ara Yönetimi ve aranın Zaman Değeri ara Yönetimi ve aranın Zaman Değeri aiz: aranın maliyeti Ekonomik Eşdeğerlik aiz ormülleri Özel Eşdeğerlik Hesaplamaları TOBB ETÜ aranın Zaman Değeri aranın zaman değeri vardır, çünkü para zaman içerisinde daha fazla para kazandırabilir (kazanma gücü). aranın zaman değeri faiz oranı cinsinden ölçülür. aiz paranın maliyetidir. Borç alan için maliyet, borç veren için ise kazançtır. aranın Zaman Değeri Satın alma gücü: Bir dövizin değerinin 1 birim para ile alınabilecek mal cinsinden ifadesidir. Bugünkü 1 TL gelecekteki 1 TL den daha değerlidir çünkü bugünkü paranın faiz getirisi olabilir. Yaz 2011
Geri Ödeme lanları akit Akış (Cash low) Diyagramı Yıl Sonu Borç Ödemeler lan 1 lan 2 Yıl 0 $20,000.00 $200.00 $200.00 Yıl 1 5,141.85 0 Yıl 2 5,141.85 0 Yıl 3 5,141.85 0 Yıl 4 5,141.85 0 Yıl 5 5,141.85 30,772.48 = $20,000, A = $5,141.85, = $30,772.48, i=%9 Dönem Sonuna Toplama aiz Hesaplama Yöntemleri Basit faiz: sadece başlangıçtaki ana paraya faiz uygulanması Birleşik faiz: başlangıçtaki ana paraya ve önceki ödenmemiş birikimli faize faiz uygulanması Yıl Sonu Başlangıç Bakiye aiz Sonuç Bakiye 0 $1,000 1 $1,000 $80 $1,080 2 $1,080 $80 $1,160 3 $1,160 $80 $1,240 Yıl Başlangıç Bakiye Biriken aiz Yıl Sonu Bakiye 0 $1,000 1 $1,000 $80 $1,080 2 $1,080 $86.40 $1,166.40 3 $1,166.40 $93.31 $1,259.71
Basit aiz ormülü ( i) Bileşkelendirme İşlemi $1,100 = Başlangıçtaki anapara i = basit faiz oranı = faiz periyodu sayısı = periyot sonundaki toplam biriken para 0 $1,000 1 $1,210 2 3 $1,331 $1, 000 (0.10)($1, 000)(3) $1,100 $1,300 $1,210 akit Akış Diyagramı Bileşke aiz ormülü 0 $1,000 $1,331 1 2 3 $1, 000(1 0.10) $1,331 3 n 0: n 1: (1 i) 1 n 2: (1 i) (1 i) 2 1 n : (1 i) 2
Bazı Temel Kanunlar m a V i R E m c 2 Bileşke faiz nin Temel Kanunu (1 i) The greatest mathematical discovery of all time, Albert Einstein Örnek roblem 1 roblem %10 faiz veren bir yatırım hesabına şu anda $100 (n = 0) ve bundan iki sene sonra da $200 (n = 2) yatırırsanız 10 senenin sonunda toplam ne kadar paranız olur? Çözüm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $100 $200 10 $100(1 0.10) $100(2.59) $259 8 $200(1 0.10) $200(2.14) $429 $259 $429 $688
Örnek roblem 2 roblem 4 yıllık bir süreçte gerçekleşen aşağıdaki nakit akışını ele alalım. Eğer faiz oranı %10 ise 4 yılın sonundaki eşdeğer miktar ne kadar olacaktır? 0 1 $1,210 2 3 4? $1,210? 0 1 4 2 3 $1,000 $1,000 $1,500 $1,000 $1,000 $1,100 $1,000 $2,100 $2,310 -$1,210 $1,100 $1,500 $1,210 + $1,500 $2,710 $2,981 Ekonomik Eşdeğerlik Ekonomik Eşdeğerlik Ekonomik eşdeğerlik, iki nakit akışının aynı ekonomik etkiye sahip olması ve bu yüzden birbiriyle değiştirilebilmesidir. akit akışındaki miktarlar ve zamanlar farklı olmasın rağmen, uygun bir faiz oranı iki nakit akışını birbirine eşit yapar. Eğer kadar para şimdi dönem için i faizinden yatırılırsa, dönem sonra kadar para elimize geçecektir. dönem sonraki kadar para şimdiki kadar paraya eşdeğer olmaktadır. ara kazanma gücümüz i faiz oranı ile ölçülmektedir. 0 ( 1 i) (1 i)
Ekonomik Eşdeğerlik 20,000 YTL Banka Kredisi Ödeme lanları Geri ödemeler lan 1 lan 2 lan 3 Yıl 1 $5,141.85 0 $1,800.00 Yıl 2 5,141.85 0 1,800.00 Yıl 3 5,141.85 0 1,800.00 Yıl 4 5,141.85 0 1,800.00 Yıl 5 5,141.85 $30,772.48 21,800.00 Toplam ödeme $25,709.25 $30,772.48 $29,000.00 Ekonomik Eşdeğerlik Örnek (4.3): Size bugün için dolar ödeme veya 5 yıl sonunda $3000 ödeme alternatifleri sunulmuş olsun. Şu anda paraya ihtiyacınız olmadığı için size verilen doları %8 yıllık faizle bankaya yatırmaya karar vermiş olun. Hangi miktarı sizin için bu iki alternatif ödeme planını eşdeğer yapacaktır? Toplam ödenen faiz $5,709.25 $10,772.48 $9,000.00 Ekonomik Eşdeğerlik İki akit Akışının Eşdeğerliği rensip 1: aranın değerini hesaplayacağınız zamanı seçin. Eğer bugünü seçerseniz bugünkü değeri (present worth) hesaplamış olursunuz, gelecekte bir zamanı seçerseniz gelecekteki değeri (future worth) hesaplarsınız. rensip 2: Eşdeğerlilik seçilen faiz oranına bağlıdır. rensip 3: Eşdeğeri hesaplarken birden fazla ödemeyi tek bir ödemeye dönüştürmemiz gerekebilir. rensip 4: Karşılaştırılan nakit akışlarının birbirine eşdeğer olması seçilen zamana ya da kimin açısından bakarak değerlendirme yapıldığına bağlı değildir.
Eşdeğer akit Akışları Herhangi Bir Zaman oktasında Eşdeğerdir akit Akış Türleri Tek nakit akışı Eş (uniform/equal) ödeme serisi Doğrusal artımlı (Linear Gradient) seri Geometrik artımlı seri Düzensiz ödemeli seri Tek akit Çıkışlı ormül Tek akit Girişli ormül Tek ödeme, bileşik faiz, gelecek değer Verilen: i 10% 8 years $2, 000 İstenen: 8 $2, 000( 1 010. ) $2, 000( /, 10%,8) $4, 28718. Compound factor 0 ( 1 i) ( /, i, ) Appendix deki tablolar formüller yerine kullanılabilir!!! Tek ödeme, bileşik faiz, şimdiki (bugünkü) değer Verilen: i 12% 5 years $1, 000 İstenen: 5 $1, 000( 1 0. 12) $1, 000( /, 12%,5) $567.40 Discount factor 0 ( 1 i) ( /, i, )
Tek akit ormülü Örnek (4.9): Şimdi $10 aldığınız bir hisse senedini 5 yıl sonra $20 dan satmış olun. Bu durumda ortalama yıllık geri dönüş oranı nedir? Çözüm: ormülde deneme-yanılma yaparak değerin bulunması (uzun ve verimsiz bir yöntem) aiz çarpımlar tablosunu kullanarak (yaklaşık değerin) bulunması (tam sayı olmayan faiz oranları ve için zor) inansal fonksiyonları çözen hesap makinesi yada Excel gibi programların kullanılması (e.g., RATE(5,0,-10,20)) =(1+i) 20 = 10(1+i) 5 i=%14.87 Tek akit ormülü Örnek (4.10): XYZ firmasının 100 adet hisse senedini $60/hisse fiyattan almış olalım. lanımız hisse senedinin değeri iki katına çıktığında elimizden çıkarmaktır. Hisse fiyatının yılda %20 artacağını tahmin edildiğinde, hisseyi satmak için kaç yıl beklememiz gerekir? =(1+i) = (/, i,) 12,000 = 6,000 (1+0.20) log 2 =. log 1.2 =3.80 veya yaklaşık 4 yıl Veya Excel => ER (0.2, 0, -6000, 12000) => Dönem_Sayısı(0,2; 0; -6000; 12000) Düzensiz ödeme serisi Örnek (4.11): Aşağıda belirtilen 4 yıllık harcamaları karşılamak için ne kadar para bankaya yatırılmalıdır (faiz oranı %10)? Yıl 1: Müşteri hizmetleri için bilgisayar ve yazılımları için $25,000 Yıl 2: Mevcut sistemi yükseltmek için $3000 Yıl 3: Harcama yok Yıl 4: Yazılım yükseltmeler için $5,000 Düzensiz ödeme serisi: Örnek 1 2 4 $25, 000( /, 10%,1) $3, 000( /, 10%,2) $5, 000( /, 10%,4) 1 2 4 İKT 321 $28, 622
Örnek roblem Çözüm $100 $80 $120 $150 $200 $100 = V $120 V $150 $200 $100 $80 $100 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 3. eriyodun sonudaki eşdeğer miktarı %10 faiz durumunda bulunuz. 0 1 2 3 4 5 V3 $511.90 $264.46 $776.36 V Eşit Ödemeli Seri $100 $80 $120 $150 $200 $100 $200(1 0.10) $100(1 0.10) $264.46 1 2 A A A 0 1 2 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 2 100(1 0.10) $80(1 0.10) $120(1 0.10) $150 $511.90 0
Gelecek Eşdeğer Karşılığın () Bulunması A A A 0 1 2 A(1+i) -2 A(1+i) -1 0 1 2 1 2 (1 i) 1 A(1 i) A(1 i) A A i A Eşit Ödemeli Seri Bileşik değer faktörü A, i ve verilince i bulmak: dönem boyunca %i kazandıran dönemsel ödemelerin (A) gelecekteki değeri,. Bileşik değer faktörü: (/A, i, ) Örnek (4.13): 10 yıl boyunca her yıl sonunda banka hesabınıza $3000 yatırmış olun. %10 faiz oranından hesabınızın 10 yıl sonraki değeri ne olur? Eşit Ödemeli Seri Bileşik değer faktörü 0 1 2 3 A ( 1 i) 1 A i A ( / Ai,, ) Örnek 4.13: Verilen: A = $3,000, = 10 yıl ve i = %10 İstenen: Çözüm: = $3,000(/A,%10,10) = $47,812.2 Eşit Ödemeli Seri Birikim Hesabı (Sinking und), i ve verildiğinde A nın hesaplaması: Birikecek para (), ne kadar zamanda () birikmesi gerektiği ve faiz oranı (i) verilince dönemsel ödeme (A) miktarını bulmak. Bu tür hesaplamalar genellikle sabit değerlerin/varlıkların (fixed assets) yenilenmesi için her dönem bir hesaba sabit para yatırması ile ilgili hesaplardır.
Eşit Ödemeli Seri Birikim Hesabı (Sinking und) Örnek (3.15): Bir baba çocuğuna 5 yıl sonra $5,000 sahip olma hedefine ulaşması için şimdi $500 vermiştir. Çocuk ise, yarı-zamanlı bir işte çalışarak her yıl sonunda hesaba ilave olarak sabit bir miktar yatırmıştır. Eğer yıllık faiz %10 ise, çocuğun her yıl yatırdığı para miktarı ne kadardır? Eşit Ödemeli Seri Birikim Hesabı (Sinking und) 0 1 2 3 A Örnek 4.15: Verilen: = $5,000, = 5 yıl ve i = 10% İstenen: A Çözüm: =500( /, %10, 5)= 805.25 A = $(5,000-805.25)(A/,%10,5) = $687.1 i A ( 1 i) 1 ( A/, i, ) Eşit Ödemeli Seri Üç Alternatif Yatırım lanı Ödemeler yılın sonunda değil de başında yapılırsa ne olur? Örnek 3.16 deki ödemelerin yılın başında olduğunu kabul edersek, 10. yıl sonunda hesap bakiyesi ne olur?
Çözüm: Yatırımcı A: Yatırımcı B: Yatırımcı C: Balance at the end of 10 years 65 $2,000( / A,9.38%,10)(1.0938)( /,9.38%,31) 65 65 $545, 216 $33,845 $2,000( / /A, A,9.38%,31)(1.0938) $352, 377 $2,000( / /A,,9.38%,41)(1.0938) $897, 594 $322,159 $820,620 v Eşit Ödemeli Seri Sermaye geri kazanımı (capital recovery) Sermaye/Özkaynak geri kazanım veya dönemsel ödeme (capital recovery factor, CR veya Annuity factor) hesaplamaları, i ve verildiğinde A nın hesaplaması: Alınan kredi veya yatırım (), ne kadar zamanda () geri ödenmesi gerektiği ve faiz oranı (i) verilince dönemsel ödeme (A) miktarını bulmak. Ev ve araba kredi geri ödeme hesapları bunun tipik örneklerindendir. A i i ( 1 ) ( 1 i) 1 ( A/, i, ) Eşit Ödemeli Seri Sermaye geri kazanımı (capital recovery) Örnek (3.17): BioGen, biyoteknoloji alanında çalışan küçük ölçekli bir firmadır. irma, laboratuar donanımı almak amacıyla $250,000 kredi almıştır. Kredi yıllık %8 faiz ve 6 yıl eşit ödemeli şeklindedir. Her yıl ödenmesi gereken kredi taksit miktarını nedir? Eşit Ödemeli Seri Sermaye geri kazanımı (capital recovery) 0 1 2 3 A Örnek 3.17: Verilen: = $250,000, = 6 yıl, i = %8 İstenen: A Çözüm: A = $250,000 (A/,%8,6) = $54,075 A i i ( 1 ) ( 1 i) 1 ( A/, i, )
Eşit Ödemeli Seri Sermaye geri kazanımı (capital recovery) Örnek 3.17 daki kredinin geri ödemelerini 1. yıl sonunda değil de 2. yılın sonunda başlasalar ve yine 6 eşit ödeme yapsalar, bankanın aynı miktar kar elde edebilmesi için aylık ödemelerin kaç dolar olması gerekir? Ertelenmiş Geri Ödeme 2-Adımlı rosedür ' $250,000( /,8%,1) $270, 000 A' $270,000( A/,8%,6) $58, 401 Eşit Ödemeli Seri Bugünkü değer faktörü periyodu boyunca yapılan A eşit ödemelerinin i faiz oranına göre bugünkü değeri,, nedir? ( 1 i) 1 A i( 1 i) A ( / Ai,, )
Eşit Ödemeli Seri Bugünkü değer faktörü Eşit Ödemeli Seri Bugünkü değer faktörü Örnek: 9 yıl boyunca yılda $32,639 veya şimdi $140,000 toplu ödeme şeklinde iki alternatiften, yıllık banka faizinin %10 olduğu durumda hangisini seçersiniz? 0 1 2 3 A ( 1 i) 1 A i( 1 i) A ( / Ai,, ) Örnek 4.18: Verilen: A = $32,639, = 9 yıl ve i = %10 İstenen: Çözüm: = $32,639(/A,%10, 9) = $187,968 > 140,000 toplu para tercih edilmez Eşit Ödemeli Seri Bugünkü değer faktörü Hem eşit ödemeler hem de gelecekte bir ödeme olsa (composite series) bugünkü değeri nasıl hesaplardınız? Özet - aktörler Tablosu Bulunacak Verilen aktör Sembol Adı Single ayment resent Worth (1+i) -n (/, i,n) actor (SW), Discount actor (1+i) n (/, i,n) Single ayment uture Worth actor (SW), Compound actor Uniform Series resent Worth A [(1+i) n - 1] / [i (1+i) n ](/A, i,n) actor (USW) A [i (1+i) n ]/[(1+i) n - 1] (A/, i,n) Capital Recovery actor (CR) Uniform Series uture Worth A [(1+i) n - 1] / i (/A, i,n) actor (USW) A i / [(1+i) n - 1] (A/, i,n) Sinking und factor (S)