie e, t d t e, ' e D, d d e D D t '' ( ) e D D D t ''' ( ) bu değişimler dekleme taşıarak; t t t t t t e e ( D D D) e e ( D D) e e D ( D D D) ( D D) D, H ( D D) k k k( k ) k, k, k t t l l e e e e, ie (I) ie.5 ' /.5, - (II) ie -.75 '' 5 / /.75, - -7 (III) I, II ve III olu deklemler çözülerek, -, ve buluur. Geel çözüm,.8. Kuvvet Serileri ile Diferaiel Deklem Çözümü E geel halde deklem şu formdadır: d d d d d a( ) a( ) a ( )... a ( ) a ( ) a( ) f( ) d d d d d f() ie homoje olmaa diferaiel deklem olarak iimledirilir. a () kataıları bağımız değişkee bağlı poliom foioel apılardır. Eğer a () trigoometrik, epolaiel vea logaritmik bir fokio ie çözüm mümkü olmaabilir. Homoje 8

109 olmaa bir deklemi geel çözümü () homoje ( H ) ve homoje olmaa çözüme ( Ö ) bağlı olarak şu şekilde buluur. H Ö Bu tür deklemlerde özel çözümü bulumaı çok zor olabilmektedir. Sabit kataılı deklemlerde olduğu gibi özel çözüm, a homoje çözüme ada homoje olmaa kımı götere f() fokioua bağlı olarak buluabilir. Geellikle, f() fokiouu eri açılımı alımada çözüm üretmek zordur. Homeje kıımlarıı çözümü ie kuvvet erileri vaıtaıla buluabilir. Kuvvet erii bağımlı ve bağımız değişkeler araıda olup, oriji oktaı vea eri merkezi içi içi şu şekildedir () Bu çözüm tekiğide diferaiel deklemi çözümüü bir. derecede poliom olduğu kabul edilir. Amaç, öerile çözümü aa diferaiel deklemi ağlamaı preibie bağlı olarak kataılarıı belirlemektir. Bu amaçla erii gerekli ola aıda türevi alıarak aa diferaiel dekleme taşıır. Çözüm oraıda elde edile apıda geellikle ie bir eridir. Çok az olarak belirli fokioları erileri elde edilebilir. Seri ouza kadar gide bir toplamı temil etmektedir. Bu edele pratik olmaı bakımıda ilk üç beş terimde oraki kıımlar ihmal edilebilmelidir. Buu apabilmek içide erii akıak bir eri olmaı gerekir. Eğer eri ırakak ie buluacak çözümü pratik öde bir ehemieti oktur. Mühedilikte geellikle heaplamalar. mertebe diferaiel deklemler üzeride uguladığı içi burada da. mertebe içi gerekli tekikler verilecektir.. mertebe bir deklem ie şu şekilde geelleştirilebilir. p () p ()f() () p () ve p () fokioları bütü değerleri içi taımlı olmaı halide () deklem ile taımlaa eri formu ile çözüm üretilebilir. () formu ile medaa getirile çözüm tekiği adi oktalar civarıda çözüm olarak iimledirilir. Eğer belirli değerleri içi taımızlık mevcut ie erii aşağıdaki formu kullaılmalıdır. r () Çözüm ahaıı merkezi vea beklee eri çözüm merkezi ıfırda farklı ie ukarıdaki eriler civarıda düşüülmelidir. Bu durumda ei formlar şu şekilde olur: ( ) ve r ( ) () Burada r bir reel vea imajier aıdır. Bu tür çözümede akırı oktalar civarıda çözüm deir. Akırı oktalar civarıda çözümde. mertebe bir deklem içi iki tae r kökü bulumalıdır. Bu r köklerii durumua göre homoje çözümler şu şekilde olacaktır. 9

110 r r I - r r ie r r II- r r r ie, ve l( ), Bulara ilave olarak buluacak kök değerlerii farkıı (r -r ) tamaı olduğu durumlarda (I) ile öerilecek çözüm ıır ve başlagıç ve ıır şartlarıı ağlamaabilir. Bu durumlarda (II) ile verile durum kullaılabilir. roblem : ( ) diferaiel deklemii civarıda çözüüz. Çözüm : p () ve p () bütü oktaları içi taımlıdır. Bu durumda adi oktalar civarıda çözüm aramalıdır., ' ve erii kedii ve türevleri diferaiel dekleme taşıır. '' ( ) ( ) ( ) So ifedede diferaiel apı kabolmuştur acak et bir çözüm fokiou mevcut değildir.. mertebe bir diferaiel ifade içi iki tae itegral abiti olmaı eterlidir. Bu edele o ifadedeki ouz tae abiti aıı ikie idirgemelidir. ( ) ( ) ( ) (I) (II) (III) leri okedilmei vea birbirlerie göre değişimlerii e olduğuu alamak içi ve etice olarak aııı diferaiel deklem mertebeie idirgemei içi ol tarafı ıfır olmaı gerekir. Bu form ile üç arı eri ıfıra eşitlemelidir. Fakat bu durumda I.erii ıfır olmaıı ağlaa değerleri II. ve III.erileri ıfır olmaıı ağlamaacaktır. Aı şekilde II.erii ıfır olmaıı ağlaa değerleri diğerlerii ıfırlamaacaktır. Bu durumda ie öerile çözümü diferaiel deklemi ağlamaı preibi buluamaacaktır. Eğer o ifadede üç eri bir eri halie getirilebilire çözüm medaa getirilebilir. Vea üç erii açılımları azılarak aı kataıı altıda toplaır. olacağı içi i kataıları çözümü tamamlamaı bakımıda ıfırlaır. Bölece ler araıda bir korelao oluşturulabilir. İlk terimler içi üç eri açılıra; o o elde edilir. Deklemi ağ tarafı ıfırdır. Sol tarafı ıfır olmaı, ai öerile eri apıı diferaiel deklemi ağlamaı içi,

111 abitler toplamı ıfır olmalıdır : o ie - kataıı ıfır olmalıdır : 6 ie - / kataıı ıfır olmalıdır : ie / kataıı ıfır olmalıdır : 5 5 ie 5 / kataıı ıfır olmalıdır : 6 6 ie 6 - /6 5 kataıı ıfır olmalıdır : ie 7 - /68 bu şekide işlem iteildiği kadar apılır. Amaç c ler araıdaki korelaou belirlemektir. Yukarıı aaliz edilecek olura bütü c değerleri c ce c bağlı olarak buluduğuda ouçta adece iki tae abit kalacaktır. Bu abitler itegral abiti olup ıır ve başlagıç şartlarıla buluabilir. Souçta çözüm şu şekildedir: o ( - / - 6 /6...) ( - / 5 / - 7 /68...) Souca dikkat edilire erii ilk terimleri ele alımıştır. Dolaııla daha oraki terimler mutlaka mühedilik açııda ihmal edilir büüklükte olmalıdır. Çözüm erii akıak bir eri olmalıdır. Yukarıdaki çözüm şekli bait fakat, daha fazla terim içi açılımı zaruri olmaı halide ugu olmaa bir tekiktir. Aı problem aşağıdaki olla daha matematikel ve geel bir form ile çözüm verebilir. ( ) ( ) (I) (II) (III) Üç eri bir Σ işareti altıda toplamalıdır. Buu apılabilmei içi erii başlagıç değerleri ve değişkeii ütleri aı olmalıdır. Çözümü o halide, başlagıç değerleri aı olmaıa rağme üleri eşit değildir. Bu eşitlik şu şekilde ağlaır: Serii birii refera şeçilerek diğerleri bua bezetilir. I.eri refera eçilire, m k ( ) ( k )( k ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) m m k m -k m- k ie So ifadede, m ve k fokio olarak adece birer göterim emboludurlar. Yai bir iimledirme olup m ve k ı tekrar şeklide iimledirilmei bir hata olmaz. Öemli ola taşıdığı aıal değerlerdir. m ve k e döüştürülüre, (I) (II) (III) Yei halde değişkei ütleri eşitlemiştir. Fakat, ei halde erii başlagıç değerleri farklı hale gelmiştir. Başlagıç değerlerii aı olmaı içi üç eri, e ükek başlagıç değerie kadar açılır. E ükek değer olduğua göre I ve III e kadar açılıra aşağıdaki form buluur: k

112 o 6 ( o ) (6 ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) Diferaiel deklemi ağlamaı içi, abitler toplamı ıfır olmalıdır: o ie - kataıı ıfır olmalıdır : 6 ie - / Gerie kala eriler üleri ve eri başlagıç oktaları aı olduğu içi bir Σ işareti altıda toplaabilir: [ ] - ( )( ) ( ) Diferaiel deklemi çözümü ağlamaı içi olacağı içi köşeli paratez içeriideki ifade ıfır olmalıdır. Bu ifade içi geçerlidir. Bu ifadede e ükek idili çekilire aşağıdaki apı elde edilir, [ ( )( ) ( ) ] ie - ( ) - ( ) ( )( ) Bu aşamada ora i değişik değerleri içi değerleri araıda korelao buluur. ie ie ie 5 ie ( / ) 5 6( / ) 6 6 7( / ) / roblem : ( )e diferaiel deklemii civarıda çözüüz. Çözüm : Verile deklem homoje olmaa diferaiel deklemdir. Bu edele adece homeje kımı düşüülerek çözüm aramamalıdır. Homoje olmaa çözüm ie a abitleri değişimi metodu ile ada ağ taraftaki fokioda akıak olmak şartıla erie açılıp işleme dahil edilebilir. Bu edele ağ taraftaki e fokiou erie açılmalıdır. p () ve p ()- bütü oktaları içi taımlıdır. Bu durumda adi oktalar civarıda çözüm aramalıdır., ' ve '' ( ) erii kedii ve türevleri diferaiel dekleme taşıır. Daha öceki bölümlerde e i civarıda eri açılımı bulumuştu, 5 6 e...!!! 5! 6!!

113 ( ) ( ) 5!!! 5! 6! 6... So ifedede diferaiel apı kabolmuştur, acak et bir çözüm fokiou mevcut değildir.. mertebe bir diferaiel ifade içi iki tae itegral abiti olmaı eterlidir. Bu edele o ifadedeki ouz tae abiti ikie idirgemelidir. ( ) 5!!! 5! 6! 6... leri okedilmei vea birbirlerie göre değişimlerii e olduğuu alamak içi ilk vee 5 tae değeri içi eri açılımı apılır. Daha ora çözümü diferaiel deklemi ağlamı preibi gereği kataılar taraf tarafa eşitleir. - o o !!! 5! 6! abitler iki taraf içi eşit olmalıdır: - o ie ( )/ kataıı iki taraf içi eşit olmalıdır : - 6 ie (- ) /6 kataıı iki taraf içi eşit olmalıdır : - ie ( - )/!! ( - ( )/ )/( - // )/(- )/!! kataıı iki taraf içi eşit olmalıdır : - 5 ie 5 ( - )/!! 5 ( (- ) /6-( )/ )/((- )-( ) )/( - -)/! kataıı iki taraf içi eşit olmalıdır : - 6 ie 6 ( ) /!! 6 ( (- )/ (- )/6) /((- ) (- ) ) /7(-6 5 -)/7! 5 kataıı iki taraf içi eşit olmalıdır : ! ie 7 ( 5 - ) / 5! 7 ( ( - -) )/-(- )/) /(( - -)-5(- )) /5 5! (- -9 -) /5 bu şekilde işlem iteildiği kadar apılır. Amaç ler araıdaki korelaou belirlemektir. Yukarıı aaliz edilecek olura bütü değerleri ce bağlı olarak buluduğuda ouçta adece iki tae abit kalacaktır. Bu abitler itegral abiti olup ıır ve başlagıç şartlarıla buluabilir. Souçta ukarıda bulua değerleri erie taşıarak çözüm şu şekilde buluur: o o ( ) /(- ) /6(- ) /( - -) 5 /

114 (-6 5 -) 6 /7(- -9 -) 7 /5... ( /- /6 /- 5 /5 6 /7-9 7 /5...) ( /6- / 5 /- 6 6 /7 7 /5...) / /6 /- 5 /- 6 /7-7 /5... Souca dikkat edilire erii ilk terimleri ele alımıştır. Dolaııla daha oraki terimler mutlaka mühedilik açııda ihmal edilir büüklükte olmalıdır. Çözüm erii akıak bir eri olmalıdır. Yukarıdaki çözüm şekli bait fakat, daha fazla terim içi açılımı zaruri olmaı halide ugu olmaa bir tekiktir. Aı problem aşağıdaki olla daha matematikel ve geel bir form ile çözüm verebilir. ) (! e (I) (II) (III) Üç eri bir Σ işareti altıda toplamalıdır. Buu apılabilmei içi erii başlagıç değerleri ve değişkeii ütleri aı olmalıdır. Çözümü o halide, başlagıç değerleri aı olmaıa rağme üleri eşit değildir. Bu eşitlik şu şekilde ağlaır: Serii birii refera şeçilerek diğerleri bua bezetilir. I.eri refera eçilire, ) (! m -k m- k ie ) )( ( k k k m m m k k! So ifadede, m ve k fokio olarak adece birer göterim emboludurlar. Yai bir iimledirme olup m ve k ı tekrar şeklide iimledirilmei bir hata olmaz. Öemli ola taşıdığı aıal değerlerdir. m ve k e döüştürülüre, ) )( (! (I) (II) (III) Yei halde değişkei ütleri eşitliği her iki tarafı içide eşitlemiştir. Fakat, ei halde erii başlagıç değerleri farklı hale gelmiştir. Başlagıç değerlerii aı olmaı içi üç eri, e ükek başlagıç değerie kadar açılır. E ükek eri başlagıç değeri değer olduğua göre I, II ve III olu eriler e kadar açılıra aşağıdaki form buluur: ) )( ( ) (! Diferaiel deklemi ağlamaı içi, abitler toplamı ıfır olmalıdır: - o ie ( )/ Gerie kala eriler üleri ve eri başlagıç oktaları aı olduğu içi bir Σ işareti altıda toplaabilir: [ ] -! ) )( (

115 Diferaiel deklemi çözümü ağlamaı içi olacağı içi köşeli paratez içeriideki ifade ıfır olmalıdır. Bu ifade içi geçerlidir. Bu ifadede e ükek idili çekilire aşağıdaki apı elde edilir, [ ] -! ) )( ( ie ) )( (! - ( ) Bu aşamada ora i değişik değerleri içi değerleri araıda korelao buluur. ie 6 ie / ) ( ie! 5 ) ( 6 ) ( 6 ie! ) ( ) ( roblem : deklemii (), ().5 ve ().75 şartlarıla birlikte çözüüz. Not: Bu örek daha öce euler-cauch deklemi olarak problem- de çözüldü. Çözüm : Verile deklemi mertebei düşürülebilir. Z, Z ve Z ie Z Z Z Bulua o deklem e bölüerek p ()/ ve p ()/( ) olarak düzeleire bu fokioları oktaıda ouza gittiği görülecektir. Bu durumda akırı oktalar civarıda çözüm aramalıdır. r Z, ve ) ( ' r r Z ) )( ( ' ' r r r Z erii kedii ve türevleri diferaiel dekleme taşıır. ) )( ( ) ( r r r r r r So ifedede diferaiel apı kabolmuştur acak et bir çözüm fokiou mevcut değildir.. mertebe bir diferaiel ifade içi iki tae itegral abiti olmaı eterlidir. Bu edele o ifadedeki ouz tae abiti ikie idirgemelidir. Bu amaçla tüm ifade bir toplam içeriie alımalıdır. ) )( ( ) ( r r r r r r 5

116 r [ ( r)( r ) ( r) ] İlk terimler içi ukarıdaki ifade açılıra; [r(r-)r] r [(r)r(r)] r [(r)(r)(r)] r [(r)(r)(r)] r [(r)(r)(r5)] r... Çözüm içi i kataıları, deklemi ağ tarafı ıfır olduğu içi, ıfır olmalıdır. r i kataıı ıfır olmalıdır: [r(r -)r] o olmalıdır. Burada paretez içerii ada ıfıra eşitleir. Çözüm içi olmalıdır. Aki halde bua bağlı olarak buluacak tüm değerleride ıfır olabilir. Bu ie çözümüzlük demektir. Bu durumda paretez içeriideki ifade ıfır olmalıdır. r(r -)r, r 8r Bu ifade ie. derece bir poliomdur ve ıfır apa iki tae r değeri vardır. Bular r -/ ve r -/ dir. Bu iki kök reel aı olup Z c Z c Z formuda olmalıdır. r kökü içi ie r kökü içi bulua çözümlerdir. r -/ içi çözüm : Z ( ) ukarıda erie açılmış o ifadede r erie -/ azılırak aşağıdaki ifade buluur:. r [(-/)r(-/)] r [(-/)(-/)(-/)] r [(-/)(-/)(-/)] r [(-/)(-/)(-/5)] r... İlk terim ıfırdır. Diğer terimlerde ıfırlaarak çözüm tamamlaır. Diğer terimlerde paratez içeriideki terimleri ıfır olmaı mümkü değildir. Bu edele çözümü ağlamaı içi... olmalıdır. Z / ( ) [ o ] -/ Z ( ) -/ r -/ içi çözüm : Z ( ) / ukarıda erie açılmış o ifadede r- azılırak aşağıdaki ifade buluur:. r [(-/)r(-/)] r [(-/)(-/)(-/)] r [(-/)(-/)(-/)] r [(-/)(-/)(-/5)] r... İlk terim ıfırdır. Yukarıda olduğu gibi paratez içerileri ıfır olamaz. Dolaııla çözümü ağlamaı içi... olmalıdır. Z ( ) [ o ] -/ Z ( ) -/ 6

117 Her iki çözümdede tüm ler abitie bağlı çıkmıştır. İki çözümdeki ları karışmamaı içi ikiciideki * olarak değiştirilire geel çözüm şu şekilde azılır: Z -/ * -/ ie d ( / * / * ) d / / - ve * şeklide abitler değiştirilire, roblem : ( 5) diferaiel deklemii çözüüz. Çözüm : Tüm deklem taraf tarafa ile bölüerek, p ()/() ve p ()( - 5)/( ) olarak düzeleire bu fokioları oktaıda ouza gittiği görülecektir. Bu durumda akırı oktalar civarıda çözüm aramalıdır. r r, ' ( r) ve erii kedii ve türevleri diferaiel dekleme taşıır. '' ( r)( r) r r r ( 5) ( r) ( r)( r) r r ( r)( r) ( r) 5 r So ifedede diferaiel apı kabolmuştur acak et bir çözüm fokiou mevcut değildir.. mertebe bir diferaiel ifade içi iki tae itegral abiti olmaı eterlidir. Bu edele o ifadedeki ouz tae abiti ikie idirgemelidir. [ ] r r ( r)( r ) 5 [ ] İlk terimler içi ukarıdaki ifade açılıra; [r(r-)-5] r [(r)(r-)-5] r [(r)(r)-5] r [(r)(r)-5] r [(r)(r5)-5] r [(r5)(r7)-5] 5 5r... o r r r r r5 5 r6... Çözüm içi i kataıları, deklemi ağ tarafı ıfır olduğu içi, ıfır olmalıdır. r i kataıı ıfır olmalıdır: [r(r -)-5] o olmalıdır. Burada paretez içerii ada ıfıra eşitleir. Çözüm içi olmalıdır. Aki halde bua bağlı olarak buluacak tüm değerleride ıfır olabilir. Bu ie çözümüzlük demektir. Bu durumda paretez içeriideki ifade ıfır olmalıdır. r(r -)-r-5, r -r-5 Bu ifade ie. derece bir poliomdur ve ıfır apa iki tae r değeri vardır. Bular r.5 ve r - dir. Bu iki kök reel aı olup c c formuda olmalıdır. r kökü içi ie r kökü içi bulua çözümlerdir. r.5 içi çözüm : ( ).5 7

118 ukarıda erie açılmış o ifadede r erie.5 azılırak aşağıdaki ifade buluur: o r İlk terim ıfırdır. Diğer terimlerde ıfırlaarak çözüm tamamlaır..5 i kataıı ıfır olmalıdır -9 ie /9.5 i kataıı ıfır olmalıdır ie - /- /98.5 i kataıı ıfır olmalıdır 9 ie - /9 /77.5 ( ) [ o ].5 ( ) [ /9 - /98 /77... ].5 r - içi çözüm : ( ) ukarıda erie açılmış o ifadede r- azılırak aşağıdaki ifade buluur:. r -5 r -6 r -7 r r 5 5r... o r r r r r5 5 r6... İlk terim ıfırdır. Diğer terimlerde ıfırlaarak çözüm tamamlaır. X r i kataıı ıfır olmalıdır -5 ie /5 X r i kataıı ıfır olmalıdır -6 ie /6- / X r i kataıı ıfır olmalıdır -7 ie /7- / X r i kataıı ıfır olmalıdır ie - / /8 ( ) [ o ] - ( ) [ /5 - /- / /8... ] - Her iki çözümdede tüm ler abitie bağlı çıkmıştır. İki çözümdeki ları karışmamaı içi ikiciideki * olarak değiştirilire geel çözüm şu şekilde azılır: ( /9 - /98 /77...).5 * ( /5 - / /...) - roblem 5: (-) (-) diferaiel deklemii civarıda çözüüz. Çözüm : Tüm deklem taraf tarafa (-) ile bölüerek, p ()(-)/[(-)] ve p ()/[(-)] olarak düzeleire bu fokioları ve oktalarıda ouza gittiği görülecektir. Bu durumda akırı oktalar civarıda çözüm aramalıdır. r r, ' ( r) ve '' ( r)( r) r erii kedii ve türevleri diferaiel dekleme taşıır. r ( ) ( r) r [ ( r) ( r)( r )] ( ) r 8 ( r)( r ) r [ ( r)( r ) ( r)] r

119 r r [ r ( r r) ] ( r) r m r [ r ( r r) ] ( m r) m m r r [ r ( r r) ] ( r) r r [ ( r r r ) ( r ) ] r Öerile çözümü diferaiel deklemi ağlamaı preibie göre o deklemdeki iki ifadei ıfır olmaı gerekir.. ifadede değişke olduğu içi r- ve daha oraki değerleriide ıfır olmaıa ede olabileceği içi olmak zorudadır. Bu durumda r olacaktır. r ie r r ie kökler eşittir. Bu edele ukarıda verile (II) hal ile çözüm buluacaktır. Yie çözümü olabilmei içi köşeli paratez içeriideki abit ifadeler grubu ıfır olmalıdır. [( r r r ) ( r ) ], r ie [( ) ( ) ] ie [( ) ( ) ] So ifadede buluacaktır. Bölece. ve. çözümler şu şekilde olacaktır. o... ie ( ) [ ] ( ) l l[ ] * l Daha öce verile Talor erii ardımıla [ ](-) olduğu görülecektir. Bölece geel çözüm şu şekilde olur: * ( Örek roblemler : l ) Aşağıdaki örek problemlerde. ve. deklemler BESSEL DİFERANSİYEL DENKLEMİ olarak biliir. Silidirik koordiatlardaki kımi diferaiel deklemleri çözüm aşamaıda karşımıza çıka adi diferaiel deklemlerde bir taeidir. ve bir abit olup deklemi iimledirilmeide rol oar. ie. tip beel diferaiel deklemi, ie. tip beel diferaiel deklemi gibi diferaiel dekler iimledirilir. olu deklem ie LEGENDRE DİFERANSİYEL DENKLEMİ olarak imledirilir. Küreel koordiatlardaki kımi difreaiel deklem 9 çözümü aşamaıda karşımıza çıkar. Iı traferi, akışkalar mekaiği gibi değişik proplemlerii çözümüde kullaıldığı gibi bu diferaiel deklemleri çözümüde üretile Beel vea Legedre Fokioları değişik amaçlar içide kullaılır. Örek olarak ümerik çözümlerde iki ümerik okta araıdaki değişimleri fokioel olarak taımlamaıda kullaılır.. ( ), abit (), abit. ( ). ( )

120 . ( λ v ) 5 9. ( ) ( λ z) 5. ( z). ( ) ( ) ( ) ( z) 6. ( ) ( ) 7. ( ) ( u ) ( ) ( u, z ) 8. ( ) 9. ( ) 9. v ( v) v ( v ) v v ( u, z ). ( 6). ( 5 9).. ( ) ( 8 9). ( ) ( u, z ). ( ). (), () 5. ( ). 6. ( ) (), () ()5, ()8 8.. (), () 9. ( ) (), (). ( ) ( 7) (), ().. ( ) ( ) 7. ( ) ( 6) ( 8) 6. ( ). ( ) 7. 8 ( ). ( ) ( ) Laplace Döüşümlerile Diferaiel Deklem Çözümü Matematikte çeşitli traformaolar ile çözümü zor vea mümkü olmaa apılar vea değişkeler ei apılar vea değişkelere döüştürülür. Burada amaç işlemleri daha bait vea çözülebilir olduğu formlar elde etmektir. Bir evi değişke döüşümü olarak da görülebilir. Bu tür döüşümlerde geellikle bazı traformao deklemleri kullaılır. Bu deklemler hem eki değişkeleri hemde ei değişkeleri içerir. Gerekli işlemlerde ora elde edile ei form üzeride arzu edile işlemler apılarak, elde edile o etice ter traformaola orijial hale döülür. Özellikle diferaiel deklemleri çözülmei bakımıda e çok kullaıla traformao türleride biride LALAE DÖNÜŞÜMLERİ dir. Özellikle birim baamak fokiou, delta fokiou, tep fokiou gibi adi maada türetilemee ürekiz fokioları laplace ortamıda ürekli ve türevleebilir bir karşılığı vardır. Daha öce abit kataılı homoje olmaa lieer

121 diferaiel deklem olarak görüle deklemleri çözümüde ıkca kullaıla bu traformaou döüşüm deklemi şu şekildedir: d vea F() f() e lim F() f() e d Burada f() ve eki, YF() ve ie ei bağımlı ve bağımız değişkelerdir. Yai ve F laplace değişkeidir. Dikkat edilire ukarıdaki ifade bir geelleştirilmiş itegral olup ıırlarıı biri ouza gitmektedir. Bu açıda herhagi bir fokiou laplace formua döüştürülmei halide bir belirizlik olura limit ile elde edile çözüm taımlı hale getirilebilir. Diferaiel deklem çözümü içi diferaiel ifadeleride laplace karşılıklarıı bilimei gerekir. Bu ifade ie şu şekildedir. d d Y() Bu delemdeki değerleri bizim daha öce bildiğimiz itegral abitleri olup, ie diferaiel ifadei mertebeidir. Yukarıdaki döüşüm deklemlerile bir diferaiel deklem Y() F() şeklide laplace formua döüştürülür. Bu ei ifadede diferaiel d operatörü olmaacaktır. Dolaııla diferaiel deklem laplace formua diferaieli alımış olarak geçer. Yai bizim ortamımızdaki diferaiel ifadei Laplace ortamıda türev vea diferaiel boutu okolur. Elde edile laplace formatıdaki ei ifade geellikle poliom foioları bölümü vea çarpımı formuda olurlar. Bu poliomik apı daha ora bait keirlerie arılarak ter laplace döüşümleri ugulaır....fokioları Laplace Formua Döüştürülmei Bilie değişkeleri, foioları ve diferaiel ifadeleri laplace ortamıa aıl aktarıldığıı bilimei, elimizdeki fokioları laplace karşılıklarıı elde edilmei öemlidir. Bu oktada, aşağıdaki fokioları laplace karşılıklarıı bulumaı icelemelidir: ) f()e a F()? a (a) (a) ie >a F() e e d e d e a a a F() (e e ) <a taımızlık mevcuttur. Acak bu durum i oriji oktaıı a da daha büük alımaıla halledilebilir. ) f() A: bt F()? A A - F() Ae d e ( (e e ) A ) f() F()? F() e d U d du, e d dν ν e

122 F() e e d e e F() ( e e ) (e e ) F() - ( ) olduğuda taımızlık mevcuttur. Taımlı hale getirmek içi taımızlığa ede ola kımı limiti alıır. Limit işlemleride hopital kuralı ugulaabilir. lim ( e ) lim ( ) e lim e ) ie F() ) f() Sia F()? F() e Siad Sia U aoad du ve e d dν ν F() e Sia e aoad e oa U asiaddu, e d dν ν e a F() e Sia ( e oa e asiad ) a a e Sia e oa e Siad F() e Siad ie 5) f() F()? a a F()( ) e Sia e oa a a F() e Sia e oa F() ie a e a F()( )( Sia ) ( a a F() ( ) e d e d e d 6) f()e ( ) F()? F() e e d e d Bu problem > içi olu probleme bezetilebilir.

123 f() e e ( ) f() F ( ) f()e F ( ) ( ) f() fokiou iki arı bilie fokioları çarpımı şeklide ie aşağıdaki deklem ardımıla laplace döüşümü daha rahat buluur. d L ( f ( )) ( ) ( F ( ))L f())() d 7) f()e göz öüe alımaz ie e i laplacei f()e d F()( ) ( ) ( ) d ( ) 8) f()ia F()? a d L( Sia) L( Sia) F( ) ( ) ( a d a F() dür. a a ) ( a ) 9) f()e Si F()? f() e F() f ( ) e Si F( ) ( ) ( ) d f ( ) e Si F( ) ( ) ( d ( ) ) ( ) ( ( ) ) d ) f() '' F()? d Kımi itegrao ile çözüm aramalıdır. Diferaiellik itegral ile giderilebildiği içi dv d tercih edilmelidir. F() e ''d, e u du F() 'e e 'd, e u du F() 'e (e e d) e d, dv ' ' d v ' e d, dv ' d v 'e e e d F() '() () e d Y '() () Y () ve () ı itegral abiti olarak düşüülmei mümküdür. Buula birlikte daki ıır ve başlagıç şartlarıı kullaılabilmei açııda

124 itegral abiti döüşümüe gerek oktur. Sıır ve başlagıç şartları da verilmemiş ie itegral abitli apı tercih edilmelidir. Bezer şekilde belirli bazı fokioları laplace karşılıkları buluarak bir takip ede afada tablo halide verilmiştir. Bu tablo değerleri kullaılarak dif. deklem çözümü gerçekleştirilecektir..9. Laplace Döüşümleri ve Diferaiel Deklem Çözümleri d roblem-: e diferaiel deklemii çözüüz.(laplace döüşümü kullaarak) d L( ) Y( ) d L( ) L( ) L( e d ) L d ( ) Y( ) c c (Tabloda alıdı) d Le ( ) c c c c Y( ) c c Y( ) Y( ) ( )( ) Buda ora eşitliği ağ tarafı bait keirlere arılmalıdır. A B c c c c olmalıdır. ( )( ) ( B ) ( ( ) A( )( ) ) c c c c ( )( ) B B A ( )( ) A c c c c ( )( ) ( A B) (B ) A c (c c) c ( )( ) ( )( ) 'i kataıları her iki taraf içide birbirie eşit olmalıdır. Bölece; ABc Bc c Ac ie A, Bc bt, c bt 5 5 B Y() B 5 5 e o Si,, B ve itegral abitleri e Bo Si 5

125 Tablo: Laplace Döüşüm Formulleri f() YF() f() YF() A:abit A oa ( a ) Sih(a) a ( a ) - (-)!,,,, oh(a) ( a ) π π / Sia a ( a ) oa ( a ) ( a ) / (**5* ()* / )/ e b oa (-b) (-b) a e a a - e a ( ) ( a)! e b Sia -coa a (-b) a a ( a ) b a ( e e ) a b ( a)( b) b a ( ae be ) a b ( a)( b), a b, a b Sia a ( a ) d L ( f ( )) ( ) ( F ( ))L f())(-) d d Y()... d d ( ) ( ) Y() () ()... () () d 5

126 roblem-: d d d 5 ot diferaiel deklemii çözüüz.(laplace döüşümü kullaarak) L d L( d ) Y c ( ) Y c c c L( d LYt ( ( )) Y ( ) ) Y c c Lot ( ) Yc c c ( Yc c) 5( Y c) Y ( 5 ) Y c c c ( c c ) 5( c) ( 5 ) Y c c c c c 5c Burada Y çekilire; ( 5 ) ( )( ) ie Y ( ) ( )( )( ) ( 5) c ( ) c ( )( ) c I ( )( )( ), II ( 5) c ( ) c ( )( ) c I i çözümü (Bait Keirlere Arılmaı) A B D E ( ) ( )( )( ) (A B)( 5 ) ( )( ) D( )( )( ) E( )( ) Deklemler açılıp kataılar eşitleire, (A D) Eşitlikler çözülüre, A, B,, D5, E 5 buluur. 5 5 Y() ( ) (A D E B) (5A D E B) (A D E 5B) 6 (B D E) 6

127 L Y L L L L L 5 5 ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) Y t ot S e e te t t t 5 5 () it II olu eşitlikte bezer şekilde çözülüre, t t c t t t t Y (t) c e (c c t)e,o halde Y(t)-cotit(c )e (5 5t (5 5t c c t)e Y(t) cot it c e (c c t)e buluur. roblem-: k d d deklemii şartlarıla çözüüz.(laplace döüşümü kullaarak) ()'()''() ve '''() Sıır şartları verildiği içi diferaiel formatı laplace karşılığı alıırke türevli olaı alımalıdır. Bölece ıır ve başlagıç şartları bu aşamada uguladığı içi daha oraki işlem azalacaktır. ) ( )) ( ( '''() ''() '() () ) ( Y k k L Y Y d d L bu döüşümler dekleme taşııp Y çekilir ve bait keirlerie arılıra, ) )( ( k k k k k k Y Y k Y ) ( k k L k k L k Y L ] i ) ( [ ) ( k k Sih k roblem-: d d d d diferaiel deklemii () ve () şartlarıla çözüüz.(laplace döüşümü kullaarak) Sıır şartları verildiği içi diferaiel formatı laplace karşılığı alıırke türevli halli olaı alımalıdır. Bölece ıır ve başlagıç şartları bu aşamada uguladığı içi daha oraki işlem azalacaktır. ) ( ), ( )) ( ( () ) ( '() () ) ( L Y L Y Y d d L Y Y d d L bu döüşümler dekleme taşııp Y çekilir ve bait keirlerie arılıra, ) )( ( ) ( D B A Y Y Y Y 7

128 L ( Y ) L ( ) L ( ) L L ie ( ) e e Ugulama-: m kütleii erbet haldeki alar itemi üzerie bırakılmaı durumuda kütlei erdeğişimii zamaa bağlı olarak buluuz. m o k k F ma, (II.kau) öüdeki hareket içi, d F ma ma mg ( k k), a, V diferaiel deklem d m d w ( k k ) m d ( k k) w Lm d ( ) m( X( ) c c) w Lw ( ) ie m ( X c c) ( k k) X L(( k k ) ) ( k k ) X( ) X w cm cm m ( k k) m k k ( I ) ( II ) I w m ( k k) cm cm II m k k w I i çözümü w m ( k k) A B m k k Am B ve A(k k )w ie ie mw B k k A k A(m k k )(B)w buluur. w k buluur. 8

129 X k k m w w L ( XI ) L ( ) L ( k k k k X X I I I w w k k k k k k m w t k k L w k k L () ( ) ( ) k k m w t k k L w k k L () ( ) ( k k w w k X I ( t) co k k II i çözümü; X c k k k m k k m cm cm m k k c k k m m ) ) c c k k m L ( XII ) cl ( ) cl k k ( ) k k m m k k X t c m t c k k II () co 'i m c II ' k c k m X() t X () t X () t I II k k X() t c m t c co i k k m t w k k Başlagıç Şartları t. t X. t V d k k c k k m m t c k k k k i( ) m m t co( ) Geel çözüm buluur. 9

130 c. c. w c. k k w k k w k k c k k co( m t ) t m ( k k ). π Ugulama-: w l h Amartiör Düzgü olmaa ol Arabadaki amartiör itemleri şekildeki gibi hidrolik ve a elemalarıda medaa medaa gelmektedir. Bir çukur vea tepeciğe arabaı çarpmaı halide araba gövdeide medaa gele zıplamaı zamaa bağlı buluuz. Çözüm: Burada tekrar h deriliğideki bir çukura düşere l meafei uzaacaktır. Akabide h tekrar ıkışacağıa l meafei ilk halide daha kıa hale gelecektir.bu edele ai çözümler üretilmelidir. Düşüp çıkışlar öüde de hareket ede olacaktır. ve birlikte aaliz edilmelidir. öüdeki zıplamalar, vizkoz elema ve a tarafıda emilerek zama içeriide ok edilecektir. Bu ok etme işlemii umuşak olmaı amaotiör itemii kaliteii ve aracı koforuu artıracaktır. Heaplamalarda olabilecek makimum çukur ve tepe ele alıarak diza apılabilir.

131 h l Sitem h kadar düşer. Tekrar ere değer. Daha ora gövde harekete devam eder. Dolaııla l küçülür. T kadar zama ora l orjial değerii bulur. V gh V F m. a ie Tekrar ere değdiğide hız. d c d k w Lm d ( ) ( Y ( ) c c) m Lc ( d ) ( Y ( ) c ) c Lk ( ) ( Y ( )) k Lw ( ) w I i çözümü w m ( c k) A B D m c k Am ( c k) ( B DS ) ( Am B) Ac ( D) Ak w w my mc mc cy cc ky w ( m c) c mc Y m ( c k) m c k w YI m ( c k) ( m c) c mc YII m c k A w mw. wc., B, D k k k w mw mc. YI () k k m c k k m c k II i çözümü aı şekilde apılıra ve I ile toplaıra; w mw mc. Y () cm ( mcc mc ) k k m c k k m c k m c k m c k w Y () c c k m c k m c k,. Buda ora çözüm, m,c,k ı aıal değerlerie göre gelişecektir. Ya epolaiel ada trigoometrik formları buluacaktır. (daha öceki >,, < da olduğu gibi). Başlagıç şartları t l t VV gh l ma l mi

132 BÖLÜM- ADİ DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ. Diferaiel Deklem Sitemleri Daha öce belirtildiği gibi bağımlı değişke aııı birde fazla olmaı durumuda elde edile apıa diferaiel deklem itemleri imi verilir. Diferaiel deklem itemleride bağımız değişke bir vea daha fazla olabilir. Bağımlı değişkeleri bağlı oldukları bağımız değişkeler farklı olabilir. Bağımlı değişke bir tae bağımız değişkee bağlı ie adi diferaiel apıı medaa geleceği aşikardır. Diferaiel deklem itemii durumua göre çözüm uulü de değişkelik göterir. Eğer bir tae deklem vara çözüm içi bir tae fazla ıır vea başlagıç şartıa ihtiaç vardır. Bağlı değişke aııca diferaiel deklem mevut ie ormal şartlarda çözüm gerektirir. Y ve z bağımlı değişke, ve t bağımız değişke olmak üzere bir tae deklem mevcut ie ve apı şu şekilde düzeleebiliora bir tae fazla şartla çözüm üretilebilir. (), zz(t) f (,,,, )f (t,z,z,z, ) kreel vea iteger abit olmak üzere f (,,,, )k f (t,z,z,z, )k şeklide iki tae adi diferaiel deklem elde edilir. Bu deklemler bilie metotlarla çözülerek zz(t) ve () şeklide bağıtılar buluur. Bu bağıtılarda ve olu deklemleri mertebeie göre gerekli aıda abitler olacaktır. Bu ilave olarak k abiti de gelecektir. k da bilimee abit olup ıır ve başlagıç şartlarıda buluabilir. Bu edele klaik aıda bir tae fazla şarta ihtiaç olabilir. Daha öce abit kataılı lieer diferaiel deklemleri çözümü içi verile Laplace Traformu ile abit kataılı lieer diferaiel deklem itemide çözülebilir.

133 roblem-: z -z delemii çözüüz. Zz(t), () I. k II. z -z k I i çözümü: k (Homoje olmaa abit kataılı lieer deklem) m m m -, m - H c e - c e - Ö A k:abit olduğu içi Ak/ c e - c e - k/ II i çözümü: z -z k m -m m m z H (c c t)e t z Ö B k Bk z(c c t)e t k Burada c, c, c ve c itegral abitleridir. k iki deklemi ağlaa bir abit olup c i ler gibi buluabilir. Buu içide bir tae fazla şarta ihtiaç vardır. Bu tür diferaiel deklem itemlerie daha çok kımi diferaiel deklem çözümlerii bir alt aşamaı olarak karşılaşılabilir. Ugulamaı bu kou işleirke apılacaktır. Diferaiel deklem itemlerii ikici türü ie bağımlı değişke aııca deklemi elde edilmeidir. Bu durumda ukarıdaki gibi k abitleri olmaacaktır. Bu tür deklemleri çözümüde türevleme işlemile deklem itemideki bağımlı değişke aıı lieer deklem itemii çözümü gibi azaltılmaa çalışılır. Burada bağımız değişke bir taedir. z'' ' roblem : zz() ve () ie diferaiel deklem itemii çözüüz. z' Çözüm: Bağımlı değişke aıı (z,), bağımız değişke aıı () tir. Alttaki deklemde z - ie z dir. Bulua bu değerler ütteki deklemde erie azılarak bağımlı değişke aıı bir taee idirilir. z z (z )(z -) z z (abit kataılı.mertebe dif deklem, zz H z ö ) k k (karekteritik deklem) k(k) ie k ve k -/ z H e -/ z ö A B z ö AB z ö A deklemde erie azılarak 6AAB ie A/ 6AB B- z e -/ /- z - e -/ - çözüm içi tae şart gereklidir.

134 roblem : diferaiel deklem itemii çözüüz ( ' ' () ve ()). ' ' ' '' ' ' '' ' ' ' 9 ) (, 8 6 ' '' Bulua o deklem çözülebilir. Sabit katalı homoje deklemi çözümü bilimektedir. Karekteritik deklemi k 6k8 ie k - ve k - ie e - e - ie e e ' ) ( ' e e e e e e roblem : diferaiel deklem itemii ' ' () ve () şartlarıla birlikte çözüüz ( (t) ve (t)). [ ] [ ] [ ] ' ' ' '' ' ' '' ' ' ' ) (, ' '' Bulua o deklem çözülebilir. Sabit katalı homoje deklemi çözümü bilimektedir. Karekteritik deklemi k k- ie k -.7 ve k.7 ie e -.7 t e.7t ie t t e e.7.7 ' 7..7 [ ].7.7 ' t t e e t ie, (I) t ie, (II) (I) ve (II) birlikte çözülerek ve.766 buluur. roblem 5: diferaiel deklem itemii ' ' () ve () şartlarıla birlikte Laplace Traformuu kullaarak çözüüz ( (t) ve (t)). Sıır şartları verildiği içi diferaiel formatı laplace karşılığı alıırke türevli halli olaı alımalıdır. Bölece ıır ve başlagıç şartları bu aşamada uguladığı içi daha oraki işlem azalacaktır. )) ( ( ), ( )) ( ( () ) ( () ) ( Y L Y L Y Y d d L Y Y d d L

135 bu döüşümler deklem itemie taşııp Y ve Y çekilire, Y Y Y Y Y Y, Y Y Y, ( Y Y ) ( Y Y ) Y Y Y Y 6Y Y, Y Y Y Y ( )( ) Y Y Y Y ( ) Y Y ( )( ) L ( Y ) L ( ) L ( ) e e L ( Y ) L ( ) L ( ) e e Ugulama : m ve m kütleleri a abitleri k ve k ola alar ile eri olarak bağlaarak bir tavaa aılmışlardır. Şekilde görüle bu apı alar degede ike harekete bırakılıor. Kütleleri zamaa bağlı ol deklemlerii buluuz. k m k m Degede ike Hareketli ike. kütle kadar hareket ederke. kütle kadar hareket edecektir. Buula birlikte. a kadar uzarke. a - kadar uzaacaktır. Her kütle içi.newto aaı ugulaarak birbirie bağlı arı deklem elde edilir. '' '' k k ( m g (I) ve k ( m g (II) m ) m ) Bu deklemler. mertebe abit kataılı homoje olmaa diferaiel deklem itemidir. (I) olu deklemde çekilerek kez türetilir. Kedii ve türevleri (II) olu deklemde erie azılarak tek bağımlı değişkee ahip bir diferaiel deklem elde edilir: k, k, g ve m m alıarak işleme devam edilire, '' '' 5 (I) ve (II) '' '' ' ''' ' '' '''' '', 5, ie 5 '''' 5 '' '' ie 5 5 '''' 5 '' '' '''' '' ''

136 '''' '' 6.mertebe abit kataılı ohomoje lieer deklem. 7 Homoje Çözüm: '''' '' 6 k 7k 6, k z ie z 7z6, z -6 z - ie 7 k 6 i, k 6i, k i, k H i 6t co 6t it cot i Özel Çözüm: Özel çözüm belirlememiş kataılarla apılmalıdır. Deklemi ağ tarafı bir abit olduğu içi özel çözümde bir abit olmalıdır. Ö A:abit ie türevler ıfır olur. 7. 6A ie A Ö /6 dır. Geel çözüm ( H Ö ), i 6t co 6t it cot 6 ' ( co 6t i 6t) cot it 6 '' 6( i 6t co 6t) it cot '' 5 ie '' 5 ( i 6t co 6t) ( it cot) tae abiti iki kütlei başlagıçtaki ol ve hız değerlerii bilimeile buluabilir. Örek roblemler: ( ), (). ( ) 9, () ( ), (). ( ), ()

137 ( ), () 7 5. ( ), () t 6. 5e t 5 6 6e 7. 6t t 8. 6e t e 9. cot cot i t. 8 coh t 6 coh t ih t. 5i t 7cot t ( ), (). t 6t t t ( ), (). 8 cot 6i t 6 cot i t ( ), () cot i t cot i t ( ), () t 6t 5 t t ( ), () t 7. e t e ), () ( 7 8. ( ), () 9. cot ( ), (). ( ), () ( ), (). ( ), (). ( ), (). ( ), () ( ), () 7 6. ( ), () 7. 5co t 5co t ( ), (), (), () 8. t e ( ), (), (), () 9. 5

138 (), (), () (). ih t, t e, t t e e, ( ), (), ()., t, t, ( ) () () e co 6i e e i co 59. e 8