DİJİTAL KOHOMOLOJİ GRUPLARI

ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI 2014-DR-001 DİJİTAL KOHOMOLOJİ GRUPLARI Gülseli BURAK Tez Danışmanı Prof. Dr. Hatice KANDAMAR 2. Tez Danışmanı Prof. Dr. İsmet KARACA AYDIN

iii ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÜDÜRLÜĞÜNE AYDIN Matematik Anabilim Dalı Doktora Programı öğrencisi Gülseli BURAK tarafından hazırlanan Dijital Kohomoloji Grupları başlıklı tez, 23.01.2014 tarihinde yapılan savunma sonucunda aşağıda isimleri bulunan jüri üyelerince kabul edilmiştir. Ünvanı Adı Soyadı Kurumu İmzası Başkan : Prof. Dr. Hatice KANDAMAR ADÜ Fen-Ed. Fakültesi Üye : Prof. Dr. Mehmet Ali SARIGÖL PAÜ Fen-Ed. Fakültesi Üye : Prof. Dr. İsmet KARACA EÜ Fen Fakültesi Üye : Doç. Dr. Ali MUTLU CBÜ Fen-Ed. Fakültesi Üye : Doç. Dr. Adnan MELEKOĞLU ADÜ Fen-Ed. Fakültesi Jüri üyeleri tarafından kabul edilen bu Doktora tezi, Enstitü Yönetim Kurulunun........................ sayılı kararıyla... /... /2012 tarihinde onaylanmıştır. Prof. Dr. Cengiz ÖZARSLAN Enstitü Müdürü

v ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÜDÜRLÜĞÜNE AYDIN Bu tezde sunulan tüm bilgi ve sonuçların, bilimsel yöntemlerle yürütülen gerçek deney ve gözlemler çerçevesinde tarafımdan elde edildiğini, çalışmada bana ait olmayan tüm veri, düşünce, sonuç ve bilgilere bilimsel etik kuralların gereği olarak eksiksiz şekilde uygun atıf yaptığımı ve kaynak göstererek belirttiğimi beyan ederim. 23.01.2014 Gülseli BURAK

vii ÖZET DİJİTAL KOHOMOLOJİ GRUPLARI Gülseli BURAK Doktora Tezi, Matematik Anabilim Dalı Tez Danışmanı: Prof. Dr. Hatice KANDAMAR 2. Tez Danışmanı: Prof. Dr. İsmet KARACA 2014, 121 sayfa Bu çalışma dijital görüntülerin simpleksler relatif kohomoloji gruplarını tanımlayarak çeşitli uygulamalarını göstermek amacıyla ele alınmıştır. Öncelikle dijital homotopi, homoloji ve kohomoloji gruplarının tanımları ve bunlarla ilgili uygulamalar verilmiştir. Sonra bunların yardımıyla simpleksler relatif kohomoloji grupları tanımlanmış ve bir dijital görüntünün kohomoloji grubu hesaplanmıştır. Daha sonra dijital görüntüler için cup çarpımı tanımlanarak bununla ilgili özellikler ifade edilmiştir. Bunun sonucu olarak dijital kohomoloji üzerinde halka yapısının olduğu belirlenmiştir. Ayrıca dijital görüntülerin kohomoloji halkasının hesaplanması için bir method belirlenmiş ve dijital kohomoloji halkasının belirlenmesiyle ilgili çeşitli örnekler verilmiştir. Anahtar Sözcükler Dijital simpleksler homoloji grupları, dijital simpleksler kohomoloji grupları, dijital cup çarpımı, dijital kohomoloji halkası

ix ABSTRACT DIGITAL COHOMOLOGY GROUPS Gülseli BURAK Ph.D. Thesis, Department of Mathematics Supervisor: Prof. Hatice KANDAMAR 2nd Supervisor: Prof. İsmet KARACA 2014, 121 pages The goal of this study is to define simplicial relative cohomology groups of digital images and to give some examples. First of all we study the notions of digital homotopy, homology and cohomology and their applications. Then simplicial relative cohomology groups are defined and cohomology groups of some digital images are calculated. Hence simplicial cup product for digital images is defined and their properties are given. As a result of this the ring structure is determined on digital cohomology. Furthermore a method for computing the cohomology ring of digital images is given and some examples concerned determination cohomology ring of digital images are given. Key Words Digital simplicial homology group, digital simplicial cohomology group, digital cup product,digital cohomology ring

xi ÖNSÖZ Bu çalışmanın gerçekleşmesinde değerli bilgi ve deneyimlerinden yararlandığım, bana her zaman her konuda yardımcı olan danışman hocalarım sayın Prof. Dr. Hatice KANDAMAR a ve Prof. Dr. İsmet KARACA ya; tez izleme komitesi üyeliğini kabul ederek benden yardımlarını hiç esirgemeyen sayın Prof. Dr. Mehmet Ali SARIGÖL ve Doç. Dr. Adnan MELEKOĞLU hocalarıma; tezin yazımında ve biçimlenmesinde emeği geçen değerli bölüm hocalarıma ve bölüm arkadaşlarıma sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Tüm yaşamım boyunca desteklerini yanımda hissettiğim sevgili aileme ve arkadaşlarıma, göstermiş oldukları sabır ve anlayış için yürekten teşekkür ederim. Gülseli BURAK

xiii İÇİNDEKİLER KABUL ONAY SAYFASI.......................... iii BİLİMSEL ETİK BİLDİRİM SAYFASI................... v ÖZET..................................... vii ABSTRACT.................................. ix ÖNSÖZ.................................... xi SİMGELER DİZİNİ............................. xv ŞEKİLLER DİZİNİ.............................. xvii 1. GİRİŞ.................................... 1 2. TEMEL KAVRAMLAR.......................... 3 2.1. Dijital Homotopi............................ 7 2.2. Basit Kapalı Eğriler.......................... 10 2.3. Dijital Kapalı Yüzey.......................... 12 2.4. Dijital Kapalı Yollar.......................... 13 2.5. Dijital Temel Grup........................... 15 3. DİJİTAL GÖRÜNTÜLERDE HOMOLOJİ GRUPLARI........ 21 3.1. Euler Karakteristik........................... 44 3.2. Dijital Görüntülerin Relatif Homoloji Grupları............. 46 3.3. Eilenberg-Steenrod Aksiyomları.................... 50 3.4. Dijital Görüntüler İçin Lefschetz Sabit Nokta Teoremi........ 54 4. DİJİTAL GÖRÜNTÜLERDE KOHOMOLOJİ GRUPLARI...... 61 4.1. Dijital Görüntülerin Relatif Kohomoloji Grupları........... 92 4.2. Eilenberg-Steenrod Aksiyomları.................... 97 5. DİJİTAL GÖRÜNTÜLERDE KOHOMOLOJİ GRUPLARI ÜZERİNDE CUP ÇARPIMI................................ 103 5.1. Dijital Görüntülerde Kohomoloji Halkası............... 106 5.2. Dijital Görüntülerde Kohomoloji Cebri................ 109 5.3. Sonuç.................................. 113 KAYNAKLAR................................ 115 ÖZGEÇMİŞ.................................. 121

xv SİMGELER DİZİNİ κ (X, κ) [a,b] Z (X, x 0 ) N κ (x 0,ε) Int(X) X Y f g f Yakınlık bağıntısı κ-yakınlıklı dijital görüntü Dijital aralık Noktalı dijital görüntü x 0 noktasının ε yarıçaplı κ-komşuluğu X dijital görüntüsünün içi X ve Y dijital görüntülerinin bağlantılı toplamı f ve g dijital κ-yollarının çarpımı f kapalı yolunun aşikar genişlemesi [ f] X X dijital görüntüsünde kapalı yol sınıfı π1 κ(x, x 0) (X, x 0 ) ın κ-temel grubu Cq(X) κ X dijital görüntüsünde q-boyutlu simpleksler zincir grubu q Z κ q(x) B κ q(x) H κ q(x) ϕ { } χ(x, κ) Cq(K,K κ 0 ) Z κ q(k,k 0 ) B κ q(k,k 0 ) H κ q(k,k 0 ) Sınır operatörü Dijital simpleksler q-devirlerin grubu Dijital simpleksler q-sınırların grubu q-boyutlu dijital simpleksler homoloji grubu ϕ dijital simpleksler dönüşümünün zincir dönüşümü Tek elemanlı dijital görüntü (X, κ) nın Euler karakteristiği q-boyutlu simpleksler relatif zincir grubu Dijital simpleksler relatif q-devirlerin grubu Dijital simpleksler relatif q-sınırların grubu q-boyutlu dijital simpleksler relatif homoloji grubu λ( f) f dönüşümünün Lefschetz sayısı tr( f) f dönüşümünün izi C q,κ (X) X dijital görüntüsünde q-boyutlu simpleksler eşzincir grubu δ q q-boyutlu eşsınır operatörü Z q,κ (X) Dijital simpleksler q-eşdevirlerin grubu B q,κ (X) Dijital simpleksler q-eşsınırların grubu H q,κ (X) q-boyutlu dijital simpleksler kohomoloji grubu C q,κ (K,K 0 ) q-boyutlu simpleksler relatif eşzincir grubu Z q,κ (K,K 0 ) Dijital simpleksler relatif q-eşdevirlerin grubu B q,κ (K,K 0 ) Dijital simpleksler relatif q-eşsınırların grubu H q,κ (K,K 0 ) q-boyutlu dijital simpleksler relatif kohomoloji grubu f f dijital simpleksler dönüşümünün eşzincir dönüşümü Cup çarpımı Direkt toplam

xvii ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 2.1 2-yakın............................. 4 Şekil 2.2 4-yakın ve 8-yakın....................... 4 Şekil 2.3 6-yakın, 18-yakın ve 26-yakın................. 4 Şekil 2.4 MSC 4, MSC 8 ve MSC 8.................... 10 Şekil 2.5 MSC 4.............................. 11 Şekil 2.6 MSS 18 ve MSS 18........................ 13 Şekil 2.7 MSS 18 MSS 18......................... 14 Şekil 3.1 (2,0), (2,1), (8,2) ve (26,3)-simpleksler............ 21 Şekil 3.2 MSC 8.............................. 22 Şekil 3.3 MSS 18.............................. 34 Şekil 3.4 MSS 18.............................. 38 Şekil 3.5 MSS 6.............................. 41 Şekil 3.6 X................................ 52 Şekil 3.7 A ve U............................. 52 Şekil 3.8 X U ve A U........................ 53 Şekil 4.1 MSS 18 MSS 18......................... 79 Şekil 4.2 MSS 6 MSS 6.......................... 85 Şekil 4.3 X................................ 99 Şekil 4.4 A ve U............................. 99 Şekil 4.5 X U ve A U........................ 100 Şekil 5.1 ω eşdevri, z eşdevri ve α eşdevri................ 107 Şekil 5.2 β eşdevri, γ eşdevri ve δ eşdevri................ 107 Şekil 5.3 x eşdevri, y eşdevri ve z eşdevri................ 108 Şekil 5.4 r eşdevri, ω eşdevri ve k eşdevri................ 108 Şekil 5.5 l eşdevri, u eşdevri ve v eşdevri................. 108 Şekil 5.6 S 2 ve S 1............................. 111 Şekil 5.7 S 1................................ 112

1 1. GİRİŞ Dijital görüntü analizinin önemi teknolojik gelişmelerle birlikte oldukça artmıştır. Görüntü analizinin endüstride, tıpta ve çevre bilimleri gibi pek çok alanda uygulaması vardır. Topolojik invaryantlar, dijital görüntü analizinde ve bilgisayar grafiklerinde son derece kullanışlı olduğundan topoloji metodlarından yararlanarak dijital topoloji inşa edilmiştir. Dijital topoloji, topoloji kavramlarının görüntü dizilerine uygulanması olarak tanımlanabilir. Dijital topoloji kavramı 1960 ların sonlarında, Rosenfeld [25] tarafından ortaya atılmıştır. Başlangıçta dijital topoloji çalışmaları topolojik kavramlardan çok graf teorisi üzerinde ilerlemiştir. 1980 lerin sonunda V. Kovalevsky, dijital topolojiyi Alexandroff teorisinin bir parçası olarak ele almıştır. Dijital topolojiye üçüncü yaklaşım 1980 lerde Khalimsky tarafından getirilmiştir. Khalimsky topolojisi, aynı dijital görüntü üzerinde farklı yakınlık bağıntılarının kullanılmasına olanak sağlamıştır. Diskret nesneler üzerinde dijital temel grup kavramı Kong [21] tarafından tanımlanmıştır. Boxer klasik cebirsel topoloji metodlarının, dijital temel grubun inşasında kullanılabileceğini göstermiştir. Cebirsel topolojide homotopi gruplarının hesaplanmasında örtülü uzaylar önemli rol oynadığından Boxer [6] dijital örtülü uzay tanımını vermiştir. Han [15] dijital kapalı yüzeylerin bağlantılı toplamlarının dijital temel grubunu ve Euler karakteristiğini hesaplamaya çalışmış ve bu konuyla ilgili önemli örnekler vermiştir. Dijital temel grup çalışmalarının görüntü analizine önemli katkıları olmuştur. Karaca, Arslan ve Öztel [1] digital görüntülerde simpleksler homoloji grubunu inşa ederek, MSS 18 basit kapalı yüzeyinin simpleksler homoloji grubunu hesaplamışlardır. Karaca ve Ege [9] dijital görüntülerin simpleksler kohomoloji gruplarını ve dijital cup çarpımını tanımlayarak dijital simpleksler kohomoloji için Eilenberg-Steenrod aksiyomlarıyla ilgili önemli sonuçlara ulaşmışlardır.

2 Karaca ve Ege [20] iki boyutlu dijital görüntülerin simpleksler homoloji gruplarını ele almışlardır. Bu çalışmada boştan farklı ve κ-bağlantılı X Z sınırlı dijital görüntünün bir boyutlu homoloji grubunun aşikar grup olduğunu göstermişlerdir. Ege ve Karaca [10] dijital görüntülerin simpleksler homoloji gruplarının karakteristik özelliklerini ve dijital görüntülerin simpleksler homoloji grupları için Eilenberg-Steenrod aksiyomlarını incelemişlerdir. Lefschetz Sabit Nokta teoremi, farklı topolojik uzaylar için sabit nokta teoremlerini genelleştirdiğinden Ege ve Karaca [11] dijital görüntüler için de Lefschetz Sabit Nokta teoremini ele alarak sabit nokta özellikleriyle ilgili çeşitli örnekler vermişlerdir. Gonzalez-Diaz ve Real [12] kohomoloji halkaları ile ilgili çalışmalar yapmışlardır. 3-boyutlu kübik komplekslerin kohomoloji halkalarının hesaplanmasıyla ilgili formüller Gonzalez-Diaz, Jimenez ve Medrano [13] tarafından geliştirilmiştir. Gonzalez-Diaz, Lamar ve Umble [14] ise kübik komplekslere homeomorfik hücresel kompleksler elde ederek kohomoloji halkalarının hesaplanmasını basitleştirmeye çalışmışlardır. Kaczynski ve Mrozek [19] kübik komplekslerin kohomoloji halka algoritmasını oluşturmak için cup çarpımı hesaplama yöntemi geliştirmişlerdir. Bu yöntem kohomoloji halkalarının inşasında cebirsel hesaplamaları hızlandırmıştır. Demir ve Karaca [8] çeşitli dijital basit kapalı yüzeylerin bağlantılı toplamlarının simpleksler homoloji gruplarını hesaplamışlardır. Biz bu çalışmada simpleksler kohomoloji halkasının hesaplanması için bir method geliştirdik ve MSS 18, MSS 18 ve MSS 6 gibi minimal basit kapalı yüzeylerin dijital kohomoloji grubunu hesaplayarak, MSS 18 ve MSS 18 in dijital kohomoloji halkasını belirledik.

3 2. TEMEL KAVRAMLAR Z tamsayılar kümesi olmak üzere Z n, n-boyutlu Euclid uzayında kafes noktalarının kümesidir. Bir dijital görüntü ikilisi, bir yakınlık bağıntısı ile Z n nin sonlu alt kümesinden oluşur. Dijital görüntü araştırmalarında çeşitli yakınlık bağıntıları kullanıldığından yakınlık bağıntısını tanımlayalım. Tanım 2.1 [2] 1 < l < n olmak üzere pozitif l tam sayısı ve p=(p 1,..., p n ), q=(q 1,...,q n ) Z n ayrık iki nokta için aşağıdaki özellikler sağlanıyorsa p ve q ya κ l -yakın denir; p i q i =1 olacak şekilde en çok l tane i indisi vardır. p j q j = 1 olacak şekilde diğer tüm j indisleri için p j = q j. Buna göre κ l, verilen bir p Z n noktasına yakın olan p Z n noktalarının sayısını gösterir. Tanım 2.1 den Z, Z 2 ve Z 3 de yakınlıkları şu şekilde ifade edilebilir: Z de ayrık p ve q noktaları p q = 1 ise bu noktalara 2-yakındır denir. Z 2 de ayrık p ve q noktaları, her bir koordinatında en fazla 1 farklı ise bu noktalara 8-yakındır denir. Z 2 de ayrık p ve q noktaları 8-yakın ve sadece bir koordinatında farklı ise bu noktalara 4-yakındır denir. Z 3 de ayrık p ve q noktaları, her bir koordinatında en fazla 1 farklı ise bu noktalara 26-yakındır denir. Z 3 de p ve q noktaları 26-yakın ve en fazla iki koordinatında farklı ise bu noktalara 18-yakındır denir.

4 Z 3 de p ve q noktaları 18-yakın ve sadece bir koordinatında farklı ise bu noktalara 6-yakındır denir. κ {2,4,8,6,18,26} olsun. Bir p latis noktasının κ-komşuluğu p ye κ-yakın olan noktalardan oluşur. p Şekil 2.1. 2-yakın p p Şekil 2.2. 4-yakın ve 8-yakın Şekil 2.3. 6-yakın, 18-yakın ve 26-yakın Tanım 2.2 [2] κ, Z n üzerinde bir yakınlık bağıntısı olsun. X Z n dijital görüntüsünün κ-bağlantılı olması için gerek ve yeter şart her x, y X farklı noktaları için X in noktalarının bir x 0, x 1,..., x r kümesi vardır öyle ki x= x 0, y=x r ve i = 0,1,...,r 1 için x i ve x i+1, κ-komşudur. Bir X dijital görüntüsünün bir κ-bileşeni X in en büyük κ-bağlantılı alt kümesidir.

5 Örnek 2.3 X Z 2 kümesi X ={x 0 =(0,0), x 1 =(1,1), x 2 =(2,0), x 3 =(3,1)} olsun. X dijital görüntüsünde i = 0,1,2 için x i ve x i+1, 8-komşu olduğundan X, 8-bağlantılı bir kümedir. Tanım 2.4 a,b Z ve a<bolsun. [a,b] Z ={z Z a z b} kümesine bir dijital aralık denir. Tanım 2.5 [15] p Z n noktasına κ-yakın olan noktaların kümesine p nin κ-komşuluğu denir. (X,κ) Z n dijital görüntüsü ve ε N olsun. x 0 X in ε yarıçaplı κ-komşuluğu, l κ (x 0, x), x 0 dan x e en kısa basit κ-yolunun uzunluğu olmak üzere; N κ (x 0,ε)={x X l κ (x 0, x) ε} {x 0 } şeklinde tanımlanır. Örnek 2.6 X Z 2 kümesi X ={x 0 =(1,1), x 1 =(2,1), x 2 =(3,2), x 3 =(3,0), x 4 =(4,0)} olsun. X dijital görüntüsünde x 1 e 4-yakın olan sadece x 0 olduğundan x 1 in 4-komşuluğunda x 0 vardır. x 1 in 8-komşuluğunda bulunan noktalar ise x 0, x 2 ve x 3 dür. Tanım 2.7 [2] X Z n 0, κ 0 -yakınlıklı ve Y Z n 1, κ 1 -yakınlıklı dijital görüntüler olsun. X in her κ 0 -bağlantılı U alt kümesi için f(u), Y nin κ 1 -bağlantılı alt kümesi ise f : X Y fonksiyonu (κ 0,κ 1 )-süreklidir denir.

6 Örnek 2.8 X Z ve Y Z 2 kümeleri sırasıyla X ={x 0 = 1, x 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = 4}, Y ={y 0 =(0,0),y 1 =(1,1),y 2 =(2,0),y 3 =(3,1)} olsun. f : X Y fonksiyonu i= 0,1,2,3 için f(x i )=y i şeklinde tanımlansın. X in her 2-bağlantılı U alt kümesi için f(u), Y nin 8-bağlantılı alt kümesi olduğundan f : X Y fonksiyonu (2,8)-süreklidir. Önerme 2.9 [3] X Z n 0, κ 0 -yakınlıklı ve Y Z n 1, κ 1 -yakınlıklı dijital görüntüler olsun. f : X Y fonksiyonunun (κ 0,κ 1 )-sürekli olması için gerek ve yeter şart X in her κ 0 -yakın {x 0, x 1 } noktaları için f(x 0 ) = f(x 1 ) veya f(x 0 ) ve f(x 1 ), Y de κ 1 -yakındır. İspat: f : X Y,(κ 0,κ 1 )-sürekli olduğunda X in κ 0 -bağlantılı {x 0, x 1 } alt kümesi için { f(x 0 ), f(x 1 )} Y nin κ 1 -bağlantılı alt kümesidir. Yani f(x 0 ) ile f(x 1 ) Y de κ 1 -yakındır veya f(x 0 )= f(x 1 ) dir. Tersine κ 0 -yakın x 0, x 1 X noktaları için yani X in κ 0 -bağlantılı {x 0, x 1 } alt kümesi için f(x 0 ) = f(x 1 ) veya f(x 0 ) ve f(x 1 ), Y de κ 1 -yakın ise { f(x 0 ), f(x 1 )} Y nin κ 1 -bağlantılı alt kümesidir. Bu durumda f : X Y fonksiyonu (κ 0,κ 1 )-süreklidir. Örneğin, κ, Y dijital görüntüsü üzerinde bir yakınlık bağıntısı olsun. f :[a,b] Z Y fonksiyonunun (2,κ)-sürekli olması için gerek ve yeter şart her c,c+1 [a,b] Z için f(c)= f(c+1) veya f(c) ile f(c+ 1) in Y de κ-yakın olmasıdır. X Z n 0, κ 0 -yakınlıklı ve Y Z n 1, κ 1 -yakınlıklı dijital görüntüler olsun. f : X Y fonksiyonu (κ 0,κ 1 )-sürekli ve bijektif, f 1 : Y X fonksiyonu (κ 1,κ 0 )-sürekli ise f fonksiyonuna (κ 0,κ 1 )-izomorfizm denir [1] ve X (κ0,κ 1 ) Y şeklinde gösterilir.

7 2.1. Dijital Homotopi Tanım 2.10 [2] X Z n 0, κ 0 -yakınlıklı, Y Z n 1, κ 1 -yakınlıklı dijital görüntüler ve f, g : X Y fonksiyonu (κ 0,κ 1 )-sürekli fonksiyonlar olsun. Pozitif bir m tamsayısı ve aşağıdaki özellikleri sağlayan H : X [0,m] Z Y fonksiyonu varsa, f ve g fonksiyonlarına Y de dijital (κ 0,κ 1 )-homotopik fonksiyonlar denir. x X için H(x,0)= f(x) ve H(x,m)=g(x), x X için H x :[0,m] Z Y t H x (t)=h(x,t), şeklinde tanımlanan H x indirgenmiş fonksiyonu (2,κ 1 )-süreklidir. t [0,m] Z için H t : X Y x H t (x)= H(x,t), şeklinde tanımlanan H t indirgenmiş fonksiyonu (κ 0,κ 1 )-süreklidir. Burada H fonksiyonuna f ve g arasında dijital (κ 0,κ 1 )-homotopi fonksiyonu denir. f ve g fonksiyonlarının Y de dijital (κ 0,κ 1 )-homotopik olduğunu göstermek için f (κ0,κ 1 ) g notasyonunu kullanılır. X Z n 0, κ 0 -yakınlıklı ve Y Z n 1, κ 1 -yakınlıklı dijital görüntüler olsun. f : X Y (κ 0,κ 1 )-sürekli fonksiyonu için

8 g f (κ0,κ 0 ) 1 X ve f g (κ1,κ 1 ) 1 Y olacak şekilde g : Y X, (κ 1,κ 0 )-sürekli fonksiyonu varsa f fonksiyonuna (κ 0,κ 1 )-homotopi denklik denir [4]. X ve Y dijital görüntüleri aynı (κ 0,κ 1 )-homotopi tipine sahiptir ve X ile Y,(κ 0,κ 1 )-homotopi denktir denir [4]. Lemma 2.11 bir denklik bağıntısıdır. [2] Dijital (κ 0,κ 1 )-homotopi, dijital sürekli fonksiyonlar arasında İspat: Dijital homotopinin yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağladığını göstermeliyiz. Her (κ 0,κ 1 )-sürekli f : X Y fonksiyonu ve her pozitif m tamsayısı için, H : X [0,m] Z Y fonksiyonunu her (x,t) X [0,m] Z için H(x,t)= f(x) şeklinde tanımlandığında f den f ye dijital (κ 0,κ 1 )-homotopi olur. O halde dijital homotopi yansıma özelliğini sağlar. H : X [0,m] Z Y fonksiyonu f den g ye dijital (κ 0,κ 1 )-homotopi olsun. G : X [0,m] Z Y fonksiyonunu her (x,t) X [0,m] Z için G(x,t)= H(x,m t) şeklinde tanımlanırsa g den f ye dijital (κ 0,κ 1 )-homotopi olur. Böylece dijital homotopinin simetri özelliğini sağladığı görülür. H : X [0,m] Z Y fonksiyonu f den g ye dijital (κ 0,κ 1 )-homotopi ve G : X [0,m 0 ] Z Y fonksiyonu g den h a dijital (κ 0,κ 1 )-homotopi olsun. F : X [0,m+m 0 ] Z Y fonksiyonu { F(x,t)= H(x,t), G(g(x),t m), (x,t) X [0,m] Z (x,t) X [m,m+m 0 ] Z

9 şeklinde tanımlandığında f den h a dijital (κ 0,κ 1 )-homotopi olur. Bu durumda dijital homotopi geçişme özelliğini sağlar. Tanım 2.12 [2] f : X Y dijital sürekli fonksiyonu Y de bir sabit fonksiyona dijital homotopik ise f fonksiyonuna Y de dijital nulhomotopik denir. Tanım 2.13 [2] Bir X dijital görüntüsü için I : X X birim dönüşümü dijital nulhomotopik ise X e dijital büzülebilirdir denir. Örnek 2.14 [2] X Z 2 kümesi X ={(1,0),(0,1),( 1,0),(0, 1)} 8-büzülebilirdir. H : X [0,2] Z X homotopi fonksiyonunu şu şekilde tanımlayalım: Her p X için H(p,0)= p; H((1,0),1)=H((0, 1),1)=(1,0), H((0,1),1)=H(( 1,0),1)=(0,1); Her p X için H(p,2)=(1,0). Tanım 2.15 [3] X dijital görüntüsü ve x 0 X için(x, x 0 ) ikilisine noktalı dijital görüntü denir. f : (X, x 0 ) (Y,y 0 ) dijital sürekli fonksiyonu f(x 0 ) = y 0 şartını sağlıyorsa f fonksiyonuna noktalı dijital sürekli fonksiyon denir. Tanım 2.16 [3] f ve g, (X, x 0 ) dan (Y,y 0 ) a tanımlı noktalı dijital sürekli fonksiyonlar ve H, f ile g arasında dijital (κ 0,κ 1 )-homotopi olsun. Her t [0,m] Z için H(x 0,t)=y 0 ise H a(κ 0,κ 1 )-noktalı dijital homotopi denir. Tanım 2.17 [6] f, g :[0,m 0 ] Z Y,(2,κ)-sürekli fonksiyonları arasında H : [0,m 0 ] Z [0,m 1 ] Z Y, (2,κ)-homotopi fonksiyonu her t [0,m 1 ] Z için H(0,t) = f(0) = g(0) ve H(m 0,t) = f(m 0 ) = g(m 0 ) ise H a uç noktaları sabit tutan homotopi denir.

10 2.2. Basit Kapalı Eğriler Tanım 2.18 [3] X Z n, κ-yakınlıklı bir dijital görüntü olsun. Bir m > 3 tamsayısı ve f :[0,m 1] Z X, (2,κ)-sürekli fonksiyonu için f bire-bir ve örten, f(0) ve f(m 1), κ-yakın, Her t [0,m 1] Z için f([0,m 1] Z ) de f(t) nin κ-komşulukları sadece f((t 1)modm) ve f((t+ 1)modm) koşulları sağlanıyorsa X e dijital basit kapalı κ-eğri denir. Örnek 2.19 X Z 2 kümesi X ={(1,0),(0,1),( 1,0),(0, 1)} olsun. f : [0,3] Z X fonksiyonu f(0) = (1,0), f(1) = (0,1), f(2) = ( 1,0), f(3) =(0, 1) şeklinde tanımlansın. Bu fonksiyon(2, 8)-süreklidir ve basit kapalı eğri koşullarını sağlar. Şekil 2.4. MSC 4, MSC 8 ve MSC 8 MSC 4, MSC 8 ve MSC 8, Z 2 de minimal basit kapalı eğrilerdir.

11 Tanım 2.20 [15] c = (x 0, x 1,..., x n ), Z 2 de kapalı κ-eğri olsun. c ın Z 2 de tümleyeni olan c nın bir x noktası, c nın sınırlı κ-bağlantılı bileşenine aitse c ın iç noktasıdır denir. Int(c ) ile gösterilir. Bir dijital görüntü ayrık noktalardan oluştuğu için dijital görüntünün kapanışı kendisine eşittir. Yani A dijital görüntüsü için A nın kapanışını A ile gösterilirse A= A dır. MSC4, MSC 8 ve MSC 8 dijital görüntüleri, kapalı κ-yüzeylerin dijital bağlantılı toplamını tanımlarken önemli rol oynayacaktır: MSC 4 = MSC 4 Int(MSC 4 ) MSC 8 = MSC 8 Int(MSC 8 ) MSC 8 = MSC 8 Int(MSC 8 ) (X,κ) Z n bir dijital görüntü olsun. x,y,z X ve y ile z birbirlerine κ-yakın olsun. x noktası sadece y ve z noktalarına κ-yakın ise x noktasına κ-köşe noktası denir [15]. y ve z, κ-köşe noktaları değil ve x noktası y ve z nin her ikisine de κ-yakın olan tek nokta ise x, κ-köşe noktasına basittir denir. X dijital görüntüsünün tüm basit κ-köşeleri çıkarıldığında bir basit kapalı κ-eğri elde ediliyorsa X e genelleştirilmiş basit kapalı κ-eğri denir [15]. Örnek 2.21 MSC 4 basit kapalı 4-eğrisini ele alalım. p 3 p 2 p 1 p 4 p 0 p 5 p 6 p 7 Şekil 2.5. MSC 4

12 {p 1, p 3, p 5, p 7 } MSC 4 kümesinin her bir elemanı basit 8-köşe noktasıdır. Bu noktalar çıkarıldığında MSC 8 basit kapalı 8-eğrisi elde edilir. MSC 4 genelleştirilmiş basit kapalı 8-eğridir. 2.3. Dijital Kapalı Yüzey Tanım 2.22 [16] (X,κ) Z n, n 3için dijital görüntü ve X = Z n X olsun. Aşağıdaki koşullar sağlanıyorsa X e kapalı κ-yüzey denir. 1. (κ,κ) {(κ,2n),(2n,3 n 1)} ve κ = 3 n 2 n 1 için; Her x X için X x = N 26 (x,1) {x} kümesi x e κ-yakın olan bir tane eleman içerir. X x, x e κ-yakın iki tane κ bileşene sahiptir. (Bu bileşenleri C xx ve D xx ile gösterelim.) Her y N κ X için N κ C xx = ve N κ D xx = dir. Ayrıca X kapalı κ-yüzeyi için, X basit κ-noktaya sahip değil ise X e basit kapalı κ-yüzey denir. 2. (κ,κ)=(3 n 2 n 1,2n) için; X, κ-bağlantılıdır. Her x X için X x genelleştirilmiş basit kapalı eğridir. Ayrıca X x basit kapalı κ-eğri ise X e basit kapalı κ-yüzey denir. Örnek 2.23 MSS 18 ve MSS 18 minimal basit kapalı 18-yüzeylerdir. Tanım 2.24 [15] n 0,n 1 3 için S κ0, Z n 0 da kapalı bir κ 0 -yüzey, A κ0 A κ 0 S κ0 ve S κ1, Z n 1 de kapalı bir κ 1 -yüzey olsun. Burada

13 Şekil 2.6. MSS 18 ve MSS 18 A κ0 (κ0,8).h MSC 8, A κ 0 (κ0,4).h MSC 4 veya A κ0 (κ0,8).h MSC 8 ve ayrıca, A κ 0 (κ0,8).h Int(MSC 8 ), A κ 0 (κ0,4).h Int(MSC 4 ) veya A κ 0 (κ0,8).h Int(MSC 8 ) dır. f : A κ0 f(a κ0 ) S κ 1 bir (κ 0,κ 1 )-izomorfizm olmak üzere S κ 1 = S κ1 f(a κ 0 ) ve S κ 0 = S κ0 A κ 0 dır. S κ 0 S κ 1 ayrık birleşimi üzerinde, i : A κ0 A κ 0 S κ 0 dönüşümü kapsama dönüşümü olsun. S κ0 dan A κ 0 nün çıkarılmasıyla ve A κ0 A κ 0 ile f(a κ0 A κ 0 ) nün denkliğinden aşağıdaki gibi tanımlanan bir S κ 0 S κ 1 / bölüm uzayı elde edilir: x A κ0 A κ 0 için i(x) f(x)=y S κ 1 denklik sınıflarının kümesine bağlantılı toplam denir ve S κ0 S κ1 ile gösterilir. Örnek 2.25 MSS 18 MSS 18 bağlantılı toplamını ele alalım. 2.4. Dijital Kapalı Yollar Tanım 2.26 [3] Bir X dijital görüntüsünde dijital κ-yol f : [0,m] Z X, (2, κ)-sürekli fonksiyonudur. Ayrıca f(0) = f(m) ise f e dijital κ-kapalı yol (loop) ve f(0) a da f kapalı yolunun baz noktası denir. f sabit fonksiyonsa f dönüşümüne aşikar kapalı yol denir.

14 p 2 p 1 c 1 c 2 p 4 p 5 c 5 c 4 p 3 p 8 p 9 p 0 c 0 c 9 c 8 c 3 p 7 p 6 c 6 c 7 c 1 c 2 c 7 c 6 c 5 c13 c12 c 3 c 0 c 11 c 4 c 8 c 9 c 10 Şekil 2.7. MSS 18 MSS 18 Örnek 2.27 K,[0,1] 3 Z birim küpü ve X = K\{(0,0,0),(1,1,1)} olsun. f :[0,6] Z X fonksiyonu f(0)= f(6)=(1,0,0), f(1)=(1,1,0), f(2)=(0,1,0), f(3)=(0,1,1), f(4)=(0,0,1), f(5)=(1,0,1) şeklinde tanımlansın. f bir kapalı yoldur. X de f ve g dijital κ-yolları için f in bittiği yerde g başlasın; yani f :[0,m 1 ] Z X ve g : [0,m 2 ] Z X dijital yolları için f(m 1 ) = g(0) olsun. Bu durumda f ve g nin çarpımı olan ( f g) :[0,m 1 + m 2 ] Z X fonksiyonu { ( f g)(t)= şeklinde tanımlanır [3]. f(t), g(t m 1 ), t [0,m 1 ] Z t [m 1,m 1 + m 2 ] Z Tanım 2.28 [3] m 1 m 2 olmak üzere f : [0,m 1 ] Z X kapalı yolunun aşikar genişlemesi { f f(t), 0 t m1 (t)= f(m 1 ), m 1 t m 2 şeklinde tanımlanan f :[0,m 2 ] Z X fonksiyonudur.

15 Tanım 2.29 [6] Aynı p X baz noktalı f 0, f 1 dijital kapalı yollarının aşikar genişlemeleri arasında uç noktaları sabit tutan bir H homotopisi varsa f 0 ve f 1 dijital kapalı yolları aynı [ f] X kapalı yol sınıfına aittir denir. Önerme 2.30 [3] f 1, f 2, g 1, g 2, (X, x 0 ) noktalı dijital görüntüsünde dijital kapalı yollar olsun. f 2 [ f 1 ] X ve g 2 [g 1 ] X ise f 2 g 2 [ f 1 g 1 ] X dir. İspat: f 2 [ f 1 ] X olduğundan f 1 ile f 2 nin sırasıyla f 1, f 2 : [0,m] Z X aşikar genişlemeleri arasında bir noktalı F : [0,m] Z [0, p] Z X homotopisi vardır. Benzer şekilde g 2 [g 1 ] X olduğundan g 1 ile g 2 nin sırasıyla g 1, g 2 :[0,m ] Z X aşikar genişlemeleri arasında bir noktalı G : [0,m ] Z [0,q] Z X homotopisi vardır. H :[0,m+m ] Z [0, p+q] Z X homotopisini f 1 (s), g H(s,t)= 1 (s m), f 2 (s), g 2 (s m), şeklinde tanımlayalım. f 1, g 1, f 2 ve g 2 süreklidir. ve H(s,0)=( f 1 g 1 )(s)= { { H(s, p+q)=( f 2 g 2)(s)= s [0,m] Z, t [0, p] Z s [m,m+m ] Z, t [0, p] Z s [0,m] Z, t [p, p+q] Z s [m,m+m ] Z, t [p, p+q] Z dijital sürekli olduğundan H da dijital f 1 (s), g 1 (s m), f 2 (s), g 2 (s m), s [0,m] Z s [m,m+m ] Z s [0,m] Z s [m,m+m ] Z olduğundan H, f 1 g 1 ile f 2 g 2 arasında bir noktalı homotopidir. Bu durumda f 2 g 2 [ f 1 g 1 ] X dir. 2.5. Dijital Temel Grup Bir X dijital görüntüsünde x 0 baz noktalı [ f] X κ-kapalı yol sınıflarının kümesi Π κ 1 (X, x 0) olsun. Önerme 2.30 dan,

16 [ f] X.[g] X =[ f g] X şeklinde tanımlanan çarpma işlemi Π κ 1 (X, x 0) üzerinde iyi tanımlıdır. Lemma 2.31 [3]. çarpma işlemi Π κ 1 (X, x 0) üzerinde birleşmelidir. İspat: f 1, f 2, f 3, (X, x 0 ) noktalı dijital görüntüsünde dijital kapalı yollar olsun. i {1,2,3} için f i :[0,m i ] Z X olsun. Bu durumda( f 1 f 2 ) f 3 ve f 1 (f 2 f 3 ) çarpımlarının her biri f 1 (t), 0 t m 1 F(t)= f 2 (t m 1), m 1 t m 1 + m 2 f 3 (t m 1 m 2 ), m 1 + m 2 t m 1 + m 2 + m 3 şeklinde tanımlanan F :[0,m 1 + m 2 + m 3 ] Z X yoluna eşittir. Böylece ([ f 1 ] X.[ f 2 ] X ).[ f 3 ] X =[ f 1 f 2 ] X.[ f 3 ] X =[( f 1 f 2 ) f 3 ] X =[ f 1 ( f 2 f 3 )] X =[ f 1 ] X.[ f 2 f 3 ] X olur. =[ f 1 ] X.([ f 2 ] X.[ f 3 ] X) Lemma 2.32 [3] (X, x 0 ) noktalı dijital görüntü, x 0 : [0,m] Z X, görüntüsü {x 0 } olan bir aşikar kapalı yol olsun. Bu durumda [x 0 ] X, Π κ 1 (X, x 0) ın birim elemanıdır. İspat: [ f] X Π κ 1 (X, x 0) sınıfından f :[0,m ] Z X dönüşümünü alalım. { f(t), t [0,m ( f x 0 )(t)= ] Z x 0 (t m ), t [m,m + m] Z { f(t), t [0,m = ] Z x 0, t [m,m + m] Z { x0 (t), t [0,m] (x 0 f)(t)= Z f(t m), t [m,m+m ] Z { x = 0, t [0,m] Z f(t m), t [m,m+m ] Z

17 f x 0 ve x 0 f, f in aşikar genişlemeleridir. Bu durumda f x 0 ve x 0 f aynı kapalı yol sınıfına aittir. Böylece[x 0 ] X, Π κ 1 (X, x 0) ın birim elemanıdır. Lemma 2.33 [3] f :[0,m] Z X, Π κ 1 (X, x 0) ın bir elemanı ise g(t)= f(m t), t [0,m] Z şeklinde tanımlanan g :[0,m] Z X fonksiyonu Π κ 1 (X, x 0) da[ f] 1 X in elemanıdır. İspat: f g ve g f fonksiyonlarının her birinin görüntüsü {x 0 } olan x 0 : [0,2m] Z X sabit fonksiyonu ile aynı kapalı yol sınıfına ait olduğunu göstermeliyiz. f g :[0,2m] Z X kapalı yolu { ( f g)(t)= { = f(t), g(t m), t [0,m] Z t [m,2m] Z f(t), t [0,m] Z f(2m t), t [m,2m] Z olur. H :[0,2m] Z [0,m] Z X fonksiyonunu { ( f g)(t1 ), 0 t H(t 1,t 2 )= 1 m t 2 veya m+t 2 t 1 2m ( f g)(m t 2 ), diğer durumlarda olarak alalım. Her t 2 [0,m] Z için H(0,t 2 ) = x 0 ve H(2m,t 2 ) = x 0 elde edilir. H, f g ile x 0 arasında bir noktalı dijital homotopidir. Böylece f g [x 0 ] X olur. Benzer şekilde g f [x 0 ] X olduğu da gösterilebilir. Teorem 2.34 [3]. çarpma işlemi altında Π κ 1 (X, x 0) bir gruptur. (Bu gruba (X, x 0 ) ın κ-temel grubu denir.) İspat: Lemma 2.31, Lemma 2.32 ve Lemma 2.33 den ispat elde edilir. Önerme 2.35 [3](X,κ) bir dijital görüntü, x 0 X olsun. X, κ-noktalı büzülebilir ise Π κ 1 (X, x 0) aşikar gruptur. (Π κ 1 (X, x 0) ın tek elemanı [x 0 ] X dir.)

18 İspat: (X, κ) dijital görüntüsü κ-noktalı büzülebilir ise Her x X için H(x,0)=x; Her x X için H(x,m)=x 0 ; Her t [0,m] Z için H(x 0,t)=x 0 ; olacak şekilde bir H : X [0,m] Z X dijital homotopisi vardır. f :[0,n] Z X dijital kapalı yolu[ f] X in herhangi bir elemanı olsun. Her(s,t) [0,n] Z [0,m] Z için G(s,t)=H( f(s),t) fonksiyonu f ile x 0 arasında noktalı dijital homotopidir. Böylece[ f] X =[x 0 ] X elde edilir. Örnek 2.36 [3] MSC 8 8-büzülebilir olduğundan temel grubu aşikar gruptur. Önerme 2.37 [3](X,κ 0 ), Z n 0 da, (Y,κ 1 ), Z n 1 de dijital görüntüler olsun. h :(X, x 0 ) (Y,y 0 ) dönüşümü(κ 0,κ 1 )-izomorfizm ise h ([ f])=[h f] eşitliğiyle tanımlı h : Π κ 0 1 (X, x 0) Π κ 1 1 (Y,y 0) indirgenmiş dönüşümü dijital temel grup izomorfizmidir. İspat: h, (κ 0,κ 1 )-izomorfizm ise (κ 1,κ 0 )-sürekli g :(Y,y 0 ) (X, x 0 ) dönüşümü için g h (κ0,κ 0 ) 1 X ve h g (κ1,κ 1 ) 1 Y olur. [ f 0 ] Π κ 0 1 (X, x 0), [g 0 ] Π κ 1 1 (Y,y 0) için (g h )([ f 0 ])=[(g h) f 0 ]=[ f 0 ] (h g )([g 0 ])=[(h g) g 0 ]=[g 0 ]

19 dır. Bu durumda h ve g ters fonksiyonlardır. h ın homomorfizm olduğunu gösterelim: h ([ f 0. f 1 ])=[(h f 0 ).(h f 1 )]=h ([ f 0 ]) h ([ f 1 ]) Benzer şekilde g da homomorfizmdir. h dönüşümü bir dijital temel grup izomorfizmidir.

3. DİJİTAL GÖRÜNTÜLERDE HOMOLOJİ GRUPLARI Cebirsel topolojide homoloji gruplarının hesaplanması, yüksek dereceli homotopi gruplarının hesaplanmasından daha kolaydır. Bu nedenle bir dijital görüntünün homoloji grubunun hesaplanması homotopi grubunun hesaplanmasına tercih edilir. Tanım 3.1 olsun. [7] S, (X,κ) (Z n,κ) dijital görüntüsünün boştan farklı alt kümesi s S ve p ile q, s nin ayrık noktaları olmak üzere p ve q, κ-yakın; s Sve = t sise t S; şartları sağlanıyorsa S nin elemanlarına (X, κ) nın dijital simpleksleri denir. Bir S simpleksi m-simplekstir öyle ki S = m + 1 dir. P, bir dijital m-simpleks olsun. P, P nin boştan farklı öz alt kümesi ise P ne P nin bir yüzü denir. Şekil 3.1. (2,0), (2,1), (8,2) ve (26,3)-simpleksler Tanım 3.2 [7] Negatif olmayan d tamsayısı için 0 m dolmak üzere (X,κ), dijital m-simplekslerin sonlu kolleksiyonu olsun. Aşağıdaki şartlar sağlanıyorsa (X, κ) ya sonlu dijital simpleksler kompleksi denir; P, X e aitse P nin her yüzü de X e aittir. P, Q X ise P Q ya boştur ya da P ve Q nun ortak yüzüdür. X dijital simpleksler kompleksinin m tane simpleksi varsa X in boyutu m dir.

22 Tanım 3.3 gruptur. [7] C κ q(x), X de her dijital (κ,q)-simpleksi baz olan serbest abel Sonuç 3.4 [1] (X,κ) Z n de m boyutlu bir dijital simpleksler kompleksi olsun. Her q>miçin, C κ q(x) bir aşikar gruptur. İspat: X, m boyutlu bir dijital simpleksler kompleksinde q > m için(κ, q)-simpleks mevcut olmadığından C κ q(x)={0} dır. Tanım 3.5 [7](X,κ) Z n de m boyutlu bir dijital simpleksler kompleksi olsun. p i, p i elemanının simpleksten çıkarılması olmak üzere; q q ( p 0, p 1,..., p q )= ( 1) i p 0, p 1,..., p i,..., p q, m q i=0 0, m<q şeklinde tanımlanan q : Cq(X) C κ q 1 κ (X) homomorfizmine sınır operatörü denir. Örnek 3.6 MSC 8 dijital görüntüsünü ele alalım. p 3 p 0 p 2 p 1 Şekil 3.2. MSC 8 MSC 8 ={p 0 =(1,2), p 1 =(2,1), p 2 =(3,2), p 3 =(2,3)} Z 2 ve p 0 < p 1 < p 3 < p 2 olsun. 0-simpleksler p 0, p 1, p 2, p 3

23 ve 1-simpleksler e 0 = p 0 p 3,e 1 = p 3 p 2,e 2 = p 1 p 2,e 3 = p 0 p 1 şeklindedir. 1-simplekslere sınır operatörünü uygularsak 1 (e 0 )= p 3 p 0 1 (e 1 )= p 2 p 3 1 (e 2 )= p 2 p 1 1 (e 3 )= p 1 p 0 ede edilir. Önerme 3.7 [1] Her 1 q miçin q 1 q = 0 dır. İspat: Her p 0, p 1,..., p q C κ q(x) için j i q 1 q ( p 0, p 1,..., p q )= q 1 ( = q 1 j=0 q i=0 ( 1) j ( ( 1) i p 0,..., p i,..., p q ) q i=0 ( 1) i p 0,..., p j,..., p i,..., p q ) = ( 1) i+j ( p 0,..., p i,..., p j,..., p q ) i<j + ( 1) i+j ( p 0,..., p j,..., p i,..., p q ) j i ( 1) i+j ( p 0,..., p j,..., p i,..., p q )= ( 1) k+l+1 ( p 0,..., p k,..., p l,..., p q ) olduğundan k<l q 1 q ( p 0, p 1,..., p q )=0 elde edilir. Sonuç 3.8 [1](X,κ) Z n de m boyutlu dijital simpleksler kompleksi olsun.

24 C (X) κ m+1 : 0 Cm(X) κ m Cm 1 κ (X) m 1... 1 C0 κ(x) 0 0 bir zincir komplekstir. İspat: C κ q(x) serbest abel grup, q homomorfizm ve q 1 q = 0 olduğundan C (X) κ m+1 : 0 Cm(X) κ m Cm 1 κ (X) m 1... 1 C0 κ(x) 0 0 bir zincir kompleks olur. Şimdi q-boyutlu dijital homoloji grubunu tanımlayalım; Tanım 3.9 [1] (X, κ), dijital simpleksler kompleksi olsun. Zq(X)=Ker κ q grubuna dijital simpleksler q- devirlerin grubu denir. Bq(X)=Im κ q+1 grubuna dijital simpleksler q- sınırların grubu denir. Hq(X)=Z κ q(x)/b κ q(x) κ bölüm grubuna q. dijital simpleksler homoloji grubu denir. Tanım 3.10 [7] ϕ : (X,κ 0 ) (Y,κ 1 ) dijital görüntüler arasında bir fonksiyon olsun. X de κ 0 -yakınlıklı her P dijital (κ 0,m)-simpleksi için ϕ(p), n m için Y de (κ 1,n)-simpleks ise ϕ ye dijital simpleksler dönüşüm denir. Tanım 3.11 [7] ϕ : (X,κ 0 ) (Y,κ 1 ) dijital simpleksler dönüşüm olsun. q 0 için ϕ : C κ 0 q (X) C κ 1 q (Y) homomorfizmi ϕ ( p 0,..., p q )= ϕ(p 0 ),..., ϕ(p q ) şeklinde tanımlanır.

25 Teorem 3.12 [1] f :(X,κ 0 ) (Y,κ 1 ) bir dijital (κ 0,κ 1 )-izomorfizm ise H κ 0 q (X) = H κ 1 q (Y) dir. İspat: f : (X,κ 0 ) (Y,κ 1 ) bir dijital (κ 0,κ 1 )-izomorfizm olsun. Bu durumda f sürekli olduğundan "x 1, x 2 X, x 1 ve x 2, κ 0 -yakındır f(x 1 ) ve f(x 2 ), κ 1 -yakın veya f(x 1 )= f(x 2 ) dir" koşulunu sağlar. m q 0olsun. f : C κ 0 q (X) C κ 1 q (Y) p 0, p 1,..., p q f ( p 0, p 1,..., p q )= f(p 0 ), f(p 1 ),..., f(p q ) şeklinde tanımlanır. f dönüşümü f nin tanımından dolayı iyi tanımlı ve bijeksiyondur. Böylece C κ 0 q (X) = C κ 1 q (Y) elde edilir. Sonuç olarak H κ 0 q (X) = H κ 1 q (Y) olur. Teorem 3.13 [1] (X, κ) tek noktalı dijital görüntü ise H κ q(x)= { Z, q=0 0, q>0 dır. İspat: X={x 0 } olsun. m q> 0 için X in içerdiği dijital (κ,q)-simpleks mevcut olmadığından C κ q(x)=0 dır. Böylece, tüm m q>0için H κ q(x)=0dır. q=0olsun. C0 κ (X), dijital(κ,0)-simpleks bazlı serbest değişmeli grup olduğundan C κ 0 (X) = Z dir. 1 0 C0 κ(x) 0 0

26 kısa dizisinde Im 1 = 0 ve Ker 0 = Z dir. Böylece H κ 0 (X) = Z dir. Teorem 3.14 [1] X dijital basit kapalı κ-eğri ise H κ q(x)= { Z, q=0,1 0, q = 0,1 dır. İspat: X = {x 0, x 1,..., x q } Z 2 bir dijital basit kapalı κ-eğri olsun. Bu durumda, x i ve x j, κ-yakındır i = j± 1(modq) dur. C κ 0 (X)={ x 0, x 1,..., x q } = Z q+1 C κ 1 (X)={ x 0, x 1, x 1, x 2,..., x q, x 0 } = Z q+1 dir. m>q>1için C κ q(x)=0olduğundan H κ q(x)=0dır. 2 0 C1 κ(x) 1 Cκ 0 (X) 0 0 kısa dizisinden Im 2 = 0 ve Ker 0 = Z q+1 bulunur. Diğer taraftan 1 (n 0 x 0, x 1 +n 1 x 1, x 2 + +n q x q, x 0 )= n 0 (x 1 x 0 )+n 1 (x 2 x 1 )+ +n q (x 0 x q ) eşitliğinden Im 1 = Z q dur. 1 (n 0 x 0, x 1 +n 1 x 1, x 2 + +n q x q, x 0 )=0 n 0 (x 1 x 0 )+n 1 (x 2 x 1 )+ + n q (x 0 x q )=0 (n q n 0 )x 0 +(n 0 n 1 )x 1 + +(n q 1 n q )x q = 0 eşitliği çözüldüğünde n 0 = n 1 = =n q = n olur. Buradan Ker 1 = Z dir. Sonuç olarak H1 κ(x)= Z= Hκ 0 (X) elde edilir.

27 Teorem 3.15 dir. [1] (X,κ) Z n dijital görüntüsü κ-yol bağlantılı ise H κ 0 (X) = Z İspat: X in 0-simplekslerinin p 0, p 1,..., p n olduğunu kabul edelim.... 2 C1 κ(x) 1 Cκ 0 (X) 0 0 dizisi elde edilir. 0 sıfır homomorfizmi olduğundan Z κ 0 (X)=Ker 0 = C κ 0 (X) olur. C κ 0 (X) in elemanları n i=0k i p i, k i Z şeklindedir. İddia ediyoruz ki B κ 0 (X)={ n i=0k i p i C κ 0 (X) k i = 0} ( ) dır. İddiamız doğruysa, ϕ : Z κ 0 (X) Z k i p i k i dönüşümü örtendir ve çekirdeği B0 κ (X) dir. Birinci İzomorfizm Teoreminden H0 κ(x) = Z olur. ( ) eşitliğini göstermek için çift taraflı kapsamayı gösterelim. γ= n i=0 k i p i C κ 0 (X) ve k i = 0 olsun. Herhangi bir p X seçersek X, κ-yol bağlantılı olduğundan her p i X için p den p i ye bir κ-yol vardır. σ i : p den p i ye olan κ-yolu oluşturan dijital 1-simplekslerin kümesi olsun. 1 (σ i )= p i p olduğu açıktır. k i σ i C1 κ (X) dir ve 1 ( k i σ i )= k i 1 (σ i )= k i (p i p)= k i p i ( k i )p

28 olur. k i = 0 olduğundan γ= n i=0 k i p i = 1 ( k i σ i ) B κ 0 (X) dır. Tersine, γ B κ 0 (X) ise γ = 1( k i e i ), e i C κ 1 (X) yani e i, 1-simplekstir ve e i = p ri p si şeklindedir. Böylece γ= k i 1 (e i )= k i 1 ( p ri p si )= k i (p si p ri )= k i p si k i p ri olur. k i iki kez ve zıt işaretli olarak tekrarladığından k i = 0 dır. Böylece H κ 0 (X)=Zκ 0 (X)/Bκ 0 (X) = Z elde edilir. Örnek 3.16 X, Y ye dijital homotopi denk iken H κ 0 q (X) ve H κ 1 q (Y) izomorf olmayabilir. MSC 8 ={(1,0),(0,1),( 1,0),(0, 1)} dijital görüntüsünü ele alalım. MSC 8 dijital basit kapalı 8-eğri ve 8-büzülebilir bir eğridir. Bu nedenle tek noktalı uzaya dijital (8, 8)-homotopi denktir. Teorem 3.13 ve 3.14 den H 8 1 (MSC 8 )=Z ve H8 1 ({ })=0 dır. Sonuç olarak MSC 8 (8,8) { } iken H1 8(MSC 8 ) ve H8 1 ({ }) izomorf değildir. Teorem 3.17 [1] (K, κ), m boyutlu dijital simpleksler kompleksi olsun. 1. Her q 0için H κ q(k) sonlu üretilen gruptur. 2. Tüm q>miçin H κ q(k)=0 dır. 3. H κ m(k) serbest abel gruptur.

29 İspat: 1. Cq(K) κ sonlu üretilen bir gruptur. Dolayısıyla alt grubu Zq(K) κ da sonlu üretilen olup bölüm grubu Hq(K) κ da sonlu üretilen gruptur. 2. Sonuç 3.4 den her q>miçin Hq(K)=0 κ dır. 3. Cm+1 κ (K)=0 olduğundan Bκ m(k)=0dır. Bu durumda H κ m(k)= Z κ m(k) elde edilir. Serbest abel grubun alt grubu da serbest abel grup olduğundan H κ m(k) serbest abel gruptur. Teorem 3.18 [7] Her bir q 0 için H κ q, simpleksler kompleksler ve simpleksler dönüşümler kategorisinden abel gruplar kategorisine bir kovaryant funktordur. İspat: H κ 0 q (X), dijital simpleksler kompleks olan X objesi üzerinde tanımlanmıştır. ϕ :(X,κ 0 ) (Y,κ 1 ) bir dijital simpleksler dönüşüm ise ϕ : H κ 0 q (X) H κ 1 q (Y) dönüşümü z Z κ 0 q (X) olmak üzere ϕ (z+ B κ 0 q (X))= ϕ (z)+b κ 1 q (Y) şeklinde tanımlanır. 1 (X,κ0 ) :(X,κ 0 ) (X,κ 0 ) birim dönüşümü için (1 (X,κ0 )) : H κ 0 q (X) H κ 0 q (X) dönüşümünde z Z κ 0 q (X) için (1 (X,κ0 )) (z+ B κ 0 q (X))=(1 (X,κ0 )) (z)+ B κ 0 q (X)=z+B κ 0 q (X)

30 olur. Bu durumda (1 (X,κ0 )) = 1 κ H 0 q (X) bulunur. ϕ :(X,κ 0) (Y,κ 1 ) ve ψ :(Y,κ 1 ) (W,κ 2 ) dijital simpleksler dönüşümleri için ϕ : H κ 0 q (X) H κ 1 q (Y) ve ψ : H κ 1 q (Y) H κ 2 q (W) dönüşümlerinde z Z κ 0 q (X) olmak üzere (ψ ϕ )(z+ B κ 0 q (X))=ψ (ϕ (z+ B κ 0 q (X))) = ψ (ϕ (z)+ B κ 1 q (Y)) = ψ (ϕ (z))+ B κ 2 q (W) =(ψ ϕ )(z)+ B κ 2 q (W) =(ψ ϕ) (z)+b κ 2 q (W) =(ψ ϕ) (z+b κ 0 q (X)) olur. Buradan (ϕ ψ) = ϕ ψ elde edilir. Örnek 3.19 [7] X={p 0 =(0,0), p 1 =(1,0), p 2 =(1,1)} Z 2, 8-yakınlıklı bir dijital görüntü olsun. X in dijital simpleksler homoloji grubu H 8 q(x)= { Z, q=0 0, q = 0 dır. X in noktalarının p 0 2 için H 8 q(x)={0} dır. C0 8(X), C8 1 (X) ve C8 2 (X) serbest abel grupların bazları sırasıyla { p 0, p 1, p 2 }, { p 0 p 1, p 1 p 2, p 0 p 2 }, { p 0 p 1 p 2 }

31 dir. Böylece 3 0 C2 8(X) 2 C8 1 (X) 1 C8 0 (X) 0 0 kısa dizisini elde ederiz. Im 3 = B2 8 (X)={0} olduğunu görebiliriz. 2 (a p 0 p 1 p 2 )=a( p 1 p 2 p 0 p 2 + p 0 p 1 ) 2 (a p 0 p 1 p 2 )=0 a( p 1 p 2 p 0 p 2 + p 0 p 1 )=0 a=0 olur. Bu durumda Ker 2 = Z2 8 (X)={0} dır. Böylece H 8 2 (X)=Z8 2 (X)/B8 2 (X)={0} elde edilir. B 8 1 (X)=Im 2 ={a( p 0 p 1 + p 1 p 2 p 0 p 2 ) a Z} dir. Ayrıca 1 (a p 0 p 1 +b p 0 p 2 +c p 1 p 2 )= a 1 ( p 0 p 1 )+b 1 ( p 0 p 2 )+c 1 ( p 1 p 2 ) = a( p 1 p 0 )+b( p 2 p 0 )+c( p 2 p 1 ) =( a b) p 0 +(a c) p 1 +(b+c) p 2 =0 Böylece a = b = c elde edilir. Buradan Z 8 1 (X)=Ker 1 ={a( p 0 p 1 + p 1 p 2 p 0 p 2 ) a Z}=B 8 1 (X) olur. Böylece H 8 1 (X)=Z8 1 (X)/B8 1 (X)={0} elde edilir. B={a p 0 +b p 1 +c p 2 {a,b,c} Z, a+b+c=0} = Z 2

32 a+b+c=0 c= a b 1 in tanımından Im 1 = B0 8(X) B olur. Şimdi B B8 0 (X) olduğunu gösterelim: a p 0 +b p 1 (a+b) p 2 B için a p 0 +b p 1 (a+b) p 2 = 1 ( a p 0 p 2 b p 1 p 2 ) B 8 0 (X) olduğundan B B 8 0 (X) dir. Buradan B= B8 0 (X) = Z 2 elde edilir. Ker 0 = Z 8 0 (X)={a 0 p 0 +a 1 p 1 +a 2 p 2 a i Z, i = 0,1,2} = Z 3 bulunur. Bu durumda H 8 0 (X)=Z8 0 (X)/B8 0 (X) = Z olur. Böylece elde edilir. H 8 q(x)= { Z, q=0 0, q = 0 Teorem 3.20 [7] MSC 8 ={( 1,0),(0, 1),(0,1),(1,0)} nün simpleksler homoloji grubu dır. H 8 q(msc 8)= { Z, q=0,1 0, q = 0,1 İspat: MSC 8 nün noktalarını{p 0=( 1,0), p 1 =(0, 1), p 2 =(0,1), p 3 =(1,0)} olarak gösterelim ve bu noktaların p 0 2 için H 8 q(msc 8 )={0} dır. C0 8(MSC 8 ) ve C8 1 (MSC 8 ) serbest abel grupların bazları sırasıyla

33 { p 0, p 1, p 2 }, p 3 }, { p 0 p 1, p 1 p 2, p 0 p 3, p 2 p 3 }, dür. Böylece 2 0 C1 8(MSC 8 ) 1 C8 0 (MSC 8 ) 0 0 kısa dizisi bulunur. Im 2 = B1 8(MSC 8 )={0} dır. Ayrıca 1 (a p 0 p 1 +b p 1 p 2 +c p 0 p 3 +d p 2 p 3 )=a 1 ( p 0 p 1 )+b 1 ( p 1 p 2 )+c 1 ( p 0 p 3 ) dır. a=b= c=delde edilir. Buradan +d 1 ( p 2 p 3 ) = a( p 1 p 0 )+b( p 2 p 1 ) +c( p 3 p 0 )+d( p 3 p 2 ) =( a c) p 0 +(a b) p 1 +(b d) p 2 = 0 +(c+d) p 3 Z 8 1 (MSC 8 )=Ker 1 ={a( p 0 p 1 + p 1 p 2 p 0 p 3 + p 2 p 3 ) a Z} = Z olur. H 8 1 (MSC 8 )=Z8 1 (X)/B8 1 (X) = Z elde edilir. B0 8(MSC 8 )={t 0 p 0 +t 1 p 1 +t 2 p 2 +( t 0 t 1 t 2 ) p 3 i= 0,1,2, p i Z} =Z 3 ve Z0 8(MSC 8 )={k 0 p 0 +k 1 p 1 +k 2 p 2 +k 3 p 3 i = 0,1,2,3 k i Z} = Z 4 olduğundan H 8 0 (MSC 8 )=Z8 0 (X)/B8 0 (X) = Z

34 bulunur. Böylece elde edilir. H 8 q(msc 8)= { Z, q=0,1 0, q = 0,1 Teorem 3.21 dır. [7] MSS 18 nün dijital simpleksler homoloji grupları { q (MSS 18 Z, q=0,2 )= 0, q = 0,2 H 18 p 5 p 3 p 0 p 2 p 1 p 4 Şekil 3.3. MSS 18 İspat: MSS 18 nün noktalarını { p 0 = (1,1,0), p 1 = (0,2,0), p 2 = ( 1,1,0), p 3 =(0,0,0), p 4 =(0,1, 1), p 5 =(0,1,1)} Z 3 olarak gösterelim ve bu noktaların p 2 3için H 18 q (MSS 18 )={0} dır. C0 18(MSS 18 ), C18 1 (MSS 18 ) ve C18 2 (MSS 18 ) bazları sırasıyla 0-simpleksler p 0, p 1, p 2, p 3, p 4, p 5 1-simpleksler e 0 = p 2 p 1,e 1 = p 2 p 3,e 2 = p 2 p 4,e 3 = p 2 p 5,e 4 = p 4 p 1, e 5 = p 3 p 4,e 6 = p 4 p 0,e 7 = p 5 p 1,e 8 = p 3 p 5,e 9 = p 5 p 0, e 10 = p 1 p 0,e 11 = p 3 p 0 2-simpleksler σ 0 = p 2 p 4 p 1,σ 1 = p 4 p 1 p 0,σ 2 = p 3 p 4 p 0,σ 3 = p 2 p 3 p 4, σ 4 = p 2 p 5 p 1,σ 5 = p 2 p 3 p 5,σ 6 = p 5 p 1 p 0,σ 7 = p 3 p 5 p 0 olan serbest abel gruplardır. Böylece

35 3 0 C2 18(MSS 18 ) 2 C18 1 (MSS 18 ) 1 C18 0 (MSS 18 ) 0 0 kısa dizisi elde edilir. Im 3 = B2 18(MSS 18 )={0} dır. Ayrıca 2 ( 7 i=0 n i σ i )=n 0 2 (σ 0 )+n 1 2 (σ 1 )+n 2 2 (σ 2 )+n 3 2 (σ 3 )+n 4 2 (σ 4 ) olur. Buradan +n 5 2 (σ 5 )+n 6 2 (σ 6 )+n 7 2 (σ 7 ) = n 0 (e 4 e 0 + e 2 )+n 1 (e 10 e 6 + e 4 )+n 2 (e 6 e 11 + e 5 ) +n 3 (e 5 e 2 + e 1 )+n 4 (e 7 e 0 + e 3 )+n 5 (e 8 e 3 + e 1 ) +n 6 (e 10 e 9 + e 7 )+n 7 (e 9 e 11 + e 8 ) = e 0 ( n 0 n 4 )+e 1 (n 3 + n 5 )+e 2 (n 0 n 3 )+e 3 (n 4 n 5 ) +e 4 (n 0 + n 1 )+e 5 (n 2 + n 3 )+e 6 ( n 1 + n 2 )+e 7 (n 4 + n 6 ) +e 8 (n 5 + n 7 )+ e 9 ( n 6 + n 7 )+e 10 (n 1 + n 6 )+e 11 ( n 2 n 7 ) e 0 ( n 0 n 4 )+e 1 (n 3 + n 5 )+e 2 (n 0 n 3 )+e 3 (n 4 n 5 )+e 4 (n 0 + n 1 ) +e 5 (n 2 + n 3 )+e 6 ( n 1 + n 2 )+e 7 (n 4 + n 6 )+e 8 (n 5 + n 7 )+e 9 ( n 6 + n 7 ) +e 10 (n 1 + n 6 )+e 11 ( n 2 n 7 )=0 denklemi çözülürse bulunur. Bu durumda n 0 = n 1 = n 2 = n 3 = n 4 = n 5 = n 6 = n 7 = n Z 18 2 (MSS 18 )=Ker 2={n( σ 0 + σ 1 + σ 2 σ 3 + σ 4 + σ 5 σ 6 σ 7 ) n Z} = Z elde edilir. Böylece olur. 1 ( 11 i=0 H 18 2 (MSS 18 )=Z18 2 (MSS 18 )/B18 2 (MSS 18 ) = Z k i e i )=k 0 1 (e 0 )+k 1 1 (e 1 )+k 2 1 (e 2 )+k 3 1 (e 3 )+k 4 1 (e 4 )+k 5 1 (e 5 )

36 +k 6 1 (e 6 )+k 7 1 (e 7 )+k 8 1 (e 8 )+k 9 1 (e 9 )+k 10 1 (e 10 )+k 11 1 (e 11 ) = k 0 (p 1 p 2 )+k 1 (p 3 p 2 )+k 2 (p 4 p 2 )+k 3 (p 5 p 2 ) +k 4 (p 1 p 4 )+k 5 (p 4 p 3 )+k 6 (p 0 p 4 )+k 7 (p 1 p 5 ) +k 8 (p 5 p 3 )+k 9 (p 0 p 5 )+k 10 (p 0 p 1 )+k 11 (p 0 p 3 ) = p 0 (k 6 + k 9 + k 10 + k 11 )+ p 1 (k 0 + k 4 + k 7 k 10 ) +p 2 ( k 0 k 1 k 2 k 3 )+ p 3 (k 1 k 5 k 8 k 11 ) +p 4 (k 2 k 4 + k 5 k 6 )+ p 5 (k 3 k 7 + k 8 k 9 ) elde edilir. Buradan p 0 (k 6 + k 9 + k 10 + k 11 )+ p 1 (k 0 + k 4 + k 7 k 10 )+ p 2 ( k 0 k 1 k 2 k 3 ) +p 3 (k 1 k 5 k 8 k 11 )+ p 4 (k 2 k 4 + k 5 k 6 )+ p 5 (k 3 k 7 + k 8 k 9 )=0 denklemi çözülürse k 3 = k 0 k 1 k 2 k 6 = k 2 k 4 + k 5 k 9 = k 0 k 1 k 2 k 7 + k 8 k 10 = k 0 + k 4 + k 7 olur. Bu durumda k 11 = k 1 k 5 k 8 Z 8 1 (MSS 18 )=Ker 1 ={k 0 e 0 + k 1 e 1 + k 2 e 2 +( k 0 k 1 k 2 )e 3 + k 4 e 4 + k 5 e 5 +(k 2 k 4 + k 5 )e 6 + k 7 e 7 + k 8 e 8 +( k 0 k 1 k 2 k 7 + k 8 )e 9 +(k 0 +k 4 +k 7 )e 10 +(k 1 k 5 k 8 )e 11 k i Z,i = 0,1,2,4,5,7,8} = Z 7 bulunur. Ayrıca B 18 1 (MSS 18 )=Im 2 ={t 0 e 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 +( t 0 t 1 t 2 )e 3 + t 3 e 4 + t 4 e 5

37 olur. Böylece elde edilir. +(t 2 t 3 + t 4 )e 6 + t 5 e 7 + t 6 e 8 +( t 0 t 1 t 2 t 5 + t 6 )e 9 +(t 0 + t 3 + t 5 )e 10 +( t 1 + t 4 + t 6 )e 11 t i Z,i= 0,1,2,3,4,5,6} = Z 7 H 18 1 (MSS 18 )=Z18 1 (MSS 18 )/B18 1 (MSS 18 ) ={0} B 18 0 (MSS 18 )=Im 1 ={h 0 p 0 +h 1 p 1 +h 2 p 2 +h 3 p 3 +h 4 p 4 ve +( h 0 h 1 h 2 h 3 h 4 ) p 5 i=0,1,2,3,4 h i Z} = Z 5 Z 18 0 (MSS 18)={n 0 p 0 +n 1 p 1 +n 2 p 2 +n 3 p 3 +n 4 p 4 +n 5 p 5 olduğundan i = 0,1,2,3,4,5 n i Z} = Z 6 bulunur. Böylece elde edilir. H 18 0 (MSS 18 )=Z18 0 (MSS 18 )/B18 0 (MSS 18 ) = Z { q (MSS 18 Z, q=0,2 )= 0, q = 0,2 H 18 Teorem 3.22 dır. [7] MSS 18 in dijital simpleksler homoloji grupları H 18 q (MSS 18 )= Z, q=0 Z 3, q=1 0, q = 0,1 İspat: MSS 18 in noktalarını {p 0 =(0,0,1), p 1 =(1,1,1), p 2 =(1,2,1), p 3 =(0,3,1), p 4 =( 1,2,1), p 5 =( 1,1,1), p 6 =(0,1,0), p 7 =(0,2,0), p 8 =(0,2,2), p 9 =(0,1,2)} Z 3 olarak gösterelim ve bu noktaların p 5 3için

38 p 9 p 8 p 0 p 5 p 4 1 p 2 p 3 p 6 p 7 Şekil 3.4. MSS 18 H 18 q (MSS 18 )={0} dır. C 18 0 (MSS 18), C 18 1 (MSS 18) ve C 18 2 (MSS 18) serbest abel gruplarının bazları sırasıyla 0-simpleksler p 0, p 1, p 2, p 3, p 4, p 5, p 6, p 7, p 8, p 9 1-simpleksler e 0 = p 0 p 1,e 1 = p 0 p 9,e 2 = p 5 p 0,e 3 = p 0 p 6,e 4 = p 9 p 8, e 5 = p 9 p 1,e 6 = p 5 p 9,e 7 = p 6 p 1,e 8 = p 1 p 2,e 9 = p 5 p 6, e 10 = p 6 p 7,e 11 = p 5 p 4,e 12 = p 8 p 2,e 13 = p 4 p 8,e 14 = p 8 p 3, e 15 = p 4 p 3,e 16 = p 4 p 7,e 17 = p 3 p 2,e 18 = p 7 p 2,e 19 = p 7 p 3 2-simpleksler σ 0 = p 0 p 9 p 1,σ 1 = p 0 p 6 p 1,σ 2 = p 5 p 0 p 6,σ 3 = p 5 p 0 p 9, dir. Böylece σ 4 = p 4 p 8 p 3,σ 5 = p 4 p 7 p 3,σ 6 = p 8 p 3 p 2,σ 7 = p 7 p 3 p 2 3 0 C2 18(MSS 2 18) C1 18(MSS 1 18) C0 18(MSS 0 18) 0 kısa dizisi elde edilir. Im 3 = B2 18(MSS 18)={0} dır. Ayrıca 2 ( 7 i=0 n i σ i )=n 0 2 (σ 0 )+n 1 2 (σ 1 )+n 2 2 (σ 2 )+n 3 2 (σ 3 )+n 4 2 (σ 4 ) +n 5 2 (σ 5 )+n 6 2 (σ 6 )+n 7 2 (σ 7 ) = n 0 (e 5 e 0 + e 1 )+n 1 (e 7 e 0 + e 3 )+n 2 (e 3 e 9 + e 2 ) +n 3 (e 1 e 6 + e 2 )+n 4 (e 14 e 15 + e 13 )+n 5 (e 19 e 15 + e 16 )

39 elde edilir. Buradan +n 6 (e 17 e 12 + e 14 )+n 7 (e 17 e 18 + e 19 ) = e 0 ( n 0 n 1 )+e 1 (n 0 + n 3 )+e 2 (n 2 + n 3 )+e 3 (n 1 + n 2 ) +e 5 (n 0 )+e 6 ( n 3 )+e 7 (n 1 )+e 9 ( n 2 )+e 12 ( n 6 )+e 13 (n 4 ) +e 14 (n 4 + n 6 )+e 15 ( n 4 n 5 )+e 16 (n 5 )+e 17 (n 6 + n 7 ) +e 18 ( n 7 )+e 19 (n 5 + n 7 ) e 0 ( n 0 n 1 )+e 1 (n 0 + n 3 )+e 2 (n 2 + n 3 )+e 3 (n 1 + n 2 )+e 5 (n 0 )+e 6 ( n 3 ) +e 7 (n 1 )+e 9 ( n 2 )+e 12 ( n 6 )+e 13 (n 4 )+e 14 (n 4 + n 6 )+e 15 ( n 4 n 5 ) +e 16 (n 5 )+e 17 (n 6 + n 7 )+e 18 ( n 7 )+e 19 (n 5 + n 7 )=0 denklemi çözülürse n 0 = n 1 = n 2 = n 3 = n 4 = n 5 = n 6 = n 7 = 0 bulunur. Bu durumda Z 18 2 (MSS 18)=Ker 2 ={0} dır. Böylece elde edilir. Ayrıca 1 ( 19 i=0 H 18 2 (MSS 18)=Z 18 2 (MSS 18)/B 18 2 (MSS 18) ={0} k i e i )=k 0 1 (e 0 )+k 1 1 (e 1 )+k 2 1 (e 2 )+k 3 1 (e 3 )+k 4 1 (e 4 )+k 5 1 (e 5 ) +k 6 1 (e 6 )+k 7 1 (e 7 )+k 8 1 (e 8 )+k 9 1 (e 9 )+k 10 1 (e 10 )+k 11 1 (e 11 ) +k 12 1 (e 12 )+k 13 1 (e 13 )+k 14 1 (e 14 )+k 15 1 (e 15 )+k 16 1 (e 16 ) +k 17 1 (e 17 )+k 18 1 (e 18 )+k 19 1 (e 19 ) = k 0 (p 1 p 0 )+k 1 (p 9 p 0 )+k 2 (p 0 p 5 )+k 3 (p 6 p 0 ) +k 4 (p 8 p 9 )+k 5 (p 1 p 9 )+k 6 (p 9 p 5 )+k 7 (p 1 p 6 ) +k 8 (p 2 p 1 )+k 9 (p 6 p 5 )+k 10 (p 7 p 6 )+k 11 (p 4 p 5 ) +k 12 (p 2 p 8 )+k 13 (p 8 p 4 )+k 14 (p 3 p 8 )+k 15 (p 3 p 4 ) +k 16 (p 7 p 4 )+k 17 (p 2 p 3 )+k 18 (p 2 p 7 )+k 19 (p 3 p 7 )

40 = p 0 ( k 0 k 1 + k 2 k 3 )+ p 1 (k 0 + k 5 + k 7 k 8 ) +p 2 (k 8 + k 12 + k 17 + k 18 )+ p 3 (k 14 + k 15 k 17 + k 19 ) +p 4 (k 11 k 13 k 15 k 16 )+ p 5 ( k 2 k 6 k 9 k 11 ) +p 6 (k 3 k 7 + k 9 k 10 )+ p 7 (k 10 + k 16 k 18 k 19 ) +p 8 (k 4 k 12 + k 13 k 14 )+ p 9 (k 1 k 4 k 5 + k 6 ) olur. Buradan p 0 ( k 0 k 1 + k 2 k 3 )+ p 1 (k 0 + k 5 + k 7 k 8 )+ p 2 (k 8 + k 12 + k 17 + k 18 ) +p 3 (k 14 + k 15 k 17 + k 19 )+ p 4 (k 11 k 13 k 15 k 16 ) +p 5 ( k 2 k 6 k 9 k 11 )+ p 6 (k 3 k 7 + k 9 k 10 )+ p 7 (k 10 + k 16 k 18 k 19 ) +p 8 (k 4 k 12 + k 13 k 14 )+ p 9 (k 1 k 4 k 5 + k 6 )=0 denklemi çözülürse Z1 8(MSS 18)=Ker 1 ={k 0 p 0 + k 1 p 1 + k 2 p 2 +( k 0 k 1 + k 2 )p 3 + k 4 p 4 + k 5 p 5 +( k 1 + k 4 + k 5 )p 6 + k 7 p 7 +(k 0 + k 5 + k 7 )p 8 + k 9 p 9 +( k 0 k 1 + k 2 k 7 + k 9 )p 10 +( k 2 k 9 + k 1 k 4 k 5 )p 11 +k 12 p 12 +k 13 p 13 +(k 4 k 12 +k 13 )p 14 +(k 1 k 2 k 4 k 5 k 9 k 13 k 16 )p 15 +k 16 p 16 + k 17 p 17 +( k 0 k 5 k 7 k 12 k 17 )p 18 +( k 1 + k 2 + k 5 + k 9 + k 12 + k 16 + k 17 )p 19 a Z} = Z 11 bulunur. Ker 2 ={0} olduğundan 2 dönüşümü birebirdir. Dolayısıyla olur. Bu durumda B 18 1 (MSS 18) = C 18 2 (MSS 18) = Z 8 elde edilir. H 18 1 (MSS 18)=Z 18 1 (MSS 18)/B 18 1 (MSS 18) = Z 3 B 18 0 (MSS 18)={t 0 p 0 +t 1 p 1 +t 2 p 2 +t 3 p 3 +t 4 p 4 +t 5 p 5 +t 6 p 6 +t 7 p 7 +t 8 p 8 +( t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 ) p 9

41 ve i = 0,1,2,3,4,5,6,7,8 t i Z} = Z 9 Z 18 0 (MSS 18)={k 0 p 0 +k 1 p 1 +k 2 p 2 +k 3 p 3 +k 4 p 4 +k 5 p 5 +k 6 p 6 olduğundan +k 7 p 7 +k 8 p 8 +k 9 p 9 i = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 k i Z} = Z 10 bulunur. Böylece elde edilir. H 18 0 (MSS 18)=Z 18 0 (MSS 18)/B 18 0 (MSS 18) = Z H 18 q (MSS 18 )= Z, q=0 Z 3, q=1 0, q = 0,1 Teorem 3.23 [7] MSS 6 nün dijital simpleksler homoloji grupları Z, q=0 Hq(MSS 6 6)= Z 5, q=1 0, q = 0,1 dır. p 3 p 4 p 7 p 5 p 2 p 6 p 0 p 1 Şekil 3.5. MSS 6 İspat: MSS 6 nün noktalarını { p 0 = (1,0,0), p 1 = (1,1,0), p 2 = (1,1,1), p 3 =(1,0,1), p 4 =(0,0,1), p 5 =(0,1,1), p 6 =(0,1,0), p 7 =(0,0,0)} Z 3 olarak gösterelim ve bu noktaların p 7 2için H 6 q(mss 6 )={0}

42 dır. C0 6(MSS 6 ) ve C6 1 (MSS 6 ) serbest abel gruplarının bazları sırasıyla 0-simpleksler p 0, p 1, p 2, p 3, p 4, p 5, p 6, p 7 1-simpleksler e 0 = p 0 p 1,e 1 = p 0 p 3,e 2 = p 1 p 2,e 3 = p 6 p 1,e 4 = p 5 p 2, dır. Böylece e 5 = p 3 p 2,e 6 = p 4 p 3,e 7 = p 7 p 4,e 8 = p 4 p 5,e 9 = p 6 p 5, e 10 = p 7 p 6,e 11 = p 7 p 0 2 0 C1 6(MSS 6 ) 1 C6 0 (MSS 6 ) 0 0 kısa dizisi elde edilir. Im 2 = B1 6(MSS 6 )={0} dır. Ayrıca 1 ( 11 i=0 n i e i )=n 0 1 (e 0 )+n 1 1 (e 1 )+n 2 1 (e 2 )+n 3 1 (e 3 )+n 4 1 (e 4 )+n 5 1 (e 5 ) +n 6 1 (e 6 )+ n 7 1 (e 7 )+ n 8 1 (e 8 )+ n 9 1 (e 9 )+n 10 1 (e 10 )+ n 11 1 (e 11 ) = n 0 (p 1 p 0 )+n 1 (p 3 p 0 )+n 2 (p 2 p 1 )+n 3 (p 1 p 6 ) +n 4 (p 2 p 5 )+n 5 (p 2 p 3 )+n 6 (p 3 p 4 )+n 7 (p 4 p 7 ) +n 8 (p 5 p 4 )+n 9 (p 5 p 6 )+n 10 (p 6 p 7 )+n 11 (p 0 p 7 ) = p 0 ( n 0 n 1 + n 11 )+ p 1 (n 0 n 2 + n 3 )+ p 2 (n 2 + n 4 + n 5 ) +p 3 (n 1 n 5 + n 6 )+ p 4 ( n 6 + n 7 n 8 )+ p 5 ( n 4 + n 8 + n 9 ) +p 6 ( n 3 n 9 + n 10 )+ p 7 ( n 7 n 10 n 11 ) elde edilir. Buradan p 0 ( n 0 n 1 + n 11 )+ p 1 (n 0 n 2 + n 3 )+ p 2 (n 2 + n 4 + n 5 )+ p 3 (n 1 n 5 + n 6 ) +p 4 ( n 6 + n 7 n 8 )+ p 5 ( n 4 + n 8 + n 9 )+ p 6 ( n 3 n 9 + n 10 ) +p 7 ( n 7 n 10 n 11 )=0 denklemi çözülürse n 0 = n 2 n 3

43 n 4 = n 2 n 5 n 6 = n 1 + n 5 n 7 = n 1 + n 5 + n 8 n 9 = n 2 n 5 n 8 n 10 = n 3 n 2 n 5 n 8 n 11 = n 1 + n 2 n 3 olur. Bu durumda Z 6 1 (MSS 6 )=Ker 1={(n 2 n 3 )e 0 + n 1 e 1 + n 2 e 2 + n 3 e 3 +( n 2 n 5 )e 4 + n 5 e 5 +( n 1 + n 5 )e 6 +( n 1 + n 5 + n 8 )e 7 + n 8 e 8 +( n 2 n 5 n 8 )e 9 +(n 3 n 2 n 5 n 8 )e 10 +(n 1 + n 2 n 3 )e 11 n i Z,i= 1,2,3,5,8} = Z 5 bulunur. Buradan H1 6(MSS 6 )=Z6 1 (MSS 6 )/B6 1 (MSS 6 ) = Z 5 elde edilir. B0 6(MSS 6 )=Im 1={t 0 p 0 +t 1 p 1 +t 2 p 2 +t 3 p 3 +t 4 p 4 +t 5 p 5 +t 6 p 6 +( t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 ) p 7 i = 0,1,2,3,4,5,6 t i Z} = Z 7 ve Z0 6(MSS 6 )={n 0 p 0 + n 1 p 1 + n 2 p 2 +n 3 p 3 +n 4 p 4 +n 5 p 5 +n 6 p 6 +n 7 p 7 i = 0,1,2,3,4,5,6,7 n i Z} = Z 8 olduğundan

44 H 6 0 (MSS 6 )=Z6 0 (MSS 6 )/B6 0 (MSS 6 ) = Z bulunur. Böylece elde edilir. Z, q=0 Hq(MSS 6 6)= Z 5, q=1 0, q = 0,1 3.1. Euler Karakteristik Tanım 3.24 [7](X,κ) Z n bir dijital görüntü ve q 0için α q,(x,κ) daki dijital q-simplekslerin sayısı olsun. (X, κ) nın Euler karakteristiği; şeklinde tanımlanır. χ(x,κ)= n q=0 ( 1) q α q Teorem 3.25 [7] Bir(X,κ) Z n dijital görüntüsü için χ(x,κ)= n q=0 ( 1) q rankh κ q(x) dir. İspat: m+1 0 Cm(X) κ m Cm 1 κ (X) m 1... 1 C0 κ(x) 0 0 zincir kompleksini gözönüne alalım. Her bir C κ q(x) rankı α q olan bir serbest değişmeli gruptur. Ayrıca H κ q(x)=z κ q(x)/b κ q(x)=ker q /Im q+1 olduğundan rankh κ q(x)=rankz κ q(x) rankb κ q(x) olur. Her q 0için

45 0 Z κ q(x) C κ q(x) B κ q 1 (X) 0 kısa tam dizisi vardır. Buradan α q =rankc κ q(x)=rankz κ q(x)+rankb κ q 1 (X) olur. Bu durumda χ(x,κ)= m q=0 = m q=0 ( 1) q α q = m q=0 ( 1) q rankz κ q(x)+ ( 1) q (rankz κ q(x)+rankb κ q 1 (X)) m q=0 ( 1) q rankb κ q 1 (X) bulunur. rankb κ 1 (X)=0=rankBκ m(x) olduğundan q 1 yerine q alabiliriz. elde edilir. χ(x,κ)= m q=0 = = m q=0 m q=0 ( 1) q rankz κ q(x)+ m q=0 ( 1) q [rankz κ q(x) rankb κ q(x)] ( 1) q rankh κ q(x) ( 1) q+1 rankb κ q(x) Teorem 3.26 [7] (X,κ 0 ) Z n 0 ve (Y,κ 1 ) Z n 1, (κ 0,κ 1 )-izomorf iki dijital görüntü olsun. Bu durumda χ(x,κ 0 )=χ(y,κ 1 ) dir. İspat: X ve Y dijital görüntüleri arasında (κ 0,κ 1 )-izomorfizm varsa Teorem 3.12 den olur. Teorem 3.25 den ispat elde edilir. H κ 0 q (X) = H κ 1 q (Y) Örnek 3.27 MSS 18 in Euler karakteristiğini hesaplayalım. χ(mss 18,18)=α 0 α 1 + α 2 = 10 20+8= 2

46 Teorem 3.25 i kullanarak hesaplarsak yine aynı sonucu elde ederiz: χ(mss 18,18)=rankH 18 0 (MSS 18) rankh 18 1 (MSS 18)=1 3= 2. Örnek 3.28 MSS 18 nün Euler karakteristiğini hesaplayalım. χ(mss 18,18)=rankH18 0 (MSS 18 ) rankh18 1 (MSS 18 )+rankh18 2 (MSS 18 ) = 1 0+1=2. 3.2. Dijital Görüntülerin Relatif Homoloji Grupları Tanım 3.29 [24] Bir(K,κ) dijital simpleksler kompleks, K 0, K nın alt kompleksi ise C κ p(k)/c κ p(k 0 ) bölüm grubuna p-boyutlu relatif zincir grubu denir ve C κ p(k,k 0 ) ile gösterilir. p : C κ p(k,k 0 ) C κ p 1 (K,K 0) homomorfizmine sınır operatörü denir. Tanım 3.30 [24](K 0,κ),(K,κ) dijital simpleksler kompleksinin bir alt kompleksi olsun. Z κ p(k,k 0 )=Ker p grubuna dijital simpleksler relatif p- devirlerin grubu denir. B κ p(k,k 0 )=Im p+1 grubuna dijital simpleksler relatif p- sınırların grubu denir. H κ p(k,k 0 )=Z κ p(k,k 0 )/B κ p(k,k 0 ) bölüm grubuna p. dijital simpleksler relatif homoloji grubu denir. C κ p(k,k 0 ), C κ p(k) nın alt grubu ve C κ p(k) nın C κ p(k 0 ) a bölüm grubudur. Yani C κ p(k,k 0 )=C κ p(k)/c κ p(k 0 ) şeklinde yazılabilir. Zincirler için

47 0 C κ i p(k 0 ) C κ j p(k) C κ p(k,k 0 ) 0 tam dizisi mevcuttur. Şimdi simpleksler dönüşümüyle üretilen relatif homoloji homomorfizmini ele alalım. f :(K,K 0 ) (L, L 0 ) bir simpleksler dönüşümü ise buna karşılık gelen zincir dönüşümü f : C κ p(k,k 0 ) C κ p(l, L 0 ) şeklindedir. f, ile değişmeli yani f = f dır. Teorem 3.31 [27] K bir dijital simpleksler kompleks, K 0 alt kompleks olsun.... H κ p(k 0 ) H κ p(k) H κ p(k,k 0 ) H κ p 1 (K 0)... tam dizisi mevcuttur. İspat: 0 C κ p(k 0 ) i C κ j p(k) C κ p(k,k 0 ) 0 0 C κ p 1 (K 0) i C κ p 1 (K) j Cκ p 1 (K,K 0) 0 değişmeli diyagramını ele alalım.... H κ i p(k 0 ) H κ j p(k) H κ d p(k,k 0 ) H κ p 1 (K 0)...

48 dizisinin tam olması için Im i =Ker j, Im j =Ker d ve Im d=ker i olmalıdır. 1) İlk olarak Im i =Ker j olduğunu gösterelim. j (i (z + B ))= j (i(z )+ B)= j(i(z ))+ B = B olduğundan Im i Ker j bulunur. z+b Ker j olsun. Bu durumda j (z+ B)= j(z)+b = B olduğundan j(z) = (c ) ve j örten olduğundan c = j(c) dir. Dolayısıyla j(z) = (j(c))= j( (c)) ve j(z c)=0dır. Tamlıktan c mevcuttur ve i(c )=z (c) dir. Buradan i (c + B )=i(c )+B=z (c)+ B=z+ B olur. Böylece Ker j Im i elde edilir. 2) Şimdi Im j =Ker d olduğunu gösterelim. Burada d homomorfizminin yerine i 1 j 1 homomorfizmini alalım. d(j (z+ B))=d(j(z)+B )=i 1 j 1 (j(z)+b )=i 1 (z)+b = B olduğundan Im j Ker d bulunur. z + B Ker d olsun. Bu durumda d(z + B )=d(z )+ B = i 1 j 1 (z )+ B = B olduğundan x = i 1 j 1 (z ) B ve x = (c ) dür. Dolayısıyla i(x )=i( (c ))= (i(c ))= (j 1 (z )) olur. Buradan (j 1 (z ) i(c ))=0ve j 1 (z ) i(c ) Zolduğundan

49 j (j 1 (z ) i(c )+ B)= j(j 1 (z )) j(i(c ))+B = z + B Böylece Ker d Im j elde edilir. 3) Son olarak Im d=ker i olduğunu gösterelim. i (d(z + B ))=i (d(z )+ B )=i (i 1 j 1 (z )+ B )= (j 1 (z ))+ B=B olduğundan Im d Ker i bulunur. z + B Ker i olsun. Bu durumda i (z + B )=i(z )+ B=B olduğundan i(z )= (c) ve (j(c))=j( (c)) = j(i(z ))=0ve buradan j(c) Z olur. Dolayısıyla d(j(c)+b )=i 1 j 1 (j(c)+ B )=i 1 (c)+ B = i 1 i(z )+B = z + B Böylece Ker i Im d elde edilir. Örnek 3.32 MSC 8 ={p 0=( 1,0), p 1 =(0, 1), p 2 =(0,1), p 3 =(1,0)} Z 2 dijital görüntüsünün alt uzayı olarak A={(0,1)} i ele alalım. Teorem 3.31 in yardımıyla Hq(MSC 8 8, A) yı hesaplayalım. A tek nokta kümesi olduğu için Teorem 3.13 den elde edilir. Teorem 3.20 den, bulunur. Teorem 3.31 den, H 8 q(a)= H 8 q(msc 8)= { Z, q=0 0, q = 0 { Z, q=0,1 0, q = 0,1... H 8 q(a) H 8 q(msc 8 ) H8 q(msc 8, A) H8 q 1 (A)...

50 tam dizisini elde ederiz. Teorem 3.15 den H 8 0 (MSC 8, A) = Z dir. k 0 Z H1 8(MSC 8, A) d Z i Z Z 0 Birinci İzomorfizm Teoremini uyguladığımızda, H 8 1 (MSC 8, A)/Ker d =Im d olur. Dizinin tamlığından Im k =Ker d ve Im d=ker i dır. i izomorfizm olduğundan, Ker i = 0 bulunur. Im d=0dır. Tekrar Birinci İzomorfizm Teoremini uygularsak, Z/Ker k =Im k bulunur. k monomorfizm olduğundan Ker k = 0 dır. Im k =Ker d=z ve H 8 1 (MSC 8, A) = Z elde edilir. Böylece olur. H 8 q(msc 8, A)= 3.3. Eilenberg-Steenrod Aksiyomları { Z, q=0,1 0, q = 0,1 Aksiyom 1 (Birimlilik aksiyomu) [10, 24] X, κ-yakınlıklı bir dijital görüntü olsun. i :(X,κ) (X,κ) birim fonksiyonu ise i : H κ (X) H κ (X) da birim fonksiyonudur. Aksiyom 2 (Birleşmelilik aksiyomu) [10,24] X, Y ve Z sırasıyla κ 0, κ 1, κ 2 -yakınlıklı dijital görüntüler olsun. h :(X,κ 0 ) (Y,κ 1 ) ve k :(Y,κ 1 ) (Z,κ 2 ) dijital sürekli fonksiyonlar ise(k h) = k h dır. Aksiyom 3 (Değişmelilik aksiyomu) [10, 24] (X, A) ve (Y, B) sırasıyla κ 0 ve κ 1 -yakınlıklı dijital görüntü çiftleri olsun. f :(X, A) (Y, B) ise aşağıdaki diyagram değişmelidir.

51 H κ 0 f q (X, A) H κ 1 q (Y, B) ( f A ) H κ 0 q 1 (A) Hκ 1 q 1 (B) Aksiyom 4 (Tamlık aksiyomu) [10, 24] i : A X ve p : X (X, A) kapsama dönüşümleri olmak üzere... Hq(A) κ i Hq(X) κ p Hq(X, κ A) Hq 1 κ (A)... dizisi tamdır. Aksiyom 5 (Boyut aksiyomu) [1, 10, 24] X, κ-yakınlıklı tek noktalı uzay ise q = 0 için H κ q(x)=0ve H κ 0 (X) = Z dir. Dijital görüntülerde homotopi ve excision aksiyomları sağlanmaz. Bu aksiyomların cebirsel topolojideki tanımlarını verelim. Homotopi Aksiyomu: [10,24] X ve Y topolojik uzaylar, h : X Y ve k : X Y homotopik ise h = k dır. Homotopi aksiyomunun sağlanmadığı Örnek 3.16 da verilmiştir. Excision Aksiyomu: [10, 24] (X, A) ikilisi için U IntA olacak şekilde U, X in açık bir alt kümesi olsun. Bu durumda H q (X U, A U) = H q (X, A) izomorfizmi vardır. Önerme 3.33 [10] Dijital görüntülerde simpleksler homoloji için excision aksiyomu sağlanmaz.

52 İspat: 8-yakınlıklı X={p 0 =( 1,0), p 1 =(0, 1), p 2 =(1,0), p 3 =(0,1)} Z 2 dijital görüntüsünü ele alalım. p 3 p 0 p 2 p 1 Şekil 3.6. X Teorem 3.20 den H 8 q(x)= { Z, q=0,1 0, q = 0,1 dır. A={p 1 =(0, 1), p 2 =(1,0), p 3 =(0,1)} ve U ={p 1 =(0, 1)} olsun. A X, U A ve U IntA dır. H1 8(X U, A U) ve H8 1 (X, A) yı hesaplayalım. p 3 p 2 p 1 p 1 Şekil 3.7. A ve U H κ q(a)= H κ q(u)= { Z, q=0 0, q>0 dır. Aksiyom 4 den... Hq(A) κ i Hq(X) κ p Hq(X, κ A) Hq 1 κ (A)... tam dizisi vardır. q>1için H κ q(a)=0olduğundan i p 0 Z H1 8(X, A) Z j Z q k H8 0 (X, A) 0

53 tam dizisi elde edilir. Dizinin tamlığından q epimorfizmdir. Buradan H 8 0 (X, A) = Z olur. j kapsama dönüşümü olduğundan Ker j = 0 dır. Dizi tam olduğu için Ker j = Im dır. Birinci İzomorfizm Teoreminden H 8 1 (X, A)/Ker = Im olur. Bu durumda H 8 1 (X, A)=Ker elde edilir. Dizinin tamlığından Im p =Ker dır. Dolayısıyla H 8 1 (X, A)=Im p olur. Böylece p bir epimorfizmdir. Diğer taraftan dizi tam olduğu için p monomorfizmdir. Böylece p bir izomorfizmdir ve H 8 1 (X, A) = Z olur. Böylece bulunur. H 8 q(x, A)= { Z, q=0,1 0, q = 0,1 p 3 p 3 p 0 p 2 p 2 Şekil 3.8. X U ve A U Şimdi H 8 q(x U, A U) yu hesaplayalım. A U X U dur. X U ve A U nun simpleksler homoloji grupları dır. Aksiyom 4 den H κ q(x U)= H κ q(a U)= { Z, q=0 0, q>0... Hq(A U) κ i Hq(X U) κ p Hq(X U, κ A U) Hq 1 κ (A U)... tam dizisi vardır. q>1için H κ q(x U)=0 olduğundan

54 p 0 H1 8(X U, A U) Z j Z q k H8 0 (X U, A U) 0 tam dizisi elde edilir. Dizinin tamlığından q epimorfizmdir. Buradan H 8 0 (X U, A U) = Z olur. j kapsama dönüşümü olduğundan Ker j = 0 dır. Dizi tam olduğu için Ker j = Im dır. Birinci İzomorfizm Teoreminden H 8 1 (X U, A U)/Ker = Im elde edilir. Bu durumda H 8 1 (X U, A U)=Ker olur. Dizinin tamlığından monomorfizmdir. Dolayısıyla Ker = 0 bulunur. Böylece H1 8 (X U, A U)=0 olduğundan H 8 q(x U, A U)= { Z, q=0 0, q = 0 elde edilir. q = 1 için H 8 q(x, A) = H 8 q(x U, A U) olduğundan simpleksler homoloji için excision aksiyomu dijital görüntülerde sağlanmaz. 3.4. Dijital Görüntüler İçin Lefschetz Sabit Nokta Teoremi Tanım 3.34 [11] (X,κ) bir dijital görüntü ve f : (X,κ) (X,κ), (κ,κ)-sürekli bir fonksiyon olsun. f(x)= x olacak şekilde x X mevcutsa(x,κ) dijital görüntüsü sabit nokta özelliğine sahiptir denir. Sabit nokta özelliği topolojik bir invaryanttır. Yani dijital izomorfizm ile korunur. Tanım 3.35 [11](X, κ), dijital homoloji grupları sonlu üretilmiş ve bazı boyutlarda yok olan bir dijital görüntü olsun. f :(X,κ) (X,κ) dönüşümü için λ( f) Lefschetz sayısı, f : Hi κ(x) Hκ i (X) olmak üzere şeklinde tanımlanır. λ( f)= n i=0 ( 1) i tr( f )

55 Teorem 3.36 [11] G, bir serbest abel grup ve 1 G : G G birim homomorfizm olsun. tr(1 G ), 1 G nin izi olmak üzere tr(1 G )=rank(g) dir. İspat: G serbest abel grup olduğundan G nin rankı 1 dir. 1 G : G Gbirim dönüşüm olduğundan ve 1 G, birim 1 1-matrise sahip olduğundan 1 G nin izi 1 dir. Dolayısıyla tr(1 G )=rank(g) dir. Teorem 3.37 [11](X,κ), sonlu bir dijital simpleksler kompleks veya sonlu dijital simpleksler kompleksin retraktı ve f :(X,κ) (X,κ), λ( f) = 0 olan bir dönüşüm ise f sabit bir noktaya sahiptir. İspat: f nin sabit noktalara sahip olmadığını kabul edelim. Bu durumda λ(f) = 0 olduğu gösterilmelidir. Buna göre tüm tr( f : Hi κ(x) Hκ i (X)) ler sıfır olarak elde edilmelidir. Bunun için Lefschetz ilkesi denilen λ( f)= n i=0 ( 1) i tr( f : C κ i (X) Cκ i (X)) eşitliğine ihtiyaç vardır.(x,κ) nın dijital homoloji gruplarını hesaplamak için C κ i (X) dijital simpleksler zincirleri kullanılır. f nin sabit noktaları olmadığından ve(x,κ) kompakt olduğundan f, noktaları en az bir sabit pozitif aralıkta hareket ettirmek zorundadır. Bu sabit aralık δ olsun. Bu durumda çapı δ/10 dan daha küçük olan simpleksler kullanılır ve f ye, g dijital simpleksler dönüşümüyle yaklaşılırsa g, f nin δ/2 içinde olur. δ nın g, f ye homotopik olacak şekilde çok küçük olduğunu kabul edelim. Dolayısıyla g = f olarak alınabilir. f, noktaları en az δ üzerinde hareket ettirdiğinden ve bizim dijital simplekslerimizin çapları en fazla δ/10 olduğundan f nin her bir dijital simpleksi kendisine dönüştürmesi imkansızdır. Buradan her i için elde edilir. tr( f : C κ i (X) Cκ i (X))=0

56 Teorem 3.38 (Bir Boyutlu Brouwer Sabit Nokta Teoremi) [11] Her(2,2)-sürekli f :[0,1] Z [0,1] Z fonksiyonu sabit bir noktaya sahiptir. İspat: f :[0,1] Z [0,1] Z,(2,2)-sürekli olsun. f(0)=0ve f(1)=1olduğundan f, sabit bir noktaya sahiptir. Teorem 3.39 (İki Boyutlu Brouwer Sabit Nokta Teoremi) [11] X = {(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)} Z 2, 4-yakınlıklı bir dijital görüntü olsun. Her (4, 4)-sürekli f :(X, 4) (X, 4) fonksiyonu sabit bir noktaya sahiptir. İspat: X in Lefschetz sayısını hesaplayalım. f :(X, 4) (X, 4) olsun. f : H 4 q(x) H 4 q(x) dönüşümünü ele alalım. q = 0 için f : H 4 0 (X) H4 0 (X) yani f : Z Z birim homomorfizmi elde edilir. Teorem 3.36 den tr( f )=rank(z) = 1 dir. q>0için f sıfır dönüşümüdür. Böylece λ( f)= n i=0 ( 1) i tr( f )=1 0+0 0+ = 1 elde edilir. λ( f) = 1 = 0 olduğundan Teorem 3.37 den f sabit bir noktaya sahiptir. O halde iki boyutlu Brouwer Sabit Nokta Teoremi dijital görüntüler için sağlanır. Sabit nokta özelliğinin bir topolojik özellik olduğu sonucuna ulaşılır. Yani topolojik olarak denk olan iki topolojik uzayın her ikisinde de sabit nokta özelliği ya vardır ya da yoktur. Teorem 3.40 [11] (X,κ) ve (Y,κ ) dijital görüntüleri için X (κ,κ ) Y olsun. (X,κ) sabit nokta özelliğine sahipse (Y,κ ) de sabit nokta özelliğine sahiptir. İspat: X (κ,κ ) Y olduğundan (κ,κ )-sürekli ve tersi (κ,κ)-sürekli olan f :(X,κ) (Y,κ ) bijektif fonksiyonu mevcuttur. Ayrıca X sabit nokta özelliğine sahiptir yani her (κ,κ)-sürekli g : (X,κ) (X,κ) fonksiyonu sabit bir noktaya sahiptir. h :(Y,κ ) (Y,κ ),(κ,κ )-sürekli olsun. Bu durumda

57 h f :(X,κ) (Y,κ ) ve f 1 h f :(X,κ) (X,κ) fonksiyonları sırasıyla (κ,κ )-sürekli ve (κ,κ)-süreklidir. X sabit nokta özelliğine sahip olduğundan bir x X için f 1 (h( f(x)))=xdir. f(f 1 (h( f(x))))= f(x) olduğundan h( f(x))= f(x) olur. Bu durumda h sabit bir noktaya sahiptir. Sonuç 3.41 [11] Sabit nokta özelliği dijital görüntüler için topolojik bir invaryanttır. Teorem 3.42 [11](X,κ) bir dijital görüntü ve f :(X,κ) (X,κ) bir(κ,κ)-sürekli dönüşüm olsun. X, κ-büzülebilir ise f sabit bir noktaya sahiptir. İspat: X, κ-büzülebilir ise f (κ,κ) 1 X dir. Dolayısıyla X ve tek noktalı görüntü aynı dijital homoloji grubuna sahiptir. Bu durumda H κ i (X)= { Z, i = 0 0, i = 0 elde edilir. f :(X,κ) (X,κ) olsun. f : H κ q(x) H κ q(x) homomorfizmi alınırsa, q=0için f : Z Z birim homomorfizmi elde edilir. Teorem 3.36 dan tr( f )=rank(z) = 1 olur. q>0için f sıfır dönüşümüdür. Dolayısıyla f in Lefschetz sayısı λ( f)= n i=0 ( 1) i tr( f i )=1 0+0 0+ = 1 elde edilir. λ( f) =1 =0 olduğu için Teorem 3.37 den f sabit bir noktaya sahiptir. Örnek 3.43 [11] X, Örnek 3.19 daki dijital görüntü ise her (8, 8)-sürekli f :(X,8) (X,8) dönüşümü için λ( f) Lefschetz sayısı f : H 8 0 (X)=Z H8 0 (X)=Z dönüşümünün izidir. f birim dönüşüm olduğundan izi sıfırdan farklıdır. Teorem 3.37 den (X, 8) dijital görüntüsü üzerindeki her dönüşüm en az bir sabit noktaya sahiptir. Sonuç 3.44 [11] Tek nokta görüntüsüyle aynı dijital homoloji gruplarına sahip (X, κ) dijital görüntüsü her zaman sabit bir noktaya sahiptir.

58 I n+1, (n+1)-küpün sınırı Bd(I n+1 ) ile S n, n-küresi homeomorfiktir. Bir dijital küpün sınırını kullanarak bir dijital küre oluşturulabilir. Z n nin orjinini 0 n ile gösterelim. Boxer [5] küre benzeri dijital görüntüyü şeklinde tanımlamıştır. S n =[ 1,1] n+1 Z \{0 n+1} Z n+1 Lefschetz Sabit Nokta Teoreminin tersinin dijital görüntüler için doğru olması gerekmez. Bunu bir örnekle görelim. Örnek 3.45 [11] S 1 ={(1,0),(1, 1),(1,1),(0,1),(0, 1),( 1,1),( 1,0),( 1, 1)}, Z 2 de 4-yakınlıklı dijital bir küredir. Bu MSC 4 dijital 4-kapalı eğrisidir. Teorem 3.14 den H 4 q(s 1 )= { Z, q=0,1 0, q = 0,1 elde edilir. φ :(S 1,4) (S 1,4), dijital (4,4)-sürekli dönüşüm olsun. Bu dönüşüm z S 1 için φ(z)=zolarak tanımlanır. φ nin Lefschetz sayısı, φ 0, φ 1 birim fonksiyonlar olduğundan λ(φ)= q i=0 ( 1) i tr(φ i : H 4 i (S 1) H 4 i (S 1))=1 1=0 dır. Böylece λ(φ) = 0 olmasına rağmen φ sabit noktaya sahiptir. Sonuç olarak aşağıdaki elde edilir. Sonuç 3.46 [11] Lefschetz Sabit Nokta Teoreminin tersinin dijital görüntüler için doğru olması gerekmez. S 2 nin Lefschetz sayısını hesaplayalım. Örnek 3.47 [11] S 2 =[ 1,1] 3 Z \{(0,0,0)}, Z3 de 6-yakınlıklı dijital bir 2-küredir. Bu MSS 6 dijital görüntüsüdür. f :(S 2,6) (S 2,6), dijital (6,6)-sürekli dönüşüm olsun. Teorem 3.36 dan f nin Lefschetz sayısı, f 0 : Z Z birim fonksiyon ve f 1 : Z 23 Z 23 olduğundan

59 λ( f)= q i=0 dir. Sonuç olarak f sabit noktaya sahiptir. ( 1) i tr( f : H 6 i (S 2) H 6 i (S 2))=1 23= 22 Önerme 3.48 [11](X, κ) bir dijital görüntü ve χ(x, κ),(x, κ) nın Euler karakteristiği olsun. f :(X,κ) (X,κ) dönüşümü birim dönüşüme homotopik ise λ( f)=χ(x,κ) dır. İspat: Lefschetz sayısını homoloji olmaksızın, f : Ci κ(x) Cκ i (X) olmak üzere n λ( f)= i=0( 1) i tr( f : Hi κ n (X) Hκ i (X))= ( 1) i tr( f ) i=0 şeklinde tanımlanır. Homotopik dönüşümler n-zincirler üzerinde aynı dönüşümü ürettiğinden 1 : C κ i (X) Cκ i (X) dönüşümü incelenebilir. 1 dönüşümü α i (X,κ) α i (X,κ) birim matrisidir ve böylece izi α i (X,κ) dır. Sonuç olarak elde edilir. λ( f)= n i=0 ( 1) i tr( f )= n i=0 ( 1) i α i (X,κ)=χ(X,κ) Örnek 3.49 [11] MSS 6 nü (X,6) ile gösterelim ve f : (X,6) (X,6), dijital (6,6)-sürekli dönüşüm olsun. q>1için f q : H 6 q(x) H 6 q(x) bir sıfır dönüşümüdür. Dolayısıyla tr( f q ) = 0 dır. q = 0 için f 0, Z üzerinde birim fonksiyon olduğundan tr( f ) = 1 dir. Diğer taraftan q = 1 için tr( f ) = rank(z 5 ) = 5 olur. Lefschetz sayısı λ( f)= 3 i=0 ( 1) i tr( f i )=1 5+0= 4 = 0 elde edilir. Teorem 3.37 den f sabit noktaya sahiptir. MSS 6 nün Euler karakteristiği χ(mss 6,6)= 4 dür.

61 4. DİJİTAL GÖRÜNTÜLERDE KOHOMOLOJİ GRUPLARI Tanım 4.1 [9] Bir (X,κ) dijital simpleksler kompleks olsun. Her bir q Z için q-boyutlu dijital eşzincir grubu C q,κ (X)= Hom(Cq(X),Z) κ eşitliğiyle ve q-boyutlu eşsınır operatörü δ q : C q,κ (X; G) C q+1,κ (X; G) q+1 sınır operatörünün duali olarak tanımlanır. Bu durumda dijital simpleksler eşzincir kompleksi C (X)={C q,κ (X),δ q } şeklinde tanımlanır. c q, q-boyutlu bir eşzincir ve c q, q-boyutlu bir zincir ise c q nun c q üzerindeki değeri c q,c q ile gösterilir. Bu durumda eşsınır operatörünün tanımı δ(c q ),c q = c q, (c q ) şeklinde olur. σi temel eşzincirinin değeri σ i üzerinde 1, diğer baz elemanları üzerinde 0 dır. g Gise gσi ın değeri σ i üzerinde g, diğer baz elemanları üzerinde 0 dır. c q = g i σi olarak yazılabildiğinden δ(c q )= g i δ(σi ) elde edilir. δ(c q ) yu belirlemek için her bir yönlü σ, p-simpleksi için δ(σ ) ı hesaplamak yeterlidir. τ j, yüzlerinden biri σ olan tüm p+1-simpleksler ve ε j = 1 olmak üzere olur. δ(σ )= ε j τ j Önerme 4.2 [24] Her 1 q miçin δ q δ q 1 = 0 dır.

62 İspat: Her 1 q m için q 1 q = 0 olduğunu biliyoruz. q-boyutlu σ eşzinciri ve q+1-boyutlu τ j zincirini ele alalım. (δ q+1 δ q )(σ ),τ j = δ q+1 (δ q (σ )),τ j = δ q (σ ), q+1 (τ j ) = σ,( q q+1 )(τ j ) olduğundan δ q+1 δ q = 0 dır. = 0 Tanım 4.3 [9](K,κ)={K q,κ,δ q } bir dijital simpleksler eşzincir kompleks olsun. δ q : K q,κ K q+1,κ homomorfizminin çekirdeğine dijital eşdevirler grubu denir ve Z q,κ (K) ile gösterilir. δ q nun görüntüsüne dijital eşsınırlar grubu denir ve B q+1,κ (K) ile gösterilir. Buradan dijital kohomoloji grubu H q,κ (K)=Z q,κ (K)/B q,κ (K) şeklinde tanımlanır. Teorem 4.4 [27] Her q 0için, H q,κ, dijital simpleksler eşzincir kompleksler ve simpleksler dönüşümler kategorisinden, abel gruplar kategorisine bir kontravaryant funktordur. İspat: H q,κ 0(X), dijital simpleksler eşzincir kompleks olan X objesi üzerinde tanımlanmıştır. ϕ :(X,κ 0 ) (Y,κ 1 ) bir dijital simpleksler dönüşüm ise ϕ : H q,κ 1 (Y) H q,κ 0 (X) dönüşümü z Z q,κ 1 (Y) olmak üzere ϕ (z+b q,κ 1 (Y))= ϕ (z)+b q,κ 0(X) şeklinde tanımlanır. 1 (Y,κ1 ) :(Y,κ 1 ) (Y,κ 1 ) birim dönüşümü için (1 (Y,κ1 )) : H q,κ 1 (Y) H q,κ 1(Y) dönüşümünde z Z q,κ 1 (Y) için

63 (1 (Y,κ1 )) (z+b q,κ 1 (Y))=(1(Y,κ1 )) (z)+b q,κ 1 (Y)=z+ B q,κ 1(Y) olur. Bu durumda (1 (Y,κ1 )) = 1 H q,κ 1(Y) bulunur. ϕ :(X,κ 0 ) (Y,κ 1 ) ve ψ :(Y,κ 1 ) (W,κ 2 ) dijital simpleksler dönüşümleri için ϕ : H q,κ 1 (Y) H q,κ 0 (X) ve ψ : H q,κ 2(W) H q,κ 1 (Y) dönüşümlerinde z Z q,κ 2(W) olmak üzere (ϕ ψ )(z+ B q,κ 2(W))= ϕ (ψ (z+b q,κ 2(W))) = ϕ (ψ (z)+ B q,κ 1 (Y)) = ϕ (ψ (z))+b q,κ 0(X) =(ϕ ψ )(z)+b q,κ 0(X) =(ψ ϕ) (z)+ B q,κ 0(X) olur. Buradan (ψ ϕ) = ϕ ψ elde edilir. =(ψ ϕ) (z+b κ 2 q (W)) Teorem 4.5 (X, κ) tek noktalı dijital görüntü ise { H q,κ Z, q=0 (X)= 0, q>0 dır. İspat: (X, κ) tek noktalı dijital görüntü ise q > 0 için C q,κ (X)=Hom(C κ q(x),z)=0 olduğundan H q,κ (X)=0elde edilir. Diğer taraftan q=0 için dir. Dolayısıyla C 0,κ (X)= Hom(C κ 0 (X),Z) = Z δ 0 0 C 0,κ δ (X) 1 0 kısa dizisi vardır. Ker δ 1 = Z ve Im δ 0 = 0 olduğundan H 0,κ (X)=Z elde edilir.

64 Teorem 4.6 X dijital basit kapalı κ-eğri ise dır. H q,κ (X)= { Z, q=0,1 0, q = 0,1 İspat: X ={x 0, x 1,..., x q } Z 2 bir dijital basit kapalı κ-eğri olsun. Bu durumda, x i ve x j, κ-yakındır i = j± 1(modq) dur. C0 κ(x) ve Cκ 1 (X) bazları, sırasıyla { x 0, x 1,..., x q } {e 0 = x 0, x 1,e 1 = x 1, x 2,...,e q = x q, x 0 } olan serbest abel gruplardır. m > q > 1 için C κ q(x) = 0 olduğundan H κ q(x) = 0 dır. 2 0 C1 κ(x) 1 Cκ 0 (X) 0 0 kısa dizisi bulunur. C 0,κ (X) = Hom(C κ 0 (X),Z) ve C1,κ (X) = Hom(C κ 1 (X),Z) olduğundan δ 1 0 C 0,κ δ (X) 0 C 1,κ δ (X) 1 0 kısa dizisi elde edilir. 1 (e 0 )=x 1 x 0, 1 (e 1 )=x 2 x 1, 1 (e 2 )=x 3 x 2,. 1 (e q )=x 0 x q olduğundan 0-eşzincirleri

65 δ 0 x0 = e q e 0, δ 0 x1 = e 0 e 1, δ 0 x2 = e 1 e 2,. δ 0 xq = e q 1 e q bulunur. δ 0 ( q i=0 n i x i )=n 0(e q e 0 )+n 1 (e 0 e 1 )+n 2 (e 1 e 2 )+ + n q (e q 1 e q ) = e 0 ( n 0 + n 1 )+e 1 ( n 1 + n 2 )+e 2 ( n 2 + n 3 )+ + e q (n 0 n q ) elde edilir. e 0 ( n 0 + n 1 )+e 1 ( n 1 + n 2 )+e 2 ( n 2 + n 3 )+ +e q (n 0 n q )=0 denklemi çözüldüğünde n 0 = n 1 = = n q = n olur. Dolayısıyla Z 0,κ (X)={n(x 0 + x 1 + x 2 + +x q ) n Z} = Z bulunur. B 0,κ (X)=Im δ 1 ={0} olduğundan H 0,κ (X) = Z dir. B 1,κ (X)=Imδ 0 ={t 0 e 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 + +t q 1 e q 1 +( t 0 t 1 t 2 t q 1 )e q t i Z,i = 0,1,2,...,q 1} = Z q olur. Z 1,κ (X)=Ker δ 1 = Z q+1 olduğundan H 1,κ (X) = Z dir. Bu durumda elde edilir. H q,κ (X)= { Z, q=0,1 0, q = 0,1 Teorem 4.7 (X,κ) Z n dijital görüntüsü κ-yol bağlantılı ise H 0,κ (X) = Z dir.

66 İspat: X in 0-simplekslerinin p 0, p 1,..., p n olduğunu kabul edelim. δ 1 0 C 0,κ δ (X) 0 C 1,κ (X) dizisi elde edilir. δ 1 in görüntüsü sıfır olduğundan B 0,κ (X) =Im δ 1 = {0} dır. Z 0,κ (X)=Ker δ 0 dır. A={ n i=0 k i p i k i = k,i = 0,1,...,n} olsun. Z 0,κ (X) = A olduğunu iddia ediyoruz. İddiamız doğruysa, Z 0,κ (X) = Z olur ve H 0,κ (X)=Z elde edilir. İddamızı ispat edelim. p ri, p si X noktalarını seçelim. X, κ-yol bağlantılı olduğundan, X de her i için p ri den p si ye bir σ i yolu vardır. X de p ri den p si ye bir κ-yol olan σ i, dijital 1-simplekslerin kümesidir. σ i ={ p ri, p r+1i, p r+1i, p r+2i,..., p s 1i, p si } k=r,r+ 1,...,s için e ki = p ki, p k+1i olsun. σ i ={e ri,e r+1i,...,e s 1i } olur. 1 (e ri )= p r+1i p ri, 1 (e r+1i )= p r+2i p r+1i, 1 (e r+2i )= p r+3i p r+2i,. 1 (e s 2i )= p s 1i p s 2i, 1 (e s 1i )= p si p s 1i, olduğundan δ 0 (p r+1i )=e ri e r+1i,

67 δ 0 (p r+2i )=e r+1i e r+2i,. δ 0 (p s 1i )=e s 2i e s 1i elde edilir. γ i, σ i yolu üzerindeki dijital 0-simplekslerin kümesi olsun. ω= kγ i A için δ 0 (ω)=δ 0 ( kγ i )=k δ 0 (γ i )=k (e ri e s 1i )=k e ri k e s 1i = 0 olur. Bu durumda ω Z 0,κ (X) elde edilir. Tersine, θ Z 0,κ (X) ise θ = dır. n i=0 k i δ 0 (γ i )= n i=0 δ 0 (θ)=δ 0 ( n i=0 k i p i C 0,κ (X) ve n i=0 k i p i )= k i (e ri e s 1i )= n i=0 k i δ 0 (p i )=0 n i=0 k i e ri n i=0 k i e s 1i = 0 bulunur. k i e ri = k i e s 1i olduğundan i = 0,...,n için k i = k dır. Buradan θ A olur. Böylece Z 0,κ (X)= A = Z ve elde edilir. H 0,κ (X)=Z 0,κ (X)/B 0,κ (X) = Z Örnek 4.8 MSS 18 nün kohomoloji gruplarını hesaplayalım. MSS 18 nün noktalarını {p 0=(1,1,0),p 1 =(0,2,0), p 2 =( 1,1,0),p 3 =(0,0,0), p 4 =(0,1, 1),p 5 =(0,1,1)} Z 3 olarak alalım ve bu noktalar şeklinde sıralansın. p 2 < p 3 < p 4 < p 5 < p 1 < p 0 C0 18(MSS 18 ), C18 1 (MSS 18 ) ve C18 2 (MSS 18 ) serbest abel gruplarının bazları olan 0-simpleksler, 1-simpleksler ve 2-simpleksleri Teorem 3.21 deki gibi alalım.

68 3 0 C2 18(MSS 18 ) 2 C18 1 (MSS 18 ) 1 C18 0 (MSS 18 ) 0 0 kısa dizisi elde edilir. C 0,18 (MSS 18 )= Hom(C18 0 (MSS 18 ),Z), C 1,18 (MSS 18 )= Hom(C18 1 (MSS 18 ),Z), olduğundan C 2,18 (MSS 18 )= Hom(C18 2 (MSS 18 ),Z), δ 1 0 C 0,18 (MSS 18 ) δ 0 C1,18 (MSS 18 ) δ 1 C2,18 (MSS 18 ) δ 2 0 kısa dizisi bulunur. olduğundan 0-eşzincirler, 1 (e 0 )= p 1 p 2, 1 (e 6 )= p 0 p 4, 1 (e 1 )= p 3 p 2, 1 (e 7 )= p 1 p 5, 1 (e 2 )= p 4 p 2, 1 (e 8 )= p 5 p 3, 1 (e 3 )= p 5 p 2, 1 (e 9 )= p 0 p 5, 1 (e 4 )= p 1 p 4, 1 (e 10 )= p 0 p 1, 1 (e 5 )= p 4 p 3, 1 (e 11 )= p 0 p 3 δ 0 p 0 = e 6+ e 9 + e 10 + e 11, δ 0 p 1 = e 0+ e 4 + e 7 e 10, δ 0 p 2 = e 0 e 1 e 2 e 3, δ 0 p 3 = e 1 e 5 e 8 e 11, δ 0 p 4 = e 2 e 4 + e 5 e 6, elde edilir. δ 0 p 5 = e 3 e 7 + e 8 e 9 2 (σ 0 )= 2 ( p 2 p 4 p 1 )= p 4 p 1 p 2 p 1 + p 2 p 4 =e 4 e 0 + e 2,

69 2 (σ 1 )= 2 ( p 4 p 1 p 0 )= p 1 p 0 p 4 p 0 + p 4 p 1 =e 10 e 6 + e 4, 2 (σ 2 )= 2 ( p 3 p 4 p 0 )= p 4 p 0 p 3 p 0 + p 3 p 4 =e 6 e 11 + e 5, 2 (σ 3 )= 2 ( p 2 p 3 p 4 )= p 3 p 4 p 2 p 4 + p 2 p 3 =e 5 e 2 + e 1, 2 (σ 4 )= 2 ( p 2 p 5 p 1 )= p 5 p 1 p 2 p 1 + p 2 p 5 =e 7 e 0 + e 3, 2 (σ 5 )= 2 ( p 2 p 3 p 5 )= p 3 p 5 p 2 p 5 + p 2 p 3 =e 8 e 3 + e 1, 2 (σ 6 )= 2 ( p 5 p 1 p 0 )= p 1 p 0 p 5 p 0 + p 5 p 1 =e 10 e 9 + e 7, 2 (σ 7 )= 2 ( p 3 p 5 p 0 )= p 5 p 0 p 3 p 0 + p 3 p 5 =e 9 e 11 + e 8, olduğundan 1-eşzincirler, δ 1 e0 = σ 0 σ 4, δ 1 e6 = σ 1 + σ 2, δ 1 e1 = σ 3 + σ 5, δ 1 e7 = σ 4 + σ 6, δ 1 e2 = σ 0 σ 3, δ 1 e8 = σ 5 + σ 7, δ 1 e3 = σ 4 σ 5, δ 1 e9 = σ 6 + σ 7, δ 1 e4 = σ 0 + σ 1, δ 1 e10 = σ 1+ σ 6, δ 1 e5 = σ 2 + σ 3, δ 1 e11 = σ 2 σ 7 olur. Öncelikle δ 0 ın çekirdeğini bulalım. δ 0 ( 5 i=0 elde edilir. n i p i )=n 0(e 6 + e 9 + e 10 + e 11 )+n 1 (e 0 +e 4 +e 7 e 10 )+n 2 ( e 0 e 1 e 2 e 3 ) +n 3 (e 1 e 5 e 8 e 11 )+n 4 (e 2 e 4 + e 5 e 6 )+n 5 (e 3 e 7 + e 8 e 9 ) e 0 (n 1 n 2 )+e 1 ( n 2 + n 3 )+e 2 ( n 2 + n 4 )+e 3 ( n 2 + n 5 )+e 4 (n 1 n 4 ) +e 5 ( n 3 + n 4 )+e 6 (n 0 n 4 )+e 7 (n 1 n 5 )+e 8 ( n 3 + n 5 )+e 9 ( n 5 + n 0 ) +e 10 (n 0 n 1 )+e 11 (n 0 n 3 )=0, denklemi çözülürse olur. Bu durumda n 0 = n 1 = n 2 = n 3 = n 4 = n 5 = n Z 0,18 (MSS 18 )={n(p 0 + p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 ) n Z} = Z bulunur. B 0,18 (MSS 18 ) = 0 olduğundan,

70 dir. δ 1 ( 11 i=0 H 0,18 (MSS 18 ) = Z k i e i )=k 0( σ 0 σ 4 )+k 1 (σ 3 + σ 5 )+k 2 (σ 0 σ 3 )+k 3 (σ 4 σ 5 ) +k 4 (σ 0 + σ 1 )+k 5 (σ 2 + σ 3 )+k 6 ( σ 1 + σ 2 )+k 7 (σ 4 + σ 6 ) +k 8 (σ 5 + σ 7 )+k 9 ( σ 6 + σ 7 )+k 10 (σ 1 + σ 6 )+k 11 ( σ 2 σ 7 ) δ 1 in çekirdeğini bulalım. σ 0 ( k 0 + k 2 + k 4 )+σ 1 (k 4 k 6 + k 10 )+σ 2 (k 5 + k 6 k 11 )+σ 3 (k 1 k 2 + k 5 ) +σ 4 (k 3 + k 7 k 0 )+ σ 5 (k 1 + k 8 k 3 )+ σ 6 (k 7 k 9 + k 10 )+ σ 7 (k 8 + k 9 k 11 )=0 denklemi çözülürse k 0 = k 1 + k 4 + k 5 k 2 = k 1 + k 5 k 3 = k 1 + k 5 + k 4 k 7 k 6 = k 4 + k 10 k 8 = k 4 + k 5 k 7 k 9 = k 7 + k 10 olur. Bu durumda k 11 = k 4 + k 5 + k 10 Z 1,18 (MSS 18 )={(k 1+ k 4 + k 5 )e 0 + k 1e 1 +(k 1+ k 5 )e 2 +(k 1+ k 4 + k 5 k 7 )e 3 +k 4 e 4 + k 5e 5 +(k 4+ k 10 )e 6 + k 7e 7 +(k 4+ k 5 k 7 )e 8 +(k 7+ k 10 )e 9 +k 10 e 10 +(k 4 + k 5 + k 10 )e 11 k i Z,i = 1,4,5,7,10} = Z 5 elde edilir. Diğer taraftan B 1,18 (MSS 18 )={t 0e 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 + t 3 e 3 +(t 0 t 2 )e 4 +(t 2 t 1 )e 5 + t 4 e 6 +(t 0 t 3 )e 7 +(t 3 t 1 )e 8 +(t 2 t 3 + t 4 )e 9 +( t 0 + t 2 + t 4 )e 10

71 +( t 1 + t 2 + t 4 )e 11 t i Z,i = 0,1,2,3,4} = Z 5 bulunur. B 1,18 (MSS 18 )=Z1,18 (MSS 18 ) olduğundan H 1,18 (MSS 18 ) ={0} dır. B 2,18 (MSS 18 )={h 0σ 0 + h 1 σ 1 + h 2 σ 2 + h 3 σ 3 + h 4 σ 4 + h 5 σ 5 + h 6 σ 6 +(h 5 h 6 + h 4 h 0 h 3 + h 2 + h 1 )σ 7 h i Z,i=0,1,2,3,4,5,6} = Z 7 olur. Z 2,18 (MSS 18 ) = Z 8 olduğundan H 2,18 (MSS 18 ) = Z dir. Bu durumda elde edilir. H q,18 (MSS 18)= { Z, q=0,2 0, q = 0,2 Örnek 4.9 MSS 18 in kohomoloji gruplarını hesaplayalım. MSS 18 in noktalarını {p 0 =(0,0,1), p 1 =(1,1,1), p 2 =(1,2,1), p 3 =(0,3,1), p 4 =( 1,2,1), p 5 =( 1,1,1), p 6 =(0,1,0), p 7 =(0,2,0), p 8 =(0,2,2), p 9 =(0,1,2)} Z 3 olarak alalım ve bu noktalar şeklinde sıralansın. p 5 < p 4 < p 0 < p 6 < p 9 < p 7 < p 8 < p 3 < p 1 < p 2 C 18 0 (MSS 18), C 18 1 (MSS 18) ve C 18 2 (MSS 18) serbest abel gruplarının bazları olan 0-simpleksler, 1-simpleksler ve 2-simpleksleri Teorem 3.22 deki gibi alalım. 3 0 C2 18(MSS 2 18) C1 18(MSS 1 18) C0 18(MSS 0 18) 0 kısa dizisi elde edilir.

72 C 0,18 (MSS 18 )= Hom(C 18 0 (MSS 18),Z), C 1,18 (MSS 18 )= Hom(C 18 1 (MSS 18),Z), C 2,18 (MSS 18 )= Hom(C 18 2 (MSS 18),Z), olduğundan δ 1 0 C 0,18 δ (MSS 18 ) 0 C 1,18 δ (MSS 18 ) 1 C 2,18 δ (MSS 18 ) 2 0 kısa dizisi bulunur. olduğundan 0-eşzincirleri, 1 (e 0 )= p 1 p 0, 1 (e 10 )= p 7 p 6, 1 (e 1 )= p 9 p 0, 1 (e 11 )= p 4 p 5, 1 (e 2 )= p 0 p 5, 1 (e 12 )= p 2 p 8, 1 (e 3 )= p 6 p 0, 1 (e 13 )= p 8 p 4, 1 (e 4 )= p 8 p 9, 1 (e 14 )= p 3 p 8, 1 (e 5 )= p 1 p 9, 1 (e 15 )= p 3 p 4, 1 (e 6 )= p 9 p 5, 1 (e 16 )= p 7 p 4, 1 (e 7 )= p 1 p 6, 1 (e 17 )= p 2 p 3, 1 (e 8 )= p 2 p 1, 1 (e 18 )= p 2 p 7, 1 (e 9 )= p 6 p 5, 1 (e 19 )= p 3 p 7, δ 0 p 0 = e 0 e 1 + e 2 e 3, δ 0 p 1 = e 0+ e 5 + e 7 e 8, δ 0 p 2 = e 8+ e 12 + e 17 + e 18, δ 0 p 3 = e 14 + e 15 e 17 + e 19, δ 0 p 4 = e 11 e 13 e 15 e 16, δ 0 p 5 = e 2 e 6 e 9 e 11, δ 0 p 6 = e 3 e 7 + e 9 e 10, δ 0 p 7 = e 10 + e 16 e 18 e 19, δ 0 p 8 = e 4 e 12 + e 13 e 14,

73 δ 0 p 9 = e 1 e 4 e 5 + e 6 şeklinde elde edilir. 2 (σ 0 )= p 9 p 1 p 0 p 1 + p 0 p 9 =e 5 e 0 + e 1, 2 (σ 1 )= p 6 p 1 p 0 p 1 + p 0 p 6 =e 7 e 0 + e 3, 2 (σ 2 )= p 0 p 6 p 5 p 6 + p 5 p 0 =e 3 e 9 + e 2, 2 (σ 3 )= p 0 p 9 p 5 p 9 + p 5 p 0 =e 1 e 6 + e 2, 2 (σ 4 )= p 8 p 3 p 4 p 3 + p 4 p 8 =e 14 e 15 + e 13, 2 (σ 5 )= p 7 p 3 p 4 p 3 + p 4 p 7 =e 19 e 15 + e 16, 2 (σ 6 )= p 3 p 2 p 8 p 2 + p 8 p 3 =e 17 e 12 + e 14, 2 (σ 7 )= p 3 p 2 p 7 p 2 + p 7 p 3 =e 17 e 18 + e 19, olduğundan 1-eşzincirleri, δ 1 e0 = σ 0 σ 1, δ 1 e10 ={0}, δ 1 e1 = σ 0+ σ 3, δ 1 e11 ={0}, δ 1 e2 = σ 2+ σ 3, δ 1 e12 = σ 6, δ 1 e3 = σ 1+ σ 2, δ 1 e13 = σ 4, δ 1 e4 ={0}, δ1 e14 = σ 4 + σ 6, δ 1 e5 = σ 0, δ 1 e15 = σ 4 σ 5, δ 1 e6 = σ 3, δ 1 e7 = σ 1, δ 1 e16 = σ 5, δ 1 e17 = σ 6 + σ 7, δ 1 e8 ={0}, δ 1 e9 = σ 2, δ1 e18 = σ 7, δ 1 e19 = σ 5 + σ 7 olarak bulunur. Öncelikle δ 0 ın çekirdeğini bulalım. δ 0 ( 9 i=0 n i p i )=n 0( e 0 e 1 + e 2 e 3 )+n 1 (e 0 + e 5 + e 7 e 8 ) +n 2 (e 8 + e 12 + e 17 + e 18 )+n 3 (e 14 + e 15 e 17 + e 19 ) +n 4 (e 11 e 13 e 15 e 16 )+n 5 ( e 2 e 6 e 9 e 11 ) +n 6 (e 3 e 7 + e 9 e 10 )+n 7 (e 10 + e 16 e 18 e 19 )

74 +n 8 (e 4 e 12 + e 13 e 14 )+n 9 (e 1 e 4 e 5 + e 6 ) olur. Buradan e 0 ( n 0 + n 1 )+e 1 ( n 0 + n 9 )+e 2 (n 0 n 5 )+e 3 ( n 0 + n 6 )+e 4 (n 8 n 9 ) +e 5 (n 1 n 9 )+e 6 ( n 5 + n 9 )+e 7 (n 1 n 6 )+e 8 (n 2 n 1 )+e 9 ( n 5 + n 6 ) +e 10 ( n 6 + n 7 )+e 11 (n 4 n 5 )+e 12 (n 2 n 8 )+e 13 ( n 4 + n 8 )+e 14 (n 3 n 8 ) +e 15 (n 3 n 4 )+e 16 ( n 4 +n 7 )+e 17 (n 2 n 3 )+ e 18 (n 2 n 7 )+ e 19 (n 3 n 7 )=0, denklemi çözülürse n 0 = n 1 = n 2 = n 3 = n 4 = n 5 = n 6 = n 7 = n 8 = n 9 = n elde edilir. Bu durumda, Z 0,18 (MSS 18 )={n(p 0 + p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 + p 6 + p 7 + p 8 + p 9 ) n Z} = Z olur. B 0,18 (MSS 18 ) = 0 olduğundan, H 0,18 (MSS 18 ) = Z dir. δ 1 ( 19 i=0 k i e i )=k 0( σ 0 σ 1 )+k 1 (σ 0 + σ 3 )+k 2 (σ 2 + σ 3 )+k 3 (σ 1 + σ 2 )+k 4 ({0}) +k 5 (σ 0 )+k 6 ( σ 3 )+k 7 (σ 1 )+k 8 ({0})+k 9 ( σ 2 )+k 10 ({0}) +k 11 ({0})+ k 12 ( σ 6 )+k 13 (σ 4 )+k 14 (σ 4 + σ 6 )+k 15 ( σ 4 σ 5 ) +k 16 (σ 5 )+k 17 (σ 6 + σ 7 )+k 18 ( σ 7 )+k 19 (σ 5 + σ 7 ) δ 1 in çekirdeğini bulalım. σ 0 ( k 0 + k 1 + k 5 )+σ 1 ( k 0 + k 3 + k 7 )+σ 2 (k 2 + k 3 k 9 )+σ 3 (k 1 + k 2 k 6 ) +σ 4 (k 13 + k 14 k 15 )+σ 5 ( k 15 + k 16 + k 19 )+σ 6 ( k 12 + k 14 + k 17 ) +σ 7 (k 17 k 18 + k 19 )=0 denklemi çözülürse k 0 = k 1 + k 5 k 6 = k 1 + k 2

75 k 7 = k 1 + k 5 k 3 k 9 = k 2 + k 3 k 12 = k 14 + k 17 k 15 = k 13 + k 14 k 18 = k 13 + k 14 k 16 + k 17 k 19 = k 13 + k 14 k 16 olur. Buradan Z 1,18 (MSS 18 )={(k 1 + k 5 )e 0 + k 1e 1 + k 2e 2 + k 3e 3 + k 4e 4 + k 5e 5 +(k 1+ k 2 )e 6 +(k 1 + k 5 k 3 )e 7 + k 8e 8 +(k 2 + k 3 )e 9 + k 10e 10 + k 11e 11 +(k 14 + k 17 )e 12 + k 13e 13 + k 14e 14 +(k 13 + k 14 )e 15 + k 16e 16 +k 17 e17 +(k 13 + k 14 k 16 + k 17 )e18 +(k 13 + k 14 k 16 )e19 k i Z, i=1,4,5,7,10} = Z 12 bulunur. Diğer taraftan B 1,18 (MSS 18 )={t 0 e 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 + t 3 e 3 + t 4 e 4 +(t 0 t 1 )e 5 +(t 1 + t 2 )e 6 +(t 0 t 3 )e 7 + t 5 e 8 +(t 2 + t 3 )e 9 + t 6 e 10 + t 7 e 11 +(t 0 t 1 t 4 + t 5 )e 12 +(t 1 + t 2 + t 4 t 7 )e 13 + t 8 e 14 +(t 1 + t 2 + t 4 t 7 + t 8 )e 15 +(t 2 +t 3 + t 6 t 7 )e 16 +(t 0 t 1 t 4 + t 5 t 8 )e 17 +(t 0 t 3 + t 5 t 6 )e 18 +(t 1 t 3 + t 4 t 6 + t 8 )e 19 t i Z, i = 0,1,2,3,4,5,6,7,8} = Z 9 dur. Bu durumda H 1,18 (MSS 18 ) = Z 3 elde edilir. Ayrıca B 2,18 (MSS 18 )={h 0 σ 0 + h 1 σ 1 + h 2 σ 2 + h 3 σ 3 + h 4 σ 4 + h 5 σ 5 + h 6 σ 6 +h 7 σ 7 h i Z, i=0,1,2,3,4,5,6,7} = Z 8 olur. Z 2,18 (MSS 18 ) = Z 8 olduğundan

76 H 2,18 (MSS 18 ) ={0} bulunur. Bu durumda Z, q=0 H q,18 (MSS 18 )= Z 3, q=1 0, q 2 elde edilir. Örnek 4.10 MSS 6 nün kohomoloji gruplarını hesaplayalım. MSS 6 nün noktalarını {p 0 =(1,0,0), p 1 =(1,1,0), p 2 =(1,1,1), p 3 =(1,0,1), p 4 =(0,0,1), p 5 =(0,1,1), p 6 =(0,1,0), p 7 =(0,0,0)} Z 3 olarak gösterelim ve bu noktaların p 7 3için H q,6 (MSS 6 )={0} dır. C0 6(MSS 6 ) ve C6 1 (MSS 6 ) serbest abel gruplarının bazları olan 0-simpleksler ve 1-simpleksleri Teorem 3.23 deki gibi alalım. 2 0 C1 6(MSS 6 ) 1 C6 0 (MSS 6 ) 0 0 kısa dizisi elde edilir. C 0,6 (MSS 6 )= Hom(C6 0 (MSS 6 ),Z), C 1,6 (MSS 6 )= Hom(C6 1 (MSS 6 ),Z), olduğundan δ 1 0 C 0,6 (MSS 6 ) δ 0 C1,6 (MSS 6 ) δ 1 0 bulunur.

77 olduğundan 0-eşzincirler, 1 (e 0 )= p 1 p 0, 1 (e 6 )= p 3 p 4, 1 (e 1 )= p 3 p 0, 1 (e 7 )= p 4 p 7, 1 (e 2 )= p 2 p 1, 1 (e 8 )= p 5 p 4, 1 (e 3 )= p 1 p 6, 1 (e 9 )= p 5 p 6, 1 (e 4 )= p 2 p 5, 1 (e 10 )= p 6 p 7, 1 (e 5 )= p 2 p 3, 1 (e 11 )= p 0 p 7 δ 0 p 0 = e 0 e 1 + e 11, δ 0 p 1 = e 0 e 2 + e 3, δ 0 p 2 = e 2+ e 4 + e 5, δ 0 p 3 = e 1 e 5 + e 6, δ 0 p 4 = e 6+ e 7 e 8, δ 0 p 5 = e 4+ e 8 + e 9, δ 0 p 6 = e 3 e 9 + e 10, dir. Ayrıca δ 0 ( 7 i=0 δ 0 p 7 = e 7 e 10 e 11 n i p i )=n 0 δ 0 (p 0 )+n 1 δ 0 (p 1 )+n 2 δ 0 (p 2 )+n 3 δ 0 (p 3 ) +n 4 δ 0 (p 4 )+n 5 δ 0 (p 5 )+n 6 δ 0 (p 6 )+n 7 δ 0 (p 7 ) = n 0 ( e 0 e 1 + e 11 )+n 1 (e 0 e 2 + e 3 )+n 2 (e 2 + e 4 + e 5 ) +n 3 (e 1 e 5 + e 6 )+n 4 ( e 6 + e 7 e 8 )+n 5 ( e 4 + e 8 + e 9 ) +n 6 ( e 3 e 9 + e 10 )+n 7 ( e 7 e 10 e 11 ) = e 0 ( n 0 + n 1 )+e 1 ( n 0 + n 3 )+e 2 ( n 1 + n 2 )+e 3 (n 1 n 6 ) +e 4 (n 2 n 5 )+e 5 (n 2 n 3 )+e 6 (n 3 n 4 )+e 7 (n 4 n 7 )

78 +e 8 ( n 4 + n 5 )+e 9 (n 5 n 6 )+e 10 (n 6 n 7 )+e 11 (n 0 n 7 ) elde edilir. Buradan e 0 ( n 0 + n 1 )+e 1 ( n 0 + n 3 )+e 2 ( n 1 + n 2 )+e 3 (n 1 n 6 )+e 4 (n 2 n 5 ) +e 5 (n 2 n 3 )+e 6 (n 3 n 4 )+e 7 (n 4 n 7 )+e 8 ( n 4 + n 5 )+e 9 (n 5 n 6 ) +e 10 (n 6 n 7 )+e 11 (n 0 n 7 )=0 denklemi çözülürse n 0 = n 1 = n 2 = n 3 = n 4 = n 5 = n 6 = n 7 = n olur. Bu durumda Z 0,6 (MSS 6 )=Kerδ0 ={n(p 0 + p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 + p 6 + p 7 ) n Z} = Z bulunur. B 0,6 (MSS 6 )=Im δ 1 ={0} olduğundan, H 0,6 (MSS 6 ) = Z dir. Ayrıca B 1,6 (MSS 6 )=Im δ0 ={t 0 e 0 +t 1 e 1 +t 2 e 2 +t 3 e 3 +t 4 e 4 +(t 2 t 1 )e 5 +t 5 e 6 +t 6 e 7 +( t 1 + t 2 t 4 + t 5 )e 8 +(t 2 + t 3 t 4 )e 9 +(t 0 t 1 t 3 + t 5 + t 6 )e 10 +( t 1 + t 5 + t 6 )e 11 i = 0,1,2,3,4,5,6 t i Z} = Z 7 elde edilir. Z 1,6 (MSS 6 )=Kerδ1 = Z 12 olduğundan H 1,6 (MSS 6 )=Z1,6 (MSS 6 )/B1,6 (MSS 6 ) = Z 5 olur. Böylece dır. Z, q=0 H q,6 (MSS 6)= Z 5, q=1 0, q = 0,1 Örnek 4.11 MSS 18 MSS 18 in kohomoloji gruplarını hesaplayalım. MSS 18 MSS 18 in noktalarını{p 0 =(1,1,1), p 1 =(1,2,1), p 2 =(1,3,1), p 3 =(0,4,1), p 4 =( 1,3,1), p 5 =( 1,2,1), p 6 =( 1,1,1), p 7 =(0,0,1), p 8 =(0,3,0), p 9 =(0,2,0),

79 p 13 p 12 p 11 p 7 p 6 p 5 p 4 p 0 p 1 p 2 p 3 p 10 p 9 p 8 Şekil 4.1. MSS 18 MSS 18 p 10 =(0,1,0), p 11 =(0,3,2), p 12 =(0,2,2), p 13 =(0,1,2)} Z 3 şeklinde alalım ve bu noktalar p 6 < p 5 < p 4 < p 7 < p 13 < p 10 < p 12 < p 9 < p 11 < p 8 < p 3 < p 0 < p 1 < p 2 olarak sıralansın. C 18 0 (MSS 18 MSS 18 ), C 18 1 (MSS 18 MSS 18 ) ve C 18 2 (MSS 18 MSS 18 ) serbest abel gruplarının bazları olan 0-simpleksler p 0, p 1, p 2, p 3, p 4, p 5, p 6, p 7, p 8, p 9, p 10, p 11, p 12, p 13, 1-simpleksler e 0 = p 0 p 1,e 1 = p 1 p 2,e 2 = p 3 p 2,e 3 = p 4 p 3,e 4 = p 5 p 4, ve e 5 = p 6 p 5,e 6 = p 6 p 7,e 7 = p 7 p 0,e 8 = p 7 p 10,e 9 = p 10 p 9, e 10 = p 9 p 8,e 11 = p 8 p 3,e 12 = p 11 p 3,e 13 = p 12 p 11,e 14 = p 13 p 12, e 15 = p 7 p 13,e 16 = p 13 p 0,e 17 = p 10 p 0,e 18 = p 6 p 10,e 19 = p 6 p 13, e 20 = p 9 p 1,e 21 = p 5 p 9,e 22 = p 5 p 12,e 23 = p 12 p 1,e 24 = p 8 p 2, e 25 = p 4 p 8,e 26 = p 4 p 11,e 27 = p 11 p 2 2-simpleksler σ 0 = p 7 p 10 p 0,σ 1 = p 7 p 13 p 0,σ 2 = p 6 p 7 p 10,σ 3 = p 6 p 7 p 13, σ 4 = p 8 p 3 p 2,σ 5 = p 11 p 3 p 2,σ 6 = p 4 p 11 p 3,σ 7 = p 4 p 8 p 3 şeklindedir. m 3için C 18 m(mss 18 MSS 18 ) aşikar grup olduğundan

80 3 0 C2 18(MSS 2 18 MSS 18 ) C1 18(MSS 1 18 MSS 18 ) C0 18(MSS 0 18 MSS 18 ) 0 kısa dizisi elde edilir. C 0,18 (MSS 18 MSS 18 ) = Hom(C 18 0 (MSS 18 MSS 18 ),Z), C 1,18 (MSS 18 MSS 18 ) = Hom(C 18 1 (MSS 18 MSS 18 ),Z), C 2,18 (MSS 18 MSS 18 ) = Hom(C 18 2 (MSS 18 MSS 18 ),Z) olur. Buradan δ 1 0 C 0,18 δ (MSS 18 MSS 18 ) 0 C 1,18 δ (MSS 18 MSS 18 ) 1 C 2,18 δ (MSS 18 MSS 18 ) 2 0. dizisi bulunur. olduğundan 0-eşzincirler, 1 (e 0 )= p 1 p 0, 1 (e 14 )= p 12 p 13, 1 (e 1 )= p 2 p 1, 1 (e 15 )= p 13 p 7, 1 (e 2 )= p 2 p 3, 1 (e 16 )= p 0 p 13, 1 (e 3 )= p 3 p 4, 1 (e 17 )= p 0 p 10, 1 (e 4 )= p 4 p 5, 1 (e 18 )= p 10 p 6, 1 (e 5 )= p 5 p 6, 1 (e 19 )= p 13 p 6, 1 (e 6 )= p 7 p 6, 1 (e 20 )= p 1 p 9, 1 (e 7 )= p 0 p 7, 1 (e 21 )= p 9 p 5, 1 (e 8 )= p 10 p 7, 1 (e 22 )= p 12 p 5, 1 (e 9 )= p 9 p 10, 1 (e 23 )= p 1 p 12, 1 (e 10 )= p 8 p 9, 1 (e 24 )= p 2 p 8, 1 (e 11 )= p 3 p 8, 1 (e 25 )= p 8 p 4, 1 (e 12 )= p 3 p 11, 1 (e 26 )= p 11 p 4, 1 (e 13 )= p 11 p 12, 1 (e 27 )= p 2 p 11

81 δ 0 p 0 = e 0+ e 7 + e 16 + e 17, δ 0 p 1 = e 0 e 1 + e 20 + e 23, δ 0 p 2 = e 1+ e 2 + e 24 + e 27, δ 0 p 3 = e 2+ e 3 + e 11 + e 12, δ 0 p 4 = e 3+ e 4 e 25 e 26, δ 0 p 5 = e 4+ e 5 e 21 e 22, δ 0 p 6 = e 5 e 6 e 18 e 19, δ 0 p 7 = e 6 e 7 e 8 e 15, δ 0 p 8 = e 10 e 11 e 24 + e 25, δ 0 p 9 = e 9 e 10 e 20 + e 21, δ 0 p 10 = e 8 e 9 + e 18 e 17, δ 0 p 11 = e 12+ e 13 + e 26 e 27, δ 0 p 12 = e 13+ e 14 + e 22 e 23, δ 0 p 13 = e 14+ e 15 e 16 + e 19 elde edilir. 2 (σ 0 )= p 10 p 0 p 7 p 0 + p 7 p 10 =e 17 e 7 + e 8, 2 (σ 1 )= p 13 p 0 p 7 p 0 + p 7 p 13 =e 16 e 7 + e 15, 2 (σ 2 )= p 7 p 10 p 6 p 10 + p 6 p 7 =e 8 e 18 + e 6, 2 (σ 3 )= p 7 p 13 p 6 p 13 + p 6 p 7 =e 15 e 19 + e 6, 2 (σ 4 )= p 3 p 2 p 8 p 2 + p 8 p 3 =e 2 e 24 + e 11, 2 (σ 5 )= p 3 p 2 p 11 p 2 + p 11 p 3 =e 2 e 27 + e 12, 2 (σ 6 )= p 11 p 3 p 4 p 3 + p 4 p 11 =e 12 e 3 + e 26, 2 (σ 7 )= p 8 p 3 p 4 p 3 + p 4 p 8 =e 11 e 3 + e 25 olduğundan 1-eşzincirler, δ 1 e0 ={0}, δ1 e14 ={0}, δ 1 e1 ={0}, δ1 e15 = σ 1 + σ 3, δ 1 e2 = σ 4+ σ 5, δ 1 e16 = σ 1, δ 1 e3 = σ 6 σ 7, δ 1 e17 = σ 0, δ 1 e4 ={0}, δ1 e18 = σ 2, δ 1 e5 ={0}, δ1 e19 = σ 3, δ 1 e6 = σ 2+ σ 3, δ 1 e20 ={0}, δ 1 e7 = σ 0 σ 1, δ 1 e21 ={0}, δ 1 e8 = σ 0+ σ 2, δ 1 e22 ={0}, δ 1 e9 ={0}, δ1 e23 ={0}, δ 1 e10 ={0}, δ 1 e11 = σ 4 + σ 7, δ1 e24 = σ 4, δ 1 e25 = σ 7, δ 1 e12 = σ 5 + σ 6, δ 1 e26 = σ 6, δ 1 e13 ={0}, δ1 e27 = σ 5

82 olur. δ 0 ın çekirdeğini bulalım. δ 0 ın tanımından, δ 0 ( 13 i=0 n i p i )=n 0( e 0 + e 7 + e 16 + e 17 )+n 1 (e 0 e 1 + e 20 + e 23 ) +n 2 (e 1 + e 2 + e 24 + e 27 )+n 3 ( e 2 + e 3 + e 11 + e 12 ) +n 4 ( e 3 + e 4 e 25 e 26 )+ n 5 ( e 4 +e 5 e 21 e 22 ) +n 6 ( e 5 e 6 e 18 e 19 )+n 7 (e 6 e 7 e 8 e 15 ) +n 8 (e 10 e 11 e 24 +e 25 )+n 9 (e 9 e 10 e 20 +e 21 ) +n 10 (e 8 e 9 + e 18 e 17 )+ n 11 ( e 12 + e 13 +e 26 e 27 ) +n 12 ( e 13 + e 14 + e 22 e 23 )+ n 13 ( e 14 + e 15 e 16 + e 19 ) elde edilir. e 0 ( n 0 + n 1 )+e 1 ( n 1 + n 2 )+e 2 (n 2 n 3 )+e 3 (n 3 n 4 )+e 4 (n 4 n 5 ) +e 5 (n 5 n 6 )+ e 6 ( n 6 + n 7 )+e 7 (n 0 n 7 )+ e 8 ( n 7 + n 10 )+ e 9 (n 9 n 10 ) +e 10 ( n 9 + n 8 )+ e 11 (n 3 n 8 )+ e 12 (n 3 n 11 )+ e 13 (n 11 n 12 )+ e 14 (n 12 n 13 ) +e 15 (n 13 n 7 )+ e 16 (n 0 n 13 )+ e 17 (n 0 n 10 )+ e 18 ( n 6 + n 10 ) +e 19 ( n 6 + n 13 )+e 20 (n 1 n 9 )+e 21 ( n 5 + n 9 )+ e 22 ( n 5 + n 12 ) +e 23 (n 1 n 12 )+e 24 (n 2 n 8 )+e 25 ( n 4 +n 8 )+e 26 ( n 4 +n 11 )+e 27 (n 2 n 11 )=0, denklemi çözülürse n 0 = n 1 = n 2 = n 3 = n 4 = n 5 = n 6 = n 7 = n 8 = n 9 = n 10 = n 11 = n 12 = n 13 = n bulunur. Bu durumda sıfır boyutlu eşdevirlerin grubu Z 0,18 (MSS 18 )={n(p 0 + p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 + p 6 + p 7 + p 8 + p 9 + p 10 +p 11 + p 12 + p 13 ) n Z} = Z elde edilir. B 0,18 (MSS 18 MSS 18 ) = 0 olduğundan H 0,18 (MSS 18 MSS 18 ) = Z

dir. δ 1 ( 27 i=0 k i e i )=k 0({0})+k 1 ({0})+k 2 (σ 4 +σ 5 )+k 3 ( σ 6 σ 7 )+k 4 ({0})+k 5 ({0}) +k 6 (σ 2 + σ 3 )+ k 7 ( σ 0 σ 1 )+ k 8 (σ 0 + σ 2 )+ k 9 ({0})+ k 10 ({0}) +k 11 (σ 4 +σ 7 )+k 12 (σ 5 +σ 6 )+k 13 ({0})+k 14 ({0})+k 15 (σ 1 +σ 3 ) +k 16 (σ 1 )+k 17 (σ 0 )+k 18 ( σ 2 )+k 19 ( σ 3 )+k 20 ({0})+k 21 ({0}) +k 22 ({0})+k 23 ({0})+k 24 ( σ 4 )+k 25 (σ 7 )+k 26 (σ 6 )+k 27 ( σ 5 ) 83 δ 1 in çekirdeğini bulalım. σ 0 ( k 7 + k 8 + k 17 )+σ 1 ( k 7 + k 15 + k 16 )+σ 2 (k 6 k 18 + k 8 ) +σ 3 (k 6 k 19 + k 15 )+σ 4 (k 2 + k 11 k 24 )+σ 5 (k 2 + k 12 k 27 ) +σ 6 ( k 3 + k 12 + k 26 )+σ 7 ( k 3 + k 11 + k 25 )=0 denklemi çözülürse, olur. Böylece k 3 = k 12 + k 26, k 6 = k 8 + k 18, k 7 = k 8 + k 17, k 16 = k 8 k 15 + k 17, k 19 = k 8 + k 15 + k 18, k 24 = k 2 + k 11, k 25 = k 11 + k 12 + k 26, k 27 = k 2 + k 12 Z 1,18 (MSS 18 MSS 18 )={k 0 e 0 + k 1e 1 + k 2e 2 +(k 12 + k 26 )e 3 + k 4e 4 +k 5 e 5 +(k 8 + k 18 )e 6 +(k 8 + k 17 )e 7 + k 8e 8 + k 9e 9 +k 10 e 10 + k 11e 11 + k 12e 12 + k 13e 13 +k 14e 14 +k 15e 15 +(k 8 k 15 +k 17 )e 16 +k 17e 17 +k 18e 18 +(k 8+ k 15 +k 18 )e 19 +k 20 e 20 +k 21e 21 +k 22e 22 +k 23e 23 +(k 2+k 11 )e 24 +( k 11 +k 12 +k 26 )e 25 + k 26e 26 +(k 2 + k 12 )e 27

84 k i Z,i= 0,1,2,4,5,8,9,10,11,12,13,14,15,17,18,20,21,22,23,26} = Z 20 elde edilir. Diğer taraftan B 1,18 (MSS 18 MSS 18 )={t 0 e 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 + t 3 e 3 + t 4 e 4 + t 5 e 5 + t 6 e 6 +( t 0 t 1 + t 2 + t 3 + t 4 + t 5 t 6 )e 7 + t 7 e 8 + t 8 e 9 + t 9 e 10 +(t 3 + t 4 + t 5 + t 6 + t 7 + t 8 t 9 )e 11 + t 10 e 12 + t 11 e 13 + t 12 e 14 +(t 3 + t 4 + t 5 + t 6 + 2t 7 + 2t 8 t 10 t 11 t 12 )e 15 +( t 0 t 1 + t 2 + t 10 + t 11 + t 12 )e 16 +( t 0 t 1 + t 2 + t 3 + t 4 + t 5 t 6 t 7 )e 17 +(t 6 + t 7 )e 18 +(t 3 + t 4 + t 5 + 2t 6 + 2t 7 + 2t 8 t 10 t 11 t 12 )e 19 +( t 1 +t 2 +t 3 +t 4 +t 5 t 6 t 7 t 8 )e 20 +( t 5 +t 6 +t 7 +t 8 )e 21 +(t 3 + t 4 t 10 t 11 )e 22 +( t 1 + t 2 + t 10 + t 11 )e 23 +(t 2 + t 3 + t 4 + t 5 + t 6 + t 7 + t 8 t 9 )e 24 bulunur. Buradan +( t 5 t 6 t 7 t 8 )e 25 +(t 3 t 10 )e 26 +(t 2 + t 10 )e 27 t i Z, i = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} = Z 13 H 1,18 (MSS 18 MSS 18 ) = Z 7 dir. B 2,18 (MSS 18 MSS 18 )={h 0 σ 0 + h 1 σ 1 + h 2 σ 2 + h 3 σ 3 + h 4 σ 4 + h 5 σ 5 + h 6 σ 6 olur. Z 2,18 (MSS 18 MSS 18 ) = Z 8 olduğundan, +h 7 σ 7 h i Z, i = 0,1,2,3,4,5,6,7} = Z 8 H 2,18 (MSS 18 MSS 18 ) ={0}

85 dır. Sonuç olarak Z, q=0 H q,18 (MSS 18 MSS 18 )= Z 7, q=1 0, q 2 dır. Örnek 4.12 MSS 6 MSS 6 nın kohomoloji gruplarını hesaplayalım. p 41 p 40 p 39 p 38 p 37 p 33 p 34 p 35 p 36 p p 27 32 p 31 p 30 p 29 p 28 p 21 p 22 p 23 p 24 p 25 p 20 p p p 26 18 p 17 16 p 19 p 15 p 0 p 1 p 2 p 3 p 4 p 9 p 8 p 7 p 10 p 11 p 12 p 6 p 5 p 13 p 14 Şekil 4.2. MSS 6 MSS 6 MSS 6 MSS 6 nın noktalarını {p 0 =(0,0,0), p 1 =(0,1,0), p 2 =(0,2,0), p 3 =(0,3,0), p 4 =(0,4,0), p 5 =(1,4,0), p 6 =(1,3,0), p 7 =(1,2,0), p 8 =(1,1,0), p 9 =(1,0,0), p 10 =(2,0,0), p 11 =(2,1,0), p 12 =(2,2,0), p 13 =(2,3,0), p 14 =(2,4,0), p 15 =(2,4,1), p 16 =(2,3,1), p 17 =(2,2,1), p 18 =(2,1,1), p 19 =(2,0,1), p 20 =(1,0,1), p 21 =(0,0,1), p 22 =(0,1,1), p 23 =(0,2,1), p 24 =(0,3,1), p 25 =(0,4,1), p 26 =(1,4,1), p 27 =(1,4,2), p 28 =(2,4,2), p 29 =(2,3,2), p 30 =(2,2,2), p 31 =(2,1,2), p 32 =(2,0,2), p 33 =(1,0,2), p 34 =(1,1,2), p 35 =(1,2,2), p 36 =(1,3,2), p 37 =(0,4,2), p 38 =(0,3,2), p 39 =(0,2,2), p 40 =(0,1,2), p 41 =(0,0,2)} Z 3 olarak alalım ve bu noktalar p 0 < p 21 < p 41 < p 1 < p 22 < p 40 < p 2 < p 23 < p 39 < p 3 < p 24 < p 38 < p 4 < p 25 < p 37 < p 9 < p 20 < p 33 < p 8 < p 34 < p 7 < p 35 < p 6 < p 36 < p 5 < p 26 < p 27 < p 10 < p 19 < p 32 < p 11 < p 18 < p 31 < p 12 < p 17 < p 30

86 < p 13 < p 16 < p 29 < p 14 < p 15 < p 28 şeklinde sıralansın C 18 0 (MSS 6 MSS 6 ) ve C 18 1 (MSS 6 MSS 6 ) serbest abel gruplarının bazları sırasıyla 0-simpleksler p 0, p 1, p 2, p 3, p 4, p 5, p 6, p 7, p 8, p 9, p 10, p 11, p 12, p 13, p 14, p 15, p 16, p 17, p 18, p 19, p 20, p 21, p 22, p 23, p 24, p 25, p 26, p 27, p 28, p 29, p 30, p 31, p 32, p 33, p 34, p 35, p 36, p 37, p 38, p 39, p 40, p 41, 1-simpleksler e 0 = p 0 p 1,e 1 = p 0 p 9,e 2 = p 0 p 21,e 3 = p 1 p 2,e 4 = p 1 p 8, e 5 = p 1 p 22,e 6 = p 2 p 3,e 7 = p 2 p 7,e 8 = p 2 p 23,e 9 = p 3 p 4,e 10 = p 3 p 6, e 11 = p 3 p 24,e 12 = p 4 p 5,e 13 = p 4 p 25,e 14 = p 6 p 5,e 15 = p 5 p 14,e 16 = p 5 p 26, e 17 = p 7 p 6,e 18 = p 6 p 13,e 19 = p 8 p 7,e 20 = p 7 p 12,e 21 = p 9 p 8,e 22 = p 8 p 11, e 23 = p 9 p 20,e 24 = p 9 p 10,e 25 = p 10 p 11,e 26 = p 10 p 19,e 27 = p 11 p 12, e 28 = p 11 p 18,e 29 = p 12 p 13,e 30 = p 12 p 17,e 31 = p 13 p 14,e 32 = p 13 p 16, e 33 = p 14 p 15,e 34 = p 16 p 15,e 35 = p 26 p 15,e 36 = p 15 p 28,e 37 = p 17 p 16, e 38 = p 16 p 29,e 39 = p 18 p 17,e 40 = p 17 p 30,e 41 = p 19 p 18,e 42 = p 18 p 31, e 43 = p 19 p 32,e 44 = p 21 p 20,e 45 = p 20 p 33,e 46 = p 20 p 19,e 47 = p 21 p 41, e 48 = p 21 p 22,e 49 = p 22 p 23,e 50 = p 22 p 40,e 51 = p 23 p 24,e 52 = p 23 p 39, e 53 = p 24 p 25,e 54 = p 24 p 38,e 55 = p 25 p 26,e 56 = p 25 p 37,e 57 = p 26 p 27, e 58 = p 27 p 28,e 59 = p 37 p 27,e 60 = p 36 p 27,e 61 = p 29 p 28,e 62 = p 30 p 29, e 63 = p 36 p 29,e 64 = p 31 p 30,e 65 = p 35 p 30,e 66 = p 32 p 31,e 67 = p 34 p 31, e 68 = p 33 p 32,e 69 = p 33 p 34,e 70 = p 41 p 33,e 71 = p 40 p 34,e 72 = p 34 p 35, e 73 = p 39 p 35,e 74 = p 35 p 36,e 75 = p 38 p 36,e 76 = p 38 p 37,e 77 = p 39 p 38, e 78 = p 40 p 39,e 79 = p 41 p 40, olur. m 2için C 6 m(mss 6 MSS 6 ) aşikar grup olduğundan

87 2 0 C1 6(MSS 1 6 MSS 6 ) C0 6(MSS 0 6 MSS 6 ) 0 kısa dizisi bulunur. dir. Böylece C 0,18 (MSS 6 MSS 6 ) = Hom(C 6 0 (MSS 6 MSS 6 ),Z), C 1,18 (MSS 6 MSS 6 ) = Hom(C 6 1 (MSS 6 MSS 6 ),Z) δ 1 0 C 0,6 δ (MSS 6 MSS 6 ) 0 C 1,6 δ (MSS 6 MSS 6 ) 1 0 dizisi elde edilir. 1 (e 0 )= p 1 p 0, 1 (e 27 )= p 12 p 11, 1 (e 54 )= p 38 p 24, 1 (e 1 )= p 9 p 0, 1 (e 28 )= p 18 p 11, 1 (e 55 )= p 26 p 25, 1 (e 2 )= p 21 p 0, 1 (e 29 )= p 13 p 12, 1 (e 56 )= p 37 p 25, 1 (e 3 )= p 2 p 1, 1 (e 30 )= p 17 p 12, 1 (e 57 )= p 27 p 26, 1 (e 4 )= p 8 p 1, 1 (e 31 )= p 14 p 13, 1 (e 58 )= p 28 p 27, 1 (e 5 )= p 22 p 1, 1 (e 32 )= p 16 p 13, 1 (e 59 )= p 27 p 37, 1 (e 6 )= p 3 p 2, 1 (e 33 )= p 15 p 14, 1 (e 60 )= p 27 p 36, 1 (e 7 )= p 7 p 2, 1 (e 34 )= p 15 p 16, 1 (e 61 )= p 28 p 29, 1 (e 8 )= p 23 p 2, 1 (e 35 )= p 15 p 26, 1 (e 62 )= p 29 p 30, 1 (e 9 )= p 4 p 3, 1 (e 36 )= p 28 p 15, 1 (e 63 )= p 29 p 36, 1 (e 10 )= p 6 p 3, 1 (e 37 )= p 16 p 17, 1 (e 64 )= p 30 p 31, 1 (e 11 )= p 24 p 3, 1 (e 38 )= p 29 p 16, 1 (e 65 )= p 30 p 35, 1 (e 12 )= p 5 p 4, 1 (e 39 )= p 17 p 18, 1 (e 66 )= p 31 p 32, 1 (e 13 )= p 25 p 4, 1 (e 40 )= p 30 p 17, 1 (e 67 )= p 31 p 34, 1 (e 14 )= p 5 p 6, 1 (e 41 )= p 18 p 19, 1 (e 68 )= p 32 p 33, 1 (e 15 )= p 14 p 5, 1 (e 42 )= p 31 p 18, 1 (e 69 )= p 34 p 33, 1 (e 16 )= p 26 p 5, 1 (e 43 )= p 32 p 19, 1 (e 70 )= p 33 p 41, 1 (e 17 )= p 6 p 7, 1 (e 44 )= p 20 p 21, 1 (e 71 )= p 34 p 40, 1 (e 18 )= p 13 p 6, 1 (e 45 )= p 33 p 20, 1 (e 72 )= p 35 p 34, 1 (e 19 )= p 7 p 8, 1 (e 46 )= p 19 p 20, 1 (e 73 )= p 35 p 39, 1 (e 20 )= p 12 p 7, 1 (e 47 )= p 41 p 21, 1 (e 74 )= p 36 p 35, 1 (e 21 )= p 8 p 9, 1 (e 48 )= p 22 p 21, 1 (e 75 )= p 36 p 38, 1 (e 22 )= p 11 p 8, 1 (e 49 )= p 23 p 22, 1 (e 76 )= p 37 p 38, 1 (e 23 )= p 20 p 9, 1 (e 50 )= p 40 p 22, 1 (e 77 )= p 38 p 39, 1 (e 24 )= p 10 p 9, 1 (e 51 )= p 24 p 23, 1 (e 78 )= p 39 p 40, 1 (e 25 )= p 11 p 10, 1 (e 52 )= p 39 p 23, 1 (e 79 )= p 40 p 41 1 (e 26 )= p 19 p 10, 1 (e 53 )= p 25 p 24,

88 olduğundan 0-eşzincirler, δ 0 p0 = e 0 e 1 e 2, δ 0 p21 = e 2 e 44 e 47 e 48, δ 0 p1 = e 0 e 3 e 4 e 5, δ 0 p22 = e 5+ e 48 e 49 e 50, δ 0 p2 = e 3 e 6 e 7 e 8, δ 0 p23 = e 8+ e 49 e 51 e 52, δ 0 p3 = e 6 e 9 e 10 e 11, δ 0 p24 = e 11 e 53 e 54 + e 51, δ 0 p4 = e 9 e 12 e 13, δ 0 p25 = e 13+ e 53 e 55 e 56, δ 0 p5 = e 12+ e 14 e 15 e 16, δ 0 p26 = e 16+ e 55 e 57 e 35, δ 0 p6 = e 10 e 14 + e 17 e 18, δ 0 p27 = e 57 e 58 + e 59 + e 60, δ 0 p7 = e 7 e 17 + e 19 e 20, δ 0 p28 = e 36+ e 58 + e 61, δ 0 p8 = e 4 e 19 + e 21 e 22, δ 0 p29 = e 38 e 61 + e 62 + e 63, δ 0 p9 = e 1 e 21 e 23 e 24, δ 0 p30 = e 40 e 62 + e 64 + e 65, δ 0 p10 = e 24 e 25 e 26, δ 0 p31 = e 42 e 64 + e 66 + e 67, δ 0 p11 = e 22+ e 25 e 27 e 28, δ 0 p32 = e 43 e 66 + e 68, δ 0 p12 = e 20+ e 27 e 29 e 30, δ 0 p33 = e 45 e 68 e 69 + e 70, δ 0 p13 = e 18+ e 29 e 31 e 32, δ 0 p34 = e 67+ e 69 + e 71 e 72, δ 0 p14 = e 15+ e 31 e 33, δ 0 p35 = e 72+ e 73 e 74 e 65, δ 0 p15 = e 34+ e 35 e 36 + e 33, δ 0 p36 = e 63+ e 74 + e 75 e 60, δ 0 p16 = e 32 e 34 + e 37 e 38, δ 0 p37 = e 56 e 59 + e 76, δ 0 p17 = e 30 e 37 + e 39 e 40, δ 0 p38 = e 54 e 75 e 76 + e 77, δ 0 p18 = e 28 e 39 + e 41 e 42, δ 0 p39 = e 52 e 73 e 77 + e 78, δ 0 p19 = e 26 e 41 e 43 + e 46, δ 0 p40 = e 50 e 71 e 78 + e 79, δ 0 p20 = e 23+ e 44 e 45 e 46, δ 0 p41 = e 47 e 70 e 79 elde edilir. δ 0 ın çekirdeğini bulalım. δ 0 ın tanımından δ 0 ( 41 i=0 k i p i )=k 0( e 0 e 1 e 2 )+k 1 (e 0 e 3 e 4 e 5 )+k 2 (e 3 e 6 e 7 e 8 ) +k 3 (e 6 e 9 e 10 e 11 )+ k 4 (e 9 e 12 e 13 ) +k 5 (e 12 + e 14 e 15 e 16 )+k 6 (e 10 e 14 + e 17 e 18 ) +k 7 (e 7 e 17 + e 19 e 20 )+ k 8 (e 4 e 19 + e 21 e 22 ) +k 9 (e 1 e 21 e 23 e 24 )+ k 10 (e 24 e 25 e 26 ) +k 11 (e 22 + e 25 e 27 e 28 )+k 12 (e 20 + e 27 e 29 e 30 ) +k 13 (e 18 + e 29 e 31 e 32 )+k 14 (e 15 + e 31 e 33 ) +k 15 (e 34 +e 35 e 36 +e 33 )+k 16 (e 32 e 34 +e 37 e 38 )

89 +k 17 (e 30 e 37 +e 39 e 40 )+k 18 (e 28 e 39 +e 41 e 42 ) +k 19 (e 26 e 41 e 43 +e 46 )+k 20 (e 23 +e 44 e 45 e 46 ) +k 21 (e 2 e 44 e 47 e 48 )+ k 22 (e 5 + e 48 e 49 e 50 ) +k 23 (e 8 + e 49 e 51 e 52 )+k 24 (e 11 e 53 e 54 +e 51 ) +k 25 (e 13 +e 53 e 55 e 56 )+k 26 (e 16 +e 55 e 57 e 35 ) +k 27 (e 57 e 58 + e 59 + e 60 )+ k 28 (e 36 + e 58 + e 61 ) +k 29 (e 38 e 61 + e 62 + e 63 )+k 30 (e 40 e 62 + e 64 + e 65 ) +k 31 (e 42 e 64 + e 66 + e 67 )+k 32 (e 43 e 66 + e 68 ) +k 33 (e 45 e 68 e 69 +e 70 )+k 34 ( e 67 +e 69 +e 71 e 72 ) +k 35 (e 72 +e 73 e 74 e 65 )+k 36 (e 63 + e 74 + e 75 e 60 ) +k 37 (e 56 e 59 + e 76 )+k 38 (e 54 e 75 e 76 + e 77 ) +k 39 (e 52 e 73 e 77 + e 78 )+k 40 (e 50 e 71 e 78 + e 79 ) +k 41 (e 47 e 70 e 79 ) olur. e 0 ( k 0 + k 1 )+ e 1 ( k 0 + k 9 )+ e 2 ( k 0 + k 21 )+e 3 ( k 1 + k 2 )+e 4 ( k 1 + k 8 ) +e 5 ( k 1 + k 22 )+e 6 ( k 2 + k 3 )+ e 7 ( k 2 + k 7 )+e 8 ( k 2 +k 23 ) +e 9 ( k 3 + k 4 )+e 10 ( k 3 +k 6 )+ e 11 ( k 3 +k 24 )+e 12 ( k 4 +k 5 ) +e 13 ( k 4 +k 25 )+e 14 (k 5 k 6 )+e 15 ( k 5 + k 14 )+e 16 ( k 5 +k 26 ) +e 17 ( k 7 +k 6 )+e 18 ( k 6 + k 13 )+e 19 (k 7 k 8 )+e 20 ( k 7 + k 12 ) +e 21 (k 8 k 9 )+ e 22 ( k 8 + k 11 )+ e 23 ( k 9 + k 20 )+ e 24 ( k 9 + k 10 ) +e 25 ( k 10 + k 11 )+ e 26 ( k 10 + k 19 )+ e 27 ( k 11 + k 12 )+ e 28 ( k 11 + k 18 ) +e 29 ( k 12 + k 13 )+e 30 ( k 12 + k 17 )+ e 31 ( k 13 + k 14 )+ e 32 ( k 13 + k 16 )

90 +e 33 ( k 14 + k 15 )+ e 34 (k 15 k 16 )+e 35 (k 15 k 26 )+ e 36 ( k 15 + k 28 ) +e 37 (k 16 k 17 )+ e 38 ( k 16 + k 29 )+ e 39 (k 17 k 18 )+e 40 ( k 17 + k 30 ) +e 41 (k 18 k 19 )+ e 42 ( k 18 + k 31 )+ e 43 ( k 19 + k 32 )+ e 44 (k 20 k 21 ) +e 45 ( k 20 + k 33 )+ e 46 (k 19 k 20 )+ e 47 ( k 21 + k 41 )+ e 48 ( k 21 + k 22 ) +e 49 ( k 22 + k 23 )+e 50 ( k 22 + k 40 )+ e 51 ( k 23 + k 24 )+ e 52 ( k 23 + k 39 ) +e 53 ( k 24 + k 25 )+ e 54 ( k 24 + k 38 )+e 55 ( k 25 + k 26 )+ e 56 ( k 25 + k 37 ) +e 57 ( k 26 + k 27 )+ e 58 ( k 27 + k 28 )+ e 59 (k 27 k 37 )+e 60 (k 27 k 36 ) +e 61 (k 28 k 29 )+ e 62 (k 29 k 30 )+ e 63 (k 29 k 36 )+ e 64 (k 30 k 31 ) +e 65 (k 30 k 35 )+ e 66 (k 31 k 32 )+ e 67 (k 31 k 34 )+ e 68 (k 32 k 33 ) +e 69 ( k 33 + k 34 )+e 70 (k 33 k 41 )+ e 71 (k 34 k 40 )+ e 72 ( k 34 + k 35 ) +e 73 (k 35 k 39 )+ e 74 ( k 35 + k 36 )+e 75 (k 36 k 38 )+e 76 (k 37 k 38 ) +e 77 (k 33 k 41 )+e 78 (k 39 k 40 )+e 79 (k 40 k 41 )=0, denklemi çözülürse k 0 = k 1 = k 2 = k 3 = k 4 = k 5 = k 6 = k 7 = k 8 = k 9 = k 10 = k 11 = k 12 = k 13 = k 14 = k 15 = k 16 = k 17 = k 18 = k 19 = k 20 = k 21 = k 22 = k 23 = k 24 = k 25 = k 26 = k 27 = k 28 = k 29 = k 30 = k 31 = k 32 = k 33 = k 34 = k 35 = k 36 = k 37 = k 38 = k 39 = k 40 = k 41 = k bulunur. Buradan sıfır boyutlu eşdevirlerin grubu Z 0,6 (MSS 6 MSS 6 )={k(p 0 + p 1 + p 2 + + p 40 + p 41 ) n Z} = Z olur. B 0,6 (MSS 6 MSS 6 ) ={0} olduğundan H 0,18 (MSS 6 MSS 6 ) = Z dir. Diğer taraftan B 1,6 (MSS 6 MSS 6 )={t 0 e 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 + t 3 e 3 + t 4 e 4 + t 5 e 5 + t 6 e 6

91 t 7 e 7 + t 8 e 8 + t 9 e 9 + t 10 e 10 + t 11 e 11 + t 12 e 12 + t 13 e 13 +(t 9 t 10 + t 12 )e 14 + t 14 e 15 + t 15 e 16 +(t 6 t 7 + t 10 )e 17 +t 16 e 18 +(t 3 t 4 + t 7 )e 19 + t 17 e 20 +(t 0 t 1 + t 4 )e 21 +t 18 e 22 + t 19 e 23 + t 20 e 24 +(t 0 t 1 + t 4 + t 18 t 20 )e 25 +t 21 e 26 +(t 3 t 4 + t 7 + t 17 t 18 )e 27 + t 22 e 28 +(t 6 t 7 + t 10 + t 16 t 17 )e 29 + t 23 e 30 +(t 9 t 10 + t 12 + t 14 t 16 )e 31 + t 24 e 32 + t 25 e 33 +(t 9 t 10 +t 12 +t 14 t 16 t 24 +t 25 )e 34 +(t 14 t 15 +t 25 )e 35 +t 25 e 36 +(t 6 t 7 + t 10 + t 16 t 17 t 23 + t 24 )e 37 +t 27 e 38 +(t 3 t 4 + t 7 + t 17 t 18 t 22 + t 23 )e 39 +t 28 e 40 +(t 0 t 1 + t 4 + t 18 t 20 t 21 + t 22 )e 41 +t 29 e 42 + t 30 e 43 +(t 1 t 2 + t 19 )e 44 + t 31 e 45 +( t 19 + t 20 + t 21 )e 46 + t 32 e 47 +(t 0 t 2 + t 5 )e 48 +(t 3 t 5 + t 8 )e 49 + t 33 e 50 +(t 6 t 8 + t 11 )e 51 + t 34 e 52 +(t 9 t 11 + t 13 )e 53 + t 35 e 54 +(t 12 t 13 + t 15 )e 55 + t 36 e 56 +t 37 e 57 +(t 14 t 15 + t 25 + t 26 t 37 )e 58 +(t 12 t 13 + t 15 t 36 + t 37 )e 59 + t 38 e 60 +( t 6 + t 9 t 10 + t 12 + t 14 t 24 + t 25 + t 26 t 27 )e 61 +(t 6 t 7 + t 10 + t 16 t 17 t 23 + t 24 + t 27 t 28 )e 62 +( t 9 + t 10 t 12 t 15 + t 16 + t 24 + t 27 t 37 + t 38 )e 63 +(t 3 t 4 + t 7 + t 17 t 18 t 22 + t 23 + t 28 t 29 )e 64 + t 39 e 65 +(t 0 t 1 + t 4 + t 18 t 20 t 21 + t 22 + t 29 t 30 )e 66

92 +t 40 e 67 +( t 19 + t 20 + t 21 + t 30 t 31 )e 68 +(t 0 t 1 + t 4 + t 18 t 19 + t 22 + t 29 t 31 t 40 )e 69 +(t 1 t 2 +t 19 +t 31 t 32 )e 70 +(t 4 t 5 +t 18 +t 19 +t 22 t 33 t 40 )e 71 +(t 3 t 4 + t 7 + t 17 t 18 t 22 + t 23 + t 28 t 29 t 39 + t 40 )e 72 +(t 7 t 8 + t 17 + t 23 + t 28 t 34 t 39 )e 73 +(t 6 t 7 + t 9 + t 12 + t 15 t 17 t 23 t 28 + t 37 t 38 + t 39 )e 74 +(t 9 t 11 +t 12 +t 15 t 35 +t 37 t 38 )e 75 +(t 9 t 11 +t 13 t 35 +t 36 )e 76 +(t 6 t 8 + t 11 t 34 + t 35 )e 77 +(t 3 t 5 + t 8 t 33 + t 34 )e 78 +(t 0 t 2 + t 5 t 19 + t 29 t 32 + t 33 )e 79 t i Z, i= 0,1,2,...,40} = Z 41 bulunur. Z 1,18 (MSS 6 MSS 6 )= = Z 80 olduğundan H 1,18 (MSS 6 MSS 6 ) = Z 39 elde edilir. Sonuç olarak Z, q=0 H q,6 (MSS 6 MSS 6 )= Z 39, q=1 0, q 2 dır. 4.1. Dijital Görüntülerin Relatif Kohomoloji Grupları Tanım 4.13 Bir (K,κ) dijital simpleksler kompleks, K 0, K nın alt kompleksi ve G bir abel grup olsun. p boyutlu relatif eşzincirlerin grubu

93 C p,κ (K,K 0 ; G)= Hom(C κ p(k,k 0 ), G) eşitliğiyle tanımlanır. Relatif eşsınır operatörü δ, relatif sınır operatörünün duali olarak tanımlanır: δ : C p,κ (K,K 0 ; G) C p+1,κ (K,K 0 ; G) Bu homomorfizmin çekirdeği Z p,κ (K,K 0 ; G), görüntüsü B p+1,κ (K,K 0 ; G) olmak üzere, bunlar sırasıyla relatif eşdevirler grubu ve relatif eşsınırlar grubu olarak adlandırılır. Buradan relatif kohomoloji grubu şeklinde tanımlanır. H p,κ (K,K 0 ; G)= Z p,κ (K,K 0 ; G)/B p,κ (K,K 0 ; G) C p,κ (K,K 0 ; G), C p,κ (K; G) nin alt grubu ve C p,κ (K; G) nin C p,κ (K 0 ; G) ye bölüm grubudur. Yani C p,κ (K,K 0 ; G)=C p,κ (K; G)/C p,κ (K 0 ; G) olarak yazılabilir. Bir relatif eşzincir C κ p(k,k 0 ) dan G ye bir homomorfizmdir. Bu homomorfizmlerin grubu C κ p(k 0 ) alt grubu üzerinde sıfırlanan C κ p(k) dan G ye tüm homomorfizmlerin grubuna karşılık gelir. Bu C κ p(k) dan G ye tüm homomorfizmlerin grubunun alt grubudur. Böylece C p,κ (K,K 0 ; G), K K 0 ile oluşturulan K nın eşzincirlerinin grubudur. Zincirler için 0 C κ i p(k 0 ) C κ j p(k) C κ p(k,k 0 ) 0 tam dizisi mevcuttur. Relatif zincir grupları serbest olduğu için bu dizi parçalanandır. Bu durumda 0 C p,κ ĩ j (K 0 ; G) C p,κ (K; G) C p,κ (K,K 0 ; G) 0 dizisi tam ve parçalanandır. j projeksiyon dönüşümünün duali j kapsama dönüşümü ve i kapsama dönüşümünün duali ĩ kısıtlama dönüşümüdür.

94 Şimdi simpleksler dönüşümüyle üretilen kohomoloji homomorfizmini ele alalım. f :(K,K 0 ) (L, L 0 ) bir simpleksler dönüşümü ise buna karşılık gelen zincir dönüşümü f : C κ p(k,k 0 ) C κ p(l, L 0 ) şeklindedir. f in duali eşzincirleri eşzincirlere dönüştürür. Genelde f ile gösterilir. f, ile değişmeli olduğundan, f dönüşümü δ ile değişmelidir. f = f denkleminin duali δ f = f δ denklemidir. Bu durumda f eşdevirleri eşdevirlere ve eşsınırları eşsınırlara taşır. f a eşzincir dönüşümü denir. Bu kohomoloji gruplarının f H p,κ (K,K 0 ; G) H p,κ (L, L 0 ; G) homomorfizmini üretir. Funktor özellikleri sağlanır. i birim ise i birim ve dolayısıyla i da birimdir. Benzer olarak (g f) = g f denklemi dual olarak (g f) = f g denklemini verir. Teorem 4.14 [27] K bir dijital simpleksler kompleks, K 0 alt kompleks olsun.... H p,κ (K 0 ; G) H p,κ (K; G) H p,κ (K,K 0 ; G) H p 1,κ (K 0 ; G)... tam dizisi mevcuttur. İspat: 0 C p 1,κ i (K,K 0 ) C p 1,κ (K) j C p 1,κ (K 0 ) 0 δ δ δ 0 C p,κ (K,K 0 ) i C p,κ (K) j C p,κ (K 0 ) 0 değişmeli diyagramını ele alalım.

95... H p 1,κ d (K 0 ) H p,κ i (K,K 0 ) j H p,κ (K) H p,κ (K 0 )... dizisinin tam olması için Im d=ker i, Im i =Ker j ve Im j =Ker d olmalıdır. 1) İlk olarak Im d=ker i olduğunu gösterelim. Burada d homomorfizminin yerine i 1 δj 1 homomorfizmini alalım. i (d(z + B ))=i (d(z )+ B )=i (i 1 δj 1 (z )+ B )=δ(j 1 (z ))+ B=B olduğundan Im d Ker i bulunur. z + B Ker i olsun. Bu durumda i (z + B )=i(z )+B=B olduğundan i(z )=δ(c) ve δ (j(c)) = j(δ(c))=j(i(z ))=0dır ve buradan j(c) Z olur. Dolayısıyla d(j(c)+b )=i 1 δj 1 (j(c)+b )=i 1 δ(c)+b = i 1 i(z )+ B = z + B dür. Böylece Ker i Im d elde edilir. 2) Şimdi Im i =Ker j olduğunu gösterelim. j (i (z + B ))=j (i(z )+B)= j(i(z ))+B = B olduğundan Im i Ker j bulunur. z+b Ker j olsun. Bu durumda j (z+ B)= j(z)+b = B olduğundan j(z)=δ (c ) ve j örten olduğundan c = j(c) dir. Dolayısıyla j(z)=δ (j(c))=j(δ(c)) ve j(z δc)=0dır. Tamlıktan c mevcuttur ve i(c )=z δ(c) dir. Buradan i (c + B )=i(c )+B=z δ(c)+b=z+b olur. Böylece Ker j Im i elde edilir. 3) Son olarak Im j =Ker d olduğunu gösterelim.

96 d(j (z+ B))=d(j(z)+B )=i 1 δj 1 (j(z)+b )=i 1 δ(z)+ B = B olduğundan Im j Ker d bulunur. z + B Ker d olsun. Bu durumda d(z + B )=d(z )+ B = i 1 δj 1 (z )+ B = B olduğundan x = i 1 δj 1 (z ) B ve x = δ (c ) dür. Dolayısıyla i(x )=i(δ (c ))=δ(i(c ))=δ(j 1 (z )) olur. Buradan δ(j 1 (z ) i(c ))=0ve j 1 (z ) i(c ) Zolduğundan j (j 1 (z ) i(c )+B)= j(j 1 (z )) j(i(c ))+ B = z + B bulunur. Böylece Ker d Im j elde edilir. Örnek 4.15 MSS 18 ={p 0=(1,1,0), p 1 =(0,2,0), p 2 =( 1,1,0), p 3 =(0,0,0), p 4 =(0,1, 1), p 5 =(0,1,1)} Z 3 dijital görüntüsünün alt uzayı olarak A={(0,1,1)} yı ele alalım. Teorem 4.14 ün yardımıyla H q,18 (MSS 18, A) yı hesaplayalım. A tek nokta kümesi olduğu için, Teorem 4.5 den elde edilir. Örnek 4.8 den, bulunur. Teorem 4.14 den, H q,18 (A)= { Z, q=0 0, q = 0 { H q,18 (MSS 18 Z, q=0,2 )= 0, q = 0,2... H q,18 (MSS 18, A) Hq,18 (MSS 18 ) Hq,18 (A) H q+1,18 (MSS 18, A)... tam dizisi elde edilir. Teorem 4.7 den H 0,18 (MSS 18, A) = Z olur.

97 δ 0 j i δ 1 0 Z Z Z H 1,18 (MSS 18, A) k 0 Birinci İzomorfizm Teoremi uygulandığında, H 1,18 (MSS 18, A)/Ker k = Im k olur. Dizinin tamlığından Im δ 1 =Ker k ve Im i =Ker δ 1 dir. i izomorfizm olduğundan, Ker i = 0 ve Im i = Z bulunur. Ker δ 1 = Z dir. Tekrar Birinci İzomorfizm Teoremi uygulanırsa, olduğundan Im δ 1 = 0=Ker k ve elde edilir. Böylece olur. Z/Kerδ 1 = Im δ 1 H 1,18 (MSS 18, A)=0 H q,18 (MSS 18, A)= { Z, q=0 0, q = 0 4.2. Eilenberg-Steenrod Aksiyomları Aksiyom 1 (Birimlilik aksiyomu) [10, 24] X, κ-yakınlıklı bir dijital görüntü olsun. i :(X,κ) (X,κ) birim fonksiyonu ise i : H,κ (X) H,κ (X) da birim fonksiyondur. Aksiyom 2 (Birleşmelilik aksiyomu) [10,24] X, Y ve Z sırasıyla κ 0, κ 1, κ 2 -yakınlıklı dijital görüntüler olsun. h :(X,κ 0 ) (Y,κ 1 ) ve k :(Y,κ 1 ) (Z,κ 2 ) dijital sürekli fonksiyonlar ise (k h) = h k dır. Aksiyom 3 (Değişmelilik aksiyomu) [10, 24] (X, A) ve (Y, B) sırasıyla κ 0 ve κ 1 -yakınlıklı dijital görüntü çiftleri olsun. f :(X, A) (Y, B) ise aşağıdaki diyagram değişmelidir.

98 f H q 1,κ 1 (Y, B) H q 1,κ 0 (X, A) δ ( f A ) δ H q,κ 1 (B) H q,κ 0 (A) Aksiyom 4 (Tamlık aksiyomu) [10, 24] i : A X ve p : X (X, A) kapsama dönüşümleri olmak üzere p... H q,κ (X, A) H q,κ i (X) H q,κ δ (A) H q+1,κ (X, A)... dizisi tamdır. Aksiyom 5 (Boyut aksiyomu) [1, 10, 24] X, κ-yakınlıklı tek noktalı uzay ise { H q,κ G, q=0 (X, G)= 0, q = 0 dır. Dijital görüntülerde homotopi ve excision aksiyomları sağlanmaz. Bu aksiyomların cebirsel topolojideki tanımlarını verelim. Homotopi Aksiyomu: [10,24] X ve Y topolojik uzaylar, h : X Y ve k : X Y dönüşümleri homotopik ise h = k dır. Excision Aksiyomu: [10,24] (X, A) ikilisi için U IntA olacak şekilde U, X in açık bir alt kümesi olsun. Bu durumda H q (X U, A U) = H q (X, A) izomorfizmi vardır. Önerme 4.16 [10] Dijital görüntülerde simpleksler kohomoloji için excision aksiyomu sağlanmaz.

İspat: 8-yakınlıklı X={p 0 =( 1,0), p 1 =(0, 1), p 2 =(1,0), p 3 =(0,1)} Z 2 dijital görüntüsünü ele alalım. 99 p 3 p 0 p 2 p 1 Şekil 4.3. X Teorem 4.6 dan H q,8 (X)= { Z, q=0,1 0, q = 0,1 dır. A={p 0 =( 1,0), p 1 =(0, 1), p 2 =(1,0)} ve U ={p 2 =(1,0)} olsun. A X, U A ve U IntA dır. H 1,8 (X U, A U) ve H 1,8 (X, A) yı hesaplayalım. { H q,κ (A)= H q,κ Z, q=0 (U)= 0, q>0 dır. p 0 p 2 p 2 p 1 Şekil 4.4. A ve U Aksiyom 4 den p... H q,8 (X, A) H q,8 i (X) H q,8 δ (A) H q+1,8 (X, A)... tam dizisi vardır. q>1için H q,κ (A)=0olduğundan

100 δ 0 p 0 H 0,8 i (X, A) δ 1 q Z Z H 1,8 k (X, A) Z 0 tam dizisi elde edilir. q epimorfizm olduğundan Im q = Z dir. Dizinin tamlığından Im δ 1 = Ker q ve Im i = Ker δ 1 bulunur. i izomorfizm olduğundan Im i = Z, dolayısıyla Ker δ 1 = Z olur. Buradan Im δ 1 = Ker q = 0 dır. Birinci İzomorfizm Teoreminden H 1,8 (X, A)/ Ker q = Im q olur ve H 1,8 (X, A)=Z elde edilir. Şimdi H 1,8 (X U, A U) yu belirleyelim. p 3 p 0 p 0 p 1 p 1 Şekil 4.5. X U ve A U X U ={p 0 =( 1,0), p 1 =(0, 1), p 3 =(0,1)} A U ={p 0 =( 1,0), p 1 =(0, 1)} olur. A U X U dur. X U ve A U nun simpleksler kohomoloji grupları dır. Aksiyom 4 den H q,κ (X U)= H q,κ (A U)= { Z, q=0 0, q>0... H q,κ i (X U, A U) j H q,κ (X U) H q,κ δ (A U)... tam dizisi vardır. q>0için H q,κ (X U)=0 olduğundan δ 0 0 H 0,8 i (X U, A U) j δ 1 Z Z H 1,8 k (X U, A U) 0

101 tam dizisi elde edilir. Dizinin tamlığından Im δ 1 = Ker k ve Im j = Ker δ 1 olur. j izomorfizm olduğundan Im j = Z = Ker δ 1 dir. Buradan Im δ 1 = 0 bulunur. Dolayısıyla Ker k = 0 dır. Birinci İzomorfizm Teoreminden H 1,8 (X U, A U)/Ker k = Im k olur ve H 1,8 (X U, A U)=0elde edilir. q=1için H q,8 (X, A) = H q,8 (X U, A U) olduğundan simpleksler kohomoloji için excision aksiyomu dijital görüntülerde sağlanmaz.

103 5. DİJİTAL GÖRÜNTÜLERDE KOHOMOLOJİ GRUPLARI ÜZERİNDE CUP ÇARPIMI Tanım 5.1 [9](X,κ) bir dijital simpleksler kompleks, R, değişmeli ve birimli bir halka olmak üzere R toplamsal grubunu göz önüne alalım. c p ve c q eşzincirlerin cup çarpımı, : C p,κ (X, R) C q,κ (X, R) C p+q,κ (X, R) < c p c q,[v 0,...,v p+q ]>=< c p,[v 0,...,v p ]>.<c q,[v p,...,v p+q ]> formülüyle tanımlanır. Burada v 0 <...< v p+q sıralamasıyla verilmiştir ve., R de çarpımdır. Teorem 5.2 [9] Dijital simpleksler cup çarpımı bilineerdir. İspat: α,α 1,α 2 H p,κ (X, G 1 ) ve β, β 1, β 2 H q,κ (X, G 2 ) için <(α 1 + α 2 ) β,[v 0,...,v p+q ]>=<(α 1 + α 2 ),[v 0,...,v p ]>.< β,[v p,...,v p+q ]> =(< α 1,[v 0,...,v p ]>+<α 2,[v 0,...,v p ]>).< β,[v p,...,v p+q ]> =< α 1,[v 0,...,v p ]>.< β,[v p,...,v p+q ]>+<α 2,[v 0,...,v p ]>.< β,[v p,...,v p+q ]> =< α 1 β,[v 0,...,v p+q ]>+<α 2 β,[v 0,...,v p+q ]> =< α 1 β+α 2 β,[v 0,...,v p+q ]> ve < α (β 1 + β 2 ),[v 0,...,v p+q ]>=< α,[v 0,...,v p ]>.<(β 1 + β 2 ),[v p,...,v p+q ]> =< α,[v 0,...,v p ]>.(< β 1,[v p,...,v p+q ]>+<β 2,[v p,...,v p+q ]>) =< α,[v 0,...,v p ]>.< β 1,[v p,...,v p+q ]>+<α,[v 0,...,v p ]>.< β 2,[v p,...,v p+q ]> =< α β 1,[v 0,...,v p+q ]>+<α β 2,[v 0,...,v p+q ]> =< α β 1 + α β 2,[v 0,...,v p+q ]> Bu durumda (α 1 + α 2 ) β=α 1 β+α 2 β ve α (β 1 + β 2 )=α β 1 + α β 2 elde edilir.

104 Teorem 5.3 [9] c p, c q eşzincirleri ve δ eşsınır operatörü için δ(c p c q )=δc p c q +( 1) p c p δc q dur. İspat: δc p c q ve( 1) p c p δc q dijital simpleksler eşzincirlerin [v 0,...,v p+q+1 ] üzerindeki değerleri sırasıyla ve ( 1) i c p [v 0,..., v i,...,v p+1 ] c q [ v p+1,...,v p+q+1 ] (1) 0 i p+1 ( 1) p p i p+q+1 ( 1) i p c p [v 0,...,v p ]c q [v p,..., v i,...,v p+q+1 ] (2) bulunur. (1) ve (2) ifadelerini topladığımızda (1) in son terimiyle (2) nin ilk terimi birbirine eşit ve zıt işaretli olduğundan toplamdan çıkarılır. Diğer terimlerin toplamı, δ(c p c q ) dijital simpleksler eşzincirinin[v 0,...,v p+q+1 ] üzerindeki değerine eşittir. Teorem 5.4 [9] (X, κ) bir dijital simpleksler kompleks olsun. Dijital simpleksler eşzincirler üzerinde cup çarpımı birleşmelidir, yani (c p c q ) c r = c p (c q c r ) dir. 1 X ile verilen dijital simpleksler eşzincir birim elemandır, yani 1 X c p = c p 1 X = c p dir. İspat: c p H p,κ (X, G 1 ), c q H q,κ (X, G 2 ) ve c r H r,κ (X, G 3 ) olsun. <(c p c q ) c r,[v 0,...,v p+q+r ]>=<(c p c q ),[v 0,...,v p+q ]>.<c r,[v p+q,...,v p+q+r ]> =(< c p,[v 0,...,v p ]>.<c q,[v p,...,v p+q ]>).< c r,[v p+q,...,v p+q+r ]> =< c p,[v 0,...,v p ]>.(< c q,[v p,...,v p+q ]>.<c r,[v p+q,...,v p+q+r ]>)

105 =< c p,[v 0,...,v p ]>.(< c q c r,[v p,...,v p+q+r ]>) =< c p (c q c r ),[v 0,...,v p+q+r ]> Diğer taraftan < 1 X c p,[v 0,...,v p ]>=< 1 X,[v 0,...,v p ]>.<c p,[v 0,...,v p ]> =< c p,[v 0,...,v p ]> ve < c p 1 X,[v 0,...,v p ]>=< c p,[v 0,...,v p ]>.< 1 X,[v 0,...,v p ]> elde edilir. =< c p,[v 0,...,v p ]> Teorem 5.5 [9] c p H p,κ (X, G 1 ) ve c q H q,κ (X, G 2 ) dijital eşdevirler ise c p c q =( 1) pq c q c p dir. İspat: < c p c q,[v 0,...,v p+q ]>=< c p,[v 0,...,v p ]>.< c q,[v p,...,v p+q ]> ve < c q c p,[v p+q,...,v 0 ]>=< c q,[v p+q,...,v p ]>.<c p,[v p,...,v 0 ]> elde edilir. [v r,...,v 0 ]=( 1) r(r+1)/2 [v 0,...,v r ] olduğundan (p+q)(p+q+1) p(p+ 1) q(q+1)=2pq olur. Böylece ispat tamamlanır. Teorem 5.6 (X,κ 1 ) Z n 1 ve(y,κ 2 ) Z n 2 dijital görüntüler olsun. f :(X,κ 1 ) (Y,κ 2 ) dijital sürekli bir dönüşüm ve c p H p,κ (X, G 1 ) ve c q H q,κ (X, G 2 ) dijital eşdevirler ise f (c p c q )= f (c p ) f (c q ) dur.

106 İspat: < f (c p c q ),[v 0,...,v p+q ]>=< c p c q,[ f(v 0 ),..., f(v p+q )]> =< c p,[ f(v 0 ),..., f(v p )]>.<c q,[ f(v p ),..., f(v p+q )]> =< f (c p ),[v 0,...,v p ]>.< f (c q ),[v p,...,v p+q ]> elde edilir. =< f (c p ) f (c q ),[v 0,...,v p+q ]> Tanım 5.7 (X,κ) bir dijital simpleksler kompleks olsun. H,κ (X; R)= H i,κ (X; R) grubu cup çarpımıyla birimli bir halka olur. Buna X in dijital simpleksler kohomoloji halkası denir. 5.1. Dijital Görüntülerde Kohomoloji Halkası Örnek 5.8 MSS 18 nü ele alalım. MSS 18 nün noktalarını ve simplekslerini 3.21 deki gibi alalım. Simpleksler kompleksinin 1-eşdevirleri ω=e0 + e 1 + e 2 + e 3, z= e2 + e 4 e 5 + e 6, α= e3 + e 7 e 8 + e 9, β= e0 e 4 e 7 + e 10, γ= e1 + e 5 + e 8 + e 11, δ= e6 e 9 e 10 e 11 şeklinde olur. ω z,[c 2 c 4 c 1 ] = ω,[c 2 c 4 ]. z,[c 4 c 1 ] =1.1=1, ω α,[c 2 c 5 c 1 ] = ω,[c 2 c 5 ]. α,[c 5 c 1 ] =1.1=1,

107 c 5 c 5 c 5 c 3 c 2 c 1 c 3 c 2 c 1 c 1 c 0 c 0 c 3 c 0 c 2 c 4 c 5 Şekil 5.1. ω eşdevri, z eşdevri ve α eşdevri c 4 c 5 c 4 c 5 c 3 c 2 c 1 c 3 c 2 c 1 c 1 c 0 c 0 c 3 c 0 c 2 c 4 Şekil 5.2. β eşdevri, γ eşdevri ve δ eşdevri c 4 c 4 ω β,[c 2 c 4 c 1 ] = ω,[c 2 c 5 ]. β,[c 5 c 1 ] =1. 1= 1, ω γ,[c 2 c 3 c 4 ] = ω,[c 2 c 3 ]. γ,[c 3 c 4 ] =1.1=1, ω δ,[c 2 c 4 c 1 ] = ω,[c 2 c 4 ]. δ,[c 4 c 1 ] =1.0=0, ω ω,[c 2 c 4 c 1 ] = ω,[c 2 c 4 ]. ω,[c 4 c 1 ] =1.0=0. Benzer şekilde diğer eşdevirlerin cup çarpımı alınarak aşağıdaki tablo elde edilir. ω z α β γ δ ω 0 1 1 1 1 0 z 0 1 0 1 0 1 α 0 0 1 1 0 1 β 0 0 0 1 0 1 γ 0 1 1 0 1 1 δ 0 0 0 0 0 0 Örnek 5.9 MSS 18 i ele alalım. MSS 18 in noktalarını ve simplekslerini Teorem 3.22 deki gibi alalım.

108 Simpleksler kompleksinin 1-eşdevirleri şeklinde olur. x=e 0 + e 1 + e 7 + e 6, a=e 13 + e 15 + e 18 + e 19, y=e 0 + e 5 + e 3 + e 9, b=e 16 + e 17 e 19 + e 12, z=e 2 e 3 + e 6 e 7, c=e 14 + e 15 + e 16 + e 12, r=e 1 e 2 e 5 + e 9, d=e 14 e 17 + e 19 e 16, w=e 0 + e 1 + e 3 e 2, e=e 14 + e 15 e 17 + e 19, k=e 1 e 5 + e 6, f = e 14 e 13 + e 12, l = e 3 e 7 + e 9, g=e 15 + e 13 + e 16, u=e 0 + e 5 + e 7, h=e 17 + e 12 + e 18, v=e 2 + e 6 + e 9, i = e 19 e 16 + e 18 c 9 c 9 c 9 c 0 c 5 c 1 c 0 c 0 c 5 c 1 c 5 c 1 c 6 c 6 c 6 Şekil 5.3. x eşdevri, y eşdevri ve z eşdevri c 9 c 9 c 9 c 0 c 5 c 1 c 0 c 5 c 1 c 0 c 5 c 1 c 6 c 6 c 6 Şekil 5.4. r eşdevri, ω eşdevri ve k eşdevri c 9 c 9 c 9 c 0 c 5 c 1 c 0 c 5 c 1 c 0 c 5 c 1 c 6 c 6 c 6 Şekil 5.5. l eşdevri, u eşdevri ve v eşdevri x x,[c 5 c 0 c 9 ] = x,[c 5 c 0 ]. x,[c 0 c 9 ] =0.1=0,

109 x y,[c 0 c 9 c 1 ] = x,[c 0 c 9 ]. y,[c 9 c 1 ] =1.1=1, x z,[c 0 c 9 c 1 ] = x,[c 0 c 9 ]. z,[c 9 c 1 ] =1.0=0, x r,[c 0 c 9 c 1 ] = x,[c 0 c 9 ]. r,[c 9 c 1 ] =1. 1= 1, x w,[c 5 c 0 c 6 ] = x,[c 5 c 0 ]. w,[c 0 c 6 ] =0.1=0, x k,[c 0 c 9 c 1 ] = x,[c 0 c 9 ]. k,[c 9 c 1 ] =1. 1= 1, x l,[c 5 c 0 c 6 ] = x,[c 5 c 0 ]. l,[c 0 c 6 ] =0.1=0, x u,[c 0 c 9 c 1 ] = x,[c 0 c 9 ]. u,[c 9 c 1 ] =1.1=1, x v,[c 0 c 9 c 1 ] = x,[c 0 c 9 ]. v,[c 9 c 1 ] =1.0=0. Benzer şekilde diğer eşdevirlerin cup çarpımı alınarak aşağıdaki tablo elde edilir. x y z r w k l u v x 0 1 0 1 0 1 0 1 0 y 1 0 1 0 0 0 1 1 0 z 1 1 1 1 1 1 1 1 0 r 1 1 1 1 1 1 1 1 0 w 1 1 1 1 1 1 1 1 0 k 0 1 0 1 0 1 0 1 0 l 1 0 1 0 0 0 1 1 0 u 0 0 0 0 0 0 0 0 0 v 1 1 1 1 1 1 1 0 0 5.2. Dijital Görüntülerde Kohomoloji Cebri Tanım 5.10 i I, M i modül ise M= M i graded modüldür. M graded modülü için Φ : M M M homomorfizması varsa M graded cebirdir denir. Teorem 5.11 (X,κ) dijital simpleksler kompleksi için H,κ (X, G), çarpımı cup çarpımı olan bir graded G-cebirdir.

110 İspat: H,κ (X, G) nin bir graded G-modül olduğunu gösterelim. Bunun için H,κ (X, G)= H q,κ (X, G) olmak üzere H q,κ (X, G) nin bir G-modül olduğu gösterilmelidir. Burada G bir değişmeli halka, H q,κ (X, G) bir halkadır. α,α 1,α 2 H q,κ (X, G) ve g, g 1, g 2,1 G için G H q,κ (X, G) H q,κ (X, G), (g,α) g.α skaler çarpımı g.(α 1 + α 2 )=g.α 1 + g.α 2 (g 1 + g 2 ).α= g 1.α+g 2.α (g 1.g 2 ).α= g 1.(g 2.α) 1.α=α koşullarını sağladığından H q,κ (X, G) bir G-modüldür. Dolayısıyla H,κ (X, G) bir graded G-modül olur. Bu durumda H,κ (X, G), : H q,κ (X, G) H p,κ (X, G) H q+p,κ (X, G) cup çarpımıyla bir graded G-cebirdir. Teorem 5.12 Her x S 2 için g( x)= g(x) olacak şekilde sürekli bir g : S 2 S 1 dönüşümü yoktur. İspat: S 1 de p 0 = p 4, p 1 = p 5, p 2 = p 6 ve p 3 = p 7 dir. S 2 de c 0 = c 25 c 7 = c 18 c 1 = c 24 c 8 = c 17 c 2 = c 23 c 9 = c 16 c 3 = c 22 c 10 = c 15 c 4 = c 21 c 11 = c 14 c 5 = c 20 c 12 = c 13 c 6 = c 19

111 c 2 c 3 c 8 c 7 c 4 c 1 c 0 c 5 c 6 c 11 c 10 c 9 p c 0 13 c 12 c 15 c 14 c 16 c 19 p 1 c 20 c 25 p 7 p 6 p 5 c 18 c 21 c 24 c 17 c 22 c 23 p 2 p 3 p 4 Şekil 5.6. S 2 ve S 1 olur. g : S 2 S 1 dönüşümünü g(c 0 )= p 0 g(c 9 )= p 5 g(c 18 )= p 2 g(c 1 )= p 0 g(c 10 )= p 5 g(c 19 )= p 2 g(c 2 )= p 0 g(c 11 )= p 1 g(c 20 )= p 3 g(c 3 )= p 7 g(c 12 )= p 1 g(c 21 )= p 3 g(c 4 )= p 7 g(c 13 )= p 5 g(c 22 )= p 3 g(c 5 )= p 7 g(c 14 )= p 5 g(c 23 )= p 4 g(c 6 )= p 6 g(c 15 )= p 1 g(c 24 )= p 4 g(c 7 )= p 6 g(c 16 )= p 1 g(c 25 )= p 4 g(c 8 )= p 6 g(c 17 )= p 2 şeklinde tanımlayalım. Buna göre g : S 2 S 1 fonksiyonunda her x S 2 için g( x) = g(x) koşulu sağlanmış olur. Fakat bu fonksiyon sürekli değildir. c 10,c 11 S 2 birbirine 6-yakın olmasına rağmen g(c 10 )= p 5 ile g(c 11 )= p 1 birbirine 4-yakın değildir. Her x S 2 için g( x)= g(x) olacak şekilde sürekli bir fonksiyon tanımlanamaz. Teorem 5.13 (Borsuk-Ulam) n=1,2 için f : S n Z n sürekli dönüşümü verilsin. f(x)= f( x) olacak şekilde x S n mevcuttur. İspat: Böyle bir x olmadığını kabul edelim. g : S 2 S 1 dönüşümü g(x)= f(x) f( x) f(x) f( x) olarak alınırsa g( x) = g(x) olur. Bir önceki teoremden çelişki elde edilir. f(x)= f( x) olacak şekilde x S n mevcuttur.

112 Örnek 5.14 f : S 1 Z sürekli dönüşümünü tanımlayalım. p 0 ( 1,1) p 7 (0,1) p 6 (1,1) p 1 ( 1,0) p 5 (1,0) p 2 ( 1, 1) p 4 (1, 1) p 3 (0, 1) Şekil 5.7. S 1 S 1 de p 0 = p 4, p 1 = p 5, p 2 = p 6, p 3 = p 7 dir. f : S 1 Z dönüşümünü f(p 0 )= f(p 4 )=0 f(p 1 )= f(p 5 )=1 f(p 2 )= f(p 6 )=1 f(p 3 )= f(p 7 )=0 sürekli bir dönüşümdür.

113 5.3. Sonuç Bu çalışmada cebirsel topolojideki bazı özelliklerin dijital versiyonları bulunmaya çalışıldı. İlk olarak dijital topolojinin temel kavramları verilerek, dijital temel grubun nasıl oluşturulduğu ifade edildi. Sonra dijital simpleksler homoloji grubu tanımlanarak, çeşitli dijital görüntülerin homoloji grupları belirlendi. Ayrıca Euler karakteristiği, relatif homoloji grupları ve homoloji için Eilenberg-Steenrod aksiyomlarıyla ilgili çeşitli sonuçlara ulaşıldı. Daha sonra dijital kohomoloji tanımlanarak, bazı dijital yüzeylerin dijital kohomoloji grupları hesaplandı. Dijital kohomoloji için de relatif gruplar ve Eilenberg-Steenrod aksiyomları ifade edildi. Son olarak dijital simpleksler cup çarpımının tanımı verilerek, cup çarpımı yardımıyla MSS 18 ve MSS 18 yüzeylerinin dijital kohomoloji halkaları belirlendi ve H,κ (X, G) nin cup çarpımıyla bir graded G-cebir olduğu gösterildi. Bundan sonraki aşamada ulaşılan sonuçlar kullanılarak, dijital kohomoloji operatörleri tanımlanabilir.

115 KAYNAKLAR [1] Arslan, H., Karaca, I., Oztel, A. 2008. Homology groups of n-dimensional digital images XXI. Turkish National Mathematics Symposium, B1-13, Turkey. [2] Boxer, L. 1994. Digitally continuous functions. Pattern Recognition Letters, 15: 833-839. [3] Boxer, L. 1999. A classical construction for the digital fundamental group. Journal of Mathematical Imaging and Vision, 10: 51-62. [4] Boxer, L. 2005. Properties of digital homotopy. Journal of Mathematical Imaging and Vision, 22: 19-26. [5] Boxer, L. 2006. Homotopy properties of sphere-like digital images. Journal of Mathematical Imaging and Vision, 24: 167-175. [6] Boxer, L. 2006. Digital products, wedges, and covering spaces. Journal of Mathematical Imaging and Vision, 25: 159-171. [7] Boxer, L., Karaca, I., Oztel, A. 2011. Topological Invariants in Digital Images. Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications, 11(2): 109-140. [8] Unver Demir, E., Karaca, I. 2013. Simplicial Homology Groups of certain digital surfaces. Preprint. [9] Ege, O., Karaca, I. 2013. Cohomology theory for digital images. Romanian Journal of Information Science and Technology, 16(1): 10-28. [10] Ege, O., Karaca, I. 2013. Fundamental Properties of Digital Simplicial Homology Groups. American Journal of Computer Technology and Application, 1(2): 25-42. [11] Ege, O., Karaca, I. 2013. Lefschetz fixed point theorem for digital images. Fixed Point Theory and Applications, 1: 253. [12] Gonzalez-Diaz, R., Real, P. 2005. On the cohomology of 3D digital images. Discrete Applied Mathematics, 147: 245-263. [13] Gonzalez-Diaz, R., Jimenez, M.J., Medrano, B. 2011. Cubical cohomology ring of 3D photographs. International Journal of Imaging Systems and Technology, 21(1):765.

117 [14] Gonzalez-Diaz, R., Lamar, J., Umble, R. 2011. Cup products on polyhedral approximations of 3D digital images. Combinatorial Image Analysis, 6636: 107-119. [15] Han, S.E. 2006. Connected sum of digital closed surfaces. Information Sciences, 176: 332-348. [16] Han, S.E. 2007. The fundamental group of a closed k-surface. Information Sciences, 177: 3731-3748. [17] Hatcher, A. 2002. Algebraic Topology. Cambridge University Press, 550s, Cambridge. [18] Herman, G.T. 1993. Oriented surfaces in digital spaces. CVGIP: Graphical Models and Image Processing, 55: 381-396. [19] Kaczynski, T., Mrozek, M. 2013. The cubical cohomology ring: an algoritmic approach. Foundations of Computational Mathematics, 13:789-818. [20] Karaca, I., Ege, O. 2012. Some results on simplicial homology groups of 2D digital images. International Journal of Information and Computer Science, 1(8): 198-203. [21] Kong, T.Y. 1989. A digital fundamental group. Computers and Graphics, 13: 159-166. [22] Kopperman, R., Meyer, R., Wilson, R.G. 1991. A Jordan surface theorem for three-dimensional digital spaces. Discrete and Computational Geometry, 6: 155-161. [23] Malgouyres, R., Bertrand, G. 1999. A new local property of strong n-surfaces. Pattern Recognition Letters, 20: 417-428. [24] Munkres, J.R. 1984. Elements of Algebraic Topology. Perseus Books Publishing, 452s, Cambridge. [25] Rosenfeld, A. 1979. Digital Topology. American Mathematical Monthly, 86: 76-87. [26] Rosenfeld, A. 1986. Continuous functions on digital images. Pattern Recognition Letters, 4: 177-184. [27] Rotman, J.J. 1998. An Introduction to Algebraic Topology. Springer-Verlag, 433s, New York. [28] Prasolov, V.V. 2007. Elements of Homology Theory. American Mathematical Society, 418s, Providence.

[29] Spanier, E. 1966. Algebraic Topology. McGraw-Hill, 528s, New York. 119

121 KİŞİSEL BİLGİLER ÖZ GEÇMİŞ Adı Soyadı : Gülseli BURAK Doğum Yeri ve Tarihi : Denizli, 26.10.1979 EĞİTİM DURUMU Lisans Öğrenimi : Pamukkale Üniversitesi Fen-Edebiyat Fak., Matematik Böl. Yüksek Lisans Öğrenimi : Pamukkale Üniversitesi Fen-Edebiyat Fak., Matematik Böl. Bildiği Yabancı Diller : İngilizce BİLİMSEL FAALİYETLERİ a) Yayınlar -SCI : Karaca, İ., Burak, G. 2013. Simplicial Relative Cohomology Rings of Digital Images. Applied Mathematics and Information Sciences -Diğer b) Bildiriler -Uluslararası : Relative Cohomology Rings of Digital Images, International Conference on Applied Analysis and Mathematical Modelling (ICAAMM 2013) Simplicial Cohomology Rings of Digital Images, II. International Eurasian Conference on Mathematical Sciences and Applications (IECMSA 2013) -Ulusal c) Katıldığı Projeler : Dijital Kohomoloji Grupları, BAP, 2013 İŞ DENEYİMİ Çalıştığı Kurumlar ve Yıl : Pamukkale Üniversitesi, : Fen-Edebiyat Fak. Matematik Böl. 2003 -... İLETİŞİM E-posta Adresi : germez@pau.edu.tr Tarih :