KUVVET için F KÜTLE için m İVME için a

4 III. EWTO MEKİĞİİ TEMEL KULI: Kütlesi ölçülebilecek kadar küçük bir cisim üzerine, şiddeti ölçülebilen bir kuvvet tatbik edelim. ir eksen sistemi seçerek cismin sisteme göre hareketini gözleyelim. u gözlem esnasında, KUVVET için KÜTLE için m İVME için a notasyonlarını seçerek, m ve a arasında basit bir ilişki olup olmadığını araştıralım. raştırma sonucunda basit bir ilişkinin olmadığını görürüz. iz deneylerimizi herhangi bir eksen sistemini referans kabul ederek yapmıştık. u referans sistemi havada daireler çizen bir uçak kabini olabileceği gibi basit bir laboratuar da olabilirdi. Şimdi biz ikinci bir soru daha sorabiliriz. caba, m ve a arasında basit bir ilişkinin var olduğu bir eksen sistemi var mıdır? Cevap evettir., m ve a arasında basit bir ilişkinin var olduğu bir eksen sistemi astronomik eksen sistemidir. u sistemin merkezinde güneş vardır ve eksenler güneşe göre rotasyon yapmayan üç sabit yıldıza yönelmiştir. Söz konusu basit ilişki, = kma şeklindedir. urada k pozitif bir sabittir ve değeri kullanılan birimlere bağlıdır. Şimdi ewton mekaniğinin üzerine kurulduğu üç temel kanundan bahsedelim. u kanunlar, HEKET KUU: Hareket eden bir cismin ivmesi ile, üzerine etki eden kuvvet arasında bir orantı vardır. u orantı, = ma şeklindedir. urada orantı katsayısı "m", pozitif bir sabit olup cismin kütlesine eşittir. KSİYO-EKSİYO KUU: Herhangi iki maddesel nokta birbirleri üzerine kuvvet uyguladığında, bu kuvvetin tesir çizgisi, bu iki maddesel noktayı birleştiren doğru olup, kuvvetler şiddetçe eşit işaretçe terstir; ya da sıfır çifti oluşturur. KUVVETLEİ TOPLMSI KUU: ir maddesel nokta üzerine ve gibi iki kuvvet etki ettirildiğinde, bu kuvvetlerin her ikisi = + şeklinde iki kuvvetin bileşkesinin etkisiyle aynı etkiyi doğurur. una süperpozisyon prensibi de denir. III. İ MDDESEL OKTI DEGESİ. ir maddesel noktanın dengede olması için gerek ve yeter şart, üzerine etkiyen kuvvetler sistemi sıfıra denk olmalıdır. Yani, n n = i= ve MP= Pi i= i= i=

5 yazılır. urada i noktaları kuvvetlerin tesir çizgileri üzerindeki keyfi noktaları temsil eder. ir maddesel noktaya gelen kuvvetler bir noktada kesişen kuvvetler tütünden olduğuna ve Varignon teoremine göre bu tür kuvvetlerin bir noktaya göre momenti bileşkesinin momentine eşit olacağından bileşke sıfır olduğunda moment de kendiliğinden sıfır olur. O halde bir maddesel noktanın dengesi için gerek ve yeter şart maddesel nokta üzerine gelen kuvvetlerin bileşkesinin sıfır olmasıdır. n = = i= EĞE İ MDDESEL OKT ÜZEİE ETKİ EDE KUVVET VEKTÖLEİİ TEŞKİL ETTİĞİ POLİGO KPIYOS, U MDDESEL OKT DEGEDEDİ. III. MDDESEL OKTL SİSTEMİİ DEGESİ. a) İç ve dış kuvvetler. Kitap, masa ve zemin alalım. Kitap masa üzerinde, masa da zemin üzerinde olsun. urada kitap bir maddesel noktalar sistemi, masa da ayrı bir maddesel noktalar sistemi oluşturur. ksiyon-reaksiyon kanunu gereği kitap masaya bir basınç uygular, masa da buna aynı şiddette bir kuvvetle karşı koyar. u kuvvetler, sistemi oluşturan maddesel noktalar tarafından meydana getirilmektedir. ir sistemi oluşturan maddesel noktalar arasındaki kuvvetlere iç kuvvetler denir. arklı sistemi oluşturan maddesel noktalar arasındaki kuvvetler dış kuvvetler denir. b) Maddesel noktalar sisteminin dengesinin gerek şartları. ir maddesel noktalar sistemi dengede ise sistemi oluşturan maddesel noktalar tek tek dengededir. una göre sistemi oluşturan her bir maddesel nokta üzerine etki eden kuvvetlerin bileşkesi sıfırdır. u kuvvetlerin bir kısmı dış kuvvet, bir kısmı da iç kuvvet ise sistemi oluşturan her bir maddesel nokta üzerine etki eden bütün iç kuvvetlerin ve bütün dış kuvvetlerin bileşkesi sıfırdır. ksiyon-reaksiyon kanunu gereği, sistemi oluşturan her bir maddesel nokta üzerine etki eden bütün iç kuvvetlerin bileşkesi sıfırdır. Ve sonuç olarak, sistemi oluşturan her bir maddesel nokta üzerine etki eden bütün dış kuvvetlerin bileşkesi sıfırdır. una dengenin gerek şartları denir. c) Maddesel noktalar sisteminin dengesinin yeter şartları. Maddesel noktalar sistemi üzerine etki eden dış kuvvetlerin bileşkesinin sıfır olması denge için yeterli değildir. ileşke sıfırdır, ancak dış kuvvetlerin bir noktaya göre momentleri sıfırdan farklı olabilir. Denge için bununda sıfır olması gerekir. Yani sistem sıfıra denk olmalıdır. una dengenin yeter şartları denir. d) Temas kuvvetleri (ağ kuvvetleri). Maddesel noktalar ya da maddesel sistemler genellikle tek başlarına serbest olarak bulunmazlar. Diğer sistemlerle temas halinde bulunurlar. u durumda bir bağ söz konusudur. Mesela bir P maddesel noktası bir eğri ya da bir yüzey üzerinde bulunabilir. i Eğer bir maddesel nokta üzerinde bulunduğu yüzey ya da eğriyi hiç bir şekilde terk edemiyorsa bağ çift taraflıdır, eğer yalnız bir tarafa doğru terk edebiliyorsa bağ tek taraflıdır denir. K ve K

6 temas halinde iki cisim, π ise temas noktasından geçen ortak düzlem olsun. K in K ye değme kuvvetine, :ağ kuvveti adını veriyoruz. u kuuvet temas düzlemine dik olmak zorunda değildir. b nin π düzlemine dik bileşenine, : ormal tepki b nin π düzlemine paralel bileşenine, S : sürtünme kuvveti adını veriyoruz. b Deney ve gözlem neticelerine göre:. b belli değildir. Mekanik problemlerinde esas bilinmeyeni oluşturur.. K in K den ayrılması halinde b sıfırdır.. v sıfırdan farklı olması halinde S ile v aynı doğrultulu ve zıd yönlüdür. Yani, S v = S v < dır. = yazılırsa, = ve ( ( 4. S ( S( S= µ olur. urada µ sürtünme katsayısıdır ve daima µ< dir. 5. daima katı cismin yüzeyi terk edebileceği tarafa doğru yönlenmiştir. 6. v = ise S daima harekete karşı koyma yönündedir ve S µ dır. π = olup, kritik sürtünme açısı adını alır ve daima θ dür. 4 S= dır. öylece b= olur. 7. µ arctan( θ) 8. µ= ise ÖEK:

7 Yukarıdaki şekillerde maddesel noktayı dengede tutacak. DUUM = x min min maks ve cos min kuvvetini bulunuz. ( α) S mgsin( θ) ( α ) µ mgsin( θ) cos + = + = = ( α ) + mgcos ( θ ) = y min min cos ( α ) + µ = mgsin( θ) ( α) mgcos( θ) sin + = sin min= mg cos ( θ ) µ cos( θ) ( α ) + µ sin( α) = için µ = tan( θ) olmalıdır. min m aks maks cos ( α ) µ = mgsin( θ) ( α) mgcos( θ) sin + = sin m aks= mg cos ( θ ) + µ cos( θ) ( α ) µ sin( α) min sin = için tan( α) maks = olmalıdır. u otoblokaj şartıdır. µ ÖEK: luk bir ağılık üç adet ip ile, ve C noktalarına asılmıştır. ( ) (, 4, ) m, C(,, ) m ve D(,, 4) m dir. İp kuvvetlerini hesaplayınız.,, m, İplerdeki kuvvetleri bulmak için ipleri kesip, yerlerine ip kuvvetleri kadar kuvvetleri koymamız gerekir. Denge için,

8 = + + k= D D olmalıdır. D D= DeD ed= D= i+ j+ 4 k m D i+ j+ 4k D= + + 4 = m ed= i+ j+ 4k D= D D D= DeD ed= D= i+ 4j+ 4 k m D i+ 4j+ 4k D= + 4 + 4 = 4 m ed= 4 i 4j 4k D + + = D 4 = e e= = i j+ 4 k m i j+ 4k = + + 4 = 5 = 5 m e= 5 i j+ 4k = 5 i+ j+ 4k i+ 4j+ 4k i j+ 4k = D + D + k= 4 5 D D D 4 D 4 D 4 D 4 + + i+ + + j+ + + k= 4 5 4 5 4 5

9 D D + + = 4 5 D 4 D + + = 4 5 4D 4D 4 + + = 4 5 4 5 D 4 D = 4 5 4 4 4 4 5 7 9 4 5 6 6 4 D 4 4 4 4 D = = 4 5 5 4 4 4 5 5 55 4 5 6 6 4 5 D 96. 569 75 4 D = = 69. 5 58. 846 6875 ÖEK: ve cisimleri bir iple bağlanmış olup sürtünme katsayısı sıfırdır. Denge konumu için θ ve θ açıları arasındaki ilişkiyi bulunuz. = mgcosθ= x = T mgsinθ= y = 4mgcosθ= x = T 4mgsinθ= y

4 4mgsinθ sinθ sinθ T = T T = mgsinθ T = 4mgsinθ = mgsinθ = 4 ÖEK: D çubuğu ile temas ettiği yüzeyler arasında bir sürtünme olmadığına göre denge konumu için θ açısını bulunuz. = cosθ mgsinθ+ = x = sinθ mgcosθ+ = y M = a a mgcosθ + = cosθ cos θ cosθ sinθ sinθ cosθ mg = a cos θ a cosθ sinθ sinθ cosθ = a cos θ a amg + a= ( a a ) ( a ) cosθ cosθ+ cos θ+ sinθ sinθ= + = = mgtan θ=. 55mg acos θ a cos θ asin θ cosθ= θ= arccos θ= 7. 69 = mgcosθ+ sinθ= mgcos θ+. 55mg sinθ= mg cos θ+. 55sinθ =. 944mg

4 ÖEK: C çubuğu ile temas ettiği yüzeyler arasında bir sürtünme olmadığına göre denge konumu için θ açısını bulunuz. = cosθ mgsinθ+ = x = sinθ mgcosθ+ = y M = mgcosθ + cosθ= cosθ sinθ sinθ cosθ mg = 4 cosθ sinθ sinθ cosθ = 4 cosθ 4cosθ+ + sinθ 4sinθ= cos θ+ cosθ+ sin θ= [ mg ] cosθ + 4 = 4 4 + + = 4cos θ cosθ 4 cos θ cos + cos + = 8 θ θ 4

4 7 cos θ= =. 5444 6 + 7 cos θ= =. 994 6 θ=. 9 = mgtan θ=. 49mg = mgcosθ+ sinθ= mgcos θ. 49mg sinθ= mg cos θ. 49sinθ =. 75mg ÖEK: D çubuğu ile temas ettiği yüzeyler arasında bir sürtünme katsayısı µ olduğuna göre denge konumu için θ maks açısını bulunuz. = x = y M = mgsinθ sinθ S cosθ+ S = C C mgsinθ sinθ µ cosθ + µ = C mgsinθ sinθ + µ cosθ µ = mgcosθ+ cosθ S sinθ+ = C mgcosθ+ cosθ µ sinθ+ + = C mgcosθ+ cosθ µ sinθ+ = mgcosθ C = tanθ [ mgsinθ C] = tanθ C C

4 sinθ sinθ + µ cosθ µ mg cosθ cosθ µ sinθ = sinθ C sinθ sinθ + µ cosθ µ cosθ ( cosθ µ sinθ ) = ( µ µ + ) sin θ µ cos θ= sinθ µ µ + sin θ µ cos θ= tan θ= tanθ= µ µ µ + µ µ µ + µ. 5 tanθ= tanθ= = tan θ= =. 6 µ=. 5 µ µ + (. 5) (. 5) + θ= arctan. 6=. SÜTÜMELİ ĞL Silindirik bir yüzeye sarılmış halatın iki ucuna tesir eden kuvvetler > olmak üzere ve olup halat sarıldığı yüzey ile arasındaki sürtünme kuvvetinin tesiriyle = θ µ şeklindeki ilişkiyi hesaplayınız. dengededir., dθ merkez açısını gören halat yayını izole edip denge denklemlerini yazalım.

44 dθ dθ T cos µ + ( T+ dt) cos = x= dθ dθ dθ T cos µ T cos + dt cos = Çok küçük açıların kosinüsü bire yaklaşır. dt= µ dθ dθ T sin + ( T+ dt) sin = y= dθ dθ dθ T sin + T sin + dt sin = Çok küçük açıların sinüsü radyan olarak açının kendisine yaklaşır. dθ dθ dθ T + T + dt = Tdθ= denklemleri taraf tarafa bölerek, dt = µ Tdθ dt = µ dθ T lnt= lnc+ µθ T= Ce µθ θ= T= = C T= e µθ θ θ = e µθ = T= µ=. 5 için

45 θ= π. 5( π) = e =. 4 θ= 4π. 5( 4π) = e = 55. 49 θ 6π =. 5( 6π) = e = 9. 648 ÖEK: Şekildeki kayış kasnak mekanizmasında önceden verilmiş bir gücün transferi için lazım gelen ön gerilme kuvvetinin hesabı. = + P= M ω= e ω ön ön ön = e + = e + d d M = ( ) M = e d πn P= ( e ) 6 πn ( e ) P = 6 e + ön ön ( e ) ( e + ) P= πn 6

46 ÖEK: Şekilde bir bantlı fren mekanizması görülmektedir. Dönme istikametini dikkate alarak ren koluna uygulanan kuvveti ile durdurma momenti arasında bir bağıntı bulunuz. andı keserek bantta ortaya çıkan kuvvetleri bant üzerinde işaretleyelim. C noktasına göre momentleri yazalım: L + f + f = = e + f f = L e + f f = L L = e f f = e ( + ) ( ) L ( ) f( e + ) Durdurma momenti: = ( ) M= M Le L M= e f e e f e M= e ( ) ( + ) ( ) ( + ) L ( e ) f ( e + ) L M= f e e ( + ) ( )

47 M= Le L M= e f e e f e M= e ( ) ( + ) ( ) ( + ) L ( e ) f ( e + ) L M= f e e ( + ) ( ) M= Le L M= e f e e f e M= e ( ) ( + ) ( ) ( + ) L ( e ) f ( e + ) L M= f e e ( + ) ( ) Payda sıfır olduğunda, frenleme kuvveti sıfır bile olsa durdurma momenti sonsuz olur. u duruma otoblokaj şart denir. unun için, f e = e olmalıdır. +

48 ÖEK: irbiri üzerine bastırılan disklerde sürtünme dolayısıyla moment nakli. Disk üzerindeki basınç: p Taralı alanda ortaya çıkan kuvvet: d= p( πrdr ) Taralı alanda ortaya çıkan sürtünme kuvveti: ds= µ p( πrdr ) Taralı alanda ortaya çıkan moment: dm= rµ p( πrdr ) Diskte ortaya çıkan toplam moment: M= dm= r p rdr = p rrdr = p r = p = p µ ( π ) πµ πµ πµ µ π r= r= r= M= µ pπ = µ p = µ

49 Eğer diskin ortası boş ise: ( ) r= r= = πµ p r = πµ ( ) p r= ( + + ) ( ) ( )( + + ) = µ pπ = µ p M= dm= rµ p πrdr = πµ p rrdr ( )( + ) ( ) ( ) ( ) + + + + M= µ p = µ + + ( )