TEMEL MATEMATİĞE GİRİŞ - Matematik Kültürü - 5

Transkript

1 1 14 ve 1 sayılarına tam bölünebilen üç basamaklı kaç farklı doğal sayı vardır? x = 14.a = 1b x= ekok(14, 1 ).k, (k pozitif tamsayı) x = 4.k x in üç basamaklı değerleri istendiğinden k =, 4, 5, 6, 7,, değerlerini alır. X in alabileceği değerler 1 tanedir. a,b ve c birer pozitif tam sayı olmak üzere A =5a+ = 7b+5 = 8c+6 olduğuna göre ; A nın alabileceği en küçük değer kaçtır? A =5a+ = 7b+5 = 8c+6 eşitliğin her tarafına eklersek A+ =5(a+1) = 7(b+1) = 8(c+1) A+ =ekok(5,7, 8 ) A+ = 80.k Anın alabileceği en küçük değer için k= 1 alınırsa A+ = 80 A= 78 ebob u 8 olan doğal sayını toplamı 96 dır. Buna göre, büyük olanın birbirinden farklı kaç değeri vardır? Soruda verilen iki sayının ebob u 8 ise, birisine 8k, diğerine 8m diyebiliriz. 8k + 8m = 96 8k + 8m = 'i 8'in katı şeklinde öyle iki farklı değerlere ayırmalıyız ki, k ve m sayılarının ebob u 1 olsun ve 8k ve 8m toplamı da 96 olsun. Buna göre, 1.8 = = = = = Buna göre büyük olan sayımızın birbirinden farklı 5 değeri vardır. (11.8, 9.8, 8.8, 7.8, 6.8)

2 48 kilo elma, 54 kilo armut, 60 kilo muz birbirine karıştırılmadan boş kasalara konulacaktır.her kasaya aynı miktarda meyve konacağına göre en az kaç kasa gereklidir? Meyveler birbirine karışmayacakmış ve bize en az kaç kasa gerektiğini soruyor, buna göre bu sayıların ebob unu alıp sayıların her birini bulduğumuz ebob değerine bölersek cevap bulunur. ebob(48, 54, 60)= 6 48/6 + 54/6 + 60/6= = 7 aranılan şartlarda kasa gereklidir. Eni 10 boyu 140 m olandiktörtgen biçimindeki tarlanın;kenarlarına ve köşelerine eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. Bu işlem için en az kaç ağaç gereklidir? Soruda da 10 ve 140'ı Aynı Şekil Ortak Bölen En Büyük Sayı 0'ye Böldüğünde 6 ve 7 kalıyor. 1x=6 dır aranılan özellikte en az ağaç sayısıdır obeb(x;y)=8 olduğuna göre ; x en az kaçtır? Sayının obebi 8 ise bu iki sayıya 8k ve 8m diyebiliriz. k ile m'in eşit olamayacağını, yani sayıların birbirinden farklı olamayacağını bildiren bir ifade olmadığı için, k=m=1 diyebiliriz.bu durumda x= 8 olacağı aşikardır. (a/b)=(5/7) ve ebob(a,b)=1 ise a+b toplamı kaçtır? Yukarıda verdiğimiz son özelliğe göre, a ve b sayıları ebob un bir katı olmalıdır. a=5 ve b=7 seçtiğimiz zaman a=5.ebob(a,b)=5.1=60 b=7.ebob(a,b)=7.1=84 ise a+b=144 olur.

3 Ebob u 8 olan farklı iki sayının toplamı en az kaçtır? Ebobu 8 olan sayılar 8 in katları şeklinde ifade edilebilir, 8 in katlarını yazalım 8,16,4,.. şeklindedir. Soruda bizden toplamın en az olması gerektiğini söylemiş o halde 8 ve 16 yı seçersek toplamları 4 olur Ortak katlarının en küçüğü 10 olan farklı iki sayının toplamı en çok kaçtır? Ekoku 10 olan sayıları söylüyor aslında. Katı 10 olan sayılara bakalım 10,60,40,0,4,0 şeklindedir. Bize toplamın en çok olmasını söylemiş o halde 10 ve 60 sayılarını seçtiğimizde toplam en çok olur =180 bulunur. Ortak katlarının en küçüğü 80 olan iki sayının toplamı en az kaçtır? 80 sayısını asal çarpanlarına ayırdığımızda 80=...5 olur, burada ilk sayıyı...=16 ve ikinci sayıyı 5 seçtğimizde en az toplamı elde ederiz. Yani; 16+5=1 bulunur. x ve y birer tam sayıdır. x+y=7 olduğuna göre x ve y sayılarının ortak katlarının en küçüğü en fazla kaçtır? x+y=7 verilmiş seçeceğimiz x sayıları aralarında asal olursa çarpımları ekokları olur ve en büyük olur x=5, x=7 seçtiğimiz zaman ekok(5,5)=5.7=195 olur. Toplamları 19 olan A ve B doğal sayılarının en küçük ortak katı 60 tır. Buna göre, A B farkı kaçtır? A+B=19 ve ekok(a,b)=60 verilmiş, A=15 ve B=4 olduğunda bu şartı sağlar A-B =11 bulunur.

4 4 A ile B ardışık çift doğal sayılardır. EKOK(A,B)=64 olduğuna göre, A+B toplamı kaçtır? A=k B=k+ olsun. (k ve k+1 sayıları asal sayılar olmak üzere) ebob(a,b)= ekok(a,b).ebob(a,b)=a.b=k.(k+) ekok=k.(k+)=64 k=11 olur A=, B=4 A+B=46 bulunur. Ortak katların en küçüğü 0 olan farklı iki sayının toplamı en çok kaçtır? Sayılardan büyük olanı okek'e yani 0'a eşittir. Küçük olan ise 0'u bölen en büyük sayıdır. Yani 15'dir = 45 olur. Toplamları 6 olan a ve b pozitif tamsayılarının en küçük ortak katı 105 tir. Buna göre, a - b kaçtır? a + b= 6 ve okek (a, b) = 105 olduğuna göre bu koşula uyan a ve b sayıları a = 1, b = 5 tir. a-b = 1-5 = 16 dır. x, y, z pozitif tam sayılar ebob(x,y)=4 ebob(y,z)=5 olduğuna göre, x+y+z toplamı en az kaç olabilir? Y hem 4ün hem 5in katı olduğu için y en az 0 olur. X=4 alınır z de 5 alınır. Toplamları 9 olur.

5 5 A ve B pozitif tam sayılar A.B=16 ebob(a,b)=6 olduğuna göre A+B toplamının en küçük değeri kaçtır? A=6m B=6n A.B=6mn=16 mn=6 m= ve n= A+B=6(m+n)=6.(+)=0 ekokları 60 olan iki pozitif tamsayının farklarının mutlak değeri en az kaç olabilir? Aralarında asal sayıları alınacaktır. 60=1.5 A=1, B=5 bu durumda A+B= 1+5=17 x ve y birbirinden farklı pozitif tamsayılardır. ekok(x,y)=84 olduğuna göre, x+y en büyük değeri kaçtır? x=84 alırız. En büyük değerini istediği için y de 4 olur. x+y en büyük değeri 16 olur. A ve B doğal sayı için; En büyük ortak katları ile en küçük ortak katların çarpımı ; x -x en küçük ortak katları ; x -x+1 olduğuna göre; en büyük ortak katı kaçtır? ebob(a,b).ekok(a,b)=x -x x -x+1.ebob(a,b)=x -x x-1.ebob(a,b)= x-1 ebob(a,b)= x - 1