Analiz Notları Mustafa YAĞCI, Fonksiyonların Limiti

Transkript

1 4 Anliz Notlrı Mustf YAĞCI, gcimustf@hoo.com Fonksionlrın Limiti kuduğunuz u stırlrın zrının, ni endenizin, nı ın nı gününde m 4 ıl rl doğmuş iki kızı vrdır. Büüğünün dı Neslihn, küçüğünün dı d Celin dir. Anlcğınız Celin doğduğund Neslihn ın d doğum ıldönümüdü. Her ne kdr Neslihn Ben ondn 5 ş üüğüm, çünkü ugün en 5 e girdim, o dh şınd! dese ile şlrı frkı hep 4 olck. Hem de tmı tmın 4. Çünkü nı gün doğdulr. Lfı şur getireceğim: Yşlrı frkının hep sit klcğını ilioruz, peki şlrı ornı n olck? Bu rd, hni derler Hiç ölmeecekmiş gii u dün için, rın ölecekmiş gii hret için çlışın! die, siz de u prolemi kızlrım hiç ölmeeceklermiş gii çözün. [8/MY:] Şu n Neslihn 5 şınd, Celin ise şınd olduğundn N/C = 5 ve C/N = /5, peki gelecek sene u ornlr değişecek mi? Bklım. Gelecek sene Neslihn 6, Celin ise şınd olcğındn N/C ornı e düşecek, C/N ornıs / e çıkck. ndn sene sonr ise N/C ornı 7/ e düşecek, C/N ornıs /7 e çıkck. N/C ornının devmlı zlcğını, C/N ornınıns devmlı rtcğını nlmış olmlısınız. Peki u ornlr ir erde irleşecekler mi? Birleşeceklerse nerde? Birleşmeeceklerse neden? Bunu inceleeceğiz. N/C ve C/N ornlrının ıllr geçtikçe değerlerini gösteren 8 ılın göre ir tlo plım. Yıl sonr Yıl sonr Yıl sonr ıl sonr ıl sonr 5 ıl sonr N/C C/N Birz d rtlım: ıl sonr N/C =.9, C/N =.96 5 ıl sonr N/C =.7, C/N =.99 Frk etmiş olmlısınız. N/C ornı zlrk e klşıor, C/N ornıs rtrk e klşıor. Peki iki orndn iri herhngi ir zmn olilir mi? Hır, ornının olmsı Öle ir gün gelecek ki iki kızım d nı şt olck! demek. Bu d mümkün değil. Dikkt ettiseniz ornlrın olmmlrı e klşmlrını engellemior. İşte iz u durum mtemtikte, N/C ornının iti dir deriz. Htt C/N ornının d iti dir. Yukrd nlttığımız hikei, N/C ve C/N ornlrını fonksion şeklinde zrk şöle mtemtikleştireiliriz: N/C ornı günümüzden ıl sonr 5 olcğındn 5, enzer şekilde ıl sonr C/N ornı olcğındn 5. 5 Fonksionlrın (ni değişken) sonsuz giderken iti ulunileceği gii, herhngi ir reel sı giderken de iti ulunilir. Bunu d şk ir fonksion ile izh ede. Örneğin, f () = fonksionunu ele llım. sısı 4 e klşırken f () in kç klştığını ulcğız. Thmini zor olms gerek, iz ine de klım. Ti e nerden klştığın d önemli. 4 ten küçük sılrdn rtrk d olilir, 4 ten üük sılrdn zlrk d Önce 4 ten küçük sılrdn, rt rt 4 e klşlım klım: 44

2 Mustf YAĞCI Fonksionlrın Limiti ve Süreklilik =,8 iken = f (,8) = (,8) =,4 =,9 iken = f (,9) = (,9) =,7 =,95 iken = f (,95) = (,95) =,85 =,99 iken = f (,99) = (,99) =,97 =,999 iken = f (,999) = (,999) =,997 Görüldüğü üzere, 4 e klşırken değeri n en e klşıor. Bu durumu rtık f( ) 4 zrk göstereceğiz. 4 ün üzerindeki işreti 4 e sı doğrusu üzerinde sol trftn ni 4 ten dh küçük sılrdn klştığımızı nltm çlışır. Bir de 4 e, 4 ten dh üük sılrdn zl zl klşlım klım: = 4, iken = f (4,) = (4,) =, = 4,5 iken = f (4,5) = (4,5) =,5 = 4, iken = f (4,) = (4,) =, = 4, iken = f (4,) = (4,) =, Görüldüğü üzere,, 4 e sğdn ni 4 ten dh üük sılrdn klşırken ine n en e klşıor. Bu durumu d rtık f( ) 4 zrk göstereceğiz. Burd 4 ün üzerindeki + işreti de 4 e sı doğrusund sğ trftn klştığımızı nltır. İşte urd olduğu gii, herhngi ir sı soldn ve sğdn klşırken nin klştığı sı nı reel sıs, fonksionun o noktd iti vrdır denir ve it değeri nin klştığı reel sıdır. Limit hesplmlrınd fonksionun grfiğini düşünmek çoğu zmn çok fdlıdır. Nei düşünmemiz gerektiğini nltım. Örneğin şğıd elli ir rlıkt grfiği çizilmiş, (, ) noktsındn geçen f fonksionunun noktsındki itini ulm çlışlım. = f() Elinizi fonksion grfiğinin üzerine koun ve grfik üzerinde sol trftn sğ trf doğru hreket ettirin. Eliniz fonksion üzerinde psisli nokt ni (, ) noktsın doğru giderken üzerinden geçtiğiniz noktlrın ordintlrının siz tm o nokt klşırken kç doğru klştığın kın. = f() Göreceksiniz ki, (, ) noktsın klştıkç, ordintlr d e klşıor. Gönül rhtlığıl söleeilirsiniz ki f ( ) dir. Şimdi de sğ trftn sol trf klşlım. = f() Yine göreceksiniz ki, grfiğin sğ trfındn (, ) noktsın klşırken, üzerinden geçtiğiniz noktlrın ordintlrı zlrk e doğru gidior. hlde f ( ) dir. f ( ) f ( ) olduğundn d f ( ) dir. Dikkt ettiseniz, iti elirlerken hiç m hiç f () = mi değil mi die ilgilenmioruz. Yni, grfik c = f() şeklinde olsdı d f ( ) olcktı. Fonksion d tnımsız d dışınd şk ir sı olrk tnımlı olsdı ile Bir fonksionun elirli ir reel sısınd ir görüntüe ship olmsı d olmmsı fonksionun o noktdki itini etkilemez, ''sürekli'' olup olmdığını etkiler. 45

3 Mustf YAĞCI Fonksionlrın Limiti ve Süreklilik Nedir u süreklilik? f : A R ir fonksion olsun. A olmk üzere, = noktsınd üç duruml krşılşiliriz: Y f ( ) oktur, Y f ( ) vrdır fkt f ( ) f ( ) dır, Y d f ( ) vr ve f () eşittir. İşte üçüncü durumd, fonksion noktsınd süreklidir deriz. Hem it vr olck hem de o noktdki görüntü, o noktdki it değerine eşit olck. Bunu irz grfik rdımı ile nltlım. c = f() Bu grfik için, f ( ) dir, fkt f () değeri değil c dir. Bundn dolı noktsınd sürekli değildir. Grfiği çizerken (, c) noktsını işretlemek için eizi kldırmmız gerektiğini düşünün. = f() = f() Örneğin, ukrdki grfikte hem f ( ) hem de f () = olduğundn f fonksionu noktsınd süreklidir. Sürekliliği kc şurdn nlilirsiniz. Fonksion grfiğini tm o noktd elinizi kldırmdn çizeiliorsnız, fonksion o noktd süreklidir. Şekillerden tkip ederseniz dh rht nlilirsiniz. c = f() Bu grfik için; f ( ) oktur, undn dolı sürekliliğin lfı ile edilemez, sürekli değildir. Sürek- siz olduğu nokt sorulurs d cev demeliiz. Bu grfik için, f ( ) dir, nı zmnd d f () değeri e eşittir. Dolısıl fonksion noktsınd süreklidir. Görüldüğü üzere psisli noktdn eizi kldırmdn geçeilioruz. Sürekliliği şu n r girerek nltmmızın nedeni irçok it prolemini irkç sniede çözmee rdım etmesinden knklnıor. Görülüor ki, her noktd sürekli oln fonksionlrd herhngi ir noktdki it değeri o noktdki görüntüe eşit. Dolısıl iz uzun uzun soldn sğdn it kcğımız fonksion o noktd sürekli mi değil mi on klım, eğer süreklise direkt olrk o noktdki görüntüsünü it olrk cevpllım. Peki fonksionun sürekli olup olmdığını nereden nlcğız? Süreksizlik dh çok tnımsızlık ve elirsizlik durumlrınd çıkr. Tnımlı olduğu hlde süreksizlikler de mevcuttur m. Örneğin e ğlı polinom fonksionlr hiç ir reel sısı için tnımsız ve elirsiz olmzlr, > iken = gii üstel fonksionlr d öle, > olmk üzere log gii logritmik fonksionlr ve olmk üzere gii eğriler, dh neler neler 46

4 Mustf YAĞCI Fonksionlrın Limiti ve Süreklilik Grfiklerini göz önüne getirirsek çok dh rht nlrız. Ti, insn ilmediğini nsıl göz önüne getirsin dieniniz olilir, iş ine ş düştü. Temel zı fonksionlrın grfiklerini en sizin erinize çizip öle nltım. Sit fonksionlr, ni cr olmk üzere = f () = c şeklindeki fonksionlr süreklidir. Yukrd sdece ir örnek olrk resmedilmiş = doğrusun krsnız, grfiğin hiç el kldırılmdn sonsuz kdr çizileileceğini görürsünüz. = ols d öledir, = 5 ols d hlde sit fonksionlrın herhngi ir reel noktsındki iti o noktdki görüntüe eşit olcktır, ni c e π 5 5 π Doğrusl fonksionlr, ni kurllrı irinci dereceden polinom oln fonksionlr d süreklidir. Dh çık olrk, ve irer reel sı olmk üzere = + şeklindeki fonksionlr süreklidir. Grfikte sdece ir örnek olrk = + çizilmiş durumddır. Hiçir erde tnımsız d elirsiz olmdığın dikkt ediniz. Çizerken el kldırılmdığın d! = ols d öle olcktı, = + 5 ols d hlde irinci dereceden polinom fonksionlrın herhngi ir reel noktsındki iti o noktdki görüntüe eşit olcktır. = += 6 π π İkinci dereceden fonksionlr d süreklidir. Genel olrk, ve c reel olmk üzere = + + c şeklindeki fonksionlr süreklidir. Grfikleri dın prol dediğimiz şekildedir. Sdece ir örnek olrk = + 8 prolünü çizdik. Hiçir erde durksm olmdığın dikkt edin. hlde ikinci dereceden polinom fonksionlrın herhngi ir reel noktsındki iti o noktdki görüntüe eşit olcktır Küik fonksionlr d süreklidir. Dh çık olrk;,, c ve d irer reel sı olmk üzere = f () = + + c + d şeklindeki eğriler, ni küik fonksionlr d süreklidir. Ynd örnek olrk = grfiğini çizdik. Herhngi ir noktd it mi soruluor, ko erine itsin! hlde ikinci dereceden polinom fonksionlrın herhngi ir reel noktsındki iti o noktdki görüntüe eşit olcktır = +-8 = 47

5 Mustf YAĞCI Fonksionlrın Limiti ve Süreklilik 4 4 Mutlk değer fonksionu d süreklidir. Genel olrk; g() süreklise = f () = g() fonksionlrı süreklidir. = Uztmdn şunu elirte. Kurlı ir polinom oln tüm fonksionlr süreklidir. Derecesi frk etmez! Htırlrsnız polinomlr hiçir reel değeri için tnımsız ve elirsiz olmzlrdı. pozitif olmk üzere = f () = şeklindeki üstel fonksionlr d süreklidir. = Ti ki süreksiz ir fonksionun mutlk değeri süreklidir die ir şe demioruz. Evvel g() sürekli olck. Resmedilen = grfiğine krsnız hiçir erde el kldırmdn çizmenin mümkün olduğunu frk edin. hlde ukrdki gii mutlk değer fonksionlrının herhngi ir reel noktsındki iti o noktdki görüntüe eşit olcktır. Ynd örnek olrk = grfiğini çizdik. Dur durk ilmediğinden elli! hlde ukrdki gii üstel fonksionlrın herhngi ir reel noktsındki iti o noktdki görüntüe eşit olcktır ( ) ( ) 8 nn + ve g() ir sürekli ir fonksion olmk üzere = f () = n g ( ) fonksionlrı d süreklidir. Kök derecesinin pozitif tek sı olduğun dikkt edin m. Biz örnek olrk grfiğini çizdik. hlde ukrdki gii tek dereceden köklü fonksionlrın herhngi ir reel noktsındki iti o noktdki görüntüe eşit olcktır = =sin =cos g() sürekli ir fonksion olmk üzere = f () = sin(g()) ve = f () = cos(g()) fonksionlrı süreklidir. Sdece irer örnek olrk = sin ve = cos grfiklerini çizdik. hlde ukrdki gii sinüs ve kosinüs fonksionlrının herhngi ir reel noktsındki iti o noktdki görüntüe eşit olcktır. sin sin π π cos cosπ π π sin(cos ) sin(cos ) π cos( ) cos( ) cos 48

6 Mustf YAĞCI Fonksionlrın Limiti ve Süreklilik Tnım rlığınd süreklilik Bzı fonksionlr her erde değil m tnımlndıklrı ölgelerde süreklilerdir., den frklı ir pozitif sı ve g() sürekli ir fonksion olsun. = f () = log g() fonksionu g() in pozitif olduğu erlerde süreklidir. g() in negtif olduğu zmnlr, zten f die ir fonksiondn hsedemeiz ile. Örnek olrk, = log fonksionunu düşünürsek, fonksionun tnımlı olmsı için in pozitif reel sı olmsı lzım. u şrtlr uduğu sürece u logritm fonksionu süreklidir. hlde ukrdki gii logritmik fonksionlrın tnımlı olduklrı herhngi ir reel noktsındki iti o noktdki görüntüe eşit olcktır. log ( ) log ( ) log (4 ) log (4 ) 6 log ( ) log ( 8) 8 Krekök fonksionu dediğimiz fonksionu = d süreklidir. Genel olrk, g() sürekli ir fonksion olmk üzere f( ) g( ) fonksionu g() in tnımlı ve pozitif olduğu rlıklrd süreklidir. Biz örnek olrk eğrisini çizdik. > olduğu sürece sorun ok. hlde ukrdki gii kreköklü fonksionlrın tnımlı olduklrı herhngi ir reel noktsındki iti o noktdki görüntüe eşit olcktır. 4 log log 8 8 =log,, c ve d irer reel sı olmk üzere f( ) c d şeklindeki rsonel fonksionlr, R { d } kümesinde ni f () in t- c nımlı olduğu kümede süreklidir. Biz örnek olrk fonksionunun grfiğini çizdik. Eğer de it sorulsdı sol it ile sğ it irirlerine eşit olmdıklrındn (htt eşit olslrdı ile reel sı olmdıklrındn) it ok diecektik. 4 ğıntısını düşüne. - 4 = 4 Eğer u ğıntı R {} kümesinden R kümesine tnımlnırs fonksion olcğındn, u fonksion d tnım kümesinde süreklidir dieiliriz. Evet, hklısınız, = de süreksizdir m tnım kümesinde oktur ki! Arıc u fonksionun noktsınd itinin de vr olduğun dikkt ediniz. noktd elirsiz olduğu hlde itinin vr olileceğine güzel ir örnektir. hlde ukrdki gii rsonel fonksionlrın tnımlı olduklrı herhngi ir reel noktsındki iti o noktdki görüntüe eşit olcktır. 4 4 sin sinπ π cos cos π = - 49

7 Mustf YAĞCI Fonksionlrın Limiti ve Süreklilik =tn =cot f( ) = =, f( ) = 4 = 8 4 olduğundn + 8 = 8 olmlıdır. Doğru cevp: E. = f () = tn fonksionu, π/ nin tek ktlrınd tnımsızdır. Diğer tüm erlerde tnımlıdır. Tnımlı olduğu her erde de süreklidir. = f () = cot fonksionu d π nin ktlrınd tnımsızdır, diğer her erde tnımlı ve üstüne üstlük süreklidir. hlde ukrdki gii tnjnt fonksionlrının tnımlı olduklrı herhngi ir reel noktsındki iti o noktdki görüntüe eşit olcktır. tn tn π π π π tn( ) tn(π ) π cot cot π π Şu n kdr nlttıklrımızın özetini şu cümlele piliriz: f ( ) kçtır? sorusund değeri f () için kritik ir nokt değilse (fonksionu tnımsız ve e- lirsiz pmıors), direkt olrk f ( ) f ( ) dır dioruz, itior! Y kritik nokts? geleceğiz, irz sır! f( ) fonksionu verilior. Fonksionun ve 4 noktlrındki itlerinin toplmı kçtır? A) B) C) 4 D) 8 E) 8 Çözüm: Kc, i tnımsız ve elirsiz pmk mümkün değil die fonksionu her erde süreklidir. hlde 5 itinin değeri (vrs) kçtır? A) B) C) D) E) Yoktur Çözüm: fonksionu her reel sısı için sürekli olduğundn = 5 değerini direkt olrk erine zlım. 5 - ( ) itinin değeri (vrs) kçtır? Doğru cevp: D. A) B) C) D) E) Yoktur Çözüm: fonksionu her reel sısı için süreklidir. Dikkt ederseniz tnımsız elirsiz pmk d mümkün değil. hlde hemen erine zlım.. ifdesi kç eşittir? 5 Doğru cevp: C. A) 4 B) C) D) E) Yoktur Çözüm: Fonksion sdece 5 noktsınd süreksizdir. Fkt = 5 te değil de = de it sorulduğundn hemen erine zlım Doğru cevp: B. 5

8 Mustf YAĞCI Fonksionlrın Limiti ve Süreklilik log ( ) itinin değeri (vrs) kçtır? A) B) C) D) E) Yoktur 4 Çözüm: > olduğu sürece log 4 ( + ) fonksionu sürekli olduğundn hemen erine zlım. log ( ) = log 4 ( + ) = log 4 4 = 4 Limit Hesplrınd Dört İşlem Doğru cevp: D. İki frklı fonksionumuz vr olsun. Birinin dki iti, diğerinin de olsun. hlde u fonksionlrın toplmının dki iti, frklrının dki iti, çrpımının dki iti, ölümünün dki iti de İkisi de R de tnımlı f () = ve g() = fonksionlrı verilsin. f ( ) g( ), f ( ) g( ), değerlerini ulunuz. f ( ) g( ), f ( ) g ( ) olur. ( ) Çözüm: Verilen fonksionlrın her reel sı için sürekli olduklrını ilioruz. hlde it istenen noktlrı direkt olrk erine ziliriz. İsteen f () + g(), f () g(), f ( ) f () g () ve g( ) değerlerini hesplıp, ord noktlrı erlerine zilir. f ( ) g( ) f( ) g( ) = + =, f ( ) g( ) f( ) g( ) = ( ) = 6 =, f ( ) g( ) f( ) g( ) f( ) f ( ) ( ) g ( ) g = ( ) [( ) ] = [] =, ( ) 6 ( ) ifdesi şğıdkilerden hngisine eşittir? A) B) C) D) E) 6 Çözüm: değeri u fonksion için kritik ir nokt olmdığındn sdece erine zmk eter. ( ). ( ) 6 Doğru cevp: C. f : R R {}, f( ) fonksionunun noktsındki iti kçtır? A) 5 B) 4 C) D) E) Çözüm: Fonksionun tek kritik noktsı vr, o d. Am sorud noktsınd it sorulmuor. noktsındki it soruluor. kritik değil die hemen erine zcğız. f( ) 4. Doğru cevp: B.. 5

9 Mustf YAĞCI Fonksionlrın Limiti ve Süreklilik 5 7 = f() Yukrıd grfiği verilmiş fonksionun nerelerde sürekli nerelerde süreksiz olduğunu elirterek,,,,,, 5, 7 noktlrındki itlerini vrs ullım. Çözüm:,,, 7 psisli noktlrd el kldırmdn çizmek mümkün olmdığındn u noktlrd fonksion süreksizdir, diğer her erde süreklidir. Sürekli olduğu noktlrd it değeri de görüntüe eşittir. Bu kısıtlmlr ltınd soruln sorulrı cevpllım. f( ), f( ), f( ), 5 f( ) m f ( ) oktur, f( ) olduğundn f( ) m f( ) olduğundn f ( ) oktur, f( ) m f( ) olduğundn f ( ) oktur, 7 7 f( ) f( ) olduğundn f( ) dir. 7 f, grfiği nd verilen ir fonksiondur. Bu fonksionun in,, 4 değerinden zılrı için vr oln itleri toplmı kçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 4 = f () 4 Çözüm: f( ) m f( ) ni = noktsınd soldn it değerile sğdn it değeri eşit olmdığındn = te it oktur. Diğer ndn f( ) f( ) die f( ) ve 4 4 f( ) f( ) die f( ) dir. 4 hlde vr oln itler toplmı + = 4 tür. Doğru cevp: A. Ynd = f () eğrisinin grfiği verilmiştir. Bun göre f( f( )) ( ) f f ( ) ifdesinin değeri kçtır? A) 5 B) 4 5 C) 5 4 D) 5 E) 5 f( f( )) f( f(4)) Çözüm: f ( ) f() f (5) Fonksion grfiği (4, ) noktsındn geçtiği için f (4) = dır. Şimdi ize f () lzım. Grfik (, 5) noktsındn geçtiğinden f () = 5 tir. Diğer ndn f (5) = çıkr. Anı zmnd f () = olduğundn cevp f( f(4)) f() 5. f() f (5) Doğru cevp: D. Ynd = f () prçlı fonksionunun grfiği verilmiştir. Bun göre f( ) f ( ) ifdesinin değeri kçtır? A) B) C) D) E) Çözüm: ise + ve + olur. f( ) f( ). f( ) f( ) = f () 4 = f () Doğru cevp: A. 5

10 Mustf YAĞCI Fonksionlrın Limiti ve Süreklilik CEVAPLI TEST Aşğıdki ilk soruu u grfiği dikkte lrk çözünüz. 4. Yukrd grfiği verilmiş oln f fonksionu için f ( ) 7 ifdesinin değeri (vrs) kçtır? 4 = f () A) B) C) D) 4 E) Yoktur Yukrd grfiği verilmiş oln f fonksionu (, ] rlığınd doğrusl, diğer rlıklrd d grfikte gösterildiği gii dvrndığın göre, f fonksionu için şğıdki ilgilerden hngisi sölenemez? 5. Yukrd grfiği verilmiş oln f fonksionu için f ( ) f( ) ifdesinin değeri (vrs) kçtır? A) f( ) B) f( ) C) f( ) 9 5 D) f( ) E) f( ) A) B) C) D) E) Yoktur. Yukrd grfiği verilmiş oln f fonksionunun süreksiz olduğu nokt sısı en z kçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 6. Yukrd grfiği verilmiş oln f fonksionunun itinin olduğu frklı nokt sısı en z kçtır? A) B) C) D) 4 E) 5. Yukrd grfiği verilmiş oln f fonksionu için f ( ) ifdesinin değeri (vrs) kçtır? 7. Yukrd grfiği verilmiş f fonksionunun hngi noktd süreksiz olduğu hlde iti vrdır? A) B) C) 5 D) 7 E) A) B) C) D) 4 E) Yoktur 5

11 Mustf YAĞCI Fonksionlrın Limiti ve Süreklilik 8. Yukrd grfiği verilmiş f fonksionunun, 7 ve noktlrındki sğdn itlerinin toplmı kçtır? A) B) C) 5 D) 7 E). f( ) 4 kurlıl elirli ir f fonksionunun psisli noktsındki iti (vrs) kçtır? A) 4 B) C) D) 4 E) Yoktur 9. Yukrd grfiği verilmiş oln f fonksionu hiçir rlıkt sit olmdığın göre f ( ) f( ) 4 6 toplmı kç frklı tm sı değeri lilir? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7. f( ) kurlıl elirli ir f fonksionunun, ve psisli noktlrındki itlerinin toplmı kçtır? A) B) 6 C) 9 D) E) 7. Yukrd grfiği verilmiş oln f fonksionunun itinin vr olmdığı frklı nokt sısı en z kçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 4. f( ) kurlıl elirli ir f fonksionunun hngi noktsındki iti tür? A) B) C) D) E) 9. f( ) kurlıl elirli ir f fonksionunun psisli noktsındki iti (vrs) kçtır? A) B) C) D) 5 E) Yoktur 5. f ( ) kurlıl elirli ir f fonksionunun ve psisli noktlrındki itlerinin toplmı olduğun göre kçtır? A) B) C) D) E) 8 54

12 Mustf YAĞCI Fonksionlrın Limiti ve Süreklilik 6. f : R + R, f ( ) kurlıl elirli ir f fonksionunun 4 psisli noktsındki iti olsun. Bu fonksionun psisli noktsındki iti (vrs) kçtır? A) B) C) D) 4 E) Yoktur. f : R + {} R, f( ) kurlıl elirli ir f fonksionunun hngi noktsındki iti 4/ tür? A) /4 B) C) D) 4 E) 5 7. f ( ) sin cos kurlıl elirli ir f fonksionunun π noktsındki iti (vrs) kçtır? psisli. 4 ( ) ( ) 4 olduğun göre kçtır? A) 5 B) 4 C) D) E) 7 A) B) C) D) E) 8. f : (, + ) R, f( ) log ( ) kurlıl elirli ir f fonksionunun hngi noktsındki iti dir? A) B) 4 C) 8 D) 9 E). 5 ifdesinin değeri kçtır? A) B) C) D) E) 9. f( ) kurlıl elirli ir f fonksionunun psisli noktsındki iti (vrs) kçtır? A) Yoktur B) C) D) E). ifdesinin değeri kçtır? 5 7 A) 45 B) 9 C) 8 D) 7 E) 7 55

13 Mustf YAĞCI Fonksionlrın Limiti ve Süreklilik 4. m 5, ise f( ) m n, ise prçlı fonksionu verilior. f( ) vr olduğun göre m + n ifdesinin değeri kçtır? A) B) C) D) 4 E) 6 8. k m, 4ise f( ) k m, 4ise prçlı fonksionu için f( ) 5 olduğun 4 göre k kçtır? A) 5 B) 4 C) D) E) 5. f( ), prçlı fonksionu verilior. f( ) 4, ise ise olduğun göre + toplmının değeri kçtır? 9. 9 ifdesinin değeri kçtır? A) B) C) D) E) Yoktur A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 6., ise f( ), ise, ise içiminde tnımlı = f () fonksionu verilior. Bun göre f( ) f( ) f( ) ifdesinin değeri kçtır?. ve irer reel sı olmk üzere ( ) 5 olduğun göre çrpımı kçtır? A) 5 B) C) 9 D) 6 E) 4 A) B) C) D) 8 E) 6 7. Aşğıdki ifdelerden hngisi nlıştır? A) 5 B) D) 9 C) 4 E) 5 CEVAP ANAHTARI E C C 4 D 5 A 6 D 7 E 8 C 9 C A C B C 4 B 5 E 6 A 7 D 8 E 9 E C B E D 4 C 5 B 6 D 7 E 8 C 9 E A 56