04.0.03 Taımlayıcı İtattler Bölüm 3 Taımlayıcı İtattler Br ver et taıma veya brde azla ver et arşılaştırma ç ullaıla ve ayrıca öre verlerde hareet le rea dağılışlarıı ayıal olara özetleye değerlere taımlayıcı tattler der. Aalzlerde ullaıla ver tplere (bat, gruplamış, ıılamış) göre heaplamalarda ullaılaca ormüller değşmetedr. Yer Ölçüler )Artmet ort. )Geometr ort. 3)Harmo ort. 4)Mod 5)Medya 6)Kartller Taımlayıcı İtattler Değşel Ölçüler ) Rage (Değşm Aralığı) ) Ort. Mutla apma 3) Varya 4) Stadart Sapma 5) Değşel(Varyayo) Katayıı Çarpılı Ölçüler )Pearo Ametr Ölçüü )Bowley Ametr Ölçüü Baılı Ölçüler Yer Ölçüler Yer ölçüüü belrleme amacıyla ver aalz yapaca ş, öcelle ver et ç hag ölçüyü ullamaı geretğe arar vermeldr. 3 4 Taım Merez Eğlm Ölçüü Ver et orta otaı veya merez değerdr. ) Artmet Ortalama Üzerde celeme yapıla ver etde elemaları toplaıp celee elema ayııa bölümeyle elde edle yer ölçüüe artmet ortalama der. Öre: Sıav otlarıı ortalamaı, Yaz aylarıda m ye düşe ortalama yağış mtarı 5 6
04.0.03 Öre Ortalamaı ve Aaütle Ortalamaı, -bar şelde telauz edlr ve örelem ortala maıdır. = µ, mü şelde telauz edlr ve aaütle ortalamaıdır µ = N Br Dege Notaı Olara Ortalama, 4, 9, 3, 50 ayılarıı ortalamaı =3 tür. Şel ayıları br çzg üzerde yerleştrlmş eşt üçü ağırlılar şelde göterr.,4,9,3,50 Artmet ortalama dege otaıdır. 4 9 3 50 7 8 Eğer çzgy üzerde ağırlılar ola br tahta olara düşüüre, tahtayı degede tutma ç ü buluduğu yerde dege otaı oymalıyız. Bu artmet dege otaıı özellğ; her br ayı ç - yü heaplara pozt ve egat ayılar degede alır çüü toplamları 0 olur. Herhag br ver et ç, Bat Verler ç Artmet Ortalama Öreğ Öre: İzmr lde löğretm c ııta ouya öğrecler üzerde yapıla br araştırmada ragele 8 öğrec eçlmş ve alezde aç çocu vardır oruua aşağıda gb cevap vermşlerdr. Aleler çocu ayılarıı ortalamaıı heaplayıız. olur. ( ) uzalığı 0 9,3,,,4,5,6, = 8 =,,,8 3 4 5 6 3 8 Gruplamış Verler İç Artmet Ortalama : rea : grup ayıı =,,3,., Öre: Br otomobl bayde 80 gü boyuca yapıla celeme oucuda atıla arabaları adetlere göre dağılımı yada tabloda verlmştr. Bua göre br gü çde atıla ortalama araba ayııı heaplayıız. 0 70 4 3 30 86,33 80 80 Araba ( ) Gü ( ). 0 5 0 35 70 3 4 4 4 8 3 5 6 30 =80
04.0.03 Sıılamış Verler İç Artmet Ortalama m : rea : ıı ayıı =,,3,., m : ıı orta otaı Sıılamış verlerde her br ıı çde değerler eler olduğu blmedğde dolayı ve yalızca her br ııı rea değerler bldğde dolayı ııı teml etme üzere ıı orta otaları heaplamada ullaılır. Kullaıla ormül gruplamış verler ç ullaıla 3 ormüle bezerdr. Öre: Br ııta öğrecler boyları haıda br araştırma yapılmatadır. Bu amaçla 50 öğrec boyları ölçülere aydedlmştr.öğrecler boylarıı artmet ortalamaıı heaplayıız. Sıılar m m 50-57 de az 5 53,5 767,5 57-64 de az 7 60,5 3,5 64-7 de az 4 67,5 345 7-78 de az 9 74,5 570,5 78-85 de az 8 8,5 45 85-9 de az 4 88,5 754 9-99 da az 3 95,5 586,5 Toplam 50 8599 m 53,5(5) 60,5(7)... 95,5(3) 8599 7,98 cm. 50 50 Ağırlılı Ortalama Ver etde gözlemler belrl br rtere göre ağırlıladırılmaı durumuda ver et ortalamaıı heaplamaı ç ullaıla ortalamadır. w w w Öre: Aşağıda tabloda şparş büyülülere göre elde edle ar mtarları ve parş ayıları verlmştr. Bua göre br parşde elde edlece ortalama ar mtarı aç $ dır? Sparş büyülüğü Sparş başıa ar Sparş ayıı w w Küçü $ 0 $0 Orta $3 60 $80 Büyü $6 0 $0 Σw =00 Σ w=$40 w w 40 $, w 00 5 6 ) Geometr Ortalama Br ver etde bulua adet elemaı çarpımıı c derecede öüü alımaıyla elde edle yer ölçüüdür. G... Geometr ortalamaı ormülüe baıldığıda heaplama zorluğu olduğuda dolayı logartma ade ullaılır. Geellle bat verler ç ullaışlı olup egat ayılar ç ullaışlı değldr. log G at log Log G log 7 Ortalama oraları, Değşm Oraları, Geometr Ortalama ı Kullaım Alaları Logartm dağılış götere ver etler, ç ullaışlıdır. Öre: yat deler, az ormüller. 3
04.0.03 Öre: Abac şret yılda-yıla ola uel de tüetm harcamalarıı değşm yüzde -5, 0, 0, 40, ve 60. büyüme atörler geometr ortalamaıı ullaara harcamalarda ortalama yıllı yüzde değşm belrler. Büyüme atörler ç yüzde değşm döüştürme le elde edleler; 0.95.0.0.40.60 G 5... (0,95)(,0)(,0)(,40)(,60) 5.80896, 9 log 0,076 0,04393 0,0798 0,468 0,040 Log G 5 0,448546 Log G 0,0897 5 G = at log 0,7045 = 0 0,0897,9 3) Harmo Ortalama Br ver etde bulua adet elemaı çarpma şleme göre terler ortalamaıı ter alımaıyla elde edle yer ölçüüdür. Geellle bat verler ç ullaışlıdır. H... H... Harmo Ortalama ı Kullaım Alaları Zama verler ç ullaışlıdır. Öre: Zama brm başıa hız, para brm başıa atı alıa brm ayıı. Belrl oşullar ve yat tpler ç zama verler ortalamalarıı heaplamaıda ullaıla br yer ölçüüdür. Zamaa bağlı hız, yat vermll gb oraal olara ade edleble verler ortalamaı alımaıda da ullaılablr. NOT: ARİTMETİK ORT. > GEOMETRİK ORT. > HARMONİK ORT. Öre: Br tetl abraıda çalışa dört ş br patolou ütüleme üreler aşağıda verlmştr. Bua göre bu abrada br patolo ortalama aç daada ütüler? İşç : 0 d. İşç : 6 d. İşç 3: 4 d. İşç 4 : 5 d. 4) Mod Br ver etde e ço gözlee ( e ço terar ede ) değere veya reaı e azla ola şa değşe değere mod adı verlr. H 40 H 5,58d. 43 4 5 6 0 4 43 40 3 Ver et modu olmayacağı gb brde azla da modu olablr. Mod geellle el şa değşel ç oluşturula gruplamış verlerde artmet ortalama yere ullaılablr. 4 4
04.0.03 Mod Öreler Mod, büyü ver etlerde ver daha ço erede topladığıı bulma ç ullaılır. Öreğ ere ıyaetler ata br peraedec, potayel müşterler belrleme ç gömle ol uzuluğu ve gömle yaa ölçüüyle lgleeblr. Ncel ver et ço büyü olmadığı zama mod alamlı olmayablr. Ntelel verler ç ullaılablece te merez eğlm ölçüüdür. ) 5,40,0 0,4 0,73 0,48,0 ) 7 7 7 55 55 55 88 88 99 3) 3 6 7 8 9 0 Modu,0 de azla moda ahp, 7 ve 55 Modu yo 5 6 Gruplamış Verler İç Mod Bat verlerde buluduğu gb heaplaır. Öre: Br otomobl bayde 80 gü boyuca yapıla celeme oucuda atıla arabaları adetlere göre dağılımı yada tabloda verlmştr. Bua göre araba atışları ç mod değer edr? Araba( ) Satış aded ( ) 0 5 35 3 4 4 8 5 6 E yüe reaa ahp ola gözlem değer olduğuda dolayı araba atışları ç mod değer dr. 7 Sıılamış Verler İç Mod Sıılamış verlerde mod değer heaplaıre l olara mod ııı belrler. Mod ııı reaı e yüe ola ııtır. Mod ııı belrledte ora bu ıı çerde yer ala modu tam değer ıı reaı ve ede omşu ola ıı reaları date alıara heaplaır. 8 Mod = L mod. Öre: Br ııta öğrecler boyları haıda br araştırma yapılmatadır. Bu amaçla 50 öğrec boyları ölçülere aydedlmştr.öğrecler boylarıı mod değer heaplayıız. L Mod = Mod Sııı Aralığıı Alt Sıırı = Mod Sııı Freaı - Kedde Br Öce Sıı Freaı = Mod Sııı Freaı Kedde Br Sora Sıı Freaı = Mod Sıııı Sıı Aralığı Mod ııı Sıılar 50-57 de az 5 57-64 de az 7 64-7 de az 4 7-78 de az 9 78-85 de az 8 85-9 de az 4 9-99 da az 3 Toplam 50 9 5
04.0.03 Freaı e yüe ola ıı mod ııı olara belrler. Mod ııı belrledte ora ormülde lgl değerler yere oyulara mod değer heaplaır. 5) Medya Br ver et büyüte üçüğe veya üçüte büyüğe ıraladığımızda tam orta otada ver et eşt parçaya ayıra değere medya adı verlr. Mod Lmod (4 7) 64 7 68,08 cm. (4 7) (4 9) Ver etde aşırı uçlu elemalar olduğuda artmet ortalamaya göre daha güvelrdr. Medya, ver etde tüm elemalarda etlemez. 3 Bat Verler İç Medya Ver Set Hacm Te Sayı İe; 5.40.0 0.4 0.73 0.48.0 0.4 0.48 0.73.0.0 5.40 c gözlem değer medyadır. Medya bu otaı araıa düşmetedr 0.73 +.0 MEDYAN 0.95 Ver Set Hacm Çt Sayı İe; ve c gözlem değer artmet ortalamaı medyadır. 33 5.40.0 0.4 0.73 0.48.0 0.66 0.4 0.48 0.66 0.73.0.0 5.40 Tam ortada değer medyadır. MEDYAN 0.73 34 Gruplamış Verler İç Medya Gruplamış verlerde medya değer heaplaıre ver et tam orta otaıı hag gruba at olduğuu belrleme ç brml rea ütuu oluşturulur. Sıra umaraı belrledte ora o ıra umaraıa at grup medya değer olara ade edlr. Öre: Br u abraıı atış mağazaıda br gü çde atıla u paetler gramajlarıa göre göre atış adetler aşağıda verlmştr. Bua göre ver et ç medya değer heaplayıız. Araba Satış aded Brml Frea ( ) 0 5 5 7 35 5 3 4 66 4 8 74 5 6 80 35 / ve (/)+ c gözlem değerlere arşılı gele değerler (40 ve 4 c ıra ) olduğuda dolayı medya değer dr. 6
04.0.03 Frea dağılımı aşağıda gb olaydı (+)/ c elemaa (40 cı elemaa) arşılı gele değer 8 olacağıda dolayı ver et medyaı 3 olara heaplaacatı. Araba Satış aded Brml Frea ( ) 0 5 5 7 39 3 3 6 4 4 75 5 4 79 Sıılamış Verler İç Medya Sıılamış verlerde medya değer heaplaıre l olara medya ııı belrler. Medya ııı brml realar date alıdığıda toplam reaı yarııı çde buludura ııtır. Medya ııı belrledte ora medya ıııda br öce ııı brml reaı ve medya ııı reaı date alıara heaplaır. 38 Medya L l med. med Öre: Br ııta öğrecler boyları haıda br araştırma yapılmatadır. Bu amaçla 50 öğrec boyları ölçülere aydedlmştr.öğrecler boylarıı mod değer heaplayıız. L med : Medya ıııı alt ıırı l : Medya ıııda br öce ııı brml reaı med : Medya ıııı reaı Medya ııı Sıılar 50-57 de az 5 5 57-64 de az 7 64-7 de az 4 6 7-78 de az 9 35 78-85 de az 8 43 85-9 de az 4 47 9-99 da az 3 50 Toplam 50 39 Toplam 50 adet gözlem olduğuda dolayı, brml rea ütuuda 50/ =5 c gözlem buluduğu ıı medya ııı olara belrler. l Medya L med. med 5 64.7 70,5cm 4 Merez Ölçüm Ortalama Medya Mod Taım Orta değer E ı terar ede ver değer Naıl Varlığı Kullaılıyor E Ble ortalama Sılıla Kullaılır Ara ıra ullaılır Her Uç değer Değerlerde Date Etlerm? Alıırmı? Her zama vardır. Evet Evet Her zama vardır. Olmayablr ya da brde azla olablr. Hayır Hayır Hayır Hayır Avatajları ve Dezavatajları Brço tattel metodla y çalışır. Braç uç değer vara geellle y br terchtr Nomal düzeyde verler ç uygudur Verler mod etraıda metr olduları zama, mod, medya ve artmet ortalama brbrlere eşt olur. Eğer örelem ayı aaütlede çelmşe, artmet ortalama dğer ölçülere göre daha güvelrdr 4 7
04.0.03 Br ver et büyüte üçüğe veya üçüte büyüğe ıraladığımızda dört eşt parçaya ayıra üç değere artller adı verlr. İl % 5 l ımı çde buludura. Kartl (Q ), % 50 l ımı çde buludura. Kartl (Q ), % 75 l ımı çde buludura 3. Kartl (Q ), olara adladırılır. 6) Kartller %5 %5 %5 %5.Kartl Q Bat Verler İç Kartller 4 c gözlem değer, 3.Kartl Q 3 3( ) 4 c gözlem değer, %50 l ımı çde buludura. Kartl (Q ) ayı zamada ver et medyaıdır. Q Q Q 3 43 44 Öre: İtatt I der ala 0 öğrec vze otları aşağıda gb ıralamıştır. Bua göre vze otları ç Q ve Q 3 değerler heaplayıız. 30,4,56,6,68,79,8,88,90,98 (+)/4 cü ver ıra umaraı (0+)/4 =,75 dr. Q = 4 + 0,75.(56-4) = 5,5, 3(+)/4 cü ver ıra umaraı 3(0+)/4 = 8,5 dr. Q 3 = 88 + 0,5.(90-88) = 88,5 dr. 45 Ver et aşağıda gb verleyd, 30,4,56,6,68,79,8,88,90,98 (+)/4 cü ver ıra umaraı (9+)/4 =,5 dr. Q = 4 + 0, 5.(56-4) = 49, 3(+)/4 cü ver ıra umaraı 3(9+)/4 = 7,5 dr. Q 3 = 8 + 0, 5.(88-8) = 85, olara heaplaacatı. Gruplamış Verler İç Kartller Gruplamış verlerde artller heaplaıre ver et l çeyre ve o çeyre ımıı tam olara ade etme amacıyla brml rea ütüü oluşturulur. Gruplamış verlerde öre hacm te veya çt olduğua baılmaızı /4 cü elema.kartl (Q ), 3/4 cü elema e 3.Kartl (Q 3 ), olara ade edlr. 47 Öre: Br u abraıı atış mağazaıda br gü çde atıla u paetler gramajlarıa göre göre atış adetler aşağıda verlmştr. Bua göre ver et ç Q ve Q 3 edr? Araba Satış aded Brml Frea ( ) 0 5 5 7 35 5 3 4 66 4 8 74 5 6 80 /4 cü ( 0 c ) ıra umaraıa arşılı gele gözlem olduğuda;.artl, 3/4 cü ( 0 c ) ıra umaraıa arşılı gele gözlem 3 olduğuda; 3.artl 3 dür. 8
Frea 04.0.03 Sıılamış Verler İç Kartller Sıılamış verlerde artller heaplaıre l olara brml rea ütuu oluşturulara artl ııları belrler. Kartl ııları belrlere gruplamış verlerde olduğu gb /4 ve (3)/4 cü ıralarda elemaları hag ıılara at eler o ıılar artl ııları olur. Kartl ııları belrledte ora bu ıılarda br öce ııı brml reaı ve mevcut ıı reaı date alıara artl değerler heaplaır. 49. Kartl. Kartl 3. Kartl Q L Q Medya L l 4 Q. Q l Q. Q 3 l Q L 4. 3 Q 3 Q3 50 Öre: Br ııta öğrecler boyları haıda br araştırma yapılmatadır. Bu amaçla 50 öğrec boyları ölçülere aydedlmştr.öğrecler boylarıı brc ve üçücü artller heaplayıız. Q ııı Q 3 ııı l Q 4 LQ. Q,5 64.7 64,58cm 6 Sıılar 50-57 de az 5 5 57-64 de az 7 64-7 de az 4 6 7-78 de az 9 35 78-85 de az 8 43 85-9 de az 4 47 9-99 da az 3 50 Toplam 50 3 l Q 4 3 LQ. 3 Q3 37,5 35 78.6 79,88 cm5 8 Yayılma (Değşel) Ölçüler Br ver et taıma yada arlı ver et brbrde ayırt etme ç her zama yalızca yer ölçüler yeterl olmayablr. Dağılımları brbrde ayırt etmede ullaıla ve geellle artmet ortalama etraıda değşm date alara heaplaa tattlere yayılma (değşel) ölçüler adı verlr. 5 Aşağıda gra = 500 hacml alıa arlı öre doğrultuuda oluşturula htogramlardır. Her öre ortalamaı yalaşı olara 00 olduğua göre öreğ ayı aaütlede alıdığı öyleeblr m? 400 00 Dağılımları brbrde ayırt etmede ullaıla yayılım ölçüler artmet ortalama etraıda değşmler date ala taımlayıcı tattlerdr. 300 00 00 000 800 600 400 00 Br ver etde artmet ortalamalarda her br gözlem arı alııp bu değerler tümü topladığıda oucu 0 olduğu görülür. 0 3,33 09,33 95,33 8,33 67,33 0 3,33 09,33 95,33 8,33 67,33 X X 53 54 9
04.0.03 Öre: 4,8,9,3,6 şelde verle br bat ver ç; 4 8 9 36 0 5 4 0 8 0 9 0 3 0 6 0 0 Bu örete görüleceğ üzere gözlemler artmet ortalamada uzalığı alıp topladığıda 0 elde edldğde dolayı bu problem mutlaa değer ullaara veya areel uzalı alıara ortada aldırılır. 55 7) Rage (Değşm Aralığı) Ver etde yayılımı ade etmede ullaıla e bat ölçü, değşm aralığıdır. Geel olara az ayıda ver ç ullaılır. E büyü gözlem değer le e üçü gözlem değer araıda ar değşm aralığıı verr. Ver etde te br gözlem aşırı derecede üçü veya büyü olmaıda etledğ ç br başa adeyle örete yer ala adece ver ullaılara heaplamaıda dolayı tüm ver et değşelğ açılama ç yeterz almatadır. 56 Değşm Aralığı Öre: Aralı, ver et çde e büyü değerle e üçü değer araıda uzalığı ölçere ver yayılımıı ortaya oyar. Öreğ aşağıda şelde göterldğ üzere A he eed belrl br yılda 36$ la 3$ araıda çeştll göterre, B he eed 0$ la 58$ araıda göterd. He eed yatıda aralı A ç 36$-3$ = 4$ dır; B ç 58$-0$=48$.Aralıları ıyaladığımızda B he eed yat aralığıı A ya göre daha ço değşel göterdğ öyleyeblrz. B he aralığı Kartller Araı Far Dğer değşel 3. ve. artller araıda ara dat çeer. Çeyre aralı olara adladırıla bu ar, Q 3 -Q, bze ver et yarııı çere geşlğ verr. A he aralığı 0 0 30 3 36 40 50 58 60 Ücret ($) 57 58 8) Ortalama Mutla Sapma(OMS) Ver etde her br gözlem değer artmet ortalamada arlarıı mutla değerler toplamıı öre hacme bölümeyle elde edlr. Gözlem değerler artmet ortalamada alarıı toplamı 0 olacağıda bu problem ortada aldırma ç mutla değer ade ullaılır. Bat verler ç: OMS Gruplamış verler ç: Sıılamış verler ç : OMS OMS m 59 Öre: İtatt I der ala 0 öğrec vze otları aşağıda gb ıralamıştır. Bua göre vze otları ç ortalama mutla apma değer heaplayıız. 30,4,53,6,68,79,8,88,90,98 30 4... 98 0 69 30 69 4 69... 98 69 OMS 0 45 4,5 0 60 0
04.0.03 Sıılamış Verler İç Ortalama Mutla Sapma Öreğ Sıılar m I (m - )I 50-57 de az 5 53,5 9,4 57-64 de az 7 60,5 80,36 64-7 de az 4 67,5 6,7 7-78 de az 9 74,5,68 78-85 de az 8 8,5 76,7 85-9 de az 4 88,5 66,08 9-99 da az 3 95,5 70,56 Toplam 50 470,96 m 7,98 g. OMS m 470,96 50 9.4 6 Yayılma Ölçüler Gerellğ Öre Öre Ölçümler,,3,4,5,3,3,3,4 Ortalama 3 4 5 5 3 3 3 4 5 5 5 5 5 3 3 da Uzalılar -3, -3, 3-3, 4-3, 5-3 veya -, -, 0,, -3, 3-3, 3-3, 3-3, 4-3 veya -, 0, 0, 0, İ ver et ç uzalılar a) Öre b) Öre 6 9) Varya Ortalama mutla apmada ullaıla mutla değerl adeler le şlem yapmaı zor hatta bazı durumlarda maız olmaı ebebyle ye değşel ölçüüe htyaç bulumatadır. Mutla değer adede zorlu artmet ortalamada arları areler alımaıyla ortada almatadır. Ver etde her br gözlem değer artmet ortalamada arlarıı areler toplamıı öre hacm br eğe bölümede elde edle yayılım ölçüüe öre varyaı adı verlr. 63 Bat verler İç: Aaütle Varyaı: : Aaütle Ortalamaı Öre Varyaı : Gruplamış verler ç: Sıılamış verler ç : N : Aaütle Hacm N ( ) ( m ) 64 Bat Verler İç: ade tattte br ço ormülde ullaılır ve areler toplamı olara adladırılır. Matematel olara heaplama olaylığı ağlamaı açııda ormüllerde areler toplamıı açılımı ola aşağıda eştl ullaılablr. 65 Gruplamış Verler İç: Sıılamış Verler İç : m m 66
04.0.03 Öre: Br u abraıı atış mağazaıda br gü çde atıla u paetler gramajlarıa göre göre atış adetler aşağıda verlmştr. Bua göre ver et ç varya değerler heaplayıız. Araba Satış aded.. 0 5 0 0 35 70 40 3 4 4 6 4 8 3 8 5 6 30 50 toplam 80 86 57 86 556 80,56 79 Sıılamış Verler İç Ortalama Varya Öreğ Sıılar m (m - ) 50-57 de az 5 53,5 707,55 57-64 de az 7 60,5 9,538 64-7 de az 4 67,5 80,9856 7-78 de az 9 74,5 57,536 78-85 de az 8 8,5 75,043 85-9 de az 4 88,5 09,64 9-99 da az 3 95,5 659,57 Toplam 50 6444,48 m ( m ) 7,98 g. 50 68 6444,48 3,5 0) Stadart Sapma Varya heaplaıre ullaıla verler areler alıdığıda verler ölçü brm are varyaıda ölçü brm mevcut ölçü brm are olur. Öre: g, cm gb. Bu teledrme verler açııda br alam taşımayacağıda varya yere ortalama etraıda değşm br ölçüü olara ou pozt areöü ola tadart apma ullaılır. 69 Bat Verler İç: Populayo Stadart Sapmaı: : Populayo Stadart Sapmaı N : Populayo Hacm Öre Stadart Sapmaı : Gruplamış Verler İç: Sıılamış Verler İç : ( ) ( m ) N 70 Öre: İtatt I der ala 0 öğrec vze otları aşağıda gb ıralamıştır. Bua göre vze otları ç varya ve tadart apmayı heaplayıız. 30,4,53,6,68,79,8,88,90,98 30 4... 98 0 30 69 4 69... 98 69 9 4538 504, 9 504, 504,,45 69 Ayı oru areler ortalamaıı açılımı ullaılara çözüldüğüde ayı ouçları verecetr. 30,4,53,6,68,79,8,88,90,98 30 900 4 68 53 809 6 37 68 464 79 64 8 674 88 7744 90 800 504, 504,,45 İtatt I vzede alıa otları ortalama etraıda yalaşı 690 olara pua değştğ görülmetedr. 7 7 548 690 548 9 0
04.0.03 CHEBYSHEV TEOREMİ Herhag br ver etde, verler ortalamaı K tadart apma uzağıda bulumaı oraı -/K dır. Burada K, brde büyü pozt ayıdır. K= ve K=3 ç; Verler e az 3/4 ü (%75) ortalamaı tadart apma uzagıda buluur. Verler e az 8/9 u (%89) ortalamaı 3 tadart apma uzağıda buluur. 73 Öre: X değşe br ııta İtatt I der başarı otlarıı göterme üzere, öre ortalamaıı 60 varyaıı 00 olduğu bldğe göre, verler ¾ ü hag aralıta değşr? 3 4 60.0 40,80 74 Stadart Sapmaı Yorumlamaı - Chebyhev teoremde, rea dağılımıı şele baılmaızı, ölçümler herhag br öreğe uygulaa ural: a- Ölçümlerde hçbr yada (, ) aralığıa düşmeme mümüdür. b- Ölçümler e az ¾ ü (, ) aralığıa düşer.- ortalamaı c- Ölçümler e az 8/9 u ( 3, 3) aralığıa düşer.- d- Geellle, ölçümler e az (-/ ) ı (, ) aralığıa düşer. (>) 75 - Smer dağılışlarda tadart apmaı yorumu: a- Ölçümler yalaşı %68 yada (, ) aralığıa düşer.- ortalamaı tadart apmaı ç b- Ölçümler yalaşı %95 (, ) aralığıa düşer.- ortalamaı tadart apmaı ç c- Temelde, tüm ölçümler ( 3, 3) aralığıa düşer. -ortalamaı 3 tadart apmaı ç 76 Ampr Kural Ampr Kural 77 78 3
04.0.03 Ampr Kural Öre ver et: 50 şret AR-GE ç harcaa gelrler yüzdeler burada terar verlmştr: 3.5 9.5 8. 6.5 8.4 8. 6.9 7.5 0.5 3.5 7. 7. 9.0 9.9 8. 3. 9. 6.9 9.6 7.7 9.7 7.5 7. 5.9 6.6. 8.8 5. 0.6 8..3 5.6 0. 8.0 8.5.7 7. 7.7 9.4 6.0 8.0 7.4 0.5 7.8 7.9 6.5 6.9 6.5 6.8 9.5 79 80 Öre: Aralıları çde ala bu ölçümler er(racto) heaplayıız Çözüm: İl aralı = (8.49.98, 8.49 +.98) = (6.5, 0.47) 50 ölçümü 34 üü ve ya %68 ortalamaı tadart apmaı çerde olduğuu ortaya oyar. Aralı, = (8.49 3.96, 8.49 + 3.96 ) = (4.53,.45) 50 ölçümü 47 ya da %94 üü çerr. ortalama etraıda 3 tadart apma aralığı, = (8.49 5.94, 8.49 + 5.94 ) = (.55, 4.43) tüm ölçümler çerr. Örelem ) z Soru Verle br gözlem değer ortalamaı aç tadart apma uzağıda olduğuu ölçer. z = - odalı baamağa yuvarlaır. Aaütle z = - µ 8 8 z- oruu Yorumlamaı Br ver ortalamada üçü olura z-oru değer egat olur. Olağa Verler : z oru ve. araıda Olağadışı Verler: z oru < - veya z oru >. 83 84 4
04.0.03 Öre: 00 çel şç yıllı gelrler celemş ve ortalamaı = 4.000$ ve tadart apmaı =.000$ olara bulumuştur. Yıllı gelr.000$ ola Joe Smth z-oru açtır? 8.000$.000$ 4.000$ 30.000$ Joe Smth gelr 85 z= = =-.0 buluur. Burada -.0 ı.000$ 4.000$.000$ alamı Joe Smth yıllı gelr ortalamaı tadart apma altıdadır. z-oruu ayıal değer görel durumlar ç ölçümü yaıtmatadır. Br değer ç bulua e büyü pozt z-oru değer, bu değer dğer bütü ölçümlerde daha büyü olduğuu göterr ve mutla değerce e büyü egat z-oru değer de bu ölçümü dğer tüm ölçümlerde daha üçü olduğuu göterr. Eğer z oru 0 veya 0 a yaı e ölçüm ortalamaya eşt veya ortalamaya ço yaıdır. 86 ) Değşel(Varyayo) Katayıı İ veya daha azla populayo üzerde ayı şa değşeler ç yapıla araştırmalarda değşeller arşılaştırılmaı ç ullaıla br ölçüdür. Stadart apmayı ortalamaı br yüzde olara ade ede ve veya daha azla populayoda varyayou (değşelğ) arşılaştırmada ullaıla ölçüye varyayo(değşel) atayıı der. Öre: İtabul da ve Aara da yaşaya aleler aylı gelrler değşeller arşılaştırılmaı C V Varyayo Katayıı: X *00 87 Öre: A,B ve C he eetler apaış yatlarıa lş yapıla br araştırmada, he eetler apaış yatlarıı ortalamaları ve tadart apmaları heaplamış ve aşağıda tabloda verlmştr. Bua göre he eetler apaış yatlarıı değşeller açııda arşılaştırıız ve hag he eed yatıda değşel daha azladır ade edz. A 8 B 5 C 5 3 C C C V A V B V C A *00 *00 5 %5 X A 8 B *00 *00 0 %0 X 5 Üç he eed apaış yatlarıı değşeller arşılaştırıldığıda e büyü tadart apma değer C he eedde olmaıa rağme e büyü varyayo atayııa ahp olduğuda e azla değşelğ A he eedde olduğu görülür. B C 3 *00 *00 0 %0 X 5 C 88 Taımlamalar Çarpılı Smetr Verler Eğer ver metr e ver htogramıı ağ taraı ve ol taraı eşt büyülütedr Çarpı Verler Eğer ver çarpı e (metr değle), ver htogramı br ımı dğer ımı büyütür veya üçütür. 89 90 5
04.0.03 Çarpılı (Ametr) Ölçüler 3) Ametr Ölçüler PEARSON ÇARPIKLIK ÖLÇÜSÜ Aaütleler brbrde ayırma ç her zama yalızca yer ve yayılım ölçüler yeterl olmayablr. Aşağıda arlı aaütlede alımış öreler ç oluşturula htogramlar verlmştr. 9 mod S p veya S P < 0 Negat çarpı(sola) S P > 0 Pozt Çarpı(Sağa) 3( X med) S S P = 0 e dağılış metr p BOWLEY ÇARPIKLIK ÖLÇÜSÜ S b < 0 Negat çarpı(sola) ( Q3 Q ) ( Q Q ) S b S b > 0 Pozt Çarpı(Sağa) Q3 Q S b = 0 e dağılış metr 9 Öre: Aşağıda tabloda 30 gülü üre çde br retoraı ulladığı et mtarıı dağılımıda elde edle bazı taımlayıcı tattler verlmştr. Bua göre pearo ve bowley ametr ölçüler heaplayıp yorumlayıız. Ar t m e t O r t. Mod Medya Q Q 46,6 45,4 46, 4,5 5,9 54,46 3( X med) 3(46,6 46,) S p 0,6 0 54,46 Sağa Çarpı, Pozt Ametr Smetr Dağılım A.O = Med = Mod Sağa çarpı dağılım Sola çarpı dağılım A.O > Med > Mod A.O < Med < Mod mod 46,6 45,4 S p 0,6 0 54,46 ( Q3 Q ) ( Q Q ) (5,9 46,) (46, 4,5) S b Q Q 5,9 4,5 3 0,0 0 0,4 Sağa Çarpı, Pozt Ametr Sağa Çarpı, Pozt Ametr 93 İ modlu metr dağılım Modu olmaya dağılım Tedüze dağılım 94 4) Sapa Gözlemler Sapa gözlem, dğer bütü gözlemlerde uzata bulua gözlemdr. Sapa gözlem ortalama üzerde öeml br etye ahp olablr. Sapa gözlem tadart apma üzerde öeml br etye ahp olablr. Sapa gözlem dağılımı gerçe htogramıı ölçeğ üzerde öeml br etye ahp olablr. 95 5) 5 Sayı Özet 5 ayı özet, br ver etde mmum değer,.kartl,.kartl(medya), 3.Kartl ve mamum değer çerr. Kutu grağ(veya utu ve bıyı grağ) br ver et ç, ıırları mamum ve mmum değer olma üzere, çde.kartl,.kartl(medya) ve 3.Kartl buludura utu şelde gratr. 96 6
04.0.03 Kutu Grağ Kutu grağ hazırlama 97 Q:Kutuu ol earı Q3:Kutuu ağ earı Q:Kutuu ortaıda çzg Sapa harç m.: Sol bıyı Sapa harç ma.: Sağ bıyı Sapa değer otrolu Q.5(Q3 Q) Q3 +.5(Q3 Q) bu değerler aşa verler * le göterlr. 98 Öre: Yazlı ürüler ata br mağazada hatalı atıla t-hrt ayıları yada tabloda verlmştr. Verle tabloda beş ayı özet buluuz ve utu grağ çzz. 7 0 7 8 8 9 0 3 7 30 9 8 5 0 3 3 8 4 8 8 3 5 8 44 7 Çözüm: Öcelle verler yada gb ıralaıra; Q =(3+)/4=8.ıraya arşılı gele ver olur. Q=8 Q 3 =3(3+)/4=4. ıraya arşılı gele ver olur. Q 3 =8 Mmum değer=7, Mamum değer=44 ve Medya(Q )= olur. Sapa değerler otrol etme ç; Q -,5(Q 3 -Q )=8-,5(8-8)=3 Q 3 +,5(Q 3 -Q )=8+,5(8-8)=43 buluur. Bu durumda elmzde 44 değer apa değerdr ve * le göterlr.. 7 0 5 7 0 5 7 7 8 8 8 8 8 9 8 30 8 3 9 3 3 0 4 3 44 Kutu Grağ 45 * 44 apa değer 40 35 30 5 Medya(Q )= 0 Fgure -6 0 7
04.0.03 Kutu Grağ 6) Baılı Ölçüü Aşağıda A ve B dağılımlarıı ortalamaları, değşel ölçüler ayı olmaıda dolayı ve hatta de metr olmalarıda dolayı bu dağılışı ayırt etme ç Baılı Ölçüü ullaılır. A B Fgure -7 03 A = B 04 Herhag br olaılı oyouu şel le lgl parametrelerde br tae de baılı ölçüüdür. Baılı Ölçüü ortalamaya göre dördücü momette gdlere heaplaır ve 4 olara göterlr. 4 4 4 Bat Ser İç 4 4 4 = 3 e Ser Normal 4 < 3 e Ser Baı 4 < 3 e Ser Svr Ya da Yüe 05 8