OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ DİNAMİK SİSTEMLERİN MODELLENMESİ ve ANALİZİ
1) İdeal Sönümleme Elemanı : a) Öteleme Sönümleyici : Mekanik Elemanların Matematiksel Modeli Basit mekanik elemanlar, öteleme hareketinde; damper (sönümleyici), sürtünme, kütle ve yaydır. Dönme hareketinde ise dönel sönümleyici, eylemsizlik momenti ve yaydır. F(t)... B : Sönümleme katsayısı (N.s/m) F : Kuvvet (N) V : Hız (m/s) b) Dönel Sönümleyici : dθ (t) M(t)=B.. B : Sönümleme katsayısı (N.s/m) T, M : Moment (N) w: Açısal Hız (rad/s) 2
Mekanik Elemanların Matematiksel Modeli 2) İdeal Kütle ve Eylemsizlik : a) Öteleme Kütlesi : F(t). F(s).. b) Döner Kütle : J. T(t). T(s).. G= 3 a) Ötelemeli Yay : F(t).. df(t)... 3
3 b) Burulma Yayı : Mekanik Elemanların Matematiksel Modeli T(t).θ.θ dt(t)... Ödev 1 : Verilen sistemin transfer fonksiyonunu bulunuz? K x s 1 Ödev 2 : Ucunda J atalet momentli disk olan ve bir ucu sabitlenmiş şekildeki sistem, uygulanan M momenti ile bükülmektedir. Disk dönme sürtünme katsayısı B olan bir ortamda hareket ettiğine göre sistemin transfer fonksiyonu nedir? 4 θ s 1
Mekanik Elemanların Matematiksel Modeli Örnek 1: Verilen sistemin transfer fonksiyonunu bulunuz? 5
Enerji Depolamayan veya Harcamayan İdeal Sistem Elemanları 1) Transformatörler :.. İ ü ü ü N : Sarım sayısı ü : Dönüştürme oranı ü>1 : Gerilim Düşürücü ü<1 : Gerilim Yükseltici 2) Dişli Kutusu (Redüktör) :.. İ 1 ü ü N : Diş sayısı ü : Dönüştürme oranı ü>1 : Hız Düşürücü ü<1 : Hız Yükseltici 6
İşlemsel Kuvvetlendiriciler PID denetleyicilerin analog devrelerle gerçeklenmesinde özellikle kazanç, integral ve türev alma işlemleri için işlemsel kuvvetlendiriciler kullanılırlar. Bu sebeple işlemsek kuvvetlendiricilerinde transfer fonksiyonları belirlenmelidir. 1) Kuvvetlendirici (Kazanç) : 7
2) Kuvvetlendiricili Karşılaştırma Devresi : İşlemsel Kuvvetlendiriciler 8
3) Türev alıcı Devre: İşlemsel Kuvvetlendiriciler 4) İntegral alıcı Devre: 9
İşlemsel Kuvvetlendiriciler Örnek 2: Verilen sistemin transfer fonksiyonunu bulunuz? 10
Durum Değişkenleri Modeli Sistemin dinamiğini tanımlamak için durum değişkenleri veya durum uzay modelleri de kullanılabilir. Durum değişkenlerine bağlı denklemler kullanılarak verilen bir giriş için durum değişkenleri cinsinden sistemin çıkışı tanımlanabilir. n. dereceden bir sitem dinamiğinin modellenebilmesi için n adet değişken ve n adet durum denklemi gereklidir. Genel olarak durum denklemleri ; X t u t A B C D 11
Özellikleri : Durum Değişkenleri Modeli Durum denklemleri bilgisayarda sayısal olarak çözülebilir. Durum denklemleri çok girişli ve çok çıkışlı sistemlerde doğrudan kolaylıkla uygulanabilir. En uygun denetleyici tasarım yöntemleri genellikle durum değişkenleri modeline dayanır. NOT 1: Durum değişkenleri tekniği çoğunlukla çağdaş denetim yöntemleri olarak, buna karşılık transfer fonksiyonu tekniği de klasik yöntemler olarak bilinir. NOT 2: Tek giriş ve tek çıkışlı sistemlerde durum değişkeni yöntemi yerine transfer fonksiyonu yöntemini kullanmak daha uygundur. Transfer fonksiyonu ve Durum denklemleri arası geçiş : G(s)= C.. 12
Tanımlamalar : Sistemlerin Geçici ve Kalıcı Durum Davranışları Analizi 1) Gecikme Zamanı (tg) : Çıkışın, referans değerin yarısına ulaşana kadar geçen süredir. 1. derece sistemler için tg, zaman sabitine ( ) eşittir. 2) Yükselme Zamanı (ty), (tr) : Çıkışın, referansın %10 90, %5 95 veya %0 100 değerine ulaşana kadar geçen süredir. Genelde aşırı sönümlü (1. derece) sistemlerde %0 100, titreşimlisistemlerde %10 90 alınır. 3) Tepe Zamanı (tt), (tp) : Cevabınreferansı aşarak ilk tepe yaptığı zamandır. 4) Maksimum Aşım (Mp): Cevabın referansdeğeri en çok aştığı miktardır. Eğer nihai değere ulaşamayıpkalıcı durumhatası oluşuyorsayüzdeolarakverilir. %Mp=%. 100 5) Oturma Zamanı (to), (ts) : Cevap eğrisindeki titreşimlerin %5 veya %2 ye düştüğü süredir. 1. derece sistemlerde oturma zamanı yükselme zamanına eşittir. Not: Tüm değerler aynı anda küçük tutulamaz, bazıları birbirlerine göre ters etkilidirler. Örneğin Mp küçültülürken aynı anda to küçültülemez. 13
Tanımlamalar : Sistemlerin Geçici ve Kalıcı Durum Davranışları Analizi 6) Kalıcı Durum Hatası: Kalıcı durum başarımı genellikle basamak, rampa veya ivme giriş sinyaline göre gösterdiği kalıcı durumhatasına göre belirlenir. Verilen bir sistemin bir tipte giriş sinyalinde küçük bir hata verirken diğer bir girişte hata gösterebilir. Bu açık çevrim transfer fonksiyonuna bağlıdır. Kalıcı duruma sıfır veya en küçük hata ile ulaşmalıdır. Kapalı çevrim kontrol sistemi oluşturularak kalıcı durum hatası açık çevrimegöre daha küçük hatalar oluşturulabilir. 14
15 Sistemlerin Geçici ve Kalıcı Durum Davranışları Analizi
Transfer Fonksiyonlarına Eklenen Kutup ve Sıfırların Etkisi Her ne kadar bir sistemin kararlılığında sistemin kutupları 1. derecede etkili olsa da transfer fonksiyonunun sıfırları da önem taşır. Bu sebeple istenilen bir sistem cevabı için genellikle transfer fonksiyonuna bazı kutup ve sıfırların ilave edilmesi veya istenmeyen kutup ve sıfırların silinmesi gerekebilir. 1) İleri besleme yoluna kutup ilavesi : G(s)= 1 =1 için inceleyelim. G(s)= T(s)= T(s)= 16
Transfer Fonksiyonlarına Eklenen Kutup ve Sıfırların Etkisi İleri yol transfer fonksiyonuna ilave edilen kutupların genellikle kapalı çevrim sisteminde aşımı arttırdığı gözlenir. İlave edilen kutup sistem band genişliğini azaltır. İlave edilen kutup yükselme zamanını arttırır. 17 Ödev 3: 1, =0.25 için ve Tp=0,1,2 ve 5 değerleri için MATLAB da inceleyiniz.
Transfer Fonksiyonlarına Eklenen Kutup ve Sıfırların Etkisi 2) Kapalı çevrim transfer fonksiyonuna kutup ilavesi : T(s)= = 1 =0.5 için inceleyelim. T(s)= Tp arttıkça, yükselme zamanı ve aşımazalır. Aşım açısından bakılırsa kapalı çevrim transfer fonksiyonuna ilave edilen kutuplar açık çevrim e ilave edilene göre ters etki gösterir. 18
Transfer Fonksiyonlarına Eklenen Kutup ve Sıfırların Etkisi 3) İleri besleme yoluna sıfır ilavesi : G(s)= T(s)= = Açık çevrim sistemine bir sıfır ilavesinin sistemin kararlılığına etkisi vardır. Her ne kadar karakteristik denklemin kökleri sönüm ve kararlılığı belirlese de sistem davranışını etkileyen sıfırlarda dikkate alınmalıdır. 19
Transfer Fonksiyonlarına Eklenen Kutup ve Sıfırların Etkisi 4) Kapalı çevrim transfer fonksiyonuna sıfır ilavesi : T(s)= = 1 =1 için inceleyelim. T(s)= = Kapalı çevrim transfer fonksiyonuna bir sıfır ilave edilmesi yükselme zamanının azalması ve aşımınartmasına sebep olur. 20
Baskın Transfer Fonksiyon Kutupları Geçici durum cevabını çok etkileyen kutuplar belirlenerek bunlara baskın kutuplar denir. Yüksek mertebeden olan sistemleri kontrol edebilmek için yaklaşık olaraktemsileden düşük mertebenden sistemlere dönüştürülür. Bilindiği üzere imajiner eksene yakın kutuplar yavaş zayıflayan, uzaklar hızlı azalan cevaba sahiptir. Baskın ile baskın olmayan kutuplar arasındaki D mesafesi net değildir. Sistem ve beklenen cevap ile ilgili olarak değişir. Uygulamada bir kutbun gerçek kısmı, bir baskın kutbun gerçek kısmının 5 10 katı ise baskınolmadığı kabul edilir. Kutup yerleştirme tekniklerinde =0.707 doğrusu üzerinde baskın kutupların olduğu düşünülür. 21
Örnek 3: T(s)= = Baskın Transfer Fonksiyon Kutupları 10 1 1 Baskın kutuplar : ( 1+j) ve ( 1 j) Baskın kutupların reel kısmı : 1 Diğer kutup : 10 ve değeri baskın kutbun 10 katı Dolayısıyla sistemin geçici hali için ; T(s)= = sadeleştirilmiş denklem kullanılabilir. Önemsiz kutupların sürekli hal davranışında yok edilmesi : Baskın olmayan kutuplar geçici hal davranışında yukarıda yok edilmişti. Ancak kararlı durum davranışı korunmalıdır. Bu sebeple T(s) formülü yeniden düzenlenmelidir. T(s)= = Bu düzenleme yapılmaz ise sadeleştirme yanlış olur. 22 Baskın kutup