Mikroişlemcilerde Aritmetik Mikroişlemcide Matematiksel Modelleme Mikroişlemcilerde aritmetik işlemler (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) bu iş için tasarlanmış bütünleşik devrelerle yapılır. Bilindiği gibi, her sayı istenen her tabana göre yazılabilir ve her aritmetik işlem seçilen her tabana göre yapılabilir. Bilgisayarda işlemler için 2 tabanının seçilme nedeni, 2 tabanına göre temsilin devrelere en uygun olmasıdır. Çünkü bir devrede akım varsa onu 1 ile, akım yoksa 0 ile göstermek işin pratiğini kolaylaştırır. Aslında, günümüz bilgisayarları çalışırken bir devrede ya 12 Voltluk akım ya da 5 Voltluk akım bulunur. Devrede 12V akım varsa o devreyi 1 ile gösteriyoruz. Devrede 5V akım varsa o devreyi 0 ile gösteriyoruz. Böylece bilgisayarın işlem yapan bütünleşik devreleri ile sayıların 2 tabanlı aritmetik sistemle temsili arasında bire-bir bir bağıntı kurulur. Bu bağıntı, matematiksel modellemenin en önemli uygulamalarından birisidir. Çünkü bu modelleme, bilgisayarın bütünleşik devrelerini 2 tabanlı aritmetik sistem ile temsil etme olanağını sağlar. Böylece, 2 tabanlı aritmetiğin sağlamlığı ve güvenirliği bilgisayar sistemlerine taşınmış olur. Sayma Aritmetiğin Temelidir İlkokuldaki aritmetik bilgilerinizi anımsayınız. Birer birer artan yönde saymayı biliyorsanız toplamayı biliyorsunuz demektir. Çünkü toplama işlemi artan yönde saymanın kısa yoludur. Eğer toplama işlemini biliyorsanız çarpma işlemini biliyorsunuz demektir. Çünkü çarpma işlemi toplamanın kısa yoludur. Benzer olarak, birer bire azalan sırada saymayı biliyorsanız çıkarma işlemini biliyorsunuz demektir. Çünkü çıkarma işlemi azalan yönde saymanın kısa yoludur. Eğer çıkarma işlemini biliyorsanız bölme işlemini biliyorsunuz demektir. Çünkü bölme işlemi çıkarmanın kısa yoludur. O halde sayma işlemini biliyorsak aritmetiği biliyoruz demektir. 1
Demek ki aritmetik yapacak bütünleşik devreler sayma işlemini yapabilecek şekilde tasarlanırsa, bütün matematiksel işlemleri yapabileceklerdir. Bunun için, 2 li sayma sistemindeki temsili kullanırsak, artan yönde sayma işlemini yapan devrelerin şu işlemleri yapması yetecektir: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 1 = 10 Sonuncu işlemi alışık olduğumuz 1 + 1 = 0 elde 2 var biçiminde de ifade edebiliriz. İşlemcilerde sayma işlemini yapan bütünleşik devreler bunu yapabilecek biçimde tasarlanmıştır. Azalan yönde sayma (dolayısıyla çıkarma ve bölme işlemleri) için ayrıca devre tasarımına gerekseme duymamak, ve o işlemleri yukarıdaki özeliklere sahip devrelere yaptırmak işlemcinin tasarımını oldukça basitleştirecektir. Gerçekten 2 tabanlı aritmetikte negatif sayıların ikiler tümleyenlerini (twos complement) kullanarak çıkarma işlemini toplama işlemine dönüştürmek mümkündür. Böylece, yukarıya doğru sayabilen bütünleşik devrelerle, bütün aritmetik işlemlerini yapabileceğiz. Bilgisayarda işlemcinin yazmaçları (registers) 4, 8, 16, 32 ya da 64 bitlik hücrelerden oluşur. Bunlar veri tutan bellek alanlarıdır. İşlemlerin nasıl yapıldığını göstermek için kaç bitlik hücreyi kullandığımız önem taşımaz. Yöntem aynıdır. Tabii, büyük yazmaçlar sistemin daha hızlı işlemesini sağlar. İşlemlerde basitliği sağlamak için 8-bitlik hücrelerden oluşan bir sistemi düşüneceğiz. Diğerleri için de benzer işlemler geçerlidir. Bilgisayar işlemcisi çıkarma işlemini yaparken toplama işlemine indirger. Böylece toplama yapmak için tasarlanan devreler, aynı zamanda çıkarma işlemini de yapabilir. Şimdi bunun nasıl olduğunu açıklayacağız. Birler Tümleyeni (Ones Complement) İşaret Biti B-bitlik bir hücrede en yüksek bite (en soldaki bit) işaret biti denilir. Bu hanede 0 varsa sayı pozitif, 1 varsa sayı negatif sayılır. 8-bitlik yazmaçta 0110 1010 sayısı pozitiftir 1110 1010 sayısı negatiftir Evirtim: Bir sayının 2 tabanlı temsilindeki 1 ler 0 ve 0 lar 1 yapılarak elde edilen yeni sayıya, söz konusu sayının evriği denilir. 2
Birler Tümleyeni: Bir sayının evriğine o sayının birler tümleyeni denilir. Mikroişlemciler NOT operatörü ile evirtim işlemini kolayca yapar; yani sayının birler tümleyeni kolayca bulunur. (7) 10 = 0000 0111 ~(7) 10 = 1111 1000 (evrik = birler tümleyeni) ~203 = 1111 1111 0011 0100 İkiler Tümleyeni (Twos Complement) Bir sayının 2 tabanlı temsilindeki evriğine (birler tümleyeni) 1 eklenerek elde edilen yeni sayıya, söz konusu sayının ikiler tümleyeni denilir. (7) 10 = 0000 0111 ~(7) 10 = 1111 1000 (evrik) ~(7) 10 + 1 = 1111 1001 (ikiler tümleyeni) Bu örnekte bazı ilginç özelikleri görebiliriz. [(2 8-1) 7] = [(128-1) 7] = 120 = 120 = 1111 1000 = ~(7) 2 [(2 8-1) 7] + 1 = [(128-7] = 121 = 1111 1001 = ~(7) 2 + 1 = 7 nin ikiler tümleyeni Sayı + (ikiler tümleyeni) = 0000 0111 + 1111 1001 7 + [~(7) + 1] = 0000 0000 = (0) 10 Toplama işlemini yaparken 8-bitten fazla gelen en soldaki bitleri (taşan bitler) atıyoruz. Sonuncu eşitlik, pozitif bir sayının negatifinin ikiler tümleyeni biçiminde temsil edilebileceğini söylüyor. O halde, bu özeliği kullanarak çıkarma işlemini toplama işlemine dönüştürebiliriz. 8-bitlik hücre yerine öteki seçenekleri de içine alan şu kuralları söyleyebiliriz: 3
1. B-bitlik yazmaçta 2 tabanına göre yazılı pozitif bir N sayısının evriği (birler tümleyeni) dir. (2 B 1) - N (1) 2. B-bitlik yazmaçta 2 tabanına göre yazılı pozitif bir N sayısının negatifi, söz konusu sayı ile toplandığında 0 eden sayıdır. Yukarıdaki sonuncu eşitlikten anlaşıldığı gibi, pozitif bir sayının negatifinin B-bitlik yazmaçtaki temsili, sayının evriğine 1 eklenerek bulunur; bu demektir ki, sayının negatifi, B-bitlik hücrede sayının ikiler tümleyenidir. [(2 B 1) N] + 1 = [2 B N] (2) Çıkarma İşlemi Şimdi çıkarma işlemini toplama işlemine dönüştüren kuralı önce örneklerle açıklayalım: 23 = 0001 0111 7 = 0000 0111 ~7 = 1111 1000 (birler tümleyeni) ~7 + 1 = 1111 1001 (ikiler tümleyeni) 23 7 = 23 + (-7) = 23 + [~(7) + 1] = 0001 0111 + 1111 1001 = 0001 0000 = (16) 10 ~203 = 1111 1111 0011 0100 (birler tümleyeni) ~203 + 1 = 1111 1111 0011 0101 (ikiler tümleyeni) 394 = 0000 0001 1000 1010 394 203 = 394 + [~(203) + 1] = 0000 0001 1000 1010 + 1111 1111 0011 0101 = 0000 0000 1011 1111 = (191) 10 ~203 = 1111 1111 0011 0100 (birler tümleyeni) ~203 + 1 = 1111 1111 0011 0101 (ikiler tümleyeni) 394 = 0000 0001 1000 1010 394 203 = 394 + [~(203) + 1] = 0000 0001 1000 1010 + 1111 1111 0011 0101 = 0000 0000 1011 1111 = (191) 10 4
75 = 0000 0000 0100 1011 ~75 = 1111 1111 1011 0100 (birler tümleyeni) ~75 + 1 = 1111 1111 1011 0101 (ikiler tümleyeni) 13 = 0000 0000 0000 1101-75 + 13 = [~(75) + 1] + 13 = 1111 1111 1011 0101 + 0000 0000 0000 1101 = 0000 0000 1100 0010 = (62) 10 Uyarı Yukarıdaki çıkarma işlemlerine dikkat edersek, çıkarma işlemini yapan işlemcinin çıkan sayının evriğini bulduktan sonra ona 1 ekleyerek ikiler tümleyenini elde ediyor. Eksilen sayıya ikiler tümleyenini ekliyor. Dolayısıyla işlemci hiç çıkarma işlemi yapmıyor. Onun yerine bir evirtim ve iki toplama işlemi yapıyor. Böylece çıkarma işlemi toplama işlemine dönüştürülüyor. İşlemcinin bütünleşik devreleri evirtim ve toplama işlemini yapmak üzere tasarlanmıştır. O nedenle, çıkarma işlemini toplamaya dönüştürerek yapmaktadır. Özet Yukarıdaki işlemlerde, çıkarmayı yaparken çıkan sayının B-bitlik hücreye negatifinin yazılması gerekiyor. Yukarıda yazdığımız (2) eşitliğine tekrar bakalım: [(2 B 1) N] + 1 = [2 B N] (2) Bu sayının B-bitlik hücredeki temsilinin N ile toplamının 0 ettiğini söylemiş; o nedenle (2) sayısına N sayısının negatifinin temsili demiştik. O halde, bir N sayısının negatifinin B-bitlik hücredeki temsili [2 B N] sayısıdır. Buna N sayısının ikiler tümleyeni denilir. en yüksek hane (bit) 0 1 1 1 1 1 1 1 = 127 0 1 1 1 1 1 1 0 = 126 0 0 0 0 0 0 1 0 = 2 0 0 0 0 0 0 0 1 = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 1 1 1 1 1 1 1 0 = 2 1 0 0 0 0 0 0 1 = 127 1 0 0 0 0 0 0 0 = 128 8-bitlik hücrede sayıların ikiler tümleyenleri 5