İstabul Üiversitesi İşletme Fakültesi Dergisi Istabul Uiversity Joural of the School of Busiess Admiistratio Cilt/Vol:39, Sayı/No:2, 2, 359-369 ISSN: 33-732 www.ifdergisi.org 2 Portföy optimizasyouda SVFM ile bulaık doğrusal olmaya model yaklaşımı Oza Kocadağlı İstatistik Bölümü, Fe-Edebiyat Fakültesi Mimar Sia G.S. Üiversitesi, İstabul, Türkiye Nala Ciemre 2 İstatistik Bölümü, Fe-Edebiyat Fakültesi Mimar Sia G.S. Üiversitesi, İstabul, Türkiye Özet Hisse seedi piyasalarıda doğru yatırım kararları alabilmek içi göz öüde buludurulması gereke e öemli iki faktör getiri ve risktir. Bu ikiliye ait bilgi açık ve kesi olmadığıda, portföy optimizasyouda kullaıla determiistik ve stokastik modeller yatırım kararları içi yeterli olmamaktadır. Bu çalışmada, getiri ve risk içi geliştirile üyelik foksiyoları yardımıyla Bulaık Doğrusal Olmaya Portföy Modeli geliştirilmiştir. Bu modeli kurulmasıda ilk olarak, Koo ve Yamazaki i determiistik portföy modeli temel alımıştır. İkici aşama olarak, Koo ve Yamazaki i modelii beklee getiri kısıtı bulaıklaştırılmıştır. Beklee getirii bulaık olmasıda dolayı riski ifade ede amaç foksiyou değerleri de bulaık sayı olarak kabul edilmiş ve böylece bulaık amaç ve kayaklı doğrusal olmaya portföy modeli oluşturulmuştur. Ayrıca, öerile modeli pazarı tredii de göz öüde buludurması içi, Sermaye Varlıklarıı Fiyatladırma Modeli (SVMF) ile uyumlu bir beta üyelik foksiyou oluşturulmuş ve bu foksiyo yardımıyla modele, pazarı hassasiyetii içere bir kısıt eklemiştir. Uygulama kısmıda, İMKB3 da işlem göre hisse seetlerii kapaış değerleri kullaılarak, öerile modeli performası Markowitz ve Koo Yamazaki modellerii performaslarıyla karşılaştırılmıştır. Aahtar Sözcükler: Bulaık matematiksel programlama, doğrusal olmaya programlama, bulaık portföy optimizasyou, Koo-Yamazaki portföy modeli, beta katsayısı, SVFM. A fuzzy oliear model approach with CAPM for portfolio optimizatio Abstract I the stocks markets, mai factors which have to be cosidered to make accurate ivestmet decisios are retur ad risk. Sice the kowledge related this couple is ot certai ad precise, determiistic ad stochastic models used i portfolio optimizatio are ot sufficiet for ivestmet decisios. I this study, a ew fuzzy oliear portfolio model is proposed by meas of membership fuctios developed for retur ad risk. I costructio of the metioed model, Koo ad Yamazaki s model is take as referece model. As a secod stage, expected retur of this model is assumed to be fuzzy. Sice the expected retur is take as fuzzy, the values of objective fuctio which deote risk ca also be accepted as fuzzy. For this reaso the oliear programmig model with fuzzy source ad objective is costituted. Besides, i order to cosider stocks market tred, the costrait, which icludes sesitivity of market, is added i this model by meas of membership fuctio of portfolio beta that is cosistet with Capital Asset Pricig Model (CAPM). I applicatio part, usig the closure data of stocks operated i ozakocadagli@msgsu.edu.tr (O. Kocadağlı) 2 ciemre@msgsu.edu.tr (N. Ciemre) 359
O. Kocadağlı, N. Ciemre / İstabul Üiversitesi İşletme Fakültesi Dergisi 39, 2, (2) 359-369 2 ISE3 idex, the performace of the proposed model is compared with oes of Markowitz ad Koo-Yamazaki model. Keywords: Fuzzy mathematical programmig, oliear programmig, fuzzy portfolio optimizatio, Koo-Yamazaki portfolio model, beta coeffeciet, CAPM.. Giriş Getirii beklee düzeyde farklı olmasıa fias dalıda risk deir. Bir fiasal varlığı getirisii belirlemesi geellikle soru yaratmazke, riskii değerledirilmesi her biri farklı bir şekilde taımlaa ve yorumlaa toplam riski bileşelerii oluşturula sistematik ve sistematik olmaya riski ölçülmesii gerektirir []. Birde fazla fiasal varlığa yatırım yapıldığıda, yatırımı beklee getiri yatırımı oluştura fiasal varlıkları beklee getirilerii toplamıa eşittir. Acak portföyü riski, fiasal varlıkları getirileri arasıdaki kovaryasa bağımlı olarak, fiasal varlıkları risklerii ağırlıklı ortalamasıda farklı olabilmektedir. Markowitz e göre tek bir varlığı ya da bir portföyü etki olabilmesi içi, ayı risk düzeyide başka hiç bir varlığı ya da portföyü daha yüksek getiri sağlamaması veya ayı getiri düzeyide hiçbir varlığı ya da portföyü daha düşük riske sahip olmaması gerekir [2]. Portföy oluşturmada başvurula ve geleceği tahmi etme ilkesie dayaa klasik regresyo aalizi ve tred aalizi gibi tekikler, kulladıkları geçmiş döem verilerii istikrarsız olmasıı yaıda bu verileri birçok makro (sistematik) ve mikro (sistematik olmaya) faktörü etkisi altıda olmalarıda ve bu faktörleri tam olarak modele yasıtılamamasıda dolayı eleştiri almaktadır [3, 4]. Bu edele, tek bir mekul kıymet yerie, portföy oluşturularak portföydeki her bir mekul kıymeti sahip olduğu riskler toplamıda daha küçük bir risk elde edilmesi daha gerçekçi bir yaklaşımdır. Bilidiği gibi Markowitz (959) i L 2 risk modeli, güümüzde geçerliliğii yitirmiş olsa da portföy seçimi içi geliştirile birçok model içi referas olmuştur. Markowitz i modelii güümüzde geçerliliğii yitirmesii sebebi, kısa bir zama aralığıda icelee hisseleri getirilerii çoklu ormal dağılmaması ve yatırımcıları risk algısıı ortalama etrafıda simetrik olmamasıdır [5]. Dolayısıyla, güümüzde öerile stokastik modelleri ormal dağılım varsayımı ve verileri herhagi bir dağılıma uymaya zorlaması eleştiri almaktadır. Bu edele, stokastik problemlere alteratif olması bakımıda ortalamada mutlak sapmayı miimize etmeyi amaçlaya determiistik L risk modelleri ö plaa çıkmaktadır. Acak, özellikle bilgii açık veya kesi olmamasıda kayaklaa belirsizlik durumlarıda, determiistik matematiksel modeller de yetersiz kalmaktadır. Bu tür durumlarda, olasılık teorisi üstü bir yaklaşım gibi görüse de tüm belirsizlikler rasgeleliği beklee özelliklerii taşımaz [6]. Ayrıca, aalizleri maliyeti ve/veya yapılma süresi gibi kısıtlar göz öüde buludurulursa, karar alıcı bir olayı rasgeleliğii ifade etmek içi tekrar tekrar deeyleri gözleme lüksüe de sahip değildir [7]. Bulaık kümeler teorisi; belirsizlik kayağı, sııf üyeliklerii tam olarak belirleemediği durumlarda sözel ve sayısal bilgiyi kullaarak isa aklıa e yakı modeli kurulmasıa imka vermektedir. Bu edele, karar vericiler kesi katsayı ve kayaklara sahip doğrusal veya doğrusal olmaya bir modeli katsayılarıı ve/veya kayaklarıı tümüü veya bir kısmıı bulaık/kesi olmaya olarak ele alabilir. Nitekim so yıllarda portföy seçimie ilişki birçok modeli bulaık formu öerilmiştir. Öerile modeller, gerek amaç foksiyouu yapısı, gerek kısıtlar yöüde farklılık gösterdiği gibi modeli bulaıklaştırmak içi kullaıla üyelik foksiyoları bakımıda da çeşitlilik göstermektedir. Öreği Fag, Lai ve Wag (25), Vasat (25), Bozdağ ve Türe (27), Kocadağlı (28), Zaradi ve Yazdi (28) yaptıkları çalışmalarda beklee getiri ve risk içi doğrusal olmaya; Kocadağlı (26), Roy ve Mazumder (27), Ertuğrul ve Pelitli (28) ise beklee getiri ve risk içi doğrusal üyelik foksiyoları kullamışlardır. Bu çalışmada, beklee getiri ve risk içi doğusal olmaya üyelik foksiyolarıı tercih 36
O. Kocadağlı, N. Ciemre / İstabul Üiversitesi İşletme Fakültesi Dergisi 39, 2, (2) 359-369 2 edilmesii yaıda, bu kouyla ilgili diğer çalışmalarda farklı olarak riski üyelik foksiyou kullaıla veriye bağlı olarak tasarlamıştır. Risksiz bir portföy içi hisse seetlerii ilgili döemdeki volatilitelerii göz öüde buludurulmasıı yaıda, pazarı ilgili döemdeki tredii de hesaba katacak bir kısıt da portföy betalarıı üyelik foksiyou yardımıyla modele eklemiştir. Ayrıca çözüm içi elde edile memuiyet seviyesi karar verici yerie, riski, getirii ve portföy betasıı üyelik foksiyoları tarafıda belirlemektedir. 2. Koo Yamazaki Doğrusal Programlama Modeli Bu çalışmada geliştirile model içi Hiroshi Koo ve Hiroaki Yamazaki i (99) Markowitz i modelie alteratif olarak öerdiği Doğrusal Programlama modeli temel alımıştır. Bu model aşağıdaki gibidir [4, 5]: Amaç foksiyou: Mi Z = Kısıtlar: T y t / T () t= atjx j t =, 2,, T (2) + atjx j t =, 2,, T (3) rjx j ρm t =, 2,, T (4) x M (5) x j u j, j =, 2,, (6) Burada, (2) ve (3) ile gösterile kısıtlar, t tj j eşitsizliğideki mutlak değeri y a x soucudur. Ayrıca, T = icelee döem sayısı; t = icelee herhagi bir döem; ρ = beklee getiri oraı; r j = j. hisse seedii T döemdeki beklee getiri oraı; rtj = j. seedi t. döemde gerçekleşe getiri oraı; x j = j. hisse seedii toplam yatırım içideki payı; u j. hisse seedie yapıla yatırımı üst sıırı; M = toplam yatırım miktarı; y t= yardımcı değişke ve at rtj rj, j. hisse seedii t. döemde gerçekleşe getiri oraı ve beklee getiri oraı (ortalama getiri) arasıdaki farktır. Bu fark, ortalamada sapmadır ve riski ifade eder. Modeldeki amaç foksiyou, beklee getiride sapma olarak ifade edile riski miimize etmek içi kullaılmaktadır. Belirli bir getiri seviyeside ( ρm ), y t yardımcı değişkelerii miimize edilmesiyle, riski ifade ede atj leri de ilgili kısıtlar yardımıyla miimize edileceği yukarıdaki modelde kolayca görülebilir. 36
O. Kocadağlı, N. Ciemre / İstabul Üiversitesi İşletme Fakültesi Dergisi 39, 2, (2) 359-369 2 3. Bulaık Matematiksel Programlama Yaklaşımı Koo Yamazaki portföy modeli, beklee bir getiri seviyeside ortalama getiriside ( r j ) sapması e küçük hisse seetlerii belirlemede etki bir yötemdir ve sadece belirli bir getiri seviyesideki aı fotoğraflamaktadır. Acak bu model, karar vericilere farklı getiri ve risk kombiasyolarıda asıl bir portföy oluşturulabileceği hakkıda herhagi bir bilgi vermemektedir. Riske karşı kayıtsız ola yatırımcılar riskle pek ilgilemeyip yatırım kararlarıı sadece beklee getiriye göre aldıklarıda bu tür yatırımlar içi Koo Yamazaki portföy modeli farklı getiri seviyeleride çözülerek de souca gidebilir. Acak, beklee getiri sayısal olarak bir süreklilik arz ettiğide karar verici içi belirsizlik içermektedir. Öreği % 3 ve % 4 lük beklee getiri seviyeleri arasıda hisse seedi sayısıa bağlı olarak birçok risk seviyesi olabilir. Ayrıca, riskte kaça ve riski seve yatırımcılar içi risk ve getiri arasıda bir tercih söz kousudur. Bu bağlamda, beklee getirideki artıma bağlı olarak katlaılabilecek risk düzeyide daha yüksek bir risk alıabilir veya çok düşük bir riskle makul bir getiri bekleebilir. Görüldüğü gibi getiri ve risk faktörleri, yatırımcılar tarafıda kesi ve doğru bir şekilde değerledirilmelidir. Bu edele, bu çalışmada getiri ve riski bulaık olduğu göz öüde buludurularak, getiri ve risk içi oluşturula üyelik foksiyoları ve bulaık matematiksel programlamada kullaıla yaklaşımlar yardımıyla maksimum getiri ve miimum risk altıda etki bir portföy oluşturulmaya çalışılmıştır. Koo Yamazaki modelide, (4) ile açıklaa eşitsizliği sağ taraf sabiti ola beklee getiri oraıı (ρ ) bulaık olduğu varsayılırsa, Koo Yamazaki doğrusal programlama modeli, bulaık kayaklı bir modele döüşür [4, 8]. Beklee getirii artması yatırımcıları memuiyetii arttıracağıda beklee getirii üyelik foksiyou bu tutum göz öüde buludurularak oluşturulabilir. Ayrıca, isa algısıyla fiziksel birimler arasıda üstel bir ilişki söz kousu olduğuda [9], getirii üyelik foksiyou Zimmerma ve Zyso u uzaklık foksiyouda esileerek aşağıdaki gibi tasarlamıştır (bkz. Şekil ): µ ρ(x) = / + [exp( - c sbt [ rj x j ρ M ] )] (7) max Burada r j, j. hisse seedii T döemdeki maksimum getiri seviyesii, c max sbt ise düzleştirme parametresii ifade etmektedir. Üyelik foksiyouda r j ları max kullaılmasıı sebebi karar vericileri yüksek getirili seetlere ola ilgilerii yüksek olmasıdır. Beklee getirii bulaık olduğu varsayıldığıda, Koo - Yamazaki i beklee getiri kısıtıı bulaık biçimi aşağıdaki gibi ifade edilebilir [4],[8]: rjx j ρm (8) Sermaye Varlıklarıı Fiyatladırma Modelie (SVFM) göre, bir hisse seedii riskii sistematik ve sistematik olmaya risk olarak ifade etmek mümküdür. Burada sistematik risk, hisse seedii fiyatı ile pazar fiyatı arasıdaki korelasyou büyüklüğüü göstere beta katsayısı ile taımlaır []. Bua göre pazarı betası olarak kabul edilirse, arta pazarlarda bir portföyü betasıı de büyük olması portföyü pazarda daha fazla getiri sağlayacağı, azala pazarlarda ise daha fazla kaybettireceği alamıa gelmektedir. Pazarı betasıı de küçük olması ise yukarıdaki durumu tam tersii ifade etmektedir. Portföyü e eşit olması ise, portföyü pazarla ayı yöde hareket edeceğii göstermektedir. Acak SVMF modelie göre beklee getiri ile sistematik risk 362
O. Kocadağlı, N. Ciemre / İstabul Üiversitesi İşletme Fakültesi Dergisi 39, 2, (2) 359-369 2 arasıda pozitif bir korelasyo söz kousu olduğuda, portföy betasıı de büyük olması riski arttırmaktadır. Tersie, arta bir pazarda portföy betasıı de küçük olması ise daha az risk ve pazarda daha az bir getiri alamı taşımaktadır. Negatif beta değerleri ise portföyü pazarla ters yöde hareket ettiğii bir göstergesi kabul edilmektedir. Bu çeşit belirsizlik ortamlarıda, beta katsayısı içi oluşturulucak üyelik foksiyou, beklee getiri ve riski üyelik foksiyoları ile birlikte e iyi portföyü belirlemesie yardımcı olacaktır. Aşağıda, üyelik foksiyoları oluşturulurke göz öüde buludurulması gereke durumlar özetlemiştir: Pazarda artış eğilimi var ve dalgalamalar az ise, portföy betası içi üyelik foksiyouu e iyi değeri de büyük bir değer etrafıda olacak şekilde, Pazarda artış eğilimi var ve dalgalamalar mevcut ise portföy betası içi üyelik foksiyouu e iyi değeri olacak şekilde, Pazarda düşüş eğilimi var ise portföy betası içi üyelik foksiyouu e iyi değeri egatif bir değer etrafıda olacak şekilde tasarlaabilir. Bu çalışmada baz alıaa döemde pazarı artış eğilimide olduğu gözlemiş ve hisse seetlerii betalarıı de düşük olduğu saptamıştır. Betaları de düşük olması, arta bir pazarda oluşturulacak portföyü daha az getiri sağlayacağı alamıa geldiğide, üyelik foksiyou e iyi değeri olarak belirlemiş ve ilgili üyelik foksiyou aşağıdaki gibi oluşturulmuştur: µ β (x) = [exp( c sbt [ 2,*β j x j ]) ] (9) Verdegay a göre bulaık kayaklı modeller aşağıdaki modele dektir [9]: Verdegay ı modeli: Mi Z Öyle ki; x X α Burada X α, α [, ] olmak üzere α - kesim kümesidir: X α = {x i, µ i α, x } () Sırasıyla (7) ve (9) eşitliği ile verile beklee getirii ve potföy betasıı üyelik foksiyoları, Verdagay ı modelideki X α da yerie koulursa, aşağıdaki eşitsizlikler elde edilir: / + [exp( - c sbt [exp( c sbt jmax j )] α () [ r x ρ M ] [,*β j x j ])] α () () eşitsizliğide dolayı Verdegay ı bulaık kayaklı modeli, parametrik bir modeldir. Böylece, bu varsayımda Koo-Yamazaki i determiistik modeli, doğrusal olmaya parametrik bir modele döüşür [4, 8]: 363
O. Kocadağlı, N. Ciemre / İstabul Üiversitesi İşletme Fakültesi Dergisi 39, 2, (2) 359-369 2 Model : Amaç foksiyou: Mi Z = T y t / T (2) t= Kısıtlar: atjx j t =, 2,, T (3) + atjx j t =, 2,, T (4) / + [exp( - c sbt jmax j )] α (5) [ r x ρ M ] x M (6) x j u j, j =, 2,, (7) Bu model α [, ] olmak üzere, beklee getirii α memuiyet seviyeleri göz öüe alıarak çözülebilir ve α ı belirli bir değeri içi hagi hisse seetlerie e kadar orada yatırım yapılması gerektiği buluabilir. Acak, giriş bölümüde bahsedildiği gibi amaç, çeşitli getiri ve risk kombiasyoları arasıda bir optimum çözüme ulaşmak olduğuda, bu model yeterli değildir. Werer, bulaık kayaklar ve bulaık eşitsizlik kısıtlarıda dolayı Model i amaç foksiyouu da bulaık olabileceğii ileri sürmüştür. Buu içi Model, sırasıyla α = ve α = (ya da sırasıyla e küçük ve e büyük α *) içi çözülerek miimum Z ve Z amaç foksiyou değerleri elde edilir. Beklee getiri değeri arttırıldığıda risk değerleri de artacağıda Z > Z olur. Yatırımcılar riske karşı duyarlı olduğuda, risk arttığıda memuiyetleri azalacaktır. Buu içi amaç foksiyouu üyelik foksiyou, Z ve Z değerlerii kullaılmasıyla doğrusal olmaya mooto azala bir üyelik foksiyou olarak tasarlamıştır (bkz. Şekil 2): µ Z (x) = / exp[c 2 sbt (Z Z )] ], Z Z Z (8) Beklee getirii ( µ ρ ), portföy betasıı ( µ β ) ve amacı ( µ Z ) üyelik foksiyoları yardımıyla optimal bir çözüm elde etmek içi Bellma ve Zadeh i max-mi operatörü kullaılabilir. Şöyle ki [4, 8], maxx α, α = mi[ µ Z ( x ), µ ρ (x), µ β (x)] (9) olmak üzere, max - mi operatörüü kullaılmasıyla problem çok amaçlı optimizasyo problemie döüşür []: max mi x (2) ifadesi de aşağıdaki probleme dektir [9]: Werers i modeli: Maks. α [ µ Z ( x ), µ ρ (x), µ β (x)] (2) 364
O. Kocadağlı, N. Ciemre / İstabul Üiversitesi İşletme Fakültesi Dergisi 39, 2, (2) 359-369 2 µ Z ( x ) α, µ ρ (x) α, µ β (x) α α [, ], x Üyelik foksiyolarıı Werers i modelie yerleştirilmesiyle, aşağıdaki bulaık amaç ve bulaık kayaklı doğrusal olmaya programlama modeli elde edilir: Model 2: Maks. α (2) T / exp [( c 2 sbt[ y t / T Z ] α, (22) t= / + exp( - c sbt [exp( c sbt [ rj x j ρ M ] ) α (23) max [ 2,*β j x j ]) ] α (24) atjx j, + atjx j t =, 2,, T (25) T Z y t / T Z (26) t= x M, x j u j,, α [, ] (27) Bu model yardımıyla karar vericiler, (22)-(24) eşitsizlikleride kullaıla üyelik foksiyoları yardımıyla hem risk hem de getiri düzeylerii eş alı değerledirerek optimal bir çözüme ulaşabilirler. Böylece, α * optimal memuiyet seviyesi, kullaıla üyelik foksiyoları yardımıyla belirlediği gibi, risk ve beklee getiri arasıdaki dege hisse seedi verilerie bağlı olarak da sağlamaktadır. 4. Uygulama Bu çalışmada, İMKB3 da Nisa 28 de işlem göre 3 hisse seedii 42 seastaki kapaış değerleri kullaılarak, bulaık doğrusal olmaya matematiksel programlama yaklaşımıyla e iyi portföy oluşturulmaya çalışılmıştır. Buu içi hisse seetlerii artış yüzdeleri bulumuş ve her bir hisse seedii beklee getirisi hesaplamıştır. (7) deki üyelik foksiyouu parametreleri c sbt =, M =, beklee getiri oraı olarak hisse seetlerii e yüksek getiri oralarıı ortalaması (% 4,83) ve e yüksek getiriler ( r ) göz öüde buludurularak beklee getirii üyelik foksiyou Şekil deki gibi j max oluşturulmuştur. Portföy betasıı üyelik foksiyou, c sbt = içi Şekil 2 deki gibi oluşturulmuştur. 365
O. Kocadağlı, N. Ciemre / İstabul Üiversitesi İşletme Fakültesi Dergisi 39, 2, (2) 359-369 2 Şekil Getirii Üyelik Foksiyou Şekil 2 Portföy Betasıı Üyelik Foksiyou Beklee getirii üyelik foksiyouu oluşturulmasıda kullaıla beklee getiri seviyesi, İMKB3 edeksii tredii gözöüde buludurulması ile e yüksek getirileri ortalaması olarak alımıştır. Bu değer tutucu bir yatırımcı içi e küçük getirileri ortalaması, makul bir yatırımcı içi de tüm getirileri ortalaması olarak alıabilir. Şekil 3 de İMKB 3 edeksii ilgili döemdeki tredi görülmektedir. Portföy betasıı üyelik foksiyou da yukarıdaki beta değeri ile ilgili açıklamalar dikkate alıarak oluşturulmuştur. Nisa 28 seas kapaış değerleri Edeks 45 4 35 3 25 2 5 5 3 5 7 9 3 5 7 9 2 23 25 27 29 3 33 35 37 39 4 Seaslar edeks Şekil 3 Nisa 28 İMKB 3 Edeksi Getirii üyelik foksiyouu Model de kullaılması ve sırasıyla α = ve α =,99 alıarak miimize edile risk değerleri Z =,28 ve Z =,6 olarak bulumuştur. Bu değerler (8) deki foksiyoda yerie koularak ve c sbt = alıarak amaç foksiyoua ait üyelik foksiyou Şekil 4 deki gibi elde edilmiştir. 366
O. Kocadağlı, N. Ciemre / İstabul Üiversitesi İşletme Fakültesi Dergisi 39, 2, (2) 359-369 2 Şekil 4 Riski (Amaç Foksiyou) Üyelik Foksiyou So olarak gerekli değerler Model 2 de yerie koularak optimal α* =,53 seviyeside yatırım yapılması gereke hisse seetleri ve buları yatırım oraları Tablo deki gibi bulumuştur. Ayrıca, portföyü beklee getirisi %4,93; riske karşılık gele amaç foksiyou değeri ise,6 olarak elde edilmiştir. Bulua souçları tutarlılığı açısıda %4,93 getiri seviyeside (ρ = 4,93) e iyi çözüm, Koo Yamazaki ve Markowitz modeli ile araştırılmış, ilgili modelleri belirledikleri portföyleri riski ifade ede stadart sapmaları ve beta değerleri Tablo 2 de verilmiştir. Tablo Model 2 i Belirlediği Yatırım Payları (%) AKBNK AKGRT ARCLK ASYAB AYGAZ DOHOL DYHOL EREGL GARAN HALKB 5,9,, 6,3,, 5,94,,, HURGZ IHLAS ISCTR ISGYO KCHOL KRDMD MIGRS PETKM PTOFS SAHOL, 9,24,,,, 2,9,,, SISE SKBNK TCELL THYAO TKFEN TSKB TUPRS ULKER VAKBN YKBNK,,,8 6,79 5,55,,,,, Tablo de yatırım yapılması gereke hisse seetleri ve yatırım payları (%) görülmektedir. Burada, sekiz hisse seedie belirtile oralarda yatırım yapıldığıda Model 2 i amaç foksiyoua göre,6 lık bir risk düzeyide %4,93 lük bir getiri elde edilebileceği söyleebilir. Tablo 2 Modelleri Karşılaştırılması Model / Portföy Stadart Sapma Beta Model 2 7,5678E-5,9757 Koo Yamazaki 5,96E-5,3958 Markowitz 3,94899E-5,422 Tablo 2 de aalizde kullaıla modelleri belirledikleri porföyleri stadart sapmaları ve beta katsayıları verilmiştir. Tablo 2 de, 4,93 lük bir beklee getiri düzeyide Markowitz i modelii e düşük stadart sapmalı, öerile modeli ise e yüksek beta katsayılı portföyü belirlediği söyleebilir. Üç modeli belirledikleri portföyleri riskleri sırasıyla yaklaşık bide,7;,5 ve,4 tür. 5. Souç ve Öeriler Bu çalışmada riski, getirii ve portföy betasıı üyelik foksiyoları yardımıyla risk ve getiri eş alı değerledirilerek optimal bir karar alımıştır. Bu karar farklı beklee getiri seviyelerie karşılık gele riski saptamaya gerek kalmada yapılmıştır. Nitekim Koo- Yamazaki i modeli hisse seedi sayısıdaki artışa bağlı olarak riski belirlemek içi yapılacak aalizleri sayısıı arttıracağı gibi hassas bir çözümü de zorlaştıracaktır. Bu 367
O. Kocadağlı, N. Ciemre / İstabul Üiversitesi İşletme Fakültesi Dergisi 39, 2, (2) 359-369 2 çalışmada öcelikle Model kullaılarak miimum ve maksimum risk değerleri bulumuş ve elde edile bu risk aralığı yardımıyla riske ait üyelik foksiyou oluşturulmuştur. Model 2 yardımıyla da beklee getiri, risk ve portföy betasıı üyelik foksiyoları birlikte değerledirilerek optimal α * bulumuş ve bu değere karşılık gele e iyi portföy saptamıştır. Böylece, farklı getiri ve risk seviyelerii asıl değerledirilmesi gerektiği sorusuu yaıtı sağlamış olup, Koo Yamazaki modelideki beklee getiri ve risk karmaşası giderilmiştir. Ayrıca, Model 2 ile belirlee e iyi portföyü beklee getiri seviyeside, Markowitz ve Koo Yamazaki modelleri test edilmiş ve bu modelleri belirledikleri portföyleri stadart sapmaları ve beta katsayıları elde edilmiştir. Tablo 2 de görüldüğü gibi öerile model, 4,93 lük bir getiri seviyeside diğer modelleri ayı getiri seviyeside belirledikleri portföyleri riskide az da olsa daha büyük bir risk içerse de, diğer modelleri portföylerii betalarıda daha iyi bir beta değerie ulaşmıştır. Nitekim Şekil 3 te İMKB3 edeksii tredii yukarı doğru olması bu soucu desteklemektedir. Ayrıca, getirii üyelik foksiyouda beklee getiri seviyesii düşürülmesi veya farklı c sbt değerleri kullaılarak modeli daha az bir risk ile kestirimler yapması da sağlaabilir. Souç olarak, öerile modeli tutarlılığı saptadığı gibi üyelik foksiyoları yardımıyla getiri ve risk daha kısa sürede ve daha doğru değerledirilmiştir. Ayrıca, öerile modeli, başka çeşit üyelik foksiyolarıa da açık olması modeli diğer üstü tarafıı göstermektedir. Sırasıyla beklee getiri, portföy betası ve riski üyelik foksiyolarıı göstere (7), (9) ve (8) deki c sbt leri e olması gerektiği karar vericiler içi bir soru işareti olabilir. Bu durumu üsteside; getiri, risk ve tred üçlüsü göz öüde buludurularak izleilecek biliçli bir strateji yardımıyla geliebilir. Öreği borsadaki dalgalamaları yoğu olduğu döemlerde riski üyelik foksiyoudaki c sbt i değeri yüksek, getirii c sbt si ise düşük tutulabilir. Dalgalamaları az olduğu döem de ise c sbt ler içi tam tersi bir durum uygulaabilir. Böylece, üyelik foksiyoları yardımıyla piyasalara göre hareket edilebilir. Bu çalışmada c sbt ler içi değeri alıarak üyelik foksiyolarıı içerdiği üstel foksiyou sağladığı hassasiyet yeterli görülmüştür. Ayrıca, riski üyelik foksiyouda üstel foksiyou karesi kullaılarak riske ola hassasiyet getiriye göre arttırılmıştır. Kayakça [] S. Cabaş ve H. Doğukalı, Fiasal Pazarlar; Fiasal Kurumlar ve Sermaye Pazarı Aalizleri. Beta, İstabul, 2, pp.287-288. [2] J. C. Fracis, Ivestmets. McGraw-Hill Iteratioal Editios, New York, 99, p.239. [3] M. Ata ve S. Duma, Koo Yamazaki Portföy Modelii Doğrusal Programlama Yardımıyla Çözümlemesi, 4. İstatistik Kogresi, İstatistik Mezuları Dereği ve Türk İstatistik Dereği, Atalya (25). [4] O. Kocadağlı, Bulaık Doğrusal Programlama Yaklaşımıyla Portföy Oluşturulması, Ya-em 26, Bildiriler Kitabı ve CD si. İzmit - Kocaeli, 26, pp.355-359. [5] H. Koo ad H. Yamazaki, Mea-Absolute Deviatio Portfolio Optimizatio Model ad Its Applicatios to Tokyo Stock Market. Maagemet Sciece, 37, 5, 59-53 (99). [6] T.J. Ross, Fuzy Logic with Egieerig Applicatios. McGraw-Hill, Ic., Sigapore, 997, p.4. 368
O. Kocadağlı, N. Ciemre / İstabul Üiversitesi İşletme Fakültesi Dergisi 39, 2, (2) 359-369 2 [7] Y.M. Masur, Fuzzy Sets ad Ecoomics. Edvard Elgar Publishig Compay, Oklahoma, 995, p.2. [8] O. Kocadağlı, Optimal Hisse Seetlerii Belirlemeside Bulaık Doğrusal Olmaya Portföy Modeli, Ya-em 28 Bildiriler Kitabı ve CD si, İstabul, 28, p.44. [9] Y. Lai, C.L. Hwag, Fuzzy Mathematical Programmig. Sipreger-Verlag, Berli, 992, p.8-88. [] T. Korkmaz, M. Pekkaya, Excel Uygulamalı Fias Matematiği, Eki Kitapevi, Bursa, 25, p.523. [] L.X. Wag, A Course i Fuzzy - Systems ad Cotrol. Pretice-Hall Ic, Eastboure, 997, pp.384-385. [2] B. Werers, A Iteractive Fuzzy Programmig System, Fuzzy Set ad Systems. Europea Joural of Operatio Research. 3 (987). [3] H.J. Zimmerma, Fuzzy Programmig ad Liear Programmig with Several Objective Fuctios. Fuzzy Sets ad Systems. (978). [4] H.M. Markowitz, Portfolio Selectio: Efficiet Diversificatio of Ivestmets. Joh Wiley & Sos, New Jersey, 959. [5] İ. Ertuğrul, D. Pelitli, Portföy Aalizide Bulaık Matık Yaklaşımı. İktisat, İşletme ve Fias Dergisi. 23, 265, 9-3 (28). [6] J.L. Verdegay, Fuzzy Mathematical Programmig, i Approximate Reasoig Decisio Aalysis (Gupta, M. M. ad Saches, E. Eds.), North Hollad, Amsterdam, 982. [7] J. Watada, Fuzzy Portfolio Model for Decisio Makig i Ivestmet, i Dyamical Aspects i Fuzzy Decisio Makig (Y. Yoshida Eds.). Physica-Verlag, Heidelberg, 2. [8] K.F. Reilly, Ivestmet Aalysis ad Portfolio Maagemet. The Dryde Press, Chicago, 989, p.256. [9] M. Bartholomew-Bigs, Noliear Optimizatio with Fiacial Applicatios. Kluwer Academic Publishers, 25. [2] M.V. Vasat, Solvig fuzzy liear programmig problems with modified S-curve membership fuctio. World Scietific Publishig Co., Ic, 25. [2] N. Bozdağ, H. Türe, Bulaık Doğrusal Programlama ve İMKB Üzerie Bir Uygulama, 8. Türkiye Ekoometri ve İstatistik Kogresi. Malatya. (27). [22] T.K. Roy, S.K. Mazumder, Multi objective Mea-variace-skewess model for portfolio Optimizatio, Advaced Modellig ad Optimizatio. 9 (27). [23] Y. Fag, et al., Fuzzy Portfolio Optimizatio, Spriger-Verlag, Berli, 28, pp.63-77. [24] Y. Fag, et al., Portfolio Rebalacig Model With Trasactio Cost Based o Fuzzy Decisio Theory. Europea Joural of Operatioal Research. (25). [25] M.H. Fazel, E.H. Yazdi, A Type-2 Fuzzy Rule Based Expert System Model for Portfolio Selecetio. Atlatis Press, 28. 369