ÇARPANLAR VE KATLAR ÖRNEK. 8 Sayılar ve İşlemler. 2 x x 2 x 6. 2 x 2 x 2 x 9

Transkript

1 ÇARPANLAR VE KATLAR POZİTİF TAM SAYILARIN ÇARPANLARI Her pozitif tam sayı, iki doğal sayının çarpımı olarak yazılabilir. Bu iki doğal sayıdan her birine o sayının çarpanı denir. Bir sayının çarpanı aynı zamanda o sayının kalansız bölenidir. sayısının çarpanlarını çarpan ağacı oluşturarak bulalım..... Yukarıdaki çarpan ağacına göre ün çarpanları,,,,,, ve tür. sayısının sekiz tane pozitif çarpanı vardır. Bu çarpanların her biri ü kalansız böler. Pozitif Tam Sayıların Asal Çarpanları Pozitif bir tam sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için asal çarpan algoritması yöntemi kullanılır. Bu yöntemde pozitif tam sayı, en küçük asal sayıdan başlanarak sürekli asal sayılara bölünür. Bölüm olana kadar bölme işlemi devam ettirilir. den büyük, ve kendisinden başka sayma sayısı böleni olmayan doğal sayılara asal sayılar denir. A = {,,,,,...} kümesine asal sayılar kümesi denir. Asal sayılar kümesinde den başka çift doğal sayı yoktur. sayısını asal çarpanlarına ayıralım. Çarpan Ağacı Asal Çarpan Algoritması ( : = ) ( : = ) ( : = ) ( : = ) ( : = ) sayısının asal çarpanları ve olur. sayısının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazımı =.... olur. sayısının üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazımı =. olur. ÖRNEK 0 sayısı, asal sayıların çarpımı şeklinde nasıl yazılır? Çözüm: sayısının asal çarpanları, ve olur. 0 sayısının asal sayıların çarpımı şeklinde yazımı 0 =... =.. olur. Sayılar ve İşlemler

2 ÇARPANLAR VE KATLAR EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN İki veya daha fazla doğal sayının (sıfırdan farklı) ortak bölenlerinin en büyüğüne en büyük ortak bölen denir. Kısaca EBOB diye yazılır. ve sayılarının en büyük ortak böleni kaçtır?. yol : ve sayılarının bölenlerini yazalım. in bölenleri :,,,,, ün bölenleri :,,,,,,, ve ün ortak bölenleri :,,, olup ortak bölenlerinin en büyüğü dır.. yol : ve sayılarının en büyük ortak bölenini asal çarpanlar algoritması kullanarak bulalım. Bu yöntemde sayılar en küçük asal sayıdan başlanarak bölünür, her iki sayıyı birlikte bölen asal sayılar işaretlenir. İşaretlenen asal sayıların çarpımı EBOB u verir. ve sayılarını bölüyor. ve sayılarını bölüyor. ÖRNEK EBOB (, ) =. =, ve sayılarının en büyük ortak böleni kaçtır? Çözüm:, ve sayılarını bölüyor., ve sayılarını bölüyor., ve sayılarını bölüyor. EBOB (,, ) =.. = ÖRNEK 0 ve litrelik iki farklı yağ birbiriyle karıştırılmadan eşit hacimli kaplara konulacaktır. a) Kapların hacmi en fazla kaç litre olmalıdır? b) Bu iş için en az kaç tane kap gereklidir? Çözüm: Verilen yağların en büyük ve eşit hacimli kaplara konulması isteniyor. Bu durumda sayıların EBOB ları bulunur. 0 a) Her bir kap litrelik olmalıdır. 0 b) (0 : ) + ( : ) = + = kap gereklidir. EBOB (0, ) =. = Sayılar ve İşlemler

3 ÇARPANLAR VE KATLAR EN KÜÇÜK ORTAK KAT İki veya daha fazla doğal sayının (sıfırdan farklı) ortak katlarının en küçüğüne en küçük ortak kat denir. Kısaca EKOK diye yazılır. ve sayılarının en küçük ortak katı kaçtır?. yol : ve sayılarının katlarını yazalım. nin katları :,,,, 0,,,, 0, 0,,,,, 0,... in katları :,,,, 0, 0,,,, 0,... ve in ortak katları :,, 0,, 0... olup ortak katlarının en küçüğü dır.. yol : ve sayılarının en küçük ortak katını asal çarpanlar algoritması kullanarak bulalım. Bu yöntemde sayılar en küçük asal sayıdan başlanarak bölünür, bulunan bütün asal sayıların çarpımı EKOK u verir. EKOK (, ) =. = ÖRNEK Aynı hastanede çalışan iki doktordan biri günde bir, diğeri ise 0 günde bir nöbet tutmaktadır. Bu iki doktor aynı gün nöbet tuttuktan kaç gün sonra tekrar birlikte nöbet tutar? Çözüm: Bu iki sayının EKOK u bulunmalıdır. 0 EKOK (, 0) =. = 0 Doktorlar 0 gün sonra tekrar birlikte nöbet tutarlar. ve sayılarının EKOK ve EBOB unu bulalım. EKOK (, ) =.. = 0 EBOB (, ) = A ve B sıfırdan farklı doğal sayı olmak üzere A. B = EKOK(A, B). EBOB(A, B) dir. ARALARINDA ASAL SAYILAR İki veya daha fazla doğal sayının den başka ortak böleni yoksa bu sayılara aralarında asal sayılar denir. 0 ve sayılarının EBOB ve EKOK larını bulalım. 0 EKOK (0, ) =... = 0 0 ve sayıları aralarında asal olduğundan EKOK (0, ) = 0. = 0 dur. Bu sayıların den başka ortak bölenleri olmadığından EBOB (0, ) = olur. Aralarında asal olan iki sayının EKOK u bu sayıların çarpımına eşittir, EBOB u ise dir. 0 Sayılar ve İşlemler

4 Alıştırma : Asal Çarpanlar A Verilen sayıların çarpanlarına göre çarpan ağaçlarını tamamlayın B Verilen sayıların asal çarpanlarını bulun ve verilen sayıları üslü ifade veya üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazın =.... = =... =... = =... =... 0 = =... 0 =... Sayılar ve İşlemler

5 Alıştırma : EBOB - EKOK Aşağıda verilen sayı gruplarının EBOB ve EKOK larını bulun. 0 EBOB (, ) =.... = EKOK (, ) =.... = EBOB (, 0) =... EKOK (, 0) =... EBOB (, ) =... EKOK (, ) =... 0 EBOB (, ) =... EKOK (, ) =... EBOB (0, ) =... EKOK (0, ) =... EBOB (, ) =... EKOK (, ) = EBOB (,, ) =... EKOK (,, ) =... EBOB (0, 0, 0) =... EKOK (0, 0, 0) =... EBOB (,, ) =... EKOK (,, ) = EBOB (, 0, 0) =... EKOK (, 0, 0) =... EBOB (,, ) =... EKOK (,, ) =... EBOB (,, ) =... EKOK (,, ) =... Sayılar ve İşlemler

6 Alıştırma : EBOB - EKOK Problemleri. Boyutlarý cm, cm ve cm olan dikdörtgenler prizmasý þeklindeki bir kutu içine eþit büyüklükte en az kaç küp yerleþtirilir? Çözüm: Büyük bir bütünün içine daha küçük parçalar yerleþtirileceðinden soru EBOB ile çözülür. EBOB(,, ) =. = Bulduðumuz EBOB, küplerin bir ayrýtýdýr. Dikdörtgenler prizmasýnýn hacmi tane küple dolsun... =... = bulunur.. Boyutları cm, 0 cm ve cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki kutular, küp şeklindeki bir koliye hiç boşluk kalmayacak şekilde yerleştirilmek isteniyor. a) Kolinin bir kenar uzunluğu en az kaç santimetre olmalıdır?. Burcu hasta olduðu için kullandýðý üç hapý, ve 0 saat arayla almaktadýr. Haplarý birlikte aldýktan kaç saat sonra üç hapý da üçüncü kez birlikte alýr? Çözüm: 0 EKOK (,, 0) =.. = 0 Bulduðumuz EKOK, haplarýn kaç saatte bir tekrar birlikte alýndýðýna karþýlýk gelir. 0 saat sonra üç hap ilk kez birlikte alýnýr. Buna göre 0. = 0 saat sonra üç hap, üçüncü kez birlikte alýnýr.. Bir fabrikada dk, 0 dk ve dk aralıklarla çalan üç zil vardır. a) Bu üç zil aynı anda çaldıktan en az kaç dakika sonra tekrar aynı anda çalar? b) Bu üç zil saat 0.0 da aynı anda çaldıktan sonra ilk kez saat kaçta tekrar birlikte çalar? b) Kolinin içine en az kaç tane kutu yerleştirilebilir? Sayılar ve İşlemler

7 Alıştırma : EBOB - EKOK Problemleri. Kenarlarý m, 0 m ve 0 m uzunluðunda olan üçgen þeklindeki bir arsanýn etrafýna köþelere de dikmek koþuluyla eþit aralýklarla en az kaç aðaç dikilir? Çözüm: Bir öðretmen kalemlerini beþerli daðýttýðýnda dört, altýþarlý daðýttýðýnda beþ, yediþerli daðýttýðýnda ise kalem artýyor. Kalem sayýsý 00 ile 00 arasýnda olduðuna göre kaç kalem vardýr? Çözüm: EKOK (,, ) =.. = 0 Kalem sayýsý 00 ile 00 arasýnda ise EKOK un katlarý bulunur. 0. = 0 0 = kalem vardýr. EBOB (, 0, 0) =. = Bulduðumuz EBOB, iki aðaç arasýnda alýnabilecek en büyük mesafedir. En az aðaç dikmek için iki aðaç arasýndaki mesafe en fazla olmalýdýr. (:)+(0:)+(0:)=++= aðaç. Bir gruptaki izciler 0 arlı, şerli ve erli sıra olduğunda her seferinde izci sıranın dışında kalıyor. a) Bu gruptaki izci sayısı en az kaçtır?. Kenar uzunlukları 0 m ve 00 m olan dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın etrafına eşit aralıklarla (köşelere de yerleştirilmek koşuluyla) direkler dikilecektir. Bu iş için en az kaç direk gerekir? b) Gruptaki izci sayısı 00 den fazla ise bu sayı en az kaçtır?. Dikdörtgensel bölge şeklindeki bir balkonun tabanının kenar uzunlukları m ve, m dir. Bu balkonun tabanı karesel bölge şeklindeki karolarla kaplanmak isteniyor. Buna göre en az kaç karo kullanılmalıdır? Sayılar ve İşlemler

8 Alıştırma : EBOB - EKOK Problemleri 0. Kýsa kenarý 0 cm, uzun kenarý cm olan dikdörtgen þeklindeki fayanslardan en az kaç tanesi bir araya getirilerek bir kare oluþturulur?. Kenar uzunluklarý m ve m olan dikdörtgen þeklindeki bir levhadan eþit büyüklükte en az kaç kare parça elde edilir?. m ve 0 m uzunluğundaki iki ayrı top kumaş her bir parça eşit uzunlukta olacak şekilde kesiliyor. Bu işlem sonunda en az kaç parça kumaş elde edilir?. Esin in elinde 00 tane oyun kartý vardýr. Esin in kaç oyun kartý daha olsaydý kartlarýný erli, erli ve þerli gruplayabilirdi?. Kenar uzunlukları cm ve cm olan bir dikdörtgen içerisine hiç boşluk kalmayacak şekilde en az kaç eş kare çizilebilir?. Boyutlarý m ve 0 m olan dikdörtgen biçimindeki tarlanýn kenarlarýna köþelere de gelecek þekilde eþit aralýklarla en az kaç aðaç dikilir? Sayılar ve İşlemler

9 ÜNİTE SAYILAR VE İŞLEMLER BÖLÜM: Çarpanlar ve Katlar s. Alıştırma: Asal Çarpanlar A B 00 0 = =.... =... = =.... =... 0 = = =..... Yanıt Anahtarı

10 s. Alıştırma: EBOB - EKOK 0 0 EBOB (, 0) =... EKOK (, 0) =.....=0 EBOB (, ) =.... = EKOK (, ) =....= EBOB (, ) =....= EKOK (, ) =.... = 0 EBOB (0, ) =....= EKOK (0, ) =.....=0 EBOB (, ) =... = EKOK (, ) =....= EBOB (,, ) =....= EKOK (,, ) =.... = EBOB (, 0, 0) =.=... EKOK (, 0, 0) =.....= EBOB (0, 0, 0) =.=0... EKOK (0, 0, 0) =.....=0 EBOB (,, ) =... = EKOK (,, ) =... = EBOB (,, ) =....= EKOK (,, ) =.... = EBOB (,, ) =... = EKOK (,, ) =... = s. - Alıştırma: EBOB - EKOK Problemleri. a) EKOK(, 0, ) = 0 cm b) =. 0.. = 00 EBOB(0, 00) = 0 m Dikdörtgenin çevresi =. (0 + 00) = 00 m 00 : 0 = direk. a) EKOK(, 0, ) = 0 dk b) 0 dk = saat 0 dk =.00. m = 00 cm, = 0 cm EBOB(00, 0) = = = 0 Yanıt Anahtarı