Nümerik Analiz. Bilgisayar Destekli. Ders notları PROGRAMLAR: Doğrusal denklem sistemi Çözücüler

Transkript

1 ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ Mühedilik Mimarlık Fakültei İşaat Mühediliği Bölümü E-Pota: We: Bilgiayar Detekli Nümerik Aaliz Der otları 014 Ahmet TOPÇU PROGRAMLAR: Doğrual deklem itemi Çözücüler Bait matri işlemleri Gau Choleky Ufukçizgii(Skylie) Gau-Jorda Gau-Seidel CG(Cojugate Cojugate Gradiet) Seyrek matri 11

2 11. PROGRAMLAR: Bait matri işlemleri ve doğrual deklem itemi çözücüler PROGRAMLAR: Bait matri işlemleri ve doğrual deklem itemi çözücüler Nümerik metotlar eticede programlaarak ilgiayarda çözüm yapailmek amacıyla geliştirilmişlerdir. Teorik ilgileri tet edilmei, kavramaı ve kullaılailir duruma getirileilmei içi program yazmak ya da yazılmış programları kullamak gerekecektir. Program yazmak da aşlı aşıa deri ir koudur. Acak mühedilik prolemleri ile uğraşa kişii, çok profeyoel olmaa ile, küçük programlar yazailme eceriii olmaı da gerekir. Bu amaca yöelik olarak tet edilmiş programlara yer verilecektir. Bu ölüm ait matri işlemleri ve doğrual deklem itemi çözümü içi QBASIC dilide hazırlamış programlar içermektedir. Öğrecii u programları görel ir programlama dilie çevirmei, tet etmei, deeyim kazamaı ekleir. QBASIC(QuickBaic) programlama dili Microoft tarafıda geliştirilmiş, MS-DOS taalı ait ir programlama dilidir li yıllarda kullaılmış; güümüzde yerii Viual Baic, C, Delphi gii moder dillere ırakmıştır. Programlar ede QBASIC dilide veriliyor? Nede görel ir dilde verilmiyor? Buu iki aa edei vardır. 1) Görel programlama dilleri, görelliği ağlamak içi, çok ayıda program koduu otomatik eklerler. Bir kitaı ayfalarıda verilemeyecek kadar çok ve karmaşık kod üretilir. Aıl vurgulamak itee program parçacığı otomatik eklee kodlar araıda kayolur, alaşılmaı güçleşir. ) li yıllar ümerik aalizi altı yıllarıdır. Bu döemi ilimel yayıları ve kitapları ALGOL, FORTRAN ve BASIC gii, güümüzde pek kullaılmaya dillerde kodlamış çok öemli programlar içerir. Neticede 0 yıllık ir ilgi irikimi vardır. QBASIC ait fakat oldukça yapıal ve kavramaı kolay kodlarda oluşur, öğretim amaçlı programları alaşılır düzeyde kitaplarda verilmeie olaak ağlar. Viual Baic QBASIC dilii gelişmiş şekli olduğuda ve heme tüm QBASIC kodlarıı da içerdiğide döüştürülmei kolaydır. Çoğu kez kopyala-yapıştır yeterli olur. Acak, Türkçe karakter deteği yoktur. Bu, programları çalışmaıı etkilemez fakat Türkçe açıklama atırlarıı kullaıcıı okumaı zorlaşır. QBASIC deyimleri hakkıda öz ilgiler işareti ve oraı programı alaşılırlığıı artırmak içi programcıı yaptığı açıklamadır, programı çalışmaıı etkilemez. Değişkeler ir harf ile aşlar. Ayı değişke üyük veya küçük harf olarak yazılailir: A veya a ayı değişkedir. DATA,-7,10 ezeri atırlar veri atırıdır. READ deyimi u atırlarda ıra ile değer okur. DEFINT I-N deyimi i,j,k,l,m, harfleri ile aşlaya değişkeleri tam ayı olacağıı elirtir. DEFDBL A-H, O-Z deyimi u harf aralığıdaki ir harf ile aşlaya değişkeleri DOUBLE çift haaiyetli olacağıı elirtir. DECLARE SUB Matrioku (, m, a()) ezeri deyimler ir alt programı adıı ve parametrelerii aa programa taımlar: Bu örekte alt programı adı Matrioku, parametreleri de, m ve a dır. ve m tam ayı, a() matri alamıdadır. Aa programda CALL deyimi ile çağrılacak alt program, çağrılmada öce, DECLARE ile aa programa taıtılmak zorudadır. READ,m,L ezeri deyimler DATA atırlarıda değer okur. Bu örekte, m ve L değişkeleri okuur. DIM a(, m), (m, L), c(, L) ezeri deyimler matrileri oyutuu taımlar ve aa ellekte yer ayırır. Bu örekte a, ve c matrileri taımlamaktadır., m ve L matrileri oyutudur, değerleri DIM deyimi öcei okumuş veya atamış olmalıdır. CLS deyimi ekraı temizler. CALL Matrioku(, m, a()) ezeri deyimler, adı ve parametreleri verile alt programı çağırır, çalıştırır. Bu örekte Matrioku adlı alt program çağrılıyor., m, a() parametrelerdir. ve m matrii oyutu, a() matritir. PRINT deyimi kedii izleye parametreleri değerlerii ekraa yazar. PRINT Z= ; 5 ekraa Z=5 yazar. * işareti çarpma ve ^ işareti ü alma içi kullaılır. Örek * çarpım ve ^ ü alma alamıdadır. SUB END SUB Kelimeleri araıda alt program kodları yer alır. EXIT SUB alt programda çıkılmaıı ağlar. FOR i = 1 TO STEP NEXT i DO LOOP UNTIL <1l deyimi i= 1,,, değerleri içi FOR-NEXT araıdaki kodları işler deyimi <1 olucaya kadar DO ile LOOp araıdaki kodları tekrar tekrar işler IF T <= Zero THEN... deyimi t değişkei Zero değişkeide küçük veya Zero ya eşite THEN i izleye kodları işler. IF T = 0 THEN ELSE END IF deyimi t değişkei ıfır ie THEN i izleye, değile ELSE izleye kodları işler. GOTO 00 deyimi 00 olu atıra atlamaıı ağlar. ABS() fokiyou değişkeii mutlak değerii heaplar. SQR() fokiyou i kareköküü heaplar. : işareti ile irde çok atır tek atırda yazılailir. Örek: rak = 0 rak = 0: v = 1: Zero = 0 atırı v = 1 atırları ile ayı alamdadır. Zero = 0 Ahmet TOPÇU, Bilgiayar Detekli Nümerik Aaliz, Ekişehir Omagazi Üiveritei, 014, 11

3 11. PROGRAMLAR: Bait matri işlemleri ve doğrual deklem itemi çözücüler 1 Matri metotlarıda gerekli işlem ayıı Uygulamada ıkça karşılaşıla matri metotları(çarpma, üçge çarpalara ayırma, deklem itemi çözümü, v..) e kadar dört işlem(toplama, çıkarma çarpma, ölme) gerektirir? Aşağıda verile talo yardımıyla toplam işlem ayıı elirleeilir. Örek: A = doğrual deklem itemii =1000 ilimeyei ve =1 karşı taraf vektörü olu. Gau veya Crout veya Doolittle metodu kullaılarak deklem itemi çözülmek iteire gerekli toplam işlem ayıı = = 815 olur. Bir ilgiayar u kadar işlemi kaç aiyede yapar? Buu içi ilgiayarı FLOPS(FLoatig poit Operatio Per Secod) deile değerii ilimei gerekir. 010 yılıda üretile Itel Core I7 980 XE işlemcii 107 GFLOP ( ir aiyede 10 9 ) çift haaiyetli(double) işlem yapailmektedir. Bu işlemciye ahip ir ilgiayarda deklem itemii çözümü teorik ve yaklaşık olarak 815/10 9 =0.007 aiye ürecektir. Gerçekte çözüm daha uzu ürer. Çükü işletim itemi, programlama dili, programı kalitei, ara işlemler, ellek tipi, ellek miktarı, v.. üreyi etkiler. İŞLEM: Matri çarpımı AÇIKLAMA İŞLEM SAYISI A, B ve C dikdörtge matriler, m, matrileri oyutları m m m A ve C dikdörtge, L alt veya üt üçge matri L alt, U üt üçge ve C kare matri L 1, L, L hepide alt veya hepide üt üçge matri A ve C dikdörtge, L alt veya üt üçge matri m m + m m + m + m m m + m m + m + m + A ve C dikdörtge, B diyagoal elemaları rr oyutlu ölümüş matri. Blok ayıı=m/r (tam ayı) mr mr mr Ahmet TOPÇU, Bilgiayar Detekli Nümerik Aaliz, Ekişehir Omagazi Üiveritei, 014, 1

4 11. PROGRAMLAR: Bait matri işlemleri ve doğrual deklem itemi çözücüler 1 İŞLEM: Üçge çarpalara ayırma YÖNTEM İŞLEM SAYISI DOOLITLE + + Bölme : A imetrik Bölme : Karekök: Çarpma: c c c c c c c DOOLITLE Çarpma kadar Bölme : + A at matri, üt at, c alt at geişliği c c c + c + c + + c c + Çarpma kadar Bölme : Karekök: + A at ve imetrik, yarı at geişliği + + Ahmet TOPÇU, Bilgiayar Detekli Nümerik Aaliz, Ekişehir Omagazi Üiveritei, 014, 1

5 11. PROGRAMLAR: Bait matri işlemleri ve doğrual deklem itemi çözücüler 14 İŞLEM: Deklem itemi çözümü YÖNTEM İŞLEM SAYISI L A A = L alt veya üt üçge matri, m, matrileri oyutları L alt veya üt at matri, at geişliği = = A imetrik A at matri, üt at, c alt at geişliği Yukarıda aşağı veya aşağıda yukarı doğru heap Yukarıda aşağı veya aşağıda yukarı doğru heap DOOLITTLE DOOLITLE Bölme: Bölme: Bölme: Bölme: Karekök: Çarpma: 1 ( + c + c c + c c + c + c c + + c) Çarpma kadar Bölme: ( + 4c + c c + c c + 1c + 1c c c) Ahmet TOPÇU, Bilgiayar Detekli Nümerik Aaliz, Ekişehir Omagazi Üiveritei, 014, 14

6 11. PROGRAMLAR: Bait matri işlemleri ve doğrual deklem itemi çözücüler 15 A imetrik at matri, yarı at geişliği A İTERASYON YÖNTEMLERİ Bir iteryo adımı içi = Tet edilmiş programlar: -JORDAN JACOBI -SEIDEL CG (Cojugate Gardiet) imetri dikkate alımada + + Çarpma kadar Bölme: + + Karekök: Bölme: + Bölme: Çarpma: Bölme: +9+1 Matri işlemleri, doğrual deklem itemi çözücüler(direkt ve iterayo yötemleri) olmak üzere, ölümlerde 15 adet program verilmiştir. Programları adı ve işlevi aşağıda özetlemiştir. 1. Bait Matri işlemleri: matri okuma, yazma, toplama, çarpma, determiat heaı gii ait program parçacıklarıda oluşur. QBASIC dilii yapııı kavramaıı amaçlamaktadır.. Gau: A = doğrual deklem itemii çözer.. CholekyFull: A = doğrual deklem itemii çözer. A imetrik, pozitif taımlı, tam dolu. 4. Choleky: A = doğrual deklem itemii çözer. A imetrik, pozitif taımlı, at. İki oyutlu depolama tekiği kullaılmıştır. 5. Choleky1: A = doğrual deklem itemii çözer. A imetrik, pozitif taımlı, at. Vektör depolama tekiği kullaılmıştır.. CholekySkylie: A = doğrual deklem itemii çözer. A imetrik, pozitif taımlı. A ufuk çizgii(skylie) tekiği ile depolaır. 7. GauJorda: A matriii teri A -1 i heaplar. 8. GauJordaSim: A matriii teri A -1 i heaplar. A imetrik pozitif taımlı. 9. LeatSquare: Degeleme heaı, e uygu eğri(poliom) uydurma 10. QR: A m m = deklem ayıı ilimeye ayııda çok ola itemi QR çarpalara ayırma metodu ile çözümü, m. 11. BoB: A m dikdörtge matriii Bo ağ ter matriii ve B çekirdeğii heaplar, m. 1. GauSeidel: A = doğrual deklem itemii iterayo ile çözer. 1. CG: A = doğrual deklem itemii Cojugate gradiet iterayo metodu ile çözer. A imetrik, pozitif taımlı. 14. PCG: A = doğrual deklem itemii kodiyo iyileştirmei (Precoditioig) yaparak Cojugate gradiet iterayo metodu ile çözer. A imetrik, pozitif taımlı. 15. PCGpare: A = doğrual deklem itemii kodiyo iyileştirmei (Precoditioig) yaparak Cojugate gradiet iterayo metodu ile çözer. A imetrik, pozitif taımlı ve eyrek(pare). A ı adece ıfırda farklı elemaları depolaır. Ahmet TOPÇU, Bilgiayar Detekli Nümerik Aaliz, Ekişehir Omagazi Üiveritei, 014, 15