+..+b 0 Polinomlarının. kongüransını inceleyeceğiz.

Transkript

1

2 POLİNOMLAR VE WİLSON TEOREMİ 9.1 Polinomlar kongüranslar. Polinomları ve onların soyut cebir ile ilgili özelliklerini 4. bölümde geniș ele alacağız. Bu kısımda ise sayılar teorisi açısından bazı özelliklerine değinerek değișkeni tam sayı olmak üzere katsayıları tam sayı olan (=a n n +a n-1 n-1 +.a 0 ve q(= b m m +b m-1 m b 0 Polinomlarının ( q( (mod m kongüransını inceleyeceğiz.

3 Bilindiği gibi olinomlar l arasında kullanılan kll l = eșitlik ilik ișaretinin iki anlamı vardır. Mesela ; -3=0 eșitliğinde = ișareti in karesinin 3 olduğunu ifade eder. Bu ti eșitlikler bazı ler için doğru bazı ler için yanlıș olabilir. Bu manadaki eșitliklere nümerik (sayısal eșitlik denir. Halbuki (+a = +a+a Eșitliğinde ise = ișareti ile sağ ve sol tarafın aynı olduğu kastedilir. Bir bașka ș ifade ile bu ti eșitliklerde ș eșitliğin ș ğ sağındağ ve solunda bulunan aynı dereceli terimlerin katsayıları eșittir. Bunlara cebirsel eșitlik (veya özdeșlik denir.

4 Tarif 9.1. bilinmiyeni tam sayı olmak üzere ( ve q(, katsayıları tam sayı olan iki olinom olsun, oluyorsa ( 0 0 q( (mod m ( q( (mod m 0 Z Yazılır ve ( ve q( olinomları (m modülüne göre nümerik olarak kongrüanttır denir ve bu q ise (9. ye nümerik olinom kongrüans ve X 0 da nümerik (olinom kongrüansın çözümü denir.

5 3 Misal 9.1. ( ( = ve q( ( = ise her Z ii için modülüne ö göre yani her 0 єz için (mod 3 dir. o halde (mod nin çözüm cümlesi tam sayılar cümlesidir. (9. de özel olarak q(=0 olması halinde ( 0(mod m nin çözümlerine ise bazen bu kongrüansın kökleri denir. 3 a r 0(modm olmak üzere en büyük dereceli in katsayısı a r ise (9.4 ün derecesi r dir. denir. (9.4 ün farklı kökleri modülünün kalan sınıfındaki kökler olarak tarif edilir. Bir bașka deyimle m modülüne göre denk çözümler tek çözüm olarak alınır.

6 Polinomlarla nümerik olinom kongrüanslar arasındaki bağıntı șu basit hususa dayanır: (, katsayıları tam sayı olan bir (, katsayıları tam sayı olan bir olinom ve (=0 sağlayan tam sayı varsa (yani ( in Z de kökü varsa m nin her değeri için ( 0(mod m Kongrüansının çözümü vardır. m modülünün kalan sınıfı sonlu ise deneme yoluyla (9.6 nın çözülebirliğine karar verilebileceğinden,(9.5in tam sayılarda çözülebilirliği için gerekli șartları elde ederiz.

7 Fakat bu șartların yeterli olduğu tesit etmek çok daha zordur. Bir eșitliğin çözülebilir olması için gerek ve yeter șart herhangi bir m için onun bir nümerik kongrüans olarak çözüme sahi olmasıdır. Șeklindeki bir iddia genelde yanlıștır. Mesela fakat Z de + 1 dır (mod 0

8 Misal 9.. 0(mod4 ün köklerini i bulunuz. (= - ve farklı kökler 4 modülünün kalan sınıfındaki kökler olarak tarif edildiğinden in 0,1, ve 3 olması halinde ( olinomun değerlerine bakmalıyız. (0=0, (1=0, (= ve (3=6 olduğundan 1 0(mod4 ve 1(mod4 olmak üzere iki kök vadır.(bu kökler bazen 0,1(mod4 olarak ta ifade edilir. Verilen nümerik kongrüans derecesinin olduğu açıktır.

9 Tarif 9. (=a n n +a n-1 n-1 +.a 0 ve q(= b m m +b m-1 m1 +..+b 0 katsayıları tam sayı olan iki olinom olsun. Bu iki olinomun aynı dereceli terimlerinin katsayıları m modülüne göre denk ise yani a i b (mod m i ise ( q( (mod m yazılır. ve ( ve q( (m modülüne göre cebirsel olarak kongrüans denir.

10 Misal 9.3. ( + a + a (mod ve ( 1 ( 3( + (mod iki cebirsel kongrüanstır. Tarif 9.1 ve Tarif 9. den anlașılır ki eșitliklerde olduğu gibi (9. ve (9.7 deki = kongrüans ișaretinin de iki anlamı vardır. (9. deki manası Șudur: X 0 bir tam sayı ve ( 0 ve q( 0 nümerik değerleri m modülüne denktir. (9.7 deki anlamı ise ne bir çözüm ne de bir köktür. Yani in nümerik değer olarak bir fonksiyonu yoktur. Sadece ( ve q( olinomlarının aynı dereceli terimlerinin katsayıları m modülüne göre denktir. Cebirsel ve nümerik eșitlik arasındaki irtibat cebirsel ve nümerik olinom kongrüanslara genișletilemez. Mesela her єz 3 (mod 3 Bir nümerik kongrüans iken X 3 ve olinomları 3 modülüne göre cebirsel olarak kongrüant değildir. Fakat bunun tersinin doğru olduğunu Yani q q olduğunu ğ așağıdaki ș ğ teoremde isat edeceğiz. ğ

11 TEOREM 9.1. ( ve q( olinomları m modülüne göre cebirsel olarak kongrüant ise bu iki olinom m modülüne göre nümerik olarak kongrüanttır. İsat: (-q( =(a n -b n n +(a n-1 b n-1 n (a 0 -b 0 yazılabilir. Hiotezden dolayı (mod m a i -b i = mq i elde edilir(i=0 edilir.(i 0,1,.n bu taktirde a i b i olduğundan (-q( =(q n n +q n-1 n-1 +.q 0 m olur. (9.8 eșitliği ș ğ in herhangi bir 0 tam sayısı olması halinde nümerik olarak ( q( (modm olduğunu gösterir./// olinom kongrüansların olinom eșitliklerinden farklı bir tarafıda nümerik olinom kongrüansların köklerinin olinomderecesi ile bir ilgisinin olmamayıșıdır.

12 Mesela 0(mod6 nümerik kongrüansının 1 0(mod 6, 1(mod 6, 3 3(mod 6, 4 = olmak üzere dört tane kökü varken 4(mod (mod m m=5 ise olmak üzere iki kökü; m=7 (mod5, (mod5 olması halinde ise hiçbir kökü yoktur. Șimdi olinom kongrüanslar kökleri ile ilgili birkaç teorem verelim. Teorem 9.. (çaran teoremi: ( 0(mod m kongrüansının bir 0 kökünün olması için gerek ve yeter șart ( ( ( 0 q ( (mod m olacak șekilde bir q( olinomunun olmasıdır. de

13 İsat : ilk olarak farzedelim ki 0, ( 0(modm nin bir köküdür. Polinomlarla l l ilgili ili bölme algoritmasından dolayı (bak teorem 5.1 r bir sabit olmak üzere ( q ( + ( 0 yazılabilir. Burada - 0 da in katsayısı 1 olduğundan q( in katsayıları tam sayılardır.(9.9 eșitliğinin ș ğ sağında ğ ve solunda bulunan olinomlar Cebirsel olarak eșit olduklarından onlar m modülüne cebirsel olarak Kongrüanttır. Teorem 9.1 dan dolayı onlar aynı zamanda nümerik olarakta kongrüanttır. o halde yazılabilir. = 0 alarak r ( ( 0 q ( + r (mod m ( 0(mod m 0 ( q ( + r (modm ( m r 0(modm

14 Ve böylece böl r 0( (mod m elde edilir. Dolayısıyla l ( ( 0 q( (modm dir. Tersine olarak ( ( 0 q( (mod m ise açıkça dir. /// Teorem9.3(langrange g teoremi : Șayet y asal bir sayıveya a n 0(modise n n-1 ( = an + an-1 +.a0 0(mod kongrüansının köklerinin sayısı en fazla n tanedir.

15 Misal olinomu 5 modülüne göre çaranlara ayırınız. ( 3 = (mod 5 in kökleri 5 modülünün kalan sınıfındaki tam sayılar olarak tarif edildiği için kökleri 0,1,,3,4 tamları arasında aramalı (0=1, (1=5, (=15, (3=37 ve (4=79 olduğundan kökler dir. O halde netice 9.1 den dolayı önce ( 3 = ( 1( + ( 1( ( + + 4(mod 5 3(mod 4 (9.1 Yazılabilir. Diğer taraftan olduğundan, (mod den farklı bir kök değildir(kök tarifinden. Böylece + 3 ( (mod5 dir. Netice olarak elde edilir. ( ( 1( 5 (mod5 5

16 Teorem9.4 (Wilson. Șayet asal ise ( 1! 0 (mod Misal 9.5. n asal değilse (n-1!+1, n nin kuvveti değildir. k ozitif bir tam olmak üzere kabul edelim ki (n-1!+1=n k dır. n k 0(mod n olduğundan ( n 1! + 1 0(modn yazılabilir. Bu taktirde teorem 9.5 den dolayı n asaldır. O halde n asal değilse (n-1!+1,n nin kuvveti değildir.

17 Misal ( = (mod4 bulunuz. (9.13 sistem bu misale göre 3 ( = (mod ( = ( = (mod (mod 7 kongrüansının köklerini olur. Birinci kongrüansın kökü a 1 =1, ikinci kongrüansın kökleri a =1, ve üçüncü kongrüansın kökleri ise a 3 =-1,1, dir. o halde S =1 1, S 3 = ve S 7 =3 olduğundan verilen kongrüansın 6 tane çözümü vardır. Bunları bulmak için her bir satırı diğerlerinden farklı olan șu tabloya düșünelim.

18 a 1 a a tablo 9.1 Çin kalan teoremine göre =M 1 1 a 1 + M a + M 3 3 a 3 (mod m 1. m. m 3 dür. m 1 =, m =3, m 3 =7 olduğundan m=4 ve M 1 =1, M =14, M 3 =6 dır.

19 bulunur (mod 14 1(mod 6 1(mod =1 1a1 14a 6a3(mod 4 = veya -1 3 =6 veya -1 olduğu için buradaki a 1, a ve a 3 yerine her defasında tablo9.1 deki satırların birindeki değerler alınırsa (mod (mod 1 (mod (mod 6 (mod 1 (mod 4 4 4

20 (mod4 9(mod (mod4 41(mod (mod4 3(mod4 Teorem 9.7. asal ve a ozitif bir tam sayı ise nın her kökü ( 0(mod ( (... ( α 0 (mod 0 (mod 0 (mod α 1 α Sistemindeki herbir kongrüansın bir çözümüdür.

21 α İsat: b, ( 0(mod (b= k α elde edilir. Buradan (b= k α-1 (b= k α-. nın bir kökü olsun. Bu taktirde.. (b= k( α-1 eșitlikleri yazılabilir. Bu eșitliklerden anlașılır ki;

22 ( b 0 (mod ( b 0 (mod... ( b 0 (mod α 1 α dir. Demek ki (9,16 nın her kökü (9,17 sisteminin de köküdür./// Misal 9.7. ( = 0(mod8 in köklerini bulunuz. Bu kökler 0(mod4 ve 0(mod nin de kökü olabilir mi? 0(mod8 in kökleri 0,1,,3,4,5,6,7 arasında olacağı için Deniyerek 1 (mod8, 7(mod8 kökleri bulunur. Diğerğ taraftan 8= 3 olduğundan teorem 9.7 ye göre 1 = ve = 7 kökleri 0(mod, 0(mod nin de kökü olur.

23 olinomunu 3 modülüne göre çaranlarına ayırınız? Çözüm: (mod3 ün kökleri 3 modülünün kalan sınıfındaki tam sayılar olarak tarif edildiği için kökleri 0,1, tamları arasında aramalıyız. (0= 1 (1=4 (=13 1,4 ve 13 ün hiçbiri 3 e kalansız bölünmez. Modül 3 e göre bu olinomun hiçbir kökü yoktur.

24 (mod7 kongrüansının çözümlerini bl bulunuz. Çözüm: (mod7 köklerini 0,1,,3,4,5,6 Tamları arasında ararız. (0=-3 (mod7 (1=-1 (=-7 (=(-( (3= (4= (5= (6= Modül 7 ye göre bu olinomun Z + da çözümü yoktur.

25 9.6 =5 için wilson teoremini doğrulayınız. Çözüm : wilson teoremi: șayet asal ise 5 asal bir sayıdır. (5 1! + 1 0(mod 5 4! + 1 0(mod (mod (mod 5 5 0(mod 5 ( 1! 0(mod