Çarpanlar ve Katlar Föyü KAZANIMLAR

1 Çarpanlar ve Katlar Föyü KAZANIMLAR Verilen pozitif sayıların pozitif tam sayı çarpanlarını bulur, pozitif tam sayıların pozitif tam sayı çarpanlarını üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazar. İki doğal sayının EBOBunu ve EKOK unu hesaplar, ilgili problemleri çözer. Verilen iki doğal sayınn aralarında asal olup olmadığını belirler. 1

01 8. SINIF MATEMATiK ÇARPANLAR VE KATLAR Hatırlatma! BÖLÜNEBİLME KURALLARI 2 Birler bas. çift olması gerekir. 3 Rakamları toplamı 3 ün katı olması gerekir. 4 Son iki bas. 4 ün katı olması gerekir. 5 Birler bas. 0 veya 5 olması gerekir. 6 2 ve 3 e bölünmesi gerekir. 9 Rakamları toplamı 9 un katı olması gerekir. d) Asal Çarpan Kavramı: a) Bölen listesi b) Çarpan ağacı a) Bölen listesi: 24 32 45 66 a) Çarpan Kavramı: 30,,,,.,,, Ör: Aşağıdaki sayıların asal çarpanlarına ayrılmış hali verilmiştir. Buna göre, harfe karşılık gelen sayıları bulunuz. 300=2 a.3 b.5 c 64=2 a b) Bölen Kavramı: 30,,,,.,,, c) Kat Kavramı: 30,,,,.,,,. 140=2 a.3 b.5 c. 7 d 72=2 a.3 b.5 c Asal sayı: 1 ve kendisinden başka hiçbir sayma sayısı ile bölünemeyen 1 den büyük doğal sayılara asal sayı denir. 2 en küçük ve çift olan asal sayıdır. 2

Ör: Aşağıda bazı doğal sayıların çarpanlara ayrılışı bölen listesiyle verilmiştir. Buna göre, A yı bulunuz. A 2 A 2 B 2 B 3 C 3 C 3 D 5 D 3 1 E 3 1 Ör: Aşağıda çarpan ağacında boş bırakılan yerleri doldurunuz. A 2 B 2 15 3 C b) Çarpan Ağacı: 24 K 2 L 3 M 5 7 PROBLEMLER 1) En küçük asal sayı ile iki basamaklı en büyük asal sayının toplamını bulunuz. Ör: Aşağıdaki sayıları çarpan ağacından yararlanarak çarpanlarına ayırınız. 48 2) A3 iki basamaklı doğal sayısı asal sayı olduğuna göre, A nın alabileceği dğerleri toplamını bulunuz. 90 3) 30 sayısının kaç tane çarpanı vardır? 3

4) 42 sayısının asal olmayan kaç tane çarpanı vardır? EBOB(En Büyük Ortak Bölen) A ve B sayıların en büyük ortak böleni EBOB(A,B) veya (A,B) ebob şeklinde ifade edilir. Ebob da bölen listesinde ortak olan bölenler işaretlenip çarpılır. ÖR: Aşağıda verilen sayıların EBOB larını bulunuz. 5) 42 sayısının kaç tane asal çarpanı vardır? 12 15 EBOB(12,15)= 6) 42 sayısının 100 e kadar kaç tane katı vardır? 24 36 7) Kenar uzunlukları tam sayı olan bir dikdörtgenin alanı 42 cm 2 dir. Buna göre kaç farklı dikdörtgen çizilebilir? EBOB(24,36)= 8) İki basamaklı kaç tane asal sayı vardır? 30 90 EBOB(30,90)= not: ÖR: Aşağıda verilenlere göre, EBOB(A,B) bulunuz. A B 2 C D 2 E F 3 EBOB(A,B)= G F 5 1 1 4

A B 2 A C 2 A D 3 EBOB(A,B)= EBOB İLE İLGİLİ PROBLEMLER Problem de büyük parçadan küçük parçayı istiyorsa EBOB hesaplanır. E F 3 1 H 5 1 1) 24 36 42,, ifadelerini doğal sayı yapan A sayısının en büyük tam sayı değerini A A A bulunuz. A B 2 C D 3 C E 3 EBOB(A,B)= C F 5 1 1 ÖR: Aşağıda çarpanlarına ayrılmış sayıların EBOB larını bulunuz. 5 A 2.5 4 2 B 2.3.5 EBOB(A,B)= 2) Bir çifçide 20kg arpa ve 24kg buğday vardır. Bu ürünler birbirine karıştırılmadan eşit kütlede olacak şekilde tartılarak paketlenecektir. Paket sayısının en az olması için bir paketin kaç kg olması gerekir? 2 3 K 2.3.7 L 2.3.5 3 2 3 EBOB(K,L)= 2 R 3.5.7 3 4 5 S 2.5.11 EBOB(R,S)= 3) Bir çifçide 20kg arpa ve 24kg buğday vardır. Bu ürünler birbirine karıştırılmadan eşit kütlede olacak şekilde tartılarak paketlenecektir. Buna göre, en az kaç paket gerekir? Asal çarpanları verilmiş sayıların EBOB u bulunurken, sadece ortak çarpanlardan üssü küçük olanlar alınıp, çarpılır. 5

4) Bir turist kafilesinde 20 Türk, 24 Alman vatandaşı vardır. Aynı ülkenin vatandaşları eşit kapasiteli odalarda kalacaklardır. Buna göre, en az kaç odaya ihtiyaç vardır? EKOK ( En Küçük Ortak Kat) A ve B sayılarının en küçük ortak katı EKOK(A,B) veya (A,B) ekok şeklinde ifade edilir. EKOK bölen listesinde tüm bölenleri çarparak bulunur. ÖR: Aşağıda verilen sayıların EKOK larını bulunuz. 5) Kenar uzunlukları 20m ve 24m olan dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın etrafına köşelerede dikilmek şartıyla eşit aralıklarla ağaçlar dikilecektir. Buna göre, en az kaç ağaca ihtiyaç olduğunu bulunuz. 30 36 EKOK(30,36)= 6) 24 ve A sayılarının ortak böleni 6 olduğuna göre en küçük A sayısı kaçtır? 14 50 7) 24 ve A sayılarının ortak böleni 6 olduğuna göre en küçük 3 basamaklı A sayısı kaçtır? EKOK(14,50)= not: 56 70 EKOK(56,70)= 6

ÖR: Aşağıda verilene göre A ve B sayıların EKOK larını bulunuz. A B 2 EKOK İLE İLGİLİ PROBLEMLER Problem de küçük parçadan büyük parçayı istiyorsa EKOK hesaplanır. C D 2 EKOK(A,B)= E F 3 G F 5 1 1 A B 2 A C 2 A D 3 EKOK(A,B)= E F 5 G 1 7 1 1) A A A,, ifadelerini doğal sayı yapan A 12 16 18 sayısının en küçük tam sayı değerini bulunuz. ÖR: Aşağıda çarpanlarına ayrılmış sayıların EKOK larını bulunuz. 5 A 2.5 B 2.3.5 4 2 2 EKOK(A,B)= 2) Naim 20 günde bir, Kaan 24 günde bir nöbet bir nöbet tutmaktadır. Buna göre birlikte nöbet tuttuktan en az kaç gün sonra tekrar birlikte nöbet tutacaklarını bulunuz. K 2.3.5 3 4 2 5 2 L 2.3.5 EKOK(K,L)= 2 4 R 3.5.7 2 1 S 2.3.11 EKOK(R,S)= 3) Naim 20 günde bir, Kaan 24 günde bir nöbet bir nöbet tutmaktadır. İlk nöbetlerini Salı günü tuttuklarına göre, bir daha ki ortak nöbetlerini hangi gün tutarlar? Asal çarpanları verilmiş sayıların EKOK unu bulunurken, ortak olan çarpanların üssü büyük olanı ve ortak olmayanlarda aynen alınır. 7

4) Bir vazoda çicekler 20 şerli ve 24 erli gruplandırılıyor. Buna göre, vazo da en az kaç adet çicek vardır? 8) 5 ile bölündüğünde 3, 9 ile bölündüğünde 7 kalanını veren en küçük doğal sayıyı bulunuz. 9) 110 sayısına en az kaç eklediğinde 20 ve 24 ile tam bölünür? 5) Bir vazoda çicekler 20 şerli ve 24 erli gruplandırdığında her defasında 2 çicek artmaktadır. Buna göre, vazo da en az kaç adet çicek vardır? 10) 6 ile A tam sayılarının en küçük ortak katı 150 olduğuna göre A nın alabileceği değerlerin toplamını bulunuz. 6) Bir vazoda çicekler 20 şerli ve 24 erli gruplandırdığında her defasında 2 çicek artmaktadır. Vazodaki çiceklerin sayısı 300 ile 400 arasında olduğuna göre, vazodaki çicek sayısını bulunuz. not: 7) 5,6 ve 9 a bölündüğünde her seferinde 3 kalanını veren en küçük doğal sayıyı bulunuz. 8

Aralarında Asal Sayı Olma: Sayılarının arasında 1 den başka ortak böleni olmayan sayı grupları aralarında asal sayılardır. Aralarında asal olması için sayıların asal olmasına gerek yoktur. 1 ile bütün sayma sayıları aralarında asaldır. Ardışık sayma sayıları aralarında asaldırlar. 1) Aralarında asal A ve B iki doğal sayının çarpımları 42 olduğuna göre, EBOB(A,B) + EKOK(A,B) bulunuz. ÖR: Aşağıda verilen sayı çiftlerinde aralarında asal olanları belirleyiniz. 2 ile 5 4 ile 9 12 ile 15 51 ile 60 2) Aralarında asal olan iki doğal sayının EBOB ve EKOK ları toplamı 53 ise, bu sayıların çarpımı kaçtır? 20 ile 105 7 ile 19 24 ile 107 3 ile 98 ÖR: 12 sayısı ile 3A iki basamaklı doğal sayıların aralarında asal olduğuna göre, A nın alabileceği değerleri bulunuz. 3) A ile B aralarında asal sayılardır. EBOB(A,B) + EKOK(A,B)=43 ise A nın alabileceği değerleri bulunuz. EBOB ve EKOK un GENEL ÖZELLİKLERİ A.B=(a,b) ebob.(a,b) ekok Aralarında asal iki doğal sayı, 4) A ile B aralarında asal sayılardır. A 24 = olduğuna göre, A+B kaçtır? B 36 EBOB(A,B)=1 EKOK(A,B)=A.B ÖR: Aşağıda verilen sayılar EBOB ve EKOK unu bulunuz. EBOB(7,11)= not: EKOK(7,11)= EBOB(6,11)= EKOK(6,11)= EBOB(4,9)= EKOK(4,9)= 9

TEST 1) Aşağıdakilerden hangisi 270 sayısının çarpanlarından değildir? A) 2 C) 3 B) 5 D) 7 8) 48 sayısının kaç tane asal çarpanı vardır? A) 1 C) 2 B) 3 D) 5 2) 18 sayısının kaç tane pozitif çarpanı vardır? A) 3 C) 4 B) 5 D) 6 9) 162 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 2.3 4 B) 2.3 4 C) 3 5 D) 2 3.3 3 3) 30 sayısının kaç tane asal çarpanı vardır? A) 1 C) 2 B) 3 D) 8 10) 2 2.3.5 şeklinde asal çarpanlarına ayrılan doğal sayı kaçtır? 4) Aşağıdakilerden hangisi asal sayı değildir? A) 19 C) 56 B) 60 D) 120 A) 2 C) 19 B) 41 D) 91 5) Bir basamaklı en büyük asal sayı ile iki basamaklı en büyük asal sayının toplamı kaçtır? A) 99 C) 101 B) 104 D) 106 11) 240=2 a.3 b.5 c şeklinde asal çarpanlarına ayrılan sayıya göre, a+b-c kaçtır? A) 4 C) 5 B) 6 D) 6 6) A1 iki basamaklı asal sayı olmak üzere, A nın alabileceği değerleri toplamı kaçtır? A) 21 C) 25 B) 30 D) 20 12) Aşağıdakilerden hangisi 3 den fazla asal çarpanı vardır? 7) 15 in 100 e kadar kaç tane katı vardır? A) 3 C) 5 B) 6 D) 8 A) 64 C) 210 B) 30 D) 256 10

13) A 2 Yanda A doğal sayısının asal çarpan B 2 bölen listesi verilmiştir. C 3 Buna göre,a sayısı aşağıdakilerden D 5 hangisidir? 1 A) 12 C) 20 B) 30 D) 60 18) 1A iki basamaklı bir sayıdır. 1A ile 24 sayıları aralarında asal sayılardır. Buna göre, A nın alabileceği kaç değer vardır? A) 4 C) 5 B) 6 D) 7 14) 48 ile 60 sayılarının en büyük ortak böleni kaçtır? A) 4 C) 6 B) 12 D) 24 19) A ile B sayıları aralarında asal sayılardır. Buna göre, A ile B sayılarının en büyük ortak böleni kaçtır? A) 0 C) 1 B) 2 D) 3 15) 30 ile 45 sayılarının en küçük ortak katı kaçtır? A) 15 C) 30 B) 60 D) 90 20) A ile B sayıları aralarında asal sayılardır ve A.B=30 dur. Buna göre, EBOB(A,B)+EKOK(A,B) sonucu kaçtır? A) 15 C) 30 B) 20 D) 31 16) 30 ile 45 sayılarının 200 den küçük en büyük ortak katı kaçtır? A) 90 C) 120 B) 180 D) 199 21) A ile B sayıları aralarında asal sayılardır. EKOK(A,B)=24 ise A+B ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 10 C) 14 B) 24 D) 25 17) Aşağıdaki sayılardan hangisi 15 ile aralarında asaldır? A) 12 C) 49 B) 24 D) 35 22) A ile B sayıları aralarında asal sayılardır. EKOK(A,B)=24 ise A+B ifadesinin alabileceği kaç farklı değer vardır? A) 1 C) 2 B) 3 D) 4 11

23) EBOB(7,15)+EKOK(8,11) ifadesinin sonucu kaçtır? 27) 2 4 K 2.3.5 3 L 2.3.7 ifadesine göre, EKOK(K,L) kaçtır? A) 41 C) 45 B) 89 D) 90 A) 2 3.3 4.5.7 B) 2 2.3.5.7 C) 5.7 D) 2 3.3 4 24) A ile A kesirlerini doğal sayı yapan en küçük A 6 10 doğal sayısı kaçtır? A) 30 C) 36 B) 40 D) 60 28) A B 2 A ile B sayılarının bölen C D 2 listesiyle asal çarpanlarına C E 3 ayrılmıştır. Buna göre, F E 5 EBOB(A,B) kaçtır? 1 E 7 1 A) 2 C) 4 B) 6 D) 10 25) 6 ile 10 kesirlerini doğal sayı yapan en büyük A A A doğal sayısı kaçtır? A) 60 C) 30 B) 2 D) 1 29) 90 sayısına en az kaç eklediğinde 20 ve 25 e tam bölünür? A) 10 C) 100 B) 75 D) 15 26) 2 4 K 2.3.5 3 L 2.3.7 ifadesine göre, EBOB(K,L) kaçtır? 30) 50 ifadesi doğal sayı olduğuna göre, A nın A alabileceği kaç farklı doğal sayı vardır? A) 2 2 B) 2 3.3 4 C) 5.7 D) 2 2.3 A) 2 C) 4 B) 6 D) 8 12

31) 36 litre vişne suyu ve 42 litre portakal suyu birbirine karıştırılmadan ve artmadan eş şiselere konulacaktır. Buna göre, en az kaç şise gerekir? A) 13 C) 12 B) 6 D) 42 35) Kerem elindeki papatyaları 12 şerli ve 18 erli ayırdığında her seferinde 5 papatyası artmaktadır. Buna göre, Kerem in elinde en az kaç papatyası vardır? A) 6 C) 72 B) 41 D) 53 32) Efe elindeki çicekleri 6 şar veya 10 ar sayabilmektedir. Buna göre, Efe nin çicek sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 2 C) 90 B) 155 D) 16 36) Kenar uzunlukları 42 m ve 54 m olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin etrafına köşelerede dikilmek şartıyla eşit aralıklarla aydınlatma direkleri dikilecektir. Buna göre, bahçenin etrafına kaç direk dikilir? A) 14 C) 26 B) 6 D) 32 33) İki doktor sırasıyla 8 günde ve 12 günde bir nöbet tutmaktadır. İki doktor birlikte ilk nöbetlerini Salı günü tuttuklarına göre, bir daha ki nöbetlerini beraber hangi gün tutarlar? A) Salı C) Çarşamba B) Perşembe D) Cuma 37) Ziya öğretmen sınıfındaki öğrencileri 5 er ve 6 şar gruplandırabilmektedir. Buna göre, sınıfta kaç öğrenci olabilir? A) 45 C) 50 B) 60 D) 125 34) Bir turist kafilesinde 28 Alman, 49 Fransız turist vardır. Aynı ülkenin turistleri aynı odada kalması şartıyla en az kaç odaya ihtiyaç vardır? A) 7 C) 4 B) 11 D) 28 38) Bir A doğal sayısı 5 e ve 7 ye bölündüğünde 3 kalanını veren en küçük doğal sayı değerini kaçtır? A) 35 C) 38 B) 32 D) 13 13

39) Bir A doğal sayısı 5 e bölündüğünde 3 kalanını, 7 ye bölündüğünde 5 kalanı verdiğine göre, A nın alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 33 C) 35 B) 37 D) 43 42) Cvdr tur bir otele 24 İngiliz turist, 30 Arap turist götürmüştür. Aynı ülkenin vatandaşları aynı odada eşit sayıda kalacaklardır. Bir odanın fiyatı 100TL olduğuna göre, cvdr tur otele toplam oda ücreti olarak en az kaç TL ödeyecektir? A) 600 C) 800 B) 900 D) 1000 40) Cvdr Turizmin Çorum dan Ankara ya iki farklı seferi vardır. Seferlerden biri 10 saatte bir, diğeri 12 saatte bir seferi vardır. Pazartesi 21:00 da birlikte hareket eden otobüsler tekrar hangi gün saatte kaçta birlikte hareket eder? A) Perşembe 09:00 B) Perşembe 21:00 C) Çarşamba 09:00 D) Çarşamba 21:00 43) x ile y aralarında asal sayılardır. x 48 = olduğuna göre x-y aşağıdakilerden y 15 hangisidir? A) 21 C) 63 B) 11 D) 33 41) Birbirini çeviren iki dişli çarktan birinde 16 diş diğerinde 18 diş bulunmaktadır. Bu çarklar birlikte dönmeye başladıktan sonra tekrar aynı konuma gelene kadar küçük dişli çark kaç dönüş yapar? A) 9 C) 144 B) 8 D) 17 A 3 44) (A,B) EBOB =8 ve = olduğuna göre B 5 aşağıdakilerden hangisidir? A) 8 C) 16 B) 64 D) 80 A+B 14

45) A ve x pozitif tam sayılardır. x x A = + olduğuna göre A nın alabileceği en 6 8 küçük değer aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 C) 7 B) 6 D) 24 49) 354 sayısına en az kaç eklenirse elde edilen sayı 4,5 ve 6 sayılarına tam bölünür? A) 54 C) 6 B) 66 D) 4 46) A ile B aralarında asal sayılardır. 4 2 A = 2.3.x 4 B = 5.y olduğuna göre x ve y aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) x=7 ve y=11 2 B) x=13 2 ve y=25 2 C) x=25 4 ve y=7 2 D) x=19 ve y=5 2 50) a ve b doğal sayılardır. a.b=72 ve (a,b) ebob =3 olduğuna göre a+b kaçtır? A) 27 C) 17 B) 38 D) 73 47) (A,12) EKOK =12 olduğuna göre, A kaç farklı değer alır? A) 4 C) 5 B) 12 D) 6 48) a-1 ile b+2 aralarında asal doğal sayılardır. a - 1 12 = olduğuna göre a.b aşağıdakilerden b + 2 28 hangisidir? A) 40 C) 200 B) 28 D) 20 51) 120 metrelik daire şeklindeki pistte iki arkadaştan biri dakikada 15m,diğeri dakikada 20m yol almaktadır. Aynı noktadan başlayan iki arkadaş kaç dakika sonra tekrar bir araya gelirler? A) 60 C) 30 B) 45 D) 24 15

52) A ile B aralarında asal sayılardır. x y A = 2.3 k m n B = 3.5.7 Yukarıda A ve B sayılarının asal çarpanları verilmiştir. x,y,k,m ve n birbirinden farklı doğal sayılar olduğuna göre A+B en az kaçtır? 55) A ve B pozitif tam sayılardır. EBOB(A,B)=12 olduğuna göre A veya B aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) 144 C) 36 B) 22 D) 12 A) 607 C) 957 B) 1254 D) 4724 53) Bir arsa aşağıdaki şekildeki gibi dikdörtgensel bölgelere ayrılmıştır. 56) K bir pozitif tam sayıdır. (K,30) EKOK =30.K olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi K olabilir? 6 m 2 8 m 2 14 m 2 A) 6 C) 25 B) 18 D) 49 20 m 2 50 m 2 Yukarıda dikdörtgensel bölgelerin alanları verildiğine göre, arsanın çevresinin uzunluğu aşağıdakilerden hangisidir? A) 198 C) 102 B) 98 D) 42 57) K ve 96 sayılarının en büyük ortak böleni 8 olduğuna göre iki basamaklı en büyük K sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 40 C) 72 B) 88 D) 99 54) 12m ve 16m uzunluğunda bulunan iki demir çubuğu Ali usta ikisinide eşit uzunlukta hiç parça artmayacak şekilde parçalara ayıracaktır. Buna göre Ali usta kaç kesim yapmıştır? A) 4 C) 5 B) 6 D) 7 16